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数学家出的智力题 2

数学家出的智力题 2# Parenting - 为人父母

t*l2016-08-05 07:08

1 楼

如何把一只圆球切开然后胶合成两个跟原来的球一样大的圆球？
答案如下。。。我承认我看不懂 “我知道你知道他知道天外飞仙知道”。。。我只知
道在真实世界里找不到合适的刀干这活。
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox

t*l2016-08-05 07:08

2 楼

我刚才借鉴某人把数学理论联系实际的精神，用 “我知道你知道他知道天外飞仙知道
” 的那把菜刀，成功的把一只 Costco 大西瓜，切开并且重新拼成两只大西瓜，而且每
只西瓜跟原来的那只西瓜一样大！！Testable and verifiable!!
另外打听一下走火入魔这个词咋个拼法？

：如何把一只圆球切开然后胶合成两个跟原来的球一样大的圆球？

k*n2016-08-05 07:08

3 楼

好容易看到个矮的数学楼进来看一下，感觉解释的是抽刀断水水更流，这个哲学原理对
吗？

d*g2016-08-05 07:08

4 楼

潮水是说理论不能在现实中生套？

t*l2016-08-05 07:08

5 楼

我贴这个 Banach-Tarski paradox 的目的不是钻理论纯数的牛角尖。。。我贴
这个的目的是想想一下那个 “applicable” vs “for its own sake” 的分界线
到底咋个划分。
当然我发这个线程的也是顺便嘲笑旁边那个 “我知道你知道天外飞仙知道，所以
外国游客一句大家都知道，大家突然想不开统统报销” 的 (intuitively-wise)
absurdity。。。娘的我在那边线程白费口舌半天没用，气死我了。。。
既然那谁谁谁不是喜欢 absurdity 么？那我干脆在这里给一个 utterly absurd
and utterly visual 的 “Costco 大西瓜，切成五块，然后拼出来两只西瓜不算，
关键每只还跟原来的西瓜一样大一样重”。。。这不还 mathematically proved？
。。。这下那谁谁谁该怀疑人生了吧。这不仅是哥们昨天买了几只西瓜的问题。哥
们上次聚众烧烤吃了几串羊肉丸子，这可是胃会不会撑爆会不会去 ER 的现实的问
题啊。
隔壁楼那谁谁谁哥们不是喜欢 absurdity 么？。。。来来来，这里确保您感受一下
utterly absurd! utterly visually! but utterly mathematically proved!!
的 Costco 大西瓜。。。哼哼！！

【在 k**n 的大作中提到】

: 好容易看到个矮的数学楼进来看一下，感觉解释的是抽刀断水水更流，这个哲学原理对
: 吗？

t*l2016-08-05 07:08

6 楼

其实 arguably, mathematics is not derived from smartness, instead,
it is derived from absurdity。。。我拿 AMC10-level 的数学类比一下好
了，比如这个 AMC10-level 的 problem：
For equation "x^2 - 2*x + 2 = 0", find the product of 2 roots。
娃一看大喜，apply vieta's formula (product of root is equal to
constant term)，得 x1 * x2 = 2。
看着确实不错。。。但 common core 不是提倡一题多解么？。。。要么用
complete a square 算一下嘛。。。OMG，sqrt(-1)? Do you think that
is a number? That is ABSOLUTELY ABSURD!!
But what if we don't take sqrt(-1) as a number (tag it as NaN)?
In this way, we do avoid the nasty ABSOLUTELY ABSURD sqrt(-1).
But the problem is ... Our algebra system do not even agree with
itself? (In this case of two different solution path, both follow
algebraic rules, but give 2 different answer)... That will be
UTTERLY ABSURD!!!!
So between "ABSOLUTELY ABSURD" and "UTTERLY ABSURD", following
the principle of "less absurd means smart :-)", let's take sqrt(-1)
as a number, give a pretty word of "imaginary number"... But you
know, and I know, imaginary number in fact is "the absurd number
who made the algebra system less absurd".

