g*y
8 楼
数学版的人好象还真不怎么逛这个版。只知道跑版的小睡袋是做数学的,最近也很少见
他了。
再说,现代数学发展,分枝很细,但是跨度很大,你说的几何代数,听上去更象在问以
前的历史。
他了。
再说,现代数学发展,分枝很细,但是跨度很大,你说的几何代数,听上去更象在问以
前的历史。
g*y
10 楼
几何对数学最大的贡献就是引进公理系统,但是几何本身更象脑力体操。几何的东西,
通常都可以归结为代数。代数更接近数学的本质,更抽象。用个以前看到的比方,一堆
石头下,压了只老鼠,你要把它找出来。几何的办法,通常是绕着石头观察,看见哪儿
有老鼠尾巴,一把拎出来;代数的办法,就是一块一块把石头搬开,必杀。几何解经常
会让人觉得巧妙,代数解给人感觉是重剑,很朴实,有解,就能给你找出来;无解,也
能给你证明无解。
【在 g***y 的大作中提到】
: 对啊,以前的历史也可以啊
: 有人把现代抽象拍绘画分成俩类“几何派”和“代数派”
: 我们原来是按“冷抽象”和“热抽象”区分的
: 其中“冷抽象”对应“几何派”,“热抽象”对应“代数派”
: 所以好奇想问问别人眼里这个有什么异同点
通常都可以归结为代数。代数更接近数学的本质,更抽象。用个以前看到的比方,一堆
石头下,压了只老鼠,你要把它找出来。几何的办法,通常是绕着石头观察,看见哪儿
有老鼠尾巴,一把拎出来;代数的办法,就是一块一块把石头搬开,必杀。几何解经常
会让人觉得巧妙,代数解给人感觉是重剑,很朴实,有解,就能给你找出来;无解,也
能给你证明无解。
【在 g***y 的大作中提到】
: 对啊,以前的历史也可以啊
: 有人把现代抽象拍绘画分成俩类“几何派”和“代数派”
: 我们原来是按“冷抽象”和“热抽象”区分的
: 其中“冷抽象”对应“几何派”,“热抽象”对应“代数派”
: 所以好奇想问问别人眼里这个有什么异同点
g*y
11 楼
这么说的话,把它对应在那俩派抽象绘画里去,果然相得益彰,有那个意思。
尤其是几何的巧妙对应在冷抽象上非常贴切。大赞,多谢了!
还有上面说的代数和几何现在有点难分彼此,其实抽象画也一样都开始互相渗透了。
【在 g**********y 的大作中提到】
: 几何对数学最大的贡献就是引进公理系统,但是几何本身更象脑力体操。几何的东西,
: 通常都可以归结为代数。代数更接近数学的本质,更抽象。用个以前看到的比方,一堆
: 石头下,压了只老鼠,你要把它找出来。几何的办法,通常是绕着石头观察,看见哪儿
: 有老鼠尾巴,一把拎出来;代数的办法,就是一块一块把石头搬开,必杀。几何解经常
: 会让人觉得巧妙,代数解给人感觉是重剑,很朴实,有解,就能给你找出来;无解,也
: 能给你证明无解。
尤其是几何的巧妙对应在冷抽象上非常贴切。大赞,多谢了!
还有上面说的代数和几何现在有点难分彼此,其实抽象画也一样都开始互相渗透了。
【在 g**********y 的大作中提到】
: 几何对数学最大的贡献就是引进公理系统,但是几何本身更象脑力体操。几何的东西,
: 通常都可以归结为代数。代数更接近数学的本质,更抽象。用个以前看到的比方,一堆
: 石头下,压了只老鼠,你要把它找出来。几何的办法,通常是绕着石头观察,看见哪儿
: 有老鼠尾巴,一把拎出来;代数的办法,就是一块一块把石头搬开,必杀。几何解经常
: 会让人觉得巧妙,代数解给人感觉是重剑,很朴实,有解,就能给你找出来;无解,也
: 能给你证明无解。
j*n
12 楼
原来是说这个,我就开始瞎扯了哦
几何和代数都是需要逻辑的,最常见的逻辑是一是一二是二,和归纳法,还有是则非非
,非则非是
是客观世界的规律,由各自的公理支撑,如两点间直线最短,我们说这是理性的,可推
理的
几何关心的是空间的长度和拓扑,代数原本是关心数或者集合,但几何因为很大比重是
研究量的关系,需要用到代数工具
直觉在绝大多数情况符合理性,但是未必是非非,非也未必是非是了,因为世界复杂了
,一块色彩是红的,"不红"是可能黄绿蓝紫等,一个线条是美的,或在另一个人看来
很刺激,就不那么线性或理性了,而是多值或曲变了
艺术就是用上帝规范的技巧去引起上帝创造的人的某种审美体验,是受大量已知或未知
规律束缚的,重要的不是理性或非理性,直观或主观
几何是直观一些,结构的变化可以创作多变的作品,但观众眼睛看了之后的代入和替换
自身的理解,会使作品层次更丰富
好比,一句话,春天来了,鸭子妈妈有了很多宝宝。在少年儿童读来,就是一幅图画,
而在成人读来,知道鸭子爸爸干的好事,必定浪漫缱绻,温暖的鸭世界
【在 g***y 的大作中提到】
: 对啊,以前的历史也可以啊
: 有人把现代抽象拍绘画分成俩类“几何派”和“代数派”
: 我们原来是按“冷抽象”和“热抽象”区分的
: 其中“冷抽象”对应“几何派”,“热抽象”对应“代数派”
: 所以好奇想问问别人眼里这个有什么异同点
几何和代数都是需要逻辑的,最常见的逻辑是一是一二是二,和归纳法,还有是则非非
,非则非是
是客观世界的规律,由各自的公理支撑,如两点间直线最短,我们说这是理性的,可推
理的
几何关心的是空间的长度和拓扑,代数原本是关心数或者集合,但几何因为很大比重是
研究量的关系,需要用到代数工具
直觉在绝大多数情况符合理性,但是未必是非非,非也未必是非是了,因为世界复杂了
,一块色彩是红的,"不红"是可能黄绿蓝紫等,一个线条是美的,或在另一个人看来
很刺激,就不那么线性或理性了,而是多值或曲变了
艺术就是用上帝规范的技巧去引起上帝创造的人的某种审美体验,是受大量已知或未知
规律束缚的,重要的不是理性或非理性,直观或主观
几何是直观一些,结构的变化可以创作多变的作品,但观众眼睛看了之后的代入和替换
自身的理解,会使作品层次更丰富
好比,一句话,春天来了,鸭子妈妈有了很多宝宝。在少年儿童读来,就是一幅图画,
而在成人读来,知道鸭子爸爸干的好事,必定浪漫缱绻,温暖的鸭世界
【在 g***y 的大作中提到】
: 对啊,以前的历史也可以啊
: 有人把现代抽象拍绘画分成俩类“几何派”和“代数派”
: 我们原来是按“冷抽象”和“热抽象”区分的
: 其中“冷抽象”对应“几何派”,“热抽象”对应“代数派”
: 所以好奇想问问别人眼里这个有什么异同点
l*r
13 楼
g*y
14 楼
你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
像一堆乱麻或者是一块吸铁石吸上来的无数小废渣,有点儿拎不清。
【在 j******n 的大作中提到】
: 原来是说这个,我就开始瞎扯了哦
: 几何和代数都是需要逻辑的,最常见的逻辑是一是一二是二,和归纳法,还有是则非非
: ,非则非是
: 是客观世界的规律,由各自的公理支撑,如两点间直线最短,我们说这是理性的,可推
: 理的
: 几何关心的是空间的长度和拓扑,代数原本是关心数或者集合,但几何因为很大比重是
: 研究量的关系,需要用到代数工具
: 直觉在绝大多数情况符合理性,但是未必是非非,非也未必是非是了,因为世界复杂了
