文科生说反证法# WaterWorld - 未名水世界
c*n
1 楼
文科生是我,有独立id作证。我之前说63是文科生,这里向文科生同学道歉。对
这个贴,我灌了不少,原因之一是当年我身边就有一位朋友从数学的无穷小概念走火如
魔,最终荒废的学业。反证法是他当年一段时间用的最多的方法,也是和他无数次讨论
,现在还剩了点的影子。我一直想写点有关他的故事,这就算一个小note, 帮助我回忆
吧。
举一个我们当初讨论过的,通过反证法证明平行公理(公设)
欧几里德的平行公理,一直是一个悬案。因为它看上去不像前四个公理那么直观,
欧几里德一直想证明它,以他对反证法的熟练(著名的几个都是他的例子),不可能没
想过,可惜两千年来,无数人试过了,包括数学史上最牛的几个,都无功而返。我那个
同学当年是这么证明的,具体过程已经想不起来的,他在两条平行线之间构造了一系列
具说能延伸到无穷的三角形。我说一个简化的版本:
假设:两条平行线在无穷远处存在一个交点c,交点c 必有不小于零交角存在。
则:在平行线任选一点做垂线,和两平行线相交于点a, b. 两垂足均为直角。
同时点a,b,c构成一三角形。 三角形三内角和>180度。
而由三角形性质,三内角和恒等于180度。矛盾。
故两平行线无交点。
这个证明的错误比63那个更能看明白一点,一个原因是大家都知道反证法证不出,
更愿意想想是那错了。
三角形性质,三内角和恒等于180度:这个性质的成立,必须是在假设不成立的前提
下。换句话说,在假设并未证实或正否的情况下,使用一个已经在确定假设成立或不成
立前提下的定义推导出的矛盾,是循环论证,并不能证实或证否原假设,说白了,就是
无用功。
63的那个证明 a假设成立 –推论出b结论,b结论和a假设矛盾,a假设不成立。63要
说,我还用了我的素数定义。 关键在这,推导使用了a假设成立。那循环在哪? 如果
推出矛盾a假设不成立,则在推导中无法到得结论b, 如果无结论b,则和a的矛盾也不存
在。
反证法证明的两种情况,第一个就是说这个。要推出a假设矛盾的结论,论证中需要
与a假设无关的(正确)定义,从它导出的矛盾才能否定a假设。欧的反证法,他选用了自
然数,素数,合数的性质,这些性质和素数有限的假设成立与否没有关系。他无法判别
N是什么数,但它一定是自然数,则或是素数,或是合数。结论无论素数合数,都和原
假设矛盾,故原假设错误。多说一点,正确在括号里,因为我们实际上只是发现了矛盾
,并根据我们的经验缺省认为自然数的性质是正确的,所以素数有限的假设错误。平行
公理的证明过程中,最后终于有人面对矛盾说,如果假设平行不成立导出的矛盾不是矛
盾,而是新的几何,非欧几何出现了。
我的那位朋友最后承认了自己的错误,可惜这成了他走火的进一步证据,当我们后
来费尽口舌想说明他的错误时,他很瞧不起的告诉我:我没有在你的数学体系下来证明
,所以不要用你的公理来否定我的。
到这63还是不会认为他不对,因为我们没有任何权力限制在推论中不使用他的假设
,确实如此,这里接着谈反证法的第二种情况。
63举了这么一个例子
“我还是给你举其他的例子吧, 你看看这两句话哪句是对的:
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮也已经不存在了"
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮仍继续存在"
我们能不能说这两句那句是对的呢?假设下面一个场景:地球科技已经很牛B了,
这时有一个和球政府不合的叛逃到天狼星,天狼星可以收留他,但他不能说假话。这人
说:地球上是这样的,太阳不在了,月亮也不在了”, 天狼星想了想,觉得没什么问题
