在重力场中固定陀螺支撑点的位置, 计算陀螺的运动状态, 谁给看看这个算法错哪了.# WaterWorld - 未名水世界
l*3
1 楼
具体是这样: 如图, 陀螺理想化模型为一个零质量的杆顶着一个均匀质量的圆盘, 圆盘
重心为C, 陀螺支撑点为O, 固定O点 (就是只是固定O点的位置, 陀螺杆本身是可以往任
意方向摆动的), 初始状态时, 陀螺绕杆的角速度为w0, 杆与竖直方向有一个小的夹角
a0, 初始状态时陀螺重心速度为0. 杆长为D.
计算方法: 建立坐标系, 以柱坐标描述重心的位置C=C(r,theta,z), 由于杆长固定, 故
z=sqrt(D^2-r^2), 相当于重心是两个自由度: r, theta (也就是可以用极坐标描述),
t=0时, theta=0, theta'=0, r=D*cos a0, r'=0; 陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速
度w, 这个w在t=0时的值为w0.
考虑陀螺的拉格朗日量, 即动能-势能.
具体表达式很长, 我会略去一些不必要的部分:
首先考虑陀螺的重心速度对应的平动动能, 重心速度由重心坐标对时间的导数完全确定
, 也就是说这是个只与r, theta, r', theta' 相关的物理量. 然后考虑转动能, 转动
能分为两部分, 一部分是支点关于重心转动产生的转动能, 这一部分实际上是由支点相
对重心的速度 (其实也就是重心速度的反向, 因为支点是固定不动的) 与杆长, 和杆转
动方向对应的转动惯量 (这是个常量) 有关, 也就是仍然只和r, theta, r', theta'相
关.
唯一与w相关的能量是陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关, 考虑这个自转方向
对应的转动惯量 (仍然是个常量), 这一部分的能量是与w的二次方成正比.
势能部分: 只考虑重力势能, 重力势能只与r有关.
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能, 后一部分f是拉格朗日量的其余部分, 均与
w无关.
现在, 广义坐标我们取为w关于t的积分 (也就是陀螺绕杆的自转角度, 我们记为phi),
以及r, theta, 广义速度对应的就是w, r', theta'
注意L表达式中不显含phi, 并且phi对应的广义动量: p = partial{L} / partial{w} =
2*A*w
由于dp/dt = partial {L} / partial {phi} =0
故w'=0, 于是w实际上是个常量. 这就是是说, 拉格朗日量中的沿杆自转的能量并不与
其他的能量进行任何交换, 而L中不含A*w^2的部分 (即f) 实际上对应的是初始角速度
为0时的陀螺能量.
这就是说, 陀螺沿杆自转的能量其实对陀螺质心运动不会有任何影响 (因为陀螺沿杆自
转的能量在拉格朗日量中的表达式以及对应的拉格朗日方程中和其他各项其实是独立的
, 互相根本没有任何作用, 也就是说如果陀螺在初始时刻有一个自转角速度w, 那么他
这个角速度会随着陀螺的运动一直保持下去, 陀螺的运动无非就是无自转的状态 (倒下
) 附加了一个独立的角速度而已, 这个角速度本身对质心轨迹不产生影响)
简要来说, 就是: 在这些前提下, 陀螺初始时刻到底有没有沿杆的自转速度, 对陀螺的
质心运动根本不产生影响.
这个结论似乎和主流理论力学上的不符, 请问我这是错哪了?
重心为C, 陀螺支撑点为O, 固定O点 (就是只是固定O点的位置, 陀螺杆本身是可以往任
意方向摆动的), 初始状态时, 陀螺绕杆的角速度为w0, 杆与竖直方向有一个小的夹角
a0, 初始状态时陀螺重心速度为0. 杆长为D.
计算方法: 建立坐标系, 以柱坐标描述重心的位置C=C(r,theta,z), 由于杆长固定, 故
z=sqrt(D^2-r^2), 相当于重心是两个自由度: r, theta (也就是可以用极坐标描述),
t=0时, theta=0, theta'=0, r=D*cos a0, r'=0; 陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速
度w, 这个w在t=0时的值为w0.
考虑陀螺的拉格朗日量, 即动能-势能.
具体表达式很长, 我会略去一些不必要的部分:
首先考虑陀螺的重心速度对应的平动动能, 重心速度由重心坐标对时间的导数完全确定
, 也就是说这是个只与r, theta, r', theta' 相关的物理量. 然后考虑转动能, 转动
能分为两部分, 一部分是支点关于重心转动产生的转动能, 这一部分实际上是由支点相
对重心的速度 (其实也就是重心速度的反向, 因为支点是固定不动的) 与杆长, 和杆转
动方向对应的转动惯量 (这是个常量) 有关, 也就是仍然只和r, theta, r', theta'相
关.
唯一与w相关的能量是陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关, 考虑这个自转方向
对应的转动惯量 (仍然是个常量), 这一部分的能量是与w的二次方成正比.
势能部分: 只考虑重力势能, 重力势能只与r有关.
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能, 后一部分f是拉格朗日量的其余部分, 均与
w无关.
现在, 广义坐标我们取为w关于t的积分 (也就是陀螺绕杆的自转角度, 我们记为phi),
以及r, theta, 广义速度对应的就是w, r', theta'
注意L表达式中不显含phi, 并且phi对应的广义动量: p = partial{L} / partial{w} =
2*A*w
由于dp/dt = partial {L} / partial {phi} =0
故w'=0, 于是w实际上是个常量. 这就是是说, 拉格朗日量中的沿杆自转的能量并不与
其他的能量进行任何交换, 而L中不含A*w^2的部分 (即f) 实际上对应的是初始角速度
为0时的陀螺能量.
这就是说, 陀螺沿杆自转的能量其实对陀螺质心运动不会有任何影响 (因为陀螺沿杆自
转的能量在拉格朗日量中的表达式以及对应的拉格朗日方程中和其他各项其实是独立的
, 互相根本没有任何作用, 也就是说如果陀螺在初始时刻有一个自转角速度w, 那么他
这个角速度会随着陀螺的运动一直保持下去, 陀螺的运动无非就是无自转的状态 (倒下
) 附加了一个独立的角速度而已, 这个角速度本身对质心轨迹不产生影响)
简要来说, 就是: 在这些前提下, 陀螺初始时刻到底有没有沿杆的自转速度, 对陀螺的
质心运动根本不产生影响.
这个结论似乎和主流理论力学上的不符, 请问我这是错哪了?