狭义相对论和量子力学中的自然法则
袁学锋
1楼
这是我的《人类心灵与文明本性》的最后一章。
书已在2015年1月由河南出版社出版，2018年7月第二次印刷。如引用请标明出处。
对量子力学和相对论感兴趣的有物理专业背景的可以读一读。
这个是纯物理脱水版
狭义相对论和量子力学中的自然法则
作者：袁学锋
1. 相关物理量的自然法则
对于两个相关物理量，比如狭义相对论中的时间和空间或者量子力学中的一组共轭变量，相关物理量之间有关系量。速度是时空的关系量，共轭变量的乘积是一组共轭变量对的关系量。假定这些关系量和物理量满足以下4个自然法则。
物理学中现有的关系量是实关系量，都对应一个虚关系量。
实关系量和虚关系量都有极值。大小相等，极性相反。实、虚关系量同时达到极值。
实关系量、虚关系量和极值之间满足确定的数学关系。
物理量通过极值相互转换为和相关物理量正交的虚变量，成为相关物理量的一部分，数学上可以用虚数表示。
下面开始以4个自然法则分析狭义相对论和量子力学。
2．狭义相对论之一：虚速度与物质波的相速度：空间与同时性的相对性
按照自然法则1，物理学里的物质运动速度是实速度，会对应一个虚速度。我们从爱因斯坦对同时性的分析讨论这个虚速度的存在。爱因斯坦在1905年狭义相对论的论文第一节中给出了同时性分析。通过研究时钟同步的行为，创立了同时性的相对性。这一分析是科学史上最著名的概念分析之一，已成为物理学理论研究的典范。
在爱因斯坦火车思想实验中，爱因斯坦设想，有一列很长的火车，正在以一恒定的速度v沿着一直线轨道行驶。该火车的两端分别为A和B，其中间点为M。火车从A向B方向行进（即A为车尾，B为车头）。同时假定，在某一时刻t，与火车处于相同位置的铁轨也存在三点A’、B’和M’（三点分别对应于A、B和M）。A’和B’处分别有灯L1和L2，并且L1和L2在t时刻同时打开。那么，L1和L2的光线到达火车中间点M处（假定在t时刻，M点和M’点是重合的）的时间孰先孰后，还是同时到达？
在这一思想实验中，处于不同参照系中的观察者，“看”到的结果是不一样的。在以铁轨为参照物的坐标系中，站在M’点处的观察者“看”到的结果是L1和L2的光线将同时到达M’点。但在以火车为参照物的坐标系中，因为火车正在以速度v向前行驶，即当光线L1和L2发出时，火车上的A、B、M和铁轨上的A’、B’、M’三点重合，而当光线发出并向前传播时，火车的中间点M同时正在以速度v远离A’，向着B’点运动。所以，从B’点的L2发出的光线将先于A’点的L1发出的光线到达M点。
该实验的最终结论为：在不同的惯性系中的空间两点具有不同的同时性，即同时性的相对性。同时性的相对性和光速有关。只要物质运动速度存在极限，必然存在同时性的相对性。
爱因斯坦的概念分析是一个定性分析。要推导出狭义相对论里的时空变换关系，只定性是不够的，需要定量同时性的相对性。同时性的相对性是两个相对运动的惯性系在运动方向上空间两点的不同时，这是一个时间长度（时间差）。如果这个时间长度和空间两点之间的长度（在火车思想实验中是火车或铁轨的长度）是线性关系，那么我们就有一个速度（这个线性关系）定量这个时间长度（同时性的相对性）。从火车思想实验可以看出，这个速度既和光速c有关，也和火车的速度v有关；但既不是c，也不是v。所以这个速度是v和c以外的第三个速度：虚速度。既然有这个虚速度才能定量同时性的相对性，爱因斯坦不是没提出这个虚速度，也推导出洛伦兹变换了？原因在自然法则3：实关系量、虚关系量和极值之间满足确定的数学关系。对于时空，实速度、虚速度和光速之间也满足确定的数学关系。即虚速度可以由实速度和光速表示出来。
既然如此，狭义相对论的洛伦兹变换自然隐含这个虚速度。那么逻辑上我们可以把这个虚速度还原出来。这很简单，我们只用看狭义相对论中时间坐标变换公式的分子部分：t- vx/c^2。vx/c^2 定量了同时性的相对性。x是空间坐标。容易推导出，虚速度等于c^2/v。这个虚速度和实速度的存在也满足法则2。实速度的极大值是光速。虚速度的极小值是光速。想必大家已明白为什么我要讨论这个虚速度。虚速度就是物质波的相速度！任何以速度v运动着的物体都伴随着一个速度为c^2/v的物质波。确实存在c^2/v这个虚速度。它是时空统一性的组成部分，也是物质运动的组成部分。如果相信这不是数学上的巧合，我们终于知道物质波相速度真正的物理意义，就是空间的同时性的相对性的度量。
