[合集] 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"# WaterWorld - 未名水世界
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1 楼
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白的? 而由于这
种逻辑不会在日常生活中经常用到, 所以这部分人被视为 "正常人" ?
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:38:24 2013, 美东) 提到:
既然素数的定义有了，把你的证明中的合数定义也说说吧。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:47:07 2013, 美东) 提到:
点个名吧, 本人不屑于太隐晦.
认为1楼中证明错误的人的id是: carbon 和 czjn
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:47:27 2013, 美东) 提到:
请你先说明我的证明中哪一步是用到了 "合数的定义" 的?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:48:31 2013, 美东) 提到:
你是否有胆量在此帖中明确指出你之前的观点, 即1楼的证明是错误的? (或者, 按你的
说法, 是 "不完全" 的? )
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:50:44 2013, 美东) 提到:
自然数是有合数和质数共同组成的，
都有其自身严格的定义，
难道你的理论中只有质数的定义，没有合数的定义？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:51:47 2013, 美东) 提到:
我的证明只用到素数的定义.
我只需要用到素数的定义就可以证明我想证明的命题.
我不需要像某些人一样画蛇添足, 搬多余的石头砸自己的脚.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:54:32 2013, 美东) 提到:
因为你的错误就在你自以为是的聪明上。
好吧，我也不勉强你，
不过你提到自然数了，
你的证明总该承认自然数仅由质数和合数组成吧。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:54:50 2013, 美东) 提到:
如果你想要看合数的定义, 当然可以, 以下是一种定义方式:
a是合数 <=> a是大于1的自然数, 且存在b, b是大于1且小于a的自然数, 使得b能整除a
.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:56:37 2013, 美东) 提到:
你如果认为证明错误, 你就需要指出错在哪, 顾左右而言他只能显出你的无能.
你如果有能力的话, 你可以指出一楼的证明中第几行到第几行是错误的, 原因是什么.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:57:29 2013, 美东) 提到:
我看你现在连明确说出 "一楼证明是错误的" 的这种勇气都没有.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:58:20 2013, 美东) 提到:
你要是连你的证明中自然数是不是仅由质数和合数组都不能承认，
我怎么给你指出错误？
.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 00:59:06 2013, 美东) 提到:
其实现在这俩人就是嘴硬而已了，让他们嘴上占点便宜吧
实际上怎么回事大家都很清楚了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:03:16 2013, 美东) 提到:
首先, 你这句话本身就错了.
自然数可以看做是由质数, 合数, 和1组成的. 不过我不会由此来取笑你, 或者抓住这
一点无限放大.
我现在明确告诉你, 我认同你 (应该做一下修改的) 看法, 即:
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.
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请问接下来如何?
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另外, 指出一个证明的错误, 我认为并不需要这些, 你只需要明确说出第几行到第几行
是错的, 就可以了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:04:21 2013, 美东) 提到:
不一定.
其实我认为他们可能是真的有逻辑缺陷 (换一种说法就是蠢), 并不一定是嘴硬.
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:04:47 2013, 美东) 提到:
a
我说的是有pa才回复，既然你又开始，那我继续。
就你这种学了两天逻辑学的n本文科生、连初中数学都不过关的人，自以为是的用了个
二半吊子证明来说质数无限多。反复告诉你要用到数学逻辑，还执迷不悟，你秀什么存
在感啊。还点名道姓的，你刚从文革出来么？
还是那句话，大于一的自然数，可能是质数也可能是合数，你这个自作聪明的证明只考
虑了质数的情况。
你脑子的沟回都长脸上了啊？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:07:14 2013, 美东) 提到:
是么，这位大仙。那个楼里有中间人打分了的。您这么有一搭没一搭的阴阳怪气冷不丁
就来一句。对不起您高贵的身份吧。。。
“大家都很清楚”你懂的～
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:08:09 2013, 美东) 提到:
你这样数学初中都考不过的，还逻辑缺陷，你陷逻辑里了吧
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:13:36 2013, 美东) 提到:
在我的前提假设下, 我已经论证了N是素数, 请问我为什么要考虑合数的情况?
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:17:46 2013, 美东) 提到:
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.
等价假设2： 除去1,p_1,p_2,...........,p_K之外的自然数均为合数。
显然等价假设2与原假设同为真或同为假。
推论过程原假设与等价假设必须同时成立或不成立。
此步骤没问题
a是素数推论成立前提，原假设1成立。
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 根据假设1，素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
3. 若假设1成立，a即不被任何小于a的素数整除
4. 推理结论 a是素数成立
该推理过程无误
考虑等价假设2
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 若等价假设2成立，a不是1，p_1,P_2............P_k中任何一个
3. a是合数成立
也可知，N 是合数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:17:57 2013, 美东) 提到:
为什么没人来跟我一起回帖呢?
我觉得能找到两个蠢货, 就可以凸显出自己的聪明. 毕竟智商也是要有参照物的呀.
感觉到自己很聪明不是很好吗? 希望大家比较闲的都可以欢乐的加入进来.
另, 不明真相的同志们可以看这个帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t1/WaterWorld/2017961_0_1.html
顺带再次感叹, KingOfLunHui挖的一手好坑, 骗了我好多回复了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:21:22 2013, 美东) 提到:
你的推理没问题.
这说明我们在前提假设下, 构造出了一个N, N既是素数, 又是合数.
请问这说明什么?
为了防止你实在太笨, 我给你两个选项吧 (当然你认为如果是其他情况也可以回帖指出
):
A. 这说明了前提假设是错的.
B. 这说明了1楼的证明是错的.
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选择题会不会做?
不会也可以扔硬币.
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:22:16 2013, 美东) 提到:
你太自以为是了。。。呵呵。我觉得你也就找找泥哥刷一下存在感吧，他们可能跟你有
的一拼，祝你跟他们玩的愉快～另一个楼里你就自言自语吧，我反正不回了。你爱pa不
pa。引用你一句话（大意如下）“我攻击pa他人都是有理有据的”，我看你不如说：你
天生素质低下，就热爱pa别人。好歹还坐回真小人。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:24:25 2013, 美东) 提到:
因为你逻辑确实有缺陷, 换句话说就是蠢.
PA你是应该的.
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powerforward (抽敏感詞的筋) 于 (Thu May 23 01:26:13 2013, 美东) 提到:
這就不必要了。你的證明顯然是對的。
但是邏輯推理能力確實不是天生就有的，是要後天多訓練的。
缺乏美感的人和缺乏邏輯分析能力的人都是正常人。三毛數學不及格，不能妨礙她成為
很好的作家。愛因斯坦穿得很醜，也不能妨礙他成為偉大的物理學家。
a
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:27:37 2013, 美东) 提到:
请你能否清楚明确的先回个帖, 说1楼证明是错的? 就当留个案底呗? 谢谢!
(我也记不清这是第几遍请你了)
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:28:26 2013, 美东) 提到:
1，证明过程就是说明前提假设是错误的。
2. 说明你的结论 a 是素数是错误的，尽管最后蒙对了答案1。
3. 如果你还不明白在该假设下为什么只说a是素数是错误,或只讨论a是素数的情况不完
备，
那你除了愚蠢还是愚蠢。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:30:53 2013, 美东) 提到:
每个人都有长处和短处, 这我当然理解.
但是我看不惯那些对自身所犯的错误不自知, 还跳出来抨击别人的人.
对于这种人我不屑于给他们留面子.
我在原帖 http://www.mitbbs.com/article_t1/WaterWorld/2017961_0_1.html 中最开始可是一步一步耐心跟他们交流的, 至于先PA的, 我不认为是我.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:33:55 2013, 美东) 提到:
在你的前提假设下, 我已经论证了N是合数, 请问我为什么要考虑素数的情况?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:34:29 2013, 美东) 提到:
我可以明确告诉你为什么只讨论质数:
因为我根据质数的定义, 发现N就是质数.
这么说够不够清楚?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 01:34:58 2013, 美东) 提到:
存个照
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:35:03 2013, 美东) 提到:
23楼的选择题, 你能否正面回答一下先?
可以多选.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:38:32 2013, 美东) 提到:
我什么时候问过你为什么不考虑N是素数的情况?
你不考虑也可以, 只要你最终能证明 "素数只有有限个" 是错的, 就行了.
你这个问题的根源是什么? 好像我之前欺负了你似的．
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:38:38 2013, 美东) 提到:
看来一句"文科生“说的你很疼，
跟着什么愚蠢无知都出来了。
难道你认为被说成"文科生“和被骂愚蠢是一样的冒犯？
我真没这么看待文科生。
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:44:09 2013, 美东) 提到:
文科生，我们的讨论对稍懂点数学证明的人看来，已经结束了。
这是我最后一贴，
你和这里那个装B的CS蠢材后面的PA贴我懒的搭理了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:47:46 2013, 美东) 提到:
如果你的目的只是想PA的话, 我不介意.
如果你的目的是探究清楚谁对谁错, 还请你在PA之前, 回答一下你之前还没有回答的问
题:
1. 5楼: 请你先说明我的证明中哪一步是用到了 "合数的定义" 的?
2. 23楼: 请问那个选择题选什么?
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这些都是很简单的问题, 回答每个问题应该不会超过一行. 当然, 如果你找个借口 (比
如:费口舌?) 就走掉的话, 我也没办法.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:48:51 2013, 美东) 提到:
问题都不敢回答, 一句 "已经结束了" 就走人了.
呵呵, 真有风范.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 01:51:55 2013, 美东) 提到:
恩，昨天我指出他所谓“欧几里德的证明”不过是他的臆想之后，他就开始满口喷粪了
跟这种人有什么好说的呢
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:19:31 2013, 美东) 提到:
如果一个人蠢就可以pa的话，那么你每天应该收到上千次。不过好在这个世界上大部分
人是有同情心的，不过不好意思，我最近缺乏一点，那我只好遵照你的意思：你这么蠢
的人是怎么学会说话的啊？你怎么蠢看不出别人指出的错误还执迷不悟确实是蠢到姥姥
家了。我求你不要把这么蠢的基因遗传下去了，有些不忍看到你子孙的惨状。。。
听说你喜欢调戏蠢人，我也是这个爱好，这就是为什么我现在看你想吐但是还搭理你。
不过你要想做到这一点比较困难，你可以找个黑人常去的网站尝试一下，但是估计你英
语也不行，愁人～算了你自己玩儿蛋吧。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 02:21:34 2013, 美东) 提到:
这个没问题,euclid的原版证明确实啰嗦了些
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:28:45 2013, 美东) 提到:
你在PA之余, 能不能对你还没有回答的问题, 做出一些清楚的回复?
比如:
20楼: 在我的前提假设下, 我已经论证了N是素数, 请问我为什么要考虑合数的情况?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:29:18 2013, 美东) 提到:
您都有颠倒黑白的逻辑能力，先pa的当然不是你了～
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:31:38 2013, 美东) 提到:
我想问。。。他的推理为什么没问题？无论他的哪一个假设，构造出来的N都不可能是
合数。
假设除了1，a1, a2,...ak外都是合数，N=1+ai连乘无法被任何小于N的质数整除，于是
N是质数，和假设矛盾于是假设不成立。
假设除了1，a1,a2...ak之外都是合数，那么任何不是这几个数的自然数都是合数。。
。这跟N实际是不是合数有关系么？假前提一定是真命题，这和结论真假有关系么？
另外，反证法真的能证明？？你的假设是a1,a2,...ak是素数的全集A，那么1+ai连乘必
然也是素数，那么假设不成立，a1,a2,...ak不是素数的全集。A不是素数的全集就等于
素数无穷多？
本人非数学专业理科生。
另外实在无法忍受为什么假设了只有那么多质数还要去讨论如果存在别的质数会怎么样
。。。。
在假设只有2和3是质数的前提下，25也是质数。5是不是质数都不影响这个逻辑的完整
性，我们要证明的都是不止2和3这两个质数，25能分解成5X5不说明任何问题，就像36
能分解成6X6一样，最终影响证明的是5不能被2和3分解，而这个和25不能被2和3分解是
等价的，即是存在不等于2和3的其他质数。分情况讨论没有任何意义
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:32:36 2013, 美东) 提到:
你已经证明了N是质数，我还证明了N可以是合数呢。怎么，是不是一个数既可以是合数
也可以是质数啊？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 02:36:35 2013, 美东) 提到:
假设素数集合是有限集合，推出矛盾，所以素数个数不可能有限，有问题吗
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:37:19 2013, 美东) 提到:
只提问你原帖最后一段：
假设素数只有2和3，那么25是素数吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 02:38:11 2013, 美东) 提到:
存照
能是
于是
。。
乘必
等于
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:40:08 2013, 美东) 提到:
假设质数只有p1,p2,...,pk,
那N=p1*p2*...*pk+1 显然N不等于p1,p2,...,pk中的任何一个, 且N大于1.
因为自然数只有1,质数,合数, 所以N是合数.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:43:22 2013, 美东) 提到:
哦, 你没看清楚证明方式.