,收下了。同时又来了一个人,对天狼星人说:地球上是这样的,太阳不在了,月亮还
在。天狼星想了想,也觉得没什么问题。可这时,有一个天狼星人发现,这两个地球人
不可能同时都说的是对的,肯定有一个是假话。
现在看到了,反证法中,如果使用前提假设推出一个结论a,这个结论无论对错,是
否和前提发生矛盾,都不能证明原假设正确或错误。就是前面说的循环论证,可是,如
果同样的假设,同样的推论,我们还能得到结论b, 但a和b确是两个相互矛盾的结论,
那我们可以说,根据反证法,前提假设是有问题的。 自相矛盾中那哥们,如果A城卖矛
,B城卖盾,永远不会被抓着,可惜他太贪,两个一起卖就卖出问题了。
反证法不是说有了矛盾证明就结束了,要看矛盾是怎么来的,也不是说结果正确过
程就对了。
还有,如果有两个素数的等价定义,那无论根据那个定义,它们能做出的证明都是完全
相等的,不是你换了个更牛的说法就能往前多走一步。不是说10进制换成了3进制, 1/
3就不是无限小数。63 说“说照你这么说的话, 所有命题其实都要用到最基本的那几条
公理. 你直接假设所有公理都是错的好了, 这样的话所有证明都是错的.” 其实就是这
样,平面几何里的所有证明,如果你有耐心,你完全可以从欧最开始的五个公理开始。
反证法我能说的就这么多了,当年我那位朋友,真的也是很聪明的。他花了几个晚
上用反证法证明了四色定理成立,然后拿着他的假设去了中科院数学研究所。里面有一
位接待了他,指出了他的错误,告诉他,这个方法一开始被认为是对的。第一个提出这
个证明过程的人,当时得到了很高的荣誉。这个错误成了他对自己智商的一种肯定。最
后越走越远,和我们这样的平常人终于没话说了。他是那样坚定的生活在自己的世界里
,他自己永远做着自己最喜欢的事。我没法羡慕他,可怜他或是为他惋惜,因为很多年
前,任何人对他的评价,已经是在他的体系外了。我写这些,是因为我一直想把他写下
来,等我的儿女大了,可以告诉他们一个当年父亲朋友的故事。
这个贴,我灌了不少,原因之一是当年我身边就有一位朋友从数学的无穷小概念走火如
魔,最终荒废的学业。反证法是他当年一段时间用的最多的方法,也是和他无数次讨论
,现在还剩了点的影子。我一直想写点有关他的故事,这就算一个小note, 帮助我回忆
吧。
举一个我们当初讨论过的,通过反证法证明平行公理(公设)
欧几里德的平行公理,一直是一个悬案。因为它看上去不像前四个公理那么直观,
欧几里德一直想证明它,以他对反证法的熟练(著名的几个都是他的例子),不可能没
想过,可惜两千年来,无数人试过了,包括数学史上最牛的几个,都无功而返。我那个
同学当年是这么证明的,具体过程已经想不起来的,他在两条平行线之间构造了一系列
具说能延伸到无穷的三角形。我说一个简化的版本:
假设:两条平行线在无穷远处存在一个交点c,交点c 必有不小于零交角存在。
则:在平行线任选一点做垂线,和两平行线相交于点a, b. 两垂足均为直角。
同时点a,b,c构成一三角形。 三角形三内角和>180度。
而由三角形性质,三内角和恒等于180度。矛盾。
故两平行线无交点。
这个证明的错误比63那个更能看明白一点,一个原因是大家都知道反证法证不出,
更愿意想想是那错了。
三角形性质,三内角和恒等于180度:这个性质的成立,必须是在假设不成立的前提
下。换句话说,在假设并未证实或正否的情况下,使用一个已经在确定假设成立或不成
立前提下的定义推导出的矛盾,是循环论证,并不能证实或证否原假设,说白了,就是
无用功。
63的那个证明 a假设成立 –推论出b结论,b结论和a假设矛盾,a假设不成立。63要
说,我还用了我的素数定义。 关键在这,推导使用了a假设成立。那循环在哪? 如果
推出矛盾a假设不成立,则在推导中无法到得结论b, 如果无结论b,则和a的矛盾也不存
