如何高速计算这个积分# Computation - 科学计算
m*n
1 楼
Integrate[Exp[-a^2*x^2]*Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi), {x,-Infinity,Infinity}]
m,n是整数。
a= 10^(-4)-10^(-3)
m,n是整数。
a= 10^(-4)-10^(-3)
h*o
2 楼
有个想法，有待验证。
把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
的形式)。
××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
的数值解。××××
幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
至于泰勒展开，可以用mathematica。
【在 m****n 的大作中提到】
: Integrate[Exp[-a^2*x^2]*Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi), {x,-Infinity,Infinity}]
: m,n是整数。
: a= 10^(-4)-10^(-3)
把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
的形式)。
××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
的数值解。××××
幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
至于泰勒展开，可以用mathematica。
【在 m****n 的大作中提到】
: Integrate[Exp[-a^2*x^2]*Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi), {x,-Infinity,Infinity}]
: m,n是整数。
: a= 10^(-4)-10^(-3)
m*n
3 楼
这样处理，本积分(a= 10^(-4)-10^(-3)) 收敛太慢了。
如果a>>1，可以这么处理。
{x,-Infinity,Infinity}]
【在 h***o 的大作中提到】
: 有个想法，有待验证。
: 把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
: k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
: k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
: 的形式)。
: ××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
: 的数值解。××××
: 幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
: 至于泰勒展开，可以用mathematica。
如果a>>1，可以这么处理。
{x,-Infinity,Infinity}]
【在 h***o 的大作中提到】
: 有个想法，有待验证。
: 把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
: k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
: k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
: 的形式)。
: ××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
: 的数值解。××××
: 幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
: 至于泰勒展开，可以用mathematica。
m*n
4 楼
This one gives the conditions for the method by hanzo, thus it should be
marked.
【在 m****n 的大作中提到】
: 这样处理，本积分(a= 10^(-4)-10^(-3)) 收敛太慢了。
: 如果a>>1，可以这么处理。
:
:
: {x,-Infinity,Infinity}]
marked.
【在 m****n 的大作中提到】
: 这样处理，本积分(a= 10^(-4)-10^(-3)) 收敛太慢了。
: 如果a>>1，可以这么处理。
:
:
: {x,-Infinity,Infinity}]
c*e
5 楼
这个为什么是奇函数呢?看不懂,呵呵
【在 h***o 的大作中提到】
: 有个想法，有待验证。
: 把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
: k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
: k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
: 的形式)。
: ××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