: ,一块色彩是红的,"不红"是可能黄绿蓝紫等,一个线条是美的,或在另一个人看来
: 很刺激,就不那么线性或理性了,而是多值或曲变了
那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
像一堆乱麻或者是一块吸铁石吸上来的无数小废渣,有点儿拎不清。
【在 j******n 的大作中提到】
: 原来是说这个,我就开始瞎扯了哦
: 几何和代数都是需要逻辑的,最常见的逻辑是一是一二是二,和归纳法,还有是则非非
: ,非则非是
: 是客观世界的规律,由各自的公理支撑,如两点间直线最短,我们说这是理性的,可推
: 理的
: 几何关心的是空间的长度和拓扑,代数原本是关心数或者集合,但几何因为很大比重是
: 研究量的关系,需要用到代数工具
: 直觉在绝大多数情况符合理性,但是未必是非非,非也未必是非是了,因为世界复杂了
: ,一块色彩是红的,"不红"是可能黄绿蓝紫等,一个线条是美的,或在另一个人看来
: 很刺激,就不那么线性或理性了,而是多值或曲变了
l*r
15 楼
吸铁石的比喻有意思
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
g*y
17 楼
从没听过这个区分法,好象很有趣啊。Klee, Milo 可以算是几何里的吗?
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
j*n
20 楼
抽象绘画的发展趋势,大致可分为两类: [一]几何抽象[或称冷的抽象]。这是以
塞尚的理论为出发点,经立体主义、构成主义、新造形主义....,而发展出来。其特色
为带有几何学的倾向。这个画派可以蒙德里安(Mondrian)为代表。 [二]抒情抽象[
或称热的抽象]。这是以高更的艺术理念为出发点,经野兽派、表现主义发展出来,带
有浪漫的倾向。这个画派可以康丁斯基[Kandinsky]为代表。
并没有所谓代数派吧, 热抽象是叫lyrical abstract painting
其实可能类似文学中的意境, 移情
康定斯基本人也是先冷后热的
代数派这个说法国外真没有,但国内某本书说抽象派有几何派和代数派
现在搜索这个词,你这个贴子排名靠前,恭喜你
莫名其妙把几何和代数对立起来了
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
塞尚的理论为出发点,经立体主义、构成主义、新造形主义....,而发展出来。其特色
为带有几何学的倾向。这个画派可以蒙德里安(Mondrian)为代表。 [二]抒情抽象[
或称热的抽象]。这是以高更的艺术理念为出发点,经野兽派、表现主义发展出来,带
有浪漫的倾向。这个画派可以康丁斯基[Kandinsky]为代表。
并没有所谓代数派吧, 热抽象是叫lyrical abstract painting
其实可能类似文学中的意境, 移情
康定斯基本人也是先冷后热的
代数派这个说法国外真没有,但国内某本书说抽象派有几何派和代数派
现在搜索这个词,你这个贴子排名靠前,恭喜你
莫名其妙把几何和代数对立起来了
【在 g***y 的大作中提到】
: 你这段话说的简直是扑朔迷离,害我找不到北,这也罢了
: 那天xumin刚说了春天要多吃梨,今天出去有人推荐我买梨,又大又甜水分多
: 刚才刚咬了一口,就看见您那最后一段话了,不厚道,害我呛嗓子眼儿了。。。
: 看了半天被你那是则非非,非则非是的“规律”搞的晕头转向,还想了半天以前
: 我老公给我讲的或与非,以为你是说那个呢,后来才明白是“道可道,非常道”
: 的文戏游戏。打倒!讨厌!太考验我智力了。
: 你说的“几何关心空间长度和拓扑,代数关心数和集合”也挺对的。
: 对应在绘画里很多几何绘画都很有趣,一些简单的排列组合就能使画面构成不同的
: 动感和趣感。而代数派里康定斯基的很多图案也果然有集合的感觉,大圈套小圈的
: 哈哈,我喜欢那有趣的几何派,就是觉得很多创意狠聪明。那代数派在我看来感觉
h*8
21 楼
"Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics" by Howard Eves
1: Klein's definition: A geometry is the study of those properties of a set
that remain invariant when the elements of the set are subjected to the
transformations of some transformation group.
2: historical contingency. If someone's analysing an axiomatic system that's
descended from Euclid (in the sense of asking a chain of mathematicians
extending backwards in time, 'so what made you think of this') then it's a
geometry. If it's descended, in similar handwavy fashion, from a+b=b+a and
so on, it's an algebra.
【在 h*****8 的大作中提到】
: 瞎说几句。
: 代数从数/集合出发,到关系时候就加了几何的概念。
: 几何从形出发,需要量化了的时候也加了不少代数。
: 大概气宗和剑宗的关系吧。反正能出文章就好啦。
1: Klein's definition: A geometry is the study of those properties of a set
that remain invariant when the elements of the set are subjected to the
transformations of some transformation group.
2: historical contingency. If someone's analysing an axiomatic system that's
descended from Euclid (in the sense of asking a chain of mathematicians
extending backwards in time, 'so what made you think of this') then it's a
geometry. If it's descended, in similar handwavy fashion, from a+b=b+a and
so on, it's an algebra.
