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PD是否可以重复使用？

PD是否可以重复使用？# EB23 - 劳工卡

s*y2018-09-18 07:09

1 楼

common core 在美帝处2010年左右兴起，大家讨论无数。
中土2002人教课本就采用了common core，具体如下：
（1）初中数学不分科：袋鼠几何在一起叫。
（2）大大降低几何难度，从要求演绎（逻辑证明）到归纳（又叫手工课）。平几逻
辑证明的部分放到高中
（3）几何的名称在初中课本取消，改为图形和空间。
（4）高中开设必修，选修。
谈几点体会：
（1）看看中土的改革，才体会到什么是跨越式发展：中央统一决定，全国一下推广
。反观美帝吵吵嚷嚷，十年之后还在吵吵嚷嚷。
（2）板上85后父母不多哈。 00后上中学，到现在也该有娃了。
（3）娃家长要是还在醉心于“双鸡”：基础知识扎实，基本技能过关，建议放狗搜
国际章娃的小名。中土已经全面拥抱构建式数学。
关于中土数学教育的变迁，详情见 http://math.ecnu.edu.cn/academia/sxjyzw/pdf/f017.pdf

B*n2018-09-18 07:09

2 楼

明年夏天可能换工作，但是EB3 PD15/9 马上就可以交了，如果现公司交了485，到时候
485pending的时候换到了新公司，是不是需要withdraw?到时候新公司再交485可以还用
以前140的pd吗？谢谢！

t*l2018-09-18 07:09

3 楼

祖国有数学高考指挥棒，就好比有 AMC12，虽然也叫构建式数学，我猜跟美帝 Common
Core CCSS-SBAC 的 explanation-driven 我觉得可能是形似而神不似。
当然我没去国内实地调研，我不知道实情。
传统数学太强调双基那块，确实意义不大。主要是大部分娃将来也不去数学专业。

：common core 在美帝处2010年左右兴起，大家讨论无数。

x*82018-09-18 07:09

4 楼

可以

【在 B*********n 的大作中提到】

: 明年夏天可能换工作，但是EB3 PD15/9 马上就可以交了，如果现公司交了485，到时候
: 485pending的时候换到了新公司，是不是需要withdraw?到时候新公司再交485可以还用
: 以前140的pd吗？谢谢！

r*f2018-09-18 07:09

5 楼

嗯俺同学的娃在上海的私立小学，练习册就是cc那个调调。
无知地问一下，为啥cc要让小朋友反复练习1=5-4这种形式啊，前两年没这么抽呀。

l*n2018-09-18 07:09

6 楼

交485 半年之后换相同相似工作，不用重新PERM 140，也不用重新485.

【在 B*********n 的大作中提到】

r*f2018-09-18 07:09

7 楼

双基是什么的简称呀

B*n2018-09-18 07:09

8 楼

谢啦会换比较不一样的工作

【在 l*******n 的大作中提到】

: 交485 半年之后换相同相似工作，不用重新PERM 140，也不用重新485.

s*n2018-09-18 07:09

9 楼

我觉得是楼主文中说的 - 基础知识扎实，基本技能过关，

【在 r*f 的大作中提到】

: 双基是什么的简称呀

t*l2018-09-18 07:09

10 楼

我觉得传统数学的双基，在算术阶段，从现代电算社会的角度看，确实是过犹不及。
但美式的 “构建式数学”，从前代数到代数阶段，在传授基础知识方面，我觉得有点
太强调 “构建”，学习基础知识的速度太慢。
我觉得这个原因是，按旁边 “stimulus => explicit memory => priming =>
implicit memory” 理论：
算术阶段是 Concrete Operation，如果不是要训练人肉计算器熟练工，基础知识（
explicit memory）不用上课教，日常人类社会生活经验就有了。
但代数阶段是 Formal Operation，有争议的说，Formal Operation 的基础知识（
explicit
memory）无法从日常经验获得，必须要读点合理数量的经书先（合理填鸭 explicit
memory 先），然后才能谈 “构建” 或 priming implicit memory。

：common core 在美帝处2010年左右兴起，大家讨论无数。

t*l2018-09-18 07:09

11 楼

当然说实话，一般不能指望中年妇女会对 “双基” 的看法有哪怕一点点的松动。版上
n 年铁板钉钉的历史。这是因为大脑修改过去的记忆，塞进去的信息转眼就给修改了。
不过另一方面，就好比电影里警察总是先念两遍权利求心安先，然后该干嘛干嘛。所以
该念权利的时候就念，当然念完两遍得心安后就不用浪费带宽了。古人云：君子动手不
动口的前提，是前天权利已经念过两遍了。

：common core 在美帝处2010年左右兴起，大家讨论无数。

t*l2018-09-18 07:09

12 楼

或者用上面 “警察念两遍权利求心安” 的理论，对于代数和前代数 (Formal
Operation) 阶段，比如 “分配率/无理数/素数分解唯一性” 等等之类的，真不能指
望娃能自己 “发现” 或 “创建”。
而指望老师 “诱导” 下 “娃发现”，在代数和前代数这种 Formal Operation 阶段
的问题，是老师说老师们自己解 AIME，可能也只会用奇偶性(Concrete Operation)，
而没看出来素数分解唯一性(Formal Operation)。这样的话，在 Formal Operation 阶
段，搞 “盲人骑瞎马式诱导创建”，那 “夜半临深池” 则是钢钢的风险。
所以我觉得在代数前代数阶段（对应于 Formal Operation 阶段），我觉得先把基础知
识合理填鸭了求心安。这就好比警察先念两遍权利求心安，不需要警察先念个法学院。
之后老实说很多也是上帝的事。弼马温说了，伯乐和千里马都不容易找，所以念完两遍
权利后，再出现 “近视眼骑近视马式诱导创建”，也是人之常情。警察们总不指望每
个小偷听完两遍权利以后，都主动热情要求申请法学院！！

：我觉得传统数学的双基，在算术阶段，从现代电算社会的角度看，确实是过犹不及。：

s*y2018-09-18 07:09

13 楼

赞“中年妇女”！
好像板上基本都是70后85前，娃还没上小学，对数学的理解停留在九九表和四则混合
运算，近世代数基本闻所未闻。热衷于kumon，新加坡数学一类的东东，唯一知道的
就是退娃多做练习，觉得中土数学基础最扎实／美帝数学最虚。
我一个中年大叔，神神道道的老来念数学不是算数，娃的兴趣最重要，基础不基础是
相对的，美式教育有其
优势，没有气泡线一说，别天天背九九表了。我自己看自己都有问题，特么loser
啊！

了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 当然说实话，一般不能指望中年妇女会对 “双基” 的看法有哪怕一点点的松动。版上
: n 年铁板钉钉的历史。这是因为大脑修改过去的记忆，塞进去的信息转眼就给修改了。
: 不过另一方面，就好比电影里警察总是先念两遍权利求心安先，然后该干嘛干嘛。所以
: 该念权利的时候就念，当然念完两遍得心安后就不用浪费带宽了。古人云：君子动手不
: 动口的前提，是前天权利已经念过两遍了。
:
: ：common core 在美帝处2010年左右兴起，大家讨论无数。

t*l2018-09-18 07:09

14 楼

我赞同你说的在电算年代，强迫娃背诵九九表而杀数学兴趣的话，绝对属于沙比行为。
真要热心乘法，那也不如让娃多玩玩一位数乘法游戏，数字大点借助个娃版玩具算盘或
任何实物。玩够小时数，那九九表就在娃心里自然出现了。（最后学校会给加强记忆一
把的，那时已经水到渠成了，不属于强迫）。
实践例子：
我家小娃前天在上学路上，想了很久，终于算出来 9*2 = 18。然后算 9*3 = ?，小娃
算了半天算更久，但算错了，算成了 28。然后我告诉小娃应该是 27。
而昨天上学路上，小娃算 9*2 还是花点时间算。但算 9*3 = ? 小娃半秒钟就说是 27。
我问小娃你是不是记住的昨天的，小娃笑了。我跟小娃说算多了记住是自然的。老爸乘
法都是记住的，否则一把老骨头了不可能算那么快。
理论而言：
因为九九表，在理论上是属于 Concrete Operation。Concrete Operation 是娃娃能自
己在诱导下能够发现创建的。而电算社会对计算的速度正确率要求不高的前提下，纯粹
死记硬背杀兴趣，是属于自己把自家娃当沙比使。话糙理不糙！！

：赞“中年妇女”！

f*g2018-09-18 07:09

15 楼

国内小学/初中数学作业至少是美帝的10倍有没有？
谁说commen core就不做练习了？
中小学数学那点儿东西，什么课本有什么差别

t*l2018-09-18 07:09

16 楼

不需要 over-engineering 是事实。
但 “中小学数学那点儿东西” 好像不能论证 “什么课本有什么差别”？
否则的话，人类每天就吃的那点儿东西，那改成一顿吃完一天的，或者改成光吃米饭不
吃肉，那也不行吧。

【在 f**********g 的大作中提到】

: 国内小学/初中数学作业至少是美帝的10倍有没有？
: 谁说commen core就不做练习了？
: 中小学数学那点儿东西，什么课本有什么差别

t*l2018-09-18 07:09

17 楼

其实这个是 “电梯测验(elevator pitch)” 跟 “米兰达警告(miranda warning)”
的两种人类发言的基本动机差别。
电梯测验(elevator pitch) 的动机是求销售。
米兰达警告(miranda warning) 的动机是求心安。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 赞“中年妇女”！
: 好像板上基本都是70后85前，娃还没上小学，对数学的理解停留在九九表和四则混合
: 运算，近世代数基本闻所未闻。热衷于kumon，新加坡数学一类的东东，唯一知道的
: 就是退娃多做练习，觉得中土数学基础最扎实／美帝数学最虚。
: 我一个中年大叔，神神道道的老来念数学不是算数，娃的兴趣最重要，基础不基础是
: 相对的，美式教育有其
: 优势，没有气泡线一说，别天天背九九表了。我自己看自己都有问题，特么loser
: 啊！
:
:

t*l2018-09-18 07:09

18 楼

另外起跑线是有的，起跑失误也是有的。
但是 “（必须）赢在起跑线” 就是个沙比的说法。就说当今百米世界冠军博尔特吧，
别说起跑线了，前 40 米都是落后的！

【在 s**********y 的大作中提到】

n*f2018-09-18 07:09

19 楼

请问小学一年级的数学大纲，哪里查得到。
现在都不知道他们的教学要求。

t*l2018-09-18 07:09

20 楼

Common Core 网站上有。
小学一年级不教乘法好像，我自己在小娃上学路上 spiral 的。主要是走路太无聊，路
边花花草草天天一个样。

：请问小学一年级的数学大纲，哪里查得到。

t*l2018-09-18 07:09

21 楼

CCSS California Standard:
http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/documents/ccssmathstandardaug2013.PDF

【在 n****f 的大作中提到】

: 请问小学一年级的数学大纲，哪里查得到。
: 现在都不知道他们的教学要求。

t*l2018-09-18 07:09

22 楼

http://www.corestandards.org/Math/Content/1/introduction/

【在 n****f 的大作中提到】

: 请问小学一年级的数学大纲，哪里查得到。
: 现在都不知道他们的教学要求。

n*f2018-09-18 07:09

23 楼

太谢谢了。

【在 t******l 的大作中提到】

: http://www.corestandards.org/Math/Content/1/introduction/

f*g2018-09-18 07:09

24 楼

所以就算中国用了commen core还是要练习啊。本质不在课本形式而在于是否重视数学
，是否练习。
大家对美帝数学的怨言好像并不主要是common core吧？当然了，我不清楚别家。反正
我并不关心学校到底用的什么教材，学到东西就行。然后技术实在太不熟练影响了接着
往下学（比如十以内的加法都拎不清根本没法进行乘法，三角形基本概念性质搞不清楚
根本没法思考复杂的问题，四则运算一团浆糊algebra显然不灵），所有偶尔做点儿练
习强化巩固一下。

【在 t******l 的大作中提到】

: 不需要 over-engineering 是事实。
: 但 “中小学数学那点儿东西” 好像不能论证 “什么课本有什么差别”？
: 否则的话，人类每天就吃的那点儿东西，那改成一顿吃完一天的，或者改成光吃米饭不
: 吃肉，那也不行吧。

t*l2018-09-18 07:09

25 楼

另外我虽然抨击 “美式构建式数学教育” 在代数/前代数/Formal-Operation 阶段有
问题，但我并不是说 “传统数学教育” 的双基在代数/前代数/Formal-Operation
阶段就没有问题。
其实我觉得 “传统数学教育” 的 “代数/前代数” 阶段，其过于重双基的问题也不
小，但是被改掉了所以我大部分时间不提。我这里先提几个最明显的：
（1）“传统数学教育” 重二次方程求根公式，轻 “complete an (algebraic)
square” 的概念。这个实在是很坑爹，具体原因不说了。我就问谁上班以后还记得二
次方程求根公式哪怕一点点？而且这种公式记忆稍有模糊也不敢用，错了咋办？
（2）“传统数学教育” 过量搞那些初中整数因式分解 guess & check。这个简直是吃
饱了撑的。这不做 AIME 一辈子也用不到那些整数因式分解。真要做 AIME，人 USAMO
qualifiers 随便拿那个，以 rational root theorem 为本、以 prime factorization
为纲，直接把初中整数因式分解三八红旗手，扁到臭水塘里没商量！
（3）“传统数学教育” 在欧氏几何，装模作样依葫芦画瓢地，写个所谓的严格证明。
这个最最搞笑了。尼玛不是 USAMO qualifiers 写个屁装模作样的证明，先保证 AMC
选择题和 AIME 填空题不拿零蛋，更实在。
也就是说，大部分普通娃的所谓数学证明，只要在脑子里有个证明的思想，保证题目不
做错，就行了。最多也就是课堂测验照老师的黑板写个证明，就是跟老师说，上课我听
讲了，不真作为解题评分标准。
否则的话，依葫芦画瓢写一堆普通娃自己也看不懂的所谓严格数学证明，球用。
我不客气的说，写严格数学证明是人 USAMO qualifiers 的事，一个国家每年有 500
个就行了。普通娃就不用参和了。话糙理不糙！！）

【在 s**********y 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

26 楼

另一方面，我觉得 “美式构建式数学教育”，在代数/前代数/Formal-Operation 阶
段最大的问题，两个：
其一：是在 Formal Operation 阶段，没有考虑 Formal Operation 阶段的特点，照抄
小学阶段 Concrete Operation 的 spiral 教学法。这带来 (a) 教学进度太慢，教授
的基础知识太少，花太多时间在不必要的 spiral 上，(b) 在 Formal Operation 的
spiral 的循序渐进层面，也有问题。
这个原因是 Formal Operation 是有明显的阶段性和结构性的，而 spiral 的时候很难
越过阶段性和结构性的边界。举个例子就是：
Algebra 1 和 "linear" geometry / "linear" analytic geometry，比如 solve
linear equation, solve system equations, complete a square, solve quadratic
equation, equation of line, slope of line, slope of perpendicular line, 等等
等等，好比是 Concrete => Formal-v1.0 的阶段，或者说，从具体到抽象的阶段。
而 "quadratic / parabolic" analytic geometry，比如 parabolic curve，那个是
Formal-v1.0 到 Formal-v2.0，或者说，从抽象到抽象。
也就是说，常人理解 parabolic curve and it's equation，全部就是基于前导的代数
内容。这个样的话，我个人觉得把 parabolic curve and it's equation，spiral 太
早的意义不大。
或者这就好比小学算术里，加法没全学完，不影响 spiral 简单乘法，甚至除法分数都
可以 spiral 一点点。但如果数数都数不到 20 的话，那 spiral 乘法就跟 spiral 搭
积木看看，没有区别，效果很怀疑。
而对于 spiral 解析几何的 parabolic curve and it's equation 而言，manipulate
algebraic square 就相当于数数。我真心觉得快点把数数搞到 20 再说，然后
parabolic curve 的特征，全部由 complete an (algebraic) square 导出（所谓的
algebra 2 从低级抽象到高级抽象），否则 parabolic curve and it's equation 怎
么对得上号？

【在 t******l 的大作中提到】

: 另外我虽然抨击 “美式构建式数学教育” 在代数/前代数/Formal-Operation 阶段有
: 问题，但我并不是说 “传统数学教育” 的双基在代数/前代数/Formal-Operation
: 阶段就没有问题。
: 其实我觉得 “传统数学教育” 的 “代数/前代数” 阶段，其过于重双基的问题也不
: 小，但是被改掉了所以我大部分时间不提。我这里先提几个最明显的：
: （1）“传统数学教育” 重二次方程求根公式，轻 “complete an (algebraic)
: square” 的概念。这个实在是很坑爹，具体原因不说了。我就问谁上班以后还记得二
: 次方程求根公式哪怕一点点？而且这种公式记忆稍有模糊也不敢用，错了咋办？
: （2）“传统数学教育” 过量搞那些初中整数因式分解 guess & check。这个简直是吃
: 饱了撑的。这不做 AIME 一辈子也用不到那些整数因式分解。真要做 AIME，人 USAMO

t*l2018-09-18 07:09

27 楼

我觉得 “美式构建式数学教育” 在“前代数”阶段的第二个问题，是对 “严谨但概
念级的证明” 和 “形象证明”，矫枉过正。这个问题我打个 ELA 的比方，比较容易
理解：
这就好比从前学校教育，让娃娃写作写无数 fiction writing。
然后一堆娃娃上书皇上，说尼玛我一辈子也不会写哪怕一本古龙武侠，我这中小学里练
那么多武侠 fiction writing 有球用？
然后皇上圣旨下来了，说既然这样，那么 fiction writing 不用大量学了，而且古龙
武侠啥的也不用 reading 了，fiction reading log 取消了。
结果古龙哭了。这下子书商的一万本古龙武侠砖头，可以用来垫床，还可以用来砌墙，
还可以修浴缸。。。
这个意思是，好比 ELA 有泛读/精读/写作。那数学老师照本宣科，把人类数学系统的
重要证明跑一遍，同时保证娃娃都听了，就好比警察在小偷面前念两遍米兰达警告求心
安不是？
或者另一个角度，这 priming implicit memory 确实看造化.但教师保证填上合理的
explicit memory，保证 explicit memory 不成为瓶颈，求个心安，总是应该的吧。
还有一个角度就是，这一国每年只要有五百人写证明就够了，这不错。但还得有五百万
人（没写错，是五百万）看个 paper 证明，看个半懂不懂、货比货一下，打算采纳哪
家不是？否则那五百人写的证明有球用嘛。

