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那位老大给讲一下drys号潜水艇的情况

那位老大给讲一下drys号潜水艇的情况# Stock

t*l2010-04-20 07:04

1 楼

谢谢推荐 Paul Zeitz 的 The Art and Craft of Problem Solving。。。我觉得
这本书不错，相对 AoPS 的书而言，可能更适合于喜欢直接从题目入手、同时又不
喜欢书太厚的娃。
http://www.amazon.com/Art-Craft-Problem-Solving/dp/0471789011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1467911348&sr=1-1
当然我的意思不是说娃能自己主动热情去看，我现在的做法还是大人去教。可以跟
娃酱油做 AMC 10 互补。相对做 AMC 10 而言，看书更加有利于系统的学习数学
知识，学数学知识其实也是很重要。
具体技战术上，我觉得首先这不是让娃解题，这是大人给娃以趣味数学的姿势，用
稍难的题目作为工具，让学习数学知识变得有趣一些。
可以先跳过第一章到第四章这些高大上空对空的玩意儿（不是说高大上不重要，但
我觉得应该先打下数学知识的基础）。
我觉得第五章到第八章的内容，用即兴点的方式，跳着选着跟娃讲，不需要死板的
按章节顺序，这样对娃更加有兴趣一些。
另外第八章欧几里德几何其实可以提前看，有一些最基础的代数就可看，实际上我
发现欧几里德几何也能给解析几何打基础。
当然最重要的是太艰深晦涩的部分就先跳过不管，毕竟娃的兴趣更重要。

d*42010-04-20 07:04

2 楼

8.00进的.

t*l2010-04-20 07:04

3 楼

我看简单一些可以酱油讲讲的比如：
P.151: Substitutions and Simplifications -- Example 5.2.16 AIME 1983
P.178: AM-GM Inequality 的那张图不错。。。不过应该从圆心再拉一条把 AM
也画在上面，构成直角三角形斜边大于直边。
P.275 - P.276 Example 8.3.11 Proof of Power of Point Theorem,
Example 8.3.12 Two Proof of the Angle Bisector Theorem，这两个也不错
。。。不我觉得可以结合 AoPS 和其他网站看，Angle Bisector Theorem 还有
一个证明是过 B 点拉平行线构成相似三角形，另一种对称性。
当然这本书的好处是可以直接按图索骥找到重要的 theorem，但又以题目入手不像
美帝教科书那么枯燥和程式化，可以作为 AMC 10 酱油做题时偶遇各种 theorem
的学习方式的补充。

t*l2010-04-20 07:04

4 楼

另外 P.151 的 Example 5.2.16 AIME 1983 里的 y^2 - 15 = 2y 是用因式分解
guess & check 求根的。。。其实我觉得对于普通娃，可以用 mathsisfun.com 的
图形化的 complete a square，加代数化的复验，来求根。。。虽然高端的 guess
& check 对竞赛可能更重要，但对普通娃而言，我觉得打好 complete a square
的基础，加上尽可能 mental work，对数学能力的发展更实在。。。这不是正好再练
一次 complete a square？。。。反正结合具体娃具体情况，结合各种网站信息，
杂食没大错就是了。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我看简单一些可以酱油讲讲的比如：
: P.151: Substitutions and Simplifications -- Example 5.2.16 AIME 1983
: P.178: AM-GM Inequality 的那张图不错。。。不过应该从圆心再拉一条把 AM
: 也画在上面，构成直角三角形斜边大于直边。
: P.275 - P.276 Example 8.3.11 Proof of Power of Point Theorem,
: Example 8.3.12 Two Proof of the Angle Bisector Theorem，这两个也不错
: 。。。不我觉得可以结合 AoPS 和其他网站看，Angle Bisector Theorem 还有
: 一个证明是过 B 点拉平行线构成相似三角形，另一种对称性。
: 当然这本书的好处是可以直接按图索骥找到重要的 theorem，但又以题目入手不像
: 美帝教科书那么枯燥和程式化，可以作为 AMC 10 酱油做题时偶遇各种 theorem

w*d2010-04-20 07:04

5 楼

我是把aops的书买了一套，自己先一路读过去，然后挑其中的题目让娃做。
如果有新知识点会先告诉他，只是技巧的话就让孩子先做后再讲。
aops大纲教材确实太厚，啰里八嗦的

t*l2010-04-20 07:04

6 楼

AoPS 的书我在网上 preview 了一下，我觉得关键是太厚，就没买。
我觉得取决于娃的类型，太厚确实容易让某些娃望而生畏。
当然如果是真的要去 serious 的数学竞赛，“厚” 这枚硬币的另一面就是 “完整不
遗漏”，所以 AoPS 的 “厚” 也不是个缺点，更多是看各家的目标方向力度而取舍。