3．狭义相对论之二：洛伦兹变换与时空的相对性：同时性的定域性
我们已肯定了虚速度的存在，也知道了它的物理意义。我以符号u表示虚速度c^2/v ，把狭义相对论的洛伦兹变换公式重新写一下。使变换公式更加对称，时、空相对性更显而易见。然后在解释公式时，细分一下时间与空间的相对性。这样容易看出爱因斯坦的眼光和机遇。然后重点分析一下同时性的相对性。同时性是量子力学奇异现象的本质。
空间坐标变换公式：x’= （x-vt）/√(1-v/u)
时间坐标变换公式：t’= （t-x/u）/√(1-v/u)
速度关系式：uv = c^2
空间坐标变换公式的分子部分：x- vt，即原来的伽利略变换的右边部分。实速度v和时间坐标t定量了空间的相对性。时间坐标变换公式的分子部分：t- x/u，我把它叫爱因斯坦变换。虚速度u与空间坐标x定量了时间的相对性。空间坐标与时间坐标变换公式的分母部分是相同的：1/√(1-v/u)，即洛伦兹因子，定义了时空的相对性。这个是历史上洛伦兹变换的原始形式，只是用c^2/v代替u。在爱因斯坦建立狭义相对论之前，伽利略变换、原始的洛伦兹变换都已存在。爱因斯坦分析同时性的相对性，加入爱因斯坦变换。新的时空理论完整无缺，无懈可击。
从爱因斯坦变换可以看出，对同时性的相对性的理解，包含两部分。第一，两个惯性坐标系的同时性是相对的，就是不同时。这个在定性上，由爱因斯坦火车实验说明。定量上，由x/u的数值给出。即空间长度和虚速度定量同时性的时间差。第二，这个时间差的存在是同时的。同时性的相对性只和虚速度u与空间坐标x有关，而和时间变化无关，所以它的存在是同时的。还是从爱因斯坦火车思想实验谈这第二点。假设火车的M点有一个时钟，铁轨上A’与B’也各有一个时钟。A’与B’的时钟与火车上M点的时钟的差别，即同时性的相对性，由爱因斯坦变换给出。A’加x/u；B’减x/u。这里x的值是铁轨上A’与B’之间一半的长度。如果火车的速度突然变成反向的-v。A’与B’的时钟读数立刻相互调换了。这第二点的重要性不止在于全面理解同时性的相对性。它还证明一定距离的空间之间可以存在同时相关性，不受光速限制。如果同时性是物质的固有性质，对于任何一个运动的物质，虚速度和一个同时性的时间长度可以使空间上的两点同时相关。狭义相对论的定域性限制的是两个存在之间，而不是一个存在自身。狭义相对论的定域性和量子力学的非定域性不冲突。需要强调的是，这个非定域性不是超光速的联系，而是同时性。非定域性容易引起误解，应该直接用同时性这个概念。同时性本身是有定域性的。这个定域的范围就是同时性的时间长度和虚速度的乘积。
4：狭义相对论之三：闵可夫斯基时空和自然法则4
闵可夫斯基把时间和空间统一到一个时间维和三个空间维组成的四维时空结构。在闵可夫斯基时空里，时间通过光速c转换为和三个空间维正交的一个虚的类空间维。自然法则4是这个时空转换方法的推广。自然法则4保证相关物理量互为各自的变量，同时保证极值对于不同的结构是相同的。对于时空，不同的结构是指两个相对运动的惯性坐标系。光速c是它们的极值。转换出的虚变量是无法直接观察的。但物理量在不同结构转换时，虚变量的作用就会表现出来。在几何上，这时物理量相当于直角三角形的一个边。相关物理量之间的数学关系决定它们对应什么样的几何空间。和欧式几何三维空间各向正交一样，这些几何在此意义上都可以看成是类欧几何。
自然法则4和其它三个自然法则在逻辑和数学上是一致的。相关物理量转换出的两个虚变量之间必然会有一个虚关系量，这和自然法则1一致。转换通过极值实现，那么实关系量和虚关系量必然共有同一个极值。这和自然法则2一致。实物理量、虚物理量和极值之间满足确定的数学关系，那么对应的实关系量、虚关系量和极值之间也必然满足确定的数学关系。这和自然法则3一致。
对时间和空间做转换以验证上一段的结论。我们已知道时间在闵可夫斯基时空里通过光速c转换为虚空间：ict。那么空间也同样可以通过光速c转换为虚时间：ix/c。这里i是虚数单位，c是光速，t是时间，x是运动方向上的空间坐标。虚速度等于虚空间/虚时间。容易得出虚速度u = ct/(x/c)。u = c^2/(x/t)。代入实速度v = x/t, 得u = c^2/v。u是同时性的度量，也是物质波的相速度。u和v的极值相同，都是c。把v换到左边，得uv = c^2。就是速度关系式。