首先是假设素数只有有限个,
既然有有限个, 你就可以列出来: a1,a2,...,ak
最后根据逻辑推导, 又找到了一个N, 也是素数, 并且不是a1,a2,...,ak中的任何一个,
所以假设不成立.
假设不成立不只是说 "素数不止有a1,a2,...,ak", 而是说 "素数有无穷个"
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:45:30 2013, 美东) 提到:
所以根据假设, 我们推导出了: N既是素数, 又是合数.
请问这说明了什么?
还是23楼选择题:
A. 这说明了前提假设是错的.
B. 这说明了1楼的证明是错的.
如果你认为A,B都不对, 而是其他情况, 请回帖说明.
也可以多选.
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:46:43 2013, 美东) 提到:
你是如何证明在假设前提下N是合数的？去掉前提，那么N可能是质数也可能是合数。
再假设前提下，N一定是质数。
假设只有2和3是质数，那么请问25是质数还是合数？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:48:29 2013, 美东) 提到:
我帮他回答一下:
以下所有命题, (不管你承认不承认) 按照逻辑规则和主流数学公理的标准来看, 都是
对的:
"如果素数只有2和3, 那么25是素数"
"如果素数只有2和3, 那么25是合数"
"如果素数只有2和3, 那么25等于1"
"如果素数只有2和3, 那么25不是自然数"
"如果素数只有2和3, 那么你是猪"
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:49:36 2013, 美东) 提到:
这是你的证明么？你的证明只是说N是素数，对不对？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:51:59 2013, 美东) 提到:
如果你最终证明了素数不只有2和3,那你打算如何定义25是合数还是素数呢？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:52:44 2013, 美东) 提到:
明确告诉你, 不对.
我的证明中只承认了这个命题的正确性:
"如果质数只有p1,p2,...,pn这有限个, 那么N=p1*p2*...*pn +1是质数"
我从未说
"取前n个素数p1,p2,...,pn, 则N=p1*p2*...*pn +1是素数"
你究竟能否搞清楚这两句话的区别?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:54:41 2013, 美东) 提到:
我可以回答你: 25这个自然数, 按照主流数学公理体系来看, 是合数.
我的问题: 25是合数还是质数, 与1楼中证明是否正确有何关系?
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:55:57 2013, 美东) 提到:
所以你是说根据假设你推出N是合数？？？合数的定义是能被质数分解，假设前提下N显
然不是合数啊。。。
这逻辑和说：
假设偶数只有2和4，6不是2或4，自然数要么是奇数要么是偶数，所以6是奇数
有区别？
所以这个逻辑对证明假设错误有任何意义？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:57:03 2013, 美东) 提到:
你确实是说的第一句话，我没说不是啊。你既然已经“推出”了前提的错误，那么你再
说N是质数，是正确的么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 02:57:55 2013, 美东) 提到:
我不是学数学的哈，但是感觉逻辑上有个小问题
你虽然证明了N不能被{p_i|i=1~k}中的任何一个整除
但是不能直接得出N不能被 自然数集-{p_i}中的任何一个整除
我知道你想说其他那些都不是质数，因为你已经把质数都罗列出来了
但是在你的“虚拟假设”下，你没法证明N不能被某个合数整除
你要考虑从p_k到N之间的所有数都是因数的candidate
比如万一N能够被p_k*250+1整除呢？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:59:59 2013, 美东) 提到:
在一个错误的假设下, 你推出相互矛盾的命题, 是很正常的, 反正法的作用你应该能理
解吧?
只要推理符合逻辑, 那错误的就不是 "推理" 和 "证明" 本身了, 而是前提假设.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:00:33 2013, 美东) 提到:
我还是举例子吧.
你说N是合数, 对吧?
假设质数只有2,3, 那么2*3+1=7
请问7是合数还是质数?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:00:47 2013, 美东) 提到:
好啊。假设质数只有2和3，你推出25是质数；之后经验证5也是质数。于是你的质数集
合现在变成了｛2,3,5,25｝。你可以一直往下推，“证明”质数有无限个。但是你在反
证的过程中已经自相矛盾了好么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:02:28 2013, 美东) 提到:
如果质数只有2，3
那5是质数还是合数？按你的假设应该是合数
那么你的那个N有被5这样的数（或者其他组合）整除的危险，需要证明
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:02:36 2013, 美东) 提到:
这取决于素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
你是否认同这个定义?
你如果认同, 那么N的因子就只需要考虑素数. 你如果认为这个定义不对, 那就是另一
回事了, 那样的话我可以给你讲讲为什么这个可以作为素数的一个等价的定义.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:04:45 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3, 我推出了一个矛盾, 所以假设错误.
我的结论是 "质数不只有2和3"
我的结论从来都不是 "质数集合变成了 {2,3,5,25}"
"质数集合变成了 {2,3,5,25}" 这是你的逻辑. 你不要随随便便说这是我的质数集.
这么说你明白不?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:04:54 2013, 美东) 提到:
我是根据你在原帖的回复说的，根据你的逻辑，在这个质数只有2,3的前提下，7既是质
数又是合数。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:05:30 2013, 美东) 提到:
任意数若能分解成除1外的连乘，其最终factor必然是质数。
多想一步就可以了。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:07:04 2013, 美东) 提到:
按照假设应该是合数，但是5又不能分解，所以又是质数，矛盾
我真怀疑你是不是carbon换个马甲又上来了。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:08:01 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3，那么25无法被2，3整除，于是25是质数，这是类似你的证明里的，
对吧？同理5也是。
怎么？你证明完人家是质数，还不给人加到质数集合里面，心虚怎么的？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:08:02 2013, 美东) 提到:
但是你已经假设了素数有限（为了用反证法）
所以p_k到N之间的数都是合数，没错吧
但是你怎么保证N不被p_k到N之间的任何数整除？
你现在要证明N是质数啊
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:10:06 2013, 美东) 提到:
You really got the point!
说泥哥泥哥到，I63看来你无法在人类身上找到优越感了，火星会欢迎你的。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:10:41 2013, 美东) 提到:
问题是大于p_k的所有数都是合数了啊，不是质数
按照反证的假设
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:11:44 2013, 美东) 提到:
那你这个质数集一直往上加？
那还怎么用 cardinal=k的假设？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:12:41 2013, 美东) 提到:
你在说什么？
你无非就是想说N可以被除了p1...pk之外的一些数整除
但是当将N分解为f1*f2*...*fn的形式时，最终所有因子都可以化归为p1...pk。
好吧，我承认这对有些人来说太难了。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:13:03 2013, 美东) 提到:
“你这种臆想是病，得治！”
抓紧啊别再拖了，啊～
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:13:23 2013, 美东) 提到:
这只是说你这个例子而已，又不是说证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:19:49 2013, 美东) 提到:
你假设了质数集有限之后，就不能再用那些推论了
比如质数集只有{2,3}的话，5也是合数（介于3和7之间）
但是5不能分解成2和3
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:25:11 2013, 美东) 提到:
"如果质数只有2和3, 那么7既是质数, 又是合数"
我承认这句话的正确性.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:26:36 2013, 美东) 提到:
请问我什么时候证明过25是质数?
我只承认 "如果质数只有2和3, 那么25是质数".
我从未在没有任何假设前提的情况下说过 "25是质数".
你如果认为我这么说了, 请列举出来源, 否则不要乱扣帽子.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:27:24 2013, 美东) 提到:
一步一步来, 我先问你认同不认同这个定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:27:35 2013, 美东) 提到:
最后点你一句：
任何合数最终可以分解为质数的乘积，这个证明和假设是无关的。
N如果只能分解成合数的乘积，那意味着N可以无限分解下去，等同于N有无限多个因子
，于是N为无穷。这显然是错误的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:27:36 2013, 美东) 提到:
你还得证明7不能被5整除，光证明不能被p_1, p_2也就是2，3整除不够
也就是说2*3+1的构造无法逃脱5这个“伪合数”
当然这个比较trivial
但是当数变大了以后就麻烦了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:30:17 2013, 美东) 提到:
这个没错
但是还有个看似多余的必要条件，就是a不被任何小于a的合数整除
这个一般情况下纯属多余
在你的构造下却不是多余的了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:31:15 2013, 美东) 提到:
你不是czjn和carbon的马甲吧?
怎么好像也不太懂反证法和逻辑.
我这么说吧:
我的目的, 从来都不是为了找出哪些数是质数, 我的目的只是为了证明 "素数只有有限
个" 这个命题不对.
至于哪些数是素数, 与这个命题无关, 我也无需关心.
这么说可以理解不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:31:46 2013, 美东) 提到:
即使不是，也基本是一类人
原以为这人还值得教育下，没想到。。
现在蠢货太多了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:32:20 2013, 美东) 提到:
在你的假设下，合数可能已经无法分解了，比如这里5就是合数
所以你在前面的做法是把它又加进质数集
但这样就破坏了论证过程
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:32:46 2013, 美东) 提到:
我没什么可说的了
你继续。
因子
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:33:19 2013, 美东) 提到:
你既然承认他没错, 那他就是没错.
不过我看你的表述, 似乎是想说 "这个在一般情况下是对的, 但是某些时候不完全对",
如果你想这么说的话, 那就是认为他错了.
如果你认为他错了, 你可以进一步回复我, 明确指出 "这个定义是错的".
我可以在下面的回复中给你证明这个定义的合理性和正确性.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:34:57 2013, 美东) 提到:
如果硬要从 "语言和文字" 的角度来回复你的这个看法的话,
我似乎应该这么说:
如果 "素数只有有限个" 是正确的话, 那他本身就应该是 "一般情况", 如果这个 "素
数只有有限个" 是错的 (也就是说不是你所谓的 "一般情况" 了), 那我根本就无需进
一步论证到底哪些是素数, 哪些不是, 因为我证明的目的已经达到了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:35:59 2013, 美东) 提到:
那我换个方式问你吧:
如果我的假设是正确的话, 合数能不能分解?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:37:22 2013, 美东) 提到:
这个定义本身没错，但不能有其他假设在里面
你做了“{p_i}之外都不是质数的假设”
当然也就破坏了定义，或者说需要加强定义
不然就是循环论证
",
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:37:48 2013, 美东) 提到:
所以吧, 我那个想法还真不是空穴来风的.
这几个逻辑掰不清楚的人我目测其中就有CS工作者, 按理说在社会上也是体面的中产阶
级.
普世价值观下的 "正常人", 可以根据逻辑结构进一步分类, 真的不是随便说说玩的...
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 03:38:07 2013, 美东) 提到:
l63，佩服你还能坚持一遍遍的解释
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:38:09 2013, 美东) 提到:
看91楼.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:39:29 2013, 美东) 提到:
如果假设本身是正确的 (也就是说和公理体系相容, 不知道你懂不懂这句数学表述是啥
意思, 应该大致能明白吧), 那他怎么会和本来就正确的定义有冲突呢? 为什么会破坏
定义?
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 03:43:23 2013, 美东) 提到:
daigaku,经常看你的帖子，收益颇多。
I63的证明是对的。他的证明跟欧氏的证明不一样，所以不需要欧氏证明中额外的东西。
有5这个“伪合数”与否不影响他证明的正确性。正如l63所说，
"如果质数只有2和3, 那么7既是质数, 又是合数"
这个statement是正确的（从逻辑学和一般数学证明的意义上）
我想你一定知道逻辑里面，从一个错误的前提出发推出任何结论都不会影响这个
＊推理＊的正确性。比如说，“1＋1=3 ＝＝》地球是方的”这个推理是正确的。
你静下心，稍微想一想，我相信你很快可以想清楚的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:44:11 2013, 美东) 提到:
谢谢.
其实我的动机是, 按照哥德尔的说法, 现代数学公理体系和逻辑也不能自证其合理性 (
不知道我这说的是不是哥德尔的意思, 我也没看过哥德尔的文章), 所以和我逻辑 "相
同" 的人, 我们都不能说明自己是 "正确" 的.
如果 "正常人" 的逻辑真的可以分为不止一类, 而且无法说明其互相间的优劣性的话,
那会是非常劲爆的结果.
就好比非人的物种, 海豚, 猩猩啥的, 你说他们的逻辑和我们人 (这里指和我逻辑体系
相同的那类人) 是一样的吗?
人和人之间的逻辑结构会不会有区分?
很有意思的问题, 茶余饭后值得花时间探索一下.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:44:23 2013, 美东) 提到:
如果你假设质数为有限
那么可以肯定的是，大于p_k的“合数”里有很多不能分解
成为p_1到p_k之间的数
所以你有两个选择
一个是证明它们当中有质数（但你并没有做，所以有漏洞）
一个是证明N不能被它们当中任何一个整除（我觉得可能无法证明 ）
总之这个问题的结论大家都知道是对的
所以关键就看你的论证有没有漏洞
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:46:15 2013, 美东) 提到:
所以你的意思是 "daigaku" 其人, 从其平常的发炎表现来看, 应该算是一个正常的,
理性的人, 对不对?
我真的很倾向于认为: 正常人中的逻辑结构是可以分类的, 不止一类.
