那英对东北银大嗓门格外喜欢啊# WaterWorld - 未名水世界
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1 楼
一 一个意想不到的电话
电话铃响起的时候，我做梦也没有想到这铃声将会把我平静的世界打得粉碎。
“哈罗，”我拿起电话，对着话筒慢悠悠地说。
“请问是张成远吗？” 电话里头传来一个依稀有些熟悉的声音。
“是我。请问你是哪位？”
“我是田小宇。你好吗？”
我的天啊。小宇！我大脑里立即呈现出一张消瘦苍白的脸和一头蓬乱而有些发黄的头发
。大概有十五年了吧？我中学时最要好的朋友。班上的数学怪才。我们两个在黑板前一
次次地几何证明题比赛。正是因为他数学上的杰出，摧毁了我作数学家的信心，所以我
才最终选择了物理，才落到美国罗城这个小小的理工学院作了一个物理教书匠。
“小宇！你在哪里啊？”我喊道。
“我刚刚到罗城。从阿青那里拿到了你的电话号码。”阿青是我们的同学。我前些时跟
他联系过。
“哇，你来罗城啦？你住哪？我这就看你去。”
他告诉了我地址。是离我家不远处的一个公寓区。我放下电话，跟正在做饭的老婆说：
“小菲，我出去一下就回。”
“谁啊？”老婆放下锅铲，问道。
“我中学的一个同学。”
“女的？”
“就吃醋了？男的。”
“谁吃你的醋啊，”老婆瘪了瘪嘴说。“要吃饭了，快点回来啊。”
“对了，你多作点菜。也许我把我同学拉来吃饭。”
“有你们同学吃的。快去快回。”
我匆匆亲了一下老婆，来到车库，启动汽车，驱车去小宇那里。
小宇的公寓区掩映在浓郁的树荫下，红砖楼房显得很旧，但还比较整洁。一抹残阳将楼
顶耀得黄灿灿一片。我将车停在小宇楼下的停车场，三步并作两步赶到门洞前，在门口
按下小宇房间的号码。一会儿，听到“叮”的一声铃声。我赶紧把门拉开。只听到小宇
在二楼楼道喊：“成远！”我抬头一看，小宇那熟悉的消瘦身体从黑暗的楼道里显影出
来。“小宇！”我也喊了一声，冲上了楼梯，拉住小宇递过来的双手。只见他因瘦弱显
得窄而略长的脸上，带着一副黑边眼镜，他的头发蓬乱依旧，一件有点发皱的白衬衣扎
在一条黑灰色的裤子里。身上散发着一丝淡淡的汗味。“进来坐。”小宇说，拉着我走
进了房间。房间很简单，一张单人床，一张桌子，一把凳子。墙边放着一个大旅行箱和
一个小点的旅行包。厨房里正烧着水。小宇不好意思地说：“不好意思，刚刚到，什么
都没有。坐坐吧。”他指着那把椅子。
我坐了下来，小宇也坐在了床上。“哥们，”我说，“十五年没见了吧？怎么样？”
小宇嘿嘿一笑：“还活着呢。这不，专程来看你了。你还好吧？”
“马马虎虎混日子啦。你来这里也不跟我先打个招呼。”
“走时太忙，你的电话我还是在上飞机前才要到的。”厨房里水烧开了。小宇起来到厨
房关了电炉。
“在做什么吃啊？”我眼光跟着他进了厨房。
“方便面。”小宇有点发窘。
“大教授了还吃这个？走，到我家去，给你吃顿好的。”
“我这刚下飞机，浑身脏兮兮的，怎么好意思去你那。”
“那你洗洗吧，我等你。”
小宇想了一下说：“好吧，你等我一下。”他打开旅行箱，拿出衣服去卫生间洗澡去了。
我一个人坐在那里，想着小宇的过去。小宇是我们全校闻名的数学尖子。高二那年他参
加国际奥林匹克数学竞赛，拿了银奖。要不是他比赛那天感冒头晕，估计应该拿金奖的
。我们其他同学对他只有佩服的份。我的数学也还不错，但因为觉得自己在数学上永远
也超不过小宇，便选了学物理。中学毕业后上了清华大学物理系。而小宇则上了中国科
技大学数学系。那时我们经常通信。后来我来到美国深造物理。渐渐就跟他淡了联系。
从同学那里和网上陆续得到他的一些消息。他大学毕业后去了中科院数学所读研究生。
但后来好像事业并不很顺利。研究生毕业后他到一个不出名的大学去教数学，一教多年
，也没听说他在数学研究上有什么了不得的成就。我偶尔跟中学的老同学见面，谈起小
宇，都为他感到可惜。觉得小宇过了这么多年还没解决什么世界著名数学难题真是令人
不可思议。那时我们可是实打实地认为哥德巴赫猜想应该是小宇的囊中之物的。
小宇洗玩完澡出来，换了一件灰色的衬衣，看起来清爽多了。我带着小宇来到我们家。
一进门一股菜香就扑面袭来。小宇像是被菜香给击中，手扶着门框闭着眼睛猛吸了一口
气说：“啊，真香啊。”
老婆和八岁的儿子来到门口说：“欢迎，欢迎。”
我忙给大家介绍：“这是我的老同学，小宇。这是我老婆，谢菲，我儿子，张建。建建
，叫叔叔。”
“叔叔。”儿子喊了一声，回到电视前面玩游戏去了。
老婆把我们带到饭厅。饭桌上碗碗碟碟放了不少，红红绿绿煞是好看。小宇说：“哇，
嫂子真是不简单啊。”
“瞎做的。别嫌难吃就行啦。”老婆笑着说。
“嫂子就别谦虚了。这些菜看着就好吃。飞机上那些东西，我吃两下就腻了。这下我的
肚子算是有救了。呵呵。”
老婆笑着说：“哈哈小宇还挺有趣的，来坐坐坐。儿子，快来吃饭啦。”
我们坐在饭桌前，我说：“小宇喝点啤酒吧？”
“这个，”小宇摸了摸头说，“不要了吧？”
“来来，来一点。”我给拿了两瓶啤酒。“多年不见。咱们哥俩干一杯。”
小宇跟我碰了碰杯，喝了一口啤酒。他环视了一下我们的房子说：“老兄，你过得不错
嘛。”
“胡乱混日子吧。小宇，你过得怎么样？”
“一言难尽啊。”
我跟小菲说：“小宇可是我们班的数学尖子，在数学奥林匹克竞赛拿过银奖的。”
“唉，好汉不提当年勇了。现在也不过是个小小的教书匠而已。”
“对了，小宇，我们同学当年可都指望你能最早出人头地的。这么多年，凭你的水平，
怎么还在那个小学校混呢？”
小宇喝了一大口啤酒，说：“选错了方向啊。”
我笑着说：“你这水平，就是选错方向也应该能作出东西来吧？何况，十几年都不知道
换个方向？”
小宇摇了摇头说：“说来话长了。你知道黎曼吧？”
“德国数学家黎曼？我当然知道。大大有名啊。黎曼几何可是广义相对论的数学基础啊
，还有黎曼积分，我们学物理的也得学的。”
“听说过黎曼假设吗？”
“这个我倒是没有听说过。这是什么假设？”
“黎曼假设实际上是黎曼在一百多年前提出的一个猜想。”小宇吃了一口青椒鸡丝，接
着说，“这么说吧，如果你随便问一个数学家现在数学上最重要的猜想是什么，十有八
九你得到的答案是黎曼假设。”
“是吗？”我有点不确定，“我以为现在最有名的猜想是哥德巴赫猜想呢。不是皇冠上
的明珠吗？”
“哥德巴赫猜想确实是一个重要的猜想，不过那只是数论上的一个比较特殊的问题。跟
其它的问题和领域少有联系。而黎曼假设则对现代数学有着深远的影响。数学上大概有
上千条命题或‘定理’的开头是‘如果黎曼假设成立那么我们有如此如此的结论’。这
些结论是无数杰出的数学家的心血结晶，有的大概是一些数学家的毕生成果。可是这些
结果都是建立在黎曼假设成立的基础上。它们就像是数学里面的一些漂亮华丽的肥皂泡
。如果哪天，有谁证出黎曼假设不成立的话，那就像是在数学界刮起一阵大风，会将这
些肥皂泡全部吹破。无数数学家的心血就会全部付诸东流水。这也是为什么这个猜想被
称为黎曼假设。因为有太多的东西依赖于这个假设了。你知不知道，德国大数学家希尔
伯特在1900年的世界数学家大会上提出20世纪的数学家应该研究的23个问题，其中第八
个问题就包括黎曼假设的证明。2000年美国克莱数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题悬赏一百万美元。黎曼假设便是其中的一个，也是希尔伯特的23个问题中的唯
一一个。”
“哦？这么有名，”小宇的叙述使我来了兴趣。“我怎么一点都不知道黎曼假设？看来
我真是孤陋寡闻了。那么黎曼假设到底是说的什么呢？”
“看你们，一见面就聊数学，”小菲拿着筷子指着桌子上的菜说，“吃菜吃菜。”
“是啊，咱们别冷淡了这么好吃的菜。”小宇笑了一笑，夹起一只炸虾，吃得津津有味
。“黎曼假设可不像哥德巴赫猜想那么一两句话就说得清楚。这大概也就是它不像哥德
巴赫猜想那么众所周知的原因吧。你有兴趣的话吃完饭我可以跟你详谈。”
“好啊，”我说，“对了，你不是在研究黎曼假设吧？”
“是啊，”小宇苦笑了一下，“就是黎曼假设让我沦落如此啦。我研究生一年级的时候
就知道了这个猜想，结果一下子陷在里面拔不出来了。对别的小课题感不上兴趣。我的
老师警告了我多次，叫我不要碰这个问题，可是，我就是听不进去。这种一百多年都没
人解决的数学难题，可不是谁一下子就能解决的。最后，要不是我的导师拉了我一把，
我的博士学位都差点没拿到。”
“你就不能换个别的课题作吗？”小菲说。
“是啊，我是应该换的。”小宇叹了口气,一下子陷入了沉思。眼睛对着桌子上的菜，
眼神却凝视到了无穷远处。我看着消瘦的他，知道他想起了往事。
“小宇就是这样的人，”我对小菲说，“他想要解决什么问题，那就非得解决不可。我
还记得中学有一次，小宇为了一道几何难题在被窝里打着手电作了一整夜，第二天上数
学课困得睡着了，被老师狠狠批了一顿。”
“我看啊，只有这样的人才能成大事。”小菲瞪了我一眼说。
“不过呢，看起来还是我们这些没有什么志气的过得舒服点。哈哈。”我尽量显得轻松
地说。小宇还在那里沉思，我喊了他一声：“小宇，别想这些了，吃菜吃菜。”
小宇一怔，好像猛然醒悟过来：“对啊，吃菜吃菜。”
二 一节数学课
饭后，小菲在收拾碗筷，儿子去做作业去了。我把小宇拉到我楼上的书房，请他给我讲
讲黎曼假设。
“请给我笔和纸，”坐下后，小宇说。我拿给他纸笔。小宇在纸上写下一个数学式子：
1+1/2+1/3+...+1/n+...
