[合集] 数学牛仁真多，我问个小问题。# WaterWorld - 未名水世界
t*n
1 楼
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:11:00 2013, 美东) 提到:
π+e 是无理数吗？
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:12:16 2013, 美东) 提到:
这个题好。
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:14:04 2013, 美东) 提到:
简洁明快吧。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:14:40 2013, 美东) 提到:
而且我真的不知道。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:16:04 2013, 美东) 提到:
貌似pi+e和pi*e中最多有一个可以有理
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:16:39 2013, 美东) 提到:
极端无理
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:18:38 2013, 美东) 提到:
他们个别都是无理的，但无理+无理有可能成为有理。但这个pi和e我觉得加起来还是无
理，因为他们两个没有亲戚关系，没道理在一起就有理了。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:18:47 2013, 美东) 提到:
for real？
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:20:03 2013, 美东) 提到:
你没看清楚我说的。pi和e本身没啥好讨论的。我说的是和和积里面最多有一个有理。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:21:29 2013, 美东) 提到:
貌似你觉得的还不是普遍公理…… still an open question额
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pkpkpk123456 (esperado) 于 (Fri May 24 13:21:47 2013, 美东) 提到:
亲戚关系指的是什么？
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:22:17 2013, 美东) 提到:
给我证一下呗？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:22:30 2013, 美东) 提到:
这句话没错，不过我认为和和积都无理。我说认为，因为我还没有证明之。
当然我还不知道你如何得出和和积最多只有一个有理这个结论的。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:22:42 2013, 美东) 提到:
无理,但不知道是不是超越
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:23:42 2013, 美东) 提到:
呵呵，就是有联系啊。没亲戚关系就是没联系。比如pi和2-pi，虽然都是无理数，但是
有亲戚关系。pi和1/pi也是。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:24:22 2013, 美东) 提到:
貌似要用到trancendental…… 这词中文是啥意思？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:27:20 2013, 美东) 提到:
啥叫超越?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:28:22 2013, 美东) 提到:
我错了,是open
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:28:42 2013, 美东) 提到:
哦，就是超越的意思哈。不过我还是不知道超越啥意思。
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:30:30 2013, 美东) 提到:
要证明pi+e是无理数恐怕不是那么straightforward
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:30:50 2013, 美东) 提到:
一个相关的猜想如下:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schanuel's_conjecture
这问题我不懂.
我猜应该是无理数.
如果是有理数, 那意味着 pi 和 e 代数相关 (而且还他妈是一次幂), 你相信 Q(e)和
Q(pi) 是同一个东西吗? 我觉得不太可能.
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:31:55 2013, 美东) 提到:
目测只能证和和积最多有一个有理。要用到e和pi是超越。我作弊了，狗来的。
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pkpkpk123456 (esperado) 于 (Fri May 24 13:32:52 2013, 美东) 提到:
欧拉公式算不算是e和pi之间的联系？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:33:15 2013, 美东) 提到:
作为民科表示仍不明白
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:33:50 2013, 美东) 提到:
算,但是有无穷多项
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scherbenmeer (我是德吹) 于 (Fri May 24 13:34:34 2013, 美东) 提到:
The information you are talking about comes from Wolfram MathWorld. This is
a trusted site and is a great resource for Mathematics. I read it alot and
find it helpful.
This is the whole quote from the article:
"It is not known if pi+e, pi/e, or ln pi are irrational. However, it is
known that they cannot satisfy any polynomial equation of degree <=8 with
integer coefficients of average size 10^9"
Another quote is:
"At least one of pi×e and pi+e (and probably both) are transcendental, but
transcendence has not been proven for either number on its own. It is not
known if e^e, pi^pi, pi^e, gamma (the Euler-Mascheroni constant), I_0(2), or
I_1(2) (where I_n(x) is a modified Bessel function of the first kind) are
transcendental. "
For π+e to be a rational number, it would need to be expressable as a/b
where a and b are integers. Therefore π=a/b - e would need to be true. As
would e = a/b - π. You would need to prove that π and e are algebraically
independent to prove that π+e is irrational.
The irrational part has to cancel out for the sum to be rational.