否则这么简单清楚的一个小问题, 怎么会让一部分 (看上去平时非常正常的) 人, 和另
一部分人的基本观念不同?
西。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:47:58 2013, 美东) 提到:
你的这一层与我的问题无关.
我只是问你, 如果你假设一个命题成立, 并且这个命题在当前公理体系下确实是成立的
,
那么他会不会对你之前认为是正确的所有命题造成 "破坏"?
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unclegua (纯洁的刮叔) 于 (Thu May 23 03:50:34 2013, 美东) 提到:
把已知的质数全部乘起来+1得到的N可能不是质数, 但是却可以证明质数有无限多...因
为不管N是质数还是合数, 我们都已经得至少一个新的质数了.
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 03:51:04 2013, 美东) 提到:
l63，佩服你还能坚持一遍遍的解释
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:53:28 2013, 美东) 提到:
从假设出发，你怎么知道7是质数呢？
“万一”7被5整除的话，那它还是质数吗？（当然现在数小，可以看出来）
从构造假设只能看出7不能被2和3这两个质数整除
西。
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 03:55:18 2013, 美东) 提到:
你这个证明有点绕，感觉不够严密。这样证会更好一些 (给你改进了一下)。
假设：素数只有有限个, 记为 p_1, p_2, ..., p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
显然 N 不能被所有 p_i 整除。（1）
但根据假设，N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某些 p_i 整除。（2）
（1）（2）矛盾，假设不成立。
用不到素数的定义。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:56:59 2013, 美东) 提到:
不会
但是“5变成合数以后”，质数的定义显然就变了
应该叫“质数星号”
质数星号不满足你那个性质
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 04:01:02 2013, 美东) 提到:
我也没看过他的文章，你说的这个是他的第二定理，也就是相容性的问题。还有一个定
理是说的不完备性，就是说任何相容的公理体系里总有你不能证明它是真是假的命题。
这种颠覆性的结果是来的很有意思。嗯，多思考多探索才能出有意思的结果！
当然前提是都假设包含了皮亚诺算术公理
(
,
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:02:04 2013, 美东) 提到:
所以说啊，你不能光用N这个构造不能被p_i们整除说事
还得说他如果碰巧是合数，那因子必然有在p_i们之外的
所以质数集元素大于k个
当然也可能是我没理解你的想法
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:12:01 2013, 美东) 提到:
从假设出发（2，3为所有的质数），再加上定义和other well-known facts, 是可以得
出7是质数的结论的，同7是否被5整除无关。
稍微详细一点说，根据2，3为所有质数的假定，7为合数的＊必要条件＊是7被2或3整除。
如果你一定要考虑7是否被5整除的问题，也可以。那么根据2，3为所有质数的假定，5
一定是合数且5一定会被2或3整除，那么，again，在2，3为所有质数的假定下，7就不
可能被5整除。这个逻辑可以扩展到任何2，3和7之间的数。
那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:12:20 2013, 美东) 提到:
编辑掉, 回复错人了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:17:06 2013, 美东) 提到:
1. 请问1楼的证明是否正确? 你的看法是 "有点绕, 不够严密", 如果严格来说, 你的
意思是不是 "不正确"? 那么请你指出错误的地方.
2. 你这里并未作出任何好的改进, 因为 "N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某
些 p_i 整除。" 这句话依赖的数学命题是 :任何大于一的自然数都有素因子分解, 这
个命题证明的复杂程度和我用到的那个素数的等价定义的复杂程度是差不多的.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:17:55 2013, 美东) 提到:
我顺着你的思路问吧:
在主流数学公理体系下, 5是质数还是合数?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:20:12 2013, 美东) 提到:
引用:
-------
"那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。"
------
结束引用
抱歉, 实在没看懂, 你是如何说明1楼的证明不完整的.
能否说仔细一些? 谢谢.
除。
5
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:21:55 2013, 美东) 提到:
那请问:
从假设出发, 除了2和3, 还有质数吗?
☆─────────────────────────────────────☆
ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:22:20 2013, 美东) 提到:
l63的证明跟欧式的证明不一样。如果这里贴的欧氏证明没错的话，欧氏的是构造法，
要构造出一个新的更大的质数。而l63的证明是反证法，不需要考虑任何具体的更大的
质数（或者合数）。
当然你也可以说，l63的以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
somehow implicitly考虑了那些“更大的质数”。但是从这个定义出发，在l63的证明
中确实不需要考虑那些“更大的质数”的。
你觉得这样讲make sense么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:23:01 2013, 美东) 提到:
5显然是质数
但是你用数学归纳的时候，设定了质数={2,3}
所以你还想说5是质数，就必须证明一下了，这难道不是明摆着的吗
如果你证明了5也是质数，其实就已经完成证明了
（当然需要推广到k个元素的一帮情况）
☆─────────────────────────────────────☆
ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:27:37 2013, 美东) 提到:
太晚了，您该休息了。睡个好觉。如果您还想讨论，明天先把这段话再看一遍以后再说
。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:27:49 2013, 美东) 提到:
那么 (接着你106楼的看法),
"5变成合数以后", 我为什么要考虑质数的定义变成什么了呢? 既然5本身就不是合数.
-------
你要搞清楚, 逻辑是这样的:
我假设命题A成立, 最终推出矛盾, 于是知道命题A不成立.
至于命题A "如果成立" 会怎么样, 我根本不需关心.
如果命题A能成立的话 (也就是说A和现有公理体系相容), 那质数的定义又怎么会变呢?
为什么还有什么 "质数星号"?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:29:39 2013, 美东) 提到:
你也可以先解释解释.
另外我不在美国的时区, 现在不是睡觉时间.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:34:10 2013, 美东) 提到:
我的证明中没有用到数学归纳法. 请问你为什么说我用了数学归纳?
那个素数的定义本身是有递归在里面的, 不过你如果承认了其定义的合理性和正确性,
那就没关系了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:37:54 2013, 美东) 提到:
我现在更理解了你的想法
你是想说即使7被5整除，也符合质数的定义，对吧（在假设下）
因为不被2和3整除
这里有个问题，
质数实际上是不被1和本身以外任何“自然数”整除
之所以可以简化为“不被比其小的质数整除”
是考虑到了质因数范围在[2,N-1]都可能，这才成立
你的构造实际上限定了质因数范围在[2,p_k]之间
这已经破坏了等价定义成立的条件，那个等价定义就不能用了
当然，就像我说的，你也可以把自己定义的“质数星号”拿来论证
证明它最后等价于质数或者包含与质数什么的
但是你没有做
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:39:49 2013, 美东) 提到:
这个等价定义隐含条件是“因数可以是小于N的任何数”
一般情况下是对的
但在lz假设下不对
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:45:07 2013, 美东) 提到:
不是归纳，我用词不当
就是说我们讨论这个例子{2,3}的时候，
你怎么还能假设他就是我们日常说的“质数”并用到它的全部性质？
,
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:45:20 2013, 美东) 提到:
如果质数只有2和3, 且2和3都不整除7, 那么根据定义, 7就是质数 (即使5整除7).
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:48:20 2013, 美东) 提到:
请参考质数的“原始定义”
其他推论是有前提的
你的假设破坏了前提
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:49:02 2013, 美东) 提到:
你不懂反证法.
如果假设质数范围在[2,p_k]之间直接就 "破坏了定义", 那这个假设本身就是错的, (
否则怎么可能原先正确的东西变成错的了? 用你的话说叫 "被破坏了".)
所以根本无需考虑这种 "破坏定义" 的情况. 你去考虑这个, 叫庸人自扰. 别人不考虑
, 你不能说别人错, 因为你考虑这个是多余.
这么说你理解了不?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:50:57 2013, 美东) 提到:
一个假设如果能够 "破坏正确的东西", 那这个假设是对的还是错的?
我想你的回答应该是: 假设是错的.
如果已经是错的了, 那我的证明已经完成了. 我何必在他是错的的基础上还要考虑什么
"他破坏了什么什么东西" ?
☆─────────────────────────────────────☆
ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:51:15 2013, 美东) 提到:
好，那你同意根据lz的质数定义，他的证明完整，没有问题，是吧？
如果是，那我们说等价性的问题。我们可不可以在lz的证明之前，先“证明”lz的定义
和标准定义等价呢？这个证明很简单（比如用递归），并且同质数有穷无穷无关。你觉
得是不是？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:52:55 2013, 美东) 提到:
问题是，你在证明过程中直接用到了那个“等价定义”
我现在告诉你只能用原始定义，因为那个等价定义成立条件被改变了
为什么改变了？因为你的反证假设
你要么死抠原始定义
要么从原始定义出发，用你的假设推出定理
不能再用“素数就是没有比它小的质因数的数”
因为在你的假设下，对质因数的搜索范围太小，跟原始定义不等价了
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:54:56 2013, 美东) 提到:
你可以先从原始定义出发推出等价定义. 这一步与假设是什么毫无关系.
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:56:43 2013, 美东) 提到:
我认为没法证明“等价”
你怎么证明p_k到N之间的数都不是N的因数
这个太难了
但实际上不用证明等价
前面那谁已经说了，只要证明N的因数都“大于p_k”就行了
lz的主要错误在于认为只要N没有p_k以下的因数就可以了
我指出这不符合素数的“原始定义”
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:57:29 2013, 美东) 提到:
我再把这个问题问一遍, 你直接回答一下:
如果在某个假设下, 本来正确的东西变得错误了 (在这里, 你的表述是 "因为在我的假
设下，对质因数的搜索范围太小，跟原始定义不等价了")
那么, 这个假设, 是对的还是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:58:17 2013, 美东) 提到:
哦, 所以你的问题是不会证明这个定义是素数的一个等价定义?
不会的话可以明确说出来, 我给你补一个证明.
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:58:19 2013, 美东) 提到:
素数的原始定义（根据维基）：
“
质数，又稱素数，指在一個大於1的自然数中，除了1和此整数自身外，無法被其他自然
数整除的数（也可定義為只有1和本身两个因数的数）。
”
如果7被5整除，那就不是素数。period
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:59:56 2013, 美东) 提到:
那么你到底是否承认以下这个定义的正确性?
素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:02:29 2013, 美东) 提到:
只能说明你的论证过程不对
我再重复一遍，N很可能不是素数（根据素数的原始定义）
你的论证是：（1）N是素数；（2）N在k个素数之外。所以反证法成功。
我告诉你（1）就是错的
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:06:39 2013, 美东) 提到:
怎么又来了，我都说了好多遍了
再强调一下你的错误：
你用你的假设推出N是素数，然后说这是第k+1个素数
但实际上根据素数的原始定义，它可能不是素数
为什么你会推出它是素数呢？因为你用了等价定义
但等价定义默认的条件是[2,N-1]之间的质数都可能是质因数
你却只允许[2,p_k]之间的质数是质因数
所以没法用
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:10:33 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑.
我从未在没有任何前提假设的情况下说过 "N=p1*p2*...*pn+1是素数"
我只说 "如果素数只有p1,p2,...,pn, 那么N=p1*p2*...*pn+1是素数"
你究竟是否知道这两句话的区别?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:11:30 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑, 请问我哪一句话说了在前提假设下, N是第k+1个素数?
实际上在前提假设下, 素数不是只有k个吗?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:12:52 2013, 美东) 提到:
我只问你是否认为这个定义正确? 我认为你并没有明确回答.
我想这个定义正确不正确, 和前提假设应该无关系吧?
难道你的观点是, 一句话在主流公理体系下是否正确, 还和你某个证明中的前提假设有
关?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:16:41 2013, 美东) 提到:
你回帖前麻烦先把没看过的楼层都看一遍.
我不厌其烦的再根据你的逻辑问这个 (我已经问了很多遍而你没有回答) 的问题:
如果A正确, 但是在前提假设B下可以推导出A不正确, 那么请问假设B是不是错了?
如果假设B错了, 那我为什么要考虑 "B不正确的话会怎么怎么样" 这种事情? 这是不是
多余?
--------
具体来讲, 在这里, 你的看法是:
本来这个定义 (指1楼中所用的素数的定义) 是对的, 但是在前提假设下, 这个定义的
正确性 "被破坏了" (用标准语言来说, 也就是错了), 那这是不是直接说明前提假设是
错的? 既然前提假设是错的, 那我反证法的目的不是已经达到了?
我再去考虑 "这个定义被破坏了会怎样" 是不是多余? 是不是庸人自扰?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:17:28 2013, 美东) 提到:
即使p_i们都是素数
N也可能不是素数
你说它是素数需要证明（说实话我觉得根本证不出来）
仅仅说它不含p_i当中任何一个因子是不够的
它说不定含有 p_n+444 这个因子呢（瞎说的哈）
但实际上你不用证明N在此条件下是素数也能完成证明
前面说了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:17:57 2013, 美东) 提到:
试问, 在前提假设 (质数只有p_1,p_2,...,p_k这k个) 下,
[2,N-1]内的质数, 和[2,p_k]内的质数有什么区别?