: 的数值解。××××
: 幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
: 至于泰勒展开，可以用mathematica。
【在 h***o 的大作中提到】
: 有个想法，有待验证。
: 把Sin[x]^2/(x-n Pi)/(x-m Pi)在x=0泰勒展开成Sigma[a_k*x^k]
: k 是奇数的项不用管(奇函数，-Infinity to Infinity integration = 0)
: k 是偶数的项和Exp[-a^2*x^2]相乘积分可以表达为gamma函数(Gamma[p+1/2]
: 的形式)。
: ××××如果这个积分序列是收敛的，就可以用这种方法快速的算这个积分
: 的数值解。××××
: 幸好这是数值计算，不需要严格证明，所以验证还是不难的。
: 至于泰勒展开，可以用mathematica。
h*o
6 楼
首先，还是那句话，我没实际做，只是凭空想的，可能想的和实际上的差别很大。
有个问题是，你这里的收敛慢是指每个gamma函数积出来的时候都会除以一个
a^k, 而a很小，所以最后连加的每项都很大，所以趋进于0很慢，是吗？
我是在想，也许泰勒展开项的符号是正负交错的，如果把几项合并，也许
可以正负抵消一些，导致他们的和会比较快的趋近于0。
这仍然是我的一个空想，现实往往不会这么完美。这个问题我估摸着很象解ODE
里面的stiff问题，你可以查一查这个方面的东东。如果实在不行了，不妨试试
我这个方法，毕竟是一些四则混合运算，比普通的硬积还是要快些的吧。
【在 m****n 的大作中提到】
: 这样处理，本积分(a= 10^(-4)-10^(-3)) 收敛太慢了。
: 如果a>>1，可以这么处理。
:
:
: {x,-Infinity,Infinity}]
有个问题是，你这里的收敛慢是指每个gamma函数积出来的时候都会除以一个
a^k, 而a很小，所以最后连加的每项都很大，所以趋进于0很慢，是吗？
我是在想，也许泰勒展开项的符号是正负交错的，如果把几项合并，也许
可以正负抵消一些，导致他们的和会比较快的趋近于0。
这仍然是我的一个空想，现实往往不会这么完美。这个问题我估摸着很象解ODE
里面的stiff问题，你可以查一查这个方面的东东。如果实在不行了，不妨试试
我这个方法，毕竟是一些四则混合运算，比普通的硬积还是要快些的吧。
【在 m****n 的大作中提到】
: 这样处理，本积分(a= 10^(-4)-10^(-3)) 收敛太慢了。
: 如果a>>1，可以这么处理。
:
:
: {x,-Infinity,Infinity}]
h*o
7 楼
exp[-a^2*x^2]*x^k, k如果是奇数，这个当然是奇函数了
【在 c*******e 的大作中提到】
: 这个为什么是奇函数呢?看不懂,呵呵
【在 c*******e 的大作中提到】
: 这个为什么是奇函数呢?看不懂,呵呵
m*n
8 楼
对于本积分，这样处理有两个问题
1。Gamma函数值很大，这样计算累计误差很大。
2。收敛慢，是由于三角函数的Taylor展开对大综量慢收敛。对于本积分，由于a很小，导
致积分区间很大，所以，级数展开效率不开。如果a远大于1，有效积分区间[-1，1]，三
角展开收敛较快，但是实际计算时，仍然要使用计算正负交错级数的Euler公式。
这个积分可以转化到[0,Pi]区间计算，工作量大一些，但是我现在不考虑它了，反正累得
是计算机。
【在 h***o 的大作中提到】
: 首先，还是那句话，我没实际做，只是凭空想的，可能想的和实际上的差别很大。
: 有个问题是，你这里的收敛慢是指每个gamma函数积出来的时候都会除以一个
: a^k, 而a很小，所以最后连加的每项都很大，所以趋进于0很慢，是吗？
: 我是在想，也许泰勒展开项的符号是正负交错的，如果把几项合并，也许
: 可以正负抵消一些，导致他们的和会比较快的趋近于0。
: 这仍然是我的一个空想，现实往往不会这么完美。这个问题我估摸着很象解ODE
: 里面的stiff问题，你可以查一查这个方面的东东。如果实在不行了，不妨试试
: 我这个方法，毕竟是一些四则混合运算，比普通的硬积还是要快些的吧。
1。Gamma函数值很大，这样计算累计误差很大。
2。收敛慢，是由于三角函数的Taylor展开对大综量慢收敛。对于本积分，由于a很小，导
致积分区间很大，所以，级数展开效率不开。如果a远大于1，有效积分区间[-1，1]，三
角展开收敛较快，但是实际计算时，仍然要使用计算正负交错级数的Euler公式。
这个积分可以转化到[0,Pi]区间计算，工作量大一些，但是我现在不考虑它了，反正累得
是计算机。
【在 h***o 的大作中提到】
: 首先，还是那句话，我没实际做，只是凭空想的，可能想的和实际上的差别很大。
: 有个问题是，你这里的收敛慢是指每个gamma函数积出来的时候都会除以一个
: a^k, 而a很小，所以最后连加的每项都很大，所以趋进于0很慢，是吗？
: 我是在想，也许泰勒展开项的符号是正负交错的，如果把几项合并，也许
: 可以正负抵消一些，导致他们的和会比较快的趋近于0。
: 这仍然是我的一个空想，现实往往不会这么完美。这个问题我估摸着很象解ODE
: 里面的stiff问题，你可以查一查这个方面的东东。如果实在不行了，不妨试试
: 我这个方法，毕竟是一些四则混合运算，比普通的硬积还是要快些的吧。
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