Source(s):
Weisstein, Eric W. "Pi." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Pi.html
Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 13:35:02 2013, 美东) 提到:
因为pi和e都是transcendental。简单点说就是pi^2和e^2都也是无理数。
假如pi+e有理，那pi-e=(pi+e)-2e是一个transcendental。
=> (pi+e)^2有理，(pi-e)^2无理，
=> (pi+e)^2-(pi-e)^2=4pi*e无理。
=> pi*e没理
所以pi+e和pi*e没法都有理
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:35:09 2013, 美东) 提到:
没人能证明这类数是有理数还是无理数
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:35:31 2013, 美东) 提到:
算，我错了
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:35:51 2013, 美东) 提到:
貌似e*pi和e^(pi^2)中至少有一个超越。
is
but
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:41:22 2013, 美东) 提到:
进这屋的民科少多了，真好。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:41:27 2013, 美东) 提到:
等价的(放狗抄的) 设A=pi*e, B=pi+e
(x-pi)(x-e)=x^2-Ax+B, pi e是方程x^2-Ax+B=0的两根
如果A和B都有理,那么这个方程是有理系数二次方程,于是由定义pi 和 e是代数数
但是已经证明 这两数都是超越数,所以A和B不能同时有理
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:43:15 2013, 美东) 提到:
………
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:44:22 2013, 美东) 提到:
嗯，这个证明也不难。
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IdlerLestat (Shrike) 于 (Fri May 24 13:45:38 2013, 美东) 提到:
别说有理还是无理了，人们甚至不知道pi^(pi^(pi^pi))是不是一个整数
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:46:00 2013, 美东) 提到:
哈哈。我也看到了。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:47:10 2013, 美东) 提到:
e^pi咋整？
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IdlerLestat (Shrike) 于 (Fri May 24 13:49:48 2013, 美东) 提到:
这个还是能判断出来不是整数的
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:52:50 2013, 美东) 提到:
恩
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:02:27 2013, 美东) 提到:
数学家还是有很多事情可以做的。有没有实用价值另说哈
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:04:35 2013, 美东) 提到:
能做的成数学家的一定很有水平，数学是一切理科的根本。
其他的人就不说了。
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drawnnow (11) 于 (Fri May 24 15:10:27 2013, 美东) 提到:
欧拉公式
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htd (孩儿她爹) 于 (Fri May 24 16:09:48 2013, 美东) 提到:
证明
http://mathforum.org/library/drmath/view/51617.html
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 16:27:09 2013, 美东) 提到:
哈，我们偷看的是同一个页面诶。
sate (blah) 于 (Fri May 24 13:11:00 2013, 美东) 提到:
π+e 是无理数吗？
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:12:16 2013, 美东) 提到:
这个题好。
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:14:04 2013, 美东) 提到:
简洁明快吧。
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:14:40 2013, 美东) 提到:
而且我真的不知道。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:16:04 2013, 美东) 提到:
貌似pi+e和pi*e中最多有一个可以有理
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:16:39 2013, 美东) 提到:
极端无理
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:18:38 2013, 美东) 提到:
他们个别都是无理的，但无理+无理有可能成为有理。但这个pi和e我觉得加起来还是无
理，因为他们两个没有亲戚关系，没道理在一起就有理了。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:18:47 2013, 美东) 提到:
for real？
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:20:03 2013, 美东) 提到:
你没看清楚我说的。pi和e本身没啥好讨论的。我说的是和和积里面最多有一个有理。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:21:29 2013, 美东) 提到:
貌似你觉得的还不是普遍公理…… still an open question额
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pkpkpk123456 (esperado) 于 (Fri May 24 13:21:47 2013, 美东) 提到:
亲戚关系指的是什么？
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:22:17 2013, 美东) 提到:
给我证一下呗？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:22:30 2013, 美东) 提到:
这句话没错，不过我认为和和积都无理。我说认为，因为我还没有证明之。
当然我还不知道你如何得出和和积最多只有一个有理这个结论的。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:22:42 2013, 美东) 提到:
无理,但不知道是不是超越
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:23:42 2013, 美东) 提到:
呵呵，就是有联系啊。没亲戚关系就是没联系。比如pi和2-pi，虽然都是无理数，但是
有亲戚关系。pi和1/pi也是。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:24:22 2013, 美东) 提到:
貌似要用到trancendental…… 这词中文是啥意思？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:27:20 2013, 美东) 提到:
啥叫超越?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:28:22 2013, 美东) 提到:
我错了,是open
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:28:42 2013, 美东) 提到:
哦，就是超越的意思哈。不过我还是不知道超越啥意思。
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:30:30 2013, 美东) 提到:
要证明pi+e是无理数恐怕不是那么straightforward
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:30:50 2013, 美东) 提到:
一个相关的猜想如下:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schanuel's_conjecture
这问题我不懂.