“知道这是什么吗？”小宇问。
“哦，这个我知道，这个无穷项的求和不是调和级数吗？”我说。这个我大学时就在微
积分里学到过。
“是啊，”小宇说，“这个级数是发散的，就是说，它的和是无穷大。”
“嗯，”我说。
“现在我把它稍微变一下，把每个分母变成s次方，”小宇接着说。他在这个式子下面
写到：
1+1/2^s+1/3^s+...+1/n^s+...
“这个级数嘛……”我说，试图回忆多年前在大学里学的数学。
小宇看了我一眼说：“如果s变动的话，这个级数是s的函数，黎曼用希腊字母ζ(s)（
小宇将这个写在纸上）表示这个函数，所以现在我们叫它黎曼ζ函数。这个级数如果s
是个比1大的实数的话是收敛的，也就是它的和是一个有限的数。而当s小于或者等于1
的时候，这个级数是发散的，也就是说，ζ(s)是无穷大。比如说当s等于2的时候，你
知道它的和是多少吗？”
我想了想，2比1大，所以ζ(2)是一个有限的数。“不知道。是多少？”
“π的平方除以6！”
“π？你是说圆周率π？”
“是啊。”
“哇！这个和怎么会跟π拉上关系的？”
“这就是数学的奇妙之处了。这个结果是18世纪瑞士大数学家欧拉首先发现的。算是欧
拉的一大成果。”
“那么当s等于3的时候和是多少呢？”我问。
“好问题！答案是：没有人知道。我们现在只知道这是一个无理数。”
“哦，黎曼猜想是关于这个级数的和的？”
“呵呵，”小宇笑道，“不是不是，黎曼猜想比这个复杂得多。黎曼考虑这个级数的时
候，想像如果允许这个幂s取复数值的会发生什么事。”
复数我很熟悉。我们物理里面经常用到。不过复数的幂我并不太熟悉。小宇在纸上写到：
s = x + iy
他解释道：“我们知道，每个复数可以写成一个实数x加上虚数单位i，也就是负1的平
方根，乘以另外一个实数y。 如果s是复数的话，一个实数n的s次方的值的大小实际上
是由s的实部x来决定的。”他指着上面那个级数说，“所以，这个黎曼ζ函数当x比1大
的时候也是一个有限的数，只不过，这时候它的和是个复数。而当x比1小或者等于1的
时候它的值是无穷大。”
他接着在纸上画了一个直角坐标系，标上了x轴和y轴。他边写边说：“这个你应该知道
了，每个复数s=x+iy都可以用平面上的点(x,y)来表示。根据我刚才的解释，这个黎曼
ζ函数只有在x大于1的时候才有定义。”他在那个坐标系里画了一条垂直的虚线，穿过
x轴上对应于x=1的那个点，将平面分成了两半。他接着说：“也就是说，这个ζ函数在
这条线的右边是有定义的，而在这条线的左边，包括这条线上，都是没有定义的。”
我看着纸，尽量试图跟上他的解释。“那么，这个ζ函数是个连续函数？”
小宇赞许地说：“是啊！不光是连续的，而且在这条线的右半边平面上还是解析的。”
解析函数我们物理上也常用，意思就是这个ζ函数在x=1这条线的右半边平面上的每一
个点上都有导数。
小宇指着那条线的左半边说：“虽然这个ζ函数在这半边没有定义，不过黎曼用了一个
复变函数论里面很基本的技巧，将这个ζ函数延拓成为一个在整个平面上都解析的函数
。具体的说，他用一个积分公式定义了一个在整个平面上都解析的函数，这个函数在这
条线的右半边跟上面这个级数重合。这个经过解析延拓的函数，实际上才是真正的黎曼
ζ函数。”
“哦，”这里我有点似懂非懂，“黎曼为什么要这么作呢？”
小宇笑了笑：“这个就牵扯到数论的问题了。黎曼研究这个ζ函数的目的是要用它来研
究素数的分布的。”
我知道，素数就是那些除了自己和1之外，没有别的因数的，比1大的自然数。比如2，3
，5，7，11，13， 17等等。
“这个函数怎么会跟素数有关系呢？”
“这个实际上又得从欧拉说起了。素数可以说是数学里面构造所有的数的原子。不过，
素数在自然数里面的分布看起来是毫无规律的。几乎任何有关素数的问题都是数学上的
难题。比如你知道的哥德巴赫猜想，说的是每个大于2的偶数都可以写成两个素数的和
。可是这个命题到今天还是没有人知道对不对。咱们的陈景润证明的是每个偶数可以写
成一个素数跟两个素数的乘积的和，离彻底证明哥德巴赫猜想还有一步。可是这一步却
难得像登天一样。古希腊数学家欧几里德证明了素数有无穷多个，他后面的两千多年里
，这几乎是人们所知道的唯一的关于素数的一般性质。欧拉在玩弄ζ函数时发现，当s
是大于1的实数的时候，ζ函数可以写成一个跟素数有关的无穷乘积。他得到这个简单
的等式后，立即看出，为了使这个等式成立，素数的个数必须是无穷。于是，欧拉利用
ζ函数给出了欧几里德的无穷素数定理的一个新的证明。利用这个等式，欧拉还证明了
对于所有的素数的倒数求和，得到的是无穷大。这样，在欧几里德之后两千多年，ζ函
数终于使得人们对于素数的认识进了一步。
“由此，人们知道这个ζ函数实际上跟素数有密切的联系。不过，只到一百多年后，因
为黎曼的工作，人们才最终认识到ζ函数对于素数研究的至关重要性。”
“因为黎曼引进了复的幂？”我问。
“正是！黎曼的思路是这样的：既然欧拉从ζ函数的实数幂就能得出有关素数的新的性
质，而所有的实数只不过是在一条一维的直线上。那么，如果我把这幂s变为复数会得
到什么结果呢？所有的复数可是充满了一张二维的平面啊！这多出的一个维度肯定会告
诉我们更多的关于素数的信息吧？于是，黎曼沿着这个思路拼命地工作了几天，写了一
篇短短的只有八页的论文， 标题是： 论小于给定数值的素数个数。不过，这篇短文却
成为了一篇划时代的论文。在这篇文章里，黎曼建立起ζ函数的零点和素数分布的密切
联系。”
“零点？”我一时没有反应过来。
“就是那些使得ζ函数的值等于零的那些点。对于ζ函数来说，有一些零点是显然的，
这些零点是-2，-4，-6，……， -2n，……，等等。这些零点叫作平凡的零点。除了这
些平凡的零点以外，黎曼还发现，其它的零点都是复数，而且全部落在平面上从x=0到x
=1这两条垂直的直线之间这一个带状区域。所以这条带状区域被称作临界带。正是这些
非平凡的零点的分布直接决定了素数的分布。黎曼根据自己的计算，作出了一个十分大
胆的猜测：他认为ζ函数的所有非平凡零点全部落在x=1/2这一条直线上！这就是困扰
了数学家们一百多年的黎曼假设。这条垂直直线x=1/2就叫作临界线。”
“嗯。”我感到小宇的话对我的作用就像黎曼的ζ函数对于素数的作用一样，一下子提
供了太多的信息。我恐怕得花点时间才能好好消化。我问：“你能不能稍微给我讲讲黎
曼假设跟素数之间到底有什么关系呢？”
小宇看了我一眼说：“你到底还是个训练有素科学家，问的问题都很到点啊。”
我嘿嘿笑了一下：“哥们很会夸奖人啊，看来你这老师当得肯定不错。”
小宇也笑了：“当然，这么多年的数学老师也不是白当的。是这样的，前面我讲到，欧
拉建立了一个实的ζ函数与素数之间关系的简单的等式。黎曼遵循欧拉的思路，也在他
的复的ζ函数与素数的分布之间建立了一个等式。不过，他的等式比欧拉的等式要复杂
得多，其中有一项，就牵涉到ζ函数的非平凡零点。如果能证明所有的非平凡零点都在
x=1/2这条临界线上的话，那么从这个等式就可以彻底搞清楚素数的分布规律了。”
“哦，原来如此。”我随口应到。
这时，小菲端了些西瓜上来，对小宇说，“小宇，吃点西瓜吧。你在这里给成远讲课，
应该收他的学费啦。”
小宇笑着说：“哈哈，我这是在付你的饭钱呢。”
小菲也笑了：“成远，人家小宇刚刚到，时差还没倒过来呢。你不要太累着人家了。”
