相对论动量和能量的一笔乱账

戴榕菁

1. 引言

原本以为经过了近一年的努力可以给狭义相对论了账了【[1]】，但随着对量子场论的问题的深挖，发现狭义相对论对于量子论的真正的负面影响在于所谓的相对论动量和相对论能量之间的关系：

E² = p²c²+m²c⁴                                     (1)

其中m是粒子的质量，c是真空中的光速。E是粒子的总能量，由下式给出

E = γmc²                                              (2)

p是粒子的动量，由下式给出

p = γmv                                               (3)

v是粒子运动速度，γ是所谓的洛伦兹因子，由下式给出：

γ = 1/√(1-v²/c²)                                   (4)

(1) 式之所以会成为量子场论的基本公式是因为量子场论的实验基础是众所周知的加速器，而加速器是不会直接测量粒子的速度的，连粒子的能量也不会去测，只会根据加速器自己消耗的能量去推算粒子的速度，能量，动量，甚至质量【[2]】。这样一来(1) 式便成为了量子物理学家的真正的所谓相对论依据。但作为包括量子场论在内的所谓的相对论力学（relativistic mechanics 【[3]】）的基本关系的 (1)式本身就是一笔乱账。所以有必要给它结个帐。

尽管有很多推导(1)式的文章，其实你根本找不到对 (1)式的严格推导，因为那是根本不存在的。当然，在已知狭义相对论是错了的前提之下，我们可以得出结论说所有关于(1)式的推导都是错误的。不过，既然这个世界上的大多数人还没有认识到狭义相对论是错的，而主流物理学界仍将它作为量子场论的基础，那么我们就从狭义相对论出发来看得出(1)式的这笔账有多乱吧。

你能找到的对 (1)式的推导主要有三种，第一种是用所谓的4向量（Four Vector）来推导，另一种是先推导出 (2)，然后从(2)式出发推出 (1) 式及 (3)式，还有一种是先推导出 (3)，然后从 (3)式出发推出 (1)式和 (2)式。其中任何一种推导都是将推导和定义混合起来。所以，也有人干脆将 (1)，(2)，(3)都作为定义给出，这虽然让人感觉很懵比，但实际上和对这三个公式看似唬人的所谓严格推导在本质上是一回事儿。文章后面的参考文献【3】中有不同的推导，其实都不外乎上述几种类型中的不严格的推导。说它们不严格，是与本文给出的推导相比较而言的。但因为狭义相对论是错的，即便是本文给出的推导也肯定不会是完全严格的。

这里我们不去讨论用所谓的4向量（Four Vector）来对(1)式的推导，因为那4向量（Four Vector）本身就是一笔乱账。下面我们先直接推导(2)式和(3)式，然后从(2)和(3)式推导(1)式。这将是在承认狭义相对论的前提下可以推出(1)式的最严格的途径了。最后，我们再来看为什么即便是这样最严格的途径仍然是一笔乱账。

2. 推导(2)式

在假定狭义相对论成立的前提下，我尝试着用各种途径来直接推导(2)式，但都不成功。最后在爱因斯坦最初发表狭义相对论的著名文章【[4]】中找到了对(2)式的最原始的不涉及其它定义的最直接的推导。由参考文献【4】可看出，爱因斯坦其实也不是在最一般的条件下推出(2)式的，而是针对电场中的自由电子推出(2)式的。而且他的出发点是今天的相对论学者最不愿提及的牛顿力学：

md²x/dt² = εX                                       (5a)

md²y/dt² = εY                                       (5b)

md²z/dt² = εZ                                        (5c)

其中ε是电子的电荷，X，Y，Z，是电场向量的在x，y，z三个方向上的分量，而md²x/dt²，md²y/dt²，md²z/dt²自然就是电子的在x，y，z三个方向上的加速度。所以，(5a-c)就是典型的经典牛顿定律的表达式。从上面三个公式出发，爱因斯坦又列出了在以速度v相对于（t，x，y，z）坐标系运动的（τ，ξ，η，ζ）中的相应公式，然后再运用洛伦兹变换（爱因斯坦在该文中自己在光速不变的前提下推导了一遍洛伦兹变换），爱因斯坦得出下面的关系：

W = mc²{γ-1}                                      (6)

其中W是电子在电场作用下获得的能量，也就是电子在电场中获得的动能。

我们将(6)式与著名的静止质量的质量能量关系E=mc²相结合，便可得出(2)式：

E = γmc²                                              (2)

3. 推导(3)式

从牛顿定律出发，在（t，x，y，z）坐标系中我们有：

dp/dt = F                                              (7)