【在 t******l 的大作中提到】

: 另一方面，我觉得 “美式构建式数学教育”，在代数/前代数/Formal-Operation 阶
: 段最大的问题，两个：
: 其一：是在 Formal Operation 阶段，没有考虑 Formal Operation 阶段的特点，照抄
: 小学阶段 Concrete Operation 的 spiral 教学法。这带来 (a) 教学进度太慢，教授
: 的基础知识太少，花太多时间在不必要的 spiral 上，(b) 在 Formal Operation 的
: spiral 的循序渐进层面，也有问题。
: 这个原因是 Formal Operation 是有明显的阶段性和结构性的，而 spiral 的时候很难
: 越过阶段性和结构性的边界。举个例子就是：
: Algebra 1 和 "linear" geometry / "linear" analytic geometry，比如 solve
: linear equation, solve system equations, complete a square, solve quadratic

t*l2018-09-18 07:09

28 楼

Q：比如十以内的加法都拎不清根本没法进行乘法
A：小学 K 班数学课每天搞 10 以内加减法，啥烂校会 10 以内加减法搞不清？10 以
内加减法搞不清还推 MOEMS？Give me a break 啊。
----------------------------------------------------
Q：三角形基本概念性质搞不清楚根本没法思考复杂的问题
A：这个确实是事实，但重复熟练技术程度不管用吧。例子就是前面的 1983 AIME
Problem # 4 ，网上两个答案都不是真正欧氏几何 chase the triangles 出来的。
----------------------------------------------------
Q：四则运算一团浆糊algebra显然不灵
A：这个确实是事实，但四则运算靠重复练熟技术的，对 algebra 不管用吧。例子就是
前面的 2015 AIME I Problems # 3，好像对四则运算要求，不超过过两位数乘法和三
位数加减法？况且很多连奇偶性是素数分解唯一性的特例，而且奇偶性在多项式上常常
只能是特例情况，都没搞清楚不是？

【在 f**********g 的大作中提到】

: 所以就算中国用了commen core还是要练习啊。本质不在课本形式而在于是否重视数学
: ，是否练习。
: 大家对美帝数学的怨言好像并不主要是common core吧？当然了，我不清楚别家。反正
: 我并不关心学校到底用的什么教材，学到东西就行。然后技术实在太不熟练影响了接着
: 往下学（比如十以内的加法都拎不清根本没法进行乘法，三角形基本概念性质搞不清楚
: 根本没法思考复杂的问题，四则运算一团浆糊algebra显然不灵），所有偶尔做点儿练
: 习强化巩固一下。

t*l2018-09-18 07:09

29 楼

我觉得我对这个 math wars 话题灌得基本差不多了。
如果最后来个 elevator pitch 的话，在电算年代对数学教育的反思，从 priming
implicit memory 的角度看，大方向是从 "repetition priming" 向 "perceptual /
conceptual / semantic / associative priming" 的转换过程。当然具体战术上如何
转换，是一门学问。
另外中年妇女对 "repetition priming" 情有独钟也是可以理解的，毕竟 "repetition
priming" 的别名是 "direct priming"，见效最快。所以米兰达宣读一下求心安即可
，因为说了都是白说，elevator pitch 也是球用。
维基词条：
http://en.wikipedia.org/wiki/Priming_(psychology)

【在 s**********y 的大作中提到】

r*f2018-09-18 07:09

30 楼

晕，我怎么觉得小孩他们没有背九九表，老师让画了一阵的array之后，就上个位数和
个位数的算式，一堆堆的，讲了乘以一和零会怎么样，然后他们班都做得挺好啊，除了
粗心的就没有做不出来的，互相都知道准确率。

t*l2018-09-18 07:09

31 楼

哥们美帝早不是传统数学了。九九表确实有，但很靠后所以基本都不硬背，靠玩熟以后
刷一下就成。
要早早背九九表的是 pushy mama 而不是小学教师。

：晕，我怎么觉得小孩他们没有背九九表，老师让画了一阵的array之后，就上个位数和
：个位数的算式，一堆堆的，讲了乘以一和零会怎么样，然后他们班都做得挺好啊，除
了粗心的就没有做不出来的，互相都知道准确率。

r*f2018-09-18 07:09

32 楼

数和
嗯，懒人也有懒人的开心啊

【在 t******l 的大作中提到】

: 哥们美帝早不是传统数学了。九九表确实有，但很靠后所以基本都不硬背，靠玩熟以后
: 刷一下就成。
: 要早早背九九表的是 pushy mama 而不是小学教师。
:
: ：晕，我怎么觉得小孩他们没有背九九表，老师让画了一阵的array之后，就上个位数和
: ：个位数的算式，一堆堆的，讲了乘以一和零会怎么样，然后他们班都做得挺好啊，除
: 了粗心的就没有做不出来的，互相都知道准确率。

h*m2018-09-18 07:09

33 楼

我举个手，我现在还记得二次方程求根公式，不就是“二诶分之负毕加减根号下毕方减
四诶西“嘛！
多谢中文的单音节特点，这一句口诀不算很长，还记得住。: D
其实乘法表也差不多，朗朗上口，像诗一样，对于小朋友来说，记忆的难度不像我们想
象得那么大。小朋友们机械记忆力本来就强，很多孩子能在不理解意思的情况下背诵几
十上百首唐诗，记一大堆绕口的恐龙名字，其他的像地名什么的毫无逻辑关系的名词也
不在话下。要让他有兴趣喜欢背，可以通过用flash card，游戏，比赛之类的方法，关
键是不要当做数学，就像记单词一样记下就好。
下面正式亮出关于乘法表的反方观点：学个位数乘法要有效率的话还是要背。所谓“玩
“一位数乘法，其实和乘法没什么关系，还是在操练加法和十进制。你说5x5的一个阵
列，就是那么多东西，为什么是25个？如果是八进制，不就是5x5=31了？5x5等于25还
是31，就像是桌上一个红色的圆的水果是一个“苹果“，还是一个“apple"，一个长鼻
子动物是“大象”还是“elephant"，取决于所用的表达体系。大概的道理明白了，知
道乘法的得数是怎么来的就行，不用一条一条去“构建“出自己的乘法表吧？只要把结
论记扎实就行了呗。但是也可以理解学校的做法，干吗要那么有效率呢？反正孩子们有
大把的时间学习那么一点东西，玩儿吧玩儿吧没关系。不过要把这学校的教（玩）法当
成金科玉津，把“背乘法表”说成是“沙比行为“，实在是不能苟同。
还有需不需要熟记个位数乘法表，跟电算时代有啥关系？电算时代了，算个七八五十六
还会算错，或要掏个计算器出来，是不是会被鄙视？不管啥时代，人的基本智能水平还
是得保证的吧。
说到电算时代，再回到二次方程求根公式。正是因为到了电算时代，更确切地说是信息
时代，才更体现出求根公式的方便性，你不需要记住这个公式，你只需要知道有这么一
个公式，实际中遇到需要解方程时，拿出手机，上网搜一下找到公式，换成计算器，
abc分别带入，完活。而“complete a square"才是真正的手工运算，根本不需要计算
器，与电算时代格格不入啊。当然能在不用公式的情况下，手工解二次方程本身在其他
人眼里还是很酷地，就像不用计算器算多位数乘法一样，说不定能用来泡妞也未可知啊
，哈哈。

USAMO

【在 t******l 的大作中提到】

s*y2018-09-18 07:09

34 楼

略点评几点：
小学乘法是重点，不是难点。乘法过了，乘方，开方，指数，对数，都可以引入
了，娃接受的也很自然。
3 ＊ 3
3 ^ 2
涉及的运算是一样的。
加上猜一猜， algebra I 的内容基本cover。
从大处说，中学数学最重要的两个概念：代数和逻辑，都不是中国人引入的。从历
史上来说，在两千年的历史中，国人没有发展出逻辑和符号系统。所以从目标上来说
，算得快和算的准早已不是目标（即便倒退到中世纪，在电算之前，这一论断任然
成立。应该承认这些（非中土）数学家对人类的贡献）。
重要的事情说三遍：算数过了就过了，重点代数和逻辑。救救表反逻辑，无助于代数
运算（乘方，开方，指数，对数）。
好的数学从不备救救表开始，苏菲云说。
本人纵横MITBBS10余年，最后一帖。

【在 h*****m 的大作中提到】

: 我举个手，我现在还记得二次方程求根公式，不就是“二诶分之负毕加减根号下毕方减
: 四诶西“嘛！
: 多谢中文的单音节特点，这一句口诀不算很长，还记得住。: D
: 其实乘法表也差不多，朗朗上口，像诗一样，对于小朋友来说，记忆的难度不像我们想
: 象得那么大。小朋友们机械记忆力本来就强，很多孩子能在不理解意思的情况下背诵几
: 十上百首唐诗，记一大堆绕口的恐龙名字，其他的像地名什么的毫无逻辑关系的名词也
: 不在话下。要让他有兴趣喜欢背，可以通过用flash card，游戏，比赛之类的方法，关
: 键是不要当做数学，就像记单词一样记下就好。
: 下面正式亮出关于乘法表的反方观点：学个位数乘法要有效率的话还是要背。所谓“玩
: “一位数乘法，其实和乘法没什么关系，还是在操练加法和十进制。你说5x5的一个阵

t*l2018-09-18 07:09

35 楼

错得比较离谱：
不硬背九九表一样可以心算。Implicit memory 玩中建立，乱中取胜。
不硬背二次方程求根公式，一样可以用 complete a square 手算二次方程。而且普通
正常人知道能 complete a square，必然知道有求根公式，自闭的另说。
不硬背，一样可以手工估算 2^7000 展开来有几位，以及第一位数字是几。
等等等等。

：我举个手，我现在还记得二次方程求根公式，不就是“二诶分之负毕加减根号下毕方
减四诶西“嘛！
：多谢中文的单音节特点，这一句口诀不算很长，还记得住。: D

t*l2018-09-18 07:09

36 楼

其实很多就是嘴硬而已。很多当初九九表背得滚瓜烂熟的，现在查个小孩的计算题都按
计算器的。（我有 pushy mama 微信群内线哈哈哈哈哈哈哈，别以为娃娃之间不交流心
得哈哈哈哈哈哈哈）。
心理学研究早就证明了，人在芳龄十八之后，explicit memory 能力随之年龄增长越来
越弱，但 implicit memory 不弱反强。
认知心理学说，不强调背九九表的意思，即使在纯计算方面，也并不是不要求手算心算
乘法。而是以牺牲一点短期速度正确率为合理代价，更侧重培养长期有用不 decay 的
implicit memory。

：略点评几点：

t*l2018-09-18 07:09

37 楼

其实换一个角度，对于那些 “explicit memory 已经还给数学老师，implicit memory
又没咋建立“ 的中年男女，怀旧当年用 explicit memory 杀得天天满分的日子，也
是人之常情。
而心理学说了，怀旧是一种情绪，怅然是一种心绪，理性无法解之。

：略点评几点：

t*l2018-09-18 07:09

38 楼

不过现在这个 complete a square 的争论，开始有点搞笑了。
原来的争论是二次方程求根公式没必要背诵，因为反正大家高中毕业都会 complete a
square，比如解析几何画抛物线，解析几何求圆心半径，都得 complete a square。
但争论到最后好像是说 complete a square 高中不需要会？这祖国过去数学不分班的
高中，都没法毕业吧。
这解析几何画抛物线，求圆心半径，两题都拿零蛋的话，数学会考也能及格？当然数学
老师可能可以给题型给不动脑子刷。

h*m2018-09-18 07:09

39 楼

哥们早上起来没睡醒？我有说不硬背九九表就不能心算吗？我有说不硬背求根公式就不
能手算二次方程？（话说都电算时代了，为嘛要手算二次方程？知道明白这一种方法和
原理足以，将来解析几何时需要了再学呗。）至于2^7000，不知道你怎么估算位数，反
正我是大概记得log2是0.3（算不算硬背？）左右，所以应该是2100多位。至于第一位
数字是几，确实不知道，（但最后一位根据2，4，8，6循环应该是6吧？）但知道这个
的意义是什么？
我上面贴里说了，学校里让小朋友一遍遍反复操练连加来“构建”乘法表，实际上跟乘
法教学没什么太大关系，没什么意义，（其实可能还有些负面效果，下面再讨论）但我
也不太反感，反正小孩子时间多。我不能容忍的是自以为这是天下唯一正确的方法，把
让孩子直接记忆乘法表的行为说成是“沙比行为”。背个乘法表都“沙比”了，你让我
这刚在去年一年里让孩子记下了1000多个汉字，现在初步达到自主阅读中文并稍微感到
一点乐趣，现在正在沾沾自喜的推爸情何以勘啊？
在我看来，以为孩子背了乘法表就会影响将来对数学的进一步学习，才是大大低估孩子
的能力把孩子当“沙比”的想法。
现在说说用连加来算乘法的弊端，就是加法是一维的，孩子在脑中的6x6数学图景是这
样的：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。
然后每十个分一段，得到结果36。
而乘法是二维的，孩子脑中出现的数学图景应该是：
。。。。。。
。。。。。。
。。。。。。
。。。。。。
。。。。。。
。。。。。。
这一堆点点的个数写出来是什么，为什么是36而不是44，是依赖于十进制的，其实和乘
法本身无关，就像一个水果写出来是“apple”是依赖于语言的，与这个水果本身无关
。这种情况下直接记住结果是最简单明了的方法。
乘法在脑中的二维图景才是理解乘法的本质，要不然你怎么给孩子解释乘法的
commutative property和distributive property？将来如何用这些properties解决多
位数乘法？
其实瓢虫阵大法不是潮水你若干年前大力鼓吹的吗？现在怎么了？是选择性修改记忆了
还是咋了？另外在这揭你一个短，是谁在短短半年前还号称不讨论四年级以下数学的？
又一个修改记忆的例子，嗯。

【在 t******l 的大作中提到】

: 错得比较离谱：
: 不硬背九九表一样可以心算。Implicit memory 玩中建立，乱中取胜。
: 不硬背二次方程求根公式，一样可以用 complete a square 手算二次方程。而且普通
: 正常人知道能 complete a square，必然知道有求根公式，自闭的另说。
: 不硬背，一样可以手工估算 2^7000 展开来有几位，以及第一位数字是几。
: 等等等等。
:
: ：我举个手，我现在还记得二次方程求根公式，不就是“二诶分之负毕加减根号下毕方
: 减四诶西“嘛！
: ：多谢中文的单音节特点，这一句口诀不算很长，还记得住。: D

h*m2018-09-18 07:09

40 楼

难道我的逻辑真有问题？我是没看出来“在两千年的历史中，国人没有发展出逻辑和符
号系统”与“算得快和算的准早已不是目标”之间的关系。抛开历史地理因素，政治文
化氛围，单单用历史上某一现象直接得到一个确定的结论，怎么也不象是很有逻辑的说
法。
还有“本人纵横MITBBS10余年”与本贴讨论主题的逻辑关系何在？
九九表不反逻辑，也不帮助逻辑，它无助于代数运算（乘方，开方，指数，对数）
，也无害于代数运算。它就是一个fact，记住就行，不管是硬记还是玩着记。记住了就
是一个工具，供下一阶段的学习用，就像记住了单词，供句子用。不必过于拔高它，也
不必过于贬低它，如此而已。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 略点评几点：
: 小学乘法是重点，不是难点。乘法过了，乘方，开方，指数，对数，都可以引入
: 了，娃接受的也很自然。
: 3 ＊ 3
: 3 ^ 2
: 涉及的运算是一样的。
: 加上猜一猜， algebra I 的内容基本cover。
: 从大处说，中学数学最重要的两个概念：代数和逻辑，都不是中国人引入的。从历
: 史上来说，在两千年的历史中，国人没有发展出逻辑和符号系统。所以从目标上来说
: ，算得快和算的准早已不是目标（即便倒退到中世纪，在电算之前，这一论断任然

h*m2018-09-18 07:09

41 楼

据说有一次郎平给小朋友们示范前扑救球，差点把门牙摔断，哈哈哈哈哈哈哈，就这样
还能执教国家队，还能拿金牌，简直是没有天理了！
以上纯为瞎编的笑话，也不是为了说明pushy mama们做得对，我跟她们又不熟。
只是纯粹从逻辑的角度说明第一段有多么不通。
当然，嘲笑中年大叔大妈们衰退的智能体能是非常不人道的做法，其错误比逻辑错误还
要严重十倍！

的

【在 t******l 的大作中提到】

: 其实很多就是嘴硬而已。很多当初九九表背得滚瓜烂熟的，现在查个小孩的计算题都按
: 计算器的。（我有 pushy mama 微信群内线哈哈哈哈哈哈哈，别以为娃娃之间不交流心
: 得哈哈哈哈哈哈哈）。
: 心理学研究早就证明了，人在芳龄十八之后，explicit memory 能力随之年龄增长越来
: 越弱，但 implicit memory 不弱反强。
: 认知心理学说，不强调背九九表的意思，即使在纯计算方面，也并不是不要求手算心算
: 乘法。而是以牺牲一点短期速度正确率为合理代价，更侧重培养长期有用不 decay 的
: implicit memory。
:
: ：略点评几点：

t*l2018-09-18 07:09

42 楼

认真的说，如果站在普通人群里但显著偏向 hypernumeracy / hyperlexia 群体的角度
看，你说的并非没有道理，可能也确实是扬长避短的学习方法。
但大部分普通娃不会这么看，普通娃一般还是觉得背口诀挺苦鼻的。
我觉得大伙儿确实可以求同存异。相互理解几乎不可能，但相互认可还是可以的。

：哥们早上起来没睡醒？

t*l2018-09-18 07:09

43 楼

另外我并不是全盘赞成 Common Core，但跟背不背九九表无关。
在算术 / Concrete Operation 阶段，我不赞成Common Core 的部分，主要是要求娃娃
explanation-driven learning。或者说，Common Core 的 “啰嗦式” 部分，其实这
个跟 “构建式” 并不直接相关。
当然这也可能跟我家两娃是那种 “being intuitional, so why bother explain” 的
subgroup 有关。其实我家小娃这个问题，比大娃可能更严重。
当然不在 majority group 可能也没啥办法，毕竟工业化教育不可能那么量体裁衣。

：哥们早上起来没睡醒？

t*l2018-09-18 07:09

44 楼

我家小娃这个问题更严重，例子是上学路上她能心算 8*4=32，花费大约 50 米走路距
离的时间，所以是算的而不是背诵的。但学校考试里一位数加法要画 modeling，她算
对但 modeling 乱画。
我现在对这个 “会系鞋带，但乱写系鞋带办法冰箱贴” 的行为，我目前的猜想是
Working Memory 在并行 task 之间的 throughput 导致 out-of-sync 的问题。
也就是说，如果系鞋带的速度，比看着系鞋带动作写成冰箱贴的速度，快很多。那样写
冰箱贴那块跟不上。
如果再加上 working memory 不容易降频使用，因为会忘记的关系。那样系鞋带速度也
降不下来。最终两边 out-of-sync。遇上娃娃这种任性的又没有发展成熟的，干脆可能
就 don't even bother explain。

：

s*n2018-09-18 07:09

45 楼

+1
背九九表对大多数普通孩子是有益无害的。造成危害的大多是教育方法的问题，不是背
九九表的错。不能因咽废食。
苏绯云博士的教育经验主要是从教育她的四个GT娃那来的。她反对背九九表，适用于数
学GT娃，但不适用于普通娃。
台湾十几年前曾经搞过一段建构式教育，因为效果不好，停了。后来反思这个尝试，数
学家丘成桐认为不背九九表的那种极端建构式教育是种不幸。

