我体会的国内高中数学教育的利弊 - 未名空间MITBBS历史存档

我体会的国内高中数学教育的利弊# Parenting - 为人父母

d*g2014-04-21 07:04

1 楼

本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所
以高中的数学也不白搭。但学了这许多数学，真正工作好象也没用哈。也许工科系不一
样？CS连微积分都不用。
是为我的困扰二：数学除了能帮你毕业，（数学费劲的话，CS的这许多课肯定也让你费
劲），到底有啥用？说很多老美把数学当类似物理化学一样的＂专门技术＂，不感兴趣
可以完全不学。这个理解也不无道理。大家讨论一下自己如何在实际工作中运用数学吧。
就我个人而言，我高中数学的功底在工作中的唯一应用是Trouble Shooting。在系统中
找到瓶颈的感觉是和当年做数学难题很象的。同事的老美严重缺乏这种分析能力。。

m*o2014-04-21 07:04

2 楼

尼玛，这都不惑之年的人了，还在纠结高考高考，真是让人汗颜阿。

d*g2014-04-21 07:04

3 楼

可见高考制度的可恨。。

【在 m**o 的大作中提到】

: 尼玛，这都不惑之年的人了，还在纠结高考高考，真是让人汗颜阿。

m*o2014-04-21 07:04

4 楼

我看你enjoy得很啊，呵呵

【在 d****g 的大作中提到】

: 可见高考制度的可恨。。

d*g2014-04-21 07:04

5 楼

给我点CREDIT。我可是很快就在讲数分和离散了。。

【在 m**o 的大作中提到】

: 我看你enjoy得很啊，呵呵

P*s2014-04-21 07:04

6 楼

记得很小的时候听到过一句话，数学是思维的体操。你就这么认为吧，现在小朋友们到
处打体育的酱油，就是为了能锻炼身体。。。你当年就是因为锻炼了身体，所以现在养
成了良好的习惯？

【在 d****g 的大作中提到】

: 给我点CREDIT。我可是很快就在讲数分和离散了。。

n*y2014-04-21 07:04

7 楼

所谓师傅领进门修行在个人。这么多年下来，还就反省当年高中数学教的不好东西不够
全面／多。这个，也，够，那个啥的

d*g2014-04-21 07:04

8 楼

你读贴了吗？我的问题是我为毛要修行啊？我学CS的都不觉得数学直接有用，我还修行
啥呢？
我也说解数学题有锻炼思维的好处。。但锻炼思维有很多方法。。也许这就是为毛＂法
轮功＂面试考＂智力题＂哈。。

【在 n****y 的大作中提到】

: 所谓师傅领进门修行在个人。这么多年下来，还就反省当年高中数学教的不好东西不够
: 全面／多。这个，也，够，那个啥的

d*g2014-04-21 07:04

9 楼

再说了，我这么大人了，还想高考数学，为嘛？麻烦你们看看这是什么版？当然是为了
下一代了。。
推娃数学，为嘛推？推到什么程度？推概念还是推难题？推综合还是推证明？这个贴子
就是讨论这个的。这咋发完贴，还得发＂读贴指南＂呢。。看来我高考语文太差了。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 你读贴了吗？我的问题是我为毛要修行啊？我学CS的都不觉得数学直接有用，我还修行
: 啥呢？
: 我也说解数学题有锻炼思维的好处。。但锻炼思维有很多方法。。也许这就是为毛＂法
: 轮功＂面试考＂智力题＂哈。。

m*o2014-04-21 07:04

10 楼

我觉得哈，对于普通生活问题来说，到高中数学就够了；
对于一般大学文化（文科，社会类学科），到微积分就够了；
对于STEM类，接触各类数学基本课还是比较重要得，因为总是要趁年轻先准备着，谁知
道将来啥时候能用上呢。
不过我同意一点，基础知识要是能和应用结合起来，学生学习得热情会提高很多，现在
感觉基本上要到研究生课程才有应用结合，比较遗憾。

【在 d****g 的大作中提到】

: 给我点CREDIT。我可是很快就在讲数分和离散了。。

n*y2014-04-21 07:04

11 楼

admire, so what is required if you majored in CS?

【在 d****g 的大作中提到】

: 你读贴了吗？我的问题是我为毛要修行啊？我学CS的都不觉得数学直接有用，我还修行
: 啥呢？
: 我也说解数学题有锻炼思维的好处。。但锻炼思维有很多方法。。也许这就是为毛＂法
: 轮功＂面试考＂智力题＂哈。。

m*o2014-04-21 07:04

12 楼

概念是基础，这个要是不能打扎实了，后面的难题证明啥的都是虚的。
不过光整概念，容易让孩子太烦，我一般是让他啥都接触接触。就现在这个年纪，在算
术的基础上，整点有意思的应用题玩玩。

。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 再说了，我这么大人了，还想高考数学，为嘛？麻烦你们看看这是什么版？当然是为了
: 下一代了。。
: 推娃数学，为嘛推？推到什么程度？推概念还是推难题？推综合还是推证明？这个贴子
: 就是讨论这个的。这咋发完贴，还得发＂读贴指南＂呢。。看来我高考语文太差了。。。

d*g2014-04-21 07:04

13 楼

我觉得我数学肯定是没有学到＂高境界＂。。。求数学大牛们指点。。

【在 m**o 的大作中提到】

: 我觉得哈，对于普通生活问题来说，到高中数学就够了；
: 对于一般大学文化（文科，社会类学科），到微积分就够了；
: 对于STEM类，接触各类数学基本课还是比较重要得，因为总是要趁年轻先准备着，谁知
: 道将来啥时候能用上呢。
: 不过我同意一点，基础知识要是能和应用结合起来，学生学习得热情会提高很多，现在
: 感觉基本上要到研究生课程才有应用结合，比较遗憾。

m*o2014-04-21 07:04

14 楼

哈哈，还“高考“（看来我高考语文太差了）呢
就是tease一下，别激动。。。

。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 再说了，我这么大人了，还想高考数学，为嘛？麻烦你们看看这是什么版？当然是为了
: 下一代了。。
: 推娃数学，为嘛推？推到什么程度？推概念还是推难题？推综合还是推证明？这个贴子
: 就是讨论这个的。这咋发完贴，还得发＂读贴指南＂呢。。看来我高考语文太差了。。。

d*g2014-04-21 07:04

15 楼

贴子里提了。数学分析学了三个学期。高等代数。立体几何。离散两个学期（集合论图
论，组合数学）。概率统计。数理逻辑。
数分学的最差。还不如工科的。。。

【在 n****y 的大作中提到】

: admire, so what is required if you majored in CS?

s*y2014-04-21 07:04

16 楼

还没看到　一致收敛　嘛。：）
大量做题确实是一种费事不讨好的办法。很难持续。
举个例子。　习大大讲创新。　而从小我们的教育就是，　别管那虚的，　先做题（不
会做，　背），　考高分才是真本事。　到了美国有些父母还是觉得自己当年那套最好
。　哈哈

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

d*g2014-04-21 07:04

17 楼

我反正觉得当年做难题还是有用的。用处是练脑子。你比如那三角变换，平面几何，就
算没用，坑吃半天把题做出来的本事，我现在工作中还是用的到的。
－－所以国内做难题有好处，我打算孩子大一点，还是应该给他难题做。
但是数学学科本身往前学，可能是概念也很重要。我其实是个失败的例子。＂高考＂那
么好，现在连数分的基本概念都不掌握。
－－所以美国高中教CALCULUS也有道理。

【在 m**o 的大作中提到】

: 概念是基础，这个要是不能打扎实了，后面的难题证明啥的都是虚的。
: 不过光整概念，容易让孩子太烦，我一般是让他啥都接触接触。就现在这个年纪，在算
: 术的基础上，整点有意思的应用题玩玩。
:
: 。。

l*n2014-04-21 07:04

18 楼

lz应该30出头的年纪吧。原来数学高考都是100分。后来高考改革了才150
看他说话，感觉上真不象40左右的人

【在 m**o 的大作中提到】

: 尼玛，这都不惑之年的人了，还在纠结高考高考，真是让人汗颜阿。

n*p2014-04-21 07:04

19 楼

难道不是数学语文和英语都是120分？后来搞什么3+2之类的变成了150分？

【在 l******n 的大作中提到】

: lz应该30出头的年纪吧。原来数学高考都是100分。后来高考改革了才150
: 看他说话，感觉上真不象40左右的人

u*a2014-04-21 07:04

20 楼

楼主：
You are dating yourself!
LOL

d*g2014-04-21 07:04

21 楼

Drawing from "personal" experience is always my approach. But really? Does
it sound that "self-centered"?

【在 u*****a 的大作中提到】

: 楼主：
: You are dating yourself!
: LOL

n*h2014-04-21 07:04

22 楼

你都没搞过数学竞赛，就别说做过难题了。还有CS对数学的要求很低，为啥CS是很多
人转专业的目标，因为学个CS，文科生的数学就够了。
“所以美国高中教CALCULUS也有道理“，要是大学都学不明白数分，高中就更学不会了。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我反正觉得当年做难题还是有用的。用处是练脑子。你比如那三角变换，平面几何，就
: 算没用，坑吃半天把题做出来的本事，我现在工作中还是用的到的。
: －－所以国内做难题有好处，我打算孩子大一点，还是应该给他难题做。
: 但是数学学科本身往前学，可能是概念也很重要。我其实是个失败的例子。＂高考＂那
: 么好，现在连数分的基本概念都不掌握。
: －－所以美国高中教CALCULUS也有道理。

n*h2014-04-21 07:04

23 楼

几十岁的人了，还提高考当年勇，确实太自恋了。

【在 d****g 的大作中提到】

: Drawing from "personal" experience is always my approach. But really? Does
: it sound that "self-centered"?

u*a2014-04-21 07:04

24 楼

My apology if you misunderstood the meaning of my reply.
The word "dating" in my reply refers to "给出时间" , not "约会". It has
nothing to do with "自大".
我就是想说如果你考过满分150分的高考数学考试，那你就告诉了我们你大概的年纪。
至于你对中学数学的看法，我个人觉得是有水平有根据的, not self-centered at all
!
所有大学都要自圆其说。即使是清华北大，也不能提前告诉你它们教的课程一半以上都
和学生将来的工作无关。要不谁还去花那个冤枉钱和时间啊。但你现在搞明白了，也是
你母校的功劳：它培养了一个好学生（有独立思想）！说不准还帮你骗了个好老婆（有
个人魅力）。

【在 d****g 的大作中提到】

: Drawing from "personal" experience is always my approach. But really? Does
: it sound that "self-centered"?

u*e2014-04-21 07:04

25 楼

就是trouble shooting的能力呀。
还有就是，数学跟其他科目比起来，除非这孩子天赋好，真喜欢，否则要枯燥无聊多了
。枯燥无聊你还要学，要把它学好，这是锻炼了你的耐心决心意志力。

k*b2014-04-21 07:04

26 楼

支持一下楼主，也有类似感觉。
大学里很多同学都是各名牌中学的尖子，但是大学数学学得很吃力，特别是数学分析。
一般能得A的只有4，5个人。
另外，国内各个大学对数学要求不一样的，有些好的文理科大学某些专业,虽非数学专
业，但数学学得很难。

n*p2014-04-21 07:04

27 楼

是因为数学分析太难了，还是因为学生不适应数学分析的思维方式？我估计是后者。
另外，我印象中大学本科的理论课，能得A的总是只有一小部分人。要是大多数人都
得A，那就是题目太容易了。