【在 h*****8 的大作中提到】
: 瞎说几句。
: 代数从数/集合出发,到关系时候就加了几何的概念。
: 几何从形出发,需要量化了的时候也加了不少代数。
: 大概气宗和剑宗的关系吧。反正能出文章就好啦。
g*y
22 楼
冷热个头啊,瞧你那冷嘲热讽的倒是真的
你继续搜,我偏不告诉你是哪本书哪个作者写的。哈哈
象[
【在 j******n 的大作中提到】
: 抽象绘画的发展趋势,大致可分为两类: [一]几何抽象[或称冷的抽象]。这是以
: 塞尚的理论为出发点,经立体主义、构成主义、新造形主义....,而发展出来。其特色
: 为带有几何学的倾向。这个画派可以蒙德里安(Mondrian)为代表。 [二]抒情抽象[
: 或称热的抽象]。这是以高更的艺术理念为出发点,经野兽派、表现主义发展出来,带
: 有浪漫的倾向。这个画派可以康丁斯基[Kandinsky]为代表。
: 并没有所谓代数派吧, 热抽象是叫lyrical abstract painting
: 其实可能类似文学中的意境, 移情
: 康定斯基本人也是先冷后热的
: 代数派这个说法国外真没有,但国内某本书说抽象派有几何派和代数派
: 现在搜索这个词,你这个贴子排名靠前,恭喜你
你继续搜,我偏不告诉你是哪本书哪个作者写的。哈哈
象[
【在 j******n 的大作中提到】
: 抽象绘画的发展趋势,大致可分为两类: [一]几何抽象[或称冷的抽象]。这是以
: 塞尚的理论为出发点,经立体主义、构成主义、新造形主义....,而发展出来。其特色
: 为带有几何学的倾向。这个画派可以蒙德里安(Mondrian)为代表。 [二]抒情抽象[
: 或称热的抽象]。这是以高更的艺术理念为出发点,经野兽派、表现主义发展出来,带
: 有浪漫的倾向。这个画派可以康丁斯基[Kandinsky]为代表。
: 并没有所谓代数派吧, 热抽象是叫lyrical abstract painting
: 其实可能类似文学中的意境, 移情
: 康定斯基本人也是先冷后热的
: 代数派这个说法国外真没有,但国内某本书说抽象派有几何派和代数派
: 现在搜索这个词,你这个贴子排名靠前,恭喜你
g*y
27 楼
赞啊,多谢科普~
set
's
【在 h*****8 的大作中提到】
: "Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics" by Howard Eves
: 1: Klein's definition: A geometry is the study of those properties of a set
: that remain invariant when the elements of the set are subjected to the
: transformations of some transformation group.
: 2: historical contingency. If someone's analysing an axiomatic system that's
: descended from Euclid (in the sense of asking a chain of mathematicians
: extending backwards in time, 'so what made you think of this') then it's a
: geometry. If it's descended, in similar handwavy fashion, from a+b=b+a and
: so on, it's an algebra.
set
's
【在 h*****8 的大作中提到】
: "Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics" by Howard Eves
: 1: Klein's definition: A geometry is the study of those properties of a set
: that remain invariant when the elements of the set are subjected to the
: transformations of some transformation group.
: 2: historical contingency. If someone's analysing an axiomatic system that's
: descended from Euclid (in the sense of asking a chain of mathematicians
: extending backwards in time, 'so what made you think of this') then it's a
: geometry. If it's descended, in similar handwavy fashion, from a+b=b+a and
: so on, it's an algebra.
j*n
35 楼
先给你个别人写的生动的反智主义的表现, 发生于清华某关于韩寒神话的报告, 报告人
就是肖教授
反智主义极端表现在这堂讲座中一共出现了三次。在讲座结束后的提问阶段,
有一个男同学得到了提问机会,他拿着话筒,很不礼貌、近乎教训的口气提出了
自己的质问,肖鹰教授含笑听完,刚要解答,却见这位同学扔掉话筒,背起背包
就走,全然不听台上教授的回答。他甩着长发,在众人的惊讶中,很“韩寒”地、
潇洒地走出了礼堂。
还有一位同学甚至出现了幻觉,主持人宣布散会,大家都往外走,他却像看
见亲人出了车祸一样,疯狂地扒开人群冲上前来。请原谅我用这样的比方,因为
我觉得这样形容非常适合他当时的表情。他不断喊着:“我必须问清楚,我必须
问清楚!”看他“来势凶猛”,我不由地站到了肖鹰教授眼前,挡住了他的来路,
我已经做好他要动粗时强行抱住他的准备。足见当时这位同学冲动的表情是多么
骇人。他问肖鹰教授:“你凭什么说80后是不该出生的一代?”肖鹰教授愣了,
反问:“我说过这个话吗?”他又重复:“80后怎么就不该出生了,你要说清
楚!”肖鹰教授显然一头雾水,有些生气地问他:“我什么时候说过这话?”大
概就这样纠缠了好几个来回,这个同学脸色煞白、浑身发抖,又忽然强调他是90
后。肖鹰教授大喝:“你究竟要说什么?”他说:“我就是要问清楚!”肖鹰教
授厉声呵斥:“我告诉你,我现在是以一个老师的身份,不是辩手的身份,我问
你,你清楚自己的问题吗?你明白自己要说什么吗?”这位同学突然如梦初醒,
脸色也瞬间平静下来,想了一会儿,说:“你没说过这话,我道歉!”……整个
过程我都站在两人旁边,若不是亲眼所见,我真的不敢相信这一幕,这个同学的
前后表现,像极了传说中什么东西附体。现在回想,我都头皮发麻。我坚定地确
信,韩寒神话的反智主义影响,已经成了彻头彻尾的邪教,往轻了说,起到了邪
教一样的作用。
在礼堂外,大约有三十名同学围住了肖鹰教授,他们中大部分也是不理解质
疑韩寒神话的,但这些学生却表现了很好的礼貌,抱着辩论与求教的态度,与教
授探讨。肖鹰教授也一再强调,说同学们完全可以把他看成是一名辩手,鼓励同
学们说出自己的想法,他加以一一解答。肖鹰教授强调:我的讲座和此刻的对话,
是在启发大家的独立思考,大家不必一定要同意我的观点,但对待任何问题都不
能偏执,要学会全面观察,认真分析。
【在 g***y 的大作中提到】
: 那是,说到挖坑能力的确是比你大有不如
: 好啊,你给我科普下吧
: 我最喜欢别人给我科普了~