小宇说：“没事。我在飞机上猛睡了十几个小时呢。”
我说：“放心吧，小宇也不是泥巴做的。”
小菲瞪了我一眼，下楼去了。
“刚才讲到哪里了？”我问。
“讲到黎曼假设跟素数分布的关系。”小宇拿了一块西瓜，边吃边说，“要再细谈它们
之间的关系，恐怕还得从另外一个巨牛的德国数学家高斯谈起。”
“高斯？数学王子啊。好像每个大数学家都跟这个问题有关系啦？”
“要不怎么是数学里的核心问题呢？是这样的。你大概知道，高斯从小就是个数学天才
。15岁的时候，他开始对素数的分布感兴趣。他花了不少时间去数小于某个数的素数的
个数。他发现，小于10的素数有4个，2，3，5，7。小于100的素数有25个；小于1000的
素数有168个；小于10000的素数有1229个，等等。他想通过这种统计找出素数在一定范
围内分布的的规律。他考虑了这个问题：当你一个数一个数去数数的话，平均数多少个
数能遇到一个素数。比如，在1到10之间有4个素数，用10比上4得到2.5，所以在1到10
之间你平均每数2.5个数就遇到一个素数。如此类推，100之内的平均数4个数遇到一个
素数，在1000之内平均数6个数，在10000之内的平均数8.1个数，高斯大概统计到1亿了
吧？15岁的高斯已经很熟悉对数了。他发现在1到某个数N之间平均数多少个数会遇到一
个素数跟自然对数ln N很接近。于是，他大胆地作出了个猜测：当N越来越大的时候，
在1到N之间平均每数ln N个数会遇到一个素数。”
这次我听得很明白。我说：“这个发现看起来太简单了。好像我自己也可以发现嘛？”
小宇说：“是啊。不过，问题是，成功总是留给有心人的。事实上，高斯当时并没有立
即公布他的发现。而就在高斯的发现几年后，就有一位法国的数学家，勒让德，也作出
了同样的发现。”
“这就好像牛顿和莱布尼茨同时发现微积分一样。”
“是啊，这种事情在科学上发生得太多了。”小宇说。“我们接着说高斯的发现吧。高
斯用π(N)来标记小于N的素数的个数。高斯发现，在N很大的时候，π(N)接近于N除以N
的自然对数。”小宇在纸上写到：
π(N)~N/ln(N)
小宇说：“这就是高斯和勒让德的发现了。这个猜想九十年后才被两位数学家各自独立
地证明了。知道他们是怎么证明的吗？”
“利用黎曼假设？”我猜到。
“差不多啦。黎曼假设还没有人能证得出来。不过他们证明了一个黎曼假设的很弱的形
式。他们证明了，黎曼ζ函数在x=1这条垂直直线上没有零点。利用这个结果，他们证
明了高斯和拉格朗日的猜想。这个有名的结果现在称为素数定理。 不过，素数定理只
不过是个渐进的结果。如果黎曼假设能够证明的话，就能给出这个素数定理右边这一项
的精确误差。”
我沉默了一下说：“那么这个黎曼假设，有什么证据说它是对的呢？”
“证据有很多啦。”小宇说。“最直接的证据就是计算了。黎曼ζ函数的非平凡零点有
无数多个。但是要具体算出这些零点是非常困难的。不过借助计算机，有数学家已经算
出了十兆多个非平凡零点，全部都落在x=1/2这条直线上！”
“哇！验证了这么多！”我惊叹到。“那么黎曼假设肯定会是正确了的吧？”
“没有人知道，”小宇说。“即使是验证了十兆多个零点，那也不能排除在十兆个之后
，会有某个零点不在这条线上的可能。而一旦发现有一个零点不在这条线上，那么黎曼
假设就被推翻了。那恐怕将会是一场数学界的大地震。实际上，哪位验算十兆多零点的
数学家的初衷就是想找到一个不在x=1/2这条临界线上的零点的。当然，他没能成功。”
我回味着小宇的话，感叹到：“数学真是奇妙啊。你这么多年就是做的这个？”
“是啊，”小宇说。
“我可知道你的本事。以你的水平，作了这么多年，肯定应该作出了些名堂吧？”
“老实说，我这次来美国，也就是为了这个。”
“哦？有进展了？”
小宇凑近我，压低了点声音说：“你不要给别人讲。我思考这个问题十多年了。我想我
终于找到了证明黎曼假设的正确途径。”他抬起身，接着说：“只不过，国内杂事太多
，我一直静不下心来。现在，我好不容易申请到了一次公费出国的机会，想在美国安安
静静地作一段研究，攻一攻黎曼假设。”
“好啊，我相信你能拿到那一百万美元奖金的。等你出了名，哥们我也可以沾点光。”
“希望如此啊，”小宇看了看表说：“哎呀，时间不早啦，我得回去了。”我们站了起
来，小宇跟我家人告别后，我送他回了他的公寓。
三 人择原理
转眼三个星期过去了。我忙完了期末考试，交上了学生的成绩。从忙碌的课程表里解脱
了出来。在家里休息了两天之后，又想起了小宇。于是，在一个星期六下午，驱车来到
小宇的宿舍。
这些天，我跟小宇偶尔有电话和email联系。知道他的老板罗大数学系的怀特博士对他
非常宽松。并没有要求他每天按时去坐班。不过小宇对自己到是要求很严，每天都是准
时上班。
小宇的房间里没加什么东西。不过按照物理学原理，房间里的熵却是不可逆转地增加了
。几双鞋子一点也不守纪律地歪在门边，房间的地上不同地方至少有四双脏袜子。床上
被子堆成一堆，几件衣服胡乱仍在床上。桌子上满是散乱的草稿纸，有几张纸还掉到了
地上。小宇不好意思地说：“抱歉，房间比较乱。”
岂止是比较乱？简直是太乱了。我站在门口说：“小宇，我带你出去转转吧。”
“去哪？”
“这附近不远有个高地公园，挺漂亮的。咱们去那里散散步吧。”
“这个，我正在搞一个复杂的计算。”小宇指着桌子上乱七八糟的草稿纸说。
“来来来，休息一下嘛。来到美国，要学会enjoy生活啊。”
小宇还在犹豫，我拉起他说：“走吧走吧。”小宇只好带上门，跟我走出了公寓。
高地公园在一座小山丘上。从小宇的公寓开车不到五分钟就到了。这里山坡的草坪上种
着上千株各种品种的丁香花树。现在已经到了丁香花季的尾声，但树上还是能看到不少
各种颜色的丁香花。我把车停在山丘顶上的路边。我们下了车，沿着花丛中的小路漫步。
“你的研究有什么进展吗？”我边走边问。
“进展大了。”小宇抑制不住自己得意的神色。“我已经证明了，黎曼ζ函数在x大于0
.99以及小于0.01的时候没有零点。”
“等等，以前知道的结果是什么？”我问。
“以前人们知道ζ函数在x大于或者等于1，以及小于或者等于0的时候没有零点。”
“这就是说：你比以前的结果提高了0.01……。”
“你可别小看这0.01。一百多年来就没有人能够将这条临界带的边界向内平移哪怕一丁
丁丁点。以至于数学家们把这条临界带边界能够向内平移这个猜想称作准黎曼假设。我
这个结果，实际上证明了准黎曼假设！”
“那……那是一个重大突破了？”
“那当然啦！”小宇低头从一丛紫色的丁香花下走过。“我这结果要写出来，估计能在
世界上的顶级数学杂志上发表。”
“那你赶快写了投稿啊。”
“我现在还不想写。”
“为什么？”
“我跟你说过，我的方法可能是通向彻底证明黎曼假设的正确途径。如果我现在发表了
，那么别人就会知道我的方法了。也许就会有人抢在我前面证明黎曼假设。”
“所以你现在想保密？”
“对呀。你知道吗，证明出费尔马大定理的威尔斯关在家里花了七年时间证明这个结果
。其间他谁也没告诉，就是为了怕别人知道他的方法而捷足先登。我为了黎曼猜想已经
花了我十几年的黄金时光，以至沦落如此。现在终于可以看到一点点终点的曙光了。我
又不是什么圣人，当然也不希望看到别人抢到我的前面了啊。所以，你一定要为我保密
啊。就是你老婆，最好也不要告诉。”
“那当然。”我保证说。
我们看到路边有一张木椅子。我和小宇坐了下来。椅子面向下坡的方向。前面是一片开