你考虑[2,N-1]这个区间, 是不是多余?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:20:51 2013, 美东) 提到:
真怀疑你是否看过证明
一楼原文如下:
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假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
---------
其中是不是说明了, 在这个前提假设下, N就是素数?
只有这么几行, 看起来也不麻烦. 你居然都会认为我没证明 "在前提假设下, N是素数"
.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:23:04 2013, 美东) 提到:
试问, p_n+444 是不是素数? 如果不是素数, 他有没有素因子? 如果他有素因子 (称为
r), 那r是不是N的素因子?
而且这个推理本身根本和1楼的证明毫无关系.
证明素数的等价定义时或许会用到, 但是我不明白既然你已经承认定义的合理性了, 为
什么用的时候要去怀疑他.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:25:25 2013, 美东) 提到:
"但实际上你不用证明N在此条件下是素数也能完成证明"
我从未说过只有证明N在此条件下是素数才能完成证明.
---------
我只是问你1楼的证明对不对.
你如果认为不对, 那就得指出问题所在.
这么简单的逻辑关系, 真的会有人看不懂吗?
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gushe (波娃) 于 (Thu May 23 08:44:03 2013, 美东) 提到:
难道我的理解有问题？如果p-k到n之间的数是合数，那么这个数必然能被分解，n不能
被假设的所有的质数整除，那么也不能被之间的合数整除，如果之间的数是质数，那么
不论能不能整除，都得到另一个质数了
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 08:52:37 2013, 美东) 提到:
我也认为这个证明有误。最后你推导不出N是素数。它可能是个合数，但包括一个素因
子不属于{p_1, ..., p_k}，于是这个素因子成为新发现的素数。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:04:22 2013, 美东) 提到:
而且，上面证明的最后一步，依赖于算术基本定理。
The Fundamental Theorem of Arithmetic: Any integer greater than 1 is either
a prime number, or can be written as a unique product of prime numbers (
ignoring the order).
而算术基本定理的证明，又依赖于欧拉引理或者称为欧拉第一定理
Euclid's lemma: Let p be a prime number, and assume p divides the product of
two integers a and b. (In symbols this is written p|ab. Its negation, p
does not divide ab is written p∤ab.)
Then p|a or p|b (or both).
以上一系列的证明，并不依赖于“素数有无穷多个”这个假设。
我看了半天，所有楼上的，没一个是学数学的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:07:11 2013, 美东) 提到:
你不要认为你推导不出, 别人就推导不出.
----
素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
-----
承不承认这个定义的合理性?
如果承认的话, 那请指出1楼证明的问题所在.
请问如果在这个假设下, 推导不出N是素数.
那么一楼第六行那个 "N是素数" 之前必然至少有某处是错的, 请问是哪一处?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:09:42 2013, 美东) 提到:
就这水平还好意思判断别人是不是学数学的.
你可以说我使用的那个素数的定义的合理性是依赖于Fundamental Theorem of
Arithmetic的, 但是你不能说那个定义是错的, 或者1楼的证明是错的.
你是学数学的? 你要是学数学的, 数学学成这样, 其实挺丢人.
either
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:11:39 2013, 美东) 提到:
在一个错误的假设下, N可能是合数, 不代表N就不可能是素数.
出现这种荒诞结果的原因是: 假设是错的!
基本逻辑都搞不懂, 居然敢断言楼上所有人都不是学数学的, 可笑.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:13:10 2013, 美东) 提到:
你这个素数的定义不对，是根据素数定义的一个推论。本身需要证明。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:13:31 2013, 美东) 提到:
注: 152楼的表述有误.
应该这么说:
在一个错误的假设下, N有可能是合数, 不代表 "N一定是素数" 是错的.
出现这种荒诞结果的原因是: 假设是错的.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:14:31 2013, 美东) 提到:
所以你的问题在于, 质疑我给出的这个素数定义不对?
我可以证明给你看, 这是素数的一个等价定义.
需要看看不?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:16:15 2013, 美东) 提到:
另外, 一个东西 "需要证明" 不代表他 "不对".
这么基本的事情, 你难道都理解不了?
我看你的表述, 似乎就是在说 "你这个东西不对, 他需要证明"
"命题A需要证明" 可以作为 "命题A不对" 的理由吗?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:18:15 2013, 美东) 提到:
"在一个错误的假设下, N有可能是合数, 不代表 "N一定是素数" 是错的. "
你这已经自相矛盾了。在错误的假设下，你认可N可能是合数。既然N可能是合数，那你
说N一定是素数的推断不对。
我的表述是，在错误的前提下，N可能是素数，那就得出矛盾。N也可能是合数，但根据
算术基本定理，这个合数有一个不属于以前素数的素因子，从而找到新的素数，同样是
矛盾。于是说明这个前提是错误的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:21:50 2013, 美东) 提到:
你也是个逻辑有问题的.
(好, 我不那么武断, 改成: 你也是个在我眼中逻辑有问题的. )
我问你:
--------
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
--------
这句话对不对?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:22:50 2013, 美东) 提到:
什么叫定义？数学中，一个定义可以推导出很多等价定义。而你的定义是有问题的。
你对素数的定义是
a是素数 <==> a是大于一的整数，a不能被小于a的素数整除。
你仔细看看，这个定义有问题么？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:24:34 2013, 美东) 提到:
你说的证明是正确的, 不代表我的证明就是错误的.
你如果认为我的证明错误, 你就应该指出错误的地方, 而不是说一个不相关的正确的证
明.
-------
这就好比, 我说: "姚明是个男人"
你说: "不, 你说的不对, 郭敬明是男人"
我问你: "为什么我说的不对"
你说: "因为郭敬明是男人. 你认同郭敬明是男人吧?"
我说: "我认同."
你说: "所以你之前是错的."
-------
你现在我看就是这个逻辑.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:25:16 2013, 美东) 提到:
所以你是说这个定义是错的吗?
请问你需要我给你证明一下这个定义是对的吗?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:25:23 2013, 美东) 提到:
这句话当然不对。你应该不是学数学的，这么简单的问题，你现在也没发现。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:26:08 2013, 美东) 提到:
啊哈哈, 你真的是学数学的吗?
这下你丢人真丢大了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:27:00 2013, 美东) 提到:
你给说说素数是怎么定义的吧.
我给你往这个等价定义上推导.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:30:03 2013, 美东) 提到:
看来只好我教教你了。
你的定义，是用素数来定义素数，犯了循环定义的错误。
你称一个数a为素数，就是a大于1，且不能被小于它的素数整除。可是我问你，什么叫
“小于它的素数”。你定义的时候，已认可另外一个定义”小于它的素数“。这种定义
的错误，学数学的人不会犯。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:30:50 2013, 美东) 提到:
看来只好我教教你了。
你的定义，是用素数来定义素数，犯了循环定义的错误。
你称一个数a为素数，就是a大于1，且不能被小于它的素数整除。可是我问你，什么叫
“小于它的素数”。你定义的时候，已认可另外一个定义”小于它的素数“。这种定义
的错误，学数学的人不会犯。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:35:34 2013, 美东) 提到:
真正素数的定义，是指一个大于1的自然数，只能被1和自己整除。这个定义，是建立在
对自然数的定义之上。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:36:59 2013, 美东) 提到:
从这个素数的定义，当然可以推出一个素数不能被任何比自己小的素数整除。所以，你
的这个结果，是根据素数定义得到的推论，本身不能用来当定义。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:38:18 2013, 美东) 提到:
好好学学什么叫递归再出来混吧.
这个定义就是一个递归的定义.
我定义a是不是素数的时候, 只用到了比a小的数的性质, 怎么就循环定义呢?
给你举个例子:
根据我的定义判断5是不是素数:
首先5>1, 其次, 需要找出比5小的自然数中的素数, 我们依次来看:
2是素数吗? 2大于1, 并且没有比2小的素数 (这是因为比2小的自然数最大只能是1, 而
素数要大于1), 所以不存在比2小的素数, 2自然就不会被比2小的素数整除, 于是2是素
数.
3是素数吗? 3大于1, 比3小的素数, 根据如上陈述, 可知, 只有2, 但是2不整除3, 于
是3是素数.
4是素数吗? 4大于1, 但是4被2整除, 2是素数, 于是4不是素数.
我们找出了比5小的所有素数, 即2,3, 并且我们知道, 2和3都不整除5, 所以5是素数.
看懂了没? 哪里有循环定义?
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:42:28 2013, 美东) 提到:
莫名其妙啊。你文科生？ lz列的证明的是反证法，你用来证明N是合数是循环论证。狗
屁不通。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:43:26 2013, 美东) 提到:
这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:44:20 2013, 美东) 提到:
你想要递归定义，就得有终止条件。也就是你要定义第一个素数。
根据你的递归定义，要加上一条，强制规定2就是素数。否则，你如何证明没有比2小的
素数。
看来你是学计算机的，没有学数学的严谨。
那按照你的递归定义，素数是递归定义出来的，而第一个素数2是强制规定的。你要玩
算法可以，玩数学就不行了。
你要如此，我来问你，你如何定义自然数？如何定义整数？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:46:27 2013, 美东) 提到:
用定义还是用推论不影响证明的过程。因为要证明的是无穷性，并不是什么是素数。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:48:20 2013, 美东) 提到:
眼睛瞎吗?
不会根据定义判断2是不是素数吗?
我再写一遍, 或者你回去重读169楼也可以.
如何用我的定义判断2是不是素数:
2>1, 成立.
考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然数
,
故不存在比2小的素数.
于是2不被任何小于2的素数整除.
于是2是素数.
--------
能看懂不?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:49:37 2013, 美东) 提到:
这个推论不能当成定义。要用就用素数原始的定义。
证明的过程用了不当的定义，整个证明就有了问题。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:51:13 2013, 美东) 提到:
素数定义不是靠人说了算的。所以楼主的确用词不当，不应该说是定义。但是除此以外
，没有什么问题。
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:52:03 2013, 美东) 提到:
与推论矛盾照样是反证。不一定要与定义矛盾才是反证。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:52:15 2013, 美东) 提到:
当然不对。你不定义好素数，又如何定义合数。那何来的”不是素数就必是合数“这个
命题？
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:54:38 2013, 美东) 提到:
如果用素数的推论的话，那么从素数的定义，就可以推导出有无穷多个素数，那还证什
么。
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:56:42 2013, 美东) 提到:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
你认为需要证明这个么？
你就是认为lz少了一步对此的证明是吧？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:57:44 2013, 美东) 提到:
我只问你这个证明对不对.
我未列举出素数和合数的定义, 自然是默认主流的定义, 我证明中使用的都是别人已经
证明为正确的结果.
这里并未从素数的定义出发来证明所有命题, 包括Fundamental Theorem of
Arithmetic, 我都没有证明, 是直接使用的, 但是我用到的所有步骤, 你敢说哪一步是
错的吗?
你如果认为证明不对, 请你指出其中哪一步推导是错误的.
如果你认为证明是正确的, 那么请你承认:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:58:40 2013, 美东) 提到:
你只能用=>，不能用<=>
如果你想用<=>，那前提是已明确素数的定义了，然后产生几个等价命题。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:59:14 2013, 美东) 提到:
你可以说我1楼的证明 "很低级" "很麻烦"
但是你如果要说他 "是错的", 那请指出错误的地方. 不要用我160楼提到的那种低水准
的伎俩.
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:59:34 2013, 美东) 提到:
推论是从定义出发证明出来的。你可以说素数无穷是推论。但你如果要证明此推论，那
么此推论不能用来作为证明的前提。
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:00:47 2013, 美东) 提到:
素数定义当然是明确的，而且是公认的，不是靠人来说的。
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:01:32 2013, 美东) 提到:
证明自己定义出来的“素数”而不是公认定出来的“素数”的无穷性有任何意义么？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:01:35 2013, 美东) 提到:
不, 定义当然是人说了算的.
只是有一个主流的定义大多数人都认可而已.
在这个基础上还可能有若干等价的定义.
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:02:31 2013, 美东) 提到:
如果你的定义不是公认的或主流的定义，那你必须先证明他和主流定义等价。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:03:00 2013, 美东) 提到:
顺便说一句, 意识到自己的错误的时候麻烦回帖知会一声, 别像今天其他几个人一样,
发现错了就灰溜溜的跑了, 屁都不敢放一个.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:04:14 2013, 美东) 提到:
那当然,
在171楼中, 我已经用一些公认正确的命题, 给xiongyp证明了我的定义是和主流定义等
价的.
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:04:37 2013, 美东) 提到:
所谓定义，就是不需要证明的。靠证明推出的是推论，不是定义。
☆─────────────────────────────────────☆
ghxiao (bridgelover) 于 (Thu May 23 10:04:46 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是，N是素数这个结论是不是正确和证明这个命题是不相关的？只要它和
原来的假设矛盾就行了？
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:07:58 2013, 美东) 提到:
推论也要定义也好，等价就行。这有点像玩文字游戏
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:10:07 2013, 美东) 提到:
对.
具体来说是这样的:
"如果素数只有 p_1,p_2,...,p_k, 那么 p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话是对的
.