就是肖教授
反智主义极端表现在这堂讲座中一共出现了三次。在讲座结束后的提问阶段,
有一个男同学得到了提问机会,他拿着话筒,很不礼貌、近乎教训的口气提出了
自己的质问,肖鹰教授含笑听完,刚要解答,却见这位同学扔掉话筒,背起背包
就走,全然不听台上教授的回答。他甩着长发,在众人的惊讶中,很“韩寒”地、
潇洒地走出了礼堂。
还有一位同学甚至出现了幻觉,主持人宣布散会,大家都往外走,他却像看
见亲人出了车祸一样,疯狂地扒开人群冲上前来。请原谅我用这样的比方,因为
我觉得这样形容非常适合他当时的表情。他不断喊着:“我必须问清楚,我必须
问清楚!”看他“来势凶猛”,我不由地站到了肖鹰教授眼前,挡住了他的来路,
我已经做好他要动粗时强行抱住他的准备。足见当时这位同学冲动的表情是多么
骇人。他问肖鹰教授:“你凭什么说80后是不该出生的一代?”肖鹰教授愣了,
反问:“我说过这个话吗?”他又重复:“80后怎么就不该出生了,你要说清
楚!”肖鹰教授显然一头雾水,有些生气地问他:“我什么时候说过这话?”大
概就这样纠缠了好几个来回,这个同学脸色煞白、浑身发抖,又忽然强调他是90
后。肖鹰教授大喝:“你究竟要说什么?”他说:“我就是要问清楚!”肖鹰教
授厉声呵斥:“我告诉你,我现在是以一个老师的身份,不是辩手的身份,我问
你,你清楚自己的问题吗?你明白自己要说什么吗?”这位同学突然如梦初醒,
脸色也瞬间平静下来,想了一会儿,说:“你没说过这话,我道歉!”……整个
过程我都站在两人旁边,若不是亲眼所见,我真的不敢相信这一幕,这个同学的
前后表现,像极了传说中什么东西附体。现在回想,我都头皮发麻。我坚定地确
信,韩寒神话的反智主义影响,已经成了彻头彻尾的邪教,往轻了说,起到了邪
教一样的作用。
在礼堂外,大约有三十名同学围住了肖鹰教授,他们中大部分也是不理解质
疑韩寒神话的,但这些学生却表现了很好的礼貌,抱着辩论与求教的态度,与教
授探讨。肖鹰教授也一再强调,说同学们完全可以把他看成是一名辩手,鼓励同
学们说出自己的想法,他加以一一解答。肖鹰教授强调:我的讲座和此刻的对话,
是在启发大家的独立思考,大家不必一定要同意我的观点,但对待任何问题都不
能偏执,要学会全面观察,认真分析。
【在 g***y 的大作中提到】
: 那是,说到挖坑能力的确是比你大有不如
: 好啊,你给我科普下吧
: 我最喜欢别人给我科普了~
g*y
36 楼
切~
【在 j******n 的大作中提到】
: 先给你个别人写的生动的反智主义的表现, 发生于清华某关于韩寒神话的报告, 报告人
: 就是肖教授
: 反智主义极端表现在这堂讲座中一共出现了三次。在讲座结束后的提问阶段,
: 有一个男同学得到了提问机会,他拿着话筒,很不礼貌、近乎教训的口气提出了
: 自己的质问,肖鹰教授含笑听完,刚要解答,却见这位同学扔掉话筒,背起背包
: 就走,全然不听台上教授的回答。他甩着长发,在众人的惊讶中,很“韩寒”地、
: 潇洒地走出了礼堂。
: 还有一位同学甚至出现了幻觉,主持人宣布散会,大家都往外走,他却像看
: 见亲人出了车祸一样,疯狂地扒开人群冲上前来。请原谅我用这样的比方,因为
: 我觉得这样形容非常适合他当时的表情。他不断喊着:“我必须问清楚,我必须
【在 j******n 的大作中提到】
: 先给你个别人写的生动的反智主义的表现, 发生于清华某关于韩寒神话的报告, 报告人
: 就是肖教授
: 反智主义极端表现在这堂讲座中一共出现了三次。在讲座结束后的提问阶段,
: 有一个男同学得到了提问机会,他拿着话筒,很不礼貌、近乎教训的口气提出了
: 自己的质问,肖鹰教授含笑听完,刚要解答,却见这位同学扔掉话筒,背起背包
: 就走,全然不听台上教授的回答。他甩着长发,在众人的惊讶中,很“韩寒”地、
: 潇洒地走出了礼堂。
: 还有一位同学甚至出现了幻觉,主持人宣布散会,大家都往外走,他却像看
: 见亲人出了车祸一样,疯狂地扒开人群冲上前来。请原谅我用这样的比方,因为
: 我觉得这样形容非常适合他当时的表情。他不断喊着:“我必须问清楚,我必须
j*p
37 楼
这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思
考其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式
,把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东
西,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数
的这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都
是非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是
我所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点. ”
节选全文:
“五、几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题,现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象,它来回
摇摆却始终伴随着我们,这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明.我指的是
几何和代数之间的二分法,几何和代数是数学的两个形式支柱,并且都有悠久的历史.
几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期;代数学则源于古阿拉伯人和古印度人.所以
,它们都已经成为数学的基础,但它们之间有一种令人感到不太自然的关系.
让我首先由这个问题的历史开始.Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子,直到
Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前,它一直是纯几何的.
Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试.从代数学家们的角度来讲,
这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击,如果我们来比较Newton和
Leibniz在分析方面的工作,我们会发现他们属于不同的传统,Newton基本上是一个几
何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家,这其中有着很深刻的道理.对于Newton而言
,几何学,或者是由他发展起来的微积分学,都是用来描述自然规律的数学尝试.他关
心的是在很广泛意义下的物理,以及几何世界中的物理.在他看来,如果有人想了解事
物,他就得用物理世界的观点来思考它,用几何图象的观点来看待它.当他发展微积分
的时候,他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式
.所以他用的是几何论证,因为这样可以与实际意义保持密切关系,另一方面,
Leibniz有一个目标,一个雄心勃勃的目标,那就是形式化整个数学,将之变成一个庞
大的代数机器.这与Newton的途径截然不同,并且二者有很多不同的记号.正如我们所
知道的,在Newton和Leibniz之间的这场大争论中,Leibniz的记号最后得胜.我们现在
还沿用他的记号来写偏导数.Newton的精神尚在,但被人们埋葬了很长时间.