【在 h*****m 的大作中提到】

: 哥们早上起来没睡醒？我有说不硬背九九表就不能心算吗？我有说不硬背求根公式就不
: 能手算二次方程？（话说都电算时代了，为嘛要手算二次方程？知道明白这一种方法和
: 原理足以，将来解析几何时需要了再学呗。）至于2^7000，不知道你怎么估算位数，反
: 正我是大概记得log2是0.3（算不算硬背？）左右，所以应该是2100多位。至于第一位
: 数字是几，确实不知道，（但最后一位根据2，4，8，6循环应该是6吧？）但知道这个
: 的意义是什么？
: 我上面贴里说了，学校里让小朋友一遍遍反复操练连加来“构建”乘法表，实际上跟乘
: 法教学没什么太大关系，没什么意义，（其实可能还有些负面效果，下面再讨论）但我
: 也不太反感，反正小孩子时间多。我不能容忍的是自以为这是天下唯一正确的方法，把
: 让孩子直接记忆乘法表的行为说成是“沙比行为”。背个乘法表都“沙比”了，你让我

f*c2018-09-18 07:09

46 楼

Google了一下这个苏博士，她的4个孩子都在10-14岁进的大学。可是这些孩子后来怎样
却查不到了。如果他们现在真的是泯然众人，那么苏博士反对背九九表也就没什么意义
了。
人脑这么大，总得记点东西吧。

【在 s***n 的大作中提到】

: +1
: 背九九表对大多数普通孩子是有益无害的。造成危害的大多是教育方法的问题，不是背
: 九九表的错。不能因咽废食。
: 苏绯云博士的教育经验主要是从教育她的四个GT娃那来的。她反对背九九表，适用于数
: 学GT娃，但不适用于普通娃。
: 台湾十几年前曾经搞过一段建构式教育，因为效果不好，停了。后来反思这个尝试，数
: 学家丘成桐认为不背九九表的那种极端建构式教育是种不幸。

t*l2018-09-18 07:09

47 楼

我觉得乘法计算主要是 procedural memory（implicit memory 的一种，associative
）。也就是你想到 5*8，就跳出来 40，而不是真的大脑在 81 个格子里找。
Sequential 地背诵九九乘法表，是把 81 个格子直接装进 explicit memory (
declarative memory)，然后在做真正的乘法时，用记忆下来的 declarative memory
来训练 procedural memory。
但是另一方面，乘法可以从加法一步步数出来，所以不背诵九九乘法表，一样可以
training 乘法运算的 implicit memory，也靠多多 work out 乘法结果，也 training
了 implicit memory。
所以我觉得取决于娃，如果娃抗拒 sequential 地背诵九九乘法表（指三年级以前），
这种情况下我觉得还是不要先死记硬背，慢的就慢的，熟能生巧也行，或者时辰一到娃
自己愿意背了也行。

：Google了一下这个苏博士，她的4个孩子都在10-14岁进的大学。可是这些孩子后来怎
样却查不到了。如果他们现在真的是泯然众人，那么苏博士反对背九九表也就没什么意
义了。

t*l2018-09-18 07:09

48 楼

当然，九九乘法表是可以读出来，所以也可以有争议是跟背单词一样是 declarative
memory。
但有争议得是，如果是 declarative memory，也就相当于 40 个短单词最多了。小娃
背 40 个短单词真不是个事儿，也没见也来个九九单词表的。实例前面那位娃都认了
1000 个中文字了。
这样的话，学校教不教九九乘法表就应该根本就不是个事儿，最多自家让娃背一个月。
一个月背不出 explicit memory 的 40 个短单词的话，是不是该看医生了？

：我觉得乘法计算主要是 procedural memory（implicit memory 的一种，
associative
：）。也就是你想到 5*8，就跳出来 40，而不是真的大脑在 81 个格子里找。

h*m2018-09-18 07:09

49 楼

没有人规定必须sequential地背诵乘法表吧，当然汉语本身的特点提供了一个比较方便
的朗读方式，对于某些人来说，发音与听觉的刺激可以加强记忆。
我家大娃的乘法表是爷爷教的，不知道是怎么个方式，我后来都是随机出题来考察的。
对小娃，我准备直接买一套flash cards，洗牌一下直接乱序记忆，还可以用来做游戏
增加兴趣。
根据我自制识字卡片教（考）汉字的经验，打乱顺序的卡片是机械记忆的好手段

associative
training

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得乘法计算主要是 procedural memory（implicit memory 的一种，associative
: ）。也就是你想到 5*8，就跳出来 40，而不是真的大脑在 81 个格子里找。
: Sequential 地背诵九九乘法表，是把 81 个格子直接装进 explicit memory (
: declarative memory)，然后在做真正的乘法时，用记忆下来的 declarative memory
: 来训练 procedural memory。
: 但是另一方面，乘法可以从加法一步步数出来，所以不背诵九九乘法表，一样可以
: training 乘法运算的 implicit memory，也靠多多 work out 乘法结果，也 training
: 了 implicit memory。
: 所以我觉得取决于娃，如果娃抗拒 sequential 地背诵九九乘法表（指三年级以前），
: 这种情况下我觉得还是不要先死记硬背，慢的就慢的，熟能生巧也行，或者时辰一到娃

t*l2018-09-18 07:09

50 楼

其实我觉得最最有说服力的，大家试一下心里用纯英文心算/笔算乘法，你会发现你也
能算，最多稍微慢一丁点儿。
要知道我们老中自己（不是娃娃），没有人会背过英文九九乘法表，我们居然可以心算
笔算的时候自动心理默念 three -> seven -> twenty-one，甚至 eight -> nine ->
seventy-two，然后把竖式乘法算出来。
这充分说明我们的大脑又改了 100 毫秒的因果关系，我们心里的九九乘法表，是在
implicit memory (procedural memory) 里的，而我们做竖式乘法时，就好比飞行员念
一遍起飞程序贴一样，为了保证正确率，现场按需 encoding 成 declarative memory
(语言表达的九九乘法表) 的。
大脑这 100 毫秒修改记忆，简直是玩得认知心理学家找不着北了。。。

t*l2018-09-18 07:09

51 楼

看我上面的，你试一下心里用英文做个竖式乘法。
如果你能做的话，我真心觉得不要纠结你娃背诵九九乘法表了，因为你自己从来没有背
诵过英文九九乘法表。你的大脑修改了 100 毫秒记忆里的因果关系，你的乘法表是刷
乘法题刷出来的，而不是背乘法表背下来的。

：没有人规定必须sequential地背诵乘法表吧，当然汉语本身的特点提供了一个比较方
便的朗读方式，对于某些人来说，发音与听觉的刺激可以加强记忆。

t*l2018-09-18 07:09

52 楼

这边的小孩，英文口语常用单词，都不需要 flash card，日常生活就能建立 implicit
memory。
这里的娃学中文认字不一样，这里的娃学中文认字，好比我们背诵 GRE 红宝书，建立
的主要是 explicit memory 而不是 implicit memory。
或者举个例子就是，对于一般型的失忆症患者，过去背下来的 GRE 红宝书多半没戏了
。但基本日常使用的单词不会忘记的，否则就是失语症了。这是因为一般型的失忆症患
者，丢掉的是 explicit memory 而不是 implicit memory。

：没有人规定必须sequential地背诵乘法表吧，当然汉语本身的特点提供了一个比较方
便的朗读方式，对于某些人来说，发音与听觉的刺激可以加强记忆。

h*m2018-09-18 07:09

53 楼

求同存异，求同存异。现在的“同”应该就是个位数乘法的结果直接记住就行，不需要
孩子自己“构建”一遍。
至于要不要把它叫做乘法表，是强记还是玩记还是刷题记，是顺序记还是乱序记，是朗
读记还是默记，是中文记英文记还是对着数字记，大家按各自实际情况来吧。：）

implicit

【在 t******l 的大作中提到】

: 这边的小孩，英文口语常用单词，都不需要 flash card，日常生活就能建立 implicit
: memory。
: 这里的娃学中文认字不一样，这里的娃学中文认字，好比我们背诵 GRE 红宝书，建立
: 的主要是 explicit memory 而不是 implicit memory。
: 或者举个例子就是，对于一般型的失忆症患者，过去背下来的 GRE 红宝书多半没戏了
: 。但基本日常使用的单词不会忘记的，否则就是失语症了。这是因为一般型的失忆症患
: 者，丢掉的是 explicit memory 而不是 implicit memory。
:
: ：没有人规定必须sequential地背诵乘法表吧，当然汉语本身的特点提供了一个比较方
: 便的朗读方式，对于某些人来说，发音与听觉的刺激可以加强记忆。

t*l2018-09-18 07:09

54 楼

Sunflowerboy 上下文默认的都是指娃抗拒背九九乘法表的情况。他以前也提过杀兴趣
，因为大部分娃会觉得枯燥。
至于娃不抗拒的情况，不需要讨论。极端的情况比如 hyperlexia 娃就是喜欢记忆单词
，那总不至于不许娃记忆单词让娃大哭一场。

：求同存异，求同存异。现在的“同”应该就是个位数乘法的结果直接记住就行，不需
要孩子自己“构建”一遍。
：

t*l2018-09-18 07:09

55 楼

普通的小学低年级娃娃，不太会喜欢直接记忆数字，一般喜欢自己数数。天性。
我家小娃那天早上走到教室门口也还没算出 9*4。我问她要不要告诉她答案，她说不要
，这样没意思。她下次上学路上再算，然后就跟其他娃娃去玩了。
当然也有娃上来就喜欢直接记忆数字的的。但毕竟现代电算社会不强调上来直接背诵九
九乘法表，也是看着大多数娃的兴趣方向。偏 supernumeracy 特别爱记忆数字的娃，
毕竟是
少数，我想。

：求同存异，求同存异。现在的“同”应该就是个位数乘法的结果直接记住就行，不需
要孩子自己“构建”一遍。

t*l2018-09-18 07:09

56 楼

我觉得 sunflowerboy 说的只是 K-2 不用专门去背九九乘法表，不是说四年级以后一
位数乘法还要靠扳手指头。

：求同存异，求同存异。现在的“同”应该就是个位数乘法的结果直接记住就行，不需
要孩子自己“构建”一遍。

t*l2018-09-18 07:09

57 楼

还有一种可能，就是 sunflowerboy 是不是把因果关系搞反了？
也就是如果小孩主动爱背九九乘法表，但又不是记忆力过人，可能还是推文科对长期而
言更合理？毕竟数学是 mental workout，不是记忆力。当然记忆力惊人另说。
当然我觉得九九乘法表这个基本有定论了。也就是娃不乐意背，但还肯扳指头的情况，
犯不着跟娃过不去。
天生乐意背九九乘法表的，也不用故意拦着，但总之可能不是普通娃就是了。
不用在乘法表话题上面浪费时间了。

s*n2018-09-18 07:09

58 楼

背九九表和杀兴趣没有必然联系。Sunflowerboy如果默认的是指娃抗拒背九九乘法表的
情况，那他的口号就不应该是反九九表，而是反粗暴推九九 - 比如以前的一个女娃被
逼着背九九的视频。
但大家不能因为教育方法的错误，去v反对教育的内容。
对于hyperlixia的娃或数学天才娃，背九九表根本就不是个事，所以大家根本就没有讨
论hyperlexia的娃。

【在 t******l 的大作中提到】

: Sunflowerboy 上下文默认的都是指娃抗拒背九九乘法表的情况。他以前也提过杀兴趣
: ，因为大部分娃会觉得枯燥。
: 至于娃不抗拒的情况，不需要讨论。极端的情况比如 hyperlexia 娃就是喜欢记忆单词
: ，那总不至于不许娃记忆单词让娃大哭一场。
:
: ：求同存异，求同存异。现在的“同”应该就是个位数乘法的结果直接记住就行，不需
: 要孩子自己“构建”一遍。
: ：

t*l2018-09-18 07:09

59 楼

hyperlexia 和 dyslexia 属于极端情况，但正常人群也不是整齐划一的，也有偏
hyperlexia 或者偏 dyslexia 一边的。
由于无法证明背九九乘法表对至少 80% 以上的娃是必须的，同时大部分小学低年级的
娃对硬背九九乘法表确有抵触。所以对此我还是赞成目前美帝实践上的系统（common
core 以前就是这个系统了）：尽可能拖后直接硬背九九乘法表的系统，也就是：
（1）小学低年级建立乘法概念的阶段，不提早引入九九乘法表。
（2）小学中年级引入九九乘法表，其强度按小学乘法计算能力速度的要求确定。
这样实践上娃的乘法速度已经接近要求的，最多随便一刷就过。
不到要求的，加强一下九九乘法表就能 no child left behind。而且这时小娃年龄也
大一些，耐枯燥能力也上去了。

：背九九表和杀兴趣没有必然联系。Sunflowerboy如果默认的是指娃抗拒背九九乘法表
的情况，那他的口号就不应该是反九九表，而是反粗暴推九九 - 比如以前的一个女娃
被

t*l2018-09-18 07:09

60 楼

或者把 “直接记忆九九乘法表” vs “多做一位数乘法题” 相比，前者属于
repetition priming，后者属于 conceptual=> perceptual priming。
这样对于普通娃，乘法计算力是作为好比大众体锻达标要求（会考要求），而不是计算
竞技要求（高考要求），那样先上 conceptual=> perceptual priming，到收尾时
如果还有距离，那再用 repetition priming 强化一下达标，我觉得看起来更合理。

：hyperlexia 和 dyslexia 属于极端情况，但正常人群也不是整齐划一的，也有偏
：hyperlexia 或者偏 dyslexia 一边的。

t*l2018-09-18 07:09

61 楼

我觉得数学家丘成桐，搞对了 “数学” 和 “数学认知心理学” 的这一半：
也就是说，光从概念上 (concept / explicit-memory) “懂得” 乘法远远不够，还
必须能从 “直感” （perception / intuition / implicit-memory) 上自如运用乘法。
而以上不仅仅是乘法计算的要求，更重要的是下一步，在“直感”层次认知中小学数学
教育的最最重要的两块基石：“乘法分配率” 和 “素数分解唯一性” 所必须的前导
条件。而实际上中小学所有分数/小数/零元等等等等，都离不开对乘法的 “直感”。

t*l2018-09-18 07:09

62 楼

而心理学 constructivism，在这点上错得离谱，具体而言：
在 training 阶段，搞反了 implicit memory 和 explicit memory 之间的关系，甚至
有极端的认为 implicit-memory 仅仅取决于 biological maturation，而完全忽略
explicit memory，特别是 Concrete Operation 阶段，日常生活经验经验所积累的
explicit-memory 的影响。由此觉得乘法大概只要懂概念就够了。
而在执行阶段，也搞反了 explicit memory 和 implicit memory 之间的关系，认为只
要懂概念，就能做出来。不仅如此，为了保证其理论正确，把 SAT 数学给
contaminate 成 TI-82 人肉计算器考试，当然这样确实 explicit memory 就够了。
于是一帮 AIME 零蛋的心理系猴子们，通过理论反作用于实践，搞出人类历史上最可笑
的 SAT 数学人肉计算器数学考试。当然去心理系确实足够了，反正目前认知心理学就
是 too much philosophical think, almost no mathematical thinking at all。

：我觉得数学家丘成桐，搞对了 “数学” 和 “数学认知心理学” 的这一半：

w*d2018-09-18 07:09

63 楼

一个破九九乘法表还要反对背？
说到complete square，老美好多大学生都不会，头大的狠

【在 s***n 的大作中提到】

w*d2018-09-18 07:09

64 楼

以前不是说要理解性记忆吗。想想还是很有道理的，反正我总是说公式，定理什么的，
如果不到两分钟就能推出来的话就别费神记了。

【在 w**d 的大作中提到】

: 一个破九九乘法表还要反对背？
: 说到complete square，老美好多大学生都不会，头大的狠

t*l2018-09-18 07:09

65 楼

但我觉得数学家丘成桐搞错了一点，就是普通娃统计平均的认知心理特点。
我猜数学家丘成桐的环境，小时候表现出就对数字感兴趣的数学天才娃，所以那些娃娃
天性喜欢琢磨数字。
但是大部分普通娃，就是数学好一点的（如果定量一下就是 AMC 12 TOP 30% 吧），很
多对数字兴趣不是那么大。这不是说他们对数字反感，而是说如果有其他的事，比如看
个动画片小说，或者看到其他娃一起上 monkey bar 下游泳池，等等等等，就马上扔下
数字走人了。
而对于这类娃娃，直接上九九乘法表，的确杀兴趣。同时狠上九九乘法表表，对小学班
级里的 joint attention 也有很大难度。
这类普通娃还是从 “多玩一位数乘法题” 开始入手，降低抵触心理，也比较保证长期
效果。虽然速度慢一点，但大多数普通娃也成不了 USAMO TOP 500 强，这点速度差别
不是个事儿。
这个好比有人问我为啥经常把心算放在上学走路的时候整，其实我家两娃都是属于 “
早上睡不醒” 型的。这个回答就是，数字这么枯燥的玩意儿，我还没有学校课堂里
joint attention 的优势，不得已我就专找那种啥其他事都不能干的时间段，正好干数
学。这样娃就乐意，反正闲着也是闲着。古人云：既不能上 monkey bar 、也不能下游
泳池、还不能看动画片的时间段：上学路上。

：而心理学 constructivism，在这点上错得离谱，具体而言：

t*l2018-09-18 07:09

66 楼

莎士比亚说了：
To 背，or not to 背，that is the problem。
我觉得事前纠结讨论，就算看起来再神经兮兮，总比事后不管是猪哥亮还是猪一样，还
是要好上一万倍。
当然，如果真有后悔药卖，另说。但我们这个 causal 的宇宙里，有难度。

：一个破九九乘法表还要反对背？

t*l2018-09-18 07:09

67 楼

我觉得所谓的 “理解性记忆”，就是：
explicit memory => conceptual-perceptual priming => implicit memory
另外我虽然经常对 Piaget 的理论鸡蛋里挑骨头，但我对 Piaget 是很尊敬的，我觉得
Piaget 是划时代的伟人，可以类比娃娃认知心理学的牛顿。
但 Piaget 之后的一帮猴子们，东一榔头西一棒子的到处敲敲打打那么多年，我都不觉
得那些猴子干了点啥。。。话糙理不糙！// super fast run，其实我没看不起猴子，
我只是说，跟 Piaget 老先生比，就是猴子。

：以前不是说要理解性记忆吗。想想还是很有道理的，反正我总是说公式，定理什么的
，如果不到两分钟就能推出来的话就别费神记了。

f*c2018-09-18 07:09

68 楼

这点屁事怎么罗嗦个没完没了？
六岁开始，记忆力特差的就算一个礼拜背一句，9个月不到也背完了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 莎士比亚说了：
: To 背，or not to 背，that is the problem。
: 我觉得事前纠结讨论，就算看起来再神经兮兮，总比事后不管是猪哥亮还是猪一样，还
: 是要好上一万倍。
: 当然，如果真有后悔药卖，另说。但我们这个 causal 的宇宙里，有难度。
:
: ：一个破九九乘法表还要反对背？

t*l2018-09-18 07:09

69 楼

丘吉尔同志说，九个月之后，那不是 end，而是 the end of the beginning 。。。

：这点屁事怎么罗嗦个没完没了？

w*d2018-09-18 07:09

70 楼

有可能是要强调理解而不是死记硬背，然后那个有三个孩子的教育大师 - 有人在前面
的帖子里提到过，不记得名字了 - 弄成了99乘法表也不能背。其实国内好多地方的题
海战术就是死记硬背的典范，是应该打压的。不过考试压力大，把那些本来可能还有点
意思的题硬是弄成了机械性记忆，