当我们把转换用于量子力学的共轭变量对时，转换说明：对于量子力学，虚变量和虚关系量是必然的存在。微观世界确实存在多于宏观世界的部分。所以微观世界虽然用和宏观世界相同的物理量描述，却表现出和宏观世界完全不同的现象。转换也说明：对于量子力学，实在的隐变量在逻辑上无存在意义。因为实变量和虚变量之间通过极值一一对应，量子力学并不需要和宏观世界不同的实物理量，就可以完整描述微观世界。转换使我们容易理解为什么虚数在量子力学里是必须的数学表达方式，为什么一组共轭变量对是傅立叶变换对，为什么会有包含虚概率的量子幅（概率幅）的存在。
5. 量子力学之一：不确定性原理与物质波的频率：能量与同时性的相对性
量子力学沿两条不同的路径发展起来，存在着两个等价的理论：海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学。海森堡认为，物理上只应讨论那些可观察的物理量。在原子内部,电子的位置和速度是不可观察的。而原子发射出的谱线频率和强度则是可观察的。他的想法是受到爱因斯坦对时间、空间作“操作定义”分析的影响。操作定义会反映出极值对相关物理量的限制。海森堡的方法从实物理量出发，比较符合自然科学的传统。海森堡此后又提出了不确定性原理【5】。共轭变量矩阵的正则对易关系可以推导出不确定性原理。薛定谔受德布罗意物质波理论的启发，提出了波动力学。他寻求一个表示物质波本身的波函数和一个表示物质波传播的波动方程，得出了大名鼎鼎的薛定谔波动方程。数学上这两个力学已被证明是等价的。物质波理论和波动方程把不能直接观察的虚物理量和虚关系量引入了物理学理论。
我们前面以虚速度解释了物质波相速度的物理意义，并建立了狭义相对论和物质波在物理上的直接联系。现在要以另一个虚关系量解释物质波频率的物理意义。通过不确定性原理和物质波频率之间的关系，建立矩阵力学和波动力学在物理上的直接联系。两个力学数学上的等价性必然有物理上的一致性。物质波的频率、波长和相速度都是不可观察量。我们能理解这些虚物理量的意义，才有可能理解量子力学的本质。
按照物质波的理论，物质的能量和频率成正比，物质的动量和波长成反比（和波数成正比）。基本公式：E = hω/2π, P = hk/2π。这里E是物质能量，h是普朗克常量，ω是物质波角频率（ω/2π是物质波频率），P是物质动量，k是物质波波数（2π/k是物质波波长）。我们知道物质的能量E=mc^2与动量P=mv的比值正好是物质波的相速度c^2/v，也就是虚速度。在第2节里，我们已知道这个速度是同时性的度量。因为物质波的角频率（或频率）是一个时间段的倒数，我们只要证明这个时间段是同时性的，对于一个运动的物质，物质波的频率公式就可以推导出波长公式。即物质波的两个公式不是独立的，可以通过虚速度相互推导出来。如果物质波的频率和波长是统一的，那么证明运动的物质存在虚的时空相关性。这个相关性既是发生干涉的原因，也是测量导致干涉消失的原因。用波解释干涉的发生会导致观察与不观察必须使用两套不同的逻辑。下面开始讨论物质波的频率与不确定性原理之间的关系。
按照自然法则1看量子力学，那么一对共轭变量变化的乘积是实关系量。我把这个乘积以符号x表示。这个乘积会对应一个虚关系量，也是这对共轭变量的乘积，我以符号y表示。y的物理意义是什么？取能量和时间一组的共轭变量。这时x的物理意义是能量的变化量和一个时间长度的乘积关系。y是伴随x的虚关系量。就是相对于不同的能量变化，同时性的相对性的度量。按照自然法则2，实关系量x和虚关系量y都有极值。根据不确定性原理，我们已知道x有极小值：h/4π。那么y有极大值，也是h/4π。h/4π这个极值在量子力学里的意义，与光速c在狭义相对论的意义一样。按照自然法则3，x、y和h/4π满足确定的数学关系。