阔的绿色草坪。抬头望去，白云和蓝天交织在一起，阳光羞涩地躲在一大片云彩后面。
凉风习习，风中弥漫着丁香花的清香。一对年轻夫妻牵着一只不大的卷毛狗从我们前面
走过。他们友好地跟我们打了声招呼。远处，高低错落的楼房掩映在绿树丛中，像是绿
色海洋里的点点帆影。世界在宁静中显得格外温柔。
“这里风景真好。”小宇感叹道。
“是啊。”我附和道。
“看来你真是很enjoy生活啊。我可好久没有这种宁静平和的感觉了。看着这风景，觉
得活在这世上，真是一种幸福。”
“你知道吗，这个世界其实是非常精巧的，”我这物理学家想到了我的本行。“物理学
上有些重要的常数，比如普朗克常数，精细结构常数等等如果稍稍跟现在的数值不一样
，世界就会大不一样了。可能我们人类就不会诞生，甚至连星系都不可能形成。我们物
理学家常常为这个事情感到迷惑：这个世界上的一切设置，比如说那些物理学常数，好
像都恰好是为我们人类准备的。为什么会是这样？为了解答这个问题，有的物理学家提
出了人择原理。认为那些常数之所以设定得恰好如此是因为这个宇宙需要有观察者，也
就是我们人类存在。否则地话便没有人去问这些问题了。”
“有意思，”小宇说。“不过我怎么觉得这个解释有点本末倒置啊？”
“是有那么一点。所以也不是所有的物理学家都同意人择原理。不过人择原理确实是以
我们所知的物理学为基础的，并不能算什么唯心主义。在量子力学里，我们知道观察者
是会对量子产生影响的。比如说电子，你观察到它之前，是不可能知道它在哪个地方的
。你只能知道它在某个地方出现的概率。而当你观察到它的时候，它的概率波就坍塌了
，成为一个你看到的在那个地方的粒子。为了解释这种概率，物理学家提出了多重宇宙
理论。他们认为，宇宙在每个瞬间都分岔成无数个平行的宇宙。当你观察到电子的那一
刹那，世界便从这里分岔了，你所看到的电子只是它在这个世界的样本。”
“嗯，我以前听说过一点点。”小宇说。“那么这个多重宇宙理论跟人择原理有什么关
系呢？”
“用多重宇宙原理来解释人择原理是自然而然的。我们的宇宙之所以是现在这个样子是
因为在无数的平行宇宙里，只有这样的宇宙才能产生我们人类观察者。”
“你们物理学研究的东西越来越玄了。还是我们数学研究的东西实在。”小宇感叹道。
“幸亏我当初没有学物理。想着量子力学里面那些奇谈怪论我就头大。呵呵。”
“没准你们数学的存在也依赖于观察者呢。”我打趣道。
“胡说。那怎么可能？数学定理都是实打实经过严格的逻辑推理来的，你把它们放到你
的平行宇宙也不可能有什么变化。”小宇笑道。他接着说：“对了，我老婆就要从国内
来看我了。到时候你能不能帮我去接她。”
“没问题。”我说。我知道，小宇的老婆是学中文的。他们没有孩子。“呵呵，你老婆
坐飞机来帮你收拾房间了。”
“嘿嘿。”小宇笑了笑，没怎么说话。
四 吴芳的到来
小宇的老婆吴芳是两个星期后的一个晚上到的。我开着车，带小宇去机场接她。路上，
小宇告诉我，他的研究又有了新的进展。他已经将临界带从0.01到0.99缩小到了0.27到
0.73。我说：“这次进展好像不小啊。”
小宇得意地说：“那当然啦。有了这个结果，我想我终于可以确信我确实是走在正确的
路上。就是这个结果本身也可以看作是黎曼假设证明上的一个重大突破。我相信，这是
人类第一次离黎曼假设的完全证明如此之近。”
机场并不远。从小宇的公寓开车到机场只要十几分钟。不过吴芳的飞机晚点了两个半小
时。我们接到吴芳的时候，已经是晚上11点20分了。
吴芳个子不高，皮肤很白，椭圆脸，长得很漂亮。大大的眼睛很是吸引人。她的一头黑
发随便地扎成一个马尾辫。身着一条灰裤，一件淡蓝色的便装。看见小宇，一下子便扑
进他的怀里。
他们亲热过后，小宇给我们介绍说：“这是我老婆，吴芳。这是我的老同学，张成远。”
“成远大哥。”吴芳叫道。
我笑着说：“小宇这些天可是想你想得睡不着觉啊。”
吴芳开心地笑着说：“他恐怕是在想他的数学吧？”
小宇忙说：“数学要想，老婆也得想。”
我们说笑着去取行李。吴芳牵着小宇的手，两人显得很亲密。看来小宇这小子虽然一门
心思扑在数学上，福气到也不错。他这老婆看起来又漂亮又贤惠。
“今天坐飞机可吓死我了，”等行李的时候，吴芳说。
“怎么啦？”小宇关心地问。
“我们的飞机在太平洋上的时候忽然所有的仪器都失灵了。”
“怎么会发生这种事呢？”小宇急问。“是什么原因？”
“怪就怪在，连驾驶员都不知道是什么原因。好在时间不长。事后飞机上的广播说，他
们从来都没有遇到过这种事。有的乘客还说，是不是遇到飞碟了。不过没有谁看到什么
飞碟。”
“是什么时间？”我问。
“大概是七八个小时前吧。”吴芳答道。
七八个小时前大概是下午三四点钟。小宇听到吴芳的话，脸色变了一下。我问：“怎么
啦？”
小宇说：“没什么。我的0.27到0.73的临界带大约是在这个时候作出来的。”
“哈哈，真巧了。看起来好像是你的数学发现影响到吴芳的飞机啦。”我笑着说。
“这不过是碰巧而已。”小宇笑了笑，有点不自然。我们拿到行李，说说笑笑地往我的
车走去。
送他们回公寓后，我回到家。老婆和孩子们都已经睡了。我习惯性地打开电脑，浏览新
闻。忽然，有一条新闻像磁铁一样吸住了我的目光：
全世界飞机仪表同时失灵。
新闻说，在今天美国东部时间下午三点四十分左右，全世界所有飞机的仪表忽然神秘地
失灵了一分五十秒。好在时间不长，没有造成什么重大损失。南非和俄罗斯各有一架飞
机冲出了跑道。仪表失灵的原因不明。有科学家认为，这也许是太阳磁场变化造成的结
果云云。
看到这里，我觉得身上一阵发凉。没准这事还真地跟小宇的研究有什么关系呢。
（接下楼）
电话铃响起的时候，我做梦也没有想到这铃声将会把我平静的世界打得粉碎。
“哈罗，”我拿起电话，对着话筒慢悠悠地说。
“请问是张成远吗？” 电话里头传来一个依稀有些熟悉的声音。
“是我。请问你是哪位？”
“我是田小宇。你好吗？”
我的天啊。小宇！我大脑里立即呈现出一张消瘦苍白的脸和一头蓬乱而有些发黄的头发
。大概有十五年了吧？我中学时最要好的朋友。班上的数学怪才。我们两个在黑板前一
次次地几何证明题比赛。正是因为他数学上的杰出，摧毁了我作数学家的信心，所以我
才最终选择了物理，才落到美国罗城这个小小的理工学院作了一个物理教书匠。
“小宇！你在哪里啊？”我喊道。
“我刚刚到罗城。从阿青那里拿到了你的电话号码。”阿青是我们的同学。我前些时跟
他联系过。
“哇，你来罗城啦？你住哪？我这就看你去。”
他告诉了我地址。是离我家不远处的一个公寓区。我放下电话，跟正在做饭的老婆说：
“小菲，我出去一下就回。”
“谁啊？”老婆放下锅铲，问道。
“我中学的一个同学。”
“女的？”
“就吃醋了？男的。”
“谁吃你的醋啊，”老婆瘪了瘪嘴说。“要吃饭了，快点回来啊。”
“对了，你多作点菜。也许我把我同学拉来吃饭。”
“有你们同学吃的。快去快回。”
我匆匆亲了一下老婆，来到车库，启动汽车，驱车去小宇那里。
小宇的公寓区掩映在浓郁的树荫下，红砖楼房显得很旧，但还比较整洁。一抹残阳将楼
顶耀得黄灿灿一片。我将车停在小宇楼下的停车场，三步并作两步赶到门洞前，在门口
按下小宇房间的号码。一会儿，听到“叮”的一声铃声。我赶紧把门拉开。只听到小宇
在二楼楼道喊：“成远！”我抬头一看，小宇那熟悉的消瘦身体从黑暗的楼道里显影出
来。“小宇！”我也喊了一声，冲上了楼梯，拉住小宇递过来的双手。只见他因瘦弱显