我猜应该是无理数.
如果是有理数, 那意味着 pi 和 e 代数相关 (而且还他妈是一次幂), 你相信 Q(e)和
Q(pi) 是同一个东西吗? 我觉得不太可能.
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:31:55 2013, 美东) 提到:
目测只能证和和积最多有一个有理。要用到e和pi是超越。我作弊了，狗来的。
☆─────────────────────────────────────☆
pkpkpk123456 (esperado) 于 (Fri May 24 13:32:52 2013, 美东) 提到:
欧拉公式算不算是e和pi之间的联系？
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:33:15 2013, 美东) 提到:
作为民科表示仍不明白
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:33:50 2013, 美东) 提到:
算,但是有无穷多项
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scherbenmeer (我是德吹) 于 (Fri May 24 13:34:34 2013, 美东) 提到:
The information you are talking about comes from Wolfram MathWorld. This is
a trusted site and is a great resource for Mathematics. I read it alot and
find it helpful.
This is the whole quote from the article:
"It is not known if pi+e, pi/e, or ln pi are irrational. However, it is
known that they cannot satisfy any polynomial equation of degree <=8 with
integer coefficients of average size 10^9"
Another quote is:
"At least one of pi×e and pi+e (and probably both) are transcendental, but
transcendence has not been proven for either number on its own. It is not
known if e^e, pi^pi, pi^e, gamma (the Euler-Mascheroni constant), I_0(2), or
I_1(2) (where I_n(x) is a modified Bessel function of the first kind) are
transcendental. "
For π+e to be a rational number, it would need to be expressable as a/b
where a and b are integers. Therefore π=a/b - e would need to be true. As
would e = a/b - π. You would need to prove that π and e are algebraically
independent to prove that π+e is irrational.
The irrational part has to cancel out for the sum to be rational.
Source(s):
Weisstein, Eric W. "Pi." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Pi.html
Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 13:35:02 2013, 美东) 提到:
因为pi和e都是transcendental。简单点说就是pi^2和e^2都也是无理数。
假如pi+e有理，那pi-e=(pi+e)-2e是一个transcendental。
=> (pi+e)^2有理，(pi-e)^2无理，
=> (pi+e)^2-(pi-e)^2=4pi*e无理。
=> pi*e没理
所以pi+e和pi*e没法都有理
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:35:09 2013, 美东) 提到:
没人能证明这类数是有理数还是无理数
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:35:31 2013, 美东) 提到:
算，我错了
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:35:51 2013, 美东) 提到:
貌似e*pi和e^(pi^2)中至少有一个超越。
is
but
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sate (blah) 于 (Fri May 24 13:41:22 2013, 美东) 提到:
进这屋的民科少多了，真好。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 13:41:27 2013, 美东) 提到:
等价的(放狗抄的) 设A=pi*e, B=pi+e
(x-pi)(x-e)=x^2-Ax+B, pi e是方程x^2-Ax+B=0的两根
如果A和B都有理,那么这个方程是有理系数二次方程,于是由定义pi 和 e是代数数
但是已经证明 这两数都是超越数,所以A和B不能同时有理
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:43:15 2013, 美东) 提到:
………
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 13:44:22 2013, 美东) 提到:
嗯，这个证明也不难。
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IdlerLestat (Shrike) 于 (Fri May 24 13:45:38 2013, 美东) 提到:
别说有理还是无理了，人们甚至不知道pi^(pi^(pi^pi))是不是一个整数
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:46:00 2013, 美东) 提到:
哈哈。我也看到了。
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:47:10 2013, 美东) 提到:
e^pi咋整？
☆─────────────────────────────────────☆
IdlerLestat (Shrike) 于 (Fri May 24 13:49:48 2013, 美东) 提到:
这个还是能判断出来不是整数的
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:52:50 2013, 美东) 提到:
恩
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:02:27 2013, 美东) 提到:
数学家还是有很多事情可以做的。有没有实用价值另说哈
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:04:35 2013, 美东) 提到:
能做的成数学家的一定很有水平，数学是一切理科的根本。
其他的人就不说了。
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drawnnow (11) 于 (Fri May 24 15:10:27 2013, 美东) 提到:
欧拉公式
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htd (孩儿她爹) 于 (Fri May 24 16:09:48 2013, 美东) 提到:
证明
http://mathforum.org/library/drmath/view/51617.html
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 16:27:09 2013, 美东) 提到:
哈，我们偷看的是同一个页面诶。