在。
反证法证明的两种情况,第一个就是说这个。要推出a假设矛盾的结论,论证中需要
与a假设无关的(正确)定义,从它导出的矛盾才能否定a假设。欧的反证法,他选用了自
然数,素数,合数的性质,这些性质和素数有限的假设成立与否没有关系。他无法判别
N是什么数,但它一定是自然数,则或是素数,或是合数。结论无论素数合数,都和原
假设矛盾,故原假设错误。多说一点,正确在括号里,因为我们实际上只是发现了矛盾
,并根据我们的经验缺省认为自然数的性质是正确的,所以素数有限的假设错误。平行
公理的证明过程中,最后终于有人面对矛盾说,如果假设平行不成立导出的矛盾不是矛
盾,而是新的几何,非欧几何出现了。
我的那位朋友最后承认了自己的错误,可惜这成了他走火的进一步证据,当我们后
来费尽口舌想说明他的错误时,他很瞧不起的告诉我:我没有在你的数学体系下来证明
,所以不要用你的公理来否定我的。
到这63还是不会认为他不对,因为我们没有任何权力限制在推论中不使用他的假设
,确实如此,这里接着谈反证法的第二种情况。
63举了这么一个例子
“我还是给你举其他的例子吧, 你看看这两句话哪句是对的:
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮也已经不存在了"
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮仍继续存在"
我们能不能说这两句那句是对的呢?假设下面一个场景:地球科技已经很牛B了,
这时有一个和球政府不合的叛逃到天狼星,天狼星可以收留他,但他不能说假话。这人
说:地球上是这样的,太阳不在了,月亮也不在了”, 天狼星想了想,觉得没什么问题
,收下了。同时又来了一个人,对天狼星人说:地球上是这样的,太阳不在了,月亮还
在。天狼星想了想,也觉得没什么问题。可这时,有一个天狼星人发现,这两个地球人
不可能同时都说的是对的,肯定有一个是假话。
现在看到了,反证法中,如果使用前提假设推出一个结论a,这个结论无论对错,是
否和前提发生矛盾,都不能证明原假设正确或错误。就是前面说的循环论证,可是,如
果同样的假设,同样的推论,我们还能得到结论b, 但a和b确是两个相互矛盾的结论,
那我们可以说,根据反证法,前提假设是有问题的。 自相矛盾中那哥们,如果A城卖矛
,B城卖盾,永远不会被抓着,可惜他太贪,两个一起卖就卖出问题了。
反证法不是说有了矛盾证明就结束了,要看矛盾是怎么来的,也不是说结果正确过
程就对了。
还有,如果有两个素数的等价定义,那无论根据那个定义,它们能做出的证明都是完全
相等的,不是你换了个更牛的说法就能往前多走一步。不是说10进制换成了3进制, 1/
3就不是无限小数。63 说“说照你这么说的话, 所有命题其实都要用到最基本的那几条
公理. 你直接假设所有公理都是错的好了, 这样的话所有证明都是错的.” 其实就是这
样,平面几何里的所有证明,如果你有耐心,你完全可以从欧最开始的五个公理开始。
反证法我能说的就这么多了,当年我那位朋友,真的也是很聪明的。他花了几个晚
上用反证法证明了四色定理成立,然后拿着他的假设去了中科院数学研究所。里面有一
位接待了他,指出了他的错误,告诉他,这个方法一开始被认为是对的。第一个提出这
个证明过程的人,当时得到了很高的荣誉。这个错误成了他对自己智商的一种肯定。最
后越走越远,和我们这样的平常人终于没话说了。他是那样坚定的生活在自己的世界里
,他自己永远做着自己最喜欢的事。我没法羡慕他,可怜他或是为他惋惜,因为很多年
前,任何人对他的评价,已经是在他的体系外了。我写这些,是因为我一直想把他写下
来,等我的儿女大了,可以告诉他们一个当年父亲朋友的故事。