得窄而略长的脸上，带着一副黑边眼镜，他的头发蓬乱依旧，一件有点发皱的白衬衣扎
在一条黑灰色的裤子里。身上散发着一丝淡淡的汗味。“进来坐。”小宇说，拉着我走
进了房间。房间很简单，一张单人床，一张桌子，一把凳子。墙边放着一个大旅行箱和
一个小点的旅行包。厨房里正烧着水。小宇不好意思地说：“不好意思，刚刚到，什么
都没有。坐坐吧。”他指着那把椅子。
我坐了下来，小宇也坐在了床上。“哥们，”我说，“十五年没见了吧？怎么样？”
小宇嘿嘿一笑：“还活着呢。这不，专程来看你了。你还好吧？”
“马马虎虎混日子啦。你来这里也不跟我先打个招呼。”
“走时太忙，你的电话我还是在上飞机前才要到的。”厨房里水烧开了。小宇起来到厨
房关了电炉。
“在做什么吃啊？”我眼光跟着他进了厨房。
“方便面。”小宇有点发窘。
“大教授了还吃这个？走，到我家去，给你吃顿好的。”
“我这刚下飞机，浑身脏兮兮的，怎么好意思去你那。”
“那你洗洗吧，我等你。”
小宇想了一下说：“好吧，你等我一下。”他打开旅行箱，拿出衣服去卫生间洗澡去了。
我一个人坐在那里，想着小宇的过去。小宇是我们全校闻名的数学尖子。高二那年他参
加国际奥林匹克数学竞赛，拿了银奖。要不是他比赛那天感冒头晕，估计应该拿金奖的
。我们其他同学对他只有佩服的份。我的数学也还不错，但因为觉得自己在数学上永远
也超不过小宇，便选了学物理。中学毕业后上了清华大学物理系。而小宇则上了中国科
技大学数学系。那时我们经常通信。后来我来到美国深造物理。渐渐就跟他淡了联系。
从同学那里和网上陆续得到他的一些消息。他大学毕业后去了中科院数学所读研究生。
但后来好像事业并不很顺利。研究生毕业后他到一个不出名的大学去教数学，一教多年
，也没听说他在数学研究上有什么了不得的成就。我偶尔跟中学的老同学见面，谈起小
宇，都为他感到可惜。觉得小宇过了这么多年还没解决什么世界著名数学难题真是令人
不可思议。那时我们可是实打实地认为哥德巴赫猜想应该是小宇的囊中之物的。
小宇洗玩完澡出来，换了一件灰色的衬衣，看起来清爽多了。我带着小宇来到我们家。
一进门一股菜香就扑面袭来。小宇像是被菜香给击中，手扶着门框闭着眼睛猛吸了一口
气说：“啊，真香啊。”
老婆和八岁的儿子来到门口说：“欢迎，欢迎。”
我忙给大家介绍：“这是我的老同学，小宇。这是我老婆，谢菲，我儿子，张建。建建
，叫叔叔。”
“叔叔。”儿子喊了一声，回到电视前面玩游戏去了。
老婆把我们带到饭厅。饭桌上碗碗碟碟放了不少，红红绿绿煞是好看。小宇说：“哇，
嫂子真是不简单啊。”
“瞎做的。别嫌难吃就行啦。”老婆笑着说。
“嫂子就别谦虚了。这些菜看着就好吃。飞机上那些东西，我吃两下就腻了。这下我的
肚子算是有救了。呵呵。”
老婆笑着说：“哈哈小宇还挺有趣的，来坐坐坐。儿子，快来吃饭啦。”
我们坐在饭桌前，我说：“小宇喝点啤酒吧？”
“这个，”小宇摸了摸头说，“不要了吧？”
“来来，来一点。”我给拿了两瓶啤酒。“多年不见。咱们哥俩干一杯。”
小宇跟我碰了碰杯，喝了一口啤酒。他环视了一下我们的房子说：“老兄，你过得不错
嘛。”
“胡乱混日子吧。小宇，你过得怎么样？”
“一言难尽啊。”
我跟小菲说：“小宇可是我们班的数学尖子，在数学奥林匹克竞赛拿过银奖的。”
“唉，好汉不提当年勇了。现在也不过是个小小的教书匠而已。”
“对了，小宇，我们同学当年可都指望你能最早出人头地的。这么多年，凭你的水平，
怎么还在那个小学校混呢？”
小宇喝了一大口啤酒，说：“选错了方向啊。”
我笑着说：“你这水平，就是选错方向也应该能作出东西来吧？何况，十几年都不知道
换个方向？”
小宇摇了摇头说：“说来话长了。你知道黎曼吧？”
“德国数学家黎曼？我当然知道。大大有名啊。黎曼几何可是广义相对论的数学基础啊
，还有黎曼积分，我们学物理的也得学的。”
“听说过黎曼假设吗？”
“这个我倒是没有听说过。这是什么假设？”
“黎曼假设实际上是黎曼在一百多年前提出的一个猜想。”小宇吃了一口青椒鸡丝，接
着说，“这么说吧，如果你随便问一个数学家现在数学上最重要的猜想是什么，十有八
九你得到的答案是黎曼假设。”
“是吗？”我有点不确定，“我以为现在最有名的猜想是哥德巴赫猜想呢。不是皇冠上
的明珠吗？”
“哥德巴赫猜想确实是一个重要的猜想，不过那只是数论上的一个比较特殊的问题。跟
其它的问题和领域少有联系。而黎曼假设则对现代数学有着深远的影响。数学上大概有
上千条命题或‘定理’的开头是‘如果黎曼假设成立那么我们有如此如此的结论’。这
些结论是无数杰出的数学家的心血结晶，有的大概是一些数学家的毕生成果。可是这些
结果都是建立在黎曼假设成立的基础上。它们就像是数学里面的一些漂亮华丽的肥皂泡
。如果哪天，有谁证出黎曼假设不成立的话，那就像是在数学界刮起一阵大风，会将这
些肥皂泡全部吹破。无数数学家的心血就会全部付诸东流水。这也是为什么这个猜想被
称为黎曼假设。因为有太多的东西依赖于这个假设了。你知不知道，德国大数学家希尔
伯特在1900年的世界数学家大会上提出20世纪的数学家应该研究的23个问题，其中第八
个问题就包括黎曼假设的证明。2000年美国克莱数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题悬赏一百万美元。黎曼假设便是其中的一个，也是希尔伯特的23个问题中的唯
一一个。”
“哦？这么有名，”小宇的叙述使我来了兴趣。“我怎么一点都不知道黎曼假设？看来
我真是孤陋寡闻了。那么黎曼假设到底是说的什么呢？”
“看你们，一见面就聊数学，”小菲拿着筷子指着桌子上的菜说，“吃菜吃菜。”
“是啊，咱们别冷淡了这么好吃的菜。”小宇笑了一笑，夹起一只炸虾，吃得津津有味
。“黎曼假设可不像哥德巴赫猜想那么一两句话就说得清楚。这大概也就是它不像哥德
巴赫猜想那么众所周知的原因吧。你有兴趣的话吃完饭我可以跟你详谈。”
“好啊，”我说，“对了，你不是在研究黎曼假设吧？”
“是啊，”小宇苦笑了一下，“就是黎曼假设让我沦落如此啦。我研究生一年级的时候
就知道了这个猜想，结果一下子陷在里面拔不出来了。对别的小课题感不上兴趣。我的
老师警告了我多次，叫我不要碰这个问题，可是，我就是听不进去。这种一百多年都没
人解决的数学难题，可不是谁一下子就能解决的。最后，要不是我的导师拉了我一把，
我的博士学位都差点没拿到。”
“你就不能换个别的课题作吗？”小菲说。
“是啊，我是应该换的。”小宇叹了口气,一下子陷入了沉思。眼睛对着桌子上的菜，
眼神却凝视到了无穷远处。我看着消瘦的他，知道他想起了往事。
“小宇就是这样的人，”我对小菲说，“他想要解决什么问题，那就非得解决不可。我
还记得中学有一次，小宇为了一道几何难题在被窝里打着手电作了一整夜，第二天上数
学课困得睡着了，被老师狠狠批了一顿。”
“我看啊，只有这样的人才能成大事。”小菲瞪了我一眼说。
“不过呢，看起来还是我们这些没有什么志气的过得舒服点。哈哈。”我尽量显得轻松
地说。小宇还在那里沉思，我喊了他一声：“小宇，别想这些了，吃菜吃菜。”
小宇一怔，好像猛然醒悟过来：“对啊，吃菜吃菜。”
二 一节数学课
饭后，小菲在收拾碗筷，儿子去做作业去了。我把小宇拉到我楼上的书房，请他给我讲
讲黎曼假设。
“请给我笔和纸，”坐下后，小宇说。我拿给他纸笔。小宇在纸上写下一个数学式子：
1+1/2+1/3+...+1/n+...