用自然法则4转换一组共轭变量以获得x、y和h/4π的关系式。对于能量E和时间t，能量可以通过极值h/4π转换为虚时间：ih/4πE；时间也可以通过极值h/4π转换为虚能量：ih/4πt。容易得出虚共轭变量乘积y = h/4πE * h/4πt。y = (h/4π)^2/Et。代入实共轭变量乘积x = Et, 得y =〖 (h/4π)〗^2/x。把x换到左边，得到关系式xy = 〖 (h/4π)〗^2。因为虚能量ih/4πt的存在，会导致共轭变量乘积的不对易性。时间在前，能量部分加上ih/4πt，得到t*（E+ih/4πt）=t*E+ih/4π。时间在后，能量部分减去ih/4πt。得到(E-ih/4πt）*t=E*t-ih/4π。对易后共轭变量乘积的差值= t*E +ih/4π-（E*t-ih/4π）= ih/2π。就得到正则对易关系。也可以用虚时间ih/4πE计算，会得到相同的结果。
我们仔细想想在什么情况下x和y会同时有极值。仍然取能量和时间一组的共轭变量。共轭变量的乘积包含能量的变化。那么，一个物质没有和外界能量交换时，如果它的共轭变量的乘积仍然存在，这时的乘积x应该是极小值。同时，它对应的虚关系量y是极大值。这对所有物质都相同，无论物质的能量是多少。所以，德布罗意物质波的理论就是极值的情况。因为y这个虚关系量除以物质的能量定量了同时的相对性，而这时y是极值h/4π，这个最大的同时性时间长度就等于h/4πE。物质波的角频率ω等于2πE/h，正好是这个时长（同时性的相对性）倒数的一半。这个可能决定了为什么自旋要转两圈才能回到原来的状态。如果这个物质相对于某个参照系是运动的，这个最大的同时性时长乘以空速度得到的空间长度是h/4πE*c^2/v=(h/4πmc^2)*c^2/v= h/4πmv。代入动量P=mv，得到h/4πP。这是物质能发生自我干涉的空间长度。所谓物质波就是同时性和这个相干空间随着物质的运动在时空中演化。
6. 量子力学之二：电子双缝干涉和概率幅
电子双缝干涉是非常重要的量子力学实验，从中可以看到量子力学的矛盾现象和测量问题。我们就此讨论量子力学的一个根本问题，态函数的物理意义到底是什么？它的意义不只是在某时某处发现粒子的概率，它更核心的意义是实部和虚部的关系。上一节说到，物质本身的同时性对应它在运动空间上的相干性。同时性使运动的电子在一段空间上各点出现的概率是相关的。那么如何在数学上描述一个电子在同时性空间上某一点的存在和相干性？双缝干涉只用讨论电子通过双缝落在屏幕某一点的概率。因为只存在两个相关的概率，可以用我们的自然法则。我把双缝分别称为缝A和缝B。按照自然法则4，穿过缝A的实概率a可以通过极值转换为穿过缝B的实概率b的虚概率部分。穿过缝B的实概率b也可以通过极值转换为穿过缝A的实概率a的虚概率部分。那么描述一个电子穿过缝A或缝B的可能性就是一个实概率加上一个虚概率。这个复数概率就是概率幅，又叫量子幅。通用的，一个电子在同时性空间上某一点的概率幅是它在这一点的实概率加上它不在这一点的实概率通过极值转换出的虚概率。双缝干涉是最简单的情况，穿过双缝的实概率相互通过极值转换为各自的虚概率部分。概率幅使双缝的相关性不只表现为干涉现象，还会表现出和经典概率不同的非线性。不是像在宏观世界，缝A的实概率a减少20%，那么缝B的实概率b就增加20%。实概率a加上实概率b一般也不等于1。从信息学讲，概率幅包含了电子在这段空间上的所有信息。概率幅，或者说态函数的物理意义是一个电子在定域的同时性空间上的全息概率或全息函数。
因为概率幅是全息概率，电子在不被观察时就会以包含两个概率的方式穿过一条缝。即电子沿所有可能的路径到达屏幕。这时电子在“逻辑上”同时穿过双缝，发生自我干涉。但这个“同时穿过”不是实在的，所以永远观察不到。留下的问题是为什么观察电子从哪一条缝穿过，干涉就消失了？既然前面说同时性导致了干涉，那么和前面逻辑上一致的解释只能是：观察改变了同时性，所以干涉现象就消失了。
要观察电子到底走了那条缝。一个办法是使双缝对于电子不同时存在：关闭一条缝。两个概率不再同时存在，也不会有虚关系量的存在。另一个是观察电子从哪一条缝穿过。对于第二种办法，一旦我们测量这个粒子，就是在空间定位这个粒子。对于单个电子，被定位的空间和相干空间是相同的。我们就改变了电子在空间原有的相干性。因为虚的时空相关性，测量就破坏了这个电子此时的同时性。原来的同时性演化就中断了，所以干涉就消失了。同时性的演化重新从被测量的此时此处开始。对于物质波，就是有了新的初始相位。
