重建数学大厦：构建微积分3.0版本

注解:微积分1.0版本是由牛顿，莱布尼兹所创建的微积分原始版本，称为古典微积分。十七世纪牛顿，莱布尼兹同期创建的微积分理论由于解决了大量的工程实际问题而得到广冷的应用，但由于逻辑基础不牢固，引出了无穷小悖论，由此导致了第二次数学危机。
二次危机之后，无数伟大的数学家们对微积分进行了升级改造，并以柯西，魏尔斯特拉斯为代表对极限定义进行了严谨的表述，最终集于大成，我将经升级改造过的微积分称为微积分2.0版本，这也就是沿用至今的现代微积分体系。
然尔，现代微积分2.0版本仍然存在着诸多的逻辑混乱之处，其典型的表现就在于:作为微积分核心理论的无穷小，它定义为是以0为极限的变量，向0无限地趋近，但是，它究竟能不能等于0呢?现代微积分2.0版本没有很好的处理这个问题，使得在实际应用中，无穷小有时当做恒大于0来处理，有时候当做等于0来处理(后文中将陆续有这种实例讲解)，导致逻辑上的混乱，而混乱的根源，在于对极限概念定义不明朗，解释不清楚，由此会产生许多的误解与误读，矛盾在所难免。
基于以上的原因，迫切需要对微积分2.0版本再次进行升级改造，升级后的3.0版本，将会对无穷小是0与非0之间划上一条十分清晰明了的界线，给出无穷小是0与非0的判定法则，从而在实际应用中不致于混淆误用而导致逻辑矛盾。
从古典微积分1.0版本到现代微积分2.0版本，都是以潜无穷思想为指导原则的，尽管在现代微积分2.0版本中，已经出现了实无穷思想的萌芽，但因为其核心的极限定义是纯粹潜无穷指导原则的，所以在实无穷的探索之路上裹步不前。而升级改造的微积分3.0版本将会打破这一常规，给出基于实无穷思想的极限定义，从而完成微积分由潜无穷思想向实无穷思想的过渡。
当然，前进的道路上总是坚艰曲折的，不仅有高山险阻，也有虎豹窥测，前方的道路注定坎坷不平，而我只能一步一个脚印，摸着石头过河。
这是一项无比浩大的工程，不可能在短时间内一蹴而就，所以我会持续更新，并随时检验，修正错误，敬请大家期待

微积分3.0版本(一):无穷小简史
17世纪牛顿和莱布尼兹各自独立创建微积分理论体系，然尔微积分自创建之初便伴随着逻辑矛盾，无穷小的阴影挥之不去，成为同时期数学家们的恶梦，由此造成的困挠长达百年之久。
提到微积分就不能不提无穷小，什么是无穷小呢?以求物体运动的瞬时速度为例，例如设一运动物体的位移函数为y=x^2，其中y为位移，x为时间，求当时间在x=3分钟时物体的瞬时速度，这个怎么求呢?牛顿设想，当时间为3分钟时，再过去那么一瞬间，记这一瞬间为Δx，则物体会产生一个微小的位移Δy，二者的比值即为时间在3分钟时的瞬时速度。
那么，这个一瞬间Δx究竟是多少呢?首先，它不能是0，如果是0，那么时间为0，位移也是0，这样是求不出瞬时速度的。其次，Δx一定要小，越小就越精确，越接近真实的瞬时速度值。
那么Δx究竟能小到什么程度呢?当时的牛顿及同时期的数学家们对此没有一个明确的概念，只是模糊的概念，即，极小极小，小得不能再小，当然，这并不是一个严谨精确的数学语言。
今天，我们可以通过严格的实数理论分析出牛顿等数学大师们头脑中的无穷小究竟是什么?我们给出一个实数区间［0，1］，这个无穷小一定就锁定在这个区间之中，而且，它不能等于0，则无穷小便在半开区间(0，1］之中，其次，无穷小要小于这个区间中任何一个指定的正数，假设无穷小是g，只要在(0，1］中有比g更小的实数，那么g就不是无穷小。
综上所述，实际上的这个无穷小就是指(0，1］之中大于0的最小正实数。
那么，这个“大于0的最小正实数”它存在吗?可以证明，这样的数是包含矛盾的，是不存在的，可以用反证法来证明:假设这个数存在，设它为g，则g/2同样是一个正实数，而且比g更小，因此g不是大于0的最小正实数。因此牛顿及同时代的数学大师们头脑中的无穷小根本就是一个子虚乌有，不存在的一个东西，用这样的一个虚假概念来论证数学，矛盾必不可免。
但牛顿显然没有意识到这个问题的严重性，依然用无穷小概念推导出许多重要的数学成果，甚至可以说，如果没有无穷小，许多极为重要的数学结论根本就推导不出来，离开了无穷小，数学寸步难行。
但矛盾积累到一定程度，终有爆发的时侯，英国大主教，哲学家贝克莱提出了贝克莱悖论，将这一矛盾彻底曝光于大庭广众之下。
贝克莱悖论是如何推导的呢?仍然是以求物体运动的瞬时速度为例:设物体的位移函数y=x^2，其中y为位移，x为时间，求物体在时间x=3时的瞬时速度，这个问题实际上就是求出x＝3时的导数，牛顿时代的古典微积分是这样求的:f'(3)=Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx。
到现在为止，所有的逻辑推演及计算过程并没有出现仼何的错误，但接下来让人意外的事情出现了:牛顿将Δx直接当做0给舍弃了，最后的结果为6。
为什么将Δx当成0给舍弃呢，牛顿的解释是，因为Δx极小极小，无穷之小，几乎可以忽略不计，所以舍弃它并不影响计算结果。
但这就出现了逻辑上的矛盾，如果等号右边的Δx是0，那么等号左边的Δx也是0，0怎么可以做除数呢?
如果等号左边的Δx不是0，那么等号右边的Δx也不能是0，那么就不能将它当成0舍弃。
这个矛盾在当时的数学界引起极大的震动，撼动了数学的根基，被称为是第二次数学危机。
之后的一百多年的时间里，数学家们为解决这个矛盾投入了巨大的时间和工作，直到柯西，魏尔斯特拉斯等人用ε－N语言及ε－δ语言严格定义了数列及函数极限，第二次数学危机才宣告彻底解决。
在严格定义的极限理论之下，无穷小被定义为是以0为极限的数列或函数，无穷小本身并不是一个实数，而是一个以0以极限的变量，在这个定义下，并不存在那种类似于“大于0的最小正实数”那样的实无穷小。
由此，牛顿时代所虚构出来的“实数无穷小”宣告彻底终结

微积分3.0版本(二):极限定义
升级改造的微积分3.0版本是以现代微积分2.0版本为基础而建的，原有的微积分理论体系已经非常完善了，哪怕是对这个体系中的纤亳之未稍做改动，也会对数学大厦产生巨大震动，所以本着如无必要，勿增实体的原则，除非是本人对原有体系中的定义，定理做出了全新的解释和改变，否则对于微积分中的所有重要概念仍然沿用原有的版本，不做任何改变。
微积分中的核心之重就是极限定义，大多数的定理及推论都是围绕极限定义做出的，因此，升级微积分的首要任务就是对极限概念做出清晰的定义。
但是，仍然本着“如无必要，勿增实体”的原则，由于原有的极限定义是经由无数伟大的数学家们长年累月，呕心沥血总结出来的数学瑰宝，其定义本身已经非常严谨，可靠，本人也无意对原有的极限定义做出大刀阔斧的改动，因此，升级改造之后的微积分3.0版本仍然沿用原有的极限定义，不做一字改动(后文中另会附有全新的极限定义)。
首先给出原有版本的函数极限定义:

以上是原有版本的(x→x0)形式的函数极限定义，在升级后的微积分3.0版本中依然沿用，由于数列极限是定义于整数的一种特殊的函数形式，所以此处略过不表。
虽然原有的函数极限定义在逻辑上已经极其严谨，但由此定义推论出来的许多推论，若仔细推敲，便会发现诸多令人费解之处，在此举例说明:
由函数极限定义，设0≤x≤1，则所有的x构成一个闭区间［0，1］，当x→1时的极限为1。
设0≤x＜1，则所有的x构成一个半开区间［0，1)，当x→1时函数极限定义它的极限也为1。这两个区间是不同的区间，而有相同的极限。
设质点A在闭区间［0，1］的0端，质点B在半开区间［0，1)的0端，两质点以相同的速度同步向1端移动，移动过程中，两质点会一一遍历区间中的所有点，当质点A移动到端点1时，那么，质点B在哪里?
由于两质点移动速度相同，保持同步，所以当质点A到达端点1时，质点B也会移动到1。
但问题是，开区间［0，1)中，1不存在啊，质点B怎么会到达1?如果B已经离开了［0，1)区间，那么，B与［0，1)区间的距离是多少?没错，距离为0，说明质点B仍然在［0，1)上，但它在［0，1)区间的哪一个点上?答:不在［0，1)区间的仼何一个点上。
这是一个悖论，用现代微积分2.0版本中的极限定义是完全解释不通的。
另外，原有极限定义是基于潜无穷思想而设立的，极限意指无限趋近而永远不能到达的意思，如果将此定义应用于芝诺的英雄追龟问题，则有英雄无限趋近于龟而永远无法追上龟的悖论，因此潜无穷思想与理论对于解决芝诺问题无能为力。
正因如此，有必要设立一个全新的极限定义来弥补原有极限定义中的不足。

微积分3.0版本(三):函值极限定义
由上一节中的介绍可知，由于受限于原有微积分2.0版本的极限定义，导致许多的逻辑矛盾无法得到合理解释，因此有必要设立一个全新的极限定义来弥补原有极限定义的不足，基于此，现给出一个全新概念函值极限的定义，该定义与原有的极限定义属平行，独立而又兼容互补的关系，也就是说与原有的极限定义没有冲突，二者彼此相容。
在给出函值极限定义之前，首先给出两个重要的概念，那就是函数定义域的最小值与最大值的定义。
设δ是一个正数，则开区间(a－δ，a＋δ)为点a的δ邻域，我们将a－δ记为b，a＋δ记为c，则开区间(b，c)为以a点为中心的a点邻域，(b，a)为a的左半邻域，(a，c)为a的右半邻域。
设f(x)为定义于(b，c)的函数，则分别考虑f(x)在a的左半邻域和右半邻域的定义域范围。
首先考虑函数f(x)在a的左半邻域(b，a)的定义范围，则有如下几种情况:
①:如果f(x)在b点有定义并且在a点也有定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为［b，a］，称b为该定义域的最小值，a为该定义域的最大值。
②:如果f(x)在b点无定义而在a点有定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为(b，a］，则f(x)在该定义域无最小值，a为该定义域的最大值。
③:如果f(x)在b点有定义而在a点无定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为［b，a)，则f(x)在该定义域里有最小值b，无最大值。
④:如果f(x)在b点无定义并且在a点也无定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为(b，a)，f(x)在该定义域里既无最大值，也无最小值。
以上列举了函数f(x)在a的左半邻域(b，a)的定义域内有无最大最小值的全部可能，f(x)在a的右半邻域(a，c)定义域内有无最大最小值的列举方法与此完全相同，在此略过不表。
在升级版的微积分3.0中，函数定义域的最大最小值是一个非常重要的概念，在分析一个函数时，首先要分析该函数定义域有无最大最小值，例如:
函数f(x)＝x/2，函数的定义域为［0，4］，求当x→0时的极限，由于函数在0和4皆有定义，则f(x)的定义域有最小值0，有最大值4。
又例如:函数f(x)＝4/x，定义域为［0，4］，求当x→0时的极限，由于函数在4处有定义而在0处无定义，所以f(x)的定义域有最大值4而无最小值。
给出了函数定义域最大最小值的定义后，接下来给出函数值域中最大值与最小值的定义，依然分四种情况来讨论:
①:如果f(x)的定义域为［b，a］，则f(b)为函数值域的最小值，f(a)为函数值域的最大值。
②:如果f(x)的定义域为(b，a］，则f(x)在值域中无最小值，有最大值f(a)。
③:如果f(x)的定义域为［b，a)，则f(x)在值域中有最小值f(b)，无最大值。
④:如果f(x)的定义域为(b，a)，则f(x)在值域中既无最大值也无最小值。
以上是列举了函数f(x)在a的左半邻域值域中有无最大最小值的全部可能。函数f(x)在a的右半邻域值域中有无最大最小值的列举方法与此完全相同，在此略过不表。
重点的，由于函数f(x)是着重于分析当x→a时的极限情况，因此f(x)在b点和c点有无最大最小值是无关紧要的，可以不予考察，关键是考察f(x)在x→a点时有无最大最小值。如果f(x)在x→a时有最大值f(a)(左邻域)或最小值f(a)(右邻域)存在，将f(a)记为Aº，则称Aº为函数f(x)的函数值极限，简称函值极限。
为了与原版本极限定义中的极限与本3.0版本中的函值极限相区别不致于混淆，称原版本中的极限为函数极限，记为J，而将新版本中的函值极限记为Jº。
原版本中的函数极限J与新版本中的函值极限Jº是两个彼此平行，独立，而又兼容互补的极限概念。函值极限是微积分3.0版本中的核心概念，将会贯穿始终。
在接下来的内容中，将会举例分别计算同一个函数的函数极限J与函值极限Jº分别是多少，并比较二者之区别，使两个不同的极限概念融合互补。

微积分3.0版本(四):函值极限例题讲解
在上一节中，针对现代微积分2.0版中极限定义无法解决一些逻辑矛盾的不足，设立了全新的概念函值极限的定义，那么，原版本中的函数极限J与新版本中的函值极限Jº究竟有何本质上的区别呢?
原版本中的函数极限J是一种存在性的证明，即给定一个函数，只要存在一个实数A，它满足极限的定义(ε－δ语言)，则A就是该函数的极限J。
而函值极限不同，它是在函数的值域范围内论证极限Jº是否存在，Jº必须符合函数定义，满足函数表达式，它是一种计算性的证明，而非存在性证明。
下面举几个简单的例题进行讲解。
例一:设f(x)＝x是定义于实数区间［0，1］的函数表达式，求x→1时，f(x)的函数极限J与函值极限Jº分别是多少?
例题比较简单，可以直接给出f(x)的函数极限J为:lim(x→1)x＝1。
计算其函值极限Jº:由于f(x)在定义域［0，1］的1点处有定义，所以f(x)存在最大值，为1，即Jº＝f(a)＝1。
在这里，f(x)的函数极限J与函值极限Jº相等，都为1。
例2:设f(x)＝x是定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求x→1时，f(x)的函数极限J与函值极限Jº分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→1)x＝1。在这里，［0，1)中并不存在1，但因为函数极限J是一种存在性的证明，尽管1在［0，1)中不存在，但1符合函数极限的定义，所以它仍为f(x)的极限。
计算其函值极限Jº，由于f(x)在定义域［0，1)中的1处无定义，所以f(x)在值域中无最大值，也就是f(x)的函值极限Jº不存在。
例3:设f(x)＝x/2是定义于实数区间［0，2］的函数表达式，求x→0时f(x)的函数极限J与函值极限Jº分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→0)x/2＝0。
计算f(x)的函值极限:由于f(x)在定义域［0，1］的0处有定义，所以f(x)在值域中有最小值，即Jº＝f(0)＝0。
在这里，f(x)的函数极限J与函值极限Jº相等。
例4:设f(x)＝6/(3－x)为定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求x→1时的函数极限J与函值极限Jº分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→1)6/(3－x)＝3。
计算f(x)的函值极限:由于f(x)在定义域［0，1)的1处无定义，所以f(x)在值域中不存在最大值，即Jº不存在。
以上的几个例子都是比较简单，一看即懂的，可以照例推广的复杂的函数上验证某一函数的函数极限J与函值极限Jº是否存在。
在接下来的内容里，将会给出微积分3.0版本中，极为重要的函值极限Jº与函数极限J相互融合渗透的极限判定法则，此法则极为重要。