【在 w**d 的大作中提到】

: 我是把aops的书买了一套，自己先一路读过去，然后挑其中的题目让娃做。
: 如果有新知识点会先告诉他，只是技巧的话就让孩子先做后再讲。
: aops大纲教材确实太厚，啰里八嗦的

k*n2010-04-20 07:04

7 楼

貌似不便宜？

【在 t******l 的大作中提到】

: 谢谢推荐 Paul Zeitz 的 The Art and Craft of Problem Solving。。。我觉得
: 这本书不错，相对 AoPS 的书而言，可能更适合于喜欢直接从题目入手、同时又不
: 喜欢书太厚的娃。
: http://www.amazon.com/Art-Craft-Problem-Solving/dp/0471789011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1467911348&sr=1-1
: 当然我的意思不是说娃能自己主动热情去看，我现在的做法还是大人去教。可以跟
: 娃酱油做 AMC 10 互补。相对做 AMC 10 而言，看书更加有利于系统的学习数学
: 知识，学数学知识其实也是很重要。
: 具体技战术上，我觉得首先这不是让娃解题，这是大人给娃以趣味数学的姿势，用
: 稍难的题目作为工具，让学习数学知识变得有趣一些。
: 可以先跳过第一章到第四章这些高大上空对空的玩意儿（不是说高大上不重要，但

w*d2010-04-20 07:04

8 楼

关键还是啰嗦，可能是太计较严谨，好处是有利于自学。如果孩子有一定自学能力后可以
一溜读下去

【在 t******l 的大作中提到】

: AoPS 的书我在网上 preview 了一下，我觉得关键是太厚，就没买。
: 我觉得取决于娃的类型，太厚确实容易让某些娃望而生畏。
: 当然如果是真的要去 serious 的数学竞赛，“厚” 这枚硬币的另一面就是 “完整不
: 遗漏”，所以 AoPS 的 “厚” 也不是个缺点，更多是看各家的目标方向力度而取舍。

i*e2010-04-20 07:04

9 楼

你娃多大了？

【在 w**d 的大作中提到】

t*l2010-04-20 07:04

10 楼

Google 一下 pdf 碰碰运气？

：貌似不便宜？
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

i*e2010-04-20 07:04

11 楼

第5章一上来就是代数啊...
pre-algebra还在挣扎的伤不起:)

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2010-04-20 07:04

12 楼

确实这书的起点就是 Algebra / AMC10 level。。。再基础的东西涉及不多。
不过另一方面，pre-AMC10 的基础的东西的网站资料资源现在都比较丰富，学校教育
一般都涉及，一般不太是个问题就是了。。。而且基础的东西在做题中学习也是一种
办法。
当然我觉得这本书如果有缺的话，我觉得可能缺了一章比如 “connection between
euclidean geometry, analytic geometry, and algebra, and kinematics”
。。。因为我觉得对很多 spatial thinking 的 kids，建立这三者的概念联系还是
很重要很基础的。。。我在教娃酱油 analytic geometry 基础概念的时候，后来发现
需要建立好酱油 euclidean geometry 的基础概念（相似三角形，平行公理，垂直概念
（第四公理）等等等等），这样才能理解好比如酱油 analytic geometry 里的
equation of line / equation of circle / parallel / tangent 的概念。。。
而 analytic geometry 又是 algebra 的图形投射化的最最重要的手段，我觉得对
spatial thinking 的 kids 比较重要。。。当然是一家之言了，不一定对。。。

