l*3
2 楼
注: 关于 "无穷集", 其标准定义是 "不是有限集的集合". 什么是有限集? 再往下说就
扯远了, 就按通常的理解吧, 即 "集合内元素的个数有限".
扯远了, 就按通常的理解吧, 即 "集合内元素的个数有限".
l*3
3 楼
注2: 所谓 "元素个数有限" 的 "集合", 就是说存在一个自然数k, 使得该可以在该集
合和 {1,2,...,k}这个集合之间建立一一对应.
合和 {1,2,...,k}这个集合之间建立一一对应.
l*3
4 楼
注3: 什么叫自然数k? 不扯远了, 就默认我们承认通常意义下的那种自然数就是我们要
讨论的自然数, 并且我们讨论的范围仅限于自然数.
讨论的自然数, 并且我们讨论的范围仅限于自然数.
l*3
5 楼
好了我一时半会只能想出来这么多.
如果有人能很牛逼地 不用反证法证明 "素数有无穷多个", 那我佩服你.
如果有人能很牛逼地 不用反证法证明 "素数有无穷多个", 那我佩服你.
t*r
7 楼
欧几里德在中学数学里太猖狂了。可以考虑关门,然后放牛顿和莱布尼兹。。。
m*x
29 楼
此证明构造的是一个一一对应的映射关系
或者说,证明了素数集和自然数集是同态的。不知道我表述得对不对,学的东西基本都
忘了。
或者说,证明了素数集和自然数集是同态的。不知道我表述得对不对,学的东西基本都
忘了。
w*g
30 楼
很多, 比如素数定理证明就可以
x*a
42 楼
你让欧几里得情何以堪啊。
l*3
45 楼
呵呵.. 是这样的, 与 "自然数集" 等势, 并不是 "无穷集" 的概念.
请进一步证明: "自然数集是无穷集"
否则你的证明不全.
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明:我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2,我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义,我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数,于是我们建立了一个素数列,并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
请进一步证明: "自然数集是无穷集"
否则你的证明不全.
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明:我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2,我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义,我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数,于是我们建立了一个素数列,并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
l*3
51 楼
"有穷集合的子集是有穷子集" 是集合论中很基本的一个定理.
证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
就默认自然数集也无穷吧?
我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
是有道理的.
不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 有穷集的子集是无穷集。。。这个想法很牛叉啊。。。让我先去
: 翻翻多重宇宙论,或者 tmd 素数维度超弦理论,看看能不能证明。。。
:
: 集,
证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
就默认自然数集也无穷吧?
我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
是有道理的.
不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 有穷集的子集是无穷集。。。这个想法很牛叉啊。。。让我先去
: 翻翻多重宇宙论,或者 tmd 素数维度超弦理论,看看能不能证明。。。
:
: 集,
l*3
52 楼
我的要求实在是有点无理取闹.
首先我说 "无穷集" 的定义是 "不和任何有限集等势"
所以要想用定义来验证A是无穷极, 那就必须 "假设A和某个有限集B等势, 然后推出矛
盾"
从这个角度来说, 我干了一件非常没意思的事情.
首先我说 "无穷集" 的定义是 "不和任何有限集等势"
所以要想用定义来验证A是无穷极, 那就必须 "假设A和某个有限集B等势, 然后推出矛
盾"
从这个角度来说, 我干了一件非常没意思的事情.
t*r
53 楼
俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集,其实 ZFC 里面的把自然数集合
定义为无穷集。
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
按照 ZFC 的定义,其实计算机图论都是无穷集,一样是递归产生
的东西。
但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得(当然可能
是偏见),有穷无穷之对纯数学有意义,对信息学意义不大。因为信
息学本质上是在某种自动机上面跑,有多少内存时间,能跑多大程序。
信息学更关心 big O(),而不是有穷无穷。
不过也好,现在我知道计算机的图论/LR文法等等,ZFC 的观点都是
无穷集。。。不过对图论编程可能是 totally pointless 。。。
,
"
【在 l*3 的大作中提到】
: "有穷集合的子集是有穷子集" 是集合论中很基本的一个定理.
: 证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
: 而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
: 就默认自然数集也无穷吧?
: 我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
: 必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
: 是有道理的.
: 不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
定义为无穷集。
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
按照 ZFC 的定义,其实计算机图论都是无穷集,一样是递归产生
的东西。
但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得(当然可能
是偏见),有穷无穷之对纯数学有意义,对信息学意义不大。因为信
息学本质上是在某种自动机上面跑,有多少内存时间,能跑多大程序。
信息学更关心 big O(),而不是有穷无穷。
不过也好,现在我知道计算机的图论/LR文法等等,ZFC 的观点都是
无穷集。。。不过对图论编程可能是 totally pointless 。。。
,
"
【在 l*3 的大作中提到】
: "有穷集合的子集是有穷子集" 是集合论中很基本的一个定理.
: 证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
: 而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
: 就默认自然数集也无穷吧?
: 我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
: 必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
: 是有道理的.
: 不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
l*3
54 楼
哦, 你这个链接里说的是 "无穷公理", 不是 "无穷集合的定义", 不要搞混了.