微积分3.0版本(五):补正第(三)节中函值极限定义
在第(三)节中，给出了函值极限的定义，并且给出了定义域最大最小值与值域最大最小值的定义。但由于过度疏忽，犯了一个技术上的错误。
在第(三)节中的定义，只适用于单调增(减)函数，也就是定义域的最小值对应于值域的最小值，定义域的最大值对应于值域的最大值。此定义不能通用于所有的函数，因为对于反向型函数来说，定义域的最小值会对应于值域的最大值，而定义域的最大值会对应于值域的最小值。又例如对于常值函数而言，定义域有最大值和最小值，而值域中无最大最小值。
因此，在此后对于函值极限的分析，将不再刻意强调对定义域中最大最小值与值域中最大最小值的对应关系，而只是重点考察f(x)在邻域的中心a点处是否有定义。
在原版本的ε－δ语言的极限定义中，考察的是对去心邻域是否有定义，对于邻域的中心点(已去除)是否有定义不予考察。而新版本的函值极限定义与此恰恰相反，不仅要考察函数在a点邻域是否有定义，而且还要重点考察在邻域的中心点a点是否有定义，在这里，邻域的中心点a点被称为是极限点。
因此修正后的函值极限定义为:设f(x)是定义于以a点为中心的邻域(a－δ，a＋δ)的函数，当x→a时，考察f(x)在a点是否有定义，如果有定义，则f(a)存在，则称f(a)为函数f(x)的函值极限。

微积分3.0版本(六):函值极限存在性的判定法则
在3.0版本第(四)节中，给出了几个简单的例题，分别计算同一函数的函数极限J与函值极限Jº分别是多少。可以发现，对于同一个函数f(x)，当x→a时，会有三种情况存在:
①:f(x)当x→a时，它的函数极限J存在，并且函值极限Jº也存在，且有Jº＝J。
②:f(x)当x→a时，它的函数极限J存在，但它的函值极限Jº不存在。
③:f(x)当x→a时，它的函数极限J不存在，则它的函值极限Jº也不存在(没给出此类例题，可以自己去寻找此类例题验证)。
因此会有如下定理:函数f(x)当x→a时①:如果它的函值极限Jº存在，则它的函数极限J必然存在，且有Jº＝J。②如果它的函值极限Jº不存在，则它的函数极限J必然不存在。③:如果它的函数极限J存在，则它的函值极限Jº有可能存在，有可能不存在。④:如果它的函数极限J不存在，则它的函值极限Jº必然不存在。
以上定理的证明略。
那么，如何判定一个函数f(x)当x→a时，它的函值极限Jº究竟存不存在呢?
第一个判定方法很简单，那就是考察f(x)当x→a时，f(x)在a点是否有定义，有定义则函值极限Jº存在，无定义则函值极限Jº不存在。
但是，上面的只是一个很表象的判定方法，没有深入到函值极限存在性的内核，其内在的逻辑原理决非如此简单。
因此要弄清函值极限存在性的内在逻辑原理，就要深入剖析一下“→”这个符号究竟代表什么数学含义?
→符号读做“趋向于”，代表向某一个固定的数值无限靠近。在原版本ε－δ语言的极限定义中，由于考察的是去心邻域，对于邻域的中心点(已去除)是否有定义不予考察，因此在此定义下，→代表的是无限趋近但永远不能到达的意思。
例如:f(x)＝1/x，(x→0)，x向0无限靠近，但不能等于0，如果x＝0，则函数在此点无意义，因此x→0在这里代表无限靠近0而永远不能等于0。
但是另外的一个例子:f(x)＝8/x，(x→2)，x向2无限趋近，但f(x)在2处有定义，所以x可以等于2，当x＝2时，f(x)的极限等于4。因此在这个例子里，x→2代表的是x无限趋近于2并最终等于2。
因此对于同一个符号→，其实是有两个不同的数学含义，一种是无限趋于并且永远不能等于(→∧≠)，另一种是无限趋于并且等于(→∧＝)。
因此在这里给出函值极限Jº存在性的判定法则:对于函数f(x)当x→a时，如果→代表的是(→∧≠)的含义，则f(x)当x→a时的函值极限Jº不存在，如果→代表的是(→∧＝)的含义，则f(x)当x→a时的函值极限Jº存在。
以上是判定函值极限是否存在的重要判定法则，在下一节中，将会给出两个重要的全新概念:实极限与虚极限的概念和定义。

微积分3.0版本(七):实极限与虚极限的定义
通过前面几节对函数极限J与函值极限Jº的描述说明，以及涵值极限存在性的判定法则，对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J(符合ε－δ定义的)存在，则会有两种不同的情况:
①:f(x)的函数极限J与函值极限Jº同时存在且相等。
②:f(x)的函数极限J存在，但函值极限Jº不存在。
针对以上两种情况，现给出两个全新的极限概念与定义，也就是实极限与虚极限的概念:
定义①:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J与函值极限Jº同时存在，且有Jº＝J，则称J为函数f(x)的实在极限，简称实极限。
定义②:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J存在而函值极限Jº不存在，则称J为函数f(x)的潜在极限，简称潜极限或虚极限。在本系统中简称为虚极限。
实极限与虚极限是针对函数极限J(ε－δ语言定义的)而言的，而不是针对函值极限Jº而言的。
那么设立这两个新概念的目的和意义是什么?二者之间又有何区别呢?下面举例进行说明:
(1):设f(x1)＝x是定义于实数区间［0，1］的函数表达式，求f(x1)当x→1时的函数极限J是多少?可知它的函数极限J为1。
(2):设f(x2)＝x是定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求f(x2)当x→1时的函数极限J是多少?可知它的函数极限J也为1。
这是两个不同的函数，而有相同的函数极限，但二者的数学含义却是不相同的，f(x1)表示的是:f(x1)无限地趋近于1，并且f(1)＝1，因此称1为f(x1)的实极限。
f(x2)表示的是:f(x2)无限地趋近于1，但恒有f(x2)＜1而不等于1(因为1不存在)，因此称1为f(x2)的虚极限。
二者的另一个本质区别是:极限1存在于f(x1)的值域之中(Jº＝J)，而极限1不存在于f(x2)的值域之中(Jº不存在)。
从这里可以看出来:f(x1)是基于实无穷思想的函数形式，意指无限趋近并最终到达(此思想对于解决芝诺问题至关重要)，而f(x2)是基于潜无穷思想的函数形式，意指无限趋近但永远也不能到达(此思想对于解决芝诺问题无能为力)。
因此，基于实无穷思想的函数极限称为实极限，基于潜无穷思想的函数极限称为虚极限。
实际上，在微积分300余年的发展历史中，向来都是潜无穷形式的函数极限与实无穷形式的函数极限并行发展的，但由于古典微积分与现代微积分纯粹是以潜无穷思想为指导原则的，因此并没有将这两种不同形式的函数严格区分开来，由此可能造成的后果就是:潜无穷思想与实无穷思想混合运用，左右摇摆，首鼠两端，易引起逻辑混乱。
基于此原因，这便是在新版本微积分中，引入实极限与虚极限的必要原因，以便于严格区分这两种不同形式函数极限在计算过程中的细微差异之处。

微积分3.0版本(八):再次修正函值极限定义。
在本版本中第(三)节的介绍中，初步给出了函值极限的定义，后经验证发现定义中存在较大漏洞，随即在第(五)节中进行了修正，但修正过后的函值极限定义经众位老师的指点，发现仍然不完善，仍然存在较大漏洞，因此在本节中对函值极限定义重新进行修正，修正后的函值极限定义如下:
函值极限定义:设函数f(x)在点xο的某个邻域中有定义，考察f(x)在xо处是否有定义，如果有定义，则存在f(xο)＝Aº，使得如果Aº满足:对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，对于满足0＜|x－xο|＜δ的一切x，都有|f(x)－Aº|＜ε，则称Aº为函数f(x)当x→xο时的极限，由于Aº存在于f(x)的值域之中，因此称Aº为f(x)当x→xο时的函数值极限，简称函值极限。
新版的函值极限定义与原版本中的极限定义极其相近，所不同的区别在于，原版的极限定义考察的是函数在点xο的去心邻域是否有定义，对于邻域的中心点xο(已去除)是否有定义不予考虑。而新版本的函值极限定义不仅要考察函数在点xο的邻域中是否有定义，更要着重考虑函数在邻域的中心点xο处是否有定义，如果有定义，则f(xο)存在，并且如果f(xο)满足ε－δ语言定义，则函值极限f(xο)存在，如果f(xο)不满足ε－δ语言定义，则函极极限不存在。
由于函值极限定义及新建立起来的一些定义非常重要，所以在后续写作过程中，会随时验证，发现漏洞及错误随时修正，感谢各位老师的及时指正，在此表示致谢。