【在 f*c 的大作中提到】

: 这点屁事怎么罗嗦个没完没了？
: 六岁开始，记忆力特差的就算一个礼拜背一句，9个月不到也背完了。

w*d2018-09-18 07:09

71 楼

其实真没有必要特地去背，时不时地问一下，没多久就都记得了 - 当然前提是孩子知
道加法和乘法。

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

72 楼

属实。
其实我觉得也不是完全不能 “直接背”。我只是觉得开局最好先以 “乱中取胜” 的
姿势多做 “一位数乘法题”，“直接背” 是最后一步收宫扫尾的时候的事。

：其实真没有必要特地去背，时不时地问一下，没多久就都记得了 - 当然前提是孩子知
：道加法和乘法。

r*g2018-09-18 07:09

73 楼

一个礼拜才背一句，然后每周都有进步，还坚持九个月，那属于鸡飞狗跳了。不是这么
轻描淡写的。

【在 f*c 的大作中提到】

: 这点屁事怎么罗嗦个没完没了？
: 六岁开始，记忆力特差的就算一个礼拜背一句，9个月不到也背完了。

r*f2018-09-18 07:09

74 楼

这个，还会有人学不会一位数和一位数的乘法吗

f*c2018-09-18 07:09

75 楼

有点幽默感好不好？我还没听说谁一礼拜只背一句的。现实点找个假期，最慢最慢的来
，第一天折腾乘2，第二天乘3，一礼拜多也就完事了。

【在 r*g 的大作中提到】

: 一个礼拜才背一句，然后每周都有进步，还坚持九个月，那属于鸡飞狗跳了。不是这么
: 轻描淡写的。

t*l2018-09-18 07:09

76 楼

对美帝这边六岁普通娃（小学一年级）而言，因为没有练熟 place value，多个数字加
法仅用蛮力心算（不用 skip 5 counting 或者 skip 10 counting 的话）的话，一般
超不过 40 或 50。
所以小学一年级的数字普通娃，确实不会心算结果超过 40 或者 50 的一位数乘法。
这可能是父母热衷背诵九九乘法表的原因。但老实说看具体娃，如果不是对数字非常感
兴趣的话，又是数学普通娃，小学一年级背诵九九乘法表，娃多半还是觉得挺苦鼻的。
当然我更大的 concern 是，还是有后发型孤独症的。虽然心理学说，这些跟是不是
repetition (direct) priming implicit memory 太狠没有直接关系，但我觉得人之常
情也我不敢 “伸出一脚踹飞上帝”。
所以我很少敢推 repetition priming 的，我觉得推 “乱中取胜” conceptual-
perceptual priming，保证娃不抗拒。那最坏情况就当我白费劲就是了，风险还是小，
反正我的时间对娃娃而言不值钱就是了。

：这个，还会有人学不会一位数和一位数的乘法吗

t*l2018-09-18 07:09

77 楼

你家娃是不是数学天才娃？你看我上面的帖子，六岁一年级娃，连两位数 place value
都没搞熟。有多少这年龄的娃会乐意硬背九九乘法表的啊？
这不是幽默感的问题，这是对普通娃的常识的问题。当然天才娃家长确实对普通娃没有
常识，也是事实。

：有点幽默感好不好？我还没听说谁一礼拜只背一句的。现实点找个假期，最慢最慢的
来，第一天折腾乘2，第二天乘3，一礼拜多也就完事了。

f*c2018-09-18 07:09

78 楼

第一次当然要孩子摆棋子什么的验证一遍，可时间长了也就不用特别强调理解了。我还
没听说那个数学家用到七八五十六的时候，需要脑子里浮现出一个七乘八的点阵什么的。
Euler全盲的时候，能在脑子里过一黑板的算式。我相信即便是他，做个位乘法的时候
也不可能每次都从头推一遍。

【在 w**d 的大作中提到】

: 有可能是要强调理解而不是死记硬背，然后那个有三个孩子的教育大师 - 有人在前面
: 的帖子里提到过，不记得名字了 - 弄成了99乘法表也不能背。其实国内好多地方的题
: 海战术就是死记硬背的典范，是应该打压的。不过考试压力大，把那些本来可能还有点
: 意思的题硬是弄成了机械性记忆，

r*f2018-09-18 07:09

79 楼

没ready非要推，家长得有多自恨啊，闲疯了没事找虐。rocket run

【在 t******l 的大作中提到】

: 对美帝这边六岁普通娃（小学一年级）而言，因为没有练熟 place value，多个数字加
: 法仅用蛮力心算（不用 skip 5 counting 或者 skip 10 counting 的话）的话，一般
: 超不过 40 或 50。
: 所以小学一年级的数字普通娃，确实不会心算结果超过 40 或者 50 的一位数乘法。
: 这可能是父母热衷背诵九九乘法表的原因。但老实说看具体娃，如果不是对数字非常感
: 兴趣的话，又是数学普通娃，小学一年级背诵九九乘法表，娃多半还是觉得挺苦鼻的。
: 当然我更大的 concern 是，还是有后发型孤独症的。虽然心理学说，这些跟是不是
: repetition (direct) priming implicit memory 太狠没有直接关系，但我觉得人之常
: 情也我不敢 “伸出一脚踹飞上帝”。
: 所以我很少敢推 repetition priming 的，我觉得推 “乱中取胜” conceptual-

t*l2018-09-18 07:09

80 楼

七八五十六，我们大人不用乘法表当然可以心算，否则就是小学数学肄业。
七八五十六，不用乘法表心算的话，就是 skip 5 counting 转 skip 10 counting，如
果写成语言就是（当然心里其实并不是基于语言，是 intuition / implicit-memory)：
7*8
= 5*8 + 2*8
= 10*4 + (8+8)
= 40 + 16
= 56
但一年级小娃不行的，place value 没学熟。

：第一次当然要孩子摆棋子什么的验证一遍，可时间长了也就不用特别强调理解了。我
还没听说那个数学家用到七八五十六的时候，需要脑子里浮现出一个七乘八的点阵什么
的。

f*c2018-09-18 07:09

81 楼

你是没见过天才吧？Freeman Dyson这样的算是天才，事迹是5岁时估算了一下太阳里含
有多少个原子。可是普通孩子，四五岁摆摆棋子数数，六七岁做点个位乘法很正常。这
么发展总比三四岁的时候逼着背唐诗强多了吧。

value

【在 t******l 的大作中提到】

: 你家娃是不是数学天才娃？你看我上面的帖子，六岁一年级娃，连两位数 place value
: 都没搞熟。有多少这年龄的娃会乐意硬背九九乘法表的啊？
: 这不是幽默感的问题，这是对普通娃的常识的问题。当然天才娃家长确实对普通娃没有
: 常识，也是事实。
:
: ：有点幽默感好不好？我还没听说谁一礼拜只背一句的。现实点找个假期，最慢最慢的
: 来，第一天折腾乘2，第二天乘3，一礼拜多也就完事了。

f*c2018-09-18 07:09

82 楼

拿棋子摆着数啊，干嘛搞得那么Formal？孩子亲眼见到，相信了就行了，分配律什么的
以后慢慢再说。

)：

【在 t******l 的大作中提到】

: 七八五十六，我们大人不用乘法表当然可以心算，否则就是小学数学肄业。
: 七八五十六，不用乘法表心算的话，就是 skip 5 counting 转 skip 10 counting，如
: 果写成语言就是（当然心里其实并不是基于语言，是 intuition / implicit-memory)：
: 7*8
: = 5*8 + 2*8
: = 10*4 + (8+8)
: = 40 + 16
: = 56
: 但一年级小娃不行的，place value 没学熟。
:

k*n2018-09-18 07:09

83 楼

感觉这是你码的最高的楼了，老兄，你能不能简单点，四句话，说说你到底想说啥

)：

【在 t******l 的大作中提到】

f*c2018-09-18 07:09

84 楼

我们大人不是心算，是记忆！如果每次都心算一下，很多事情就没法完成了。

)：

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

85 楼

七八五十六，对不会乘法表的娃娃，也是可以上点阵模型的（娃版玩具立式算盘）。只
不过人脑受制于 “the magic # 7, +- 2”，这个是 encoded 的点阵，然后用 move 2
to make 10 算，如果写成语言就是这么算（在脑子里把式子换成娃版玩具立式算盘型
空间表述）：
8 * 7
= 8*4 + 8 + 8*2
= 8*4 + (2+2+2+2) + 8*2
= (8+2)*4 + 8*2
= 10*4 + 16
= 56

：第一次当然要孩子摆棋子什么的验证一遍，可时间长了也就不用特别强调理解了。我
还没听说那个数学家用到七八五十六的时候，需要脑子里浮现出一个七乘八的点阵什么
的。
：

t*l2018-09-18 07:09

86 楼

普通娃在一位数乘法自己不会算的情况下，被要求背乘法表，应该是挺苦鼻的。（会了
以后想偷懒直接记忆的，不是一回事）。
在对计算要求不高的电算社会，如果大人不能 empathy 娃的这种苦鼻，我觉得大人有
一定的可能，是正常人群里偏 Aspergers 一边的。
两句话，应该满足 elevator pitch 的标准了。

：感觉这是你码的最高的楼了，老兄，你能不能简单点，四句话，说说你到底想说啥

r*f2018-09-18 07:09

87 楼

2
学校老师不就是这么训练的吗

【在 t******l 的大作中提到】

: 七八五十六，对不会乘法表的娃娃，也是可以上点阵模型的（娃版玩具立式算盘）。只
: 不过人脑受制于 “the magic # 7, +- 2”，这个是 encoded 的点阵，然后用 move 2
: to make 10 算，如果写成语言就是这么算（在脑子里把式子换成娃版玩具立式算盘型
: 空间表述）：
: 8 * 7
: = 8*4 + 8 + 8*2
: = 8*4 + (2+2+2+2) + 8*2
: = (8+2)*4 + 8*2
: = 10*4 + 16
: = 56

t*l2018-09-18 07:09

88 楼

这不是心算，这是 empathy。
正常娃为啥选择记忆九九乘法表，是因为娃认知到（指 explicit-memory and
implicit-memory 的层次认知到）
(1) It's too much work to work the number out
(2) I have no problem to work the number out if needed (means I am not dumb)
(3) My next level math learning, e.g., guess & check, requires lots lots
multiplication computation. Make even punching the calculator is a painful
job.
That is why kids try to remember it.
你让一年级数学普通娃认知上面三点？能认知到就不是数学普通娃了。

：我们大人不是心算，是记忆！如果每次都心算一下，很多事情就没法完成了。

t*l2018-09-18 07:09

89 楼

我其实不知道学校老师咋教的，我就是 driven by my instinct，当然为了教娃我得跟
娃交流，听听娃娃的用词，然后换成娃娃的语言。

：

t*l2018-09-18 07:09

90 楼

在 BBS 灌水 text 里画棋盘很苦鼻的。知道这点就知道虽然我写的是 Formal 的算式
，但我指的是 Concrete 的娃版算盘图景，因为上下文，以及数字足够小。

：拿棋子摆着数啊，干嘛搞得那么Formal？孩子亲眼见到，相信了就行了，分配律什么
的以后慢慢再说。

t*l2018-09-18 07:09

91 楼

我不觉得是自恨。我觉得 SM 其实也很 enjoy 的，只是大家都 “子非鱼，不知鱼之乐
而已”。
这是真心的说，不是偏见的意思。只是我举不出更动感的例子了。

：没ready非要推，家长得有多自恨啊，闲疯了没事找虐。rocket run

f*g2018-09-18 07:09

92 楼

美帝小学不就是*2, *3 这么练习的？确实没什么好背的，做几道题就记住了。
不知道个位数乘法有什么好吵的

【在 f*c 的大作中提到】

: 有点幽默感好不好？我还没听说谁一礼拜只背一句的。现实点找个假期，最慢最慢的来
: ，第一天折腾乘2，第二天乘3，一礼拜多也就完事了。

t*l2018-09-18 07:09

93 楼

练习跟背诵也不是同义词，而且结果到 40 以上也得换成 place value 乱中取胜。
这当中转几个向就没有固定教育顺序了，大家都是看着自家娃的眼色乱中取胜的。不是
教育学科班出身的，基本不可能事前排好一个五年计划，之后就不越雷池一步的。

：美帝小学不就是*2, *3 这么练习的？确实没什么好背的，做几道题就记住了。
：不知道个位数乘法有什么好吵的

r*g2018-09-18 07:09

94 楼

不关年龄，小孩能自己把乘法表算出来，不管多慢，那就可以背。
算都不会算，去背乘法表，那就跟三四岁小孩背唐诗一样，属于耍猴行为。

【在 k**n 的大作中提到】

: 感觉这是你码的最高的楼了，老兄，你能不能简单点，四句话，说说你到底想说啥
:
: )：

k*n2018-09-18 07:09

95 楼

真好。感觉老兄您是正常人群
下面那位难道偏 Aspergers 一边的，不能empathy我们吃瓜群众的苦鼻？
我赶快赶快跑。。。。。。。。。。。。。。大不了去昌平挖沙。。。。。。。。。

---------------------------------
普通娃在一位数乘法自己不会算的情况下，被要求背乘法表，应该是挺苦鼻的。（会了
以后想偷懒直接记忆的，不是一回事）。
在对计算要求不高的电算社会，如果大人不能 empathy 娃的这种苦鼻，我觉得大人有
一定的可能，是正常人群里偏 Aspergers 一边的。

【在 r*g 的大作中提到】

: 不关年龄，小孩能自己把乘法表算出来，不管多慢，那就可以背。
: 算都不会算，去背乘法表，那就跟三四岁小孩背唐诗一样，属于耍猴行为。

t*l2018-09-18 07:09

96 楼

哥们我就问一下先 empathy 大乃还是先 empathy 小三吧。。。

【在 k**n 的大作中提到】

: 真好。感觉老兄您是正常人群
: 下面那位难道偏 Aspergers 一边的，不能empathy我们吃瓜群众的苦鼻？
: 我赶快赶快跑。。。。。。。。。。。。。。大不了去昌平挖沙。。。。。。。。。
:
: ---------------------------------
: 普通娃在一位数乘法自己不会算的情况下，被要求背乘法表，应该是挺苦鼻的。（会了
: 以后想偷懒直接记忆的，不是一回事）。
: 在对计算要求不高的电算社会，如果大人不能 empathy 娃的这种苦鼻，我觉得大人有
: 一定的可能，是正常人群里偏 Aspergers 一边的。

t*l2018-09-18 07:09

97 楼

“六七岁做点个位乘法”的话（关键字：“做点”而不是“做熟”），那么背九九乘法
表差不多是二年级下半/三年级上半的时候，跟美帝学校进度大致吻合。
但哥们你上文说的是一年级（六岁）背诵九九乘法表，这不是天才娃至少也是早慧娃。

【在 f*c 的大作中提到】

: 你是没见过天才吧？Freeman Dyson这样的算是天才，事迹是5岁时估算了一下太阳里含
: 有多少个原子。可是普通孩子，四五岁摆摆棋子数数，六七岁做点个位乘法很正常。这
: 么发展总比三四岁的时候逼着背唐诗强多了吧。
:
: value

k*n2018-09-18 07:09

98 楼

正个名。你解释的我也看懂了。结果一看rgg的，觉得你的解释我忽然就不明白了。。
。。。。。。。。。。。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 哥们我就问一下先 empathy 大乃还是先 empathy 小三吧。。。

t*l2018-09-18 07:09

99 楼

没啥看不懂的，就是说有两种情况：
case 1：准天才症父母，但也没到诊断手册标准。当然也可能是学区没钱，不给父母
IQ test。
case 2：父母胳膊肘往外拐，为了博小三一笑，不惜把大乃当猴耍。
当然也可能是 both。
// 让我先 run 一下下，请勿追杀，谢谢。

【在 k**n 的大作中提到】

: 正个名。你解释的我也看懂了。结果一看rgg的，觉得你的解释我忽然就不明白了。。
: 。。。。。。。。。。。。。

s*n2018-09-18 07:09

100 楼

大多数普通娃对数学没兴趣，不管背不背九九表。你不过是想硬推普通娃对数学的兴趣
又不得法，所以纠结在九九表这种细枝末节上。
台湾当年推行构建式教育失败的原因之一就是很多老师对构建式数学的优缺点缺乏深刻
的认识，啥都构建，结果是事得其反 - 很多普通孩子的数学成绩下降，兴趣下降。丘
成桐对反九九表派的批评不是拍脑袋想当然，而是全面考量后的结论。
构建式教育的优点是强调孩子对数学的理解，注重培养数学思维。这个优点对于抽象化
思维的形成和发展，以及孩子的长期数学教育有利。Common core中的explanation-
driven learning是和构建式教育思想直接相关的。
但构建式教育的缺点也很突出 - 低效 - 特别是对普通娃。传统教育一两句话的东西可
能构建式教育要花很多时间来解释，来让孩子构建。所以不用传统教学方式辅助的构建
式教育常常会造成整体教育质量下降。丘成桐反对的就是这种极端性的构建式教育。构
建式数学教育要把重点放在概念和思维的构建上，一些可以很快机械记忆和概念理解关
系不大的内容，完全可以用传统教育的方法来实现，没必要死板迂腐的事事构建。
比如乘法，你可以用一些个位数相乘的瓢虫阵例子来帮助孩子构建乘法的概念。但一旦
这个概念构建起来，你没必要把个位数乘法的81种情形挨个构建一遍，或者靠反复练习
来内化 - 这只怕比背九九更耗时更容易危害兴趣v。这个时候背九九表不失为一个好选
择。
构建式的数学教育更接近精英教育，更适合数学GT娃，不适合大众。由于数学娃理解数
学概念能力强，他们可以很好地克服构建式教育低效地缺点。而构建式教育着意理解注
重思维，对孩子在理工方向的长期发展很有帮助。而对普通娃来说，构建式数学教育比
较低效。如果以后无意在理工方面发展，构建式教育培养出来的理解和思维也没什么用
。更不要说构建式数学教育对老师的要求比较高。师资落后地区的普通娃估计大多构建
出来的是糨糊。STEM方面的贫富分化，阶层分化会更严重。所以我是不太赞成彻底地构
建式数学教育改革。对普通娃，还是应该以传统教育方法为主，引入一些构建式数学教
育的理念；对GT娃，以构建式数学教育为主，引入传统教育的一些手段和方法。不管哪
种娃，背九九表都应该作为一个选项考虑，不能一棍子打死。