【在 k******b 的大作中提到】

: 支持一下楼主，也有类似感觉。
: 大学里很多同学都是各名牌中学的尖子，但是大学数学学得很吃力，特别是数学分析。
: 一般能得A的只有4，5个人。
: 另外，国内各个大学对数学要求不一样的，有些好的文理科大学某些专业,虽非数学专
: 业，但数学学得很难。

p*s2014-04-21 07:04

28 楼

这贴成了年龄暴露贴。。。

【在 n***p 的大作中提到】

: 难道不是数学语文和英语都是120分？后来搞什么3+2之类的变成了150分？

a*l2014-04-21 07:04

29 楼

那也就是你大学的CS系对数学要求高，恐怕没几个学校要CS系学数分，还学三个学期的
。

b*t2014-04-21 07:04

30 楼

数学、物理这类纯理最重要的是直觉，不是运算、做题
当然有人说做题千遍，其意自见，那也是有可能的
数学直觉好了，在工作中很吃香，基本上别人说个什么狗屁理论你不需要知道具体的就
可以问出很恰当关键的问题，发表个看法让别人去算就是了。lol

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

C*12014-04-21 07:04

31 楼

数学分析这玩意，一遍不行就学两遍，一般总能看懂。
然后做几道题目就可以了。

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

f*k2014-04-21 07:04

32 楼

我们中学省重点中学，高一大多数学生都被鼓励参加数理化竞赛，学校有专门老师刻印
卷子组织考试然后讲题。大多数参加的同学非常非常感兴趣，我们在高一的时候，抽屉
原理、梅涅劳斯定理、简单数论的一些数字特性都会涉猎到。
当时没有奥数，感兴趣的同学会花一晚上做1个题，做出来的第二天牛逼轰轰的满教室
显摆。当然，逐渐的大部分同学跟不上了，也就不学了。
我真是觉得，数学竞赛是培养兴趣的方式。大多竞赛题非常有意思。

m*l2014-04-21 07:04

33 楼

说明对分析的思维方式不适应。而且学完之后没有什么后续课程和应用，自然很难站在
更高的角度理解。所谓大学的离散数学课程内容本来就是高中甚至初中小学就能理解的
东西，cs能用到的离散数学也就那些了，真正专业的离散数学，实话说大部分跟cs关系
也不大了。。。

s*02014-04-21 07:04

34 楼

谁初等数学厉害的，把这道题给解一下，这个不是中国的，是美国的。

p*s2014-04-21 07:04

35 楼

xor

【在 s****0 的大作中提到】

: 谁初等数学厉害的，把这道题给解一下，这个不是中国的，是美国的。

L*n2014-04-21 07:04

36 楼

美国高中教微积分是极其错误的。这个问题一进大学就体现出来了。学生自以为学过，
结果不好好在大学里学微积分，后面就没法往下教了。这个跟过度学前教育是一样的问
题。
高考或者竞赛的弊端是让人习惯了用以往见过的方法去解决未知的问题。题海战术本质
上就是一种举一反三的能力。这个当然有好处，就是普通工作上手快。弊端也很明显，
就是限制了思维的发散性。毕竟发散性思维对于模式化的考试是很不利的。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我反正觉得当年做难题还是有用的。用处是练脑子。你比如那三角变换，平面几何，就
: 算没用，坑吃半天把题做出来的本事，我现在工作中还是用的到的。
: －－所以国内做难题有好处，我打算孩子大一点，还是应该给他难题做。
: 但是数学学科本身往前学，可能是概念也很重要。我其实是个失败的例子。＂高考＂那
: 么好，现在连数分的基本概念都不掌握。
: －－所以美国高中教CALCULUS也有道理。

l*s2014-04-21 07:04

37 楼

数学结合实际问题来学还真是挺重要的
我算是高数基础为0的那种，本科是文史哲类专业，一点数学都不学，概率统计、逻辑
啥的也没有。
后来因为国内读研需要，自己补了点数理逻辑，算是补习数学的开始
再后来米国读研转了个文理工结合类专业，一堆数学要补，没办法，闷头自学呗。上专
业课用到哪块
就补哪块，算是紧密结合实际问题来学习数学。比如学到让一个model去fit training
data，我就补补求导；学最大熵我就补了半天概率；语音识别就得补各种变换。要是专
业课用不到，我就懒得去学了。
这种学习方式优点就是糙快猛，非常有针对性，学了马上用到，用最短的时间解决短板
；缺点是不系统，n多漏洞，比如干了几年算法类马工，我还不知道啥是Gamma分布。东
一榔头西一棒槌的学习方式，效率也不见得高，不怕大家笑话，machine learning这玩
意，深深浅浅加上各种相关应用类课程，我学了5遍才有点感觉，lol
我走的是马工加modeler加一点点科研的工作路线，实际工作中还是遇到啥补啥，感觉
这种方式还是可以满足工作需求的。但是如果做researcher，还是得系统的学习数学，
这方面我没太多经验，所以也不好多说。
结论就是：按需学习非常实用，但有需求有时间有机会，还是得系统学习。

s*02014-04-21 07:04

38 楼

你这个是很好的经验分享，看得出你自己也是非常肯学习的人，能学这么多数学，不容
易。
数学其实无处不在，具备一定的数学思维，对于很多工作，是非常有益的。
对于多数人，数学就是应用的工具，即使对理论的完备性不掌握，也关系不大。比如，
会用导数求极值，而弄不懂Epsilon-Delta语言，也没有关系。我是很早学会求导，但
一直到大学才理解Epsilon-Delta语言。
除非少量的工作，才需要对数学有非常精准的认识。
现实生活中，数学对不少人还是有点难的。

training

【在 l*******s 的大作中提到】

: 数学结合实际问题来学还真是挺重要的
: 我算是高数基础为0的那种，本科是文史哲类专业，一点数学都不学，概率统计、逻辑
: 啥的也没有。
: 后来因为国内读研需要，自己补了点数理逻辑，算是补习数学的开始
: 再后来米国读研转了个文理工结合类专业，一堆数学要补，没办法，闷头自学呗。上专
: 业课用到哪块
: 就补哪块，算是紧密结合实际问题来学习数学。比如学到让一个model去fit training
: data，我就补补求导；学最大熵我就补了半天概率；语音识别就得补各种变换。要是专
: 业课用不到，我就懒得去学了。
: 这种学习方式优点就是糙快猛，非常有针对性，学了马上用到，用最短的时间解决短板

d*g2014-04-21 07:04

39 楼

是个著名ID吗？:-)
废我九牛二虎之力，但我整出来了。先归纳再分析。国内的题比起来还真是需要归纳的
比较少。

【在 p**s 的大作中提到】

: xor

s*02014-04-21 07:04

40 楼

厉害！说说你的思路？

【在 d****g 的大作中提到】

: 是个著名ID吗？:-)
: 废我九牛二虎之力，但我整出来了。先归纳再分析。国内的题比起来还真是需要归纳的
: 比较少。

d*g2014-04-21 07:04

41 楼

说句实话，我现在发现＂穷举＂是个很被低估但非常厉害的方法。我穷举到（３列X１
４行）就很快发现规律了。。但总结公式费了半天劲。我就随便拿了两个数，比如６列
５行或６列４行，想怎么根据这两个数决定应该是几。。。
牛题！

【在 s****0 的大作中提到】

: 厉害！说说你的思路？

t*r2014-04-21 07:04

42 楼

哈哈，属实！

【在 p**s 的大作中提到】

: 这贴成了年龄暴露贴。。。

t*r2014-04-21 07:04

43 楼

有道理。
另一个弊端是速度大于深度，习惯短小精悍的题目，但不一定习惯真正 problem
solving 的长时深入思考。

【在 L*******n 的大作中提到】

: 美国高中教微积分是极其错误的。这个问题一进大学就体现出来了。学生自以为学过，
: 结果不好好在大学里学微积分，后面就没法往下教了。这个跟过度学前教育是一样的问
: 题。
: 高考或者竞赛的弊端是让人习惯了用以往见过的方法去解决未知的问题。题海战术本质
: 上就是一种举一反三的能力。这个当然有好处，就是普通工作上手快。弊端也很明显，
: 就是限制了思维的发散性。毕竟发散性思维对于模式化的考试是很不利的。

p*s2014-04-21 07:04

44 楼

说句实话，你高估了自己的数学水平。这题里的图里，那么明显的一行7，基本上一眼
就能看出规律，另外你还是学CS的，总结这个公式也应该就是两秒种的事情。

【在 d****g 的大作中提到】

: 说句实话，我现在发现＂穷举＂是个很被低估但非常厉害的方法。我穷举到（３列X１
: ４行）就很快发现规律了。。但总结公式费了半天劲。我就随便拿了两个数，比如６列
: ５行或６列４行，想怎么根据这两个数决定应该是几。。。
: 牛题！

s*02014-04-21 07:04

45 楼

这个题目不容易。能很容易就看出来的太牛了，可不可以说说你的思路？谢谢！
还有就是最后答案是几？

【在 p**s 的大作中提到】

: 说句实话，你高估了自己的数学水平。这题里的图里，那么明显的一行7，基本上一眼
: 就能看出规律，另外你还是学CS的，总结这个公式也应该就是两秒种的事情。

s*02014-04-21 07:04

46 楼

归纳确实是很重要的手段，能够从数据中归纳出正确的规律，其实是很需要数学思维能
力的。
你的最后答案，2014th row 1777th column，是几？

【在 d****g 的大作中提到】

: 说句实话，我现在发现＂穷举＂是个很被低估但非常厉害的方法。我穷举到（３列X１
: ４行）就很快发现规律了。。但总结公式费了半天劲。我就随便拿了两个数，比如６列
: ５行或６列４行，想怎么根据这两个数决定应该是几。。。
: 牛题！

d*g2014-04-21 07:04

47 楼

我觉得我还行了。。象我的开头贴说的。我是高考水平，靠执着，仔细和能算。。我承
认我不是奥赛水平。这中间有鸿沟一样的差距我明白。我还是知道自己多少斤两的。。

【在 p**s 的大作中提到】

: 说句实话，你高估了自己的数学水平。这题里的图里，那么明显的一行7，基本上一眼
: 就能看出规律，另外你还是学CS的，总结这个公式也应该就是两秒种的事情。

d*g2014-04-21 07:04

48 楼

我和大牛PLUS是一个答案。303?