在十九世纪末期,也就是一百年前,Poincaré和Hilbert是两个主要人物.我在前面已
经提到过他们了,并且可以粗略地讲,他们分别是Newton和Leibniz的传人.Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神,他用这些思想作为他的基本洞察工具.Hilbert更
多的是一个形式主义者,他要的是公理化,形式化,并且要给出严格的,形式的描述.
虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去,但是,很清楚地,他们属
于不同的传统.
当准备这个报告的时候,我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代
表性的人的名字.谈论还健在的人是十分困难的--谁该放在这张名单上呢?接着我又暗
自思忖:有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢?于是我选择了两个名字
Arnold Bourbaki,前者是Poincaré-Newton传统的继承人,而后者,我认为,是
Hilbert最著名的接班人.Arnold毫不含糊地认为:他的力学和物理的观点基本上是几
何的,是源自于Newton的;以为存在处于二者之间的东西,除了象Riemann(他确实跟
两者都有偏离)等少数人之外,都是一种误解.Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的
研究,将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功.每一种观
点都有它的优点,但是它们之间很难调和.
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同.几何学当然讲的是空间,这
是毫无疑问的.如果我面对这间房间里的听众,我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多,接收到大量的信息,当然这不是一件偶然的事件.我们大脑的构造与视觉有着极
其重要的关系.我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到,视觉占用了大脑皮层的百
分之八十或九十.在大脑中大约有十七个中枢,每一个中枢专门用来负责视觉活动的不
同部分:有些部分涉及的是垂直方向的,有些部分与水平方向有关,有些部分是关于色
彩和透视的,最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说.理解并感知我们所看
到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分.因此空间直觉(spatial
intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具,也是几何学
在数学上占有如此重要位置的原因,它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用
,甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用.我们努力将它们归结为几何形式,
因为这样可以让我们使用我们的直觉.我们的直觉是我们最有力的武器.特别是在向学
生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚.当你讲解一个很长而且很有难度的论证,
最后使学生明白了.学生这时会说些什么呢?他会说"我看到了(我懂了)!"在这里看
见与理解是同义词,而且我们还可以用"知觉"这个词来同时形容它们,至少这在英语里
是对的,把这个现象与其他语言作对比同样有趣.我认为有一点是很基本的:人类通过
这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息,从而得以发展,而教学参与其中并
使之完善.
在另一方面(也许有些人不这样认为),代数本质上涉及的是时间.无论现在做的是哪
一类代数,都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来,这里"一个接着一个"的意思是
我们必须有时间的概念.在一个静态的宇宙中,我们无法想象代数,但几何的本质是静
态的:我可以坐在这里观察,没有什么变化,但我仍可以继续观察.然而,代数与时间
有关,这是因为我们有一连串的运算,这里当我谈到"代数"时,我并不单单指现代代数
.任何算法,任何计算过程,都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展
使这一切看得很清楚.现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案.
代数涉及的是时间的操作,而几何涉及的是空间.它们是世界互相垂直的两个方面,并
且它们代表数学中两种不同的观念.因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情.
当然只是为了论证是哪一边输了,哪一边胜利了,这并不值得.当我考虑这个问题时,
有一个形象的类比:"你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家?"这个问题就象问:
"你愿意是聋子还是瞎子?"一样.如果人的眼睛盲了,就看不见空间;如果人的耳朵聋
了,就无法听见,听觉是发生在时间之中的,总的来说,我们还是宁愿二者都要.
在物理学,也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分.物理学
有两个部分:理论--概念,想法,单词,定律--和实验仪器.我认为概念在某种广义的
意义下是几何的,这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物.另一方面,实验更象
一个代数计算.人们做事情总要花时间,测定一些数,将它们代入到公式中去.但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分.
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就是
所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以得
到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问题
.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现在
可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔鬼
,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当我
们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考
其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式,
把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东西
,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数的
这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都是
非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是我
所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点.
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生,并且代数和几何之间的
区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华.例如,代数学家们经常使用图式(diagram
).而除了几何直觉,图式又能是什么呢?
【在 g***y 的大作中提到】
: 版上有做数学的嘛?能做个比较嘛?
: 是不是一个更抽象一个更具体?一个更理性一个更主观?
: 如果用最多三句话概括一下,怎么理解?谢谢
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思
考其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式
,把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东
西,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数
的这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都
是非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是
我所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点. ”
节选全文:
“五、几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题,现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象,它来回
摇摆却始终伴随着我们,这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明.我指的是
几何和代数之间的二分法,几何和代数是数学的两个形式支柱,并且都有悠久的历史.
几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期;代数学则源于古阿拉伯人和古印度人.所以
,它们都已经成为数学的基础,但它们之间有一种令人感到不太自然的关系.
让我首先由这个问题的历史开始.Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子,直到
Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前,它一直是纯几何的.
Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试.从代数学家们的角度来讲,
这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击,如果我们来比较Newton和
Leibniz在分析方面的工作,我们会发现他们属于不同的传统,Newton基本上是一个几
何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家,这其中有着很深刻的道理.对于Newton而言
,几何学,或者是由他发展起来的微积分学,都是用来描述自然规律的数学尝试.他关
心的是在很广泛意义下的物理,以及几何世界中的物理.在他看来,如果有人想了解事
物,他就得用物理世界的观点来思考它,用几何图象的观点来看待它.当他发展微积分
的时候,他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式
.所以他用的是几何论证,因为这样可以与实际意义保持密切关系,另一方面,
Leibniz有一个目标,一个雄心勃勃的目标,那就是形式化整个数学,将之变成一个庞
大的代数机器.这与Newton的途径截然不同,并且二者有很多不同的记号.正如我们所
知道的,在Newton和Leibniz之间的这场大争论中,Leibniz的记号最后得胜.我们现在
还沿用他的记号来写偏导数.Newton的精神尚在,但被人们埋葬了很长时间.
在十九世纪末期,也就是一百年前,Poincaré和Hilbert是两个主要人物.我在前面已
经提到过他们了,并且可以粗略地讲,他们分别是Newton和Leibniz的传人.Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神,他用这些思想作为他的基本洞察工具.Hilbert更
多的是一个形式主义者,他要的是公理化,形式化,并且要给出严格的,形式的描述.
虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去,但是,很清楚地,他们属
于不同的传统.
