我来证明一下1+2+4+8+...=-1 (转载)# Joke - 肚皮舞运动
H*g
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【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标 题: 我来证明一下1+2+4+8+...=-1
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Oct 24 23:43:29 2017, 美东)
关于
1+2+4+8+16+...= -1
这个等式，很多小朋友喊错了错了，这个级数发散不收敛，所以递推公式不能用，blah
，blah，blah。其实这些人是只知其一不知其二。
这个求和当然是完全正确的。所谓的级数发散，只是说你习惯的方法不能用了，不代表
解不存在，只不过你没找到求解的方法而已。
我就花一点点时间，证明给这些小朋友们看看，让你们心服口服。
定义一个函数：
f(z, x) = 1/(1-z) + (x-z)/(1-z)^2 +(x-z)^2/(1-z)^3+ (x-z)^3/(1-z)^4+ ...
首先需要注意的是这个函数其实是和z无关的，也就是说变化z并不变化f(z,x)。这只需
要将f(z,x)对z求导即可发现：
df(z,x)/dz= 1/(1-z)^2
-1/(1-z)^2+2(x-z)/(1-z)^3
-2(x-z)/(1-z)^3+3(x-z)^2/(1-z)^4
-3(x-z)^2/(1-z)^4+4(x-z)^3/(1-z)^5
+... = 0
所以f(z, x)其实只和x有关。
现在考虑f(z, 2)。如果取z：
f(0,2)=1+2+2^2+2^3+...
正是开头的求和，表面上看这个求和发散无意义。但是若取z=3，则
f(3,2)= -1/2 -1/4 -1/8- ...
这个求和无歧义 f(3, 2)=-1，不知道怎么算的复习高中数学。
因为f(3,2)=f(0,2)，因此
1+2+4+8+...=-1/2-1/4-1/8-...=-1
发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标 题: 我来证明一下1+2+4+8+...=-1
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Oct 24 23:43:29 2017, 美东)
关于
1+2+4+8+16+...= -1
这个等式，很多小朋友喊错了错了，这个级数发散不收敛，所以递推公式不能用，blah
，blah，blah。其实这些人是只知其一不知其二。
这个求和当然是完全正确的。所谓的级数发散，只是说你习惯的方法不能用了，不代表
解不存在，只不过你没找到求解的方法而已。
我就花一点点时间，证明给这些小朋友们看看，让你们心服口服。
定义一个函数：
f(z, x) = 1/(1-z) + (x-z)/(1-z)^2 +(x-z)^2/(1-z)^3+ (x-z)^3/(1-z)^4+ ...
首先需要注意的是这个函数其实是和z无关的，也就是说变化z并不变化f(z,x)。这只需
要将f(z,x)对z求导即可发现：
df(z,x)/dz= 1/(1-z)^2
-1/(1-z)^2+2(x-z)/(1-z)^3
-2(x-z)/(1-z)^3+3(x-z)^2/(1-z)^4
-3(x-z)^2/(1-z)^4+4(x-z)^3/(1-z)^5
+... = 0
所以f(z, x)其实只和x有关。
现在考虑f(z, 2)。如果取z：
f(0,2)=1+2+2^2+2^3+...
正是开头的求和，表面上看这个求和发散无意义。但是若取z=3，则
f(3,2)= -1/2 -1/4 -1/8- ...
这个求和无歧义 f(3, 2)=-1，不知道怎么算的复习高中数学。
因为f(3,2)=f(0,2)，因此
1+2+4+8+...=-1/2-1/4-1/8-...=-1