【在 t******l 的大作中提到】

: 但我觉得数学家丘成桐搞错了一点，就是普通娃统计平均的认知心理特点。
: 我猜数学家丘成桐的环境，小时候表现出就对数字感兴趣的数学天才娃，所以那些娃娃
: 天性喜欢琢磨数字。
: 但是大部分普通娃，就是数学好一点的（如果定量一下就是 AMC 12 TOP 30% 吧），很
: 多对数字兴趣不是那么大。这不是说他们对数字反感，而是说如果有其他的事，比如看
: 个动画片小说，或者看到其他娃一起上 monkey bar 下游泳池，等等等等，就马上扔下
: 数字走人了。
: 而对于这类娃娃，直接上九九乘法表，的确杀兴趣。同时狠上九九乘法表表，对小学班
: 级里的 joint attention 也有很大难度。
: 这类普通娃还是从 “多玩一位数乘法题” 开始入手，降低抵触心理，也比较保证长期

t*l2018-09-18 07:09

101 楼

"大多数普通娃对数学没兴趣，不管背不背九九表。"
从这句话字面本身看，似乎没有 quantified assessment on 普通娃的兴趣。好像只有
非此即彼的 “有 vs 没有” 之分。
所以我觉得问题首先是：“如何 assess 普通娃对数学的兴趣？如果不是非此即彼的情
况。”。否则后面的讨论对普通娃没有意义。

【在 s***n 的大作中提到】

: 大多数普通娃对数学没兴趣，不管背不背九九表。你不过是想硬推普通娃对数学的兴趣
: 又不得法，所以纠结在九九表这种细枝末节上。
: 台湾当年推行构建式教育失败的原因之一就是很多老师对构建式数学的优缺点缺乏深刻
: 的认识，啥都构建，结果是事得其反 - 很多普通孩子的数学成绩下降，兴趣下降。丘
: 成桐对反九九表派的批评不是拍脑袋想当然，而是全面考量后的结论。
: 构建式教育的优点是强调孩子对数学的理解，注重培养数学思维。这个优点对于抽象化
: 思维的形成和发展，以及孩子的长期数学教育有利。Common core中的explanation-
: driven learning是和构建式教育思想直接相关的。
: 但构建式教育的缺点也很突出 - 低效 - 特别是对普通娃。传统教育一两句话的东西可
: 能构建式教育要花很多时间来解释，来让孩子构建。所以不用传统教学方式辅助的构建

t*l2018-09-18 07:09

102 楼

“如果以后无意在理工方面发展，构建式教育培养出来的理解和思维也没什么用。”
这个的确是事实。不过在现代电算社会里，这个情况是 “构建” 还是 “不构建” 都
没啥用。
传统数学教出来的九九乘法表，现在电算社会不学理工的，可能也就是去 walmart 还
得凑 coupon 可能有点用。小费都不需要了，很多直接打在账单上勾个 choice。
因为现代电算社会里，如果你不是要 AMC 10/12 -- AIME 类似的理工科的 problem
solving，乘法心算能力基本没啥用，因为你可以按计算器。
而 AMC 10/12 -- AIME 之类的 problem-solving，确实没法按计算器。因为一来人是
intuitive 的 try。二来人在思考的时候，按计算器太慢，跟不上 working memory 的
遗忘速度。

【在 s***n 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

103 楼

而 “构建式教育” 的低效部分，是可以改进的。
低效的根本原因，我认为是心理学认知理论错误的认知模型。把 “构建” 看成
explicit memory 和 logics，所以导致过度强调 “求甚解”，这样直接导致难度和数
量上不去。
而根据隔壁 “新潮认知理论”，“构建”应该看成对 implicit memory 的
conceptual-perceptual priming, a better way than repetition (direct) priming
。所以这样的话，explicit-memory 里“求甚解”，常常是 over-kill。所以古人陶渊
明曰：“做好题，不求甚解。每有会意，就欣然涂圈完毕、然后进入下一题”。

【在 s***n 的大作中提到】

s*n2018-09-18 07:09

104 楼

我说的理工方面不是Cashier...

是

【在 t******l 的大作中提到】

: “如果以后无意在理工方面发展，构建式教育培养出来的理解和思维也没什么用。”
: 这个的确是事实。不过在现代电算社会里，这个情况是 “构建” 还是 “不构建” 都
: 没啥用。
: 传统数学教出来的九九乘法表，现在电算社会不学理工的，可能也就是去 walmart 还
: 得凑 coupon 可能有点用。小费都不需要了，很多直接打在账单上勾个 choice。
: 因为现代电算社会里，如果你不是要 AMC 10/12 -- AIME 类似的理工科的 problem
: solving，乘法心算能力基本没啥用，因为你可以按计算器。
: 而 AMC 10/12 -- AIME 之类的 problem-solving，确实没法按计算器。因为一来人是
: intuitive 的 try。二来人在思考的时候，按计算器太慢，跟不上 working memory 的
: 遗忘速度。

t*l2018-09-18 07:09

105 楼

有理数无理数搞不清的，一样可以学理工的，看啥方向就是了。
那九九乘法表背不熟更无所谓了。这不要说生物，参加个 java boot camp 写点 app
都没事，真心的说。

【在 s***n 的大作中提到】

: 我说的理工方面不是Cashier...
:
: 是

s*n2018-09-18 07:09

106 楼

普通娃跟着陶渊明不求甚解的学数学可以多快好省的构建出糨糊。某种意义上，这个方
案确实可以成功地改进构建式教育的低效问题。

priming

【在 t******l 的大作中提到】

: 而 “构建式教育” 的低效部分，是可以改进的。
: 低效的根本原因，我认为是心理学认知理论错误的认知模型。把 “构建” 看成
: explicit memory 和 logics，所以导致过度强调 “求甚解”，这样直接导致难度和数
: 量上不去。
: 而根据隔壁 “新潮认知理论”，“构建”应该看成对 implicit memory 的
: conceptual-perceptual priming, a better way than repetition (direct) priming
: 。所以这样的话，explicit-memory 里“求甚解”，常常是 over-kill。所以古人陶渊
: 明曰：“做好题，不求甚解。每有会意，就欣然涂圈完毕、然后进入下一题”。

t*l2018-09-18 07:09

107 楼

“或者靠反复练习来内化 - 这只怕比背九九更耗时更容易危害兴趣。这个时候背九九
表不失为一个好选择。”
首先要声明不是简单重复的反复练习。所以这个我觉得要看具体娃。
但有争议的说，绝大多数普通娃，开始学母语口语的时候，最最基本的常用词，都不是
从背诵方式获得的，而是日常练习获得的。
同样有争议的说，绝大多数普通娃，开始学母语阅读的时候，最最基本的常用词，都不
是从 flash card 背诵方式获得的，而是阅读 Dr Seuss 或者 RazKids 等娃版阅读书
本获得的。这相当于日常阅读练习。
所以有争议的说，对于绝大多数普通娃，没有理由乘法一定必须主要通过九九乘法表，
或者 flash card 获得。
当然通过日常课堂练习获得心算乘法的能力，速度慢一些、正确率也差一点。但电算社
会里，心算乘法主要是 problem-solving 的 intuition 所需要，正确率不是太差的话
，AIME 的瓶颈都不会是背诵九九乘法表。

【在 s***n 的大作中提到】

: 普通娃跟着陶渊明不求甚解的学数学可以多快好省的构建出糨糊。某种意义上，这个方
: 案确实可以成功地改进构建式教育的低效问题。
:
: priming

t*l2018-09-18 07:09

108 楼

根据“新潮认知心理学理论”，大部分人的思维本质上确实是浆糊，或多或少的差别。
本质上因为我们不是 logic-driven 的，而是 intuition-driven 的。
或者实战的例子，你觉得初中 pre-algebra 阶段的娃娃，能 “真正理解” 抛物线是
“光滑” 的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不懂” 的浆糊
，就是好的。
或者下到 toddler 班小娃蹬三轮，你觉得 toddler 班小娃，能 “真正理解” 三轮的
轮子和龙头是如何运作的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不
懂” 的浆糊，就是好的。
或者上到 Banach-Tarski paradox，你觉得我这样的数学白痴马工，这辈子能哪怕就那
么一点点 “真正理解” Axiom of Choice 为啥能把 Costco 大西瓜切成两个么？如
果这辈子都不能哪怕就那么一点点 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不懂”
的浆糊，就是好的。
三段够排比了应该。。。

【在 s***n 的大作中提到】

: 普通娃跟着陶渊明不求甚解的学数学可以多快好省的构建出糨糊。某种意义上，这个方
: 案确实可以成功地改进构建式教育的低效问题。
:
: priming

t*l2018-09-18 07:09

109 楼

换一个角度，我觉得之所以普通娃很难 “简单飞起一脚踹倒 Piaget 老先生”，不仅
仅是因为 biological maturation 的问题，还有 computational expensive 的问题，
或者生造一个词，“computational maturation”。
通俗的说，“computational maturation”，就是 “有点会” 到 “熟能生巧” 的差
别。
而现代马工计算复杂度理论说，其实就是 Big O 的不可逾越性的问题。当然，如果是
能超频的天才娃大脑，另说。

【在 k**n 的大作中提到】

: 正个名。你解释的我也看懂了。结果一看rgg的，觉得你的解释我忽然就不明白了。。
: 。。。。。。。。。。。。。

t*l2018-09-18 07:09

110 楼

或者随便举个例子就是 object permanence 的问题。维基词条如下：
http://en.wikipedia.org/wiki/Object_permanence
但我觉得有争议的说，AIME 的欧氏几何题，本质上就是 object permanence 的问题。
也就是说，出题老师有意无意地藏起了几根线。有意藏起的一般是特例问题，无意藏起
的一般是通用解决方案。
所以，只要拥有了智人版的 object permanence，AIME 的欧氏几何题就会无坚而不摧
。说白了就是个 sensorimotor stage 的活，preoprational stage 都还没到。当然不
能是猴版 object permanence 就是了。// super fast run

【在 t******l 的大作中提到】

: 换一个角度，我觉得之所以普通娃很难 “简单飞起一脚踹倒 Piaget 老先生”，不仅
: 仅是因为 biological maturation 的问题，还有 computational expensive 的问题，
: 或者生造一个词，“computational maturation”。
: 通俗的说，“computational maturation”，就是 “有点会” 到 “熟能生巧” 的差
: 别。
: 而现代马工计算复杂度理论说，其实就是 Big O 的不可逾越性的问题。当然，如果是
: 能超频的天才娃大脑，另说。

r*f2018-09-18 07:09

111 楼

有歧义，给孩子测试还是给父母测试啊

【在 t******l 的大作中提到】

: 没啥看不懂的，就是说有两种情况：
: case 1：准天才症父母，但也没到诊断手册标准。当然也可能是学区没钱，不给父母
: IQ test。
: case 2：父母胳膊肘往外拐，为了博小三一笑，不惜把大乃当猴耍。
: 当然也可能是 both。
: // 让我先 run 一下下，请勿追杀，谢谢。

t*l2018-09-18 07:09

112 楼

我刚才是本来是开玩笑的，不过现在想想可能是真的。对于普通娃而言，AIME-level
的欧氏几何题，可能确实部分借助 object permanence 和 theory of mind (出题人的
mind)。这可能可以解释为啥有辅助线猜对了但是题目没做出来的情况。
http://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_mind

：或者随便举个例子就是 object permanence 的问题。维基词条如下：
：http://en.wikipedia.org/wiki/Object_permanence

t*l2018-09-18 07:09

113 楼

但这对于普通娃而言，其实不属于投机取巧。
因为普通娃毕竟不会去理论纯数学系找抽。
而在马工实践中，就举个例子最常见的 bug fixing 吧，毕竟 coding 是人写的，bug
也是人给写出来的。Fix 不熟悉也不是自己写的 code 的部分的时候，theory of mind
和 object permanence 还是有帮助的。

：我刚才是本来是开玩笑的，不过现在想想可能是真的。对于普通娃而言，AIME-level
：的欧氏几何题，可能确实部分借助 object permanence 和 theory of mind (出题人
的 mind)。这可能可以解释为啥有辅助线猜对了但是题目没做出来的情况。

f*g2018-09-18 07:09

114 楼

说的很好。
我开始看美国的数学教材，也觉得设计的很好。可是应用在学生身上的效果就很差。确
实像你说的，构建式也是需要足够的时间精力兴趣投入的。不然的话，还不如“划重点
”然后练习记住效果更好一些。

【在 s***n 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

115 楼

美国数学教科书是天下最烂的数学教科书，没有之一。其实就是本哈利波特，而且还很
厚。
当然我从来不拍美国数学教科书，因为中小学基本没人看数学教科书，不管中国美国新
加坡俄罗斯。一般上完课直接刷题就是了。有时间拍美帝数学教科书，那还不如拍
AIME 网上答案。
而且现在还有各种数学网站。看数学教科书属于实在是吃得太饱。

：说的很好。

f*g2018-09-18 07:09

116 楼

如果你单挑一个知识点出来，那确实是不求甚解，“浆糊”一下也无所谓，反正搞不清
楚也没有太大损失。
可是对于数学这样一个体系，是有逻辑发展的，四则运算基本规则都搞不清楚的话，没
法进展到algebra, 如果连乘法规则都摆不清楚，那是怎么构建都没法理解微积分的。
小学浆糊了初中就完全不能get it，到高中更是完全抓瞎了。所以普通娃很难保持一个
60%，60%，60%的学习效果（也就是一直“半懂不懂”），更可能的是60%，30%，10%这
么一个递减曲线，从“半懂不懂”变成“完全不懂”。

是

【在 t******l 的大作中提到】

: 根据“新潮认知心理学理论”，大部分人的思维本质上确实是浆糊，或多或少的差别。
: 本质上因为我们不是 logic-driven 的，而是 intuition-driven 的。
: 或者实战的例子，你觉得初中 pre-algebra 阶段的娃娃，能 “真正理解” 抛物线是
: “光滑” 的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不懂” 的浆糊
: ，就是好的。
: 或者下到 toddler 班小娃蹬三轮，你觉得 toddler 班小娃，能 “真正理解” 三轮的
: 轮子和龙头是如何运作的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不
: 懂” 的浆糊，就是好的。
: 或者上到 Banach-Tarski paradox，你觉得我这样的数学白痴马工，这辈子能哪怕就那
: 么一点点 “真正理解” Axiom of Choice 为啥能把 Costco 大西瓜切成两个么？如

h*m2018-09-18 07:09

117 楼

我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演练
？我小娃也上一年级，普通娃但我觉得还挺聪明的。我问他3x9是多少时，他就是9+9+9
，有时也会用点小trick，比如5x9他会先9+9=18，18+18=36，然后再加9，就这么点小
trick已经让我心里美滋滋了。要是我娃balabala地整出你说的这么一大套来，我非的
犯心脏病不可。
你有两个选择：
A。真的，你娃就是这么算而不觉得苦逼。那你娃绝对是数学天才了，你的这套数学教
育理念不适合绝大多数普通娃。更加深了我要让孩子背乘法表的决心。
B。实际上你娃也是9加9再加9，但因为之前某人提到了连加做乘法的小弊端--没有二维
图景将来影响理解commutative property和distributive property，（其实也没啥，
需要时再补呗，反正小孩时间多着呢），你就在100毫秒之内，选择性修改了记忆，以
为自己就是用二维点阵教娃做乘法的。
当然你也有权保持沉默，否则你说的每一个字都会被群众明亮的眼睛记下。。。
其实吧，选择性修改记忆作为一种普世人性倒也没啥，我是真的担心你真的用这么苦逼
的化简为繁的办法来教育娃，那可真的是杀兴趣啊（你娃真是天才另说）。
另外，distributive property不用这么早用个位数开练，小孩的大脑记忆个乘法表真
不是个事，只要方法得当不会太苦逼的。等到了多位数乘法，记结果变的不切实际时，
再拿distributive property出来，孩子对它有用性的理解会高上一个层次。要不然整
天拿个位数拆来拆去，为学property而学property，没多大意思，搞不好也会杀兴趣的
。这叫needs-based learning。同样，在学一元二次方程时强调complete square为将
来解析几何做准备也没多大必要，知道求根公式就是这么推导来的就行，将来需要时再
现学一下理解反而深刻。学方程时最大的needs就是得到解，使用求根公式无可厚非。
多说几句话糙理不糙的不中听题外话，平时民科式地研究点教育学呀心理学呀自己感兴
趣的东西挺好的，谁没点业余爱好啊？老农民还有造飞机的呢。问题是飞机试飞时最好
离自家远点，千万别让自家娃来试飞啊。

2

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

118 楼

你这就是一说。实践社会里这个也就是五十步和一百步的差别，根本不是个绝对的对错
。有理数无理数搞不清楚，一样可以 PHD 毕业的
其实不上 rational root theorem 这种，有理数无理数真的无所谓。读生物的其实零
和一这两个 identity 都不需要搞清楚。实话实说。

：如果你单挑一个知识点出来，那确实是不求甚解，“浆糊”一下也无所谓，反正搞不
清楚也没有太大损失。

t*l2018-09-18 07:09

119 楼

你娃一年级能算出 5*9 和 9*9 之类的，那想背诵九九乘法表也不是不可以。
但大部分一年级普通娃算不出来，所以没法背。
而且大部分一年级普通娃也背不出一千个汉字。
总之你要推自家天才娃，没人有意见。但你要说普通娃一年级愿意背九九乘法表，我觉
得普通娃家长还是相信 Piaget 理论，不要看着天才娃把自己普通娃给整疯了，或者干
脆整出后发型 developmental problem，才是正道。
民科型认知理论，总比疯子型沟命海心，强一万倍！

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？

h*m2018-09-18 07:09

120 楼

说的太好了。
特别同意这句话“构建式的数学教育更接近精英教育，更适合数学GT娃，不适合大众”
对GT娃来说，构建教育可能确实有利于培养创造性，但代价就是普通娃成了炮灰。从美
国国家利益来讲，可能万里挑一选出一些有创造性的精英领军人物就足够了，中层人才
可以从其他国家进口，普罗大众数学差点也无所谓。可作为普通娃的父母从自己孩子的
利益出发，也跟着咋呼就不那么明智了。
中国的传统教育还是对普通娃比较负责的，尽量强推到一个比较高的平均水平，这中间
是不是真的扼杀了一些天才娃的兴趣和创造性？可能吧。但我觉得对于面向大众的基础
教育还是不应该办成精英教育，要培养创新性数学人才，就不要让那些真正的天才接受
普通基础数学教育，甚至都不要搞什么奥赛，直接由数学大师带领从事创新性研究，缺
什么知识补什么知识，在年轻创造力高时就能出成果。当然这也就是小人物发发感慨罢
了。：）

【在 s***n 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

121 楼

另外用二维点阵教一年级小娃乘法的是您老吧。
我前面不是写了我跟我家小娃说的是 group，最多也就是几颗树，每颗树上几只鸟。还
有就是用娃版立式算盘表示。
我教我家大娃二维瓢虫阵的时候是四年级好不好？那时公立学校九九乘法表都搞完了。
你连年级都没搞清楚就拍。

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？

t*l2018-09-18 07:09

122 楼

你提到的啥 property，根本是连 Concrete 和 Formal 都没搞清楚。
摆个娃版玩具算盘，根本不算啥 property，就是算盘珠子移来移去。
Arithmetic property 是对所有的数而言的，“any”，也就是 Formal Operation 的
deduction。

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？

t*l2018-09-18 07:09

123 楼

你要拍我在上学路上演练，这个更可笑了。
在路上演练最多效果不行，但好处是每天就十几分钟，也就是推普通娃数学兴趣推不出
来而已。但好处是就十几分钟，玩玩的心态，肯定不会有副作用。
至于推不出数学兴趣，怕个啥？这本来就是个 enrichment。推得出来就是赚，推不出
来学校按部就班，有学校保底，将来混州立问题也不会太大。
像我等普通娃，不要用力过猛直接推倒在起跑线上才是真的。我实话实说，普通娃
enrichment 一下，就要摆正 enrichment 的心态，倒是真的。不能跟天才娃比拼九九
乘法表。