"p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话我从来没在缺乏前提假设的条件下说过, 至于
其正确性, 与我的证明无关.
前n个素数的连乘积+1当然有可能是合数, 比如2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509, 但这
根本不能说明1楼的证明本身是错的, 有些人连这一点都绕不过去, 我觉得很可笑.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:12:10 2013, 美东) 提到:
你证明的整个思路是没问题的，但有不严谨的地方。你能过素数的原始定义，得到一些
等价出来的正确的命题，然后用这个命题来证明最后的结论，是没问题的。问题在于你
给出的称为素数的定义
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
是不严谨的。
你既然用你称为"默认主流的定义", 就应该用这个定义来进行反证。可是你却要用别人
证明了正确的结果，这使得整个证明的美观性大打折扣。
你知道集合论中的罗素悖论吧？这个悖论就是用集合本身的定义来否定集体论本身。他
给出集合定义{x|x does not belong to x}，结果证明这不是集合，也是反证法。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:16:36 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我只问你证明的对错.
既然你说 "不严谨", 那想必是 "有错" 了?
学数学的人从来不屑于说 "不严谨" 这个词, 你认为有错, 那么就指出错误所在.
扯不出1楼证明错在哪里, 连罗素悖论都开始用上了? 呵呵, 节操呢?
PS: 那个递归定义看懂没? 循环定义在哪呢? 还求您老指点呀.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:16:56 2013, 美东) 提到:
作为一个学数学的人, 不敢承认自己的错误, 是可耻的.
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:17:16 2013, 美东) 提到:
反证法，只要证明过程逻辑没错误，证明出矛盾就成了。既然有矛盾，过程中肯定有假
命题出现。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:18:01 2013, 美东) 提到:
拍个照.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:18:58 2013, 美东) 提到:
反证法的思想，就是以子之矛，攻子之盾。而楼主的做法，是把矛重新打造成了一把同
样锋利的刀，再来攻子这盾。当然，以后我们就不叫矛盾了，改刀盾了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:21:33 2013, 美东) 提到:
另外, 求您老给来一个 "素数有无穷多个" 的 "美观" 的证明方法.
记住, 千万别用反证法哟~ 因为罗素悖论告诉你, 反证法都是错的.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:21:50 2013, 美东) 提到:
我反复强调了，你的错误在下面这句话。
"由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
我的理解，就是你认为素数的定义为
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
那自然是错误的，不能这么定义素数的。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:22:24 2013, 美东) 提到:
我也拍个照
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:23:39 2013, 美东) 提到:
再拍个照。
我什么时候说过罗素悖论说反证法是错的啊？罗素悖论是反证法的一个经典案例。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:23:50 2013, 美东) 提到:
谁告诉你不能这么定义素数?
我之前已经证明了这么定义素数的合理性, 你既然不看, 那怪谁?
打回去重看169楼, 171楼, 174楼.
如果还有疑问, 请留言.
如果认为这个定义不对, 请明确指出哪里不对.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:27:00 2013, 美东) 提到:
好, 那么反证法没错, 你既然认为反证法没错, 你195楼屁叨叨屁叨叨说半天的目的是
什么? 我看你啥都没说.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:27:47 2013, 美东) 提到:
我已经说了, 您老说我的证明 "低档次","太繁琐","没水平" 都可以, 我接受, 毕竟您
老厉害呀!
但是您老要是说我的证明 "错误" (同类词语 "有误","不对","不完备","不严谨" 等等
), 那还烦请您老指出错误所在哟~
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:28:27 2013, 美东) 提到:
我觉得你现在在讨论语文错误而非数学错误，争论的只是推论还是定义。不觉得太无聊
了么。如果不用语言纯用数字逻辑符号来证明，就一点问题也没有了。所以lz的证明逻
辑完全没有问题，最多就是描述上可能有一点问题。所以就这个问题提出异议的都是鸡
蛋里挑骨头，故意找茬。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:33:42 2013, 美东) 提到:
我在172，178已反驳过
再反驳你说的174楼，2是素数的问题。
这是你的原话在174楼
[考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然
数]
注意，你考察2的时候，还没素数定义呢。
可是你却说"素数要求是自然数, 且大于1"，这个说法来自于素数的原始定义，也就是
公认的定义，并由此你推断出2是素数。也就是说，最开始的素数2，是由原始定义来证
明出来的，而不是你所谓的定义得到的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:35:04 2013, 美东) 提到:
抛开定义不说, 一句话是不是定义, 和他 (在主流数学体系下) 是对的还是错的, 没有
关系吧?
你干脆告诉我:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题是对的还
是错的就行了, 然后再告诉我, 如果他是对的, 那我在一个证明里能不能用.
如果他是错的, 说出错在哪.
你之前所谓的 "循环定义" 我已经在169楼和174楼做出了 (我认为) 明确的回复. 我不
知道你是否还认为这个有 "循环定义" 的问题? 如果你认为有, 麻烦指出169楼中的错
误.
如果你认为没有 "循环定义" 的问题, 麻烦指出其他问题.
--------
另外, 作为一个学数学的, 我认为最基本的素养是能够承认自己的错误, 比如就目前情
况来看, 你没有对 "循环定义" 这个问题做任何后续说明, 我姑且认为你已经知道了自
己的错误 (当然这只是我的猜测), 如果你已经知道自己错了, 还不说出来, 那我以你
为耻.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:36:35 2013, 美东) 提到:
你在
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
这句话里难道看不到 "素数要求是自然数, 且大于1" ?
我说你眼瞎不冤枉你吧.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:40:43 2013, 美东) 提到:
好，我就用英文表达楼主的关键性错误
"由素数的定义:
According to the definition of prime numbers,
We say a is a prime number if and only if a is a natural number greater than
1 and a can not be divided by any prime numbers less than a.
If this definition works, then I can define an irrational number
We say b is an irrational number if and only if be can be expressed as a
limit of irrational numbers.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:47:05 2013, 美东) 提到:
那你的表述就应该是这样的。
在大于的自然数中
a是素数 <=> a不被任何小于a的素数整除
即便这样定义，依然有问题
比如说2，根据你的说法，不存在小于2的素数。而你要求"不被任何小于a的素数整除"
已无法验证。因为小于2的素数为空集。这个时候，你如何证明2是素数。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:49:23 2013, 美东) 提到:
你的If是错的.
你定义b 是 irrational number的时候, 用到了irrational number, 而定义中的
irrational number你无法判定 (至少我认为你无法判定)
而我定义a是素数的时候, 我只用到了 "比a小的自然数中的素数" 的性质, 而我是可以
判定哪些比a小的自然数是素数的.
-------
另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
可以是无理数的, 有理数列的极限也可能是无理数.
不过这个问题与你本来的目的无关, 指出你这个错误也没什么意思, 我就不多说了.
than
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:54:28 2013, 美东) 提到:
首先你这多此一举我就不说了.
还是那句话, 你要指出我的错误, 应直接说出错误的地方, 而不是换一种同样正确的说
法, 这毫无意义.
其次, 没有小于2的素数, 自然2不被任何小于2的素数整除, 这句话难道你不懂?
你真的是学数学的吗?
看看以下这个命题对不对吧, 以辅助我判断一下你的数学水平:
"对于任意a∈∅, a是自然数."
如果你觉得不对, 那可以看一下这句话的符号化表述:
a∈∅ -> a∈ N
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:55:50 2013, 美东) 提到:
[另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
That is true. But it does not conflict my definition. An irrational number
can be a limit of rational series or irrational series. But the limit of
irrational series must be an irrational.
[而我是可以判定哪些比a小的自然数是素数的.]
How?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:57:09 2013, 美东) 提到:
p_i除N的余数是1, 不是0, 所以p_i不能整除 N
不需要去讨论大于p_k之后的数和N的整除关系, 因为已经假定了素数只有p_1,p_2,...,
p_k, 我只需要找素因子就可以 (请看一楼中素数的定义).
懂了没?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:57:57 2013, 美东) 提到:
"How?"
我169楼的例子白写了吗?
限才
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:58:00 2013, 美东) 提到:
"对于任意a∈∅, a是自然数."
It is definitely wrong. ∅ means the empty set, right?
If a belongs to an empty set, a is nothing. It is not a natural number at
all.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:59:20 2013, 美东) 提到:
我172反驳的贴子也白写了吗？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:00:05 2013, 美东) 提到:
修改掉, 在下面楼回复.
限才
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:02:10 2013, 美东) 提到:
所以你的意思是
a∈∅ -> a∈ N
是错的?
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 11:02:19 2013, 美东) 提到:
(1) The definition I used for Composite Numbers is its original definition,
trivial and obvious.
(2) The definition you used for Prime Numbers is not conventional. I would
say it nontrivial for an easy and simple proof problem like this.
(3) The definition you provided for Prime Numbers itself does not
automatically imply N is a prime number. It has to be clearly stated that it
must be in combination with the initial assumption that p_1, p_2, ..., p_k
are all the prime numbers that are less than N and the fact that N is not
divisible by any of them. In my view, that is a nontrivial logic leap in
your proof, considering the small size and magnitude of the problem itself.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:03:42 2013, 美东) 提到:
174楼看不懂?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:04:38 2013, 美东) 提到:
楼主对素数的递归定义，用的显然是数学归纳法。假设2是素数，那一切比2大的自然数
如果不能被任何比它小的素数整除，那必然也是素数。这个定义是没有问题的。但这个
定义要首先证明2是素数，这就要用原始素数定义了。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:06:07 2013, 美东) 提到:
楼主对素数的递归定义，用的显然是数学归纳法。假设2是素数，那一切比2大的自然数
如果不能被任何比它小的素数整除，那必然也是素数。这个定义是没有问题的。但这个
定义要首先证明2是素数，这就要用原始素数定义了。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:07:05 2013, 美东) 提到:
Yes.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:17:39 2013, 美东) 提到:
no, 如果前提为假命题，所有结论都为真。看来你没学过逻辑学。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 11:17:44 2013, 美东) 提到:
大哥 我看不下去了。。。你真是学数学的么？学CS的也不是把。。。
对空集元素的任何命题都是正确的。。。N多证明最后都需要用到对于空集结论成立（
trivial）。。。
vacuous truth。。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:25:51 2013, 美东) 提到:
我承认错误，这个结论我写错了，真诚道歉。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:28:19 2013, 美东) 提到:
但我坚持楼主定义不对。还是对2是素数的讨论。
因为找不到比2小的素数，所以2就是素数。
这是楼主的结论，这个大家认同吗？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:37:45 2013, 美东) 提到:
lz是对的。
反证法： 按照lz定义，如果2不是素数，那么存在比2小的素数可以整除2。比2小的自
然数只有1。 1不是素数。矛盾。
所以2是素数。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Thu May 23 11:40:55 2013, 美东) 提到:
这方法能证3是素数吗？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:43:15 2013, 美东) 提到:
我认为可以。5，7，11，多大都可以证。穷举法。只是太大的数字，穷举法太麻烦，所
以用递归，正确的说法是数学归纳法。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:45:47 2013, 美东) 提到:
问题恰好在这里
我们做个集合X={比2小的素数}.结果发现这个集合为空，所以证明2是素数。表面看是
没问题，仔细看，问题大了。
我再三强调，在证明2是否为素数前，我们并没有素数的概念。因为楼主是递归定义的
。既然没有素数的概念，又何来小于2的素数集合呢？
这个时候是定义的问题，不是反证法的问题。包括罗素悖论，都是建立在对集合论的定
义基础之上。
我请大家冷静的想我下面的这个命题。这是仿造楼主的定义。
a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 11:46:29 2013, 美东) 提到:
大哥~你别硬撑了。。。lz定义没问题啊。。。
recursive到2的时候，根据lz定义需要判断2能不能被任意比2小的素数整除。而比2小
的自然数只有1，而根据定义1不是素数，因此满足条件的素数的集合是空集，那么命题
：所有属于空集的素数都无法整除2 恒为真，证毕
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:47:46 2013, 美东) 提到:
有素数概念啊，如果认为符合lz定义的就是素数: a是大于1的自然数，而且不能被小
于a的素数整除。
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 11:48:26 2013, 美东) 提到:
围观之
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:49:25 2013, 美东) 提到:
那楼上看看我能不能如下定义。我仅仅加了一个字”奇“。
a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 11:51:53 2013, 美东) 提到:
...
