如何从小培养一个“数学好”的孩子？

*本文为「三联生活周刊」原创内容

我教孩子数数的时候，遇到一个麻烦，“兆”是多少？我百度了一下，按照元代《算学启蒙》记载的数字单位，由小到大依次为一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思议、无量大数，万以下是十进位，万以后则为万进位，即“万万为亿、万亿为兆、万兆为京”。如果按照南北朝《孙子算经》中的说法，“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰垓，万万垓曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”

万亿和万万亿，这中间可差得多了，一个是10的12次方，一个是10的16次方。如果按照计算机中兆字节的说法，“兆”代表百万，与英语mega对应，兆字节MB，不过是10的6次方。汉语中，兆可以表示三个数，分别是10的6次方，12次方和16次方。

《天才少女》剧照

还有一个麻烦，英语有“千，thousand”，没有“万”，英语中的万说成“十千”，英语中的“一百万”是million，“十亿”是billion，“万亿”是trillion，这跟西方三位分节是一脉相承的。外国人写数字，三位就隔开，或者用逗号做一个标志，比如写成这样“245,000,000”，我们是以四位分节的，按照万、亿来读。上面括号里的数字，我们读作两亿四千五百万，英语里读成245个million。

我们报手机号的时候，怎么报出11位数字呢？是“三，四，四”这样报，还是“四，三，四”这样报？看起来都差不多。“万米跑”和“10公里跑”也不会造成什么理解上的障碍。但有时候出版物会有规范，比如要求你把“公里”写成“千米”，对于小说作者来说，稍稍麻烦点儿，“我开车几十公里”，改成“我开车几十千米”，这就不对了，“几十”这样模糊的数字和“千米”这样精确的单位，搁在一起，语感上非常别扭。

我说这些都是小问题吗？华东师范大学数学系张奠宙教授，研究领域之一就是数学教育，他在《小学数学教材中的大道理》一书中说，我国现在的小学数学内容及其体系，是辛亥革命之后从西方引进的。目前使用的阿拉伯数字，加减乘除符号，横式、竖式的数学方法，都和国际上使用的一致。西方以“千”为基础读取大数的方法，不可避免地成为我们生活的一部分。但几千年来，汉语都是以“万”为基础读写大数，这也不可能废除。

《天才基本法》剧照

张教授说，西方将大数三位区分，有其道理，“我们的现实空间是三维空间，大数的构成可以用几何直观进行展示。一个小方块（小立方体）被视为1，十个成一条线（长方体），一百就成一个10×10的面（长方体），一千就构成了10×10×10的大立方体。再以一个大方块代表千（k），这就形成一节。然后，一千个千又构成了一个更大的立方体，代表百万（M），形成第二节。如此继续，可以表示任意大的数，k，M，G……就是这样摆出来的。”张教授这种解释，听上去挺有道理，但也只是一种解释。

数学家总要让一切都清晰准确，张奠宙教授讲到负数的时候，非常严谨。他说，小学教材中，让小学生对负数有基本概念，是以温度计来举例说明，反复讨论全国各地零上、零下的气温。引入负数的概念，要明确提出这是“意义相反的量”。我们日常生活中遇到“意义相反的量”，有两种情形，第一类是自然意义的相反，比如家庭收入与支出。第二类是人为规定的相反，某地的最高气温与最低气温，本来没有相反的意义，因为规定了水的冰点为0度，所以才有零上和零下之分。同样，人们规定了海平面的高度为0，所以按照海拔高度有了海平面之上与之下之分。张教授说，要讲负数，一定要先明确0的位置。

《心灵捕手》剧照

数学家克莱因说：“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折。完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力。”我们的小学课本是在三年级或四年级才引进“负数”概念的，小孩子可能很小就从生活中感受到了“负数”，比如B1层停车场，B1就是-1，要让孩子在生活中感受到数学，还要让孩子“抽象”出来。张教授说，两杯100毫升的水，一杯2度，一杯3度，加在一起并不是5度，用温度计引入“负数”的概念并不是好方法，“认为数学概念都源于日常生活，甚至要求数学概念的教学，都联系学生的日常生活，那是不切实际的幻想，不足为训”。

好，先聊聊生活。英国有一个记者叫亚历克斯·贝洛斯，大学念的是数学和哲学，毕业后去做记者，派驻在巴西，写了一本书叫《足球：巴西人的生活方式》。这本书的开头从法罗群岛写起，法罗群岛的一个小渔村有一支俱乐部，从巴西引进了三名球员。这三位球员在巴西的低级别联赛中大概每个月只能挣几十英镑，到了法罗群岛，每个月有几百英镑收入。从炎热的巴西到寒冷的北极圈边上的法罗群岛，生活真不容易。贝洛斯由此写巴西每年有数千名球员到海外效力，再写巴西足球的历史。等从巴西回国，贝洛斯贩卖球员T恤，卖热带水果，生意都没做起来，他想起了数学，又写了一本书叫《数学王国的冒险之旅》。在这本书的第0章，他讲了个好故事。

贝洛斯结识了法国的一位叫皮卡的语言学家，过去的十年，皮卡一直研究蒙杜鲁库人Munduruku，蒙杜鲁库是生活在亚马逊丛林中的原住民，大概有7000多人。7000多人，这是研究者得出的数字，在蒙杜鲁库人那里，没这么大的数，他们能从1数到5，超过5以后就是“很多”。如果你问一个蒙杜鲁库人说，你有几个孩子？对方会觉得这个问题太奇怪，他们全部落是一个大家庭，所有人养所有孩子。有些原住民也会葡萄牙语，也能用葡萄牙语数到一千，但你问他，5减去3等于几？他说，不知道。