当准备这个报告的时候,我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代
表性的人的名字.谈论还健在的人是十分困难的--谁该放在这张名单上呢?接着我又暗
自思忖:有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢?于是我选择了两个名字
Arnold Bourbaki,前者是Poincaré-Newton传统的继承人,而后者,我认为,是
Hilbert最著名的接班人.Arnold毫不含糊地认为:他的力学和物理的观点基本上是几
何的,是源自于Newton的;以为存在处于二者之间的东西,除了象Riemann(他确实跟
两者都有偏离)等少数人之外,都是一种误解.Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的
研究,将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功.每一种观
点都有它的优点,但是它们之间很难调和.
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同.几何学当然讲的是空间,这
是毫无疑问的.如果我面对这间房间里的听众,我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多,接收到大量的信息,当然这不是一件偶然的事件.我们大脑的构造与视觉有着极
其重要的关系.我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到,视觉占用了大脑皮层的百
分之八十或九十.在大脑中大约有十七个中枢,每一个中枢专门用来负责视觉活动的不
同部分:有些部分涉及的是垂直方向的,有些部分与水平方向有关,有些部分是关于色
彩和透视的,最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说.理解并感知我们所看
到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分.因此空间直觉(spatial
intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具,也是几何学
在数学上占有如此重要位置的原因,它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用
,甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用.我们努力将它们归结为几何形式,
因为这样可以让我们使用我们的直觉.我们的直觉是我们最有力的武器.特别是在向学
生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚.当你讲解一个很长而且很有难度的论证,
最后使学生明白了.学生这时会说些什么呢?他会说"我看到了(我懂了)!"在这里看
见与理解是同义词,而且我们还可以用"知觉"这个词来同时形容它们,至少这在英语里
是对的,把这个现象与其他语言作对比同样有趣.我认为有一点是很基本的:人类通过
这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息,从而得以发展,而教学参与其中并
使之完善.
在另一方面(也许有些人不这样认为),代数本质上涉及的是时间.无论现在做的是哪
一类代数,都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来,这里"一个接着一个"的意思是
我们必须有时间的概念.在一个静态的宇宙中,我们无法想象代数,但几何的本质是静
态的:我可以坐在这里观察,没有什么变化,但我仍可以继续观察.然而,代数与时间
有关,这是因为我们有一连串的运算,这里当我谈到"代数"时,我并不单单指现代代数
.任何算法,任何计算过程,都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展
使这一切看得很清楚.现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案.
代数涉及的是时间的操作,而几何涉及的是空间.它们是世界互相垂直的两个方面,并
且它们代表数学中两种不同的观念.因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情.
当然只是为了论证是哪一边输了,哪一边胜利了,这并不值得.当我考虑这个问题时,
有一个形象的类比:"你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家?"这个问题就象问:
"你愿意是聋子还是瞎子?"一样.如果人的眼睛盲了,就看不见空间;如果人的耳朵聋
了,就无法听见,听觉是发生在时间之中的,总的来说,我们还是宁愿二者都要.
在物理学,也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分.物理学
有两个部分:理论--概念,想法,单词,定律--和实验仪器.我认为概念在某种广义的
意义下是几何的,这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物.另一方面,实验更象
一个代数计算.人们做事情总要花时间,测定一些数,将它们代入到公式中去.但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分.
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就是
所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以得
到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问题
.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现在
可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔鬼
,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当我
们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考
其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式,
把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东西
,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数的
这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都是
非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是我
所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点.
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生,并且代数和几何之间的
区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华.例如,代数学家们经常使用图式(diagram
).而除了几何直觉,图式又能是什么呢?
【在 g***y 的大作中提到】
: 版上有做数学的嘛?能做个比较嘛?
: 是不是一个更抽象一个更具体?一个更理性一个更主观?
: 如果用最多三句话概括一下,怎么理解?谢谢
w*6
39 楼
不是数学家就别去想这问题了。 任何代数都可以转换成空间曲线(面,多维面),同
样任何几何形状都可以转换成代数等式/不等式的组合。 前者在理论物理,比如超玄理
论得到巨大应用,后者,比如德国的一家公司(忘记名字了)制作三维动画就是用这个
的,而且更重要地可以应用到产品设计;貌似世界上就这一家是完全用数学(代数)来
做的
样任何几何形状都可以转换成代数等式/不等式的组合。 前者在理论物理,比如超玄理
论得到巨大应用,后者,比如德国的一家公司(忘记名字了)制作三维动画就是用这个
的,而且更重要地可以应用到产品设计;貌似世界上就这一家是完全用数学(代数)来
做的
g*y
43 楼
谢人品啊,copy下来慢慢看~~
这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思
考其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式
,把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东
西,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数
的这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都
是非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是
我所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点. ”
节选全文:
“五、几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题,现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象,它来回
摇摆却始终伴随着我们,这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明.我指的是
几何和代数之间的二分法,几何和代数是数学的两个形式支柱,并且都有悠久的历史.
几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期;代数学则源于古阿拉伯人和古印度人.所以
,它们都已经成为数学的基础,但它们之间有一种令人感到不太自然的关系.
让我首先由这个问题的历史开始.Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子,直到
Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前,它一直是纯几何的.
Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试.从代数学家们的角度来讲,
这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击,如果我们来比较Newton和
Leibniz在分析方面的工作,我们会发现他们属于不同的传统,Newton基本上是一个几
何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家,这其中有着很深刻的道理.对于Newton而言
,几何学,或者是由他发展起来的微积分学,都是用来描述自然规律的数学尝试.他关
心的是在很广泛意义下的物理,以及几何世界中的物理.在他看来,如果有人想了解事
物,他就得用物理世界的观点来思考它,用几何图象的观点来看待它.当他发展微积分
的时候,他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式
.所以他用的是几何论证,因为这样可以与实际意义保持密切关系,另一方面,
Leibniz有一个目标,一个雄心勃勃的目标,那就是形式化整个数学,将之变成一个庞
大的代数机器.这与Newton的途径截然不同,并且二者有很多不同的记号.正如我们所
知道的,在Newton和Leibniz之间的这场大争论中,Leibniz的记号最后得胜.我们现在
还沿用他的记号来写偏导数.Newton的精神尚在,但被人们埋葬了很长时间.
在十九世纪末期,也就是一百年前,Poincaré和Hilbert是两个主要人物.我在前面已
经提到过他们了,并且可以粗略地讲,他们分别是Newton和Leibniz的传人.Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神,他用这些思想作为他的基本洞察工具.Hilbert更
多的是一个形式主义者,他要的是公理化,形式化,并且要给出严格的,形式的描述.
虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去,但是,很清楚地,他们属
于不同的传统.