你那个N不是素数。。。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 11:53:17 2013, 美东) 提到:
我觉得你没必要使用素数的等价定义，把简单问题复杂化了。别人只是指出了这一点，
但是你不肯承认。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:54:36 2013, 美东) 提到:
既然能recursive到2，为什么不能recursive到3？我同样有递归如下定义，是否也能成
为素数的定义。我这个定义就是recursive到3
"a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。"
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:55:43 2013, 美东) 提到:
这是你定义的素数，不是公认定义的素数。和公认定义的素数不等价。但也可以用相同
方法证明其无穷性。有问题么？
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 11:56:40 2013, 美东) 提到:
N是偶数？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:58:39 2013, 美东) 提到:
有没有必要和对错完全是两个概念
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:59:44 2013, 美东) 提到:
不是素数但又是素数，所以才矛盾
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:01:20 2013, 美东) 提到:
文科生就别凑热闹了
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:03:23 2013, 美东) 提到:
真2
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:04:48 2013, 美东) 提到:
太欢乐了，这儿
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:05:44 2013, 美东) 提到:
我强调多次，这个定义是循环定义。预先知道什么叫素数了，再找个推论。
(1) "a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素
数。
(2) "a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素数。
(1)和(2)都是递归定义. (1)不全，漏了2。(2)是全的。这说明递归在数学上不能当成
定义，只能当成数学归纳法用来证明一个命题。而且，递归的初始条件，是靠定义来完
成的。
比如说证明2是素数，是根据素数定义，说一个大于1的自然数只能被1和其本身整除。2
正好满足这一定义，这才是证明2是素数的根据。并由此展开数学归纳法，就可以证明
凡是大于1而不能被比自己小的素数整除的，必是素数。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:06:30 2013, 美东) 提到:
N = p_1*p_2*...*p_k + 1
我是文科生，请教一下。
既然N是偶数，那就不是素数
那有限个素数不是还成立吗
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:07:07 2013, 美东) 提到:
come on, 2 is a prime number, so N must be odd
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:07:52 2013, 美东) 提到:
而楼主用小于2的素数集合为空集来证明2是素数，这绝对错误。你在不知道什么是素数
的情况下，居然去定义一个素数集合，已自相矛盾了。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:08:16 2013, 美东) 提到:
如果使用了这个等价定义，必须先要证明，不能省略。但是在lz给出的原证明并没有出
现，那么这个证明是建立在两个假设上的：
1.一个自然数如果只能被1和自己整除就是素数 《=》 一个自然数不能被小于自己的任
何素数整除（最小的素数是2）就是素数
2.只有有限多个素数
反证的结论应该是两个假设至少有一个不为真，而不是2不为真
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:09:26 2013, 美东) 提到:
在你这个定义下，2不是素数，因此不能成为大家公认的素数定义。另外这个lz的证明
有关系？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:09:34 2013, 美东) 提到:
递归定义不是不可以啊，递归只要能追溯到源头就行。而且此定义与公认定义等价，有
什么不可以的呢。递归和循环不是一个概念。递归证明叫数学归纳法是可以的，循环的
叫循环论证是无理的。
数。
。2
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 12:10:32 2013, 美东) 提到:
（1）首先，题目很小。引用素数的非常规定义，杀猪用牛刀。只会是证明复杂化。
（2）其次，你这个非常规定义本身并不自动暗示N是素数。N满足定义才能说N是素数。
你对素数的定义：不被任何小于它的素数整除且大于1的自然数。这里你漏掉了N是如何
满足你这个定义的这个关键环节而直接得出N是素数。这个属于逻辑跳跃。这里需要清
楚写明：
（A）N为大于1的自然数，这个trivial，不必多言。
（B）根据原始假设，p_i （i=1,2，。。。，k）是小于N的所有素数。这个很关键。
（C）N不能被所有p_i整除。这个前面已有结论。
基于（A)(B)(C)三点，才可得出N是素数的结论，与原始假设矛盾。实际上反证法不必
要求与原始假设矛盾，出来的任何矛盾都可否定原始假设。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:11:26 2013, 美东) 提到:
你如果不承认（1）是对的，需要楼主证明，那的确楼主应该证明。但楼主认为大家对
（1）是承认的，所以省略了证明。他后来补充了证明。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:14:04 2013, 美东) 提到:
google了一下，N可以是素数或者合数。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，该
证明方法如下：
假设只有有限个素数。p1,p2....,pN
令N=p1*p2*...*pN,
那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1,p2,....pN，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数
是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集
合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:14:34 2013, 美东) 提到:
我觉得此证明比欧几里得的要简单。你觉得有更简单的证明？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:15:52 2013, 美东) 提到:
对你彻底无语了
，该
约数
中。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:17:58 2013, 美东) 提到:
我觉得开始几个人就是指出了1不能不证自明。最初的确是lz没有承认，不管是没意识
到还是没明白。如果把1的证明补上了就没有问题。即使如此，这个证明复杂化了，尽
管没错。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:18:58 2013, 美东) 提到:
如果大家承认（1），这个证明不就简单化了？ 你觉得最简单的证明是什么？
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 12:20:55 2013, 美东) 提到:
See my previous post.
假设：素数只有有限个, 记为 p_1, p_2, ..., p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
显然 N 不能被所有 p_i 整除。（1）
但根据假设，N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某些 p_i 整除。（2）
（1）（2）矛盾，假设不成立。
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 12:22:08 2013, 美东) 提到:
,
拜托你别现了。我们要睡觉不像你在某个其它的时区。
你逻辑确实强大的狠，不回复你了就说“发现错了灰溜溜的跑了”。嗯，你确实逻辑强
大到了自我脑补的境地了，不奇怪。你就再脑补一下：“如果那几个反对的人不再回复
，是因为lz太蠢了，大家觉得和他说话很丢份”。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:23:49 2013, 美东) 提到:
我一直指出的是楼主在素数定义中犯的错误。用素数定义素数，是不行的。
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:24:19 2013, 美东) 提到:
用空集是为了让你更好理解，也可以不用空集
这么说，我们要判断2是不是素数，lz定义，需判断能否被大于0小于2的素数整除。
那么满足大于0小于2的数只有1，1不是素数已知，所以2不能被大于0小于2的素数整除
，所以2是素数，这有问题？
☆─────────────────────────────────────☆
bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:24:46 2013, 美东) 提到:
只是最后几步简单了一点，完整的证明是复杂化了，没有必要。但是这不是这里讨论的
问题，我们就不要偏楼了。
☆─────────────────────────────────────☆
omgpop (不忍睹) 于 (Thu May 23 12:24:55 2013, 美东) 提到:
你好像被两个神仙玩得不轻啊，你被人消费悲愤了。
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 12:27:44 2013, 美东) 提到:
我完全同意你的观点。。。不过很遗憾，你应该也进到lz的不正常人list里了。但是，
谁会在乎呢？嘿嘿
☆─────────────────────────────────────☆
dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:28:09 2013, 美东) 提到:
民科就是民科，
素数定义不对，正确的是：
素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数
你不能认为N就是素数。
需要证明N不能被所有其他自然数整除
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:29:21 2013, 美东) 提到:
"1不是素数已知"
怎么知道的？是来自素数本身的定义。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:29:30 2013, 美东) 提到:
同意，楼主民科，鉴定完毕。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:32:25 2013, 美东) 提到:
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
楼主继续。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:32:34 2013, 美东) 提到:
A natural number is called a prime or a prime number if it has exactly two
positive divisors, 1 and itself.
根据这个大众认可的定义，1被排除在素数之外。没有这个标准定义，1是无法被排除在
外的。可是楼主直接引用了这个前提。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:32:45 2013, 美东) 提到:
如果lz把"定义"两字改成"推论", 你觉得怎么样？
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:34:56 2013, 美东) 提到:
怎么改也没有
因为是错的
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:35:19 2013, 美东) 提到:
这样我就没有异议了。
如果楼主说，根据素数定义，有以下推论。
"a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。"
这样我没有任何异议。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:38:54 2013, 美东) 提到:
如果你说1不是素数这个需要证明。。。那我们无法讨论了。。。
直接无视我把。。。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:39:34 2013, 美东) 提到:
我只好无视你了。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:42:19 2013, 美东) 提到:
你用到的: N可被某些 p_i 整除=>N为合数
lz用到的: N不可被任何p_i 整除=>N为素数
没啥差别啊
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:43:37 2013, 美东) 提到:
文科生一边凉快去
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:45:03 2013, 美东) 提到:
no, lz used "any KNOWN prime number"
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:45:36 2013, 美东) 提到:
有区别
你的pi只是从p1到pN, N=p1*p2*...*PN+1
N虽然不能被pi整除，但是N可以被pi以外的书整除
因为你的pi不是最大的素数。
所以N不是素数！
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:46:30 2013, 美东) 提到:
我把反例都给你找出来了，你还嘴硬。。
民科果然厉害！
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
☆─────────────────────────────────────☆
timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:51:50 2013, 美东) 提到:
LZ说N不能被小于N的任何素数整除
你的例子与LZ说的不是一码事。
咱俩都是学文科的，我来给你解释下
LZ假设素数是有限的，只存p1到pn个素数。
把所有的素数乘起来加1，却得到第n+1个素数，
所以只有n个素数是错的
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:53:35 2013, 美东) 提到:
。。。
楼主说素数的积+1还是素数
我告诉他不是，
因为2*3*5*7*11*13+1=30031 就不是素数，30031=59*509
这个新的数是个合数，
所以楼主并没有得到第n+1个素数。
-----------------------------------
不要被民科迷惑了，民科有时候很绕的
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:55:14 2013, 美东) 提到:
素数的积还是素数，在这里是有前提的
这个积是所有素数的积，不是部分素数的积
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:59:23 2013, 美东) 提到:
当然是所有的素数
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37...
一个没有遗漏
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
☆─────────────────────────────────────☆
timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:01:23 2013, 美东) 提到:
你这个只能说明，素数的范围超出2,3,5,7,11 and 13
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:07:05 2013, 美东) 提到:
。。。
楼主的证明是这样的
假设世界上只有N个素数，
那么把这N个素数都乘起来再加1，
就会得到一个新的素数，
这说明世界上不只有N个素数。
------------------------------------
这个证明不对
因为N个素数的乘积+1可以不是素数。
反例就是N=6的时候，6个素数乘积+1不是素数
----------------------------------
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:07:24 2013, 美东) 提到:
你根本没搞清楚他们在讨论什么问题，你还是把所有帖子看过一遍再来说话吧
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:08:49 2013, 美东) 提到:
你看过了，你说说他们在讨论什么问题。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:09:16 2013, 美东) 提到:
你再说说我们在讨论什么问题？
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:10:35 2013, 美东) 提到:
你说的跟他们根本不是一回事，你自己回去看看就知道了
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:10:56 2013, 美东) 提到:
那么你说说到底是怎么一回事吧
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:12:43 2013, 美东) 提到:
他们说了几百楼，我没时间给你讲解，你自己去看看吧
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:14:15 2013, 美东) 提到:
你是用传统素数的定义，可没注意到楼主用了一个很绕的所谓定义。他定义，凡是不能
被任何小于这个数的素数整除的，就必是素数了。因为他假设一共有k个素数p_1, ...,
p_k, 那么当我们获得N=p_1*...*p_k+1时，N不能被任何一个小于它的素数(其实也就
是所有的素数)整除，于是N为素数。
大家都被他这个所谓的定义绕进去了。但我一开始就发现这个定义有问题，所以一堆贴
子都是针对定义的，不是针对这个证明本身。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:15:52 2013, 美东) 提到:
凡是不能被任何小于这个数的素数整除的，就必是素数了。
那你是啥定义啊？这个就是俺学过的定义啊，难道俺的老师在瞎掰？
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:19:27 2013, 美东) 提到:
即使按照楼主的定义
N是素数这个结论也是错的
N=p1*...pk+1
N 虽然不能被p1...pk整除，但是从pk到N之间还有很多素数，
N 仍然可以被其他的素数整除。
例子就是
2*3*5*7*11*13+1=30031
30031虽然不能被2 3 5 7 11 13整除
但是30031可以被59 和 509整除
.,
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:19:44 2013, 美东) 提到:
那你的老师一定是在瞎掰
这是正确的定义：我们称一个自然数为素数，如果它恰好只有两个正整数可以被它整除
。这两个正整数是1和它自己。下面是英文的标准定义。
A natural number is called a prime or a prime number if it has exactly two
positive divisors, 1 and itself.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:21:10 2013, 美东) 提到:
因为楼主已假设有限个素数p_1,...,p_k了，不会再有别的素数。由它的定义找到一个
新的素数。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:22:54 2013, 美东) 提到:
我歇了。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:22:54 2013, 美东) 提到:
但是他找到的那个N可能不是素数啊
即使按照他自己的定义也不是。
所以这个反证法就失败了
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:26:30 2013, 美东) 提到:
你好好看看定义。这个定义非常绕，你看清楚了。楼主假设一共有有限个素数，但没有
一个可以整除那个新造的数，按这个奇怪的定义，新造的数必是素数。你猜想p_1,...,
p_k和N之间还有别的素数，已与假设矛盾了。所以假设如果为真，你的猜想不对。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:27:54 2013, 美东) 提到:
所有质疑楼主的贴子，都没说到点子上，都被这个很奇怪的定义给绕进去了。不得不说
。楼主挖了个好坑。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 13:29:52 2013, 美东) 提到:
如果他的假定（只有那n个素数）是正确的，那这个新的数就是素数，也就是证明了假
设不正确。
如果的假定是错误的，那已经证明有无穷多个素数了。
所以无论哪种情况，都有无穷多个素数。
现在他找到的这个数不是素数是因为他的假定不正确。证明他的假定不正确就已经证明
了结论了。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:36:08 2013, 美东) 提到:
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
大家看看wiki上的经典证明吧。和楼主的截然不同。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:39:45 2013, 美东) 提到:
因为楼主这个非常绕的定义的问题，我回了很多贴，也被绕进去了，并公开道歉。但这
个定义，我一直认为绝对错误。我回了很多贴，楼主包括围观的就是不明白。那不妨请
楼主找一链接，证明你的这个定义，虽然罕见，但也是对素数的一种定义方法。注意，
是定义方法，不是由素数定义得到的一个推论。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:40:48 2013, 美东) 提到:
如果找不到，也不妨大方道歉。对错分明，真君子了。这个楼也可以歇了。
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sate (blah) 于 (Thu May 23 13:41:23 2013, 美东) 提到:
楼主的证明是对的，描述的不那么严谨而已。
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nvbs (水波淼淼) 于 (Thu May 23 13:43:46 2013, 美东) 提到:
楼主的证明明显不对。
漏洞很明显。N不一定是素数。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:43:49 2013, 美东) 提到:
楼主的证明基于对素数的错误定义，连定义都搞错了，谈什么严谨。
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sate (blah) 于 (Thu May 23 13:45:07 2013, 美东) 提到:
反证法要的就是会产生漏洞
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nvbs (水波淼淼) 于 (Thu May 23 13:47:40 2013, 美东) 提到:
N都不一定是素数了，还产生什么矛盾？
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:51:35 2013, 美东) 提到:
我这么举个例子吧。大家都知道Fibonacci数列为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,...