“知道这是什么吗？”小宇问。
“哦，这个我知道，这个无穷项的求和不是调和级数吗？”我说。这个我大学时就在微
积分里学到过。
“是啊，”小宇说，“这个级数是发散的，就是说，它的和是无穷大。”
“嗯，”我说。
“现在我把它稍微变一下，把每个分母变成s次方，”小宇接着说。他在这个式子下面
写到：
1+1/2^s+1/3^s+...+1/n^s+...
“这个级数嘛……”我说，试图回忆多年前在大学里学的数学。
小宇看了我一眼说：“如果s变动的话，这个级数是s的函数，黎曼用希腊字母ζ(s)（
小宇将这个写在纸上）表示这个函数，所以现在我们叫它黎曼ζ函数。这个级数如果s
是个比1大的实数的话是收敛的，也就是它的和是一个有限的数。而当s小于或者等于1
的时候，这个级数是发散的，也就是说，ζ(s)是无穷大。比如说当s等于2的时候，你
知道它的和是多少吗？”
我想了想，2比1大，所以ζ(2)是一个有限的数。“不知道。是多少？”
“π的平方除以6！”
“π？你是说圆周率π？”
“是啊。”
“哇！这个和怎么会跟π拉上关系的？”
“这就是数学的奇妙之处了。这个结果是18世纪瑞士大数学家欧拉首先发现的。算是欧
拉的一大成果。”
“那么当s等于3的时候和是多少呢？”我问。
“好问题！答案是：没有人知道。我们现在只知道这是一个无理数。”
“哦，黎曼猜想是关于这个级数的和的？”
“呵呵，”小宇笑道，“不是不是，黎曼猜想比这个复杂得多。黎曼考虑这个级数的时
候，想像如果允许这个幂s取复数值的会发生什么事。”
复数我很熟悉。我们物理里面经常用到。不过复数的幂我并不太熟悉。小宇在纸上写到：
s = x + iy
他解释道：“我们知道，每个复数可以写成一个实数x加上虚数单位i，也就是负1的平
方根，乘以另外一个实数y。 如果s是复数的话，一个实数n的s次方的值的大小实际上
是由s的实部x来决定的。”他指着上面那个级数说，“所以，这个黎曼ζ函数当x比1大
的时候也是一个有限的数，只不过，这时候它的和是个复数。而当x比1小或者等于1的
时候它的值是无穷大。”
他接着在纸上画了一个直角坐标系，标上了x轴和y轴。他边写边说：“这个你应该知道
了，每个复数s=x+iy都可以用平面上的点(x,y)来表示。根据我刚才的解释，这个黎曼
ζ函数只有在x大于1的时候才有定义。”他在那个坐标系里画了一条垂直的虚线，穿过
x轴上对应于x=1的那个点，将平面分成了两半。他接着说：“也就是说，这个ζ函数在
这条线的右边是有定义的，而在这条线的左边，包括这条线上，都是没有定义的。”
我看着纸，尽量试图跟上他的解释。“那么，这个ζ函数是个连续函数？”
小宇赞许地说：“是啊！不光是连续的，而且在这条线的右半边平面上还是解析的。”
解析函数我们物理上也常用，意思就是这个ζ函数在x=1这条线的右半边平面上的每一
个点上都有导数。
小宇指着那条线的左半边说：“虽然这个ζ函数在这半边没有定义，不过黎曼用了一个
复变函数论里面很基本的技巧，将这个ζ函数延拓成为一个在整个平面上都解析的函数
。具体的说，他用一个积分公式定义了一个在整个平面上都解析的函数，这个函数在这
条线的右半边跟上面这个级数重合。这个经过解析延拓的函数，实际上才是真正的黎曼
ζ函数。”
“哦，”这里我有点似懂非懂，“黎曼为什么要这么作呢？”
小宇笑了笑：“这个就牵扯到数论的问题了。黎曼研究这个ζ函数的目的是要用它来研
究素数的分布的。”
我知道，素数就是那些除了自己和1之外，没有别的因数的，比1大的自然数。比如2，3
，5，7，11，13， 17等等。
“这个函数怎么会跟素数有关系呢？”
“这个实际上又得从欧拉说起了。素数可以说是数学里面构造所有的数的原子。不过，
素数在自然数里面的分布看起来是毫无规律的。几乎任何有关素数的问题都是数学上的
难题。比如你知道的哥德巴赫猜想，说的是每个大于2的偶数都可以写成两个素数的和
。可是这个命题到今天还是没有人知道对不对。咱们的陈景润证明的是每个偶数可以写
成一个素数跟两个素数的乘积的和，离彻底证明哥德巴赫猜想还有一步。可是这一步却
难得像登天一样。古希腊数学家欧几里德证明了素数有无穷多个，他后面的两千多年里
，这几乎是人们所知道的唯一的关于素数的一般性质。欧拉在玩弄ζ函数时发现，当s
是大于1的实数的时候，ζ函数可以写成一个跟素数有关的无穷乘积。他得到这个简单
的等式后，立即看出，为了使这个等式成立，素数的个数必须是无穷。于是，欧拉利用
ζ函数给出了欧几里德的无穷素数定理的一个新的证明。利用这个等式，欧拉还证明了
对于所有的素数的倒数求和，得到的是无穷大。这样，在欧几里德之后两千多年，ζ函
数终于使得人们对于素数的认识进了一步。
“由此，人们知道这个ζ函数实际上跟素数有密切的联系。不过，只到一百多年后，因
为黎曼的工作，人们才最终认识到ζ函数对于素数研究的至关重要性。”
“因为黎曼引进了复的幂？”我问。
“正是！黎曼的思路是这样的：既然欧拉从ζ函数的实数幂就能得出有关素数的新的性
质，而所有的实数只不过是在一条一维的直线上。那么，如果我把这幂s变为复数会得
到什么结果呢？所有的复数可是充满了一张二维的平面啊！这多出的一个维度肯定会告
诉我们更多的关于素数的信息吧？于是，黎曼沿着这个思路拼命地工作了几天，写了一
篇短短的只有八页的论文， 标题是： 论小于给定数值的素数个数。不过，这篇短文却
成为了一篇划时代的论文。在这篇文章里，黎曼建立起ζ函数的零点和素数分布的密切
联系。”
“零点？”我一时没有反应过来。
“就是那些使得ζ函数的值等于零的那些点。对于ζ函数来说，有一些零点是显然的，
这些零点是-2，-4，-6，……， -2n，……，等等。这些零点叫作平凡的零点。除了这
些平凡的零点以外，黎曼还发现，其它的零点都是复数，而且全部落在平面上从x=0到x
=1这两条垂直的直线之间这一个带状区域。所以这条带状区域被称作临界带。正是这些
非平凡的零点的分布直接决定了素数的分布。黎曼根据自己的计算，作出了一个十分大
胆的猜测：他认为ζ函数的所有非平凡零点全部落在x=1/2这一条直线上！这就是困扰
了数学家们一百多年的黎曼假设。这条垂直直线x=1/2就叫作临界线。”
“嗯。”我感到小宇的话对我的作用就像黎曼的ζ函数对于素数的作用一样，一下子提
供了太多的信息。我恐怕得花点时间才能好好消化。我问：“你能不能稍微给我讲讲黎
曼假设跟素数之间到底有什么关系呢？”
小宇看了我一眼说：“你到底还是个训练有素科学家，问的问题都很到点啊。”
我嘿嘿笑了一下：“哥们很会夸奖人啊，看来你这老师当得肯定不错。”
小宇也笑了：“当然，这么多年的数学老师也不是白当的。是这样的，前面我讲到，欧
拉建立了一个实的ζ函数与素数之间关系的简单的等式。黎曼遵循欧拉的思路，也在他