微积分3.0版本(九):实极限与虚极限的判定法则
在第(八)节中，修正了函值极限的定义，在此处重贴一下:
函值极限定义:设函数f(x)在点xο的某个邻域中有定义，考察f(x)在xо处是否有定义，如果有定义，则存在f(xο)＝Aº，使得如果Aº满足:对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，对于满足0＜|x－xο|＜δ的一切x，都有|f(x)－Aº|＜ε，则称Aº为函数f(x)当x→xο时的极限，由于Aº存在于f(x)的值域之中，因此称Aº为f(x)当x→xο时的函数值极限，简称函值极限。
在第(七)节中，给出了实极限与虚极限的定义，在此重贴一下:
定义①:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J与函值极限Jº同时存在，且有Jº＝J，则称J为函数f(x)的实在极限，简称实极限。
定义②:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J存在而函值极限Jº不存在，则称J为函数f(x)的潜在极限，简称潜极限或虚极限。在本系统中简称为虚极限。
对于实极限与虚极限，也给出了两个简单的例子:1为［0，1］区间中x→1的实极限。1为［0，1)区间中x→1的虚极限。
实极限意指函数值无限趋近于极限值并且二者相等，而虚极限意指函数值无限趋近于极限值而永远不能等于极限值。
这是潜无穷与实无穷之间界线分明的分水岭。
那么，对于某一个函数f(x)，如何判定它的函数极限J究竟是实极限还是虚极限呢?下面给出几条判定法则:
①:对于函数f(x)，当x→a时，如果它的函数极限J与函值极限Jº同时存在且相等，则J为f(x)的实极限。如果J存在而Jº不存在，则J为f(x)的虚极限。
(实际上，上述所述为实极限与虚极限的定义，但为了体现对两种不同极限形式的重视，仍将它做为判定法则)
②:对于函数f(x)，当x→a时，如果它的函数极限J存在，判断J是在f(x)的值域之中还是在值域之外，如果在值域之中，则J是f(x)的实极限，如果在值域之外，则J是f(x)的虚极限。
③:对于函数f(x)，当x→a时，考察f(x)在a点是否有定义，如果无定义且J存在，则J为f(x)的虚极限。如果f(x)在a点有定义，并且J存在，则判断→符号的数学含义，如果→代表(→∧≠)的含义，则J为f(x)的虚极限。如果→代表(→∧＝)的含义，则J为f(x)的实极限。
以上三条判定则非常重要，以后在习题中做极限的四则混合运算时会经常运用得到。

微积分3.0版本(十):实极限与虚极限例题讲解
在前面，给出了实极限与虚极限的定义，并且给出了实极限与虚极限的判定法则，下面给出几个简单的例题进行讲解:
最典型的例子仍然是先前讲解过的两个例子:1是［0，1］中x→1的实极限，1也是［0，1)中x→1的虚极限。
例(3):设f(x)＝x^2是定义于［0，2］的函数表达式，求当x→0时的函数极限J是实极限还是虚极限?用判定法则①，首先该函数当x→0时的函数极限存在，为0，同时它的函值极限也存在，也为0，并且二者相等，所以0为该函数当x→0时的实极限。
例(4):设函数f(x)＝x/x，求x→0时的函数极限J是实极限还是虚极限?用判定法则③:由于x＝0对于函数无意义，所以这里的→符号代表的是(→∧≠)的含义，所以它的函数极限1是该函数的虚极限。
例(5):设当x≠4时，f(x)＝x，当x＝4时，f(x)＝0，求x→4时的函数极限J是实极限还是虚极限?这道题是要分别计算函数的左右极限的，这里虽然还没有讲到左极限和右极限，但也可以提前告知答案，根据判定法则②，它的极限不在值域之中，所以它的函数极限J是虚极限。
例(6):函数f(x)＝1/x当x→∞时的函数极限J是实极限还是虚极限?这个问题有争议，因为本系统中尚未讲到无穷大的部分，所以此问题暂时搁置，待讲到无穷大的部分时才会有答案。
最后讲一个曾经引起小风波的取整函数的例子:设f(x)＝［x］是取整函数，求x→1时的左极限是实极限还是虚极限。
取整函数是一个分段函数，如果将1划归为右段，即左段定义域为［0，1)，则x→1时的左函数极限为0，但f(x)在1处无定义，所以它的左函值极限不存在，所以0是f(x)当x→1时的虚极限。
但如果将1划归为左段，即左段定义域为(0，1］，则f(x)当x→1时的左函数极限和左函值极限全都不存在。
因此，在取整函数的定义中，应该再补充上一条定义:整数划归为分段函数的右段。

微积分3.0版本(十一):无穷小判定法则
在前面，给出了函值极限的定义和判定法则，又给出了实极限与虚极限的定义和判定法则，下面专门针对微积分中的核心之重:无穷小给出判定法则。
根据定义，如果一个函数f(x)当x→xо(或x→∞)时的函数极限J等于0，则称函数f(x)为当x→xо(或x→∞)的无穷小。
特别的，以0为极限的数列｛xn｝称为n→∞的无穷小。
由于在前面定义了实极限和虚极限的概念，所以对于无穷小的函数极限0，同样也有实极限与虚极限之分。下面举例进行说明:
例1:因为lim(x→2)(x－2)＝0，所以函数(x－2)为当x→2的无穷小，下面判断0是该无穷小的实极限还是虚极限:首先根据函值极限的判定法则，可以判定出该函数存在函值极限0，Jº＝J＝0，再根据实极限与虚极限的判定法则，如果一函数有Jº＝J，则该函数极限J是实极限，所以0是函数(x－2)当(x→2)时的实极限。
例2:设函数f(x)＝x^2，当x→0时，其函数极限J为0，根据同样的方法可以判定出f(x)存在函值极限Jº＝0，则有Jº＝J＝0，所以0为该无穷小的实极限。
下面举两个0为无穷小虚极限的例子:
例3:f(x)＝x是定义于(0，1］区间的函数，当x→0时，f(x)的函数极限为0，考察0是f(x)的实极限还是虚极限?可知f(x)的函值极限不存在，所以0是该无穷小的虚极限。
例4:f(x)＝1/x当x→∞时的极限为0，这是习题中最会经常运用到的无穷小，那么，0是f(x)的实极限还是虚极限?由于f(x)的定义域为实数系，在实数范围内，必有1/x＞0，所以f(x)的函值极限不存在，所以在实数系内，0是该无穷小的虚极限。
综上所述，无穷小函数实际上可以分为两类，一类是0为无穷小的实极限，一类是0为无穷小的虚极限。
因此给出无穷小的判定法则:如果0是函数f(x)的实极限，则称f(x)为实无穷小。如果0是函数f(x)的虚极限，则称f(x)为虚无穷小。
实无穷小与虚无穷小的概念对于本系统来说至关重要，在习题中会经常运用到并将会贯穿始终。

微积分3.0版本(十二):实无穷小与虚无穷小的数学意义
在前文中将无穷小概念划分成了两种类型，一种是实无穷小，一种是虚无穷小，那么，这样划分的意义是什么?为什么一定要做这样的划分呢?
微积分本质上是以无穷小思想为核心创建的分析学科，然尔，无穷小概念从诞生之初便伴随着逻辑上的矛盾，虽然现代微积分已经严格定义了极限概念，然尔，对于无穷小究竟是0还是非0的疑惑和质疑一直都没有真正停止过，典型的例子就是0.999……究竟是不是等于1的问题，极多的人从直观上认为二者之间应该相差一个无穷小量从而不相等，而严格的实数理论认为二者之间相差为0，从而严格相等。
这种论争实质上是潜无穷与实无穷之间的论争。
在前文中列举了很多实极限的函数，这代表的是实无穷类型的函数，也列举了很多虚极限的函数，这代表的是潜无穷类型的函数。实际上，微积分自诞生之初便是潜无穷函数与实无穷函数并行发展的，只不过微积分历来是以潜无穷思想为总体指导原则的，所以长期以来并没有将这两种不同类型的函数严格区分开来。
现在的状况是:如果不将这两种不同类型的函数严格区分开来，就会在习题应中出现潜无穷思想与实无穷思想混合误用的问题，从而出现逻辑混乱。
以无穷小函数为例，实无穷小代表的是实无穷思想，而虚无穷小代表的是潜无穷思想。
虚无穷小的数学含义是:f(x)无限地趋近于0，而永远都不能等于0。即有f(x)恒大于0，这是绝对的非0。
而实无穷小的数学含义是:f(x)无限地趋近于0，并最终等于0，即有f(xо)＝0，即:实无穷小严格地等于0，而不是介于0与非0之间的模糊概念。
因此，实无穷小与虚无穷小的本质区别，严格划分出了无穷小在0与非0之间的界线，这条界线是显性的，可以严格判定的，是界线分明的，从而避免了在以后的习题应用中出现混合运用而发生逻辑混乱的状况。