书已在2015年1月由河南出版社出版，2018年7月第二次印刷。如引用请标明出处。
对量子力学和相对论感兴趣的有物理专业背景的可以读一读。
这个是纯物理脱水版
狭义相对论和量子力学中的自然法则
作者：袁学锋
1. 相关物理量的自然法则
对于两个相关物理量，比如狭义相对论中的时间和空间或者量子力学中的一组共轭变量，相关物理量之间有关系量。速度是时空的关系量，共轭变量的乘积是一组共轭变量对的关系量。假定这些关系量和物理量满足以下4个自然法则。
物理学中现有的关系量是实关系量，都对应一个虚关系量。
实关系量和虚关系量都有极值。大小相等，极性相反。实、虚关系量同时达到极值。
实关系量、虚关系量和极值之间满足确定的数学关系。
物理量通过极值相互转换为和相关物理量正交的虚变量，成为相关物理量的一部分，数学上可以用虚数表示。
下面开始以4个自然法则分析狭义相对论和量子力学。
2．狭义相对论之一：虚速度与物质波的相速度：空间与同时性的相对性
按照自然法则1，物理学里的物质运动速度是实速度，会对应一个虚速度。我们从爱因斯坦对同时性的分析讨论这个虚速度的存在。爱因斯坦在1905年狭义相对论的论文第一节中给出了同时性分析。通过研究时钟同步的行为，创立了同时性的相对性。这一分析是科学史上最著名的概念分析之一，已成为物理学理论研究的典范。
在爱因斯坦火车思想实验中，爱因斯坦设想，有一列很长的火车，正在以一恒定的速度v沿着一直线轨道行驶。该火车的两端分别为A和B，其中间点为M。火车从A向B方向行进（即A为车尾，B为车头）。同时假定，在某一时刻t，与火车处于相同位置的铁轨也存在三点A’、B’和M’（三点分别对应于A、B和M）。A’和B’处分别有灯L1和L2，并且L1和L2在t时刻同时打开。那么，L1和L2的光线到达火车中间点M处（假定在t时刻，M点和M’点是重合的）的时间孰先孰后，还是同时到达？
在这一思想实验中，处于不同参照系中的观察者，“看”到的结果是不一样的。在以铁轨为参照物的坐标系中，站在M’点处的观察者“看”到的结果是L1和L2的光线将同时到达M’点。但在以火车为参照物的坐标系中，因为火车正在以速度v向前行驶，即当光线L1和L2发出时，火车上的A、B、M和铁轨上的A’、B’、M’三点重合，而当光线发出并向前传播时，火车的中间点M同时正在以速度v远离A’，向着B’点运动。所以，从B’点的L2发出的光线将先于A’点的L1发出的光线到达M点。
该实验的最终结论为：在不同的惯性系中的空间两点具有不同的同时性，即同时性的相对性。同时性的相对性和光速有关。只要物质运动速度存在极限，必然存在同时性的相对性。
爱因斯坦的概念分析是一个定性分析。要推导出狭义相对论里的时空变换关系，只定性是不够的，需要定量同时性的相对性。同时性的相对性是两个相对运动的惯性系在运动方向上空间两点的不同时，这是一个时间长度（时间差）。如果这个时间长度和空间两点之间的长度（在火车思想实验中是火车或铁轨的长度）是线性关系，那么我们就有一个速度（这个线性关系）定量这个时间长度（同时性的相对性）。从火车思想实验可以看出，这个速度既和光速c有关，也和火车的速度v有关；但既不是c，也不是v。所以这个速度是v和c以外的第三个速度：虚速度。既然有这个虚速度才能定量同时性的相对性，爱因斯坦不是没提出这个虚速度，也推导出洛伦兹变换了？原因在自然法则3：实关系量、虚关系量和极值之间满足确定的数学关系。对于时空，实速度、虚速度和光速之间也满足确定的数学关系。即虚速度可以由实速度和光速表示出来。
既然如此，狭义相对论的洛伦兹变换自然隐含这个虚速度。那么逻辑上我们可以把这个虚速度还原出来。这很简单，我们只用看狭义相对论中时间坐标变换公式的分子部分：t- vx/c^2。vx/c^2 定量了同时性的相对性。x是空间坐标。容易推导出，虚速度等于c^2/v。这个虚速度和实速度的存在也满足法则2。实速度的极大值是光速。虚速度的极小值是光速。想必大家已明白为什么我要讨论这个虚速度。虚速度就是物质波的相速度！任何以速度v运动着的物体都伴随着一个速度为c^2/v的物质波。确实存在c^2/v这个虚速度。它是时空统一性的组成部分，也是物质运动的组成部分。如果相信这不是数学上的巧合，我们终于知道物质波相速度真正的物理意义，就是空间的同时性的相对性的度量。
