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小学奥数题来看看

小学奥数题来看看# Joke - 肚皮舞运动

x*p2018-09-02 07:09

1 楼

a 2x2x2 cube is to be constructed using 4 white and 4 black units, how many
different cubes can be constructed in this way?
Two cubes are the same, if one can be obtained by rotating the other.

H*g2018-09-02 07:09

2 楼

6

many

【在 x**p 的大作中提到】

: a 2x2x2 cube is to be constructed using 4 white and 4 black units, how many
: different cubes can be constructed in this way?
: Two cubes are the same, if one can be obtained by rotating the other.

l*s2018-09-02 07:09

3 楼

7

6

【在 H********g 的大作中提到】

: 6
:
: many

x*p2018-09-02 07:09

4 楼

大概讲讲思路吧。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 7
:
: 6

s*u2018-09-02 07:09

5 楼

l*s2018-09-02 07:09

6 楼

第一类，4个黑的在同一层， 1种
第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种

【在 x**p 的大作中提到】

: 大概讲讲思路吧。

g*a2018-09-02 07:09

7 楼

三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
所以答案应该是5。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 第一类，4个黑的在同一层， 1种
: 第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
: 第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种

l*s2018-09-02 07:09

8 楼

1 0
0 0
1 1
1 0
和
0 0
0 1
1 1
1 0
怎么能一样呢？

【在 g**a 的大作中提到】

: 三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
: 所以答案应该是5。

g*a2018-09-02 07:09

9 楼

旋转180度？

【在 l*******s 的大作中提到】

: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？

l*s2018-09-02 07:09

10 楼

不是魔方吧？
要转一起转。

【在 g**a 的大作中提到】

: 旋转180度？

H*g2018-09-02 07:09

11 楼

3黑一层应该是4种其中两个手性异构另两个完全不同不能通过旋转互变

【在 g**a 的大作中提到】

: 三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
: 所以答案应该是5。

l*s2018-09-02 07:09

12 楼

是的，我前面列了两种，
其中一个是上层黑块跟下层3个黑块中中间的在一起，也就是从3个面看都有3个黑块在
一起。
另一个上层的黑块在下层唯一白块上面。
剩下的两种如下，
0 1
0 0
1 1
1 0
和
0 0
1 0
1 1
1 0
这两个上层的黑块都在下层黑块的非中间块上面，但这两种直接也不旋转等效。

【在 H********g 的大作中提到】

: 3黑一层应该是4种其中两个手性异构另两个完全不同不能通过旋转互变

h*32018-09-02 07:09

13 楼

感觉这个是跟group有关，可是不会做:(

l*s2018-09-02 07:09

14 楼

第一种，3个表面3黑，
第二种，1个表面3黑，
第3，4种，两个表面3黑。
这样很容易证明，有3种不同的一层3黑。
唯一比较难说明的是3，4两种，怎么证明这两的旋转不等价。
但自己好好想想，也能想明白。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 是的，我前面列了两种，
: 其中一个是上层黑块跟下层3个黑块中中间的在一起，也就是从3个面看都有3个黑块在
: 一起。
: 另一个上层的黑块在下层唯一白块上面。
: 剩下的两种如下，
: 0 1
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和

l*s2018-09-02 07:09

15 楼

如果让我给小学生讲为什么后两种两个表面3黑的不等价，我会用一下方法。
这两种情况都有两个面有三黑，
把其中的一个有3黑的面朝下，然后旋转到东南方向是白块，记录这时候上层的黑块的
位置。
要么是东北，要么是西南。
然后把同一个cube的另一个3黑的面超下，然后旋转到东南方向是白块，看看上层黑块
的位置是否跟前面记录的一样。
现在观察的结果是一样，原来上层黑块在东北的，现在还会在东北。
原来在西南的现在还会在西南。
这就说明存在两种不同结构，互相不旋转等价。
不知道有没有人有更好的解释方法？

【在 l*******s 的大作中提到】

: 第一种，3个表面3黑，
: 第二种，1个表面3黑，
: 第3，4种，两个表面3黑。
: 这样很容易证明，有3种不同的一层3黑。
: 唯一比较难说明的是3，4两种，怎么证明这两的旋转不等价。
: 但自己好好想想，也能想明白。

x*p2018-09-02 07:09

16 楼

我试图算8个cube，随机取4个。一共是70钟不同的组合。问题是没办法算旋转带来的重
合。

l*s2018-09-02 07:09

17 楼

我稍微修改了6楼的说法，你看看能理解吗？

【在 x**p 的大作中提到】

: 我试图算8个cube，随机取4个。一共是70钟不同的组合。问题是没办法算旋转带来的重
: 合。

h*32018-09-02 07:09

18 楼

查了一下，觉得应该跟Burnside's Lemma有关

x*p2018-09-02 07:09

19 楼

谢谢。我解题的思路跟你是完全一样的。但是没办法跟小学生讲透彻，毕竟是凑凑出来
的。想看看大伙是不是有更简单的办法。这是五六年级的题。直觉上觉得应该有更简单
更容易理解的方法，不过用排列组合的方法也没走通。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我稍微修改了6楼的说法，你看看能理解吗？

gw2018-09-02 07:09

20 楼

第二个旋转90度是不是变成每层两个的情况了？

【在 l*******s 的大作中提到】

: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？

l*s2018-09-02 07:09

21 楼

不会，只要有一层出现3个，就排出在第三类之外。

：第二个旋转90度是不是变成每层两个的情况了？
：

l*s2018-09-02 07:09

22 楼

这也不算凑出来的。
很有规律的穷举。
唯一困难一点的是第二类后两个是否会并成一种。

：谢谢。我解题的思路跟你是完全一样的。但是没办法跟小学生讲透彻，毕竟是凑凑出
来的。想看看大伙是不是有更简单的办法。这是五六年级的题。直觉上觉得应该有更简
单更容易理解的方法，不过用排列组合的方法也没走通。
：

a*e2018-09-02 07:09

23 楼

你这个从侧面看和某个俩黑会不会重了？

★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4

【在 l*******s 的大作中提到】

: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？

l*s2018-09-02 07:09

24 楼

第一类，4个黑的在同一层， 1种
第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
这3类中任何一个case都不会跟其他类的case重复。

【在 a***e 的大作中提到】

: 你这个从侧面看和某个俩黑会不会重了？
:
: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4

l*s2018-09-02 07:09

25 楼

第三类的case我没有列举，因为没有人质疑。
现在给出来，让大家检查
case 3.1
1 1
0 0
0 0
1 1
case 3.2
1 0
0 1
0 1
1 0
第二类
case 2.1
1 1
1 0
1 0
0 0
case 2.2
1 1
1 0
0 0
0 1
case 2.3
1 1
1 0
0 1
0 0
case 2.4
1 1
1 0
0 0
1 0
第一类
case 1.1
1 1
1 1
0 0
0 0

【在 l*******s 的大作中提到】

: 第一类，4个黑的在同一层， 1种
: 第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
: 第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
: 这3类中任何一个case都不会跟其他类的case重复。