皮卡用拉丁字拼出了蒙杜鲁库人的数词，从1到4，每个词的音节数都等于这个数本身。但到5，就不是五个音节了。皮卡设计了一个试验，简单来说，给你一条线段，给你确定了0的圆点，再给你十个圆点，让你把十个圆点安放在这条线段上，他发现，蒙杜鲁库人不按照数轴方式排列这十个圆点，数字之间的间隔一开始较大，随着数字的增加，间隔逐渐变小，1和2，2和3的标记之间的距离，远大于7和8、8和9之间的距离。

“标尺上的数字均匀分布，被称为线性刻度。如果数字越大，彼此间越靠近，这种刻度就被称为对数刻度。”我们先不考虑对数和对数比例这样的概念，先说这么个情况，假如你的年薪是10万，你希望挣百万年薪，10万和100万之间好像差着很远的一段距离，然而苹果公司的库克去年挣1亿1，今年挣1亿2，两者之间的差距好像就没那么大了。可是，10万和100万之间只隔着90万，而1亿1和1亿2之间差了1000万，可见我们并不总是从线性刻度上去想问题。我们有对数性的直觉，比如我们年龄越大，越觉得时间流逝得太快。

美国一位心理学家给幼儿园的孩子及小学一二年级的孩子做过同样的测试，幼儿园孩子的表现跟蒙杜鲁库人差不多。幼儿园的孩子会以为，5是1的5倍，所以它们之间的距离更远，10是5的两倍，所以它们之间的距离就要靠得更近。但上了小学一二年级，孩子们就能画出数字在数轴上均匀分布的线段了。这也许说明，用精确的数字来理解数量并不是一种普遍的直觉，而是文化的产物。

皮卡回到巴黎之后，一直不太习惯说出精确的时间和距离，他认为，近似值和比率之所以会先于确切数字产生，是因为对于野外生存来说，比率比计数能力重要得多。精确的数字能为我们这些受教育的人提供一个线性框架，这个框架与我们的对数性直觉相反。

这是一个挺好的故事，让我们感知到“对数性直觉”。但我还是很好奇，为什么蒙杜鲁库人没能从5数到10呢？几乎所有的数学普及书，都讲人有五个手指，两只手，这就奠定了自然数和十进制，有些地方会有二十进制，那可能是把手指和脚趾都放在一起了。至于十二进制和六十进制，那是摊开左手，弯曲大拇指，以大拇指计剩下四根手指上的十二个指节，计满十二，就用右手手指标记。摊开手掌，我们就会有自然数的概念。

《少年班》剧照

为什么蒙杜鲁库人数到5就糊涂了呢？有人类学家说，巴西亚马逊中还有一个原住民部落，只能数到二。这是一种停滞状态，停滞在蒙昧中，不知什么时候才会被推动一把。历史上，一些最基本的数学概念，也要走过很漫长的进程，罗马数字里没有零，也没有位值制，罗马帝国的人算两个两位数相乘就会很麻烦。数的一般性概念困惑了人类两千多年，直到19世纪末，人们才用数轴上的一个点，定义一个数。这个定义略抽象，但更容易让人由自然数理解到分数和小数。

皮卡先生给蒙杜鲁库人所进行的“圆点试验”跨越了两千年，在一条线段上均匀的安放圆点，那就是数轴。加州大学伯克利分校的伍鸿熙教授说，现在我们来考虑一个哲学问题，为什么要把一个像自然数这样自然的东西说成像“数轴上的一个点”这样一个冷冰冰又形式化的东西？此处最重要的事实在于，我们必须把自然数放到一个足够灵活但又足够精确的框架内，使得它同时可以将分数包括在内。这是我们为了更深刻地理解数，所必须付出的代价。更深的理解，不能单靠顺其自然。伍鸿熙教授的意思是，要让小学生理解分数是自然数的扩充，不能用一种办法教他们自然数，再换一种办法教他们分数，这会造成学习上的困惑。

当然，我们都是从自然数开始学的。加拿大的约翰·麦顿教授教五六岁的孩子做加法，也是掰手指头算，跟古巴比伦人差不多。4加3，就是握紧拳头说4，然后从4开始数，每数一个数，就竖起一根手指。英国一位教师改进了麦顿教授的方法，他会大声说出求和的第一个数字，然后假装把这个数字扔给了一个学生，学生用拳头紧紧握住数字，拇指夹在手指下面，重复数字，再继续数数。这让孩子们觉得很好玩。

《为人师表》剧照

贝洛斯这本《数学王国的冒险之旅》，有一张插图，讲中国人如何用一只手数到99999。我很想给贝洛斯补充一个事例。

有一本书叫《妈妈教的数学》，作者孙路弘，是北师大附属实验中学的数学老师，应该快退休了。他回忆1970年代，孙老师的妈妈负责收电费，列一个表，应收款和实收款两列，收到电费记账，孙老师帮妈妈记账，有时候两边数字差了，如果差的是9的倍数，孙老师的妈妈能迅速判断出来，肯定是有一个数字记颠倒了，38分记成了83分，中间差45，是9的倍数，孙老师惊叹于这种直觉。

他背乘法口诀的时候，总记不住九的那一组，他妈妈教他一个秘诀，两只手摊开，十个手指，四九多少？从左到右，数到四，把那个手指放下（是左手无名指），此时，左手无名指左边有三根手指，右边有六根手指（左手小指和右手五个手指），所以四九就是三十六。你自己试着数一下，从一九到九九都能手数出来。孙老师厉害的地方在于，他小学四年级，琢磨出来怎么用手指计算八的乘法口诀。可惜他没在书里透露。

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