3．狭义相对论之二：洛伦兹变换与时空的相对性：同时性的定域性
我们已肯定了虚速度的存在，也知道了它的物理意义。我以符号u表示虚速度c^2/v ，把狭义相对论的洛伦兹变换公式重新写一下。使变换公式更加对称，时、空相对性更显而易见。然后在解释公式时，细分一下时间与空间的相对性。这样容易看出爱因斯坦的眼光和机遇。然后重点分析一下同时性的相对性。同时性是量子力学奇异现象的本质。
空间坐标变换公式：x’= （x-vt）/√(1-v/u)
时间坐标变换公式：t’= （t-x/u）/√(1-v/u)
速度关系式：uv = c^2
空间坐标变换公式的分子部分：x- vt，即原来的伽利略变换的右边部分。实速度v和时间坐标t定量了空间的相对性。时间坐标变换公式的分子部分：t- x/u，我把它叫爱因斯坦变换。虚速度u与空间坐标x定量了时间的相对性。空间坐标与时间坐标变换公式的分母部分是相同的：1/√(1-v/u)，即洛伦兹因子，定义了时空的相对性。这个是历史上洛伦兹变换的原始形式，只是用c^2/v代替u。在爱因斯坦建立狭义相对论之前，伽利略变换、原始的洛伦兹变换都已存在。爱因斯坦分析同时性的相对性，加入爱因斯坦变换。新的时空理论完整无缺，无懈可击。
从爱因斯坦变换可以看出，对同时性的相对性的理解，包含两部分。第一，两个惯性坐标系的同时性是相对的，就是不同时。这个在定性上，由爱因斯坦火车实验说明。定量上，由x/u的数值给出。即空间长度和虚速度定量同时性的时间差。第二，这个时间差的存在是同时的。同时性的相对性只和虚速度u与空间坐标x有关，而和时间变化无关，所以它的存在是同时的。还是从爱因斯坦火车思想实验谈这第二点。假设火车的M点有一个时钟，铁轨上A’与B’也各有一个时钟。A’与B’的时钟与火车上M点的时钟的差别，即同时性的相对性，由爱因斯坦变换给出。A’加x/u；B’减x/u。这里x的值是铁轨上A’与B’之间一半的长度。如果火车的速度突然变成反向的-v。A’与B’的时钟读数立刻相互调换了。这第二点的重要性不止在于全面理解同时性的相对性。它还证明一定距离的空间之间可以存在同时相关性，不受光速限制。如果同时性是物质的固有性质，对于任何一个运动的物质，虚速度和一个同时性的时间长度可以使空间上的两点同时相关。狭义相对论的定域性限制的是两个存在之间，而不是一个存在自身。狭义相对论的定域性和量子力学的非定域性不冲突。需要强调的是，这个非定域性不是超光速的联系，而是同时性。非定域性容易引起误解，应该直接用同时性这个概念。同时性本身是有定域性的。这个定域的范围就是同时性的时间长度和虚速度的乘积。
4：狭义相对论之三：闵可夫斯基时空和自然法则4
闵可夫斯基把时间和空间统一到一个时间维和三个空间维组成的四维时空结构。在闵可夫斯基时空里，时间通过光速c转换为和三个空间维正交的一个虚的类空间维。自然法则4是这个时空转换方法的推广。自然法则4保证相关物理量互为各自的变量，同时保证极值对于不同的结构是相同的。对于时空，不同的结构是指两个相对运动的惯性坐标系。光速c是它们的极值。转换出的虚变量是无法直接观察的。但物理量在不同结构转换时，虚变量的作用就会表现出来。在几何上，这时物理量相当于直角三角形的一个边。相关物理量之间的数学关系决定它们对应什么样的几何空间。和欧式几何三维空间各向正交一样，这些几何在此意义上都可以看成是类欧几何。
自然法则4和其它三个自然法则在逻辑和数学上是一致的。相关物理量转换出的两个虚变量之间必然会有一个虚关系量，这和自然法则1一致。转换通过极值实现，那么实关系量和虚关系量必然共有同一个极值。这和自然法则2一致。实物理量、虚物理量和极值之间满足确定的数学关系，那么对应的实关系量、虚关系量和极值之间也必然满足确定的数学关系。这和自然法则3一致。
对时间和空间做转换以验证上一段的结论。我们已知道时间在闵可夫斯基时空里通过光速c转换为虚空间：ict。那么空间也同样可以通过光速c转换为虚时间：ix/c。这里i是虚数单位，c是光速，t是时间，x是运动方向上的空间坐标。虚速度等于虚空间/虚时间。容易得出虚速度u = ct/(x/c)。u = c^2/(x/t)。代入实速度v = x/t, 得u = c^2/v。u是同时性的度量，也是物质波的相速度。u和v的极值相同，都是c。把v换到左边，得uv = c^2。就是速度关系式。