【在 i**e 的大作中提到】

: 第5章一上来就是代数啊...
: pre-algebra还在挣扎的伤不起:)

w*d2010-04-20 07:04

13 楼

我书都提前买了，不过现在才教prealgebra。顺便也翻译了些国内的应用题，准备让孩
子先做了那些题后再给他讲algebra

【在 i**e 的大作中提到】

: 你娃多大了？

w*d2010-04-20 07:04

14 楼

书哪有便宜的，现在大学生的教材都是一，两百了。

【在 k**n 的大作中提到】

: 貌似不便宜？

s*n2010-04-20 07:04

15 楼

我觉得这本书适合那些备考AIME及USA(J)MO的孩子或是对从事数学相关专业感兴趣的孩
子，不太适合那些针对SAT或是AMC 10/12的孩子。
AOPS的系统教科书厚是因为它要从零讲起，不仅要讲解很多基础知识点，还要涵盖竞赛
知识点和解题技巧。另外，AOPS的竞赛备考书主要涵盖竞赛知识点和解题技巧，基础知
识点最多只总结下，并不厚。
Zeitz的ACOPS并不是传统意义上的数学教科书，或是竞赛备考书。它主要不是传授具体
的解题技巧，而是训练抽象的解题思维和能力 - 当你碰到一个以前没见过的题型时，
如何去找到解法。这些方面的训练对解决AIME难题或USA(J)MO题有帮助。
要真正理解和掌握ACOPS里的解题思维，需要有一定的解题能力和底子。很多备考AMC的
孩子还不到这个水平。我觉得还是AOPS的书更适合他们。
ACOPS自介：
"This is a book about mathematical problem solving for college-level novices
. By this
I mean bright people who know some mathematics (ideally, at least some
calculus),
who enjoy mathematics, who have at least a vague notion of proof, but who
have spent
most of their time doing exercises rather than problems"

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2010-04-20 07:04

16 楼

我觉得你说的确实有道理。但另一方面，我不是拿 Zeitz 的 ACOPS 当数学教科书
或者备考书用的，我其实是把那玩意儿当数学兴趣书用。具体这么说：
首先对普通初中娃娃的一个问题，并不是咋学数学或者拿个高分，而是我为啥要学
数学，以及超过学校课堂要求的数学？（sense of purpose）。。。当然这个对我
家娃比较简单一些，我娃数学课堂成绩比较她旁边的娃娃们都差一些，所以毕竟 AMC
上面有可能找回点场子，也对将来高中数学多点信心。
（当然前提也是初中阶段，没有高中要切实分数的迫切要求，所以也有相当的自由度）。
然后第二个问题就是，在知道了解切实有用基本概念，我为啥要学那些无聊的特么
一辈子可能都用不上的定理/办法？。。。这个理由就好比小娃要想玩有点意思的
chess end-game puzzle，那基本的玩意儿都多少得知道一点不是？当然 chess
end-game puzzle 也没啥用，但是对小娃也是好玩不是？。。。但话是这么说，实际
上娃不可能听了话就会照办。。。所以大部分酱油 chess 学校（不是要正规比赛上
棋谱的正规竞赛型 chess 学校）就先上有些趣味 end-game puzzle problem，
然后在讲解 puzzle problem 的时候再引入概念。。。这么搞也许不那么扎实，
但毕竟大部分酱油 chess 学校里的娃不会去参加正规 chess 比赛。所以扎实是
第三位的事情，兴趣加好玩才是第一位的。
我先发出来，然后下贴拿数学作为例子。

【在 s***n 的大作中提到】

: 我觉得这本书适合那些备考AIME及USA(J)MO的孩子或是对从事数学相关专业感兴趣的孩
: 子，不太适合那些针对SAT或是AMC 10/12的孩子。
: AOPS的系统教科书厚是因为它要从零讲起，不仅要讲解很多基础知识点，还要涵盖竞赛
: 知识点和解题技巧。另外，AOPS的竞赛备考书主要涵盖竞赛知识点和解题技巧，基础知
: 识点最多只总结下，并不厚。
: Zeitz的ACOPS并不是传统意义上的数学教科书，或是竞赛备考书。它主要不是传授具体
: 的解题技巧，而是训练抽象的解题思维和能力 - 当你碰到一个以前没见过的题型时，
: 如何去找到解法。这些方面的训练对解决AIME难题或USA(J)MO题有帮助。
: 要真正理解和掌握ACOPS里的解题思维，需要有一定的解题能力和底子。很多备考AMC的
: 孩子还不到这个水平。我觉得还是AOPS的书更适合他们。