在（τ，ξ，η，ζ）坐标系中我们有：

dp’/dτ = F’                                           (8)

其中p’和F’是电子在（τ，ξ，η，ζ）坐标系中的动量和受力。为了简便起见，这里我们只考虑受力方向与相对速度v的方向一致的情形。在这前提下，力为坐标变换下的不变量，所以我们有

dp/dt = dp’/dτ                                      (9)

因为dt/dτ =γ，所以我们有：

p = p’dt/dτ = γp’ = γmv                       (10)

对比(10)和(3)我们可看出它们是一样的。这里要强调一点：你在文献中找不到比上述过程更“严格”的推导(3)式的逻辑了。一会儿我们就会知道为什么要强调这一点了。

4. 由(2)和(3)推导(1)式

有了(2)和(3)再推导(1)式就比较容易了。

由(2)式平方得：

E²=m²c⁴ + c²(m²v²c²/(c²-v²))                (11)

由(3)式平方得：

p² = m²v²c²/(c²-v²)                               (12)

由(11)和(12)得到(1)式：

E² = p²c²+m²c⁴                                     (1)

5. 讨论

你找不到比上述推导过程更“严格”的推导(1)式的文章了，不信可以试试看。然而虽然上述推导过程乍看很“严格”，但实际上有很大漏洞。

首先，我前面提到由(9)到(10)是直接推导(3)式的最“严格”的步骤了，但实际上它是不对的，因为它混淆了粒子自身的运动速度与两个坐标系之间的运动速度。其实，如果粒子在（t，x，y，z）坐标系中的速度为v的话，那么它在（τ，ξ，η，ζ）就是0。所以，在对(3)式的推导中，粒子的运动速度和坐标系之间的相对运动速度是不能一样的。

但在所有的相对论力学中，在上述这一点上都打了马虎眼，也就是说在相对论力学中(3)式是独立于粒子自身的运动速度而普适地成立的。而这一马虎眼的一个直接的后果便是：在量子力学中，动量成为了可以独立于速度的物理量。这对量子力学来说是至关重要的一个基本原理。

与这一基本原理相对应的便是光子的动量为:

p=E/c                                                   (13)

大家或许会说，(13)式中的动量不是与光子的速度有关吗？其实，那是一个假象，因为在量子场论中光速c是个常量，因此它已经无所谓是否为具体光子的运动速度了。

所以，从表面上看，上述的推导过程似乎是从动量，能量，速度，和力的最基本的概念出发，一步步严格地推导出来的，其实根本不是这样的，因为在这过程中，即便我们把爱因斯坦用电子动力学公式得出的结果作为(2)式在一般情况下的正确公式，整个推导过程也不再是由基本的动量，能量，速度，和力的最基本的概念出发得出的结果了，这是因为作为其中最关键的量的动量是在相对论力学中重新定义了的量！

与之相应地，相对论力学中用动量守恒定律取代了经典力学中的牛顿第二定律。但是，如果你要想找到对于相对论力学中的动量守恒定律的严格推导的话，你一定会找到一地鸡毛。也就是说你会找到很多，但要么是错误的，要么就是简单干脆地将(3)式作为有质量的粒子的动量的定义，将(13)式作为光子等无质量粒子的动量的定义，然后直接要求这样定义的动量必须守恒。

在经典力学中，动量守恒是牛顿第二定律的直接推论，而到了量子力学，因为没有了牛顿第二定律，动量守恒就成为了没有前提条件的必然定律。

5.1. 牛顿定律与量子动量守恒的区别

那么，牛顿定律与量子动量守恒有什么区别呢？

很简单：牛顿定律一方面是由之前的观测数据中总结出来的经验定律，另一方面已经过了无数的实践数据的检验。

那么有人会说量子动量守恒不也受到检验了吗？

这里的区别在于，牛顿定律所接受的检验是计算的结果与直接测量的数据之间的对比；而量子力学的动量守恒一方面只是对经典力学的动量守恒的一种形式上的推广，另一方面它的所谓检验是将计算的结果与半测量半计算的结果进行对比（也就是说，量子力学的所谓检验是用量子力学推导出的结果与用基于狭义相对论的量子力学的公式对某一类的测量结果进行对比的检验）。这两者当然不可同日而语！

不仅如此，在量子场论的检验中，物理学家们会对一些基本的哲学逻辑进行修改，将碰撞了十亿次才出现一次且只维持了十的负22次方秒的在光滑曲线上的小隆包认定为必然的存在。

以这样的量子场论作为人类文明的自然哲学的基础，至少让我觉得无法释然，不知其他人都是怎么想的。

更何况，我们已经在量子场论以外的领域证明了狭义相对论是错的。。。。。。