【在 t******l 的大作中提到】

: 我贴这个 Banach-Tarski paradox 的目的不是钻理论纯数的牛角尖。。。我贴
: 这个的目的是想想一下那个 “applicable” vs “for its own sake” 的分界线
: 到底咋个划分。
: 当然我发这个线程的也是顺便嘲笑旁边那个 “我知道你知道天外飞仙知道，所以
: 外国游客一句大家都知道，大家突然想不开统统报销” 的 (intuitively-wise)
: absurdity。。。娘的我在那边线程白费口舌半天没用，气死我了。。。
: 既然那谁谁谁不是喜欢 absurdity 么？那我干脆在这里给一个 utterly absurd
: and utterly visual 的 “Costco 大西瓜，切成五块，然后拼出来两只西瓜不算，
: 关键每只还跟原来的西瓜一样大一样重”。。。这不还 mathematically proved？
: 。。。这下那谁谁谁该怀疑人生了吧。这不仅是哥们昨天买了几只西瓜的问题。哥

t*l2016-08-05 07:08

7 楼

然后第二天发生了另一件事儿。。。隔壁楼里一哥们，一听这个 imaginary
number 的主意不错嘛。。。伊前天有一道 AMC10 word geometry problem
没做出来，因为画的图上有个直角三角形斜边长为 3，一条直角边长为 5，
另一条直角边前天算不出来卡在那里。。。现在有 imaginary number 了
啊，所以那条直角边的长度为 4*sqrt(-1)，于是继续吭哧吭哧勤奋地往下
算。。。一直算出个结果还真的是个实数，但为啥 AMC10 的选择枝里没有
这个数，为此要跟我争半天。。。
我后来看了半天那哥们的草稿纸，不禁热泪盈眶的送了那哥们一张单程船票
。。。单程船票上的终点站一栏，印刷着四个醒目的大字：CalTech。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 其实 arguably, mathematics is not derived from smartness, instead,
: it is derived from absurdity。。。我拿 AMC10-level 的数学类比一下好
: 了，比如这个 AMC10-level 的 problem：
: For equation "x^2 - 2*x + 2 = 0", find the product of 2 roots。
: 娃一看大喜，apply vieta's formula (product of root is equal to
: constant term)，得 x1 * x2 = 2。
: 看着确实不错。。。但 common core 不是提倡一题多解么？。。。要么用
: complete a square 算一下嘛。。。OMG，sqrt(-1)? Do you think that
: is a number? That is ABSOLUTELY ABSURD!!
: But what if we don't take sqrt(-1) as a number (tag it as NaN)?

t*l2016-08-05 07:08

8 楼

我觉得实话实说，对于大部分人，也包括我自己，一辈子也不需要真正搞懂
Banach-Tarski paradox 和 Axiom of Choice。
对于大部分人，也包括我自己，所需要的，是老老实实把中学数学里面 “有理数/
无理数/实数/虚数/复数” 基础给搞搞明白，不要经常出现 “法兰西是培根”
就足够了。。。而对于 Banach-Tarski paradox，就当武侠泛读看看，跟中小
学数学内容类比一下，大致知道个意思就可以了。。。古人云：“光阴是用来虚度
的，不是用来纠结纯数问题的。”
而对于 Banach-Tarski paradox，如果跟中小学数学类比的话，也就是相当于
在 Euclidean geometry measurement 的时候，任何画出来的线段长度不能上
虚数，即使是中间过程。。。原因是即使中间过程里画出来的线段上虚数，也会
有 Euclidean geometric system don't agree with itself 而导致
absurdity 的实在而明确的风险。。。举个例子的风险比如直角三角形的直角
跑到另一个地方去了，导致欧几里德得的第四第五公理满屋子乱窜。
而类比到 Banach-Tarski paradox，也就是在 practical geometric
measurement 的时候，任何画出来的 shape 不能是 non-measurable set，
中间过程也不行。。。因为这会导致 geometric measurement system do not
agree with itself 而导致 absurdity 的实在风险，虽然 non-measurable
set 可以用 Axiom of Choice 来 proof。。。（漫画里说 I told you don't
take Axiom of Choice，是为了漫画效果。。。严格的说是 I told you
don't take non-measurable set which proved by Axiom of Choice）。