t*l2010-04-20 07:04

17 楼

比如举个例子，正规数学学习的途径，比如先证明 Inscribed Angle Theorem,
然后再用 Inscribed Angle Theorem 证明 Power of Point Theorem，然后
再开始解题训练。。。这么做确实学的很扎实，但问题是至少我家普通娃看见这么
枯燥的也没啥实用价值的玩意儿，就直接半路走人了。。。娃走人了的话，啥扎实
都是白搭。。。
所以这时另一个办法就是干脆反其道行之，直接上 2013 AMC 10A Problem 23
。。。娃一看，大惊失色，特么这种题也能解得出来。。。于是抖一包袱说，解这
题需要一个锦囊，let's say 我们知道 Power of Point Theorem，先默认是对
的，那就能如此这般解出来，看上去这题也不是很难不是？。。。然后过酒足饭饱
后砍大山，特么这 power of point theorem 为啥是对的？万一锦囊错了咋办？
。。。于是找证明，说如果默认那两个角度是相同的，那么根据相似三角形，就能
证明。。。于是在酒足饭饱一次，那特么这两角度为啥是一样的，然后就有了
Inscribed Angle Theorem。。。。然后再吃饱一顿，然后就有 Inscribed
Angle Theorem 的证明。。。当然最后正向来上几遍。。。
当然，这个问题是在于，这么啰嗦完毕之后，再来一道不同的 AMC 10 难题（相对
普通娃而言的难题），普通娃立马就趴下，不指望。。。另外不消两个礼拜，
估计普通娃又把那定理忘得一干二净。。。但问题是在于目的，如果目的是普通娃
能耐心听完唠叨，而不会半路走人。那俺的意思就是娃能听完唠叨哪怕就一次，
那总比一次唠叨都不听，来的强上一万倍不是？。。。毕竟有个开始总比没有开始
来得强不是？当然不要指望普通娃去数学竞赛就是了。。。

）。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得你说的确实有道理。但另一方面，我不是拿 Zeitz 的 ACOPS 当数学教科书
: 或者备考书用的，我其实是把那玩意儿当数学兴趣书用。具体这么说：
: 首先对普通初中娃娃的一个问题，并不是咋学数学或者拿个高分，而是我为啥要学
: 数学，以及超过学校课堂要求的数学？（sense of purpose）。。。当然这个对我
: 家娃比较简单一些，我娃数学课堂成绩比较她旁边的娃娃们都差一些，所以毕竟 AMC
: 上面有可能找回点场子，也对将来高中数学多点信心。
: （当然前提也是初中阶段，没有高中要切实分数的迫切要求，所以也有相当的自由度）。
: 然后第二个问题就是，在知道了解切实有用基本概念，我为啥要学那些无聊的特么
: 一辈子可能都用不上的定理/办法？。。。这个理由就好比小娃要想玩有点意思的
: chess end-game puzzle，那基本的玩意儿都多少得知道一点不是？当然 chess

t*l2010-04-20 07:04

18 楼

当然第四第五公理，三角形内角和是 180 度，或者勾股定理这些，就不一定需要从
puzzle problem 入手。。。因为那是对空间形状的基本认知，属于基本的好奇心
范畴。。。而且不学会的话，这连学校考试都不行。。。但稍微复杂一些的还是
需要一定的 puzzle problem 拉动，这样可以一定程度对抗大部分普通娃浅尝辄止
的天性。

【在 t******l 的大作中提到】

: 比如举个例子，正规数学学习的途径，比如先证明 Inscribed Angle Theorem,
: 然后再用 Inscribed Angle Theorem 证明 Power of Point Theorem，然后
: 再开始解题训练。。。这么做确实学的很扎实，但问题是至少我家普通娃看见这么
: 枯燥的也没啥实用价值的玩意儿，就直接半路走人了。。。娃走人了的话，啥扎实
: 都是白搭。。。
: 所以这时另一个办法就是干脆反其道行之，直接上 2013 AMC 10A Problem 23
: 。。。娃一看，大惊失色，特么这种题也能解得出来。。。于是抖一包袱说，解这
: 题需要一个锦囊，let's say 我们知道 Power of Point Theorem，先默认是对
: 的，那就能如此这般解出来，看上去这题也不是很难不是？。。。然后过酒足饭饱
: 后砍大山，特么这 power of point theorem 为啥是对的？万一锦囊错了咋办？