微积分3.0版本(十三):无穷小逻辑运算法则
本升级版微积分3.0系统自2019年3月7日正式开笔奠基，几经斟酌，现正式将微积分3.0系统定名为《函值极限论》。
现给出函值极限论的一条简要发展脉络:首先参照现代微积分2.0版本中原有的极限定义，构建了全新概念函值极限的定义，再依据函值极限的定义给出了实极限与虚极限的定义，将原有系统中的函数划分为实无穷类函数和潜无穷类函数两大类，再根据实极限与虚极限的定义将无穷小函数划分为实无穷小和虚无穷小，严格划清了二者之间是0与非0的界线。
至此，本微积分3.0系统函值极限论已宣告正式与原版本微积分2.0系统分道扬镳，朝着各自不同的方向发展。
由于在开篇介绍中提到，如果在原有微积分系统中对无穷小是0与非0之间的界线分辩不清，就会发生混合误用的情况而引起逻辑混乱，因此本系统中严格划分出了实无穷小和虚无穷小，由此便需要重新给出无穷小的逻辑运算法则，这就涉及到实无穷小与虚无穷小的混合运算问题，此类问题在原微积分系统中无先例可循，唯有进行逻辑验证以判断其真伪，本着大胆假设，小心求证的原则，下面给出实无穷小与虚无穷小的混合运算法则:
①:加法则:
(1):实无穷小加实无穷小等于实无穷小，实无穷小严格等于0。
(2):实无穷小加虚无穷小等于虚无穷小，虚无穷小严格大于0。
(3):虚无穷小加虚无穷小等于虚无穷小，虚无穷小严格大于0。
②:减法则:
(1):实无小减实无穷小等于0。
(2):实无穷小减虚无穷小的绝对值大于0。
(3):虚无穷小减实无穷小大于0。
(4):虚无穷小减虚无穷小，若二者同阶，则等于0，若二者不同阶，其绝对值大于0。
③:乘法则:
(1):实无穷小乘以实无穷小等于0。
(2):实无穷小乘以仼何数皆严格等于0。
(3):虚无穷小乘以虚无穷小大于0。
(4):虚无穷小乘以任意实数，值不固定，但值域仍然在实数范围内。
④:商法则:
(1):实无穷小因为严格等于0，不能做除数，虚无穷小因为严格大于0，可以做为除数。
(2):实无穷小除以虚无穷小等于0。
(3):虚无穷小除以虚无穷小，若二者同阶，等于1，若分子为高阶无穷小而分母为低阶无穷小，二者相除等于虚无穷小，若分子为低阶无穷小而分母为高阶无穷小，二者相除等于正无穷，正无穷为二者相除的虚极限(此条待讲到无穷大时会进一步论证)
(4):非0实数除以虚无穷小，其绝对值为正实数，虚无穷小除以非0实数，其绝对值为正实数。
以上列出了实无穷小与虚无穷小的四则混合运算法则，未经过严格证明，有待于日后在习题应用中逐条进行逻辑验证。
无穷小的逻辑运算法则或有遗漏或错误之处，如果发现，会及时补充或进行修正。

函值极限论(十四):再次论证实无穷小与虚无穷小的逻辑运算法则:
由于本微积分3.0系统已经正式命名为《函值极限论》，所以此后的小节标题由“微积分3.0版本”改为“函值极限论”。
在函值极限论中，给出了一个关于无穷小的重要论断:虚无穷小无限趋近于0但永远大于0，即f(x)＞0，我们将它标记为0'，读做非0。而实无穷小无限趋近于0并且等于0，即f(x)≥0。
所以，虚无穷小严格大于0，而实无穷小严格等于0。
下面再次验证实无穷小与虚无穷小的四则逻辑运算法则:
①:加法则:
(1):实无穷小加实无穷小等于0
验证:实无穷小严格等于0，所以实无穷小加实无穷小＝0＋0＝0。
(2):实无穷小加虚无穷小大于0。
验证:实无穷小严格等于0，而虚无穷小严格大于0，所以实无穷小加虚无穷小＝0＋0'＝0'，0'大于0。
在这里，虚无穷小不是一个实数，是一个以0为虚极限的变量，它永远都不能等于0，所以在运算时，可以将它近似地看做是一个大于0的极小的正实数(实质上不是)，这样做是为了方便计算而采取的一个小技巧。
(3):虚无穷小加虚无穷小＝0'＋0'＝0'＞0。
②:减法则:
(1):实无穷小减实无穷小＝0－0＝0。
(2):实无穷小减虚无穷小的绝对值大于0，
验证:0－0'＝|0－0'|＝0'＞0。
在这里，0－0'为负值，无实际意义，所以使它的绝对值大于0。
(3):虚无穷小减实无穷小＝0'－0＞0。
(4):虚无穷小减虚无穷小，要做具体分析。
由于实无穷小严格等于0，所以实无穷小没有高阶和低阶之分，但虚无穷小则有高阶低阶之分。
若二者同阶，则二者相减或者等于0，或者大于0(要根据实际函数具体分析)，若二者不同阶，则二者相减不为0，高阶无穷小减低阶无穷小必然大于0，而低阶无穷小减高阶无穷小为负值，其绝对值大于0。(注:第十三小节中此条有错误，这里给予修正)
③乘法则:
(1):实无穷小乘以实无穷小＝0×0＝0。
(2):实无穷小乘以任何数皆为0，因为实无穷小严格等于0，而实数0乘以任何数皆等于0。
(3):虚无穷小乘以虚无穷小大于0，0'×0'，两个大于0的数(实质上不是实数)必然大于0，不能等于0。
(4):虚无穷小乘以仼意非0实数，这是一个不定式，值不固定，解此题的技巧是:将虚无穷小近似看是一个极小的正实数(实质不是)，实数乘以实数必然是一个实数(说明:其值不是一个固定的实数)。
④商法则:
(1):实无穷小因为严格等于0，它不能做除数，否则无意义。而虚无穷小因为严格大于0，可以做除数。
(2):实无穷小除以虚无穷小等于0，因为实无穷小严格等于0，而0做为分子时，无论分母是什么，其值都等于0。
(3):虚无穷小除以虚无穷小，这种类型需要具体问题具体分析(第十三小节中此条结论错误，同阶相除等于1的结论未必正确)，若分子为高阶无穷小而分母为低阶无穷小，二者相除等于虚无穷小，因为分子分母不为0，其值必然不是0，而是无限趋近于0。若分子为低阶无穷小而分母为高阶无穷小，其值也不为0，而是趋向于正无穷，但其值仍为正实数。
(4):非0实数除以虚无穷小，这种类型也要具体问题具体分析，由于分子分母皆不为0，所以其值必不为0，而是趋向于0或者是其绝对值趋向于正无穷。
以上为实无穷小与虚无穷小的混合逻辑运算法则，由于这种类型题目在原系统中无先例可循，所以运算法则或有遗漏或有错误，只能依靠逻辑验证，以进一步修正。