【在 s****0 的大作中提到】

: 厉害！说说你的思路？

t*r2014-04-21 07:04

49 楼

两秒钟题目都看不完。。。不过大人应该总结公式加证明倒是，多花点零星时间思考倒
是无所谓，反正很多开会闲着也是闲着。。。
对角线除了 7, 还有 3。。。

【在 p**s 的大作中提到】

: 说句实话，你高估了自己的数学水平。这题里的图里，那么明显的一行7，基本上一眼
: 就能看出规律，另外你还是学CS的，总结这个公式也应该就是两秒种的事情。

t*r2014-04-21 07:04

50 楼

奥赛本质也是快速解短小精悍的题，然后解完走人，其实。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我觉得我还行了。。象我的开头贴说的。我是高考水平，靠执着，仔细和能算。。我承
: 认我不是奥赛水平。这中间有鸿沟一样的差距我明白。我还是知道自己多少斤两的。。

s*02014-04-21 07:04

51 楼

不好意思，我确实没有看懂大牛PLUS的答案。
303是答案，你们的公式如何写的？

【在 d****g 的大作中提到】

: 我和大牛PLUS是一个答案。303?

p*s2014-04-21 07:04

52 楼

从看出规律到总结公式两秒钟。。。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 两秒钟题目都看不完。。。不过大人应该总结公式加证明倒是，多花点零星时间思考倒
: 是无所谓，反正很多开会闲着也是闲着。。。
: 对角线除了 7, 还有 3。。。

d*g2014-04-21 07:04

53 楼

而且我觉得我的思路代表了＂高考模式＂。钻的比较进去，没做到你的＂这种＂宏观＂
。。但话说，你的＂宏观＂是怎么练出来的？得多站开了想，而不是上手算？
另：这题目显然没白给。这一行七还是点到为止。要不他咋不你给个４x8呢？

【在 p**s 的大作中提到】

: 从看出规律到总结公式两秒钟。。。

t*r2014-04-21 07:04

54 楼

公式只包含开始出现连续数列的部分吧。。。

【在 p**s 的大作中提到】

: 从看出规律到总结公式两秒钟。。。

p*s2014-04-21 07:04

55 楼

按位异或，前两天有人贴过国内幼儿园升小学的题，里面有一道两个图形组合，就是同
样的方法。

【在 s****0 的大作中提到】

: 不好意思，我确实没有看懂大牛PLUS的答案。
: 303是答案，你们的公式如何写的？

s*02014-04-21 07:04

56 楼

谢谢！

【在 p**s 的大作中提到】

: 按位异或，前两天有人贴过国内幼儿园升小学的题，里面有一道两个图形组合，就是同
: 样的方法。

p*s2014-04-21 07:04

57 楼

这也就是美国题，要是中国题，估计又会有人跳出来表示，太无聊了，在方格里填几千
个数有什么意义，中国数学教育就会出这种题！

【在 s****0 的大作中提到】

: 谢谢！

M*k2014-04-21 07:04

58 楼

做为一个没什么文化的人，我自己是绝对不会推孩子学数学的。

s*02014-04-21 07:04

59 楼

所以父母自己首先要学习，努力成为有文化的人。
推孩子首先是推自己。俺自己都一把年纪了，还在继续学习，希望自己变得有文化一些。

【在 M******k 的大作中提到】

: 做为一个没什么文化的人，我自己是绝对不会推孩子学数学的。

I*M2014-04-21 07:04

60 楼

为什么是303？难道不应该要么是2014+1777 = 3791，要么是2014-1777 = 237？
前面给出的所有数字都符合这个规律啊。。。

【在 s****0 的大作中提到】

: 不好意思，我确实没有看懂大牛PLUS的答案。
: 303是答案，你们的公式如何写的？

M*k2014-04-21 07:04

61 楼

我是觉得这世界上还有不少让没文化的人生存的机会。数学在我看来，和钢琴也没什么
两样。

些。

【在 s****0 的大作中提到】

: 所以父母自己首先要学习，努力成为有文化的人。
: 推孩子首先是推自己。俺自己都一把年纪了，还在继续学习，希望自己变得有文化一些。

s*02014-04-21 07:04

62 楼

这个题目对一般人其实是挺难的，但这里的两位大牛，因为他们的计算机功底深，所以
用很巧的方法做出来了。
不是想你想的这么简单。
如果你花功夫把数字网往面填的话，就会看到一些规律，但这些规律还是不容易解决问
题。他们用的XOR运算，才是真正的巧办法。

【在 I*M 的大作中提到】

: 为什么是303？难道不应该要么是2014+1777 = 3791，要么是2014-1777 = 237？
: 前面给出的所有数字都符合这个规律啊。。。

I*M2014-04-21 07:04

63 楼

就科学知识而言，我觉得基础数理化要学一学，同时要渗透唯物辩证的哲学思想。让他
们理解这个物理世界的运行法则还是很有必要的，否则不管在生活上还是在学习中都可
能会误入歧途。
国内高中的教育还是很全面的。如果多一些应用，少一些“应试”，会更好。

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

s*02014-04-21 07:04

64 楼

【数学在我看来，和钢琴也没什么两样】，这个观点，我个人不赞同。我觉得数学还是
比较基本的要求，钢琴则可以完全不会。我不会钢琴，能够来到美国，但如果不会数学
，我就只在中国的建筑工地去打工了，因为我来自农村。当然，很多人必须去建筑工地
打工，对他们我也表示尊敬。但那不是我愿意的生活。

I*M2014-04-21 07:04

65 楼

哦，不明觉厉中。。。

【在 s****0 的大作中提到】

: 这个题目对一般人其实是挺难的，但这里的两位大牛，因为他们的计算机功底深，所以
: 用很巧的方法做出来了。
: 不是想你想的这么简单。
: 如果你花功夫把数字网往面填的话，就会看到一些规律，但这些规律还是不容易解决问
: 题。他们用的XOR运算，才是真正的巧办法。

I*M2014-04-21 07:04

66 楼

没错，数学和物理是科学的两大基石。
---这谁说的来？

【在 s****0 的大作中提到】

: 【数学在我看来，和钢琴也没什么两样】，这个观点，我个人不赞同。我觉得数学还是
: 比较基本的要求，钢琴则可以完全不会。我不会钢琴，能够来到美国，但如果不会数学
: ，我就只在中国的建筑工地去打工了，因为我来自农村。当然，很多人必须去建筑工地
: 打工，对他们我也表示尊敬。但那不是我愿意的生活。

t*r2014-04-21 07:04

67 楼

那两人比较牛，两秒解出来。。。我早上差点开会迟到，无数秒也还没解出来。。。
另一个问题，如果事先不知道 XOR，怎么从 min() 想到的？

【在 s****0 的大作中提到】

: 这个题目对一般人其实是挺难的，但这里的两位大牛，因为他们的计算机功底深，所以
: 用很巧的方法做出来了。
: 不是想你想的这么简单。
: 如果你花功夫把数字网往面填的话，就会看到一些规律，但这些规律还是不容易解决问
: 题。他们用的XOR运算，才是真正的巧办法。

s*02014-04-21 07:04

68 楼

不是他们说出来，我也不知道有XOR这么牛的算法。
我觉得他们对【位运算】非常敏感，比如，对角线始终是0，而对角线恰恰是(a,a)格式
，两个完全相同的数结果得0，而最底边和最左边就是自然序列，是格式(0,a)或者(a,0
)，结果是a
估计他们一下就看出来了,XOR会得到这样的结果。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 那两人比较牛，两秒解出来。。。我早上差点开会迟到，无数秒也还没解出来。。。
: 另一个问题，如果事先不知道 XOR，怎么从 min() 想到的？

q*c2014-04-21 07:04

69 楼

你这是运气－因为具体工作大部分情况哪里有这么奢侈得 job,
给你时间去学习基础？所以正常情况要系统得把基础学了。

training

【在 l*******s 的大作中提到】

: 数学结合实际问题来学还真是挺重要的
: 我算是高数基础为0的那种，本科是文史哲类专业，一点数学都不学，概率统计、逻辑
: 啥的也没有。
: 后来因为国内读研需要，自己补了点数理逻辑，算是补习数学的开始
: 再后来米国读研转了个文理工结合类专业，一堆数学要补，没办法，闷头自学呗。上专
: 业课用到哪块
: 就补哪块，算是紧密结合实际问题来学习数学。比如学到让一个model去fit training
: data，我就补补求导；学最大熵我就补了半天概率；语音识别就得补各种变换。要是专
: 业课用不到，我就懒得去学了。
: 这种学习方式优点就是糙快猛，非常有针对性，学了马上用到，用最短的时间解决短板

p*s2014-04-21 07:04

70 楼

对角线上一行7，然后你也看到了，一行3，再算上1的话，很容易想到二进制。二进制
的运算就那么几种，如果再看表里其他的数，有的是加，有的是减，自然会联想到异或
。其实异或我也不是很熟，也就是知道概念，证明的时候，证明m^n在前面不出现很容
易，证明m^n最小花了点时间，拿m,n的二进制表示硬证的，也许有什么定理可以更容易
证。
要说思路，有些题做多了自然一眼就能看出来，就像65535是什么数，学过CS的应该都
知道，但要问怎么知道的，只能说就是知道。。。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 那两人比较牛，两秒解出来。。。我早上差点开会迟到，无数秒也还没解出来。。。
: 另一个问题，如果事先不知道 XOR，怎么从 min() 想到的？

d*g2014-04-21 07:04

71 楼

对你这么牛的人，我只好酸葡萄的说，你是蒙的！
mmm.想来还是直觉好，所谓的形象思维。话说聪明的人擅长算，（这是我），天才的人
擅长猜，（这个是你。）
我是基本穷举8x8发现里面全是０－７。可推16x16全是０－15.(8x8每个数加８即为８
x16)
32x32全是０－31. 4x4全是０－3, 2x2全是０－1.
推算法推了半天。基本是比较（m，n）mod 2 to the nth.即二进制的第一位，来确定
哪一个１／４区间。再比第二位来确定哪一个１／４ within １／４区间.
说句实话，这要是没想起来XOR，我就写出个实现XOR的递归程序来了。。（效率慢好几
十倍的说。）---不对，是O(LgN)和１的区别。---不对，都是LgN,所以是慢好几十倍。

【在 p**s 的大作中提到】

: 对角线上一行7，然后你也看到了，一行3，再算上1的话，很容易想到二进制。二进制
: 的运算就那么几种，如果再看表里其他的数，有的是加，有的是减，自然会联想到异或
: 。其实异或我也不是很熟，也就是知道概念，证明的时候，证明m^n在前面不出现很容
: 易，证明m^n最小花了点时间，拿m,n的二进制表示硬证的，也许有什么定理可以更容易
: 证。
: 要说思路，有些题做多了自然一眼就能看出来，就像65535是什么数，学过CS的应该都
: 知道，但要问怎么知道的，只能说就是知道。。。

l*s2014-04-21 07:04

72 楼

还真不是运气，只能算是选择正确加还算努力而已。
要是真运气好，根本不用考虑什么数学不数学的问题。

【在 q*c 的大作中提到】

: 你这是运气－因为具体工作大部分情况哪里有这么奢侈得 job,
: 给你时间去学习基础？所以正常情况要系统得把基础学了。
:
: training

s*y2014-04-21 07:04

73 楼

递归嘛
x(2014, 1777) = x(990,763) = x（478， 241） = x(222, 241) + 256
= ... (一下省略500字）
= x(4,1) + 256 + 32 + 8 + 4