t*l2010-04-20 07:04

19 楼

另外还有一个切实的社会学的考虑，就是学校的快班有学校的规则，娃靠谱不靠谱
也不是家长想做到就能做到的（当然 control freak 能修改自己的记忆就是了）
。。。所以一个办法就是课后搞前沿概念，保证娃在公立学校上课能听懂。。。
然后熟练工、人肉代数计算器部分，归公立学校技工培训班管。。。这样
暂时是不是分在快班快班快快班也就不是太有所谓，反正都是熟练技工班
不是？。。。// super fast run

【在 t******l 的大作中提到】

: 当然第四第五公理，三角形内角和是 180 度，或者勾股定理这些，就不一定需要从
: puzzle problem 入手。。。因为那是对空间形状的基本认知，属于基本的好奇心
: 范畴。。。而且不学会的话，这连学校考试都不行。。。但稍微复杂一些的还是
: 需要一定的 puzzle problem 拉动，这样可以一定程度对抗大部分普通娃浅尝辄止
: 的天性。

t*l2010-04-20 07:04

20 楼

另外从实用主义的角度看，比如 power of points theorem，跟勾股定理最大的不同是
，power of points 对大部分非数学专业的娃，将来工作啥的都没啥用。。。而没啥用
就一定会忘记。。。从这个角度说，power of points 之类的也没有必要学得太扎实，
反正都是要忘得一干二净的。。。还不如当成个兴趣的诱饵，在趣味学习过程当中把基
础的三角形/勾股定理啥的基本概念基础能力弄扎实，同时这过程也不搞成人肉计算器
型重复训练那么枯燥和抗拒。

：另外还有一个切实的社会学的考虑，就是学校的快班有学校的规则，娃靠谱不靠谱
：也不是家长想做到就能做到的（当然 control freak 能修改自己的记忆就是了）

r*g2010-04-20 07:04

21 楼

你好像前一阵研究过这个，请教：勾股定理和三角形内角和等于两直角是等价的。那
么具体怎么从前者推到后者，不跳步，不循环论证？

【在 t******l 的大作中提到】

k*n2010-04-20 07:04

22 楼

这不当父母也要进化才是，我们离进化到大学还有很远。
貌似大学生教材十几年前就是一两百乐/我还记得我没出国时，给一个师兄买影印版的
教材，蹬着自行车去离学校很远的邮局给他海运了一大箱子
现在还在每次在scholastic买书看到硬皮的都找软皮买不是。预算基本不能超过20刀。
有次她爸头脑发昏给她纸币去学校买书，十八刀买了一本if you give a pigeon a
bath回来，我差点没把她爸脑子敲掉

【在 w**d 的大作中提到】

: 书哪有便宜的，现在大学生的教材都是一，两百了。

w*d2010-04-20 07:04

23 楼

硬皮的书不能碰。小娃的书压根就没有必要硬皮，都是读2遍了开扔。

【在 k**n 的大作中提到】

: 这不当父母也要进化才是，我们离进化到大学还有很远。
: 貌似大学生教材十几年前就是一两百乐/我还记得我没出国时，给一个师兄买影印版的
: 教材，蹬着自行车去离学校很远的邮局给他海运了一大箱子
: 现在还在每次在scholastic买书看到硬皮的都找软皮买不是。预算基本不能超过20刀。
: 有次她爸头脑发昏给她纸币去学校买书，十八刀买了一本if you give a pigeon a
: bath回来，我差点没把她爸脑子敲掉

t*l2010-04-20 07:04

24 楼

这个大部分普通非数学专业方向的娃不会去做非常严格的证明。。。但如果从基本概念
上探讨而不是严格证明。。。那如果假设其他前面的四条公理都存在（其实隐含希尔伯
特的一堆玩意儿都存在）。。。那么构造一个正四边形（四边相等，四角相等），
拉两条对角线。。。如果勾股定理不满足，那得出四个角要么都是大于直角，要么都是
小于直角（对称性）。（援引勾股定理的正方形内接正方形证明）。这样正方形内角和
不等于 360 度，三角形内角和不等于 180 度。。。所以如果勾股定理满足，那正方形
必然为四个直角。。。正方形可以 cut 成长方形，长方形对角 cut 成直角三角形。。。
所以任意直角三角形的内角和必然为 180 度。而任何三角形都可以 cut 成两个直角
三角形。。。这不算 QED，但是普通非数学专业方向的娃，这样的概念级阐述基本够用了
。。。