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？

h*m2018-09-18 07:09

124 楼

你家一年级娃算3x9就是普通娃，别人能算个5x9就是天才娃了？你就这么自信能当普通
娃家长的代言人？
按一年级正常数学进度，你让娃算乘法算不算推？你推就是适度的推，别人推就是苦逼
推疯？
还是我最开始的那句话，不要把自己的理论方法当成唯一正确的。
背个乘法表就能把娃整疯了，中国岂不到处是疯人了？
你就说说你小时候背没背过吧？现在疯没疯？或者再把记忆修改一下？
算了，多说无益。打住。

+9
点小

【在 t******l 的大作中提到】

: 你娃一年级能算出 5*9 和 9*9 之类的，那想背诵九九乘法表也不是不可以。
: 但大部分一年级普通娃算不出来，所以没法背。
: 而且大部分一年级普通娃也背不出一千个汉字。
: 总之你要推自家天才娃，没人有意见。但你要说普通娃一年级愿意背九九乘法表，我觉
: 得普通娃家长还是相信 Piaget 理论，不要看着天才娃把自己普通娃给整疯了，或者干
: 脆整出后发型 developmental problem，才是正道。
: 民科型认知理论，总比疯子型沟命海心，强一万倍！
:
: ：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
: 练？

t*l2018-09-18 07:09

125 楼

炮灰的第一推动力，其实不是 “构建式教育”，而是电算。
这就好比老黄牛永远没法跟拖拉机联合收割机对抗。
至于九九乘法表，美帝进口的主要不是纯数专业，主要是马工专业。
话说祖国十亿人背诵九九乘法表，美帝才进口了几个。况且进口的大多不算是九九乘法
表尖子。
而且就算是美帝进口的那些人，假设一下晚两三年背九九乘法表的话，那些人难道就不
能马 code 了？美帝进口的马工，里面不少人，当年祖国小学数学还不一定行。

：说的太好了。
：特别同意这句话“构建式的数学教育更接近精英教育，更适合数学GT娃，不适合大众
”对GT娃来说，构建教育可能确实有利于培养创造性，但代价就是普通娃成了炮灰。

t*l2018-09-18 07:09

126 楼

背乘法表的前提是一直算到 9*9。
9*9 vs 3*9，对小学一年级娃，是有非常大的差别，使用 place value 跟不使用
place value 的差别。
你对小学低年级数学没有起码的概念，连普通娃的 enrichment education, spiral 和
天才娃大幅度超前的 gifted education，都看不出来。

：你家一年级娃算3x9就是普通娃，别人能算个5x9就是天才娃了？你就这么自信能当普
通娃家长的代言人？
：按一年级正常数学进度，你让娃算乘法算不算推？你推就是适度的推，别人推就是苦
逼推疯？

t*l2018-09-18 07:09

127 楼

我自己小学数学一屁股红叉。如果我爸妈把九九乘法表推成滚瓜烂熟的话，按我的平均
智商应该不会一屁股红叉。

：你家一年级娃算3x9就是普通娃，别人能算个5x9就是天才娃了？你就这么自信能当普
通娃家长的代言人？
：按一年级正常数学进度，你让娃算乘法算不算推？你推就是适度的推，别人推就是苦
逼推疯？

t*l2018-09-18 07:09

128 楼

我说你对小学娃教育，真的没有基本的概念。
小学一年级的加法的教学要求（老师都发给家长的，如果你看了一遍的话，也可以上网
查），是加法的结果在二十以内。这是基于 working memory “the magic number
seven, plus or minus two“ 而设计的。
那由于每个娃的 working memory 有差别，外加更重要的是大脑 encoding 的差别，对
working memory 的使用也有影响。所以你稍微 enrichment 一下，搞到加法的结果到
40 左右，完全有可能。所以这个本质上就是 enrichment。
那你现在要背九九乘法表，按学校进度的设计，是能做熟练 100 以内的加法为前提，
而且
还得足够快，因为要加不少数字。这个得 place value 熟练以后才行。place value
搞熟练哪那么快？这跟简单的 enrichment 根本不是一回事。
不过楼上也说了，如果能做 100 以内的加法，乘法表能自己算出来，那背诵一下也没
啥。但你觉得一年级普通娃算得下来？
其实就算一年级算得下来，我也不觉得一定要一年级就背诵乘法表其实，当然这个各家
看法选择不同。

：你家一年级娃算3x9就是普通娃，别人能算个5x9就是天才娃了？你就这么自信能当普
通娃家长的代言人？

t*l2018-09-18 07:09

129 楼

这个东西也没有标准答案，前面也就是大家网络互殴一下而已。
但有一个东西有绝对的标准回答，也就是丘吉尔同志说的，the end of the beginning：
在算熟一位数乘法以前背诵九九乘法表，那就是 the end of the beginning。
将来一定会在学完 complete a square 以前，就背诵二次方程的求根公式的。
哥们的帖子帮我们证明了这点倒是。

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？

t*l2018-09-18 07:09

130 楼

按小学一年级的进度，二十以内的加法还没有教完。我虽然不知道小娃是咋做 9*3 的
，但我估计她有很大的硬数数的成分，你让她算 9*5 肯定不行，她说数字大了她就会
confused。
所以这个年龄首先是对付 big number 的问题，或者说就是 place value 搞到 100 的
问题。
这个时候 spiral 竖式加法都可以，虽然竖式加法是 standard algorithm，但也隐含
place value 的 perceptual 不是？
但这个阶段背诵九九乘法表，普通娃真的实在不行。真心的说。这是科学，不是说人有
多大胆，普通娃就能有多大产。

：你家一年级娃算3x9就是普通娃，别人能算个5x9就是天才娃了？你就这么自信能当普
通娃家长的代言人？
：按一年级正常数学进度，你让娃算乘法算不算推？你推就是适度的推，别人推就是苦
逼推疯？

t*l2018-09-18 07:09

131 楼

我现在明白了，我等一年级的普通娃的意思，就是加法加不到 100，读书大字不认识几
个。
我觉得一年级普通娃，根本不用考虑啥测智商去 GT 班。就算人愿意破格录取，普通娃
去了也学不到啥。反而错过打好加法计算基础，以及阅读基础的机会。

t*l2018-09-18 07:09

132 楼

我半夜里突然明白了你为啥会觉得用玩具算盘 make 10 的办法算 7*8，（也就是把某
一排 8 个珠子，移到其他 4 排，出现 4 排 10），对一年级的娃会是 “化简为烦”。
我觉得你是没有对一年级普通娃的 theory of mind，也就是不能站在一年级普通娃的
角度看问题。
一年级普通娃，心中还没有完全建立“加法表”，8+8=16 常常靠数数，16+8=24 基本
靠数数，24+8=32 虽然可能可以竖式加法，但基本是照章办事不能心算。你让一年级普
通娃把 7 个 8 加起来，算上一堆草稿纸。娃基本会觉得还不如用上面的在玩具算盘上
make 10 的办法，一看玩具算盘上一目了然。
其实 7*8 本身并不重要，缺乏 theory of mind 比较不寻常我觉得。当然如果是天才
家长天才娃，从来没有见过普通娃，那倒是可以理解的。

：我的个天！你是认真的吗？这就是你娃做“一位数乘法题”的方法？还经常在路上演
练？我小娃也上一年级，普通娃但我觉得还挺聪明的。我问他3x9是多少时，他就是9+9
+9，有时也会用点小trick，比如5x9他会先9+9=18，18+18=36，然后再加9，就这么点
小

t*l2018-09-18 07:09

133 楼

我刚才想了想，我改变了看法。
我觉得这个问题不是 empathy，我觉得这个问题可能是 theory of mind，也就是觉得
一年级数学普通娃，会用大人的思维来考虑问题。当然天才娃家长倒是情有可原。
http://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_mind

：正个名。你解释的我也看懂了。结果一看rgg的，觉得你的解释我忽然就不明白了。。
：。。。。。。。。。。。。。

s*n2018-09-18 07:09

134 楼

同意你说的。
我主要辅导的是数学GT娃。辅导这些孩子，我还是比较喜欢用美国教材。不过对普通娃
而言，美国数学教材的设计确实有不少问题的。
美国数学教材的设计基本是构建式教育的框架，是偏向精英教育的，更适合数学娃。比
如美国数学教材的一个特点是螺旋式上升 - 很多数学概念在低年级就引入，然后每一
年讲深点广点。对数学娃来说，这些新知识是有趣的东西，是他们的学习兴趣点，可以
提高他们的学习兴趣，同时早引入这些概念也给了他们更多的时间去思考消化这些新知
识。但对大多数普通娃来说，这些知识点往往是难点，会占用他们本该去构建基础知识
点的时间和精力，结果反而造成他们基础不扎实，学新知识点的能力下降，进入一种恶
性循环。
另外由于构建式教育比较低效，课堂内很难有足够的时间给孩子巩固消化新构建的内容
。所以构建式教育中课后练习对普通娃来说其实挺重要。但美国精英化的教育思想推崇
限制作业量，结果就是不少普通娃在STEM方面被构建成了炮灰。

【在 f**********g 的大作中提到】

: 说的很好。
: 我开始看美国的数学教材，也觉得设计的很好。可是应用在学生身上的效果就很差。确
: 实像你说的，构建式也是需要足够的时间精力兴趣投入的。不然的话，还不如“划重点
: ”然后练习记住效果更好一些。

k*n2018-09-18 07:09

135 楼

如果你真的觉得一年级时学普通娃，会用大人的思维来考虑问题
建议你重新读一读一年级
我火箭跑

。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我刚才想了想，我改变了看法。
: 我觉得这个问题不是 empathy，我觉得这个问题可能是 theory of mind，也就是觉得
: 一年级数学普通娃，会用大人的思维来考虑问题。当然天才娃家长倒是情有可原。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_mind
:
: ：正个名。你解释的我也看懂了。结果一看rgg的，觉得你的解释我忽然就不明白了。。
: ：。。。。。。。。。。。。。

k*n2018-09-18 07:09

136 楼

你看你也打这么多字，怎么就这么简而易懂呢

【在 s***n 的大作中提到】

: 同意你说的。
: 我主要辅导的是数学GT娃。辅导这些孩子，我还是比较喜欢用美国教材。不过对普通娃
: 而言，美国数学教材的设计确实有不少问题的。
: 美国数学教材的设计基本是构建式教育的框架，是偏向精英教育的，更适合数学娃。比
: 如美国数学教材的一个特点是螺旋式上升 - 很多数学概念在低年级就引入，然后每一
: 年讲深点广点。对数学娃来说，这些新知识是有趣的东西，是他们的学习兴趣点，可以
: 提高他们的学习兴趣，同时早引入这些概念也给了他们更多的时间去思考消化这些新知
: 识。但对大多数普通娃来说，这些知识点往往是难点，会占用他们本该去构建基础知识
: 点的时间和精力，结果反而造成他们基础不扎实，学新知识点的能力下降，进入一种恶
: 性循环。

s*n2018-09-18 07:09

137 楼

是这个道理。对数学知识的学习和理解是个循序渐进的过程。孩子对一个概念的理解往
往是从浆糊开始，然后开始逐渐清晰，然后这个概念成为以后新知识的出发点。一个教
育者如果以"不求甚解"为教育目的，不想着改变浆糊的状态，只想着"乱中取胜"，结果
多半就是这孩子越来越不懂，越来越难取胜，甚至完全不懂，乱中无胜。

【在 f**********g 的大作中提到】

: 如果你单挑一个知识点出来，那确实是不求甚解，“浆糊”一下也无所谓，反正搞不清
: 楚也没有太大损失。
: 可是对于数学这样一个体系，是有逻辑发展的，四则运算基本规则都搞不清楚的话，没
: 法进展到algebra, 如果连乘法规则都摆不清楚，那是怎么构建都没法理解微积分的。
: 小学浆糊了初中就完全不能get it，到高中更是完全抓瞎了。所以普通娃很难保持一个
: 60%，60%，60%的学习效果（也就是一直“半懂不懂”），更可能的是60%，30%，10%这
: 么一个递减曲线，从“半懂不懂”变成“完全不懂”。
:
: 是

t*l2018-09-18 07:09

138 楼

我这些不是凭空想出来的。各种娃娃数学网站，包括最著名的 Khan Academy，对于低
年级娃娃的乘法/除法概念，都是这个教法。这些都不受 CCSS-SBAC 的直接管辖。
而且我还拿娃版立式算盘，在早上出门前，给小娃 test 过。对于 8*8 这个例子（那次
正好是 8*8 而不是 7*8），确实移动 8 个珠子，比把 8 个 8 加起来，对小娃容易得
多。
你可以不相信，或者认为我的 testify 有漏洞。但我至少 testify 了。一个证据就是
你看我以前从来不讨论 “四年级以下数学”，至少说明我在没有办法 testify 的情况
下，不会参合讨论的。

：如果你真的觉得一年级时学普通娃，会用大人的思维来考虑问题

t*l2018-09-18 07:09

139 楼

用图示娃娃的玩具算盘这个 8*8，就是：
（当然也可以直接拨成 64，但考虑心算，留下了 8*3）
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o

：我这些不是凭空想出来的。各种娃娃数学网站，包括最著名的 Khan Academy，对于低
：年级娃娃的乘法/除法概念，都是这个教法。这些都不受 CCSS-SBAC 的直接管辖。

r*f2018-09-18 07:09

140 楼

嗯课堂练习和作业确实对后进娃很必要！

【在 s***n 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

141 楼

我觉得大人的 theory-of-mind 一般都没问题（有问题的估计也不会上网）。所以在这
种情况下，我觉得是娃的差别引起的。
我的猜测是不同娃的 maturation 节奏不一样，导致在同样的年龄，某些娃 think
more like adult，另一些娃 think more like a kid。
而这差别的背后，可能就是 Piaget 的 biological maturation 和新潮理论的
computational maturation 的共同作用。

：你看你也打这么多字，怎么就这么简而易懂呢
：【在 syuan (头) 的大作中提到: 】

k*n2018-09-18 07:09

142 楼

恩，欢迎参加一年级讨论

那次

【在 t******l 的大作中提到】

: 我这些不是凭空想出来的。各种娃娃数学网站，包括最著名的 Khan Academy，对于低
: 年级娃娃的乘法/除法概念，都是这个教法。这些都不受 CCSS-SBAC 的直接管辖。
: 而且我还拿娃版立式算盘，在早上出门前，给小娃 test 过。对于 8*8 这个例子（那次
: 正好是 8*8 而不是 7*8），确实移动 8 个珠子，比把 8 个 8 加起来，对小娃容易得
: 多。
: 你可以不相信，或者认为我的 testify 有漏洞。但我至少 testify 了。一个证据就是
: 你看我以前从来不讨论 “四年级以下数学”，至少说明我在没有办法 testify 的情况
: 下，不会参合讨论的。
:
: ：如果你真的觉得一年级时学普通娃，会用大人的思维来考虑问题

t*l2018-09-18 07:09

143 楼

另一个我觉得的，是 GT 班的 selection bias。
就好比一年级的娃，如果加法和乘法根本就算不到 100（指计算结果）；阅读大字不认
几个，哈利波特根本都不用想；而且学校已经狐朋狗友一堆了。你说这种娃父母主动要
求去测个 IQ 申请 GT 班，我觉得校长都要心里说，你丫这父母是不是自己找个心理大
夫先。
也就是说，我觉得 GT 班里面的，大概率的在小学低年级，就 think more like an
adult。
而根据丘吉尔同志的 the end of the beginning 理论，甚至我觉得都有可能这两个
subgroup 的思考方式 brain-wiring，很大程度上有根本性的差别。这才能解释小学一
年级会有这么大的差别。而大部分普通娃在小学一年级的差别有限（通俗的说法就是，
小学低年级主要是玩耍时学一点）。

：我觉得大人的 theory-of-mind 一般都没问题（有问题的估计也不会上网）。所以在
这种情况下，我觉得是娃的差别引起的。

t*l2018-09-18 07:09

144 楼

一年级其实没有很多可以讨论，因为这个 gap 你看到了，非常巨大。
这就好比有些一年级娃能读哈利波特了，但大部分一年级娃大字都不认识几个，这样的
差别。

：恩，欢迎参加一年级讨论
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

t*l2018-09-18 07:09

145 楼

而有争议的说，根据丘吉尔同志的 the end of the beginning 理论，这个 gap 可能
一直都存在。
也就是普通娃就在长大以后，就算做 AIME-level 的题目，相对于同年龄的 GT 娃而言
，依旧是 think more like a kid（相对而言的 kid）。
而这可能导致普通娃，即使在解 AIME-level 的题目的时候，更多的依赖于 object
permanence 和 theory of mind 这类的 intuition（think like a kid，相对而言的
kid），而不是更多的依赖于 mathematical logics。

：一年级其实没有很多可以讨论，因为这个 gap 你看到了，非常巨大。
：

k*n2018-09-18 07:09

146 楼

喔，你是叫我shut up吗？我还没上二年级，参加不了你们的讨论阿

【在 t******l 的大作中提到】

: 一年级其实没有很多可以讨论，因为这个 gap 你看到了，非常巨大。
: 这就好比有些一年级娃能读哈利波特了，但大部分一年级娃大字都不认识几个，这样的
: 差别。
:
: ：恩，欢迎参加一年级讨论
: ：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

t*l2018-09-18 07:09

147 楼

没上二年级就能灌 BBS 的，GT 班没跑。// run

：喔，你是叫我shut up吗？我还没上二年级，参加不了你们的讨论阿

t*l2018-09-18 07:09

148 楼

另一方面，我觉得统计上的大多数，还是 “Piaget's biological maturation”
以及 “新潮理论的 computational maturation” 意义上的普通娃。
因为从进化优势角度，在娃还无法自给自足（self-sufficient）的阶段，如果跟大多
数娃娃的发展阶段轨迹差别太远的话，算不上是进化优势，一定程度的进化劣势都有可
能。

：而有争议的说，根据丘吉尔同志的 the end of the beginning 理论，这个 gap 可能
：一直都存在。

t*l2018-09-18 07:09

149 楼

从进化优势角度看，普通娃多半不是 most elite group，但大概率的可能是 most
adaptive group。
但这样就有了个思想实验，也就是如果出了个错，错把一个普通娃放在 GT 班里。那
biological maturation 显然不会受影响，但 computational maturation 不知道会如
何变化。