【在 s****0 的大作中提到】

: 谁初等数学厉害的，把这道题给解一下，这个不是中国的，是美国的。

t*r2014-04-21 07:04

74 楼

其实你说的，也是奥数跟工作的差别之一。。。因为奥数题是设计出来的，
（1）必定有解，（2）必定可以在 15 分钟内解出（或者最多 30 分钟）。
我觉得大部分做奥数题的，或多或少都会利用上面两个 hint。。。其实
那个思路在面试啥的还是很有用的。
虽然上面那个思路好处无数，但唯一的缺点就是，可能对兴趣帮助不大。
特别是对于天生懒惰没有竞争动力的娃。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 对你这么牛的人，我只好酸葡萄的说，你是蒙的！
: mmm.想来还是直觉好，所谓的形象思维。话说聪明的人擅长算，（这是我），天才的人
: 擅长猜，（这个是你。）
: 我是基本穷举8x8发现里面全是０－７。可推16x16全是０－15.(8x8每个数加８即为８
: x16)
: 32x32全是０－31. 4x4全是０－3, 2x2全是０－1.
: 推算法推了半天。基本是比较（m，n）mod 2 to the nth.即二进制的第一位，来确定
: 哪一个１／４区间。再比第二位来确定哪一个１／４ within １／４区间.
: 说句实话，这要是没想起来XOR，我就写出个实现XOR的递归程序来了。。（效率慢好几
: 十倍的说。）---不对，是O(LgN)和１的区别。---不对，都是LgN,所以是慢好几十倍。

s*y2014-04-21 07:04

75 楼

动态规划也可以。

【在 d****g 的大作中提到】

: 对你这么牛的人，我只好酸葡萄的说，你是蒙的！
: mmm.想来还是直觉好，所谓的形象思维。话说聪明的人擅长算，（这是我），天才的人
: 擅长猜，（这个是你。）
: 我是基本穷举8x8发现里面全是０－７。可推16x16全是０－15.(8x8每个数加８即为８
: x16)
: 32x32全是０－31. 4x4全是０－3, 2x2全是０－1.
: 推算法推了半天。基本是比较（m，n）mod 2 to the nth.即二进制的第一位，来确定
: 哪一个１／４区间。再比第二位来确定哪一个１／４ within １／４区间.
: 说句实话，这要是没想起来XOR，我就写出个实现XOR的递归程序来了。。（效率慢好几
: 十倍的说。）---不对，是O(LgN)和１的区别。---不对，都是LgN,所以是慢好几十倍。

s*y2014-04-21 07:04

76 楼

递归就可以了。不需“想”到x0r. 这个题正好可以用xor 给出解析解。巧则巧矣。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 那两人比较牛，两秒解出来。。。我早上差点开会迟到，无数秒也还没解出来。。。
: 另一个问题，如果事先不知道 XOR，怎么从 min() 想到的？

d*g2014-04-21 07:04

77 楼

啥是解析解?求科普。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 递归就可以了。不需“想”到x0r. 这个题正好可以用xor 给出解析解。巧则巧矣。

s*y2014-04-21 07:04

78 楼

close form solution.

【在 d****g 的大作中提到】

: 啥是解析解?求科普。。

t*r2014-04-21 07:04

79 楼

实际上这题有趣的部分，不是解题，而是这个矩阵 pattern 本身。
自然数序列本身也是递归生成的，该递归其实也是满足“put the
smallest non-negative number that does not appear
anywhere to the left”。
这个矩阵是把自然数序列用这个条件扩展到两维。说实话我现在
不理解这个矩阵。。。需要时间。。。
其实还可以扩展到高维。。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 递归嘛
: x(2014, 1777) = x(990,763) = x（478， 241） = x(222, 241) + 256
: = ... (一下省略500字）
: = x(4,1) + 256 + 32 + 8 + 4

d*g2014-04-21 07:04

80 楼

靠！

【在 t*******r 的大作中提到】

: 实际上这题有趣的部分，不是解题，而是这个矩阵 pattern 本身。
: 自然数序列本身也是递归生成的，该递归其实也是满足“put the
: smallest non-negative number that does not appear
: anywhere to the left”。
: 这个矩阵是把自然数序列用这个条件扩展到两维。说实话我现在
: 不理解这个矩阵。。。需要时间。。。
: 其实还可以扩展到高维。。。。

t*r2014-04-21 07:04

81 楼

Dynamic Programming 用得太广泛了，看看我们这里的 code 有多少
Dynamic Programming。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 动态规划也可以。

c*p2014-04-21 07:04

82 楼

个人感觉吧，你觉得东西的目的是为了通过考试而不是体会学科内部的联系和基本思想。
推导能力固然很重要，但是如果没能通过推导得到你自己的心得，
那说句不中听的，你是在浪费你强大的推导能力。
我记得有人说过，学习，是把书学厚了，再把书学薄了的过程。
如果没有把书学薄了的体会，那应该算不上学得好吧（尽管把书学厚的过程就足以应付
多数考试了）
我高考数学一役考砸了，从此对数学没有好感，
但是后来学的一些专业课（包括微积分）我是可以有信心几句话就概括总结一本教材讲
了啥。
当然每句话都可以近似地无限展开，但是掌握了这几句话，这个学科的基本思想（当然
也有浅的基本思想和难的基本思想）就差不多了。

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

s*y2014-04-21 07:04

83 楼

这种题也是有规律的。 full solution is a function of partial solutions.
具体到这道题， the claim is the following：
x(p,q) = x(p-2^n, q-2^n) if p, q > 2^n
= x(p-2^n, q) + 2^n o.w.
x(p, 0) = p
(p > q, if p < q, x(p,q) = x (q, p) )
where n is the largest number such that p > 2^n. x(p,q) 就是要的答案。
(刚开始忘加 base 了，愧对学生）
这倒是一个好的中学竞赛题

【在 t*******r 的大作中提到】

: 其实你说的，也是奥数跟工作的差别之一。。。因为奥数题是设计出来的，
: （1）必定有解，（2）必定可以在 15 分钟内解出（或者最多 30 分钟）。
: 我觉得大部分做奥数题的，或多或少都会利用上面两个 hint。。。其实
: 那个思路在面试啥的还是很有用的。
: 虽然上面那个思路好处无数，但唯一的缺点就是，可能对兴趣帮助不大。
: 特别是对于天生懒惰没有竞争动力的娃。。。

t*r2014-04-21 07:04

84 楼

这个解法其实很好。
计算量其实并不大，如果不考虑有硬件 xor
递归直接好像把高维度自然包括了。当然 xor 可能也满足，不再那么直观了可能。
俺现在还是一团浆糊，等下午有静下来的时间。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 这种题也是有规律的。 full solution is a function of partial solutions.
: 具体到这道题， the claim is the following：
: x(p,q) = x(p-2^n, q-2^n) if p, q > 2^n
: = x(p-2^n, q) + 2^n o.w.
: x(p, 0) = p
: (p > q, if p < q, x(p,q) = x (q, p) )
: where n is the largest number such that p > 2^n. x(p,q) 就是要的答案。
: (刚开始忘加 base 了，愧对学生）
: 这倒是一个好的中学竞赛题

d*g2014-04-21 07:04

85 楼

我完全同意。我这个贴子完全没有自夸的成分。天地良心，我知道自己数学是个小混混
的程度。（物理更差）。大牛我见过的，那不是我。。
我觉得你这个＂把书学薄了＂很有道理。我显然是被国内应试教育束缚太久了。我是做
题做傻了的典型。。现在回头看，我的问题就是算的多，想的少。。也怪当年没有高人
引导。。
等我融汇贯通，回去推娃哈。。

想。

【在 c****p 的大作中提到】

: 个人感觉吧，你觉得东西的目的是为了通过考试而不是体会学科内部的联系和基本思想。
: 推导能力固然很重要，但是如果没能通过推导得到你自己的心得，
: 那说句不中听的，你是在浪费你强大的推导能力。
: 我记得有人说过，学习，是把书学厚了，再把书学薄了的过程。
: 如果没有把书学薄了的体会，那应该算不上学得好吧（尽管把书学厚的过程就足以应付
: 多数考试了）
: 我高考数学一役考砸了，从此对数学没有好感，
: 但是后来学的一些专业课（包括微积分）我是可以有信心几句话就概括总结一本教材讲
: 了啥。
: 当然每句话都可以近似地无限展开，但是掌握了这几句话，这个学科的基本思想（当然

t*r2014-04-21 07:04

86 楼

但是另一方面，我觉得那个 XOR 不像是碰巧的。。。XOR 好像有个特性产生不重复序
列，这个跟二进制几进制无关，是 XOR 的内在属性（dudo, let's make a "flip"）。
。。
现在没时间，等俺有空再想想。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 这种题也是有规律的。 full solution is a function of partial solutions.
: 具体到这道题， the claim is the following：
: x(p,q) = x(p-2^n, q-2^n) if p, q > 2^n
: = x(p-2^n, q) + 2^n o.w.
: x(p, 0) = p
: (p > q, if p < q, x(p,q) = x (q, p) )
: where n is the largest number such that p > 2^n. x(p,q) 就是要的答案。
: (刚开始忘加 base 了，愧对学生）
: 这倒是一个好的中学竞赛题

t*r2014-04-21 07:04

87 楼

我刚才又想到 XOR 有两个等价的表示：（1）XOR 的 binary 表示，
（2）XOR 的集合论表示。。。如果再联系上自然数也存在的集合论
表示。。。这个是不是能顺理成章的引出/想出？。。。
again，俺还在 brainstorming 的原始社会阶段。。。老板总是
喊我回 cube 码 code 的说。。。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 但是另一方面，我觉得那个 XOR 不像是碰巧的。。。XOR 好像有个特性产生不重复序
: 列，这个跟二进制几进制无关，是 XOR 的内在属性（dudo, let's make a "flip"）。
: 。。
: 现在没时间，等俺有空再想想。。。

s*y2014-04-21 07:04

88 楼

那是华罗庚说的。　把书学薄了就是 I know -> I know I know，挺不容易的。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我完全同意。我这个贴子完全没有自夸的成分。天地良心，我知道自己数学是个小混混
: 的程度。（物理更差）。大牛我见过的，那不是我。。
: 我觉得你这个＂把书学薄了＂很有道理。我显然是被国内应试教育束缚太久了。我是做
: 题做傻了的典型。。现在回头看，我的问题就是算的多，想的少。。也怪当年没有高人
: 引导。。
: 等我融汇贯通，回去推娃哈。。
:
: 想。

s*y2014-04-21 07:04

89 楼

剧透一下。你要不想看，就掠过。
接这道题要有两部，第一步是递归关系，第二步才是计算。
如果第一步走对了，你仔细看看那个递归函数，如果在二进制的某一位上， p,q 均为
1 或均为 0，对答案的贡献为0. 反之，则为1 （在那一位上）。所以答案可以立即
写出，使用亦或操作。
不过只要第一步走对了，计算不是大问题。所以说 xor 巧则巧矣。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 但是另一方面，我觉得那个 XOR 不像是碰巧的。。。XOR 好像有个特性产生不重复序
: 列，这个跟二进制几进制无关，是 XOR 的内在属性（dudo, let's make a "flip"）。
: 。。
: 现在没时间，等俺有空再想想。。。

t*r2014-04-21 07:04

90 楼

剧透为啥不看，俺先看了再说。。。哈哈。。。
不过俺还有背道而驰的想法，也就是，是不是有可能从集合 xor 的角度，从 xor 得出
递归关系。。。我待会儿码字。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 剧透一下。你要不想看，就掠过。
: 接这道题要有两部，第一步是递归关系，第二步才是计算。
: 如果第一步走对了，你仔细看看那个递归函数，如果在二进制的某一位上， p,q 均为
: 1 或均为 0，对答案的贡献为0. 反之，则为1 （在那一位上）。所以答案可以立即
: 写出，使用亦或操作。
: 不过只要第一步走对了，计算不是大问题。所以说 xor 巧则巧矣。

c*p2014-04-21 07:04

91 楼

我其实也是应试教育出来的。。
这个其实不在于教育如何，而在于学习的人想达到什么程度。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我完全同意。我这个贴子完全没有自夸的成分。天地良心，我知道自己数学是个小混混
: 的程度。（物理更差）。大牛我见过的，那不是我。。
: 我觉得你这个＂把书学薄了＂很有道理。我显然是被国内应试教育束缚太久了。我是做
: 题做傻了的典型。。现在回头看，我的问题就是算的多，想的少。。也怪当年没有高人
: 引导。。
: 等我融汇贯通，回去推娃哈。。
:
: 想。

t*r2014-04-21 07:04

92 楼

我现在上计算机码字。。。我们先撇开题目不说，胡侃矩阵比解题
更有意思。。。
先看矩阵的最下面一行，很明显，这是一个自然数序列。这不是废话
么？题目明明白白写了：“put the smallest non-negative integer
that does not appear anywhere to the left of it”。。。
（反正自然数序列的大名词 axiom of infinity 也是递归出来的）。。。
那矩阵第二行是啥，其实我说那玩意儿也是一个自然数序列。。。
不过就是把 1 当 0 用，把 3 当 2 用，把 5 当 4 用，把人当机器
用。。。说漏嘴了。。。不过，ZFC 的 axiom of infinity 没定义
啥阿拉伯数字符号是不是（显然不是阿拉伯人的集合论）。。。
不过这里还有两条件：
（条件一）：相同的 index 上，这两序列不能用相同阿拉伯符号。
（条件二）：尽可能先用“数字小”的阿拉伯符号。
于是，某人就 XOR “1”（不管是集合 XOR，还是 binary XOR，
我们只看会不会抓老鼠。。。）。。。flip 最低位好像挺容易
。。。其实也就是左右两哥们换个顺序。。。
第三行，拷贝猫出现，如法炮制 XOR “2”。
最后，这个矩阵变成横看每行都是自然数序列，数看每列也是自然数序列，
不过就是乱用阿拉伯数字符号而已。并且炫的是，同样的位置上，不会重复
用一样的阿拉伯数字符号。任何位置，最小数字先用。
hey，最小数字先用，那就给定义了不同的（不同符号顺序的）自然数集的
counting 顺序是不是？这个破矩阵是不是把所有可能的情况都给出了？
虽然俺没有想清楚是咋回事，但俺觉得 XOR 不是偶然的。。。
另外，如果上到三维四维五维N维，咋整？

