一个并不复杂的已知导数求原函数的问题 [包子答谢]# WaterWorld - 未名水世界b*w2010-07-26 07:071 楼已知:x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)求x(t)第一个解答出来的,双黄包答谢。。。
b*w2010-07-26 07:075 楼谢谢唐骏博士。分解后,最后 x(t)等于多少啊?【在 t**********i 的大作中提到】: 分开求解,第一项是e^(-at),第二项直接积分就可,是(a/b)*e^(bt)
t*i2010-07-26 07:076 楼这个。。。。在我唐博士看来,把我唐博士写的两项加起来便可。我唐博士在加州理工学的微积分,应该还是过硬的。【在 b*w 的大作中提到】: 谢谢唐骏博士。分解后,最后 x(t)等于多少啊?
S*w2010-07-26 07:077 楼这是一个常微分方程,而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t),则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t),C为任意常数【在 b*w 的大作中提到】: 已知:x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t): 求x(t): 第一个解答出来的,双黄包答谢。。。
b*w2010-07-26 07:079 楼厉害。。。。我说我怎么用简单的已知导数求原函数怎么也凑不出来呢(b/(【在 S******w 的大作中提到】: 这是一个常微分方程,而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t),则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t),C为任意常数
t*i2010-07-26 07:0710 楼小英雄,我唐博士把你的求解代入原函数去验算了一下,貌似不太对啊。当然了,唐博士投身企业经营时间太久,学业有所荒疏,算错也是有可能地。(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-【在 S******w 的大作中提到】: 这是一个常微分方程,而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t),则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t),C为任意常数
b*w2010-07-26 07:0711 楼取C=1,带回去验证一下,小英雄的结果好像是对的【在 t**********i 的大作中提到】: 小英雄,我唐博士把你的求解代入原函数去验算了一下,貌似不太对啊。: 当然了,唐博士投身企业经营时间太久,学业有所荒疏,算错也是有可能地。: : (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
k*n2010-07-26 07:0712 楼两边Laplace变换Xs=-aX+a*1/(s-b)X(s+a)=a/(s-b)X=a/(s+a)(s-b)=[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)==>x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)【在 b*w 的大作中提到】: 已知:x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t): 求x(t): 第一个解答出来的,双黄包答谢。。。
t*i2010-07-26 07:0713 楼此法甚妙,唐博士竟然忘了拉屎变换了【在 k****n 的大作中提到】: 两边Laplace变换: Xs=-aX+a*1/(s-b): X(s+a)=a/(s-b): X=a/(s+a)(s-b): =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b): ==>: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
b*w2010-07-26 07:0714 楼方法巧妙。。。佩服【在 k****n 的大作中提到】: 两边Laplace变换: Xs=-aX+a*1/(s-b): X(s+a)=a/(s-b): X=a/(s+a)(s-b): =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b): ==>: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
k*n2010-07-26 07:0715 楼我的答案的正确答案其他人不敢保证代入后:左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b)=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b)=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边【在 b*w 的大作中提到】: 方法巧妙。。。佩服
b*w2010-07-26 07:0716 楼连验算都替我做了,万分感谢!【在 k****n 的大作中提到】: 我的答案的正确答案: 其他人不敢保证: 代入后:: 左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b): 右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b): =[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b): =[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边
a*n2010-07-26 07:0717 楼如果你要用大一的知识做,那么等式两侧乘上e^(at),你会发现含有这个等式和(x(t)*e^(at))' 有关系。然后就可以用简单的积分关系做了【在 b*w 的大作中提到】: 已知:x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t): 求x(t): 第一个解答出来的,双黄包答谢。。。
r*d2010-07-26 07:0718 楼我觉得这个是对的.对LAPLACE不太熟, 但似乎结果少了一个常数???(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-【在 S******w 的大作中提到】: 这是一个常微分方程,而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t),则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t),C为任意常数
r*d2010-07-26 07:0719 楼知道了, 你第一步作变化时, 因为不知道初始值, 所以应该是sX - X(0)= -aX+a*1/(s-b)...这样常数项就出来了.【在 k****n 的大作中提到】: 两边Laplace变换: Xs=-aX+a*1/(s-b): X(s+a)=a/(s-b): X=a/(s+a)(s-b): =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b): ==>: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
b*w2010-07-26 07:0720 楼那上面的结果是正确的?(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-【在 S******w 的大作中提到】: 这是一个常微分方程,而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t),则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t),C为任意常数
k*n2010-07-26 07:0721 楼怀疑你是文科生或者经济系的直接带入不就行了吗这条公式看上去也像经济的【在 b*w 的大作中提到】: 那上面的结果是正确的?: : (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
b*w2010-07-26 07:0722 楼double check, double check,呵呵【在 k****n 的大作中提到】: 怀疑你是文科生或者经济系的: 直接带入不就行了吗: 这条公式看上去也像经济的
w*d2010-07-26 07:0723 楼这是学电工的人的解法嘛哈哈【在 k****n 的大作中提到】: 两边Laplace变换: Xs=-aX+a*1/(s-b): X(s+a)=a/(s-b): X=a/(s+a)(s-b): =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b): ==>: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
l*t2010-07-26 07:0724 楼mathematic 5.0 -_-bIn[4]:=DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]Out[4]=a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}
b*w2010-07-26 07:0729 楼嗯,mathematic够强大,决定给它发包子。。。【在 l********t 的大作中提到】: mathematic 5.0 -_-b: In[4]:=: DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]: Out[4]=: a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}