如果我递归定义如下，一个自然数序列，任何一个数都是前两个数的和。
这当然是个不严谨的定义。于是我得出结论，a_n > 2a_(n-2)
我的证明如下：根据定义，我造了以下序列: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ...
也满足定义中任何一个数都是前两数的和。于是这个结论很显然成立。
但真正的数列，这个结论却不成立，因为可以找到反例 2 = 2*1, not 2 > 2*1
由一个不严谨的定义，会衍生出很多问题，尽管有的时候结论是对的，但也可能结论不
对。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 13:54:52 2013, 美东) 提到:
lz的错误在于认为 素数的定义等价于“该自然数不能被其本身以外的所有素数整除”
实际上应该是“该自然数不能1和它本身以外的自然数整除”
两者看似等价，但是在lz构造的反证法的时候不等价
所以最后就是乱七八糟
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:01:22 2013, 美东) 提到:
正确的定义，是由自然数去定义素数。可是楼主的定义，是用素数去定义素数。大家可
以看以前的贴，我反复论证过多次。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 14:03:33 2013, 美东) 提到:
这个算么？
https://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_definition#Prime_numbers
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:06:19 2013, 美东) 提到:
是的
我昨晚就说过，他那个应该叫“素数星号”
还需要证明素数星号跟素数等价，或者素数星号包含于素数
但是今天有人举出反例根本不等价
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 14:06:57 2013, 美东) 提到:
楼主的证明是对的.从错误的前提出发,能推出自相矛盾千奇百怪的结论,有什么好奇怪
的...
素数: 可以被定义为不能被其他素数整除的整数.
同学们不知道什么是等价定义么..
/thread
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:09:31 2013, 美东) 提到:
应该是“不能被1及其本身之外其他自然数整除的整数”
其他所有定义都是推论
楼主证明过程已经违反了原始定义，所以是错的
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iamwq (will) 于 (Thu May 23 14:16:55 2013, 美东) 提到:
这个很容易啊，继续用反证法，假设那个数是合数，但是它不能被任何p1~pn整除，所
以存在除p1~pn之外的素数，矛盾。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:18:43 2013, 美东) 提到:
我们所有的argument就是要加上你这句话才是完全正确的证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:21:53 2013, 美东) 提到:
这样就对了
但是lz没这么证
他坚持N是他所定义的素数
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:22:27 2013, 美东) 提到:
这个算，但即便这个，也一样有问题。这个链接是关于recursive definition的，专门
提到需要base case。但对prime number的定义，它说
(1) 1 is not a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is not
divisible by any prime number smaller than itself
但紧接着说
The primality of the integer 1 is the base case
这恰好矛盾了。
按照recursive definition的规则，你定义一样东西，要先说明一个base case确实是
这样东西。可它对素数的定义，base case却不是素数。
☆─────────────────────────────────────☆
kurutoga (whatsupg) 于 (Thu May 23 14:22:48 2013, 美东) 提到:
LZ显然不是学数学的，或者没有受到合适的数学训练。如果努力写一个严密的证明，细
节方面可以做得更好。
另外，1不是质数也不是合数。说自然数只包括质数与合数是不对的。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 14:25:48 2013, 美东) 提到:
what exactly is your p*? I think you are getting yourself confused. if your
p* is the prime definition used in his proof, it is equivalent to the basic
prime definition. people only argued that he should not use p* for granted.
somebody also pointed out that it is actually not easy to prove that p* is
equivalent to p. and if he uses the original p definition, he will have to
add another line considering the case that N is not a prime.
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:27:35 2013, 美东) 提到:
我再叨一段吧。这是lz的证明：
“假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个. ”
好，我们现在发现，用这个方法，找出来许多“伪素数”，30031算一个。lz你现在有
两个选择：
1. 证明这种“伪素数”是有限的；
2. 这种红“伪素数”是无限的。
请证明1或者2。如果你能证明1，好，补到原证明上去。如果你无法证明，那好，请继
续证明素数有无限多个。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:28:01 2013, 美东) 提到:
如果要用recursive definition，就应该有如下的表述
(1) 1 is not a prime, 2 is a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is not
divisible by any prime number smaller than itself
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:28:20 2013, 美东) 提到:
根本不等价
你看前面有人举出反例了，13以下的质数相乘再加1得到的是个合数
所以那个质数星号和质数是两个不同的集合
your
basic
.
☆─────────────────────────────────────☆
bairen (败人) 于 (Thu May 23 14:28:28 2013, 美东) 提到:
继续围观，估计楼主睡觉去了
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:29:05 2013, 美东) 提到:
330楼的
“2. 这种红“伪素数”是无限的。”
改为：
“2. 这种“伪素数”是无限的。”
------------------------------------------
前面有删帖，330 实为 329
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 14:29:28 2013, 美东) 提到:
a recursive definition must always have base cases, cases that satisfy the
definition without being defined in terms of the definition itself
所以base case（1的素数性primarity）是不需要证明的，既是trivial的。这里讨论的
是素数性，不是素数也是素数性的一种。
当然我之前说了，你认为需要证明我认为不需要，我们没法交流，只是发个连接fyi
☆─────────────────────────────────────☆
bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 14:30:31 2013, 美东) 提到:
you are confused. his p* definition is
一个自然数(>2)不能被小于自己的任何素数整除（最小的素数是2）就是素数
what you mentioned is a construction in his proof.
☆─────────────────────────────────────☆
iamwq (will) 于 (Thu May 23 14:32:02 2013, 美东) 提到:
你这么说也是有道理的，如果说比较两个推论更显而易见，应该是N不是素数更直接。
所以如果楼主把N不是素数当成条件来用，就更少批评了。不过显然他的证明是直接拿
欧几里得的证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:34:25 2013, 美东) 提到:
我可没有confuse
在他的反证前提下，他那个定义就是错的
因为违法了原始定义
他实际上已经给出了素数的另一定义，只是自己没察觉到
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:34:41 2013, 美东) 提到:
他那个证明只是看起来像欧氏证明。
人家欧大师讨论了N是素数和非素数两种情况，涵盖了除掉1之外所有的自然数，这才是
严密的数学证明。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:35:01 2013, 美东) 提到:
真是很难沟通。
定义一个东西，先得告诉我哪个数是这样东西。却不能告诉我哪个数不是这样东西。
比如阶乘的定义。我们先定义0!=1，这是定义，不需要证明。然后定义n!=n*(n-1)!进
行递归定义。
但我如果给下面的递归定义，你接受么？
(1) 0! <>0
(2) n! = n * (n-1)!
☆─────────────────────────────────────☆
czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:36:43 2013, 美东) 提到:
lz不管你最终怎么想，我不得不说：你的挖坑水平已经很高了！
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:39:53 2013, 美东) 提到:
如果要仿造那个链接的recursive definition，我如下定义素数，也是完全合理的。
(1) 1 is not a prime number, 2 is not a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is odd
and it is not divisible by any prime number smaller than itself
☆─────────────────────────────────────☆
dangran (当当当) 于 (Thu May 23 14:41:14 2013, 美东) 提到:
民科的特点就是在最基本的问题上纠缠不清
这里连素数的定义都搞错。。。
跟水变油有的一拼
定义：能烧起来的液体就是油
那么水里面加点油它也能烧
这样就把水都变成油了!
烧完了还什么都不剩呢，
因为水都挥发了。
☆─────────────────────────────────────☆
gushe (波娃) 于 (Thu May 23 14:59:38 2013, 美东) 提到:
你的结果不是证明了素数是无穷的吗？你得到的59不是素数吗？得到的结果不是证明素
数是无限的吗？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:00:32 2013, 美东) 提到:
lz是这么证明的么？
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 15:05:50 2013, 美东) 提到:
你这个定义是合理的，不过很明显，你定义的集合不等同于传统意义上素数的集合，你
可以定义为这个集合为荤数的集合。关于递归的定义，没有规定base一定是或者不是。
你之前找到的定义很明显是正确。因为既然1不是素数，那根据定义的第二条，2就是素
数，以此类推。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 15:06:13 2013, 美东) 提到:
just an fyi...
权当互相加深知识吧，你无法说服我我也无法说服你。。。我认为素数X证明的递归需
要建立在所有小于X数的素数性之上，也就是说知道这个数是否是素数就行。告诉你a是
素数或者a不是素数就可以证明结论。
你的递归明显是不对的，n！的证明需要建立在所有小于n的非负数a！的值之上，因此
你需要告诉我0！是多少。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:12:12 2013, 美东) 提到:
i don't understand what you are talking about regarding whehter "KNOWN" or
not. the assumption is that all prime numbers are in the product, of course
this can be done only if the number of prime number is limited.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:13:11 2013, 美东) 提到:
我的结论： 民科比文科强多了去了
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 15:13:51 2013, 美东) 提到:
所以说，通过递归手段定义出来的东西，有可能和实际的东西有差距。在数学上，一般
不采用递归定义。你既然认为我的定义也是合理的，但我的递归定义，只说明了这样定
义的数是素数，但没说明所有素数都长成那样。比如2就被排斥在外。所以，当你用递
归定义素数的时候，还要证明完备性。即传统定义的素数，全部包含在你这样所定义的
素数中。所以，一般的数学证明，不会采用这样递归的定义。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:15:37 2013, 美东) 提到:
“完备性”，我一再提这个词，不过似乎lz不太理解。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:18:01 2013, 美东) 提到:
pi以外没有素数了，同志。这是根据素数有限的假设推出来的结论。素数有限，其数量
为N。不过你貌似看不懂这什么意思。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 15:20:01 2013, 美东) 提到:
你也是学数学的？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:21:02 2013, 美东) 提到:
不可否认的是按楼主的定义定义出来的素数就是公认的素数。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:25:53 2013, 美东) 提到:
2 is a prime number is not necessary. 2 is a prime number can be proved with
lz's definition.