当准备这个报告的时候,我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代
表性的人的名字.谈论还健在的人是十分困难的--谁该放在这张名单上呢?接着我又暗
自思忖:有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢?于是我选择了两个名字
Arnold Bourbaki,前者是Poincaré-Newton传统的继承人,而后者,我认为,是
Hilbert最著名的接班人.Arnold毫不含糊地认为:他的力学和物理的观点基本上是几
何的,是源自于Newton的;以为存在处于二者之间的东西,除了象Riemann(他确实跟
两者都有偏离)等少数人之外,都是一种误解.Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的
研究,将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功.每一种观
点都有它的优点,但是它们之间很难调和.
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同.几何学当然讲的是空间,这
是毫无疑问的.如果我面对这间房间里的听众,我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多,接收到大量的信息,当然这不是一件偶然的事件.我们大脑的构造与视觉有着极
其重要的关系.我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到,视觉占用了大脑皮层的百
分之八十或九十.在大脑中大约有十七个中枢,每一个中枢专门用来负责视觉活动的不
同部分:有些部分涉及的是垂直方向的,有些部分与水平方向有关,有些部分是关于色
彩和透视的,最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说.理解并感知我们所看
到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分.因此空间直觉(spatial
intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具,也是几何学
在数学上占有如此重要位置的原因,它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用
,甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用.我们努力将它们归结为几何形式,
因为这样可以让我们使用我们的直觉.我们的直觉是我们最有力的武器.特别是在向学
生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚.当你讲解一个很长而且很有难度的论证,
最后使学生明白了.学生这时会说些什么呢?他会说"我看到了(我懂了)!"在这里看
见与理解是同义词,而且我们还可以用"知觉"这个词来同时形容它们,至少这在英语里
是对的,把这个现象与其他语言作对比同样有趣.我认为有一点是很基本的:人类通过
这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息,从而得以发展,而教学参与其中并
使之完善.
在另一方面(也许有些人不这样认为),代数本质上涉及的是时间.无论现在做的是哪
一类代数,都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来,这里"一个接着一个"的意思是
我们必须有时间的概念.在一个静态的宇宙中,我们无法想象代数,但几何的本质是静
态的:我可以坐在这里观察,没有什么变化,但我仍可以继续观察.然而,代数与时间
有关,这是因为我们有一连串的运算,这里当我谈到"代数"时,我并不单单指现代代数
.任何算法,任何计算过程,都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展
使这一切看得很清楚.现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案.
代数涉及的是时间的操作,而几何涉及的是空间.它们是世界互相垂直的两个方面,并
且它们代表数学中两种不同的观念.因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情.
当然只是为了论证是哪一边输了,哪一边胜利了,这并不值得.当我考虑这个问题时,
有一个形象的类比:"你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家?"这个问题就象问:
"你愿意是聋子还是瞎子?"一样.如果人的眼睛盲了,就看不见空间;如果人的耳朵聋
了,就无法听见,听觉是发生在时间之中的,总的来说,我们还是宁愿二者都要.
在物理学,也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分.物理学
有两个部分:理论--概念,想法,单词,定律--和实验仪器.我认为概念在某种广义的
意义下是几何的,这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物.另一方面,实验更象
一个代数计算.人们做事情总要花时间,测定一些数,将它们代入到公式中去.但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分.
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就是
所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以得
到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问题
.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现在
可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔鬼
,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当我
们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考
其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式,
把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东西
,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数的
这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都是
非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是我
所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点.
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生,并且代数和几何之间的
区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华.例如,代数学家们经常使用图式(diagram
).而除了几何直觉,图式又能是什么呢?
【在 j**p 的大作中提到】
: 这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
: 应该是很好的解答了这个问题。
: 如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
: “将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
: 是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
: 得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
: 提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
: 题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
: 在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
: 鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
应该是很好的解答了这个问题。
如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
“将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思
考其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式
,把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东
西,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数
的这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都
是非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是
我所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点. ”
节选全文:
“五、几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题,现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象,它来回
摇摆却始终伴随着我们,这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明.我指的是
几何和代数之间的二分法,几何和代数是数学的两个形式支柱,并且都有悠久的历史.
几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期;代数学则源于古阿拉伯人和古印度人.所以
,它们都已经成为数学的基础,但它们之间有一种令人感到不太自然的关系.
让我首先由这个问题的历史开始.Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子,直到
Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前,它一直是纯几何的.
Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试.从代数学家们的角度来讲,
这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击,如果我们来比较Newton和
Leibniz在分析方面的工作,我们会发现他们属于不同的传统,Newton基本上是一个几
何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家,这其中有着很深刻的道理.对于Newton而言
,几何学,或者是由他发展起来的微积分学,都是用来描述自然规律的数学尝试.他关
心的是在很广泛意义下的物理,以及几何世界中的物理.在他看来,如果有人想了解事
物,他就得用物理世界的观点来思考它,用几何图象的观点来看待它.当他发展微积分
的时候,他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式
.所以他用的是几何论证,因为这样可以与实际意义保持密切关系,另一方面,
Leibniz有一个目标,一个雄心勃勃的目标,那就是形式化整个数学,将之变成一个庞
大的代数机器.这与Newton的途径截然不同,并且二者有很多不同的记号.正如我们所
知道的,在Newton和Leibniz之间的这场大争论中,Leibniz的记号最后得胜.我们现在
还沿用他的记号来写偏导数.Newton的精神尚在,但被人们埋葬了很长时间.
在十九世纪末期,也就是一百年前,Poincaré和Hilbert是两个主要人物.我在前面已
经提到过他们了,并且可以粗略地讲,他们分别是Newton和Leibniz的传人.Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神,他用这些思想作为他的基本洞察工具.Hilbert更
多的是一个形式主义者,他要的是公理化,形式化,并且要给出严格的,形式的描述.
虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去,但是,很清楚地,他们属
于不同的传统.
当准备这个报告的时候,我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代
表性的人的名字.谈论还健在的人是十分困难的--谁该放在这张名单上呢?接着我又暗
自思忖:有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢?于是我选择了两个名字
Arnold Bourbaki,前者是Poincaré-Newton传统的继承人,而后者,我认为,是
Hilbert最著名的接班人.Arnold毫不含糊地认为:他的力学和物理的观点基本上是几
何的,是源自于Newton的;以为存在处于二者之间的东西,除了象Riemann(他确实跟
两者都有偏离)等少数人之外,都是一种误解.Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的
研究,将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功.每一种观
点都有它的优点,但是它们之间很难调和.
