其故: 得数学者得天下(中)
得数学者得天下(中)
其故
[本文作者是毕业于加州大学伯克利的博士。鉴于文章较长，现将此文
4. 数学派生出的交叉学科
很多介绍数学的作用的文章, 会介绍数学的应用领域: 物理、化学、生命科学、工程、大数据、人工智能、机器人等等。但非专业的读者一般只能肤浅地理解。
我们可以从另一个角度说明数学的作用。近一百多年来, 数学的应用产生出很多新的交叉学科, 它们原属于数学,但后来独立出去。这样的大学科有十几个: 统计学、管理科学、计算机科学、系统科学、非线性科学、逻辑学、经济学、机器证明、博弈论、编码与密码学等等。
我们下面做一点简单的介绍。
1) 逻辑学
逻辑学原来属于文科, 那时并没有严格的科学方法。直到大约一百年前, 数学的方法进入了逻辑学领域, 此后从根本上改变了逻辑学的面貌 (参看 [3])。
起先是“命题演算”的产生, 由此可用数学方法做“零级逻辑”推理。例如现在常见的“推理练习”题都可以转换成数学运算, 而且可以机械化(即用电脑计算解决)。由此还产生了“布尔代数”。
后来进入更深一级的“谓词演算”, 实际上一般的数学命题都含有“谓词” (“存在”或“一切”), 如加法交换律的准确陈述是“对任意两个数 a, b 都有 "a + b = b + a", 平面几何中的第一条结合公理的准确陈述是“对任意两个点存在一条直线同时经过它们”。 命题演算和谓词演算形一个新学科“数理逻辑”。
在今天, 数理逻辑已经成为一个范围很广且内容深刻的学科, 影响到很多其他领域如纯粹数学、计算机科学等, 它本质上是研究逻辑的科学方法。由此, 今天不懂数理逻辑的人是没有资格研究逻辑学的。
2) 统计学
统计学原来也属于文科, 那时并没有严格的科学方法, 所用到的数学很初等。直到1930年代概率论奠定基础后, 产生了“数理统计”这个新学科, 从此统计有了科学的研究方法, 从根本上改变了统计学的面貌。
从今天的眼光看来, 统计的基本任务是“大数据处理”。由于大数据难以避免“模糊性”, 所以概率论是不可或缺的基本工具。但今天统计学中所需要的数学工具远不止概率论。
在今天, 统计学的研究者若没有很好的数学素质, 是不可能在高端的统计学杂志发表文章的。
统计学的广泛应用使其成为一个很发达的学科。在很多高水平的大学里, 统计系不仅独立, 而且比数学系大。
3) 运筹学
运筹学可以看作应用数学的一个方面。在很多应用数学问题中有特定的“目标”, 例如速度、质量、成本、效率等, 希望对此目标做得尽可能好。在数学中这称为“优化”, 它经常可以表达为一个函数的最大值问题。
运筹学广泛应用于工程、经济、城市规划、金融、军事等很多领域, 是一个很发达的学科。在今天, 很多高水平的大学里有运筹学系(如加州大学的 IEOR), 比数学系大得多。
4) 信息科学
“信息”是一个物理对象, 但并没有进入古典的物理学。信息科学的建立起源于香农在1940年代对通讯的研究。
通讯会遇到噪声干扰, 香农寻求一个可以刻画“混乱程度”的物理量, 他发现所得到的公式竟与热力学中“熵”的公式一致, 就把它也称作“熵”。多年后经过很多人的研究, 终于明白“信息熵”与热力学熵的一致性。由此可见,香农的“熵”揭示了一个深刻的物理奥秘, 有极重要的哲学意义。
信息科学也是从数学中派生出来的, 公认1948年香农发表的论文“通信的数学理论”是信息论的奠基之作。在今天的“信息社会”中, 信息科学所起的作用无疑是巨大的。现代信息科学是一个独立学科, 但其数学性很强。
5) 控制论
与“信息”相似, “控制”也是一个物理对象, 但并没有进入古典的物理学。
一般认为1948年维纳发表的《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》一书是控制论的奠基之作。维纳将控制论看作是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。这也是有极重要的哲学意义的。