函值极限论(十五):无穷小逻辑运算典型例题分析
在这里，给出一个无穷小逻辑运算的典型例题进行分析，对于其它形式的例题，可以参照此例题的思路，触类旁通，进行逻辑推演。
例题:lim(x→0)(x^2)/x＝0。
讲解:函数f(x)＝x^2是函数f(x)＝x当二者同时趋于0的高阶无穷小，当x→0时，x^2趋向于0的速度比x趋向于0的速度快得多，所以二者比值的极限为0。
由前两节中实无穷小与虚无穷小的逻辑运算法则可知，分母f(x)不能是实无穷小，如果f(x)是实无穷小，则严格地等于0，造成分母为0的矛盾，所以f(x)只能为虚无穷小，相对应的，f(x^2)也为虚无穷小。
所以二者比值的极限0，它是一个虚极限。也即是f(x)＝(x^2)/x当x→0的函值极限Jº不存在。
在这里，lim(x→0)(x^2)/x＝0，会存在一个极大的误解，即认为它的结果就是实数0，而这个解读是错误的，因为0是该函数的虚极限，而虚极限的意思是无限地趋近于0而永远不能等于0的意思，所以它实际的结为为0'，即非0，大于0。
另外，在极限运算式中，如果x^2在分子的位置上，x在分母的位置上，二者不能直接相约，即(x^2)/x相约的结果为x，而x＞0，如果二者相约的结果等于0，则存在逻辑错误，此种错误在极限运算式中一定要避免，否则会引起逻辑混乱。

函值极限论(十六):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义:①:英国大主教贝克莱刁难牛顿的无穷小悖论，第二次数学危机的由来
在本系统开篇第一小节中，介绍了无穷小概念自诞生之初起便伴随着逻辑矛盾，并因为英国大主教贝克莱对牛顿的刁难而引发了第二次数学危机，这个事件与现代微积分中导数的矛盾定义直接相关，因此在这里重贴一下贝克莱的无穷小悖论以及第二次数学危机的由来:
17世纪牛顿和莱布尼兹各自独立创建微积分理论体系，然尔微积分自创建之初便伴随着逻辑矛盾，无穷小的阴影挥之不去，成为同时期数学家们的恶梦，由此造成的困挠长达百年之久。
提到微积分就不能不提无穷小，什么是无穷小呢?以求物体运动的瞬时速度为例，例如设一运动物体的位移函数为y=x^2，其中y为位移，x为时间，求当时间在x=3分钟时物体的瞬时速度，这个怎么求呢?牛顿设想，当时间为3分钟时，再过去那么一瞬间，记这一瞬间为Δx，则物体会产生一个微小的位移Δy，二者的比值即为时间在3分钟时的瞬时速度。
那么，这个一瞬间Δx究竟是多少呢?首先，它不能是0，如果是0，那么时间为0，位移也是0，这样是求不出瞬时速度的。其次，Δx一定要小，越小就越精确，越接近真实的瞬时速度值。
那么Δx究竟能小到什么程度呢?当时的牛顿及同时期的数学家们对此没有一个明确的概念，只是模糊的概念，即，极小极小，小得不能再小，当然，这并不是一个严谨精确的数学语言。
今天，我们可以通过严格的实数理论分析出牛顿等数学大师们头脑中的无穷小究竟是什么?我们给出一个实数区间［0，1］，这个无穷小一定就锁定在这个区间之中，而且，它不能等于0，则无穷小便在半开区间(0，1］之中，其次，无穷小要小于这个区间中任何一个指定的正数，假设无穷小是g，只要在(0，1］中有比g更小的实数，那么g就不是无穷小。
综上所述，实际上的这个无穷小就是指(0，1］之中大于0的最小正实数。
那么，这个“大于0的最小正实数”它存在吗?可以证明，这样的数是包含矛盾的，是不存在的，可以用反证法来证明:假设这个数存在，设它为g，则g/2同样是一个正实数，而且比g更小，因此g不是大于0的最小正实数。因此牛顿及同时代的数学大师们头脑中的无穷小根本就是一个子虚乌有，不存在的一个东西，用这样的一个虚假概念来论证数学，矛盾必不可免。
但牛顿显然没有意识到这个问题的严重性，依然用无穷小概念推导出许多重要的数学成果，甚至可以说，如果没有无穷小，许多极为重要的数学结论根本就推导不出来，离开了无穷小，数学寸步难行。
但矛盾积累到一定程度，终有爆发的时侯，英国大主教，哲学家贝克莱提出了贝克莱悖论，将这一矛盾彻底曝光于大庭广众之下。
贝克莱悖论是如何推导的呢?仍然是以求物体运动的瞬时速度为例:设物体的位移函数y=x^2，其中y为位移，x为时间，求物体在时间x=3时的瞬时速度，这个问题实际上就是求出x＝3时的导数，牛顿时代的古典微积分是这样求的:f'(3)=Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx。
到现在为止，所有的逻辑推演及计算过程并没有出现仼何的错误，但接下来让人意外的事情出现了:牛顿将Δx直接当做0给舍弃了，最后的结果为6。
为什么将Δx当成0给舍弃呢，牛顿的解释是，因为Δx极小极小，无穷之小，几乎可以忽略不计，所以舍弃它并不影响计算结果。
但这就出现了逻辑上的矛盾，如果等号右边的Δx是0，那么等号左边的Δx也是0，0怎么可以做除数呢?
如果等号左边的Δx不是0，那么等号右边的Δx也不能是0，那么就不能将它当成0舍弃。
这个矛盾在当时的数学界引起极大的震动，撼动了数学的根基，被称为是第二次数学危机。

函值极限论(十七):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义:②:现代微积分中对导数的矛盾定义
上节中提到，由于英国大主教贝克莱对牛顿的刁难，提出了无穷小悖论，从而引发了第二次数学危机。
在危机发生之后的一百多年的时间里，无数伟大的数学家们为解决这个矛盾投入了巨大的时间和工作，直到柯西，魏尔斯特拉斯等人用ε－N语言及ε－δ语言严格定义了数列及函数极限，第二次数学危机才宣告彻底解决。
在严格定义的极限理论之下，无穷小被定义为是以0为极限的数列或函数，无穷小本身并不是一个实数，而是一个以0以极限的变量，在这个定义下，并不存在那种类似于“大于0的最小正实数”那样的实无穷小。
相比较于牛顿时代的古典微积分而言，经严格化极限理论改造下的现代微积分也对导数进行了严格的定义，古典微积分对导数的定义为:f'(x)＝Δy/Δx，而现代微积分对导数的严格定义为:f'(x)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx。
但是，现代微积分真的解决第二次数学危机了吗?学界一般认为已经彻底解决了，但其实却并没有也不可能真正的解决，这是因为现代微积分中的导数定义同样包含着难以解决的逻辑矛盾。
仍然是用先前所述一模一样的例子来求物体在时间等于3分钟时的瞬时速度，应用现代微积分中导数的定义便是:f'(3)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx，对计算结果取极限，则最后的结果为6。列出简式便是:f'(3)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx＝lim(6＋Δx)＝6
到这里，我们会惊讶地发现，用现代微积分导数定义所做出来的结果，和用古典微积分导数定义所做出来的结果，居然是一模一样的。
那么，两者之间究竟有什么差别呢?现代微积分所做出的解释是:根据定义，lim(Δx→0)是对Δx取极限，Δx的极限为0，所以lim(6＋△x)＝6。
这样的解释听起来好象并没有什么问题，但若严格分析，就会发现大谬特谬:
首先，计算公式中对等号右边的Δx取极限为0，那么相应的，对等号左边的Δx是不是也要相应的取极限为0呢?如果对等号左边的Δx也取极限为0，则等号左边的分母为0，无意义。
显然，在计算过程中，是不能对等号左边的Δx取极限为0的，否则就是无意义。但是，只对等号右边的Δx取极限而不对左边的Δx取极限，这样的操作是合法的吗?这与牛顿对无穷小的错误处理方法岂不是换汤不换药?
再进一步的分析:如果不对等号左边的Δx取极限，即它不是0，那么，它究竟是什么?Δx如果不是0，那它就是一个极小极小的量，它是实数吗?如果是实数，那它就是“大于0的最小正实数”，也就是牛顿时代数学大师们头脑中的那个包含矛盾，子虚乌有的实无穷小，数学发展了一大圈，居然又回归到了起点。
如果Δx不是0，也不是牛顿时代所谓的实数无穷小，那么，它是一个无限趋近于0的变量吗?如果它是一个无限趋近于0而永远不等于0的变量，既然等号左边的Δx永远不等于0，那么相应的，等号右边的Δx也一样不能为0。
总之，无论怎么解释，上面的矛盾都是解释不通的，这也只能说明现代微积分对导数的定义是包含矛盾的，同样也说明，现代数学并没有真正的解决第二次数学危机。
最后附图牛顿古典微积分求导与现代微积分求导过程中的逻辑对比图。

