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问个矩阵问题，谢谢

问个矩阵问题，谢谢# EE - 电子工程

l*f2008-04-24 07:04

1 楼

假如 A, B are both n-by-n matrix. And B > A > 0. Furthermore, A and B are
both symmetric and non-singular.
inverse( A ) > inverse( B ) is established or not?
非常感谢！

N*D2008-04-24 07:04

2 楼

what is the def of ">"?

【在 l******f 的大作中提到】

: 假如 A, B are both n-by-n matrix. And B > A > 0. Furthermore, A and B are
: both symmetric and non-singular.
: inverse( A ) > inverse( B ) is established or not?
: 非常感谢！

l*f2008-04-24 07:04

3 楼

positive definite

【在 N**D 的大作中提到】

: what is the def of ">"?

r*f2008-04-24 07:04

4 楼

yes

【在 l******f 的大作中提到】

: 假如 A, B are both n-by-n matrix. And B > A > 0. Furthermore, A and B are
: both symmetric and non-singular.
: inverse( A ) > inverse( B ) is established or not?
: 非常感谢！

l*f2008-04-24 07:04

5 楼

do you know how to formally prove it?
Thanks

【在 r*****f 的大作中提到】

: yes

r*f2008-04-24 07:04

6 楼

我的方法有点笨，
A可以分解成A^{1/2}A^{1/2},B也是
A>B可以从定义推到I>A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}
由于I可以写成UU^H，其中U是A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}的eigenmatrix
那么我们推到A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}所有的eigenvalue都是小于1的
由于B^{1/2}A^{-1/2}A^{-1/2}B^{1/2}和A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}有同样的
eigenvalue，那么B^{1/2}A^{-1/2}A^{-1/2}B^{1/2}再一次根据定义，得到A^{-1}
【在 l******f 的大作中提到】

: do you know how to formally prove it?
: Thanks

l*f2008-04-24 07:04

7 楼

非常感谢

【在 r*****f 的大作中提到】

: 我的方法有点笨，
: A可以分解成A^{1/2}A^{1/2},B也是
: A>B可以从定义推到I>A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}
: 由于I可以写成UU^H，其中U是A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}的eigenmatrix
: 那么我们推到A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}所有的eigenvalue都是小于1的
: 由于B^{1/2}A^{-1/2}A^{-1/2}B^{1/2}和A^{-1/2}B^{1/2}B^{1/2}A^{-1/2}有同样的
: eigenvalue，那么B^{1/2}A^{-1/2}A^{-1/2}B^{1/2}: 再一次根据定义，得到A^{-1}