控制论也是从数学中派生出来的。在今天, 控制论的思想和方法已经渗透到几乎所有的自然科学和社会科学领域。
泛言之, 运筹学、信息科学、控制论等都可以归入“系统科学”这个大类。
6) 编码与密码学
在通讯中常要将字母转换为数字信号, 这就是“编码”。编码的方法多而广, 例如为了通讯保密故意改编原文(即“加密”), 但要使接收者能够再改编回原文 (即“解密”)。这方面的发展形成了“密码学”。
编码的作用远不止于保密。另一个重要作用是“纠错”。在通讯中难免出现信号传输错误, 采用适当的编码可以减少错误, 或在发生错误时自动纠正。在计算机和网络中大量使用编码。
最早的编码可能是由“聪明人”拍脑袋想出来的, 但编码的深度发展离不开数学。常用的数学工具有代数、数论、组合学等,但不排除使用其他数学方法。
7) 计算机科学
计算机最早的任务目标是将数学计算机械化, 其可能性是建筑在早期的数理逻辑基础之上。由于这个背景, 数理逻辑是今天计算机专业的学生都要学习的基础课。
计算机发明出来以后, 在使用中遇到很多新问题, 如计算机系统结构分析、计算机可靠性论证等, 遂形成专门研究这些问题的一个新学科, 即“计算机科学”。
当今的计算机科学是数学、电子科学、信息科学等学科和技术科学的交叉。不过早年的计算机科学是由一些数学家奠定基础的。我国计算机科学的创始人全是数学家。
计算机科学所用到的数学远不止数理逻辑, 数学物理的很多工具都要用到, 此外还有“离散数学”、代数、拓扑等。
8) 数理经济学
与统计学相似, 早年经济学所用到的数学很初等, 但19世纪有一些经济学家使用了较深的数学, 后来他们的工作被称为“数理经济学”。不过现代的数理经济学主要是1960年代以后的工作, 这些工作所用到的数学相当深。
在今天, 经济学的研究者若没有很好的数学素质, 是不可能在高端的经济学杂志发表文章的。
9) 博弈论
博弈论始于1920年代策墨罗, 波莱尔, 冯·诺依曼等数学家研究对抗性的游戏, 而对策不仅存在于游戏中, 也存在于生物行为、经济、军事、政治、社会关系、外交等领域, 所以后来有了广泛的应用。
有多位博弈论专家获得诺贝尔经济学奖。
10) 数学机械化
数学机械化起源于机器证明问题, 即能否用计算机来证明一个数学定理。1976年计算机被用来证明图论中的四色定理。不能期待用计算机证明一般的数学定理, 但可期望对某个数学领域有一个一般的方法, 可以证明限定范围的所有定理。
1970年代, 吴文俊给出了欧几里德几何中一般的标准类型定理的机器证明方法, 这可以理解为一大类数学定理可用计算机证明。后来实现的计算机程序, 可通过人机对话将问题输入, 计算机可自动寻找有关所输入的几何图形的所有定理, 并给出每个定理的证明(证明一般较为冗长但人可读, 参看 [10])。具体的实现过程使用符号计算。
数学机械化可使数学证明的工作大为减轻,不需要伤脑筋的工作即可解决。它可以看作一种人工智能。上述机器证明不仅比AlphaGo早得多, 也强得多(AlphaGo只能大概率地保证给出解决方案, 而上述机器证明能绝对保证给出解决方案)。
迄今为止在其他多个领域也有数学机械化的研究, 但尚未在其他领域得到如欧几里德几何领域那样完善的结果。
11) 管理科学
管理原属社会经验领域, 并无基本的科学的方法。自1920年代后数学家尝试用系统科学的方法研究管理, 逐渐产生了管理科学。
我国的管理科学的开创者都是数学家。
12) 非线性科学
“线性”是数学中的一种具有广泛应用的性质,例如在通讯中需要将信号放大而不改变信号的结构, 这就是“线性放大”。但另一方面, 通讯中的载波、检波等要改变信号的结构, 这是需要通过非线性的方法才能达到的。
