读史有感（毕达哥拉斯和欧几里得）# LeisureTime - 读书听歌看电影
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读史有感（毕达哥拉斯和欧几里得）
一般认为，数学是从古希腊的毕达哥拉斯开始的。他经说过一句名言：万物皆数。我们
可以这样来理解这句话，我们所感知的东西说到底都是数，数是神的体现。《维基百科
》说：“即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的
，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学
及神学思想。”这就是柏拉图理念论的来源。
现在有了科学，我们就有了一个极好的例子，拿颜色来说，我们归根到底只能说红光的
波长是多少埃，因为色盲是不能感知红色的。这个世界五花八门，色彩缤纷，但说到底
都不过是数，或者说最根本的就是数。
还可以这样想，要知道一个东西有多重要的最好办法就是去想没有了它是何光景，而我
们甚至不能想象一个没有数的世界。比如说，我们能想象一个外星智慧生物没有手脚，
甚至没有脑袋，控制系统是分布式的。但是，我们不可能想象那个世界里没有数。从广
义地说，任何事情只能发生在时间，空间里，而没有了数，我们就无法量度时间，空间
，它们就意思不大。
有一个颇有些像武打小说里的传说，毕达哥拉斯是教主，不过那一帮人不练武功，而是
研究数学，那是因为他们认为数是万物之根本，当然，把这个弄明白这个世界就没有疑
问了。并且他们很聪明，又很用功，历史上像这样的人是没有幸运的，结果就是发现了
无理数。他们大为震惊，彼此发下毒誓，谁泄露出去就要被处死。就像我们经常在小说
里看到的，誓言就是为了违背而存在的，就是有人不怕死，而且糟就糟在他们不练武功
，追杀就不在行，于是大家都知道了无理数这个秘籍。
为什么他们发下毒誓，道理非常简单，无理数是不能光用数字就能完整地表达出来的，
这样一来，万物皆数这个宗旨可就有危险了，如果有的东西连说都说不出来，数怎么能
够是宗旨，有点像要自宫。
这一棒子打得非常重，有人把这称为第一次数学危机。就我个人看法，这是数学史上最
重的一闷棍，人们一直昏了二千多年，到康托尔才能清醒过来，从集合论找到了突破口
，第一次给出了实数的定义，从而根本改变了数学的面貌。
这实在有些令人费解，其间天才的数学家不算少，为什么没有人能解决这个不论在理论
，还是在应用上都是绝对重要的问题，是做不到，还是不想做，我也不知道。
总的说来，毕达哥拉斯的数具有宗教的含义，所以说罗素认为，从一开始，西方数学和
哲学就走了一条错误的道路，其错误是双重的。从大的方面来说，可感知的东西都有缺
陷必然导致思想之上，这个世界是可能，而且只有通过思想来理解。既然感知的东西都
靠不住，那么科学就没有了可能，因为科学是依赖于实验的。从另一方面，因为数的基
础是逻辑，说万物皆逻辑要合理地多。比如在计算机中，加减乘除是转换成逻辑运算来
完成，反过来是不行的。
罗素这种说法从今天的计算机很容易理解，计算机的硬件主要是由物理学家的工作奠定
的基础，而物理学是要动手的，建立在实验之上的，只有思想，永远不能有今天的物理
学，也就没有大规模集成电路，今天的计算机就没有了可能。同样，计算机软件的基础
是数理逻辑，不是数，不把逻辑看成是一个更基本的东西，也没有今天的计算机科学。
这里可以看出一个重要的事实，人类总是从错误开始的。天文学是从占星术开始的，化
学则起初与炼金术，炼丹术有关，物理学的起点更是一大堆乱七八糟的迷信。那种设想
我们能找到一个正确指导思想就能解决一切问题，不过是一种幻想，得不到历史的支持。
数学的真正奠基人是古希腊的欧几里得，他所建立的平面几何今天还在中学课本里。从
一些基本假设（公理）出发，用逻辑建立一个系统，至今仍然是所有数学的基本模式。
“欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成
员。欧几里得写过一本书，书名为《几何原本》（Elements）共有13卷。这一著作对于
几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何
原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题，例如著名的
欧几里得引理和求最大公因數的欧几里得算法。欧几里得使用了公理化的方法。公理（
Axioms） 就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎
推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成
了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。