【在 s**********y 的大作中提到】

: 剧透一下。你要不想看，就掠过。
: 接这道题要有两部，第一步是递归关系，第二步才是计算。
: 如果第一步走对了，你仔细看看那个递归函数，如果在二进制的某一位上， p,q 均为
: 1 或均为 0，对答案的贡献为0. 反之，则为1 （在那一位上）。所以答案可以立即
: 写出，使用亦或操作。
: 不过只要第一步走对了，计算不是大问题。所以说 xor 巧则巧矣。

C*d2014-04-21 07:04

93 楼

我想说你这样的其实才是最受益于这个中国式应试教育的，
如果你生在美国，没有题海训练，instinct这么差肯定会觉得自己数学很差，
但是你有幸被题海训练了，然后现在才可以感觉自己数学不差（甚至觉得自己数学比较
好），愿意从事和数学比较相关的工作。
真正比较有天赋的人，是不会被应试教育“束缚”的，不会做题做傻了，也不需要高人
引导。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我完全同意。我这个贴子完全没有自夸的成分。天地良心，我知道自己数学是个小混混
: 的程度。（物理更差）。大牛我见过的，那不是我。。
: 我觉得你这个＂把书学薄了＂很有道理。我显然是被国内应试教育束缚太久了。我是做
: 题做傻了的典型。。现在回头看，我的问题就是算的多，想的少。。也怪当年没有高人
: 引导。。
: 等我融汇贯通，回去推娃哈。。
:
: 想。

s*y2014-04-21 07:04

94 楼

异或不知何处去，
递归依旧笑春风。
呵呵
n维也可以用拓展的异或。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 我现在上计算机码字。。。我们先撇开题目不说，胡侃矩阵比解题
: 更有意思。。。
: 先看矩阵的最下面一行，很明显，这是一个自然数序列。这不是废话
: 么？题目明明白白写了：“put the smallest non-negative integer
: that does not appear anywhere to the left of it”。。。
: （反正自然数序列的大名词 axiom of infinity 也是递归出来的）。。。
: 那矩阵第二行是啥，其实我说那玩意儿也是一个自然数序列。。。
: 不过就是把 1 当 0 用，把 3 当 2 用，把 5 当 4 用，把人当机器
: 用。。。说漏嘴了。。。不过，ZFC 的 axiom of infinity 没定义
: 啥阿拉伯数字符号是不是（显然不是阿拉伯人的集合论）。。。

t*r2014-04-21 07:04

95 楼

应该可以。。。老板又喊我开会。。。
这个矩阵是不是通讯啥理论用的，或者编码啥的？理论保证不冲突。。。
另外异或器更容易硬件实现，这倒是个优点。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 异或不知何处去，
: 递归依旧笑春风。
: 呵呵
: n维也可以用拓展的异或。

G*y2014-04-21 07:04

96 楼

其实这个二维数列最基本的元素是 2x2 的
0 1
1 0
把上面这个作为基本单元，再来一个 2x2 的方格（注意在最基本单元1的位置的数字要
加 2^1）。这样就产生了一个实际是 4x4的新元素：
0 1 0+2 1+2
1 0 1+2 0+2
0+2 1+2 0 1
1+2 0+2 1 0
然后把上面这个作为单元，再来一个象最开始那样2x2 的方格（注意在最基本单元1的
位置的数字要加 2^2）。这样就产生了一个实际是 8x8的新单元。
以此类推，可以得出（34，271）落在那一层，那个方格里面。这里（24，271）是和（
2014，1777）一样的，因为对称性（2048-2014=34, 2048-1777=271)

s*y2014-04-21 07:04

97 楼

你的思路是对的，但是边界条件不对。而且计算也反号了。不过这都是细节。

【在 G****y 的大作中提到】

: 其实这个二维数列最基本的元素是 2x2 的
: 0 1
: 1 0
: 把上面这个作为基本单元，再来一个 2x2 的方格（注意在最基本单元1的位置的数字要
: 加 2^1）。这样就产生了一个实际是 4x4的新元素：
: 0 1 0+2 1+2
: 1 0 1+2 0+2
: 0+2 1+2 0 1
: 1+2 0+2 1 0
: 然后把上面这个作为单元，再来一个象最开始那样2x2 的方格（注意在最基本单元1的

P*02014-04-21 07:04

98 楼

题海战术的问题，就是学的深度和广度都不够。
因为题做的太多了，所以没有精力和时间去理解一个最根本问题的，
也没有时间去涉及相关领域的课题。
导致碰到新的题目，没有开拓的思路和本质的理解。

s*r2014-04-21 07:04

99 楼

这么说吧，
可能是你资质有限，就没有那根筋
就算你从小不上学，也不能熟练掌握高数。

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

S*s2014-04-21 07:04

100 楼

能不能说说你的一句话对于
数学分析
高等代数
概率论
数理统计

想。

【在 c****p 的大作中提到】

: 个人感觉吧，你觉得东西的目的是为了通过考试而不是体会学科内部的联系和基本思想。
: 推导能力固然很重要，但是如果没能通过推导得到你自己的心得，
: 那说句不中听的，你是在浪费你强大的推导能力。
: 我记得有人说过，学习，是把书学厚了，再把书学薄了的过程。
: 如果没有把书学薄了的体会，那应该算不上学得好吧（尽管把书学厚的过程就足以应付
: 多数考试了）
: 我高考数学一役考砸了，从此对数学没有好感，
: 但是后来学的一些专业课（包括微积分）我是可以有信心几句话就概括总结一本教材讲
: 了啥。
: 当然每句话都可以近似地无限展开，但是掌握了这几句话，这个学科的基本思想（当然

g*o2014-04-21 07:04

101 楼

数学大概还是看抽象思维能力，和逻辑分析之类的还是不太一样

【在 d****g 的大作中提到】

: 本人的情况是高考数学好的不得了。不管多难的高考题，１５０能得１５０那种。但
: 只是高考级别，高中数学竞赛没搞过。小学初中（因式分解，平面几何）竞赛还不错。
: 上个大学后读CS。数学课要求很高。但数学分析说句实话是啥也没学懂。从求导就被
: 吉米诺维奇搞死。到证明什么处处收敛乱七八遭的简直就是不明所以。
: 由此引出我的困扰一：我感觉高考数学一个概念做一千道题，学的非常精，导致到大学
: 时，因为没有可能＂一个概念做一千道题＂，学习新的＂概念＂非常胆怯不适应，无法
: 做到宏观掌握。这个是必然的吗？比如唯一能深刻理解＂处处收敛＂就是需要＂做一千
: 道题＂，我只是没做够功，还是我高中时候的数学教育有缺陷，误我入歧途？
: 除了数分，我别的数学课学的相当OK。比如高代，立体几何，离散，统计，数理逻辑。
: 现在都忘光了，但当年考试评借高中时代的推导能力，都靠考前的突击，考的不错。所

k*b2014-04-21 07:04

102 楼

LZ资质应该在中上以上吧，如果还不足以掌握高数，是不是只有数学家才能掌握。

【在 s******r 的大作中提到】

: 这么说吧，
: 可能是你资质有限，就没有那根筋
: 就算你从小不上学，也不能熟练掌握高数。

t*r2014-04-21 07:04

103 楼

你们都这么以落井下石的姿势，进行行为艺术么 :-P 。。。我不觉得楼主有任何资质
的问题。。。我觉得楼主最多就是误入我 diang 考试化的歧途而已。。。话说考试化
对社会大众根本不算歧途，但版上大伙儿都是代表人类新新新希望的高知群体啊啊啊。
。。高知们要有看不起考试成绩的威风嘛。。。// run

【在 s******r 的大作中提到】

: 这么说吧，
: 可能是你资质有限，就没有那根筋
: 就算你从小不上学，也不能熟练掌握高数。

t*r2014-04-21 07:04

104 楼

我觉得是这样

【在 d****g 的大作中提到】

: 我完全同意。我这个贴子完全没有自夸的成分。天地良心，我知道自己数学是个小混混
: 的程度。（物理更差）。大牛我见过的，那不是我。。
: 我觉得你这个＂把书学薄了＂很有道理。我显然是被国内应试教育束缚太久了。我是做
: 题做傻了的典型。。现在回头看，我的问题就是算的多，想的少。。也怪当年没有高人
: 引导。。
: 等我融汇贯通，回去推娃哈。。
:
: 想。

s*r2014-04-21 07:04

105 楼

资质不同，
有人说了，老黑有很多不识谱的音乐家，
但是老黑多数四则运算都搞不明白，
看起来高数不对楼主的路子。

LZ资质应该在中上以上吧，如果还不足以掌握高数，是不是只有数学家才能掌握。

【在 k******b 的大作中提到】

: LZ资质应该在中上以上吧，如果还不足以掌握高数，是不是只有数学家才能掌握。

t*r2014-04-21 07:04

106 楼

也可能是老师讲得不是很好，外加女生秋波太扰民，一学期不小心就过去了。。。//
super.fast.run

【在 s******r 的大作中提到】

: 资质不同，
: 有人说了，老黑有很多不识谱的音乐家，
: 但是老黑多数四则运算都搞不明白，
: 看起来高数不对楼主的路子。
:
: LZ资质应该在中上以上吧，如果还不足以掌握高数，是不是只有数学家才能掌握。

a*g2014-04-21 07:04

107 楼

什么样才是真正的数学感觉和天赋？

【在 C*****d 的大作中提到】

: 我想说你这样的其实才是最受益于这个中国式应试教育的，
: 如果你生在美国，没有题海训练，instinct这么差肯定会觉得自己数学很差，
: 但是你有幸被题海训练了，然后现在才可以感觉自己数学不差（甚至觉得自己数学比较
: 好），愿意从事和数学比较相关的工作。
: 真正比较有天赋的人，是不会被应试教育“束缚”的，不会做题做傻了，也不需要高人
: 引导。

t*r2014-04-21 07:04

108 楼

比如，拉大号时无聊，于是随便解出几道世界难题。。。拉完大号后，随便把手稿往下
水道一冲走人。。。的那种？// run

【在 a****g 的大作中提到】

: 什么样才是真正的数学感觉和天赋？

a*g2014-04-21 07:04

109 楼

同意广度不够，但是题海战术不就是应该解决深度的？否则，怎么解决深度？

【在 P**********0 的大作中提到】

: 题海战术的问题，就是学的深度和广度都不够。
: 因为题做的太多了，所以没有精力和时间去理解一个最根本问题的，
: 也没有时间去涉及相关领域的课题。
: 导致碰到新的题目，没有开拓的思路和本质的理解。

t*r2014-04-21 07:04

110 楼

××× sorry 刚才忘了上传附件了，现在给补上 ×××
我刚才简单算了一下，外加看了看，我发现对于三维的情况，XOR
貌似是 work 的。
当然，像我这么懒的人，怎么可能肉算嘛。。。我用我的上班神器
octave 算，哼哼，见附图（当然，第三维要跳着看）：