【在 r*g 的大作中提到】

: 你好像前一阵研究过这个，请教：勾股定理和三角形内角和等于两直角是等价的。那
: 么具体怎么从前者推到后者，不跳步，不循环论证？

t*l2010-04-20 07:04

25 楼

或者可以一个小的正四边形外接一个大的正四边形各边中点，比拉对角线更直接一些，
少一些援引。。。不过本质都差不多。

：这个大部分普通非数学专业方向的娃不会去做非常严格的证明。。。但如果从基本概
念上探讨而不是严格证明。。。那如果假设其他前面的四条公理都存在（其实隐含希尔
伯特的一堆玩意儿都存在）。。。那么构造一个正四边形（四边相等，四角相等），
：拉两条对角线。。。如果勾股定理不满足，那得出四个角要么都是大于直角，要么都
是小于直角（对称性）。（援引勾股定理的正方形内接正方形证明）。这样正方形内角
和不等于 360 度，三角形内角和不等于 180 度。。。所以如果勾股定理满足，那正方
形必然为四个直角。。。正方形可以 cut 成长方形，长方形对角 cut 成直角三角形。
。。

t*l2010-04-20 07:04

26 楼

其实我觉得刨去概念证明的繁琐，其背后概念阐述的实质是勾股定理公式里的 a^2 是
可以定义成正方形面积，隐含 a*b 定义成长方形面积，其背后要满足娃版数论里的分
配率，其几何学要求就是正方形长方形可以无缝铺地砖。
但这无缝拼地板需要正方形/长方形是有四个直角，其背后隐含了欧哥第五公理。换言
之，如果第五公理不成立，那正四边形就不会是四个直角，那这个正方形长方形无缝
拼地砖就不行，要么有缝隙，要么有重叠。。。而勾股定理的证明是基于正方形长方形
无缝拼地砖的现实性，所以要么承认第五公理承认三角形内角和为 180 度，要么干脆
吃了豹子胆打倒数论里的分配率，直接把小学四年级以下数学都打个稀巴烂。。。造反
的哥们自己看着办吧哈哈哈哈哈哈哈。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 或者可以一个小的正四边形外接一个大的正四边形各边中点，比拉对角线更直接一些，
: 少一些援引。。。不过本质都差不多。
:
: ：这个大部分普通非数学专业方向的娃不会去做非常严格的证明。。。但如果从基本概
: 念上探讨而不是严格证明。。。那如果假设其他前面的四条公理都存在（其实隐含希尔
: 伯特的一堆玩意儿都存在）。。。那么构造一个正四边形（四边相等，四角相等），
: ：拉两条对角线。。。如果勾股定理不满足，那得出四个角要么都是大于直角，要么都
: 是小于直角（对称性）。（援引勾股定理的正方形内接正方形证明）。这样正方形内角
: 和不等于 360 度，三角形内角和不等于 180 度。。。所以如果勾股定理满足，那正方
: 形必然为四个直角。。。正方形可以 cut 成长方形，长方形对角 cut 成直角三角形。

d*g2010-04-20 07:04

27 楼

正方形内接正方形原谅还需要证明。恍然大悟。

。。
用了

【在 t******l 的大作中提到】

: 这个大部分普通非数学专业方向的娃不会去做非常严格的证明。。。但如果从基本概念
: 上探讨而不是严格证明。。。那如果假设其他前面的四条公理都存在（其实隐含希尔伯
: 特的一堆玩意儿都存在）。。。那么构造一个正四边形（四边相等，四角相等），
: 拉两条对角线。。。如果勾股定理不满足，那得出四个角要么都是大于直角，要么都是
: 小于直角（对称性）。（援引勾股定理的正方形内接正方形证明）。这样正方形内角和
: 不等于 360 度，三角形内角和不等于 180 度。。。所以如果勾股定理满足，那正方形
: 必然为四个直角。。。正方形可以 cut 成长方形，长方形对角 cut 成直角三角形。。。
: 所以任意直角三角形的内角和必然为 180 度。而任何三角形都可以 cut 成两个直角
: 三角形。。。这不算 QED，但是普通非数学专业方向的娃，这样的概念级阐述基本够用了
: 。。。

