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万佛，包子求一道证明 (转载)

万佛，包子求一道证明 (转载)# PhotoGear - 摄影器材

b*e2011-03-11 08:03

1 楼

【以下文字转载自 Statistics 讨论区】
发信人: brightblue (穷-------------------------), 信区: Statistics
标题: 包子求一道证明
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 11 15:45:19 2011, 美东)
Define Phi(x）as the cumulative distribution function of the standard normal
distribution,
c as an arbitrary constant,
How to show log(Phi(x））-log(Phi(x+c)) is concave in x?

S*M2011-03-11 08:03

2 楼

括弧打错了？

normal

【在 b********e 的大作中提到】

: 【以下文字转载自 Statistics 讨论区】
: 发信人: brightblue (穷-------------------------), 信区: Statistics
: 标题: 包子求一道证明
: 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 11 15:45:19 2011, 美东)
: Define Phi(x）as the cumulative distribution function of the standard normal
: distribution,
: c as an arbitrary constant,
: How to show log(Phi(x））-log(Phi(x+c)) is concave in x?

C*c2011-03-11 08:03

3 楼

直接按定义做就行了

normal

【在 b********e 的大作中提到】

c*y2011-03-11 08:03

4 楼

it's easy ah!!

b*e2011-03-11 08:03

5 楼

个位大大，给点具体提示吧
怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊

b*e2011-03-11 08:03

6 楼

BTW,我知道Phi(x)本身是log-concave的，但是log(Phi(x))-log(Phi(x+c))的
concavity就不会证了

c*y2011-03-11 08:03

7 楼

d(log N(x) )/dx = N'(x)/N(x)

【在 b********e 的大作中提到】

: 个位大大，给点具体提示吧
: 怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊

f*y2011-03-11 08:03

8 楼

直接求二阶导不行吗？

【在 b********e 的大作中提到】

: BTW,我知道Phi(x)本身是log-concave的，但是log(Phi(x))-log(Phi(x+c))的
: concavity就不会证了

l*a2011-03-11 08:03

9 楼

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
after the 2nd derivative there is a (-1) factor times a positive equation

【在 b********e 的大作中提到】

: 个位大大，给点具体提示吧
: 怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊

c*y2011-03-11 08:03

10 楼

麻烦
下载一个mathematica就行了

【在 l***a 的大作中提到】

: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
: after the 2nd derivative there is a (-1) factor times a positive equation

l*a2011-03-11 08:03

11 楼

哦，他不是要证明吗

【在 c********y 的大作中提到】

: 麻烦
: 下载一个mathematica就行了

b*e2011-03-11 08:03

12 楼

多谢楼上诸位帮助，真的很感谢
小弟也知道d(log N(x) )/dx = N'(x)/N(x)，然后再求一个二阶导，可以证明分子是负
的，但是这样只能说明 log(Phi(x))是concave的，不能说明log(Phi(x))-log(Phi(x+c
))是concave的啊。现在的情况是两个concave function的差，which并不是default
concave的。。。

f*y2011-03-11 08:03

13 楼

我用excel帮你验算了一下，貌似需要满足c>0
否则原命题不成立。
你想想，如果对于某个常数c0，满足log(phi(x))-log(phi(x+c0))是concave的，那么
反过来，log(phi(x+c0））-log(phi(x))就是convex的。也就是说，对于常数c1=-c0来
说，log(phi(x))-log(phi(x+c1))是convex的。

b*e2011-03-11 08:03

14 楼

对，我是要求c>0的，不好意思之前没提到。
多谢楼上的同学

c*y2011-03-11 08:03

15 楼

哎，你只需要求log（N(X))的三阶导就可以了。。。

【在 b********e 的大作中提到】

: 对，我是要求c>0的，不好意思之前没提到。
: 多谢楼上的同学

b*e2011-03-11 08:03

16 楼

我也意识到了。。。
三阶导写出来真复杂，我要静下心来算算了。。

【在 c********y 的大作中提到】

: 哎，你只需要求log（N(X))的三阶导就可以了。。。

c*y2011-03-11 08:03