“非线性”现象在物理学、天文学、地球科学、生命科学等很多学科和公共工程、电子技术等很多应用领域普遍存在,所涉及的问题相距甚远, 但在数学上有共性。由此形成一个专门研究非线性的交叉学科。
13) 金融数学
信贷、股票、期货、保险等金融课题的研究离不开数学, 而且深入的研究需要相当多的数学工具如微积分、概率论、组合学、微分方程等等。甚至还用到一些高深的数学工具, 例如山东大学彭实戈教授因对“倒向随机微分方程”的研究成果而受邀在国际数学家大会上做一小时报告, 就是因为这项成果可以应用于金融。
在1950年代后, 数学在金融研究中的日益重要作用形成了金融数学。当今不懂金融数学的人很难在高水平的金融杂志发表论文。
14) 精算学
精算学是针对金融领域的应用技术科学。
银行业、保险业、证券业等对社会提供各种服务“产品”, 需要服从一系列法规和其他规则, 而提供服务就要使客户盈利, 但同时自身也要获利, 这就涉及合理定价、避险等很多问题(例如分期付款的房贷应如何确定月供, 怎样安全地分散投资等等)。
对每个具体问题都需要专门建立数学模型来解决, 这样就形成了大量的数学模型和方法。一个“精算师”需要在微积分、概率统计等方面达标, 并掌握很多重要的数学模型。
除了上述学科外, 数学还在不断渗透到其他领域, 如生命科学、医学、军事、认知科学等等。今天人们已经认识到, 没有什么学科是数学不能进入的, 而数学的进入意味着新科学的形成。由此可见“数学是研究数量关系和空间形式的科学”之类观点实在太狭隘了。
5. 社会发展对于提高公民数学素质的需求
现代社会中的很多工作需要数学, 但大多数不是数学家做, 而是由非数学专业但具有合格数学素质的人做。因此, 公民的数学素质是综合国力的一个重要因素。很多科学发达的国家对公民的数学素质都很重视(参看 [9], [14], [18])。
那么, 怎样的数学素质才算合格呢? 那要看工作领域。举例说, 一个农村青年到城里打工做家装, 开始时是在工头的指挥下工作并学习技术, 用不到很多或较深的数学。但如果他有合格的小学数学素质, 不久就会看到经常有需要用到数学的工作, 例如计算墙面和地面面积, 进一步计算需要多少材料, 估计费用等等, 自己也可以做, 这样就可以自觉地提高工作能力,从而成为骨干工人。如果他的中学数学素质也合格, 那就还可以做需要更深的数学的工作, 如测量、管道与电路布线、施工设计与绘图等等, 数学素质更好的甚至可以设法节省材料, 为客户节约经费, 那么他就可以自己成立一个包工队, 而且得到客户的信任。这样的案例很常见。
多年前曹策问教授给小学生讲的``乾隆数塔''的故事, 也是数学素质的一个精彩案例。少林寺塔林大大小小的塔非常多, 很难数清, 乾隆皇帝想了一个巧妙的方法,就是让他的御林军士兵每人抱住一个塔, 等所有塔都被抱住后, 再将所有抱塔的士兵集合起来点人数, 这样很容易就数出了塔的个数。
就数学原理而言, 乾隆数塔用的是“一一对应”, 简言之两个能一一对应的有限集具有相同的元素个数。由于直接数塔很困难, 而数士兵却很容易, 这样就把一个难题转化为一个容易的问题了。
一一对应的原理, 好的小学生也能弄懂, 但很多高中生都还没弄懂。
那么, 对于更深的数学是否也有数学素质的需求呢? 较高的技术工作一般都需要大学以上是数学素质达标, 对于这些工作有所了解的人都不难看到。即使没学过较深数学的人, 从下面这个例子也能体会到数学素质的重要作用。
城市里的地铁一般是双线, 一个站台有两个不同方向的同一线路地铁, 但有例外。在下图中可以看到北京地铁的4号线和9号线, 它们在国家图书馆站交汇, 4号线由北向东南, 9 号线由国家图书馆站始发向南。在国家图书馆换乘站,4号线向北方向的车与9号线的终点站在同一个站台, 而4号线向东南方向的车与9号线的起点站在同一个站台。
为什么要采取这样不同常例的设计呢?