【在 s**********y 的大作中提到】

: 异或不知何处去，
: 递归依旧笑春风。
: 呵呵
: n维也可以用拓展的异或。

s*y2014-04-21 07:04

111 楼

（1， 1， 1） -》 0
你要XOR 两次。两次应该work

【在 t*******r 的大作中提到】

: ××× sorry 刚才忘了上传附件了，现在给补上 ×××
: 我刚才简单算了一下，外加看了看，我发现对于三维的情况，XOR
: 貌似是 work 的。
: 当然，像我这么懒的人，怎么可能肉算嘛。。。我用我的上班神器
: octave 算，哼哼，见附图（当然，第三维要跳着看）：

t*r2014-04-21 07:04

112 楼

我是 xor 两次，c 是第一次 xor，后面对 c 做 xor，实际上是两次。。。我承认我在
matrix tool 里都懒得多敲字。。。
不过这个矩阵的高维看起来意义不大，因为重复 pattern。。。重复 pattern 是因为
三维中间的那些点，投影不落在数轴上。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: （1， 1， 1） -》 0
: 你要XOR 两次。两次应该work

R*s2014-04-21 07:04

113 楼

顶美国高中教calculus，
我高中就是没学过calculus，一上来学数分简直想吐，
不过最后还是磨了3个学期，开窍了，
其实数分这东西需要好的教材，特别是对于对图形例子比较敏感的人，
一定要有一定的picture在脑袋里面，才好学，
我抽象代数就学不好，因为怎么都不可能有picture，
不过据说现在国内高中也交求导了积分了，我觉得这样挺好的，
至于高考嘛，当年高考只刷了一年题，我不大适合题海战术，
觉得高考对以后的学习影响不大，可能有那些刷够3年题的人会觉得高考把人给毁了吧

【在 d****g 的大作中提到】

: 我反正觉得当年做难题还是有用的。用处是练脑子。你比如那三角变换，平面几何，就
: 算没用，坑吃半天把题做出来的本事，我现在工作中还是用的到的。
: －－所以国内做难题有好处，我打算孩子大一点，还是应该给他难题做。
: 但是数学学科本身往前学，可能是概念也很重要。我其实是个失败的例子。＂高考＂那
: 么好，现在连数分的基本概念都不掌握。
: －－所以美国高中教CALCULUS也有道理。

R*s2014-04-21 07:04

114 楼

calculus和数分有本质的区别吧o(╯□╰)o

了。

【在 n********h 的大作中提到】

: 你都没搞过数学竞赛，就别说做过难题了。还有CS对数学的要求很低，为啥CS是很多
: 人转专业的目标，因为学个CS，文科生的数学就够了。
: “所以美国高中教CALCULUS也有道理“，要是大学都学不明白数分，高中就更学不会了。

R*s2014-04-21 07:04

115 楼

主要是美国的高中没教好。。。。
美国高中好的不多啊，不少差的高中数学课是体育老师教的
（这是真的，我老板儿子在的学校就是那样）
他们顶多教你怎么背公式，然后就没有然后了。。。。。
但是美国好的高中，老师很好，可以教得很超前，数分也会在高中里讲，
所以在美国，上好的学校真的非常非常重要
至于竞赛我也同意这一点，看看多少金牌最后搞的都是离散数学组合数学就知道了，
这一点，国外也一样

【在 L*******n 的大作中提到】

: 美国高中教微积分是极其错误的。这个问题一进大学就体现出来了。学生自以为学过，
: 结果不好好在大学里学微积分，后面就没法往下教了。这个跟过度学前教育是一样的问
: 题。
: 高考或者竞赛的弊端是让人习惯了用以往见过的方法去解决未知的问题。题海战术本质
: 上就是一种举一反三的能力。这个当然有好处，就是普通工作上手快。弊端也很明显，
: 就是限制了思维的发散性。毕竟发散性思维对于模式化的考试是很不利的。

R*s2014-04-21 07:04

116 楼

一般就是数学归纳法吧，
美国高中竞赛没那么牛逼

【在 s****0 的大作中提到】

: 厉害！说说你的思路？

t*r2014-04-21 07:04

117 楼

刷一两年题，我觉得影响不大。。。

【在 R******s 的大作中提到】

: 顶美国高中教calculus，
: 我高中就是没学过calculus，一上来学数分简直想吐，
: 不过最后还是磨了3个学期，开窍了，
: 其实数分这东西需要好的教材，特别是对于对图形例子比较敏感的人，
: 一定要有一定的picture在脑袋里面，才好学，
: 我抽象代数就学不好，因为怎么都不可能有picture，
: 不过据说现在国内高中也交求导了积分了，我觉得这样挺好的，
: 至于高考嘛，当年高考只刷了一年题，我不大适合题海战术，
: 觉得高考对以后的学习影响不大，可能有那些刷够3年题的人会觉得高考把人给毁了吧

t*r2014-04-21 07:04

118 楼

微积分的问题，其实说白了还是“肉算vs电算”的变革。。。肉算微积分再牛鼻，
撑死也就能造出比如 F-117 这样的诡异形状。。。现在谁会出钱买那破玩意儿？
电算微积分的话，比如有限元啥的，主要还是建模要建好（否则不 converge
算死没商量）。。。至于计算复杂度基本是个已知范围的东东，搞小 trick
的话，INTEL 下一代处理器多装几个浮点啥部件，玩个球。。。
抽象代数倒是没啥办法，不是 NP hard problem 基本不好意思跟人打招呼。
但其实大家解那些 NP hard problem，工业界的大伙儿基本就是刷墙行为，墙
给刷满了看不见窟窿就出货，甭说啥狗屁数学美。连内部分析 tool 的惨不忍睹
的结果基本也没啥好看。。。当然理论没突破，大伙儿也就只能就这样混日子混
饭吃。。。
所以抽象代数当今要从幼儿园 toddler 班抓起，没错的。。。// super fast run

【在 R******s 的大作中提到】

: 主要是美国的高中没教好。。。。
: 美国高中好的不多啊，不少差的高中数学课是体育老师教的
: （这是真的，我老板儿子在的学校就是那样）
: 他们顶多教你怎么背公式，然后就没有然后了。。。。。
: 但是美国好的高中，老师很好，可以教得很超前，数分也会在高中里讲，
: 所以在美国，上好的学校真的非常非常重要
: 至于竞赛我也同意这一点，看看多少金牌最后搞的都是离散数学组合数学就知道了，
: 这一点，国外也一样

f*f2014-04-21 07:04

119 楼

94级就 150了，除了少年班，正常的不都快 40了？

【在 l******n 的大作中提到】

: lz应该30出头的年纪吧。原来数学高考都是100分。后来高考改革了才150
: 看他说话，感觉上真不象40左右的人

d*g2014-04-21 07:04

120 楼

有什么“有意思”的应用题呢？我觉得鸡兔同笼还真不错。。

【在 m**o 的大作中提到】

: 概念是基础，这个要是不能打扎实了，后面的难题证明啥的都是虚的。
: 不过光整概念，容易让孩子太烦，我一般是让他啥都接触接触。就现在这个年纪，在算
: 术的基础上，整点有意思的应用题玩玩。
:
: 。。

t*r2014-04-21 07:04

121 楼

古人云，这玩意儿主要不在于题，而是在于看题的眼睛。。。
当然当然，题目太垃圾也是不行的。。。还是古人云: 巧厨难为烂米之炊。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 有什么“有意思”的应用题呢？我觉得鸡兔同笼还真不错。。

d*g2014-04-21 07:04

122 楼

同意，结论不如思路重要。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 古人云，这玩意儿主要不在于题，而是在于看题的眼睛。。。
: 当然当然，题目太垃圾也是不行的。。。还是古人云: 巧厨难为烂米之炊。。。

t*r2014-04-21 07:04

123 楼

另外我发现我又太无厘头了。。。其实 gnu octave 根本就是
免费软件。（俺屌丝又不是高富帅，能有啥高级货色嘛。。。）
gnu octave 从这里下载：
http://www.gnu.org/software/octave/download.html
不过我用的 gnu octave 是 UNIX 版，PC 上装 gnu octave
比较折腾。。。PC 上我用 scilab，其命令几乎没有差别，从下面
这个 link 下载。
http://www.scilab.org/
我待会儿给张 scilab 命令的屏幕截图，命令敲进去，结果
跳出来，电算年代还是比肉算年代爽多了。。。

【在 s**********y 的大作中提到】

: （1， 1， 1） -》 0
: 你要XOR 两次。两次应该work

t*r2014-04-21 07:04

124 楼

scilab 截图在这里：

【在 t*******r 的大作中提到】

: 另外我发现我又太无厘头了。。。其实 gnu octave 根本就是
: 免费软件。（俺屌丝又不是高富帅，能有啥高级货色嘛。。。）
: gnu octave 从这里下载：
: http://www.gnu.org/software/octave/download.html
: 不过我用的 gnu octave 是 UNIX 版，PC 上装 gnu octave
: 比较折腾。。。PC 上我用 scilab，其命令几乎没有差别，从下面
: 这个 link 下载。
: http://www.scilab.org/
: 我待会儿给张 scilab 命令的屏幕截图，命令敲进去，结果
: 跳出来，电算年代还是比肉算年代爽多了。。。

t*r2014-04-21 07:04

125 楼

好吧，俺老冒着出洋相的风险，本着活到老学到老的精神，继续一头栽
在这个 XOR 问题上。
这个问题我去查了一下，发现这个矩阵不是随便糊弄出来的。这个矩阵
实际上有个大名词叫 Cayley Table，具体在这个题目里，是一个
自然数序列的 binary bitwise XOR Cayley Table：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_table
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Z2%5E4;_Cayley_table;_binary.
其中有一句令人浮想联翩是话是：
Thus, the Cayley table of a group is an example of a latin square.
但是老实说，俺没有看懂多少。。。俺还是没有看懂为啥 XOR 对于自然数 group
的 cayley table 是有那个最小先放上的属性。。。