t*l2010-04-20 07:04

28 楼

如果空间曲率是个常数，那正四边形不一定走四方，但目测应该可以还内接吧（空间曲率
为常数的非欧空间里，拿一个非欧圆规画一个非欧圆圈交四边？）。。。当然我就是目测
一下，要数学系的过来算一算才算数。。。呼唤 logic98。。。
问题是下面这张图里面的三角形/四边形面积公式不是简单相乘/平方了，所以勾股定理不
成立。。。当然那如果敢于扔掉分配率，铺浴室地砖不嫌弃有缝的，另说。
其实如果是球球非欧空间，三角形内角和大于 180 度。。。都不用嘎麻烦，搞一有两
直角的等腰三角形，勾股定理哭晕在厕所。。。
当然更加破碎虚空型的空间曲率不是常量的非欧几何，可能也内接不起来了。
非欧几何太坑爹了，俺这贴看了半天才敢发出来，特么完全不是俺一贯的做派。。。

【在 d****g 的大作中提到】

: 正方形内接正方形原谅还需要证明。恍然大悟。
:
: 。。
: 用了

t*l2010-04-20 07:04

29 楼

另外非欧空间浴室铺地砖能不能做到无缝的问题，参见下面的图：
http://en.wikipedia.org/wiki/Square#Non-Euclidean_geometry
如果面积公式直接照抄欧氏空间的话，这次估计轮到乘法分配率哭晕在厕所。
不过总而言之黎曼这哥们就是吃饱了撑的，其实这些都不影响我们吃饭不是？

曲率
目测
理不

【在 t******l 的大作中提到】

: 如果空间曲率是个常数，那正四边形不一定走四方，但目测应该可以还内接吧（空间曲率
: 为常数的非欧空间里，拿一个非欧圆规画一个非欧圆圈交四边？）。。。当然我就是目测
: 一下，要数学系的过来算一算才算数。。。呼唤 logic98。。。
: 问题是下面这张图里面的三角形/四边形面积公式不是简单相乘/平方了，所以勾股定理不
: 成立。。。当然那如果敢于扔掉分配率，铺浴室地砖不嫌弃有缝的，另说。
: 其实如果是球球非欧空间，三角形内角和大于 180 度。。。都不用嘎麻烦，搞一有两
: 直角的等腰三角形，勾股定理哭晕在厕所。。。
: 当然更加破碎虚空型的空间曲率不是常量的非欧几何，可能也内接不起来了。
: 非欧几何太坑爹了，俺这贴看了半天才敢发出来，特么完全不是俺一贯的做派。。。

t*l2010-04-20 07:04

30 楼

另一个问题是这个勾股定理的证明要 “平移” 两个蓝色三角形。。。但没有平行公理
以后，“平移” 是不是只能沿着直线(hyperbolic line 或 great circle)走一段，然后
转个90度直角的弯（谢天谢地第四公理还活蹦乱跳），再沿着直线(hyperbolic line
或 great circle) 走一段对上。。。但是但是，这个正四边形的四个角不是直角啊，
不能像欧氏空间沿着正方形的两边 “平移” 了。。。非欧空间地砖工哭晕在厕所
again。。。
当然这还是空间曲率为常数的特例情况。。。