的复的ζ函数与素数的分布之间建立了一个等式。不过，他的等式比欧拉的等式要复杂
得多，其中有一项，就牵涉到ζ函数的非平凡零点。如果能证明所有的非平凡零点都在
x=1/2这条临界线上的话，那么从这个等式就可以彻底搞清楚素数的分布规律了。”
“哦，原来如此。”我随口应到。
这时，小菲端了些西瓜上来，对小宇说，“小宇，吃点西瓜吧。你在这里给成远讲课，
应该收他的学费啦。”
小宇笑着说：“哈哈，我这是在付你的饭钱呢。”
小菲也笑了：“成远，人家小宇刚刚到，时差还没倒过来呢。你不要太累着人家了。”
小宇说：“没事。我在飞机上猛睡了十几个小时呢。”
我说：“放心吧，小宇也不是泥巴做的。”
小菲瞪了我一眼，下楼去了。
“刚才讲到哪里了？”我问。
“讲到黎曼假设跟素数分布的关系。”小宇拿了一块西瓜，边吃边说，“要再细谈它们
之间的关系，恐怕还得从另外一个巨牛的德国数学家高斯谈起。”
“高斯？数学王子啊。好像每个大数学家都跟这个问题有关系啦？”
“要不怎么是数学里的核心问题呢？是这样的。你大概知道，高斯从小就是个数学天才
。15岁的时候，他开始对素数的分布感兴趣。他花了不少时间去数小于某个数的素数的
个数。他发现，小于10的素数有4个，2，3，5，7。小于100的素数有25个；小于1000的
素数有168个；小于10000的素数有1229个，等等。他想通过这种统计找出素数在一定范
围内分布的的规律。他考虑了这个问题：当你一个数一个数去数数的话，平均数多少个
数能遇到一个素数。比如，在1到10之间有4个素数，用10比上4得到2.5，所以在1到10
之间你平均每数2.5个数就遇到一个素数。如此类推，100之内的平均数4个数遇到一个
素数，在1000之内平均数6个数，在10000之内的平均数8.1个数，高斯大概统计到1亿了
吧？15岁的高斯已经很熟悉对数了。他发现在1到某个数N之间平均数多少个数会遇到一
个素数跟自然对数ln N很接近。于是，他大胆地作出了个猜测：当N越来越大的时候，
在1到N之间平均每数ln N个数会遇到一个素数。”
这次我听得很明白。我说：“这个发现看起来太简单了。好像我自己也可以发现嘛？”
小宇说：“是啊。不过，问题是，成功总是留给有心人的。事实上，高斯当时并没有立
即公布他的发现。而就在高斯的发现几年后，就有一位法国的数学家，勒让德，也作出
了同样的发现。”
“这就好像牛顿和莱布尼茨同时发现微积分一样。”
“是啊，这种事情在科学上发生得太多了。”小宇说。“我们接着说高斯的发现吧。高
斯用π(N)来标记小于N的素数的个数。高斯发现，在N很大的时候，π(N)接近于N除以N
的自然对数。”小宇在纸上写到：
π(N)~N/ln(N)
小宇说：“这就是高斯和勒让德的发现了。这个猜想九十年后才被两位数学家各自独立
地证明了。知道他们是怎么证明的吗？”
“利用黎曼假设？”我猜到。
“差不多啦。黎曼假设还没有人能证得出来。不过他们证明了一个黎曼假设的很弱的形
式。他们证明了，黎曼ζ函数在x=1这条垂直直线上没有零点。利用这个结果，他们证
明了高斯和拉格朗日的猜想。这个有名的结果现在称为素数定理。 不过，素数定理只
不过是个渐进的结果。如果黎曼假设能够证明的话，就能给出这个素数定理右边这一项
的精确误差。”
我沉默了一下说：“那么这个黎曼假设，有什么证据说它是对的呢？”
“证据有很多啦。”小宇说。“最直接的证据就是计算了。黎曼ζ函数的非平凡零点有
无数多个。但是要具体算出这些零点是非常困难的。不过借助计算机，有数学家已经算
出了十兆多个非平凡零点，全部都落在x=1/2这条直线上！”
“哇！验证了这么多！”我惊叹到。“那么黎曼假设肯定会是正确了的吧？”
“没有人知道，”小宇说。“即使是验证了十兆多个零点，那也不能排除在十兆个之后
，会有某个零点不在这条线上的可能。而一旦发现有一个零点不在这条线上，那么黎曼
假设就被推翻了。那恐怕将会是一场数学界的大地震。实际上，哪位验算十兆多零点的
数学家的初衷就是想找到一个不在x=1/2这条临界线上的零点的。当然，他没能成功。”
我回味着小宇的话，感叹到：“数学真是奇妙啊。你这么多年就是做的这个？”
“是啊，”小宇说。
“我可知道你的本事。以你的水平，作了这么多年，肯定应该作出了些名堂吧？”
“老实说，我这次来美国，也就是为了这个。”
“哦？有进展了？”
小宇凑近我，压低了点声音说：“你不要给别人讲。我思考这个问题十多年了。我想我
终于找到了证明黎曼假设的正确途径。”他抬起身，接着说：“只不过，国内杂事太多
，我一直静不下心来。现在，我好不容易申请到了一次公费出国的机会，想在美国安安
静静地作一段研究，攻一攻黎曼假设。”
“好啊，我相信你能拿到那一百万美元奖金的。等你出了名，哥们我也可以沾点光。”
“希望如此啊，”小宇看了看表说：“哎呀，时间不早啦，我得回去了。”我们站了起
来，小宇跟我家人告别后，我送他回了他的公寓。
三 人择原理
转眼三个星期过去了。我忙完了期末考试，交上了学生的成绩。从忙碌的课程表里解脱
了出来。在家里休息了两天之后，又想起了小宇。于是，在一个星期六下午，驱车来到
小宇的宿舍。
这些天，我跟小宇偶尔有电话和email联系。知道他的老板罗大数学系的怀特博士对他
非常宽松。并没有要求他每天按时去坐班。不过小宇对自己到是要求很严，每天都是准
时上班。
小宇的房间里没加什么东西。不过按照物理学原理，房间里的熵却是不可逆转地增加了
。几双鞋子一点也不守纪律地歪在门边，房间的地上不同地方至少有四双脏袜子。床上
被子堆成一堆，几件衣服胡乱仍在床上。桌子上满是散乱的草稿纸，有几张纸还掉到了
地上。小宇不好意思地说：“抱歉，房间比较乱。”
岂止是比较乱？简直是太乱了。我站在门口说：“小宇，我带你出去转转吧。”
“去哪？”
“这附近不远有个高地公园，挺漂亮的。咱们去那里散散步吧。”
“这个，我正在搞一个复杂的计算。”小宇指着桌子上乱七八糟的草稿纸说。
“来来来，休息一下嘛。来到美国，要学会enjoy生活啊。”
小宇还在犹豫，我拉起他说：“走吧走吧。”小宇只好带上门，跟我走出了公寓。
高地公园在一座小山丘上。从小宇的公寓开车不到五分钟就到了。这里山坡的草坪上种
着上千株各种品种的丁香花树。现在已经到了丁香花季的尾声，但树上还是能看到不少
各种颜色的丁香花。我把车停在山丘顶上的路边。我们下了车，沿着花丛中的小路漫步。
“你的研究有什么进展吗？”我边走边问。
“进展大了。”小宇抑制不住自己得意的神色。“我已经证明了，黎曼ζ函数在x大于0
.99以及小于0.01的时候没有零点。”
“等等，以前知道的结果是什么？”我问。
“以前人们知道ζ函数在x大于或者等于1，以及小于或者等于0的时候没有零点。”
“这就是说：你比以前的结果提高了0.01……。”