【在 t*******r 的大作中提到】

: scilab 截图在这里：

t*r2014-04-21 07:04

126 楼

也许是因为 XOR 等价于无进位加法？
等我对付完娃看看有进位加法的 cayley table 。。。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 好吧，俺老冒着出洋相的风险，本着活到老学到老的精神，继续一头栽
: 在这个 XOR 问题上。
: 这个问题我去查了一下，发现这个矩阵不是随便糊弄出来的。这个矩阵
: 实际上有个大名词叫 Cayley Table，具体在这个题目里，是一个
: 自然数序列的 binary bitwise XOR Cayley Table：
: http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_table
: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Z2%5E4;_Cayley_table;_binary.
: 其中有一句令人浮想联翩是话是：
: Thus, the Cayley table of a group is an example of a latin square.
: 但是老实说，俺没有看懂多少。。。俺还是没有看懂为啥 XOR 对于自然数 group

p*s2014-04-21 07:04

127 楼

最小的属性，也就是需要证明，对于任意K引理，假设k是n位的二进制数，那么对于N，N^k回到原命题，取k=M^N^K，那么(M^N)^k=K中必定有一个第n位是1，假设是M，那么同样根据引理，M^k=M'N，在M,N的下方。
这个两维到三维，是完全一样的，只要稍微改动一下，M^N^L的第n位是1，那么M,N或L
中至少有一个第n位是1，就可以了。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 好吧，俺老冒着出洋相的风险，本着活到老学到老的精神，继续一头栽
: 在这个 XOR 问题上。
: 这个问题我去查了一下，发现这个矩阵不是随便糊弄出来的。这个矩阵
: 实际上有个大名词叫 Cayley Table，具体在这个题目里，是一个
: 自然数序列的 binary bitwise XOR Cayley Table：
: http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_table
: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Z2%5E4;_Cayley_table;_binary.
: 其中有一句令人浮想联翩是话是：
: Thus, the Cayley table of a group is an example of a latin square.
: 但是老实说，俺没有看懂多少。。。俺还是没有看懂为啥 XOR 对于自然数 group

t*r2014-04-21 07:04

128 楼

你的证明很严谨，谢谢。
形象表达方面，让俺睡觉时想想 "XOR"/flip-bit 跟 "
'^
L

【在 p**s 的大作中提到】

: 最小的属性，也就是需要证明，对于任意K: 引理，假设k是n位的二进制数，那么对于N，N^k: 回到原命题，取k=M^N^K，那么(M^N)^k=K: 中必定有一个第n位是1，假设是M，那么同样根据引理，M^k=M': N，在M,N的下方。
: 这个两维到三维，是完全一样的，只要稍微改动一下，M^N^L的第n位是1，那么M,N或L
: 中至少有一个第n位是1，就可以了。

t*r2014-04-21 07:04

129 楼

我觉得不严格的形象表述那个属性（形象联系 XOR 和 < 号），
就是看那张彩色的 Cayley Table 的图。
bitwise-XOR 对于自然数序列的 Caley Table 实际上是基本 XOR 矩阵
0 1
1 0
逐次在不同的位 bits 上递归叠加。（上面有人提到过这个）。
（其实这个就是 bitwise-XOR 的定义）。
（另外由于这个叠加不会出现进位，所以这个叠加跟加法也是一回事）。
而比较大小的 < 号，其实也是从最高位（最高递归层）到最低位（最低递归层）
的逐次比较。
这样从那张图上递归地看：
（1）最高位比该数的最高位小的数，在长边的排列组合都会出现。
（2）最高位和该数一样的。大家统统一起剥掉最高位，然后递归到（1）。
所以不严格的概念表示，比该数小的那些数都会出现。
彩图在这里：

'^
L

【在 p**s 的大作中提到】

: 最小的属性，也就是需要证明，对于任意K: 引理，假设k是n位的二进制数，那么对于N，N^k: 回到原命题，取k=M^N^K，那么(M^N)^k=K: 中必定有一个第n位是1，假设是M，那么同样根据引理，M^k=M': N，在M,N的下方。
: 这个两维到三维，是完全一样的，只要稍微改动一下，M^N^L的第n位是1，那么M,N或L
: 中至少有一个第n位是1，就可以了。

t*r2014-04-21 07:04

130 楼

我觉得我现在大概明白了。
题目里的那句 “put smallest non-negative integer that does not
appear at left/below in the same column/row”，对于最小的能满足
那句话的矩阵，就是：
0 1
1 0
而上面这个矩阵，实际上就是基本 XOR 算子。
从这个矩阵开始，可以递归构建更大的满足条件的矩阵（也可以看前面彩图）。
a a + rows(a)
a + rows(a) a
而这个递归构建的过程，实际上就是从基本 XOR 算子出发，构建
bitwise-XOR 算子的过程。
因此，从这个角度看，“递归构建” vs “bitwise-XOR 算子构建”，
其实是同一个东西的两个投射。所以那个 bitwise-XOR 算子并不是
巧合。从某个角度看，bitwise-XOR 算子是自带递归的算子
（属于“自带干粮的五毛”算子哈哈）。
俺前面犯的最最主要的错误，是混淆了基本 XOR 算子，和 bitwise-XOR
算子的区别。这两者不等价。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 剧透一下。你要不想看，就掠过。
: 接这道题要有两部，第一步是递归关系，第二步才是计算。
: 如果第一步走对了，你仔细看看那个递归函数，如果在二进制的某一位上， p,q 均为
: 1 或均为 0，对答案的贡献为0. 反之，则为1 （在那一位上）。所以答案可以立即
: 写出，使用亦或操作。
: 不过只要第一步走对了，计算不是大问题。所以说 xor 巧则巧矣。

t*r2014-04-21 07:04

131 楼

我吃饱了撑的在 scilab 下敲了个递归生成的。

【在 s**********y 的大作中提到】

: 剧透一下。你要不想看，就掠过。
: 接这道题要有两部，第一步是递归关系，第二步才是计算。
: 如果第一步走对了，你仔细看看那个递归函数，如果在二进制的某一位上， p,q 均为
: 1 或均为 0，对答案的贡献为0. 反之，则为1 （在那一位上）。所以答案可以立即
: 写出，使用亦或操作。
: 不过只要第一步走对了，计算不是大问题。所以说 xor 巧则巧矣。

s*02014-04-21 07:04

132 楼

赞你的钻研精神！我和你一样吃饱了撑的，我原来用matlab做了更大的，结果悲剧了，
被题目提供的数据所局限，看成了8进制规律，没有看清2进制规律。
二进制规律简单，只有0和1，8进制有八个数，0到7，所以只能用查表法，本质上也是
递归。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 我吃饱了撑的在 scilab 下敲了个递归生成的。

s*02014-04-21 07:04

133 楼

通过这个题目，真学到不少东西。也看到这里参加讨论的几位的数学都是蛮厉害的。
plus和dcbang采用了XOR运算，sunflowerboy给出了二进制递归公式。
tiderwater发现了这是Caley Table。
下面这个是我最早自己算的方法，确实有点笨了。吸取教训，以后凡是碰到4进制、8进
制、16进制的时候，首先考虑一下2进制。

d*g2014-04-21 07:04

134 楼

我说呢。。这就是电算太方便了缘故。我手写写到４x14和８x８已经很累了，正说你们
怎么整出来那么大个TABLE。

【在 s****0 的大作中提到】

: 赞你的钻研精神！我和你一样吃饱了撑的，我原来用matlab做了更大的，结果悲剧了，
: 被题目提供的数据所局限，看成了8进制规律，没有看清2进制规律。
: 二进制规律简单，只有0和1，8进制有八个数，0到7，所以只能用查表法，本质上也是
: 递归。

t*r2014-04-21 07:04

135 楼

商业级软件 matlab 能搞出这么大这么漂亮的表格啊。。。超级赞！

【在 s****0 的大作中提到】

: 赞你的钻研精神！我和你一样吃饱了撑的，我原来用matlab做了更大的，结果悲剧了，
: 被题目提供的数据所局限，看成了8进制规律，没有看清2进制规律。
: 二进制规律简单，只有0和1，8进制有八个数，0到7，所以只能用查表法，本质上也是
: 递归。

s*02014-04-21 07:04

136 楼

没有。
Matlab只出数据，表格是在Excel里面做的，为了看起来方便，做个格式化。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 商业级软件 matlab 能搞出这么大这么漂亮的表格啊。。。超级赞！

t*r2014-04-21 07:04

137 楼

I see. 其实 Excel 真的也是数据处理最后阶段的神器。
而且 Excel 这玩意儿，从把数据格式化给老板看，到给
自己做 tax planning，几乎无所不能。。。价格便宜量又足
的典型。。。说 Excel 是电算年代的烤肉拉（Corolla）
一点没错。。。// run

【在 s****0 的大作中提到】

: 没有。
: Matlab只出数据，表格是在Excel里面做的，为了看起来方便，做个格式化。

G*y2014-04-21 07:04

138 楼

怎么不对？
我的行和列是按照人们的习惯方向：
_____________> column
|
|
|
|
V
row

【在 s**********y 的大作中提到】

: 你的思路是对的，但是边界条件不对。而且计算也反号了。不过这都是细节。

t*r2014-04-21 07:04

139 楼

肉算显然不能给电算比。。。
其实你这里看到的都是通用软件。。。公司的项目，取决于项目本身，
还经常配有写专用分析 script 或者 tool 啥的，把东东显示成图形，
或者出统计分析数据。。。写分析 script / tool 也报成 project
体力活的一部分的，吼吼吼。。。
没那些玩意儿的话，别人如果看不见摸不着数据的，会悲愤的。。。
特别是跨组项目，或者测试组需要看内部结果来测试的那种。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 我说呢。。这就是电算太方便了缘故。我手写写到４x14和８x８已经很累了，正说你们
: 怎么整出来那么大个TABLE。

t*r2014-04-21 07:04

140 楼

你这个没错，matrix tool 都是这个习惯方向，相当于
笛卡尔坐标系的第三象限。
但小学初中的数学的习惯好像不太一样，那个习惯方向，
相当于笛卡尔坐标系的第一象限？

【在 G****y 的大作中提到】

: 怎么不对？
: 我的行和列是按照人们的习惯方向：
: _____________> column
: |
: |
: |
: |
: V
: row

t*r2014-04-21 07:04

141 楼

还有 Gentry 给出二进制矩阵递归表示。。。

【在 s****0 的大作中提到】

: 通过这个题目，真学到不少东西。也看到这里参加讨论的几位的数学都是蛮厉害的。
: plus和dcbang采用了XOR运算，sunflowerboy给出了二进制递归公式。
: tiderwater发现了这是Caley Table。
: 下面这个是我最早自己算的方法，确实有点笨了。吸取教训，以后凡是碰到4进制、8进
: 制、16进制的时候，首先考虑一下2进制。

s*02014-04-21 07:04

142 楼

我经常用Excel做优化，可以设定目标函数、约束条件、变量范围，Excel的优化器做得
挺不错的。再配上Visual Basic Script和用户界面（可以有sliding bar, button,
form 等），可以做出很好的小型应用软件。最主要的是不需要license，每人的电脑都
有这玩意。
有一点不足是，微软在设计Excel时，没有设置好自动找库函数的功能，搞得做好的
Excel文件，遇到不同版本的操作系统、或Excel版本，还需要再设置一次，有点麻烦。
我报Tax都用Excel计算，还没有买过软件。算出数据再敲到PDF文件里面，打印出来，
邮寄出去，最原始的方法。