【在 k**n 的大作中提到】

: 好容易看到个矮的数学楼进来看一下，感觉解释的是抽刀断水水更流，这个哲学原理对
: 吗？

t*l2016-08-05 07:08

9 楼

如果我给上文的这个 “大部分人” 给量化一下的话：USAMO qualifies (National
Top 500 headcount) 之外的，基本就不需要太纠结了，当武侠泛读娱乐一下就
完事了。
原因是 AIME 的内容都不需要这些玩意儿，而 AIME 对于 National Top 500
headcount 以外的将来混支票，基础能力完全足够了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得实话实说，对于大部分人，也包括我自己，一辈子也不需要真正搞懂
: Banach-Tarski paradox 和 Axiom of Choice。
: 对于大部分人，也包括我自己，所需要的，是老老实实把中学数学里面 “有理数/
: 无理数/实数/虚数/复数” 基础给搞搞明白，不要经常出现 “法兰西是培根”
: 就足够了。。。而对于 Banach-Tarski paradox，就当武侠泛读看看，跟中小
: 学数学内容类比一下，大致知道个意思就可以了。。。古人云：“光阴是用来虚度
: 的，不是用来纠结纯数问题的。”
: 而对于 Banach-Tarski paradox，如果跟中小学数学类比的话，也就是相当于
: 在 Euclidean geometry measurement 的时候，任何画出来的线段长度不能上
: 虚数，即使是中间过程。。。原因是即使中间过程里画出来的线段上虚数，也会

t*l2016-08-05 07:08

10 楼

现在回到 “友谊村基础数学” vs “加州理工唯美纯数” vs “蓝翔挖掘机应用
数学” 的问题。
其实我觉得，上面这个分类，本身并不代表任何本质问题。。。数学的本质是
"make sensible prediction of pattern itself (distinguish from
physics ...etc) under the given context"。。。上面三种，其实本质上
只是 “given context” 的差别，不是 “质” 的问题。。。“质” 的问题，是
“sensible prediction” 里的 “sensible”。
或者用俺自己的话，在所有那些 axiom 的后面，有一条最最基本的 axiom，
叫 “axiom of absurdity” (对应于 "sensible" prediction) 。。。
如果严重违反了 “axiom of absurdity”，其他啥 “axiom of choice”
啥的，都是扯。。。
而如果要俺给 “axiom of absurdity” 下个定义的话，就是黄小木同志曾经
说过的：
"Under given context, testable thus verifiable, either by
deduction logic, or by principle of Occam's razor, or both"。

【在 k**n 的大作中提到】

: 好容易看到个矮的数学楼进来看一下，感觉解释的是抽刀断水水更流，这个哲学原理对
: 吗？

t*l2016-08-05 07:08

11 楼

解释一下就是，这并不是说 Banach-Tarski paradox 的证明本身是
扯。。。恰恰相反，Banach-Tarski paradox 在纯数（for its own
sake）的 context 下，不仅不是扯，而且是一个重要的玩意儿。。。
证明 Geometry measurement cannot take in non-measurable set,
even in the middle step。（当然还有其他不同的解决方案）。
另一方面，如果有人试图带着 Banach-Tarski paradox 和 Axiom
of Choice 去 Costco 拍西瓜，那确实要看看是不是还记得那条
"axiom of absurdity"。

【在 t******l 的大作中提到】

: 现在回到 “友谊村基础数学” vs “加州理工唯美纯数” vs “蓝翔挖掘机应用
: 数学” 的问题。
: 其实我觉得，上面这个分类，本身并不代表任何本质问题。。。数学的本质是
: "make sensible prediction of pattern itself (distinguish from
: physics ...etc) under the given context"。。。上面三种，其实本质上
: 只是 “given context” 的差别，不是 “质” 的问题。。。“质” 的问题，是
: “sensible prediction” 里的 “sensible”。
: 或者用俺自己的话，在所有那些 axiom 的后面，有一条最最基本的 axiom，
: 叫 “axiom of absurdity” (对应于 "sensible" prediction) 。。。
: 如果严重违反了 “axiom of absurdity”，其他啥 “axiom of choice”

t*l2016-08-05 07:08

12 楼

我想应该是 “举杯消愁愁更愁”。。。

：好容易看到个矮的数学楼进来看一下，感觉解释的是抽刀断水水更流，这个哲学原理
对吗？