当我们把转换用于量子力学的共轭变量对时，转换说明：对于量子力学，虚变量和虚关系量是必然的存在。微观世界确实存在多于宏观世界的部分。所以微观世界虽然用和宏观世界相同的物理量描述，却表现出和宏观世界完全不同的现象。转换也说明：对于量子力学，实在的隐变量在逻辑上无存在意义。因为实变量和虚变量之间通过极值一一对应，量子力学并不需要和宏观世界不同的实物理量，就可以完整描述微观世界。转换使我们容易理解为什么虚数在量子力学里是必须的数学表达方式，为什么一组共轭变量对是傅立叶变换对，为什么会有包含虚概率的量子幅（概率幅）的存在。
5. 量子力学之一：不确定性原理与物质波的频率：能量与同时性的相对性
量子力学沿两条不同的路径发展起来，存在着两个等价的理论：海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学。海森堡认为，物理上只应讨论那些可观察的物理量。在原子内部,电子的位置和速度是不可观察的。而原子发射出的谱线频率和强度则是可观察的。他的想法是受到爱因斯坦对时间、空间作“操作定义”分析的影响。操作定义会反映出极值对相关物理量的限制。海森堡的方法从实物理量出发，比较符合自然科学的传统。海森堡此后又提出了不确定性原理【5】。共轭变量矩阵的正则对易关系可以推导出不确定性原理。薛定谔受德布罗意物质波理论的启发，提出了波动力学。他寻求一个表示物质波本身的波函数和一个表示物质波传播的波动方程，得出了大名鼎鼎的薛定谔波动方程。数学上这两个力学已被证明是等价的。物质波理论和波动方程把不能直接观察的虚物理量和虚关系量引入了物理学理论。
我们前面以虚速度解释了物质波相速度的物理意义，并建立了狭义相对论和物质波在物理上的直接联系。现在要以另一个虚关系量解释物质波频率的物理意义。通过不确定性原理和物质波频率之间的关系，建立矩阵力学和波动力学在物理上的直接联系。两个力学数学上的等价性必然有物理上的一致性。物质波的频率、波长和相速度都是不可观察量。我们能理解这些虚物理量的意义，才有可能理解量子力学的本质。
按照物质波的理论，物质的能量和频率成正比，物质的动量和波长成反比（和波数成正比）。基本公式：E = hω/2π, P = hk/2π。这里E是物质能量，h是普朗克常量，ω是物质波角频率（ω/2π是物质波频率），P是物质动量，k是物质波波数（2π/k是物质波波长）。我们知道物质的能量E=mc^2与动量P=mv的比值正好是物质波的相速度c^2/v，也就是虚速度。在第2节里，我们已知道这个速度是同时性的度量。因为物质波的角频率（或频率）是一个时间段的倒数，我们只要证明这个时间段是同时性的，对于一个运动的物质，物质波的频率公式就可以推导出波长公式。即物质波的两个公式不是独立的，可以通过虚速度相互推导出来。如果物质波的频率和波长是统一的，那么证明运动的物质存在虚的时空相关性。这个相关性既是发生干涉的原因，也是测量导致干涉消失的原因。用波解释干涉的发生会导致观察与不观察必须使用两套不同的逻辑。下面开始讨论物质波的频率与不确定性原理之间的关系。
按照自然法则1看量子力学，那么一对共轭变量变化的乘积是实关系量。我把这个乘积以符号x表示。这个乘积会对应一个虚关系量，也是这对共轭变量的乘积，我以符号y表示。y的物理意义是什么？取能量和时间一组的共轭变量。这时x的物理意义是能量的变化量和一个时间长度的乘积关系。y是伴随x的虚关系量。就是相对于不同的能量变化，同时性的相对性的度量。按照自然法则2，实关系量x和虚关系量y都有极值。根据不确定性原理，我们已知道x有极小值：h/4π。那么y有极大值，也是h/4π。h/4π这个极值在量子力学里的意义，与光速c在狭义相对论的意义一样。按照自然法则3，x、y和h/4π满足确定的数学关系。
