集合论的新悖论
李子 赵云丰
摘要 本文证明集合论存在新的悖论,再次证明数学存在第四次数学危机。
关健词 可列集 基数 数学归纳法
1.可列集
由百度百科“可列集“可得:如果一个集合与正整数集合之间存在一一对应,则这个集合称为可列集(或可数集);即存在一个从该集合到正整数集合的双射(也称可逆映射)。
自然数集、有理数、代数数集都是可列集。
2.可列集的重要性质
2.1任何可列集的无穷子集是可列集。
2.2任何无穷集都包含一个可列的真子集。
可列集还有其它重要性质,本文仅举证与论题有关的性质。
3.等势概念
定义:集合A与集合B等势(等基数),当且仅当,A与B之间存在双射(一一对应、可逆映射)。
由百度百科“可列集”可得:在整数集和偶数集之间,可以通过双射f(n)=2n,建立一一对应的关系,因此,整数集和偶数集是等势的,即基数相等。整数集元素的个数与偶数集元素的个数相等。
然而下文证明:正整数的个数大于正偶数的个数。
4.定理:正整数的个数大于正偶数的个数。
4.1数学归纳法
对于函数f(n),当n=1时,f(1)=P。
假设f(n)=P成立,证f(n十1)=P必然成立。
由此可得:f(x)=P,x∈自然数成立。
这是用有限成立推无限也成立的主要方法。
4.2 定理的证明
定理:正整数的个数大于正偶数的个数。
证明:在大于0的自然数集合内,正偶数的通项公式为2n,n∈大于0的自然数。
当n=1时,2n包含的正整数是1,2。正整数个数z=2。正偶数是2,偶数个数j=1,则z=2j。
当n=2时,z=4,j=2,z=2j。
n=3,z=6, j=3,z=2j。
n=4,z=2j,则z>j。
…。
根据数学归纳法,设f(n)时,z>j成立,证f(n十1)时,z>j必然成立。
因n=1时,z=2j,z>j成立。
由数学归纳法设f(n)时,z>j成立,证f(n十1)时,z>j必成立。
因f(n十1)=2(n十1)=2n十2
又因f(n)=2n时,2n中z>j成立,而在此基础上十2增加的2个数中,必然一个是奇数,另一个是偶数。
f(2n十1)包含的整数个数比f(2n)包含的整数个数z增加了2个,偶数个数j增加了1个。
因f(2n)的z>j。则f(2n十1)的整数个数z十2必大于其偶数的个数j十1。
因此,对于f(x)任意x,x∈大于0的自然数,f(x)包含的整数个数z与偶数个数j,z>j都成立。
上面证明了正整数个数与正偶数的个数关系为:
z>j。
本定理证毕。
5.结束语
在集合论中,正整数与正偶数基数相等,正整数个数z与正偶数的个数j关系为:
z=j。
而在本文第4小节定理中,正整数个数z与正偶数j的个数关系为:
z>j。
由此证明可得:集合论自相矛盾,存在新的悖论。
数学再一次出现危机,即第四次数学危机。
参考文献
1.百度百科“集合论“
2020年7月22日
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中华前沿科学研究会
2020年11月27日