：另一方面，我觉得统计上的大多数，还是 “Piaget's biological maturation
” 以及 “新潮理论的 computational maturation” 意义上的普通娃。
：

j*l2018-09-18 07:09

150 楼

嗯我看粗来了，苏三比较拎得清，揭露了实话
构建本意有好的一面，现实还有很长的路要走，
对师资要求很高，不好的老师教不扎实结果人肉计算器都做不成
潮水意思是他自己会教，自己娃构建得门儿清，
巴不得推妈家鸡飞狗跳还不得要点。
潮水快推大家进推妈群观摩~~~

priming

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

151 楼

我不是这个意思。我是说，在我们人类的 neuron system 里面，有一类特殊的 neuron
，叫 mirror neuron, that fires both when an animal acts and when the animal
observes the same action performed by another.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_neuron
[quote]
Possible functions: Understanding intentions, Learning facilitation, Empathy
, Human self awareness, Language, Automatic Imitation, Motor mimicry, Autism
, Theory of mind, Gender differences
[/quote]
[quote]
The function of the mirror system in humans is a subject of much speculation
. Some researchers in cognitive neuroscience and cognitive psychology
consider that this system provides the physiological mechanism for the
perception/action coupling (see the common coding theory).[3] They argue
that mirror neurons may be important for understanding the actions of other
people, and for learning new skills by imitation. Some researchers speculate
that mirror systems may simulate observed actions, and thus contribute to
theory of mind skills,[7][8] while others relate mirror neurons to language
abilities.[9] Neuroscientists such as Marco Iacoboni (UCLA) have argued that
mirror neuron systems in the human brain help us understand the actions and
intentions of other people.
[/quote]

【在 j*l 的大作中提到】

: 嗯我看粗来了，苏三比较拎得清，揭露了实话
: 构建本意有好的一面，现实还有很长的路要走，
: 对师资要求很高，不好的老师教不扎实结果人肉计算器都做不成
: 潮水意思是他自己会教，自己娃构建得门儿清，
: 巴不得推妈家鸡飞狗跳还不得要点。
: 潮水快推大家进推妈群观摩~~~
:
: priming

t*l2018-09-18 07:09

152 楼

所以从这个角度，“构建式教育” 虽然有其理论缺陷，但可以提出了一个假说，也就
是对大部分普通娃而言（GT 班从小 think like adult 的不算，指一转身就在茫茫人
海里不见踪影的普通娃），即使做 AMC-AIME 几何题这种，可能并不是首先 driven by
mathematical logics，而是首先 driven by "object permanence" and "theory of
mind", which may connect to mirror neuron system hypothesis.

neuron
animal

【在 t******l 的大作中提到】

: 我不是这个意思。我是说，在我们人类的 neuron system 里面，有一类特殊的 neuron
: ，叫 mirror neuron, that fires both when an animal acts and when the animal
: observes the same action performed by another.
: http://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_neuron
: [quote]
: Possible functions: Understanding intentions, Learning facilitation, Empathy
: , Human self awareness, Language, Automatic Imitation, Motor mimicry, Autism
: , Theory of mind, Gender differences
: [/quote]
: [quote]

t*l2018-09-18 07:09

153 楼

如果用一个最简单的欧氏几何题添辅助线的例子，等腰三角形切成两个全等直角三角形。
这里的 "object permanence" 的 missing object，就是等腰三角形的对称轴。
这里的 "theory of mind"，或者说 "Sally-Anne test"，就是 Why the "splitting
line" doesn't show up? Because likely my math teacher, whose name is Anne,
wanna trick us (a hide-and-seek game). So very likely she (my math teacher
Anne) erased the "splitting line" before handing the euclidean geometry
problem to us.

driven

【在 t******l 的大作中提到】

: 所以从这个角度，“构建式教育” 虽然有其理论缺陷，但可以提出了一个假说，也就
: 是对大部分普通娃而言（GT 班从小 think like adult 的不算，指一转身就在茫茫人
: 海里不见踪影的普通娃），即使做 AMC-AIME 几何题这种，可能并不是首先 driven by
: mathematical logics，而是首先 driven by "object permanence" and "theory of
: mind", which may connect to mirror neuron system hypothesis.
:
: neuron
: animal

j*l2018-09-18 07:09

154 楼

你们码工的世界真复杂
我至今想不了这么多
辅助线都是经验，所以我属于小时候题刷多了
毁了数学思维的猴子

形。

【在 t******l 的大作中提到】

: 如果用一个最简单的欧氏几何题添辅助线的例子，等腰三角形切成两个全等直角三角形。
: 这里的 "object permanence" 的 missing object，就是等腰三角形的对称轴。
: 这里的 "theory of mind"，或者说 "Sally-Anne test"，就是 Why the "splitting
: line" doesn't show up? Because likely my math teacher, whose name is Anne,
: wanna trick us (a hide-and-seek game). So very likely she (my math teacher
: Anne) erased the "splitting line" before handing the euclidean geometry
: problem to us.
:
: driven

t*l2018-09-18 07:09

155 楼

这就是为啥我觉得 1983 AIME Problem 4 的网上答案 failed on "Sally-Anne test"
的原因。
Because why my math teacher Anne (who love to play hide-and-seek game), on
the problem AIME # 4 (which not supposed to be extremely difficult), want us
solve the holy crap simultaneous quadratic equation, in the case the
problem seems have general solutions (solution algorithm not specific to the
actual length/angle) in the linear "scope".
So possibility 1: My math teacher Anne, she wanna us to solve it by chasing
triangles (euclidean geometry solution), but she erased some of the
triangles to trick us (object permanence). And by looking at the shape and
symmetry, it is likely those removed triangles are similar right angle
triangles derived from either splitting or extending.
So possibility 2: My math teacher Anne, she wanna us to solve it by chasing
coordinates (analytic geometry solution), but she erased some of the "
flight path of coordinates" to trick us (object permanence). And by looking
at the shape / right angle / symmetry, it is likely a "piece-wise linear
flight path of coordinates", in right angle coordinate system.
Now if both of the above end up no solution in reasonable timeframe, I might
look otherwise that my math teacher Anne could really go nuts today (Human
is frequently unpredictable, you know). But either of above run into
solution quickly and rationally. It turns out that my math teacher Anne is
pretty a nice math teacher (playing hide-and-seek game), at least for this
problem. So why I need bother those online holy-crap answer?
http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1983_AIME_Problems/Problem_4

t*l2018-09-18 07:09

156 楼

但这并不是 trick AIME，这是一个 useful life-long skill。就算在 STEM 领域，修
个别人的 bug，经常也得 reasonable guess，也就是 theory of mind。
要是一上来就 guess 前面那马工跟公司有仇而不是偷懒，老板说，用 Mental Health
Insurance 先把 Theory of mind 给治好了，再来修 bug 不迟。。。// super fast
run

j*l2018-09-18 07:09

157 楼

你这解法太神了，完全反你自己支持的构建式数学，猜人意图哪还有个普适标准啊
就算有，也是推的theoryofmind，推人心理学，不是推数学啊

Health

【在 t******l 的大作中提到】

: 但这并不是 trick AIME，这是一个 useful life-long skill。就算在 STEM 领域，修
: 个别人的 bug，经常也得 reasonable guess，也就是 theory of mind。
: 要是一上来就 guess 前面那马工跟公司有仇而不是偷懒，老板说，用 Mental Health
: Insurance 先把 Theory of mind 给治好了，再来修 bug 不迟。。。// super fast
: run

t*l2018-09-18 07:09

158 楼

我觉得这不是主动的“猜”，这是 intuition。对于这个这个，得提一下最新潮的：
推 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis”，这个 hypothesis 是：
（1）从小小娃的 peek-a-boo，到小娃的不硬背九九乘法表，到大娃的 AIME 欧氏几何
题，其底层的支撑，也许都是 object-permanence。而 object-permanence 在 neuro-
substrate 层面，也许就是 mirror neuron。
（2）从小小娃看扔球预知其轨迹，到大人 theory-of-mind 来 "know" 小小娃的
intention，其底层的支撑，也许都是 object-permanence。而 object-permanence 在
neuro-substrate 层面，也许就是 mirror neuron。

【在 j*l 的大作中提到】

: 你这解法太神了，完全反你自己支持的构建式数学，猜人意图哪还有个普适标准啊
: 就算有，也是推的theoryofmind，推人心理学，不是推数学啊
:
: Health

f*g2018-09-18 07:09

159 楼

潮水你真的很奇怪。
我们这些在家推数学的，是因为感觉学校数学太不给力，没办法只能在家加餐。但凡学
校教的不要太不靠谱，我是不会在家多花一分钟时间的。
你呢，一边极力推崇美帝数学教育系统多么先进多么优秀，一边在家推的比谁都狠，何
苦来哉？

t*l2018-09-18 07:09

160 楼

对这个 “推 ‘mirror-neuron => object-permanence hypothesis’ ”，用个实例做
简单的解释，就是：
比如这个问题就是，普通（术语是 neuro-typical）小娃为啥不愿意大人直接告诉小娃
9*4 的结果，要自己 workout。而退一步，就算告诉 8*8 = 64，也要在一个玩具算盘
上凑 10，而不是直接给了 64 的数字。
要回答上面这个问题，我觉得首先要看一下普通（术语是 neuro-typical）小小娃玩
peek-a-boo，大人要是提前走出来了，你说普通小小娃会很高兴还是很恼火？

neuro-

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得这不是主动的“猜”，这是 intuition。对于这个这个，得提一下最新潮的：
: 推 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis”，这个 hypothesis 是：
: （1）从小小娃的 peek-a-boo，到小娃的不硬背九九乘法表，到大娃的 AIME 欧氏几何
: 题，其底层的支撑，也许都是 object-permanence。而 object-permanence 在 neuro-
: substrate 层面，也许就是 mirror neuron。
: （2）从小小娃看扔球预知其轨迹，到大人 theory-of-mind 来 "know" 小小娃的
: intention，其底层的支撑，也许都是 object-permanence。而 object-permanence 在
: neuro-substrate 层面，也许就是 mirror neuron。

t*l2018-09-18 07:09

161 楼

我最近没推大娃数学，我要是推大娃数学，我能有这么多空？
或者你就看我有没有新的 AIME 题目出炉吧，还不是那两题翻来覆去用作例子讨论一下？
小娃也就是每天早上十几分钟上学路上，晚上小娃根本不让我推数学的。

【在 f**********g 的大作中提到】

: 潮水你真的很奇怪。
: 我们这些在家推数学的，是因为感觉学校数学太不给力，没办法只能在家加餐。但凡学
: 校教的不要太不靠谱，我是不会在家多花一分钟时间的。
: 你呢，一边极力推崇美帝数学教育系统多么先进多么优秀，一边在家推的比谁都狠，何
: 苦来哉？

t*l2018-09-18 07:09

162 楼

问题是为啥会这样。
我觉得有争议的说，如果用 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis”
的话，这个可能不是 psychological effect，这个可能是 biological effect。或者
这么说 hypothesis：
假说是：在大脑的 neuro-substrate 层面处理 object-permanence 的过程中，在
object-permanence 的 “因” 和 “果” 之间，mostly 不是 brain white matter
的 direct connection，mostly 可能是一系列 mirror-neuron firing 的 indirect
connection。
如果对上面这个打个比方，就好比是 “CAT 5e 网线直联” vs “Cisco 路由器击鼓传
花 TCP/IP 包”。

【在 t******l 的大作中提到】

: 对这个 “推 ‘mirror-neuron => object-permanence hypothesis’ ”，用个实例做
: 简单的解释，就是：
: 比如这个问题就是，普通（术语是 neuro-typical）小娃为啥不愿意大人直接告诉小娃
: 9*4 的结果，要自己 workout。而退一步，就算告诉 8*8 = 64，也要在一个玩具算盘
: 上凑 10，而不是直接给了 64 的数字。
: 要回答上面这个问题，我觉得首先要看一下普通（术语是 neuro-typical）小小娃玩
: peek-a-boo，大人要是提前走出来了，你说普通小小娃会很高兴还是很恼火？
:
: neuro-

f*g2018-09-18 07:09

163 楼

你从小学四年级推到初中二年级，本来就是很关键的一个阶段啊。你敢打包票你家大娃
如果完全没管也是现在的水平/你们也完全不担心吗？
你家小娃才多大啊，每天几分钟就很多了好不好

下？

【在 t******l 的大作中提到】

: 我最近没推大娃数学，我要是推大娃数学，我能有这么多空？
: 或者你就看我有没有新的 AIME 题目出炉吧，还不是那两题翻来覆去用作例子讨论一下？
: 小娃也就是每天早上十几分钟上学路上，晚上小娃根本不让我推数学的。

t*l2018-09-18 07:09

164 楼

如果这个 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis” 成立，那么就容易
解释为啥小小娃 / 小娃，都不想太快知道答案了。
这个可能是为了 properly train 那些 mirror-neuron (类比 Cisco 路由器)，我们的
evolution 进化出一个机制来 discriminate direct causal-effect 的模式（因为这
个模式里，mirror-neuron 啥事都不用干）。而这个机制就是小小娃/小娃不希望大人
太早给答案，即使知道是 direct causal-effect。
如果再进一步假设的话，就算上一代知道是 direct causal-effect，但是 evolution
的优势更多的是在 adaptivity 而不是一点点 efficiency。而 evolution 永远无法确
信这种 direct causal-effect 将来是不是一定存在（挨过冰川期，比拿到藤校入学通
知书，更重要）。从这个角度看，evolution 让 neuro-plasticity outweigh neuro-
efficiency，抑制直接的 causal-effect brain white matter 直接联接，也是说得过
去的。

【在 t******l 的大作中提到】

: 问题是为啥会这样。
: 我觉得有争议的说，如果用 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis”
: 的话，这个可能不是 psychological effect，这个可能是 biological effect。或者
: 这么说 hypothesis：
: 假说是：在大脑的 neuro-substrate 层面处理 object-permanence 的过程中，在
: object-permanence 的 “因” 和 “果” 之间，mostly 不是 brain white matter
: 的 direct connection，mostly 可能是一系列 mirror-neuron firing 的 indirect
: connection。
: 如果对上面这个打个比方，就好比是 “CAT 5e 网线直联” vs “Cisco 路由器击鼓传
: 花 TCP/IP 包”。

t*l2018-09-18 07:09

165 楼

哥们我啥时哪怕就一次说过让大家不要推了？
背不背九九表，啥时背，背多少，那是战术观点差别好不好？

【在 f**********g 的大作中提到】

: 你从小学四年级推到初中二年级，本来就是很关键的一个阶段啊。你敢打包票你家大娃
: 如果完全没管也是现在的水平/你们也完全不担心吗？
: 你家小娃才多大啊，每天几分钟就很多了好不好
:
: 下？

t*l2018-09-18 07:09

166 楼

另外我的初衷是终于可以金盆洗手了，发一个金盆洗手前的感言。
当然感言到半途冒出很多新看法，这个感言拖得确实有点长。
不过这个 “mirror-neuron object-permanence hypothesis” 应该可以收尾了。我目
测不可能能出更多幺蛾子了。都下到 mirror-neuron 之 Cisco 路由器这种 neuro-
substrate 的 hypothesis 的 TCP/IP 底层构件了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 哥们我啥时哪怕就一次说过让大家不要推了？
: 背不背九九表，啥时背，背多少，那是战术观点差别好不好？

t*l2018-09-18 07:09

167 楼

如果这个 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis” 成立的话，那可能
真的是 biological difference 而不是 psychological difference。争论不出来结果
我想，因菜施浇可能更重要。
这样的话，丘吉尔同志的 the end of the beginning 理论倒也成立了。

t*l2018-09-18 07:09

168 楼

如果这个假说是正确的，那么整个 theory-of-mind 的 test 都可能有问题。
因为如果 core difference 是 "mirror-neuron-like" vs "directly-white-matter-
connection-like" 的话，所有基于 deductive logic 的 theory-of-mind 的 test 都
有可能被 Aspergers 给 circumvent。因为纯理论而言，Aspergers 有可能可以使用
sophisticated deductive logics (你知道我知道天外飞仙想知道） to work it our
by the fashion of strictly deductive.
那样的话，只有一个 "non-deterministic intuitive" logic in constant changing
setup 才有可能测试出来，neuro-typical person 应该 more intuitive （因为更多
的 "mirror-neuron-like"），hence higher rate to "guess" correct。

【在 t******l 的大作中提到】

: 如果这个 “mirror-neuron => object-permanence hypothesis” 成立的话，那可能
: 真的是 biological difference 而不是 psychological difference。争论不出来结果
: 我想，因菜施浇可能更重要。
: 这样的话，丘吉尔同志的 the end of the beginning 理论倒也成立了。

t*l2018-09-18 07:09

169 楼

另一方面，这可能也提供了一个适应方案。
如果普通娃和阿斯博格都能解 AMC/AIME (去掉过于严格的时间限制)，只是英雄所见略
有不同而已。那 theory of mind 也可以如法炮制我想。也就是个战术上背诵和不背诵
九九人法表的差别？

：如果这个假说是正确的，那么整个 theory-of-mind 的 test 都可能有问题。

t*l2018-09-18 07:09

170 楼

有争议的说，我觉得 Piaget 理论最划时代的，可能不是 Concrete Operation /
Conserve / Piaget 水杯实验，而是 object permanence。
而有争议的说，从计算科学的角度，有可能 conservation is just one form of
object permanence。

t*l2018-09-18 07:09

171 楼

[quote]
Studies suggest that a multitude of variables may be responsible for the
development of object permanence rather than a natural talent of infants.
Evidence suggests that infants use a variety of cues while studying an
object and their perception of the object's permanence can be tested
without physically hiding the object. Rather, the object is occluded,
slightly obstructed, from the infants view and they are left only other
visual cues, such as examining the object from different trajectories. It
was also found that the longer an infant focuses on an object may be due to
detected discontinuities in their visual field, or the flow of events, with
which the infant has become familiar
http://en.wikipedia.org/wiki/Object_permanence

：有争议的说，我觉得 Piaget 理论最划时代的，可能不是 Concrete Operation /
：Conserve / Piaget 水杯实验，而是 object permanence。

t*l2018-09-18 07:09

172 楼

我觉得上面这段 quote 可以直接 apply to AIME 欧氏几何题学习添辅助线。真心的说。

t*l2018-09-18 07:09

173 楼

http://www.spring.org.uk/2008/06/infants-are-intuitive-physicists-object.php
Simple explanation
In further studies Professor Baillargeon tested all sorts of variations on
this theme. Toy rabbits, toy mice and carrots were all used, with some
defying the laws of nature in the ‘impossible’ conditions and others
studiously following them in the ‘possible’ conditions. Each time, though,
infants looked longer at the apparently impossible events, perhaps
wondering if they were dreaming.
These studies have now shown that infants as young as 3.5 months seem to
have a basic grasp of object permanence. While others have argued for
alternative explanations and interpretations, when all these studies are
taken together the idea that children understand object permanence is
arguably the simplest explanation.
Intuitive physicists
Using these results Baillargeon and others have argued that young infants
are not necessarily trapped in a world of shapes which have little meaning
for them. Instead they seem to be intuitive physicists who can carry out
rudimentary reasoning about physical concepts like gravity, inertia and
object permanence.
So, perhaps infants don’t perceive the world as a completely nonsensical
dream. Sure, they have many new things to learn and many things surprise
them, but they do seem to understand some fundamentals about how the world
works from very early on.

t*l2018-09-18 07:09

174 楼

有争议的说，Professor Baillargeon 给了 object permanence 更数学的定义：
Brain intuitively "guess" a particular scenario is "possible" or "not
possible" (most likely brain create a mental image and then process it).
如果扩展一下，这不一定是要 physics-wise，也可以是 mathematical-wise，甚至是
social-wise。
但另一方面，这也可能有 domain-specific vs domain-general 之分。

：http://www.spring.org.uk/2008/06/infants-are-intuitive-physicists-object.php

t*l2018-09-18 07:09

175 楼

如果用这个定义，那么前面的 1983 AIME Problem #4 的 object permanence 在添辅
助线以前就出现了：
Our brain intuitively "guess" the problem is "possible" to
be solved in "linear scope", before any declarative logics kicked in.