用自然法则4转换一组共轭变量以获得x、y和h/4π的关系式。对于能量E和时间t，能量可以通过极值h/4π转换为虚时间：ih/4πE；时间也可以通过极值h/4π转换为虚能量：ih/4πt。容易得出虚共轭变量乘积y = h/4πE * h/4πt。y = (h/4π)^2/Et。代入实共轭变量乘积x = Et, 得y =〖 (h/4π)〗^2/x。把x换到左边，得到关系式xy = 〖 (h/4π)〗^2。因为虚能量ih/4πt的存在，会导致共轭变量乘积的不对易性。时间在前，能量部分加上ih/4πt，得到t*（E+ih/4πt）=t*E+ih/4π。时间在后，能量部分减去ih/4πt。得到(E-ih/4πt）*t=E*t-ih/4π。对易后共轭变量乘积的差值= t*E +ih/4π-（E*t-ih/4π）= ih/2π。就得到正则对易关系。也可以用虚时间ih/4πE计算，会得到相同的结果。
我们仔细想想在什么情况下x和y会同时有极值。仍然取能量和时间一组的共轭变量。共轭变量的乘积包含能量的变化。那么，一个物质没有和外界能量交换时，如果它的共轭变量的乘积仍然存在，这时的乘积x应该是极小值。同时，它对应的虚关系量y是极大值。这对所有物质都相同，无论物质的能量是多少。所以，德布罗意物质波的理论就是极值的情况。因为y这个虚关系量除以物质的能量定量了同时的相对性，而这时y是极值h/4π，这个最大的同时性时间长度就等于h/4πE。物质波的角频率ω等于2πE/h，正好是这个时长（同时性的相对性）倒数的一半。这个可能决定了为什么自旋要转两圈才能回到原来的状态。如果这个物质相对于某个参照系是运动的，这个最大的同时性时长乘以空速度得到的空间长度是h/4πE*c^2/v=(h/4πmc^2)*c^2/v= h/4πmv。代入动量P=mv，得到h/4πP。这是物质能发生自我干涉的空间长度。所谓物质波就是同时性和这个相干空间随着物质的运动在时空中演化。
6. 量子力学之二：电子双缝干涉和概率幅
电子双缝干涉是非常重要的量子力学实验，从中可以看到量子力学的矛盾现象和测量问题。我们就此讨论量子力学的一个根本问题，态函数的物理意义到底是什么？它的意义不只是在某时某处发现粒子的概率，它更核心的意义是实部和虚部的关系。上一节说到，物质本身的同时性对应它在运动空间上的相干性。同时性使运动的电子在一段空间上各点出现的概率是相关的。那么如何在数学上描述一个电子在同时性空间上某一点的存在和相干性？双缝干涉只用讨论电子通过双缝落在屏幕某一点的概率。因为只存在两个相关的概率，可以用我们的自然法则。我把双缝分别称为缝A和缝B。按照自然法则4，穿过缝A的实概率a可以通过极值转换为穿过缝B的实概率b的虚概率部分。穿过缝B的实概率b也可以通过极值转换为穿过缝A的实概率a的虚概率部分。那么描述一个电子穿过缝A或缝B的可能性就是一个实概率加上一个虚概率。这个复数概率就是概率幅，又叫量子幅。通用的，一个电子在同时性空间上某一点的概率幅是它在这一点的实概率加上它不在这一点的实概率通过极值转换出的虚概率。双缝干涉是最简单的情况，穿过双缝的实概率相互通过极值转换为各自的虚概率部分。概率幅使双缝的相关性不只表现为干涉现象，还会表现出和经典概率不同的非线性。不是像在宏观世界，缝A的实概率a减少20%，那么缝B的实概率b就增加20%。实概率a加上实概率b一般也不等于1。从信息学讲，概率幅包含了电子在这段空间上的所有信息。概率幅，或者说态函数的物理意义是一个电子在定域的同时性空间上的全息概率或全息函数。
因为概率幅是全息概率，电子在不被观察时就会以包含两个概率的方式穿过一条缝。即电子沿所有可能的路径到达屏幕。这时电子在“逻辑上”同时穿过双缝，发生自我干涉。但这个“同时穿过”不是实在的，所以永远观察不到。留下的问题是为什么观察电子从哪一条缝穿过，干涉就消失了？既然前面说同时性导致了干涉，那么和前面逻辑上一致的解释只能是：观察改变了同时性，所以干涉现象就消失了。
要观察电子到底走了那条缝。一个办法是使双缝对于电子不同时存在：关闭一条缝。两个概率不再同时存在，也不会有虚关系量的存在。另一个是观察电子从哪一条缝穿过。对于第二种办法，一旦我们测量这个粒子，就是在空间定位这个粒子。对于单个电子，被定位的空间和相干空间是相同的。我们就改变了电子在空间原有的相干性。因为虚的时空相关性，测量就破坏了这个电子此时的同时性。原来的同时性演化就中断了，所以干涉就消失了。同时性的演化重新从被测量的此时此处开始。对于物质波，就是有了新的初始相位。