《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起
来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统咚阒校辜负窝С晌幻哦懒⒌摹⒀菀锏目蒲
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大概地说来，科学的结构也与数学类似，从基本的定律出发，从逻
辑推到结论。所以说，要说对人类的影响深远，欧几里得可能要算第一。但是，欧几里
得是一个非常模糊的人，“今日關於欧几里得的生平，我們知道的很少，而大部份關於
欧几里得的資料都是來自普洛克努斯及帕普斯的評論。欧几里得生前活躍於亞歷山大圖
書館，而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在，我們都無法得知欧几里得的生卒
日期、地點和細節。直到現在，我們還沒有找到任何欧几里得在世時期所畫的畫像，所
以現存的欧几里得畫像都是出於畫家的想像。”《维基百科》
如果认为欧几里得才是真正建立了数学，把毕达哥拉斯发现无理数称为第一次数学危机
就有些毛病了，还没有数学怎么能谈危机。但不管怎么说，走出第一步总是最难的，而
且这个问题那么久才解决，由此导致了数学基础完全地重新定位。
其实认真分析一下就可以知道，毕达哥拉斯发现无理数归根到底使用的是逻辑，也就是
说，后人只不过是把逻辑，而不把数看成是最基本的东西。这样一来，问题就解决了，
说到底是人们转换了观念。
实际上毕达哥拉斯是一个更模糊人，有关史料都基本上是层层转述。我们确实能知道的
，无非是：大家都说是他发现了无理数。但由于这个问题非常重要，我们在谈数学史的
时候不能不提到他，不然就不能理解数学是怎么发展的，为什么维基百科会说：“当代
数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫•
;希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。””
就像我前面引用《维基百科》的那一句话，毕达哥拉斯深刻地影响了柏拉图，而柏拉图
又是西方哲学中最重要的人物，那么毕达哥拉斯在哲学上地位就不能被忽视。
如果我们认为欧几里得的模式代表了数学的话，中国历史上并没有数学，从来就不知道
有人从公理的角度来建立数学。拿无理数来说，中国人能计算π，但是却没有人认识到
什么是无理数，看不到有理数存在着间隙这个关键的东西。用数学的用语，有理数是间
断的，只有实数是连续的，而没有连续性就没有微积分，物理学就没有可能。
所以能这样理解，数学不简单的是一种智力的结果，不是聪明人就一定能发明的，而是
一种文明的传播。
什么叫文明的传播，再来举一例：有科学家发现在某一个岛屿上有几群猴子，以某种植
物的果实为生。但其中有群猴子很特别，知道把果实放到海水里去，沉下去的就敲开，
浮上来的就扔掉，不值得费力气。而其他的猴子还是傻乎乎把每一个都敲开。猴子不能
写一本历史书，科学家自然不知道是谁发明的，也许是聪明，也许是凑巧。但是，如果
把那一群的一只弄到别的猴群去，好家伙，马上它们就跟着干了，这就是文明的传播。
如果我们认为数学是公理化，形式化的东西，那是欧几里得的结果，中国历史上并没有
那种数学，别人也没有，只是西方文明的一个特殊产物，是文明传播的一个结果。其实
近代的科学，也是西方文明在唱主角，我们现在自然科学的课本中的东西，又有几个是
出自于中国人的贡献？
这是事实，不高兴也没有办法。
当然，我并不是说中国人不聪明，因为我也是中国人。至于为什么单单就是西方产生了
欧几里得，恐怕是与文明的类型，结构有关，我只能说这些类似于废话的东西，太复杂
了。
中国的文明是另一类文明，在某些方面要比西方强很多，我很高兴罗素也是这种看法，
他可说了不少好话。为了减少砖头，我也得十分公正地指出，西方文明其实完全是一个
大杂烩，比中国的文明要杂多了，地地道道是一个杂种，其中也无疑有中国的东西。我
也很高兴罗素也是这样看，或者说，我这个想法就是从他那里来的。
从中国历史我们可以看到，从隋唐到清朝，中国的变化不大，中央集权的独裁，小农经
济，读书人的前途是科举制度。近代中国的特征就是外面世界的冲击，中央之国的狂妄
自大在也不能继续下去了。资本主义也好，共产主义也罢，都是西方文明的产物。
如果没有外面世界的影响，今天我们也许一样是梳着辫子进京赶考。当然，也许换了一
个朝代，那就不梳辫子了吧。有一些所谓马克思主义的历史学家，认为中国迟早也会走
上资本主义的道路，但那是从某种类似于教条的理论中得到的，是政治结论，不是历史
事实。已经持续了一千多年的东西，凭什么说不会再有一个一千年。况且今天有很多人
说，宋朝的市场经济是远远超过清朝的，这是在退步。
总而言之，文明的传播对今天的世界实在是太重要了，人要是关起门来，就只能等死，
这一点从中国的历史中是看得最明白的。