【在 t*******r 的大作中提到】

: I see. 其实 Excel 真的也是数据处理最后阶段的神器。
: 而且 Excel 这玩意儿，从把数据格式化给老板看，到给
: 自己做 tax planning，几乎无所不能。。。价格便宜量又足
: 的典型。。。说 Excel 是电算年代的烤肉拉（Corolla）
: 一点没错。。。// run

t*r2014-04-21 07:04

143 楼

惊现 Excel 牛人啊 @@。。。我没有过 Excel 那些高级功能。。。另外我报税
还是买 Turbo Tax 的，我承认我是懒人。。。

【在 s****0 的大作中提到】

: 我经常用Excel做优化，可以设定目标函数、约束条件、变量范围，Excel的优化器做得
: 挺不错的。再配上Visual Basic Script和用户界面（可以有sliding bar, button,
: form 等），可以做出很好的小型应用软件。最主要的是不需要license，每人的电脑都
: 有这玩意。
: 有一点不足是，微软在设计Excel时，没有设置好自动找库函数的功能，搞得做好的
: Excel文件，遇到不同版本的操作系统、或Excel版本，还需要再设置一次，有点麻烦。
: 我报Tax都用Excel计算，还没有买过软件。算出数据再敲到PDF文件里面，打印出来，
: 邮寄出去，最原始的方法。

t*r2014-04-21 07:04

144 楼

其实如果把矩阵递归的表达改写成：
初始条件：
a = [ 0 ]
递归条件：
[ a , a+max(a)+1 ;
a+max(a)+1 , a ]
这样从条件开始直接证明 / induce 角度看更直截了当是不是？
（ max(a) = rows(a) - 1 不难证明，而且这样题目里面的 min()
条件直接给出在递归表达式里面：
“put smallest non-negative integer that does not
appear at left/below in the same column/row” ）
这样是不是同时证明了 “递归生成” 和 “bitwise-XOR 算子” 生成？
我吃饱了撑的又跑一个 octave，见附件：

【在 t*******r 的大作中提到】

: 惊现 Excel 牛人啊 @@。。。我没有过 Excel 那些高级功能。。。另外我报税
: 还是买 Turbo Tax 的，我承认我是懒人。。。

t*r2014-04-21 07:04

145 楼

我又想了想，如果把那两个 max，改成一个是 per row max，另一个是
per column max，这样跟题目条件更直接，证明更直接。
当然，写成 octave 矩阵表达式稍微繁琐点，不过也不难就是了。
俺再吃饱了撑的跑一次 octave。（见附件图片）。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 其实如果把矩阵递归的表达改写成：
: 初始条件：
: a = [ 0 ]
: 递归条件：
: [ a , a+max(a)+1 ;
: a+max(a)+1 , a ]
: 这样从条件开始直接证明 / induce 角度看更直截了当是不是？
: （ max(a) = rows(a) - 1 不难证明，而且这样题目里面的 min()
: 条件直接给出在递归表达式里面：
: “put smallest non-negative integer that does not

s*02014-04-21 07:04

146 楼

你这个吃饱了撑得好！
看起来你这个命令跟matlab很像。
另外，感觉 per row max = per column max =max(a),对任何一级的方阵a，它
的所有行和列的元素都是一样的，只是顺序不同。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 我又想了想，如果把那两个 max，改成一个是 per row max，另一个是
: per column max，这样跟题目条件更直接，证明更直接。
: 当然，写成 octave 矩阵表达式稍微繁琐点，不过也不难就是了。
: 俺再吃饱了撑的跑一次 octave。（见附件图片）。

t*r2014-04-21 07:04

147 楼

我觉得这个就是 bitwise-XOR 算子的内在属性。。。所以这个算子很牛叉
。。。其实我一直就知道这个算子很牛叉 N 年了，可惜 N 年了都没搞清楚
为啥这个 bitwise-XOR 算子这么牛叉。。。
说句大实话，搞清一个抽象代数的简单概念，对于俺这种弱智的，也不是
一件很容易的事。。。所以说，背 99 表，做 Kumon，差不多就可以了，
数学上要背的东西太多了。。。当然，上数学竞赛的，可能要另说，那个对
熟练度要求还是不低的，俺不想误导别人。当然当然，智商 250 以上的，
我想字典里没有“熟练度”这个词。。。// run

【在 s****0 的大作中提到】

: 你这个吃饱了撑得好！
: 看起来你这个命令跟matlab很像。
: 另外，感觉 per row max = per column max =max(a),对任何一级的方阵a，它
: 的所有行和列的元素都是一样的，只是顺序不同。

t*r2014-04-21 07:04

148 楼

我觉得 XOR 算子特性的深层原因，brainstorm 一下，可能跟下面几个有关：
（1）XOR 算子和 AND 算子是 abelian group (commutative group)
算子。在这个 ring 里面，XOR 算子相当于算术里的加法。
（2）bitwise（包括 bitwise-XOR 和 bitwise-AND），是无进位运算。
无进位运算在 recursive 构造的时候，能利用空隙里数值小的数字？
（3）综合上面两点之后，其实最最最最重要的，就是：Caylay Table
就是 99 表有木有！！！当然是 99 表的抽象代数版。。。
所以。。。其实俺没想到 XOR 算子的原因，看来是因为俺小时候 99 表
背得不熟，小学老师不够狠。。。plus 她一定 99 表背得滚瓜烂熟！！
// 哈哈，我 run 了，勿追杀，谢谢。。。

【在 s****0 的大作中提到】

: 你这个吃饱了撑得好！
: 看起来你这个命令跟matlab很像。
: 另外，感觉 per row max = per column max =max(a),对任何一级的方阵a，它
: 的所有行和列的元素都是一样的，只是顺序不同。

s*y2014-04-21 07:04

149 楼

祝贺祝贺，又深挖了一层。
Caylay table 没有进位，可以用递归直接算。乘法表有交叉相乘的项，又有进位，
递归实际比 caylay table 还难。：）

【在 t*******r 的大作中提到】

: 我觉得 XOR 算子特性的深层原因，brainstorm 一下，可能跟下面几个有关：
: （1）XOR 算子和 AND 算子是 abelian group (commutative group)
: 算子。在这个 ring 里面，XOR 算子相当于算术里的加法。
: （2）bitwise（包括 bitwise-XOR 和 bitwise-AND），是无进位运算。
: 无进位运算在 recursive 构造的时候，能利用空隙里数值小的数字？
: （3）综合上面两点之后，其实最最最最重要的，就是：Caylay Table
: 就是 99 表有木有！！！当然是 99 表的抽象代数版。。。
: 所以。。。其实俺没想到 XOR 算子的原因，看来是因为俺小时候 99 表
: 背得不熟，小学老师不够狠。。。plus 她一定 99 表背得滚瓜烂熟！！
: // 哈哈，我 run 了，勿追杀，谢谢。。。

t*r2014-04-21 07:04

150 楼

属实。
更准确一些的说法是：bitwise 算子的 Cayley table 没有进位。
Cayley table 本身其实可以装任何算子，也不限于对自然数的操作。
我上面贴的 Cayley table，准确的说，是 bitwise-XOR 对于非负
整数的 Cayley table。是 Cayley table 的一个特例。
所以，99 乘法表实际上也真的是 Cayley table 的另一个特例。
当然，数学狂人可能会思考，比如创建类似 bitwise-XOR 的算子，
但改成对 directed-graph 的操作而不是对自然数的操作，同时把
Cayley Table 里面的数字统统改成人神俱愤的 directed-graph
符号。。。对于这种情况，我只能说，给此类狂人毫不犹豫地扎上
一针，然后果断呼叫救护车走 carpool lane 送精神病院！！
// 哈哈，俺 super fast run 了，请勿追杀，谢谢。。。

位，

【在 s**********y 的大作中提到】

: 祝贺祝贺，又深挖了一层。
: Caylay table 没有进位，可以用递归直接算。乘法表有交叉相乘的项，又有进位，
: 递归实际比 caylay table 还难。：）

r*g2014-04-21 07:04

151 楼

有限群的乘法表是Cayley table。一般不需要把乘法表算出来，特征表用的更多。

【在 t*******r 的大作中提到】

: 属实。
: 更准确一些的说法是：bitwise 算子的 Cayley table 没有进位。
: Cayley table 本身其实可以装任何算子，也不限于对自然数的操作。
: 我上面贴的 Cayley table，准确的说，是 bitwise-XOR 对于非负
: 整数的 Cayley table。是 Cayley table 的一个特例。
: 所以，99 乘法表实际上也真的是 Cayley table 的另一个特例。
: 当然，数学狂人可能会思考，比如创建类似 bitwise-XOR 的算子，
: 但改成对 directed-graph 的操作而不是对自然数的操作，同时把
: Cayley Table 里面的数字统统改成人神俱愤的 directed-graph
: 符号。。。对于这种情况，我只能说，给此类狂人毫不犹豫地扎上

t*r2014-04-21 07:04

152 楼

谢谢信息。原来还有一个 character theory，谢谢了。先收藏后看。
http://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory
其实我觉得马工和数学家不一样，马工这种工程类的，倒是除了本行
以外，其他的概念常常是广而浅更重要。。。
因为马工不会像数学家一样真的去推导抽象代数。。。我觉得主要的
作用，比如这个题目，就是以后万一看到紧凑有序的东东（多半是
图论有关的），又想弄几种不同的顺序出来，估计以后就容易想到用
类似 bitwise-XOR 的想法（码 code 多半不是严谨的数学，就是
糊弄个差不多意思意思），在外加几个掩模糊弄一下，看看能不能
蒙混老板过关。。。
当然，我觉得数学直觉特别好的人，不一定需要那些概念。。。但是
直觉这玩意儿，说白了，上帝给了多少就只能是多少。。。。运气好
的拿到上帝不小心找给百元大钞的，自己偷着乐吧。。。// run

【在 r*g 的大作中提到】

: 有限群的乘法表是Cayley table。一般不需要把乘法表算出来，特征表用的更多。

q*c2014-04-21 07:04

153 楼

有运气得人基本都觉得是自己得能力导致得一切－－直到运气结束得时候：）祖
先几千年早看的清清楚楚了。运来天地皆同力，运去英雄不自由。
在运气中，却能看清这点得人，几合道矣。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 还真不是运气，只能算是选择正确加还算努力而已。
: 要是真运气好，根本不用考虑什么数学不数学的问题。

t*r2014-04-21 07:04

154 楼

严重属实。。。一命二云三风水，一点没错。。。
其实所谓勤奋努力的意思，就是上帝不小心找了一张百元大钞的时候，赶快伸手给接着
别掉地上，就算掉地上也赶快给捡起来。。。
如果运气好到这时，还继续懒惰到连手都懒得伸的地步，那估计连上帝都看不过去了。
。。

【在 q*c 的大作中提到】

: 有运气得人基本都觉得是自己得能力导致得一切－－直到运气结束得时候：）祖
: 先几千年早看的清清楚楚了。运来天地皆同力，运去英雄不自由。
: 在运气中，却能看清这点得人，几合道矣。

g*x2014-04-21 07:04

155 楼

Patpat,我觉得你的反思很有实际意义，自我剖析很深刻，我也有同感。我当年刚进大
学连高数都是惊险过关，就在想这个学习方式得问题。

。。
★ 发自iPhone App: ChineseWeb 7.8

【在 d****g 的大作中提到】

: 再说了，我这么大人了，还想高考数学，为嘛？麻烦你们看看这是什么版？当然是为了
: 下一代了。。
: 推娃数学，为嘛推？推到什么程度？推概念还是推难题？推综合还是推证明？这个贴子
: 就是讨论这个的。这咋发完贴，还得发＂读贴指南＂呢。。看来我高考语文太差了。。。

t*r2014-04-21 07:04

156 楼

忘了回这个。。。其实说白了就是，因为这个特别的矩阵递归方式（XOR），
保证的每行每列都不会出现重复的东东，外加“无进位”的属性，保证每一级
方阵的每行/每列的 max 不会超过 row_size。。。这样的话，比如
0 - 7 里，放 8 个数，只能放全。。。