乘9号线到终点换乘的乘客, 大多数是转乘4号线向北, 因为若要转乘4号线向东南, 多半是绕远路, 不如直接从南方过去; 而乘4号线到国家图书馆站转乘的乘客, 多半来自北方, 因为来自东南方向的乘客可以在南方换乘。这样的设计, 使得大部分换乘乘客不必换站台, 给这些乘客多了方便, 但并没有给其他乘客增加不便; 另一方面,由于减少了乘客换站台, 降低了站内乘客流量, 提高了效率、可靠性和安全性。
如果设计者采用通常的安排(即4号线两个方向在同一站台, 9号线起点和终点在同一站台), 也不能说不合格。但上面这样的设计显然“更好”。这样的想法看上去很简单, 但没有很好的数学素质是想不到的。在数学上这称为“优化”,这是运筹学的一个核心概念。
这些案例都说明好的数学素质对于工作水平和质量的积极意义。遗憾的是, 经常看到数学素质不合格的情形。下面举几个网上看到的例子。
1) 2009年, 上海《新闻晚报》的一则报道说, 市区高速公路将更换5000块路牌, 总共耗费2亿元人民币。该消息使网上舆论大哗, 因为用2亿除以5000计算出一块路牌要40000元,被称为“天价路牌”。有人更进一步追问其中的猫腻。
《新闻晚报》后来刊登了文章进行了解释：这5000块指路牌只是一小部分，其实只占有所有更换量的五分之一。也就是总体要更换25000块各种路牌。所以，用 2亿除以5000来计算出40000一块路牌“太过于草率”。 然而这非但没有解决“天价”的问题(因为一块路牌8000元仍是太贵), 反而又多出新的问题。有的网民经过计算得出: 这么多路牌相当于在高速路上开车平均每秒钟遇到一块路牌, 这当然就更荒唐了。
此事后来是不了了之, 但可以作为数学素质差的一个典型案例。
2) 2009年, 某著名大学校长在接受采访时表示，素质要全面考量，一个所谓的高考状元的素质不一定比一个农村的孩子素质更高。 “不能一谈到素质就是说唱歌好跳舞好，农村的孩子在比较弱势的群体中成长起来，他们更会知道尊重别人，会更能吃苦。”
很快就有网民指出: 校长说话也犯逻辑错误。状元也可能是农村的孩子呀？(其实农村学生成为“高考状元”并不鲜见, 在有些地方甚至很常见。)
3) 2011年初, 河南平顶山市法院以“诈骗368万元高速公路通行费”的罪名判处时建锋无期徒刑，剥夺政治权利终身，并处罚金200万元。此案经相关媒体报道后, 网上舆论哗然, 称之为“天价过路费案”。 据报道时建锋“骗免368万元”的时间总共不过8个月, 每天一般只能运送一趟。如果过路费真的如此高, 那实在太黑了。
此案后来被河南省高级法院发回重审, 并对责任法官作出了处理。
4) 某国总统上任伊始, 要创造一些“政绩”。第一把火烧交通, 说高速公路两个方向各有两条道, 如果改划为三条道,不用花一分钱就可以将运力提高50%,下面一阵吹捧, 于是乎就实行了。结果可想而知, 交通事故大增, 于是又烧了
第二把火, 将两边都改回两条道。有趣的是, 这又被吹捧成伟大的政绩, 理由是: 两条道改划为三条道提高运力50% , 三条道改划为两条道降低运力不到34% , 两者相抵, 50% -34% =16% , 就是说至少净增运力16% , 一分钱没花。
5) 特朗普不久前谈到将在朝鲜半岛阵亡的美军士兵遗骸运回国一事, 说: 在竞选期间, 有成千上万的人要求我们这样做, 他们告诉我, 希望自己的儿子能被接回国。美国网民哄起来了: 朝鲜战争是在1950年代初, 即使那时一个士兵二十岁, 他父母现在也有一百多岁了。
只要留心, 这类数学笑话每天都可以在网上看到很多。
由此可见, 数学素质并不只是对于专业人员的要求, 对于普通公民都是需要的。
参考文献
[1] 初中数学新课程标准（2011年版）
[2] 方帆: “探究式教学法”是一种垃圾教学法理论
[3] 冯琦: 《数理逻辑导引》, 中国科学院大学教程 (2017)
[4] 姜树生: 谈数学教育的特殊性 ---- 兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期
[5] 姜树生: 李克强总理关于数学的发言与社会反响 (2015.4.)
[6] 姜树生: 现行统编中学数学教科书有多烂 (2016.11.)
[7] 李克正: 缅怀和发扬华罗庚先生对中国青少年数学人才培养的贡献 (2010.9.)
[8] 李克正: 《数学的哲学意义》 (首都师范大学讲义 2011-2013)
[9] 李克正: 英国中学数学人才培养考察报告. 数学通报 2012年第10期
[10] 李克正: 关于初等几何习题 (2018.5.)
[11] 莲溪: 是谁夺走了美国人的数学能力？--美国百年数学战争演义
[12] 任正非 2019 年 5 月 21 日答记者问
[13] 咸道: 致家长
[14] 严士健主编: 《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社 (1994)
[15] 尹裕: 寻回美好的中学时代. 数学通报 2006 年第 1 期
[16] 尹裕: 精英教育的迫切性与中国教育危机. 数学通报 2009 年第 4 期
[17] 朱忠明: 中学数学教程和高校数学教程的衔接问题探讨 (2016.11.)
[18] 朱忠明: 中学生数学素养测评模型的构建与实测研究 (2018.5.)