“你可别小看这0.01。一百多年来就没有人能够将这条临界带的边界向内平移哪怕一丁
丁丁点。以至于数学家们把这条临界带边界能够向内平移这个猜想称作准黎曼假设。我
这个结果，实际上证明了准黎曼假设！”
“那……那是一个重大突破了？”
“那当然啦！”小宇低头从一丛紫色的丁香花下走过。“我这结果要写出来，估计能在
世界上的顶级数学杂志上发表。”
“那你赶快写了投稿啊。”
“我现在还不想写。”
“为什么？”
“我跟你说过，我的方法可能是通向彻底证明黎曼假设的正确途径。如果我现在发表了
，那么别人就会知道我的方法了。也许就会有人抢在我前面证明黎曼假设。”
“所以你现在想保密？”
“对呀。你知道吗，证明出费尔马大定理的威尔斯关在家里花了七年时间证明这个结果
。其间他谁也没告诉，就是为了怕别人知道他的方法而捷足先登。我为了黎曼猜想已经
花了我十几年的黄金时光，以至沦落如此。现在终于可以看到一点点终点的曙光了。我
又不是什么圣人，当然也不希望看到别人抢到我的前面了啊。所以，你一定要为我保密
啊。就是你老婆，最好也不要告诉。”
“那当然。”我保证说。
我们看到路边有一张木椅子。我和小宇坐了下来。椅子面向下坡的方向。前面是一片开
阔的绿色草坪。抬头望去，白云和蓝天交织在一起，阳光羞涩地躲在一大片云彩后面。
凉风习习，风中弥漫着丁香花的清香。一对年轻夫妻牵着一只不大的卷毛狗从我们前面
走过。他们友好地跟我们打了声招呼。远处，高低错落的楼房掩映在绿树丛中，像是绿
色海洋里的点点帆影。世界在宁静中显得格外温柔。
“这里风景真好。”小宇感叹道。
“是啊。”我附和道。
“看来你真是很enjoy生活啊。我可好久没有这种宁静平和的感觉了。看着这风景，觉
得活在这世上，真是一种幸福。”
“你知道吗，这个世界其实是非常精巧的，”我这物理学家想到了我的本行。“物理学
上有些重要的常数，比如普朗克常数，精细结构常数等等如果稍稍跟现在的数值不一样
，世界就会大不一样了。可能我们人类就不会诞生，甚至连星系都不可能形成。我们物
理学家常常为这个事情感到迷惑：这个世界上的一切设置，比如说那些物理学常数，好
像都恰好是为我们人类准备的。为什么会是这样？为了解答这个问题，有的物理学家提
出了人择原理。认为那些常数之所以设定得恰好如此是因为这个宇宙需要有观察者，也
就是我们人类存在。否则地话便没有人去问这些问题了。”
“有意思，”小宇说。“不过我怎么觉得这个解释有点本末倒置啊？”
“是有那么一点。所以也不是所有的物理学家都同意人择原理。不过人择原理确实是以
我们所知的物理学为基础的，并不能算什么唯心主义。在量子力学里，我们知道观察者
是会对量子产生影响的。比如说电子，你观察到它之前，是不可能知道它在哪个地方的
。你只能知道它在某个地方出现的概率。而当你观察到它的时候，它的概率波就坍塌了
，成为一个你看到的在那个地方的粒子。为了解释这种概率，物理学家提出了多重宇宙
理论。他们认为，宇宙在每个瞬间都分岔成无数个平行的宇宙。当你观察到电子的那一
刹那，世界便从这里分岔了，你所看到的电子只是它在这个世界的样本。”
“嗯，我以前听说过一点点。”小宇说。“那么这个多重宇宙理论跟人择原理有什么关
系呢？”
“用多重宇宙原理来解释人择原理是自然而然的。我们的宇宙之所以是现在这个样子是
因为在无数的平行宇宙里，只有这样的宇宙才能产生我们人类观察者。”
“你们物理学研究的东西越来越玄了。还是我们数学研究的东西实在。”小宇感叹道。
“幸亏我当初没有学物理。想着量子力学里面那些奇谈怪论我就头大。呵呵。”
“没准你们数学的存在也依赖于观察者呢。”我打趣道。
“胡说。那怎么可能？数学定理都是实打实经过严格的逻辑推理来的，你把它们放到你
的平行宇宙也不可能有什么变化。”小宇笑道。他接着说：“对了，我老婆就要从国内
来看我了。到时候你能不能帮我去接她。”
“没问题。”我说。我知道，小宇的老婆是学中文的。他们没有孩子。“呵呵，你老婆
坐飞机来帮你收拾房间了。”
“嘿嘿。”小宇笑了笑，没怎么说话。
四 吴芳的到来
小宇的老婆吴芳是两个星期后的一个晚上到的。我开着车，带小宇去机场接她。路上，
小宇告诉我，他的研究又有了新的进展。他已经将临界带从0.01到0.99缩小到了0.27到
0.73。我说：“这次进展好像不小啊。”
小宇得意地说：“那当然啦。有了这个结果，我想我终于可以确信我确实是走在正确的
路上。就是这个结果本身也可以看作是黎曼假设证明上的一个重大突破。我相信，这是
人类第一次离黎曼假设的完全证明如此之近。”
机场并不远。从小宇的公寓开车到机场只要十几分钟。不过吴芳的飞机晚点了两个半小
时。我们接到吴芳的时候，已经是晚上11点20分了。
吴芳个子不高，皮肤很白，椭圆脸，长得很漂亮。大大的眼睛很是吸引人。她的一头黑
发随便地扎成一个马尾辫。身着一条灰裤，一件淡蓝色的便装。看见小宇，一下子便扑
进他的怀里。
他们亲热过后，小宇给我们介绍说：“这是我老婆，吴芳。这是我的老同学，张成远。”
“成远大哥。”吴芳叫道。
我笑着说：“小宇这些天可是想你想得睡不着觉啊。”
吴芳开心地笑着说：“他恐怕是在想他的数学吧？”
小宇忙说：“数学要想，老婆也得想。”
我们说笑着去取行李。吴芳牵着小宇的手，两人显得很亲密。看来小宇这小子虽然一门
心思扑在数学上，福气到也不错。他这老婆看起来又漂亮又贤惠。
“今天坐飞机可吓死我了，”等行李的时候，吴芳说。
“怎么啦？”小宇关心地问。
“我们的飞机在太平洋上的时候忽然所有的仪器都失灵了。”
“怎么会发生这种事呢？”小宇急问。“是什么原因？”
“怪就怪在，连驾驶员都不知道是什么原因。好在时间不长。事后飞机上的广播说，他
们从来都没有遇到过这种事。有的乘客还说，是不是遇到飞碟了。不过没有谁看到什么
飞碟。”
“是什么时间？”我问。
“大概是七八个小时前吧。”吴芳答道。
七八个小时前大概是下午三四点钟。小宇听到吴芳的话，脸色变了一下。我问：“怎么
啦？”
小宇说：“没什么。我的0.27到0.73的临界带大约是在这个时候作出来的。”
“哈哈，真巧了。看起来好像是你的数学发现影响到吴芳的飞机啦。”我笑着说。
“这不过是碰巧而已。”小宇笑了笑，有点不自然。我们拿到行李，说说笑笑地往我的
车走去。
送他们回公寓后，我回到家。老婆和孩子们都已经睡了。我习惯性地打开电脑，浏览新
闻。忽然，有一条新闻像磁铁一样吸住了我的目光：
全世界飞机仪表同时失灵。
新闻说，在今天美国东部时间下午三点四十分左右，全世界所有飞机的仪表忽然神秘地
失灵了一分五十秒。好在时间不长，没有造成什么重大损失。南非和俄罗斯各有一架飞
机冲出了跑道。仪表失灵的原因不明。有科学家认为，这也许是太阳磁场变化造成的结
果云云。
看到这里，我觉得身上一阵发凉。没准这事还真地跟小宇的研究有什么关系呢。
（接下楼）