函值极限论(十八):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义③:用实无穷小与虚无穷小正确计算导数
前两个分节中介绍了贝克莱的无穷小悖论，第二次数学危机的由来，历史上的数学家们为解决第二次数学危机所做出的努力，以及现代微积分2.0系统终究还是没能逃脱无穷小的魔咒，在处理导数的关键问题上陷入自相矛盾的困境。
从前一节中的介绍可知，现代微积分与古典微积分在处理导数问题上，只是表面书写形式略有差异，而深究其内在逻辑原理，二者所犯的错误居然是一模一样的，全都是将无穷小有时按大于0处理，有时按等于0来处理，引起逻辑混乱。
而本微积分3.0系统函值极限论在开篇时便提到，如果对无穷小是0与非0之间的界线分辩不清，就会造成混合误用，从而导致逻辑矛盾。
下面用实无穷小与虚无穷小的概念正确处理导数的计算问题:
求物体在3分钟时的瞬时速度，用现代微积分的导数定义，计算公式为:lim(△x→0)△y/△x，其中△y＝(3＋△x)^2－3^2，将△y展开，为3^2＋6△x＋△x^2－3^2，3^2与－3^2抵消，则△y＝6△x＋△x^2。
即lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)(6△x＋△x^2)/△x。
我们分析一下分母△x，首先，△x无限趋近于0即它的极限为0，所以△x是无穷小，根据前文中关于无穷小的逻辑运算法则:实无穷小因为严格等于0不能做为分母，所以△x为恒大于0的虚无穷小。
第二个在计算过程中特别要注意的问题是:(6△x＋△x^2)/△x，分子与分母相约的结果是6＋△x而不是直接等于6。
在本系统第(十五)节中，给出了一个无穷小逻辑运算的典型案例，即高阶无穷小f(x^2)与低阶无穷小f(x)相约的结果是x而不是直接等于0，否则是犯了逻辑错误。
由以上对瞬时速度的逻辑运算整理可得:lim(△x→0)△y/△x＝lim(6＋△x)＝6。
但是这里要注意的是:由于△x是虚无穷小，所以6是该导数的虚极限而不是实极限。
虚极限是什么意思?
△x是虚无穷小，虚无穷小的意思是无限趋近于0而永远大于0，所以虚极限的意思是无限地趋近于6而永远大于6。
所以，这才是导数真正的数学含义:导数不是一个实数，而是以实数为极限的变量。
由此，微积分3.0版本函值极限论与现代微积分2.0版本在计算导数的结论上，出现了极其重大的分歧:现代微积分学认为导数是一个固定的常量，而函值极限论认为导数是一个以常量为极限的变量，这一结论的推出，无异于是在数学界掀起十级地震，大厦将倾。

函值极限论(十九):现代微积分逻辑混乱的根源:对→符号的两种不同解读方法
→符号读作“趋于”，例如x→a读作x趋于a，这个符号与lim(取极限)和＝号组合运用，是最常用的微积分符号之一，然尔，如果对这个→符号解释不清楚，就会出现逻辑混乱的情况。
这个→符号实际上是有两种不同的解读方法，分别为:
①:→代表的是无限趋近于但永远不等于的意思，例如:lim(t→3)2/(t－3)＝∞，由于0不能做除数，所以这里的t不能等于3，所以t→3代表的是t无限趋近于3但永远不能等于3的意思。
②:→代表的是无限趋近于并且等于的意思，例如:lim(x→2)8/x＝4，当x＝2时，8/x＝4，在这里x→2便是代表x无限趋近于2并且x＝2(如果令x永远不等于2则于逻辑不通)的意思。
因此对于同一个函数，一定要严格区分清楚→符号究竟是代表什么意思，两种解释方法只能二选其一，不能混合使用，否则便会出现逻辑混乱。
以第(十八)节中求导数的例子为例:lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)((3＋△x)^2－3^2)/△x＝lim(△x→0)(6＋△x)，在这个式子中，等号左边的△x→0代表的是△x无限趋近于0而永远不等于0(否则0做分母)，而对等号右边的△x→0的解释是:△x无限趋近于0并且等于0(否则6＋△x大于6)，因此在同一个函数中，对→符号出现了两种不同的解读方法，即潜无穷思想与实无穷思想的混用，从而导致逻辑矛盾。
而无穷小有时大于0有时等于0，也是因为对→符号有两种不同的解释所造成的，如果不严格区分清楚，就会造成逻辑混乱。

函值极限论(二十):函值左极限与函值右极限
我们知道，一个函数在a点极限存在的充要条件是函数在a点的左极限和右极限同时存在并且相等。
下面给出函数左极限的定义:
设 f(x)是定义在区间(a，b)上的函数，如果对于任意给定的ε＞0，能够找到δ ＞0，使得满足不等式 b－δ＜x＜b 的一切 x，恒有|f(x)－A|＜ε，则称x从左边趋于b时，f(x)收敛于极限A，即A为f(x)当x→b的左极限。
右极限的定义与此类似，在此不表。
如果一函数在a点的左极限与右极限同时存在并且相等，则函数在该点的极限存在，否则极限不存在。
在本系统中，不仅要考察函数在a点的左极限与右极限是否存在，同时也要考察，函数在a点的左极限与右极限究竟是实极限还是虚极限。
如果函数在a点的左极限A存在，并且左函值极限Aº也存在，则称A为函数的左实极限，否则，如果函数在a点的左极限A存在，但左函值极限Aº不存在，则称A为函数的左虚极限。
函数右实极限与右虚极限的定义与此类似，在此不表。
因此有如下判定法则:
①:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限同为实极限，则函数在该点的极限为实极限。②:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限同为虚极限，则函数在该点的极限为虚极限。
③:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限一个为实极限，另一个为虚极限，则函数在该点的极限为虚极限。

函值极限论(二十一):实极限与虚极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则在原系统中已经介绍得很完善了，由于在本系统中对函数的极限类型做了严格的划分，分为了实极限型函数(连续函数)与虚极限型函数(非连续函数)，所以这里给出实极限与虚极限的四则运算法则:
①:加法则:
(1):实极限加实极限等于实极限。
(2):虚极限加虚极限等于虚极限。
(3):实极限加虚极限等于虚极限。
②:减法则:
(1):实极限减实极限等于实极限，若二者相等，结果等于实无穷小，等于0。
(2):虚极限减虚极限等于虚极限，若二者相等，结果为虚无穷小，大于0。
(3):虚极限减实极限等于虚极限，若二者的极限值相等，其绝对值为虚无穷小，大于0。
(4):实极限减虚极限等于虚极限，若二者的极限值相等，其绝对值为虚无穷小，大于0。
③:乘法则:
(1):实极限乘以实极限等于实极限。
(2):虚极限乘以虚极限等于虚极限。
(3):实极限乘以虚极限等于虚极限。
(4):实极限乘以有界数列为实极限，虚极限乘以有界数列为虚极限。
④:商法则:
(1):实无穷小不能做除数，虚无穷小可以做除数。
(2):实极限除以实极限等于实极限。
(2):虚极限除以虚极限等于虚极限。
(3):实极限除以虚极限，或者虚极限除以实极限，等于虚极限。