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同.几何学当然讲的是空间,这
是毫无疑问的.如果我面对这间房间里的听众,我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多,接收到大量的信息,当然这不是一件偶然的事件.我们大脑的构造与视觉有着极
其重要的关系.我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到,视觉占用了大脑皮层的百
分之八十或九十.在大脑中大约有十七个中枢,每一个中枢专门用来负责视觉活动的不
同部分:有些部分涉及的是垂直方向的,有些部分与水平方向有关,有些部分是关于色
彩和透视的,最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说.理解并感知我们所看
到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分.因此空间直觉(spatial
intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具,也是几何学
在数学上占有如此重要位置的原因,它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用
,甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用.我们努力将它们归结为几何形式,
因为这样可以让我们使用我们的直觉.我们的直觉是我们最有力的武器.特别是在向学
生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚.当你讲解一个很长而且很有难度的论证,
最后使学生明白了.学生这时会说些什么呢?他会说"我看到了(我懂了)!"在这里看
见与理解是同义词,而且我们还可以用"知觉"这个词来同时形容它们,至少这在英语里
是对的,把这个现象与其他语言作对比同样有趣.我认为有一点是很基本的:人类通过
这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息,从而得以发展,而教学参与其中并
使之完善.
在另一方面(也许有些人不这样认为),代数本质上涉及的是时间.无论现在做的是哪
一类代数,都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来,这里"一个接着一个"的意思是
我们必须有时间的概念.在一个静态的宇宙中,我们无法想象代数,但几何的本质是静
态的:我可以坐在这里观察,没有什么变化,但我仍可以继续观察.然而,代数与时间
有关,这是因为我们有一连串的运算,这里当我谈到"代数"时,我并不单单指现代代数
.任何算法,任何计算过程,都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展
使这一切看得很清楚.现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案.
代数涉及的是时间的操作,而几何涉及的是空间.它们是世界互相垂直的两个方面,并
且它们代表数学中两种不同的观念.因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情.
当然只是为了论证是哪一边输了,哪一边胜利了,这并不值得.当我考虑这个问题时,
有一个形象的类比:"你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家?"这个问题就象问:
"你愿意是聋子还是瞎子?"一样.如果人的眼睛盲了,就看不见空间;如果人的耳朵聋
了,就无法听见,听觉是发生在时间之中的,总的来说,我们还是宁愿二者都要.
在物理学,也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分.物理学
有两个部分:理论--概念,想法,单词,定律--和实验仪器.我认为概念在某种广义的
意义下是几何的,这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物.另一方面,实验更象
一个代数计算.人们做事情总要花时间,测定一些数,将它们代入到公式中去.但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分.
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就是
所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以得
到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问题
.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现在
可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔鬼
,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当我
们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考
其含义.
在这里我谈论代数学家的话重了一些,但是基本土,代数的目标总是想建立一个公式,
把它放到一个机器中去,转动一下把手就可以得到答案.也就是拿来一个有意义的东西
,把它化成一个公式,然后得到答案.在这样的一个过程中,人们不再需要思考代数的
这些不同阶段对应的几何是什么.就这样,洞察力丢掉了,而这在那些不同的阶段都是
非常重要的.我们绝不能放弃这些洞察力!最终我们还是要回到这上面来的,这就是我
所谈到的浮士德的奉献.我肯定这种讲法尖锐了一点.
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生,并且代数和几何之间的
区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华.例如,代数学家们经常使用图式(diagram
).而除了几何直觉,图式又能是什么呢?
【在 j**p 的大作中提到】
: 这段文字节选自《二十世纪的数学》by Michael Atiyah
: 应该是很好的解答了这个问题。
: 如果没有耐心看全文,这段节选就很精辟:
: “将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说,那就是对几何学家而言,代数就
: 是所谓的"浮士德的奉献".正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以
: 得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼
: 提供给数学家的供品.魔鬼会说:"我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问
: 题.你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器"(现
: 在可以把它想象成为一台计算机!).当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔
: 鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它.不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当
g*y
45 楼
赞啊,你是做数学的嘛?感觉说的非常清晰明确。至少对我很有帮助。谢谢
几何:研究度量和形状
代数:研究关系和结构
我的看法是几何更具体代数更抽象,几何可以说是我们日常
生活中碰到的各种物体的抽象,而代数则更进一步她把度量
和形状这些东西都抽象掉了,点与点之间没有了距离感而发
生了关系。
两者结合的现代数学学科代数几何。
【在 X******2 的大作中提到】
: 几何:研究度量和形状
: 代数:研究关系和结构
: 我的看法是几何更具体代数更抽象,几何可以说是我们日常
: 生活中碰到的各种物体的抽象,而代数则更进一步她把度量
: 和形状这些东西都抽象掉了,点与点之间没有了距离感而发
: 生了关系。
: 两者结合的现代数学学科代数几何。
几何:研究度量和形状
代数:研究关系和结构
我的看法是几何更具体代数更抽象,几何可以说是我们日常
生活中碰到的各种物体的抽象,而代数则更进一步她把度量
和形状这些东西都抽象掉了,点与点之间没有了距离感而发
生了关系。
两者结合的现代数学学科代数几何。
【在 X******2 的大作中提到】
: 几何:研究度量和形状
: 代数:研究关系和结构
: 我的看法是几何更具体代数更抽象,几何可以说是我们日常
: 生活中碰到的各种物体的抽象,而代数则更进一步她把度量
: 和形状这些东西都抽象掉了,点与点之间没有了距离感而发
: 生了关系。
: 两者结合的现代数学学科代数几何。
l*r
97 楼
这楼好有营养
我得找点土豆粉丝下饭去
我得找点土豆粉丝下饭去
b*s
116 楼
一两百一个,很不错的,例如下面这个:
http://www.neat.com/products/neatreceipts
【在 l*r 的大作中提到】
: 你receipt也都扫描吗?
: 我倒是考虑在弄这个,要不找起来太麻烦
: 不过扫描好像也挺费事的
: 看来得弄个专门的receipt scanner
:
: ……
http://www.neat.com/products/neatreceipts
【在 l*r 的大作中提到】
: 你receipt也都扫描吗?
: 我倒是考虑在弄这个,要不找起来太麻烦
: 不过扫描好像也挺费事的
: 看来得弄个专门的receipt scanner
:
: ……
l*r
118 楼
是,说的就是这种。。。LD说贵,没批准。。。
还有便携的,天天揣着见谁scan谁,哈哈
【在 b*s 的大作中提到】
: 一两百一个,很不错的,例如下面这个:
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还有便携的,天天揣着见谁scan谁,哈哈
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