你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集,其实 ZFC 里面的把自然数集合
: 定义为无穷集。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
: 按照 ZFC 的定义,其实计算机图论都是无穷集,一样是递归产生
: 的东西。
: 但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得(当然可能
: 是偏见),有穷无穷之对纯数学有意义,对信息学意义不大。因为信
: 息学本质上是在某种自动机上面跑,有多少内存时间,能跑多大程序。
: 信息学更关心 big O(),而不是有穷无穷。
: 不过也好,现在我知道计算机的图论/LR文法等等,ZFC 的观点都是
你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集,其实 ZFC 里面的把自然数集合
: 定义为无穷集。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
: 按照 ZFC 的定义,其实计算机图论都是无穷集,一样是递归产生
: 的东西。
: 但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得(当然可能
: 是偏见),有穷无穷之对纯数学有意义,对信息学意义不大。因为信
: 息学本质上是在某种自动机上面跑,有多少内存时间,能跑多大程序。
: 信息学更关心 big O(),而不是有穷无穷。
: 不过也好,现在我知道计算机的图论/LR文法等等,ZFC 的观点都是
m*x
59 楼
断言: 只从公理出发,不用反证法, 不可能证明 "素数集是一个无穷集"
m*x
60 楼
如果某人拿出自己的证明推翻以上结论,估计数学大拿都可以过来拜码头了。
l*3
66 楼
引用------
但是在zfc里,无穷是不需要定义的,他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
-----结束引用
不一定.
你看看这个集合符合无穷公理里面说的归纳集的性质吗?:
{0,2,4,6,8,...}
所有偶数放在一起组成的集合就不是归纳集, 但仍旧是无穷集.
所以无穷集当然是需要定义的. 无穷公理本身并不陈述无穷集的定义, 只是承认归纳集
存在的合法性.
归纳集都是无穷集, 无穷集不一定都是归纳集.
素数集同样也不是归纳集.
你这叫学过公理集合论? 学过也是一知半解... 还不如我这没学过的.
引用-----
还有,不用反例也可以定义无穷,比如dedekind的定义,不是一目了然吗?
-------结束引用
戴德金的定义确实可以直接验证出来, 但是戴德金的这个定义叙述并不简单, 而且即便
你把 "可以和自己的某个真子集等势的集合" 称为无穷集合, 那你首先也得说明 "有穷
集合不能和自己的任意一个真子集等势", 否则这个定义就和常理不符, 没有意义. 而
"有穷集合不能和自己的任意一个真子集等势" 这一点, 并不是 "显然" 的.
事实上, 我学的朴素集合论里就是通过证明以上命题 "有穷集合不能和自己的任意真子
集等势", 然后再根据 N 和 2*N等势才进一步推出N是无穷集的.
我仍然认为, 把 "非有穷" 的集合定义为 "无穷", 是最朴素最纯粹的定义方式. 不过
这个仁者见仁智者见智了, 你不认同也无所谓. 但是你那个关于 "无穷" 和 "无穷公理
" 间关系的看法, 充分暴露了你的公理化集合论学的也不咋地.
穷。
【在 s**e 的大作中提到】
: 无穷公理定义了自然数集的存在,没有它,zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
: 这里,定义无穷是没有必要的。自然数集存在了,并有它的一切性质,包括了所谓无穷。
: 你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷,无外乎在朴素集合论里,无穷
: 集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗?
: 但是在zfc里,无穷是不需要定义的,他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
: 还有,不用反例也可以定义无穷,比如dedekind的定义,不是一目了然吗?
但是在zfc里,无穷是不需要定义的,他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
-----结束引用
不一定.
你看看这个集合符合无穷公理里面说的归纳集的性质吗?:
{0,2,4,6,8,...}
所有偶数放在一起组成的集合就不是归纳集, 但仍旧是无穷集.
所以无穷集当然是需要定义的. 无穷公理本身并不陈述无穷集的定义, 只是承认归纳集
存在的合法性.
归纳集都是无穷集, 无穷集不一定都是归纳集.
素数集同样也不是归纳集.
你这叫学过公理集合论? 学过也是一知半解... 还不如我这没学过的.
引用-----
还有,不用反例也可以定义无穷,比如dedekind的定义,不是一目了然吗?
-------结束引用
戴德金的定义确实可以直接验证出来, 但是戴德金的这个定义叙述并不简单, 而且即便
你把 "可以和自己的某个真子集等势的集合" 称为无穷集合, 那你首先也得说明 "有穷
集合不能和自己的任意一个真子集等势", 否则这个定义就和常理不符, 没有意义. 而
"有穷集合不能和自己的任意一个真子集等势" 这一点, 并不是 "显然" 的.
事实上, 我学的朴素集合论里就是通过证明以上命题 "有穷集合不能和自己的任意真子
集等势", 然后再根据 N 和 2*N等势才进一步推出N是无穷集的.
我仍然认为, 把 "非有穷" 的集合定义为 "无穷", 是最朴素最纯粹的定义方式. 不过
这个仁者见仁智者见智了, 你不认同也无所谓. 但是你那个关于 "无穷" 和 "无穷公理
" 间关系的看法, 充分暴露了你的公理化集合论学的也不咋地.
穷。
【在 s**e 的大作中提到】
: 无穷公理定义了自然数集的存在,没有它,zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
: 这里,定义无穷是没有必要的。自然数集存在了,并有它的一切性质,包括了所谓无穷。
: 你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷,无外乎在朴素集合论里,无穷
: 集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗?
: 但是在zfc里,无穷是不需要定义的,他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
: 还有,不用反例也可以定义无穷,比如dedekind的定义,不是一目了然吗?
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