曲率
目测
理不

【在 t******l 的大作中提到】

t*l2010-04-20 07:04

31 楼

回到前浪推荐的这本书本身。。。撇去该书里面艰深的内容，我摘抄一段该书的理念：
（声明一下不是说我要推荐读这本书，其实我也就是看看就完事了，并不死扣某一本
书。我只是说说不同的书的看法。）
P.258
8.2 Survival Geometry I
When you attempt Problems 8.1.1 - 8.1.3, you may wonder just what you may
assume and what you must prove. As you know, Euclidean geometry is based on
a very small set of undefined objects (including "points" and "lines") and
postulates or axioms (theorems that are assumed to be true, that lie "above"
proof) . In the interest of time, we will play fast and loose with this,
and start you out with a much larger collection of "facts" that you can
safely assume for now.
Together with these facts, we will introduce some simple lemmas and theorems
that are consequences of them. Some of these we will prove, to begin
illustrating some of the most important geometrical problem-solving
techniques. The others you should prove on your own, as essential exercises
(not problems) to master the material. We will label "facts" that you need
not prove as such; any unlabeled problem is begging for you to solve it.
Please do not read passively. The more of these simple problems that you do
now, the better off you will be when confronted with genuinely tricky
questions.
We call Sections 8.2-8.3 "survival geometry" because they contain a lean but
adequate stock of facts and techniques that will allow you to get started
on most problems. If you master the facts and lemmas and fearlessly employ
the problem-solving ideas presented in the next two sections, you will be
able to tackle an impressive variety of challenging questions.

t*l2010-04-20 07:04

32 楼

我的简单大致总结就是：
1. Read actively (do no read passively).
2. Read "lean but adequate stock of facts and techniques that
will allow you to get started on most problems" 就大致够了，可以
做下面的（3）。
3. The others you should prove on your own, as essential exercises
(not problems) to master the material.
我按照普通娃的特点修改一下（3）：对于普通娃而言，至少是试图自己先 work
on problem 哪怕一点点也好，如果 stuck 的话，看答案找点 hint 继续 work
on，而不是立马全盘照抄记忆。如果再 stuck 的话，如法炮制，直到能解出以及
理解答案。

on
above"

【在 t******l 的大作中提到】

: 回到前浪推荐的这本书本身。。。撇去该书里面艰深的内容，我摘抄一段该书的理念：
: （声明一下不是说我要推荐读这本书，其实我也就是看看就完事了，并不死扣某一本
: 书。我只是说说不同的书的看法。）
: P.258
: 8.2 Survival Geometry I
: When you attempt Problems 8.1.1 - 8.1.3, you may wonder just what you may
: assume and what you must prove. As you know, Euclidean geometry is based on
: a very small set of undefined objects (including "points" and "lines") and
: postulates or axioms (theorems that are assumed to be true, that lie "above"
: proof) . In the interest of time, we will play fast and loose with this,

t*l2010-04-20 07:04

33 楼

我觉得这三点主要是针对非数学专业方向的普通娃的。。。对于非数学专业方向
的普通娃，也不是一定要竞赛拿个高分的，首先是人生开心不是？。。。如果是
那样的目标的话，read fat & full information 死撑，其实意义并不大。。。
除了基本的那些玩意儿以外，将来不用的比如坑爹平几数论定理必然统统忘光，
混日子混饭吃的马工都不会例外。。。
所以从这个角度看，大部分非数学专业方向的普通娃的数学阅读，还是少而精。
但是自己一定要 replay in the fashion of taking minimal hints。。。
然后就是做题玩玩，做不出来也没啥关系不需要死撑，从答案里 take minimal
hints 继续 replay。。。能搞到多少分是多少分，这个过程里把基本概念基本
技能学好了就成，这样也不至于太枯燥。。。至于高端的熟练程度其实也不是那么
重要，反正将来不是理论数学系的，都会大量依赖电算就是了。。。能分析问题
把工作中的玩意儿给混过去，可能才是大部分娃学的中小学数学的目的，而不是
梵高那种所有不同类型的画笔装满一屋子。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我的简单大致总结就是：
: 1. Read actively (do no read passively).
: 2. Read "lean but adequate stock of facts and techniques that
: will allow you to get started on most problems" 就大致够了，可以
: 做下面的（3）。
: 3. The others you should prove on your own, as essential exercises
: (not problems) to master the material.
: 我按照普通娃的特点修改一下（3）：对于普通娃而言，至少是试图自己先 work
: on problem 哪怕一点点也好，如果 stuck 的话，看答案找点 hint 继续 work
: on，而不是立马全盘照抄记忆。如果再 stuck 的话，如法炮制，直到能解出以及