一特征值问题# Computation - 科学计算
g*i
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设有函数H(x,y),x=x1,x2,...,xn y=y1,y2,...,yn
H的hessen阵（二阶导数阵,2n*2n维）设为
[ a b
c d]
a、b、c、d 都是n×n的方阵，且显然有a、d 是对称阵，c=b'，
先假定a＝d＝－b，并且a是正定的～现在小小地改变一下H（摄动），
假设这种改动不改变b的特征根实部全小于0的事实，
根据H现在得到一个新的矩阵E～
[inv(b)*a -inv(b)
d*inv(b)*a-c d*inv(b)]
我需要考察这个矩阵的特征根～经过简单精算～它的特征根x满足
det|（x^2）*b + x*(a+d) + c| = 0
我不知道如何处理这样的方程～先把肯定的结论告诉你～
1 首先矩阵E是辛矩阵（symplectic），辛阵的特征根有共轭和互为倒数两种情形～x，
1/x,x的共轭，1/(x的共轭)～当x落在复平面的圆周上时～x的共轭就和1/x重合了～换言
之～辛阵的特征根要么四个一组分在圆周内外～要么两个一组落在单位圆周上～
2 在未摄动系统中，也就是a=d=-b且为对称
设有函数H(x,y),x=x1,x2,...,xn y=y1,y2,...,yn
H的hessen阵（二阶导数阵,2n*2n维）设为
[ a b
c d]
a、b、c、d 都是n×n的方阵，且显然有a、d 是对称阵，c=b'，
先假定a＝d＝－b，并且a是正定的～现在小小地改变一下H（摄动），
假设这种改动不改变b的特征根实部全小于0的事实，
根据H现在得到一个新的矩阵E～
[inv(b)*a -inv(b)
d*inv(b)*a-c d*inv(b)]
我需要考察这个矩阵的特征根～经过简单精算～它的特征根x满足
det|（x^2）*b + x*(a+d) + c| = 0
我不知道如何处理这样的方程～先把肯定的结论告诉你～
1 首先矩阵E是辛矩阵（symplectic），辛阵的特征根有共轭和互为倒数两种情形～x，
1/x,x的共轭，1/(x的共轭)～当x落在复平面的圆周上时～x的共轭就和1/x重合了～换言
之～辛阵的特征根要么四个一组分在圆周内外～要么两个一组落在单位圆周上～
2 在未摄动系统中，也就是a=d=-b且为对称