数学真是福音 - 未名空间MITBBS历史存档

x*92013-07-09 07:07

1 楼

这两天突然嘴里发苦，在舌根的部位，吃什么东西往下咽的时候都感觉是苦的，吃完东
西后嘴里还是苦，真的很痛苦。我孕早期都没有这样的反应，现在刚进入孕中期，这个
反应正常吗？

A*h2013-07-09 07:07

2 楼

“如果你打算從二十歲到四十歲，每年都可考慮結婚。假如你每年只考慮一位對象，
那麼最好的方法大約是M8，也就是說，自你二十八歲起，才開始要「認真」起來。(年
青的時侯多玩玩無妨)。 ”
可见真是学好数理化，走遍天下全不怕。要想求得好姻缘，不靠摇签靠概率。
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什么是秘书问题
在机率及博弈论上，秘书问题（类似名称有相亲问题、止步问题、见好就收问题、
苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等)内容是这样的：要聘请一名秘书，有n人来面试
。每次面试一人，面试过后便要即时决定聘不聘他，如果当时决定不聘他，他便不会回
来。面试时总能清楚了解求职者的适合程度，并能和之前的每个人作比较。问凭什么策
略，才使选得到最适合担任秘书的人的机率最大？
秘书问题的策略
基本解決策略如下：对于某些整数r，其中1 le r < n。先面试首r人，都不聘请他
们，在之后的n − r人中，如果任何一人比之前面试的人都更佳，便聘请他。
r的最佳值應該是rapprox frac{n}{e} approx 0.368n。其中e是自然对数的底。基于这
个r值得到最佳选项（如例中的“秘书”）的成功率是frac{1}{e}（大约 36.8%）。
wiki关于秘书问题的英文链接在此http://en.wikipedia.org/wiki/Secretary_problem#CITEREFFerguson1989
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另可阅读此文
吳博士相親
全文见此。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_12/index.html
話說海外學人吳博士 1 ，年已四十有餘，至今卻仍孑然一身。當年聽信了什麼書中自
有黃金屋、書中自有顏如玉一類的邪言，摒棄一切世事雜念，一味拼命讀書，補習、
聯考、出國，只覺人生就此一途。皇天不負苦心人，終於身經千試，好不容易稍為熬出
了頭，在國外大學裡賺到一張長期飯票 (tenure)，雖說談不上什麼黃金屋，倒也羨煞
好些別人。可是顏如玉卻連個影子也還沒有。吳家老母，就這寶貝天才一個，想到不知
何日才能抱孫，心中也煞是著急。曾經三番四次勸他回國一遊，物色物色，可是吳博士
飯票尚未到手，生怕耽擱了重要的研究，被他人搶了先，所以不敢輕易請假。現在研究
有成，正好又有什麼經建之類的會議相邀，遂毅然放下重要工作，回國一趟，省親相親
兼舉並得。這邊吳母聽了，自然大喜，立刻四下拜託，一下子約定了三十幾門人家，準
備在一個多月內一一去相親。原來吳博士仍屬青年才俊，國內報章還會為他吹捧過一番
，再加又有外國飯票、居留，自非你我之輩所能及，難怪各門閨秀趨之若鶩。書中自有
顏如玉，此言似仍不虛。
各位看官，以上故事純屬虛構，可是在我們今日社會裏，這樣的事也不是沒有的吧？既
為虛構，各位且容小的再把故事趣味化一點：卻說吳母年老糊塗，各門親事，均由三姑
六婆牽線，對方家世、容貌、才學等等條件，自己事前一無所知。或許吳母急著抱孫，
或許是她個性直爽，凡事不喜拖泥帶水，因此她向兒子訂下一個規定：「要就要，不要
就不要」。此話何解？吳學人每看完一家，就得作個決定，如果中意要了，以後的便不
需再看，如果不中意，就得回絕人家，才能再看下面一家，（回絕過的，不能後悔再
回頭，面子問題也）。吳學人一聽，覺得這樣規定，雖然直接了當，卻是很不合理。但
是母命難違，心想反正有三十多位閨秀等著瞧，機會不少，自己在國內時間又無多，所
以便答應就這麼辦罷。 2
諸君既為《數播》讀者，頭腦想必不差，請想想看，吳學人是否能事先決定一個辦法，
使他選中第一名閨秀的機會最大？（「辦法」=「策略」，「機會」=「機率」）。這
裏我們當然假定，按照吳學人的主觀標準，我們可將這三十幾位閨秀一一排出名次來（
各人名次不同）。當然，每位閨秀倒底是第幾名，吳學人在沒有全部看完之前是無法知
道的，（「只有天知道」），但是如要等他全部看完，卻又大概來不及了，（他頂多只
能選最後一位）。
這個問題不大實際嗎？我可以使他既實際又有益：我有 n 張卡片，每張下面我寫上不
同的數字，現在請你一張一張地翻開來。每翻一張，我就問你「要不要？」，你若決定
要了，我就送你等於卡片上所寫數目的獎金，你若決定不要，就可以再翻下面一張。現
在你跟吳學人的處境完全一樣：「要就要」（以後的卡片就不得再翻），「不要就不要
」（以前的獎金便不能回頭再要）。這些獎金的數目可能相差很大，（例如有一元的，
有十萬元的），但最大獎金是多少只有我知道。你如真碰到這樣一位捉弄人的財主，這
個問題顯然蠻值得你去花花腦筋的。你不能躲避問題說：我得多少都滿意──假如這位
財主把規定稍為改變一下：若選不到頭獎，我便一錢也不給！這樣一來，數學問題仍是
一樣，但是你卻非花花腦筋不可了。一個不花腦筋的「辦法」是：我要第五張，這樣你
能得到頭獎（第一名閨秀）的機會只是 1/n，這顯然「不是辦法」。
你若稍為細心想想，大概會想到下面的辦法:「先放棄前面一半的卡片，（每張仍得翻
開來看一看，『心裏有個數』），然後繼續翻下去，第一次碰到比以前獎金都高的一張
，我就選定它」。這裏我們假設 n=2k 是偶數。當然，第一名可能在前面一半，（你便
失敗了），但是依照這個辦法，至少在下面的情況下，你一定能中到頭獎，這就是：假
如第二名在前面 k 張卡片中，而第一名在後面 k 張卡片中。（為什麼？你要先想通這
一點才能看以後的）。這個特別情況（「情況」=「事件」）的機會是
begin{displaymath} frac{k}{2k}cdot frac{k}{2k-1}>frac{1}{4} end{displaymath}
（第一名在 2k 個可能位置中要掉進後面 k 個位置裏，然後第二名在剩餘的 2k-1 個
位置中，要掉進前面 k 個位置裏。這裏的「然後」，是不是就是指「條件機率」？）
所以依照上面的辦法，你能選中頭獎的機會至少會大於 $frac{1}{4}$，這比任意選定
一張，進步不知許多了。可見有點基本數學頭腦，就算在日常生活問題中，有時也會有
意想不到的便利。但是還有更好的辦法嗎?我們希望知道的是:最好的辦法是什麼?在這
辦法下，得到第一名的機會倒底有多大?