：有争议的说，Professor Baillargeon 给了 object permanence 更数学的定义：
：

t*l2018-09-18 07:09

176 楼

这还包括 wind 以前的那道“小学涂黑面积反三角函数题”：
Again our brain intuitively "guess" it is "not possible" to
be solved in Euclidean Geometry.
当然事后可以有各种逻辑解释就是了。

：如果用这个定义，那么前面的 1983 AIME Problem #4 的 object permanence 在添辅
：助线以前就出现了：

r*g2018-09-18 07:09

177 楼

我觉得构建不动的，其实也没必要上死记硬背/大量训练。数学重要，那是对一小撮人
说得。构建不动也没必要训练人肉计算器。

【在 j*l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

178 楼

为了不跟传统的 object permanence 混淆，我觉得下面这个可以定义为比如叫 "
extended object-permanence"：
extended object-permanence:
Brain intuitively "guess" a particular scenario is "plausible" or "
impossible" (most likely brain create a mental image and then process it).

：有争议的说，Professor Baillargeon 给了 object permanence 更数学的定义：

j*l2018-09-18 07:09

179 楼

看了5遍没看懂放弃了
估计小时背你板门店背多了脑损了

说。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得上面这段 quote 可以直接 apply to AIME 欧氏几何题学习添辅助线。真心的说。

t*l2018-09-18 07:09

180 楼

其实我觉得如果要给 "extended object-permanence" 一个更生动的例子的话，那个著
名的电视连续剧 MythBusters 里，最后那句荡气回肠的：
“plausible? or busted.“

：为了不跟传统的 object permanence 混淆，我觉得下面这个可以定义为比如叫 "
：extended object-permanence"：

j*l2018-09-18 07:09

181 楼

这个写的好懂多了，就是从小就有直觉
但你把aime844和wind都推给直觉，
就是说嘛别背，直接刷题培养看不见摸不着的直觉。
你这不正是反数学反构建么？
抛开我对你的反构建的理解不说，这个研究跟你关于直觉的结论还有很大差别
这个研究我也可以理解为人从小有直觉的倾向，
长大做理论的人，推崇从firstprinciple出发，
都是说人脑最擅长的是从少量的几个原则出发判断对错
我觉得这些是你我都一致的，
不一致的是我看不到构建式就一定是培养和回归直觉
也看不到背板门店就损害这些直觉
这文章根本没说3个月娃背完板门店就不关注反直觉的玩具了

though,

【在 t******l 的大作中提到】

: http://www.spring.org.uk/2008/06/infants-are-intuitive-physicists-object.php
: Simple explanation
: In further studies Professor Baillargeon tested all sorts of variations on
: this theme. Toy rabbits, toy mice and carrots were all used, with some
: defying the laws of nature in the ‘impossible’ conditions and others
: studiously following them in the ‘possible’ conditions. Each time, though,
: infants looked longer at the apparently impossible events, perhaps
: wondering if they were dreaming.
: These studies have now shown that infants as young as 3.5 months seem to
: have a basic grasp of object permanence. While others have argued for

t*l2018-09-18 07:09

182 楼

其实例子还有很多，比如以前那个 “球面上每一圈上升一米” 题。现在如果回想的话
，最大的差别也就是第一步 “extended object-permanence”，在这题上就是：
our brain intuitively "guess":
the seems complex 3-D Curvilinear-Integral problem constrained on sphere
surface
"plausibly" can be solved by using kinematics and a single-variable integral
in a fairly simplistic way

【在 j*l 的大作中提到】

: 这个写的好懂多了，就是从小就有直觉
: 但你把aime844和wind都推给直觉，
: 就是说嘛别背，直接刷题培养看不见摸不着的直觉。
: 你这不正是反数学反构建么？
: 抛开我对你的反构建的理解不说，这个研究跟你关于直觉的结论还有很大差别
: 这个研究我也可以理解为人从小有直觉的倾向，
: 长大做理论的人，推崇从firstprinciple出发，
: 都是说人脑最擅长的是从少量的几个原则出发判断对错
: 我觉得这些是你我都一致的，
: 不一致的是我看不到构建式就一定是培养和回归直觉

j*l2018-09-18 07:09

183 楼

哼唧，高等数学积分解初等数学题是你这种自己家里提前2年教的人才有得奢侈品

integral

【在 t******l 的大作中提到】

: 其实例子还有很多，比如以前那个 “球面上每一圈上升一米” 题。现在如果回想的话
: ，最大的差别也就是第一步 “extended object-permanence”，在这题上就是：
: our brain intuitively "guess":
: the seems complex 3-D Curvilinear-Integral problem constrained on sphere
: surface
: "plausibly" can be solved by using kinematics and a single-variable integral
: in a fairly simplistic way

t*l2018-09-18 07:09

184 楼

而且就在这个例子里面，我把算式送进数值积分器的时候，没有考虑到函数的 well-
form 与否（或者说函数的 condition number）。
后来有 id 说，伊目测的数据有点不一样。然后我说，“哦，我没看函数的 condition
和 well-form 与否”，我回去看一下。
但真实的故事是，Michael Bolton 唱到 "Said I checked logics but I lied”。我
下贴说那那天具体的过程。

话，
integral

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

185 楼

“（一米半径的）球面上每一圈上升一米”，没有简明的初等数学解法，要有也是得非
常 tricky 的 projection。（当然这个也是 "extended object-permanence"）。
这个简化的核心是，如何把约束条件下的三维线积分问题，转化为简单的一维积分问题
。（当然这个也还是 "extended object-permanence"，首先要 intuitively guess
这个转化 "plausible" 是存在的）。

【在 j*l 的大作中提到】

: 哼唧，高等数学积分解初等数学题是你这种自己家里提前2年教的人才有得奢侈品
:
: integral

j*l2018-09-18 07:09

186 楼

有有理连续函数表达的曲面约束下的3维线积分有不能转化成1维积分的么？
随便一个曲面不就给了把yz消掉一个的关系了么？

【在 t******l 的大作中提到】

: “（一米半径的）球面上每一圈上升一米”，没有简明的初等数学解法，要有也是得非
: 常 tricky 的 projection。（当然这个也是 "extended object-permanence"）。
: 这个简化的核心是，如何把约束条件下的三维线积分问题，转化为简单的一维积分问题
: 。（当然这个也还是 "extended object-permanence"，首先要 intuitively guess
: 这个转化 "plausible" 是存在的）。

t*l2018-09-18 07:09

187 楼

但我觉得更有趣更重要的是：Michael Bolton 为啥要 "Said I checked logics but I
lied”。并且年复一年，以至于成为一种习惯和本能。
我觉得这个就是 “九九乘法表板门店” 和 theory of mind 的具体应用。
也就是说，neuro-typical 的娃，在 “九九乘法表板门店” 里看了一眼金三胖同学的
表情、和过去那些被炮决的炮灰们的神情，然后 theory of mind 了一下金三胖同学的
mind，于是立马就把所有的玩意儿都 map to logics 来表述。

condition

【在 t******l 的大作中提到】

: 而且就在这个例子里面，我把算式送进数值积分器的时候，没有考虑到函数的 well-
: form 与否（或者说函数的 condition number）。
: 后来有 id 说，伊目测的数据有点不一样。然后我说，“哦，我没看函数的 condition
: 和 well-form 与否”，我回去看一下。
: 但真实的故事是，Michael Bolton 唱到 "Said I checked logics but I lied”。我
: 下贴说那那天具体的过程。
:
: 话，
: integral

j*l2018-09-18 07:09

188 楼

构建们说我的cpu快就行了
我们板门店说我们的cpu要加几级缓存，每个人大体差不多大小，
小99都存进去，剩下的聪明的存的多，我这样的专注力差的存的少
我就不信构建的人就非说0缓存，谁用缓存说谁cheat
你都说了就是早晚要99，现在就是9多少的问题，
精打细算构建第一还是短平快第一有毛意义

I

【在 t******l 的大作中提到】

: 但我觉得更有趣更重要的是：Michael Bolton 为啥要 "Said I checked logics but I
: lied”。并且年复一年，以至于成为一种习惯和本能。
: 我觉得这个就是 “九九乘法表板门店” 和 theory of mind 的具体应用。
: 也就是说，neuro-typical 的娃，在 “九九乘法表板门店” 里看了一眼金三胖同学的
: 表情、和过去那些被炮决的炮灰们的神情，然后 theory of mind 了一下金三胖同学的
: mind，于是立马就把所有的玩意儿都 map to logics 来表述。
:
: condition

t*l2018-09-18 07:09

189 楼

求以下同时满足一下两个方程的曲线长度？（提示就是：旋转抛物面相交于非对准的球
面）
z = x^2 + y^2
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 2
随便消一下吧。

【在 j*l 的大作中提到】

: 有有理连续函数表达的曲面约束下的3维线积分有不能转化成1维积分的么？
: 随便一个曲面不就给了把yz消掉一个的关系了么？

t*l2018-09-18 07:09

190 楼

哥们这题 my math teacher Anne 都已经给了提示说可以 kinematics 求解的啦啦啦，
看见 “旋转” + “抛物” + “球面” 三个大字没？
My math teacher Anne 要读秒啦啦啦。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 求以下同时满足一下两个方程的曲线长度？（提示就是：旋转抛物面相交于非对准的球
: 面）
: z = x^2 + y^2
: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 2
: 随便消一下吧。

t*l2018-09-18 07:09

191 楼

电梯美声教程教导我们要 elevator pitch，所以带娃游泳回来路上买包子这些废话我
就省了。
我手机上看有 id 的回帖以后，我脑子里就（想象个地球？）跑了一下那个
kinematics 的 simulation，发现在北极（还有南极）处有飚车速度接近无穷大的情况。
然后我就手机上回一个 “哦，我那个函数的 condition 可能有问题，可能用马工技术
修一修 condition 之类的云云”。背景音乐响起 Michael Bolton 的 "Said I
checked logics but I lied”。

I

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

192 楼

省掉回家晾干泳衣蒸包子之类的废话，然后我就把 scilab 免费积分器上的步长改了改
，看看积分结果数字会不会晃点，一看果然不仅晃点，还晃得很大。
于是我就回个贴说，“我检查了一下函数，确实有 condition 问题。不过马工有的是
技术，比如可以用三角函数换元法、抛物线换元法，等等等等奇技淫巧”。
其实我根本没先想啥函数换元法啥的。我的 scilab 免费积分器之所以晃点，不就是因
为对采样步长敏感不是？
之所以免费数值积分器对采样步长敏感，不就是因为在南北极速度接近无穷大，外加速
度变化率(the "slope" of speed)也接近无穷大么？
那我就让时间在南北极膨胀地更猛烈一些好了。这样一石二鸟、一箭双雕，速度和速度
变化率都解决了。神马函数的 condition，不写 ppt 我从来就不看啥 condition！
于是背景音乐又一次响起 Michael Bolton 的 "Said I checked logics but I lied”

况。

【在 t******l 的大作中提到】

: 电梯美声教程教导我们要 elevator pitch，所以带娃游泳回来路上买包子这些废话我
: 就省了。
: 我手机上看有 id 的回帖以后，我脑子里就（想象个地球？）跑了一下那个
: kinematics 的 simulation，发现在北极（还有南极）处有飚车速度接近无穷大的情况。
: 然后我就手机上回一个 “哦，我那个函数的 condition 可能有问题，可能用马工技术
: 修一修 condition 之类的云云”。背景音乐响起 Michael Bolton 的 "Said I
: checked logics but I lied”。
:
: I

t*l2018-09-18 07:09

193 楼

我今天送大娃上学的路上，突然想起从 object permanence 的角度看，我们的中学解
析几何教科书，对于 neuro-typical 的娃娃，简直是 a piece of crap。
这个 a piece of crap，要从 “欧几里德与牛顿不得不说的故事” 说起：

t*l2018-09-18 07:09

194 楼

欧几里德确实伟大，但有争议的说，这哥们更多的是个哲学家而不是实干家。
拿最基本的直线的例子说，这哥们的 “两点一直线” 的最大问题，就是不能 beyond
arms reach，两个点都在沙滩上。所以最后也没挡住罗马海军。
而牛顿这哥们，更多的是个实干家。
而实干家则认为，在解析几何里，直线的 point-slope (rise-over-run) 概念是基石。
这是因为奥运女子七项全能选手 Jessica Ennis-Hill 说，只有 point-slope 的概念
，才能让标枪 (javelin) 可以 beyond arm's reach。（滚动字幕：欧几里德老哥的“
两点一直线”早犯规出局啦啦啦，这哥们以为是一百米比赛，直接跑到标枪落点！！）。
而 Piaget 老先生说，这就是人类进化史上 object-permanence 这种大杀器的威力。
老虎狮子既跑不过标枪，又扛不住标枪，只有跪舔一条路！
但是英王詹姆士II说，Jessica Ennis-Hill 这小蛮妞，就比蛮力扔的远，准头不行。
但我们皇家海军揍西班牙无敌舰队，舰炮光远不行，更重要的是准。但这标枪地面投影
是一直线，空中不是直线。这 point-slope 使不上力啊。
牛顿扔出一本 “微积分抛物线击沉西班牙冰箱贴”，打开扉页，第一行就是 constant
change rate regarding slope 意思就是 y = -x^2 + 4 击沉西班牙无敌舰队！
英王一看，立马挥笔批注：“对于牛顿思想要活学活用，急用先学，立竿见影！！”。
Piaget 旁边看了一眼说，“立竿见影” 其实就是 object-permanence on Formal
Operation，不仅 beyond your arms reach，而且 beyond your eye-sight's reach！

【在 t******l 的大作中提到】

: 我今天送大娃上学的路上，突然想起从 object permanence 的角度看，我们的中学解
: 析几何教科书，对于 neuro-typical 的娃娃，简直是 a piece of crap。
: 这个 a piece of crap，要从 “欧几里德与牛顿不得不说的故事” 说起：

t*l2018-09-18 07:09

195 楼

我觉得 MythBusters 的确是个不错的例子。
其中最最重要的一点是，每一集在那句著名的 “plausible? or busted.” 之前，花
了无数时间 recreated the scenario in a controlled environment。也就是说，
brain relentlessly create mental images and process them。
第二点值得注意的时候，每次在那句著名的 “plausible? or busted.” 的时候，每
个人都表达他/她的观点。也就是说，our brain neuros "vote" for a final say,
but not necessarily based on simple majority, and not necessarily 100%
confident on the final say.
所以，有争议的说，logics maybe just an illusion, maybe logics primarily is
the language for communication and for double check.

【在 t******l 的大作中提到】

: 其实我觉得如果要给 "extended object-permanence" 一个更生动的例子的话，那个著
: 名的电视连续剧 MythBusters 里，最后那句荡气回肠的：
: “plausible? or busted.“
:
: ：为了不跟传统的 object permanence 混淆，我觉得下面这个可以定义为比如叫 "
: ：extended object-permanence"：

j*l2018-09-18 07:09

196 楼

这消成4次多项式啊，我又没说后面积分能不能算
你咋不写个完全不相交的啊。
你回去看看，你那贴说的是一眼看出来这个转化存不存在，
没说转化完后能不能数值解啊

【在 t******l 的大作中提到】

: 求以下同时满足一下两个方程的曲线长度？（提示就是：旋转抛物面相交于非对准的球
: 面）
: z = x^2 + y^2
: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 2
: 随便消一下吧。

j*l2018-09-18 07:09

197 楼

【在 t******l 的大作中提到】

: 求以下同时满足一下两个方程的曲线长度？（提示就是：旋转抛物面相交于非对准的球
: 面）
: z = x^2 + y^2
: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 2
: 随便消一下吧。

t*l2018-09-18 07:09

198 楼

消成四次多项式，然后线积分？Sally-Anne test 应该已经 fail 了。

：这消成4次多项式啊，我又没说后面积分能不能算

t*l2018-09-18 07:09

199 楼

另外好吧我把第一个式子改成
z^2 = (x^2 + y^2)^3
旋转三次曲面。
继续削。

：这消成4次多项式啊，我又没说后面积分能不能算

j*l2018-09-18 07:09

200 楼

不懂，4次咋就不能线积分了？

【在 t******l 的大作中提到】

: 消成四次多项式，然后线积分？Sally-Anne test 应该已经 fail 了。
:
: ：这消成4次多项式啊，我又没说后面积分能不能算

j*l2018-09-18 07:09

201 楼

你做啥工作的这么早就能下班接娃？

【在 t******l 的大作中提到】

: 省掉回家晾干泳衣蒸包子之类的废话，然后我就把 scilab 免费积分器上的步长改了改
: ，看看积分结果数字会不会晃点，一看果然不仅晃点，还晃得很大。
: 于是我就回个贴说，“我检查了一下函数，确实有 condition 问题。不过马工有的是
: 技术，比如可以用三角函数换元法、抛物线换元法，等等等等奇技淫巧”。
: 其实我根本没先想啥函数换元法啥的。我的 scilab 免费积分器之所以晃点，不就是因
: 为对采样步长敏感不是？
: 之所以免费数值积分器对采样步长敏感，不就是因为在南北极速度接近无穷大，外加速
: 度变化率(the "slope" of speed)也接近无穷大么？
: 那我就让时间在南北极膨胀地更猛烈一些好了。这样一石二鸟、一箭双雕，速度和速度
: 变化率都解决了。神马函数的 condition，不写 ppt 我从来就不看啥 condition！

t*l2018-09-18 07:09

202 楼

那天不用接客。。。哦，敲错了。。。那天周末。。。

：你做啥工作的这么早就能下班接娃？

t*l2018-09-18 07:09

203 楼

好吧
====== 高中物理版曲面几何之板门店 ======

：不懂，4次咋就不能线积分了？

t*l2018-09-18 07:09

204 楼

“都是说人脑最擅长的是从少量的几个原则出发判断对错”
这个是逻辑，不是直觉。直觉是 “乱中取胜”。

【在 j*l 的大作中提到】

t*l2018-09-18 07:09

205 楼

我个人的看法， “构建式教育” 里有问题的实践部分，从 “extended object-
permanence” 角度看，并不是推迟和弱化背诵九九乘法表，而是过于弱化了 standard
algorithm（比如竖式加法开始）。
有争议的说，standard algorithm 以及 "flexible" standard algorithm (比如从
complete a square 到 chase triangles 等等)，是探索 “extended object-
permanence” 的正常道路。（就好比 peek-a-boo / hide-and-seek，都是 flexible
standard algorithm）。
其实我前面那个 “有意义的曲面”相交问题，用的是高中物理矢量分解合成的 "
flexible" standard algorithm。我个人觉得 "flexible" standard algorithm 是中
小学数学物理教育最薄弱的环节之一。“构建式教育” 不应该 downplay 那些
standard algorithm。（当然，过量死板重复纯练记忆，就好比 “老实大量读经”，
总归可以弄成过犹不及的）。

【在 j*l 的大作中提到】