函值极限论(二十二):初探无穷大∞
首先总结一下前二十一节的总脉络:参照原极限定义给出了函值极限的定义(函值极限与函数连续性等价)，根据函值极限定义给出了实极限和虚极限的定义，将所有函数划分为实极限型函数(等价于连续函数)和虚极限型函数(等价于非连续函数)，并根据实极限和虚极限的定义给出了实无穷小和虚无穷小的定义，划出了无穷小是0与非0之间的明确界线，并给出了实无穷小与虚无穷小的四则运算法则及实极限与虚极限的四则运算法则。
前二十一节主要是围绕着实极限虚极限和无穷小来进行逻辑推演的，从本节开始，将会讨论微积分中另一个极为重要的概念:无穷大∞。
首先给出原系统中无穷大的定义:
设函数f(x)在xо的某个去心邻域有定义(或|x|在大于某个正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M(无论它有多大)，总存在正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0＜x－xо＜δ(或|x|＞X)，对应的函数值f( 满足不等式f(x)＞M，则称函数f(x)当x→xо(或x→∞)时的无穷大。
无穷大分为两种情况，一种是x→xо时的无穷大，例如，函数f(x)＝1/x，当x→0时，x越小，f(x)越大，f(x)大于任意给定的正数M，则f(x)趋向于无穷大。
另一种是x→∞的情况，例如，f(x)＝2x，x＝1，2，3……n……，x无限增大，f(x)无限增大，f(x)大于任意给定的正数M，则f(x)趋向于无穷大。
虽然原系统中对无穷大定义精确，逻辑严谨，可是我们会发现，对于某些特定的题目，原有定义中的无穷大解决不了。在此给出两个典型的题目进行说明:
第(1)题:将一个面积为1的圆以圆心均分为无穷多份，每一份的面积是多少?
如果用函数直接来解此题，则为:lim(n→∞)1/n＝0。也就是说，将圆均分为无穷多份，每一份的面积为0。
但是此题有极大的争议，因为按直观理解，如果将圆分割为无穷多个0，则无穷多个0相加仍然为0，则原本面积为1的圆变为了面积为0，构成矛盾。
另外，f(n)＝1/n，函数的定义域为全体正整数，可是，无论n取哪一个正整数，哪怕是n一一遍取了所有的正整数，必有f(n)＞0(否则请给出反例)，也就是说f(n)＝0的情况根本就不存在。
这个问题用原系统中的无穷大定义解释不通。
第(2)题:设一质点D以每分钟1米的匀速速度从0运动到1米处，则，1/2分钟时质点运动到1/2米，3/4分钟时质点运动到3/4米，7/8分钟时质点运动到7/8米……问:1分钟时，质点运动到哪里。
这道题并不难解，因为人们几乎不加思索便会立即知道答案:时间为1分钟时质点运动到1米处。但此题背后的逻辑问题却绝非如此简单。
看一下时间序列:｛1/2，3/4，7/8，15/16……(2^n－1)/2^n……｝，该时间序列的通项为(2^n－1)/2^n，问:n取何值时，f(n)＝1即时间到达1分钟?
该时间序列中n的定义域为全体正整数，可是，无论n取何值，哪怕是n一一遍取所有正整数，必有f(n)＜1，这也就是说，时间永远都到不了1分钟，这显然是一个悖论(芝诺二分法悖论)。
实际上，1为该时间序列的极限，1没有任何正整数与之对应，1对应的是无穷大∞，但按照原系统中的极限定义，函数f(n)在∞处没有定义，所以f(∞)不存在，所以1在函数中不存在，而只能做为函数的极限。
既然函数f(n)在时间1处无定义，则问当时间为1分钟时，质点D在哪里?则此问题无的放矢，成了一个无意义的问题。
我们可以对比一下著名的汤姆森灯悖论:一电灯在1/2分钟时亮，在3/4分钟时灭，在7/8分钟时亮，在15/16分钟时灭……问，当时间为1分钟时，电灯是亮是灭?
对于此问题，数学界中有一派(几乎是主流观点)认为，时间序列的定义域为［0，1)，函数在1处无定义，所以此问题无意义。
这只能说明，原微积分系统中对于此类涉及到无穷大的问题束手无策，只能以“无意义”为由进行搪塞，避而不谈，从而回避问题而又拒不承认系统中存在矛盾。

函值极限论(二十三):无穷大∞究竟是什么?
在上一节中，给出了两个关于无穷的例子，这两个例子用微积分原系统中的无穷大定义是解释不通的，为什么无法解释呢?因为这两个例子全都是实无穷的例子，而微积分是以潜无穷思想为指导原则的，所以对于解释实无穷问题无能为力。
那么，微积分原系统中的无穷大∞究竟是什么呢?
我们知道，大于a的所有实数记为［a，＋∞)，而全体实数可以记为(－∞，＋∞)，这两个区间中的元素全都是实数，也就是说－∞和＋∞不是区间中的元素，即，∞不是实数。
根据函数的无穷大定义，例如对于f(x)＝1/x这个函数，x取值越小，f(x)的值越大，但无论f(x)的值有多大，它都是一个实数，它的取值都不能超出实数的范围。又例如对于n＝1，2，3……来说，n的取值也全都是自然数，不能超出自然数的范围。
因此∞只是代表函数的取值越来越大的一个趋势，在微积分原系统中，与无穷小相类似，无穷大本身并不是一个确定的数值，它是一个函数，一个取值可以无限增大的变量，但却始终不超出实数的范围，又根据皮亚诺公理，任意一个实数都是有限大的，不存在无穷大的实数，所以微积分原系统中，只是在有限的范围内讨论函数，不会真正涉及到无限。
也就是说在微积分原系统中，∞是一个虚概念，不代表任何确定的数值，也不代表真正意义上的无穷。
但这样的定义明显的有许多不足之处，因为数学中许多问题并不是只限于有限的情况，很多问题都会涉及到无限的情况，例如将圆分割为无穷多份，这个“无穷多份”在微积分原系统中无法精确表示，成为了一个无定义，无意义的问题，又例如芝诺问题中，1分钟对应于无穷大，而函数在无穷大处无定义，所以芝诺问题也成为了无意义的问题而无法真正解决。还有一个非常典型的例子就是，0.999……，小数点后面有无穷多个9，但如何用无穷大定义精确解释什么叫做“无穷多个9”呢?用微积分原系统中的定义，只能解释什么叫做有限多个9，而无法解释什么叫做无穷多个9，这些都显示出了潜无穷理论的先天不足之处。

函值极限论(二十四):实无穷大∞º的定义
从上一节的分析可知，微积分原系统中的∞不代表任何具体的数值，也不代表真正意义上的无穷，而数学中往往有许多问题是涉及到实无穷的，因为微积分原系统属潜无穷理论，对于解决实无穷问题无能为力，为了弥补这一不足，有必要增加一个∞的实无穷定义，以解决不时出现的一些实无穷问题。
在给出∞的实无穷定义之前，先参考集合论中的最小无穷基数阿列夫0。
在集合论中，如果一个集合中含有n个无素，则该集合的基数为n，例如，含有5个元素的集合，其基数为5，含有200个无素的集合，其基数为200……，那么，有一个问题，全体自然数集合N中，含有无穷多个元素，那么，它的基数是多少呢?
此时，全体自然数集合的基数，已经不能用任何一个自然数来表示，所以集合论创始人康托尔创建了一个新的数学符号，叫做ℵ0，中文翻译为阿列夫0，做为全体自然数集合的基数。
阿列夫0是一个无穷基数，而且是最小的无穷基数，它大于所有的自然数，但它本身不是自然数。
集合论是数学史上第一个实无穷理论，阿列夫0的定义也不是潜无穷式的，而是实无穷式的，它是真正数学意义上的无穷。
那么，集合论中的阿列夫0与微积分中的∞有什么不同呢?
首先，阿列夫0是实无穷式定义，代表真正意义上的无穷，而微积分中的∞是潜无穷式定义，代表某一数值可以无限增大，但永远也达不到真正的无穷，其本质上仍然是有限。
其二，阿列夫0是代表某一无穷集合的基数，代表的是“无穷多”的意思，而∞是代表某一个数值的大小，代表的是“无穷大”的意思，因此二者之间有本质的区别，不可混为一谈。
但前文中反复提到，微积分原系统中的∞是潜无穷式定义，它无法解决许多的实无穷问题，因此有必要设立一个实无穷式的无穷大定义，来解决一些实无穷问题。
参照集合论中阿列夫0的定义，现给出无穷大的实无穷定义:
设全体自然数集合N中的所有元素n＝0，1，2，3……在数轴的正半轴上从小到大依次排列，假设存在一个无穷大数，它大于所有的自然数，则称该无穷大数为所有自然数的极限，记为∞º。相应的，∞º的负数－∞º为所有负整数的极限。
在微积分原系统中，自然数与实数是没有极限的，称为发散于∞，但为了方便记述，也可以称自然数和正实数的极限为＋∞，例如:lim(x→0)1/x＝＋∞，但这里的＋∞是一个虚值，也就是说＋∞是该函数的一个虚极限。
而本节中所述的∞º与∞不同，∞是潜无穷式定义，而∞º是实无穷式定义，下一节将具体描述∞º与∞之间的本质区别。