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 15:35:59 2013, 美东) 提到:
首先，你的定义不是素数的定义。我说你的定义是合理的，只是说这个定义是well
defined。也就是说给我任何一个自然数，我可以根据你的定义确认它在或是不在你的
集合里。你330楼的定义自然也是well defined，且可证明和传统的素数集定义是等价。
这定义中的第二条，if and only if就说明了所有的素数都应该这样。
常见的递归定义往往会有最后一条，即不符合以上条件的都不属于这个集合。在这，这
个条件是多余的，因为if and only if在第二条。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 15:38:07 2013, 美东) 提到:
绝对错误毛啊。。。
我前面已经给出了这个定义和一般素数定义的等价证明。。。
不过我已经开始相信你们看不懂了。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:38:29 2013, 美东) 提到:
做为本证明，是不需要证明完备性的（充分条件），只要证明必要条件即可。当然如果
你要证明等价关系，是需要证明充分必要条件的。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:45:10 2013, 美东) 提到:
我是民科。。。肯定没有你严谨
我报志愿本来是想学数学的，可是都劝我就业不好。。。不过一直很感兴趣。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:49:14 2013, 美东) 提到:
30031 满足下列条件么？
30031是大于1的自然数, 且30031不被任何小于30031的素数整除
如果不符合，就不符合楼主定义的素数。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:55:03 2013, 美东) 提到:
从lz的证明出发，可以找出很多这样30031的“伪素数”，同意不？
如果你能证明这样的伪素数有限，OK，虽然你漏掉了无数素数，可你终归还是得到了某
个集合，有无限个元素，其中有限个不为质数，将就算个对。lz证明这一点了么？
好，你也可能发现这样的伪素数在这个集合里有无限个，那就不好玩了，还得另辟蹊径
去证明你这个集合剩下的元素个数为无限。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:56:54 2013, 美东) 提到:
不同意，你完全没理解N什么意思。30031是素数还是合数和lz的证明一点关系都没有
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:58:48 2013, 美东) 提到:
那我这样问你吧：假设质数只有2和3。25是质数呗？然后5是质数呗？你打算把5和25都
放到你所定义的素数集合里面吗？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 15:59:12 2013, 美东) 提到:
楼主的证明用到了“N是素数这一结论”，所以错了
素数的定义是“不能被1和本身以外的自然数整除”
这个“永远都不能变”，因为是原始定义
不符合这个定义的数，都不是素数
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 15:59:16 2013, 美东) 提到:
事实证明智商低于一定水平的人，是无法理解初中数学的
看着你们这么费劲，我感觉很搞笑。
了某
蹊径
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:59:23 2013, 美东) 提到:
N不是任意的数，而是根据素数有限的假设必然能够找到的一个数。至于是几，不知道
，也无关紧要。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:00:32 2013, 美东) 提到:
错，只要和定义等价，就是一会儿事儿，不管表述上有多么不同。你懂不懂什么叫等价
命题？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:01:25 2013, 美东) 提到:
我本身也很enjoy看这帮文科生的发言。所以才有兴趣在这里费劲。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:02:16 2013, 美东) 提到:
你怎么每次说你都这么精辟啊。我还是佩服你，虽然你智力很低，但是对自己的认识还
是蛮精准的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:03:13 2013, 美东) 提到:
真烦，还等价呢
那能等价吗，都给出反例了还等价
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:04:02 2013, 美东) 提到:
你别说我有时候还挺想学文，改变一下脑子结构来反驳基本数学常识。不针对你。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 16:04:14 2013, 美东) 提到:
但楼主给出的是充要条件的定义，就必须证明完备性。纠结还在递归定义上。
真要较真，所有的递归定义都是不严谨的，都建立在集合论上。我看到链接上自然数的
定义，先说1是自然数，然后进行递归，如果n是自然数，那n+1必然是自然数。
这个定义，我也不认为是严谨的。
数学的基础是集合论。从集合论可以定义两个数0和1，然后在集合{0,1}的基础上定义
加法，成为半群，于是得到自然数集合。再进而定义加法群，成为整数集合。再加上乘
法，成为环，再生成有理数域。再用极限定义实数域。等等。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:05:00 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3然后出现矛盾，只能说明假设不对。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:05:53 2013, 美东) 提到:
反例你个头啊？30031符合lz的素数定义吗？
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 16:06:07 2013, 美东) 提到:
我的天哪。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:07:39 2013, 美东) 提到:
那只能说明楼主定义的素数不是常识中的素数呗
所以他必须选择：
（1） 证明他的素数和常识的素数等价
（2）证明他的素数是常识素数的子集
他证明了吗？
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Mayabc (Mayabc) 于 (Thu May 23 16:08:43 2013, 美东) 提到:
围观而已。。。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:09:22 2013, 美东) 提到:
你这个所谓的矛盾无法证明素数有无限个，因为你可能包含无限个25这样的伪素数在你
的无限增长的集合中，你用这样一个可能含有无限合数的无限集合来证明素数无限，难
道正确了？闹了半天是白证了。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:10:41 2013, 美东) 提到:
集合论是数学的抽象和延展，并不是基础，比如什么群环之类的。lz需不需要证明他的
定义等价于公认定义，是个仁者见仁智者见智的问题。我认为是不需要，你们认为需要
。争论点应该是这里吧？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:11:41 2013, 美东) 提到:
楼主定义的素数就是常识中的素数，你还没明白么？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:13:28 2013, 美东) 提到:
你还是没明白N代表什么。N是2么？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:14:48 2013, 美东) 提到:
我投降了，我放弃了。真是对牛弹琴啊。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:16:57 2013, 美东) 提到:
我跟楼上想法一致。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:18:39 2013, 美东) 提到:
lz的逻辑是“N是我定义的素数”，因为“出现了n+1个我定义的素数”，
所以反证成功
问题是你定义的素数再多有什么用呢？
根本不符合素数的原始定义，所以无法说那是新出现的素数
你必须构造出n+1个真正的素数才有用
楼主只证明了“我自己定义的素数是无限的”
而他自己定义的素数包含了一些传统意义上合数
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:19:41 2013, 美东) 提到:
显然不是，这么简单的道理你怎么不懂
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 16:21:57 2013, 美东) 提到:
素数不能被除了自己和1以外的别的数整除
我找出两个别的数来整除它，
那别的两个数不管是什么数，
你那N都不是素数了。。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:24:45 2013, 美东) 提到:
根据lz的“证明”，你可以推出N为无穷，那又怎样？你这个无穷个元素里可能有无穷
个合数，你还能一定得出素数无限的结论吗？
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popspace (扑通) 于 (Thu May 23 16:38:12 2013, 美东) 提到:
令N=2x3x5x7x11x13+1=30031
59X509=30031
所以N不是素数!!
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 16:39:02 2013, 美东) 提到:
Lz 的p1, p2, ..., pk 不是lz定义的，而是根据传统素数集定义的，因为前提是有限
，所以可以一一列出。N= p1*p2...pk+1 是按照330楼的定义判定为素数，因为,根据假
设，[pk+1,N-1]之间不存在素数，而N不能被P1，p2,...pk整除。此外，330楼的定义和
传统定义等同。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 16:57:59 2013, 美东) 提到:
正是如此。他用了一个非常规的定义，从而产生了问题。数学中的公理和定义，是不需
要证明的，直接用就行，大家没有异议。可是由公理和定义推导出来的等价的结论，你
直接拿来用，就会被质疑。
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coolist (coocoo) 于 (Thu May 23 17:04:10 2013, 美东) 提到:
结论应该这么改才严谨：
可知：要么N是素数，或者N只能被p1~pk以外的其他素数整除，所以假设不成立。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:05:49 2013, 美东) 提到:
还有，集合论当然是数学的基础。因为数学的公理体系就是在集合论上建立起来的。而
罗素悖论的出现引发了第三次数学危机，使公理化集合论势在必行。德国数理逻辑学家
策梅洛应用自己的公理系统，使得集合在公理的限制下不会太大，从而避免了罗素悖论
。经过改进，这一系统形成了现在被称为ZF系统的公理集合论体系。这个体系至今没有
发现悖论。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 17:11:11 2013, 美东) 提到:
嗯，I approve this statement.
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pokerpro (专业的) 于 (Thu May 23 17:11:12 2013, 美东) 提到:
This is the killer.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:13:11 2013, 美东) 提到:
并非如此，推论都可以用，只要是公认的就可以。不是公认的才需要证明。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:14:50 2013, 美东) 提到:
问题是楼主的定义，并非公认。
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jiuyin (jiuyin) 于 (Thu May 23 17:16:12 2013, 美东) 提到:
这个楼实在太欢乐乐。这个不是无穷多素数的经典证明吗？第一个想到的人还是挺厉害
的。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:17:04 2013, 美东) 提到:
作为推论是公认的，或者说，其等价性是公认的
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:18:20 2013, 美东) 提到:
推论就是等价？
A推论出B，那么A和B就等价？
发现一个文科生+民科！
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:18:34 2013, 美东) 提到:
在那时是挺厉害。在现在，应该不少人能证明出来（没看过此证明的前提下）
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:19:11 2013, 美东) 提到:
A推出B, B也能推出A
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:19:34 2013, 美东) 提到:
这个推论只能说是显然的，当然也是公认的。但把这个推论反过来当定义，就不那么显
然，还是递归的定义，可不是那么公认的了。我相信许多人并不意识到这个定义是个递
归定义，而且没觉得这个定义有什么不对。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:20:09 2013, 美东) 提到:
mark一下，让大家看看文科生是怎么证明问题的哦！！！
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:20:11 2013, 美东) 提到:
你承不承认他和公认定义等价？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:21:22 2013, 美东) 提到:
我A和B说的是lz的定义和公认定义，并不是说其他的A和B
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:23:27 2013, 美东) 提到:
我承认，但这个等价不明显，需要有完备性的证明。我同样给出的另一个类似的递归定
义，就不完备。对于一个不明显的递归定义，有必要进行说明或者证明。楼主在这个问
题上一笔跳过，是不严谨的。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:24:34 2013, 美东) 提到:
如果教科书上有，就算公认。当然我不能完全断定这个等价是否是公认的。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:28:35 2013, 美东) 提到:
你自己再读两遍这都什么逻辑。
如果A正确，那么B正确，A是B的充分条件。
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lanti (Ice+cream+inside) 于 (Thu May 23 17:30:00 2013, 美东) 提到:
Seriously, this proof is WRONG.
N could be composite. You only showed that N is not divisible by p_1, p_2, .
.., p_k, but there could be primes larger than p_k but smaller than N, that
divides N.
So N is not necessarily prime, yet the very existence of some prime between
p_k + 1 and N-1, inclusive, shows there are primes other than p_1, ..., p_k.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:30:52 2013, 美东) 提到:
逻辑不好也就算了，理解力还那么低。你看不懂我发的帖就别来回，只会丢人现眼。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:33:55 2013, 美东) 提到:
说实话，
我觉得有必要从小学开始就要教一门逻辑课
如果下雨，那么地上一定会湿，这是A推出B，
反过来，B推出A，就变成了
如果地上湿了，那么一定下雨了。。。
就不能是某人撒泡尿啊。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 17:36:10 2013, 美东) 提到:
又来一个。。。假设就是素数都在这里了，你从哪来的那个p[k+1]。。
mitbbs真是个好地方啊
.
that
between
k.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 17:36:19 2013, 美东) 提到:
Seriously lz assumed that p1,...,pk are the ONLY EXISTING PRIMES!.
.
that
between
k.
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 17:37:23 2013, 美东) 提到:
seriously, some people did not read through.
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:37:53 2013, 美东) 提到:
问题是，
只要找到一个因子
不管这个因子是不是质数，
都能说明N不是质数！
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 17:42:02 2013, 美东) 提到:
正准备拍照呢，看来不用了。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 17:44:01 2013, 美东) 提到:
整栋楼里也就xiongyp同学可以讨论下了，不过我认为你无法说服他，至于其他人。。
连证明的假设都不看就来喷。。。也没啥纠缠的必要了 歇了吧
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 17:45:09 2013, 美东) 提到:
问题是，
根据lz质数的定义，不需要因子。只要不能被小于N的质数整除就可以判定为质数。你
能找到一个因子的终结原因还是因为之前有限质数的假设是错的。
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:02:57 2013, 美东) 提到:
这也叫证明？质数的定义根本就是错的。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:04:31 2013, 美东) 提到:
空口无凭，民科要你证明给他看。。。
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 18:11:16 2013, 美东) 提到:
能被合数整除的，必然能被某个特定的质数整除。换句话说不能被任一个质数整除，那
必然不能被除１和它本身的数整除，所以是质数。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:17:16 2013, 美东) 提到:
睡了个觉, 起来继续.
昨天实际上是写着写着熄灯断电了, 不好意思.
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:20:07 2013, 美东) 提到:
不许改原帖哦
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:22:52 2013, 美东) 提到:
先解决你这个问题吧, 这个问题和主题无关.
---------
你昨天在212楼说:
"According to the definition of prime numbers,
We say a is a prime number if and only if a is a natural number greater than
1 and a can not be divided by any prime numbers less than a."
抛开循环定义这个问题不说, 单就这句话的正确性来说, 你这句话是不对的.
我在214楼指出:
"另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
可以是无理数的, 有理数列的极限也可能是无理数.
不过这个问题与你本来的目的无关, 指出你这个错误也没什么意思, 我就不多说了."
我214楼说的确实是错的, 正如你在216楼指出的那样 "An irrational number
can be a limit of rational series or irrational series."
但是我不得不说, 你那句话还是错的, 请问 0 能不能表示成一个无理数列的极限? (说
不能请回去面壁) 0是无理数吗?
你好意思说你学数学的吗?
限才
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:31:12 2013, 美东) 提到:
然后再来解决你这个问题.
你的根源就是逻辑不清, 不懂数理逻辑. 错误地认为a∈∅是荒唐的事情, 于是竟
认为以下这个命题是错的.
a∈∅->a∈A (这里A可以是任意一个集合)
后来在别人的指正下你改变了观念, 但实际上只是改头换面而已.
既然你已经认为上面那个命题没问题, 那么试问, 我的定义中的 "循环定义" 在哪呢?
你说 "一定要强行定义2为初始素数才可以"
对此我已经在169楼指出如何根据我的定义判断出2是素数, 后又在174楼重复说了一遍,
现在我再说一遍:
根据我的定义判断2是不是素数:
-------
2>1, 成立.
考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然数
,
故不存在比2小的素数.
于是2不被任何小于2的素数整除.
于是2是素数.
--------
结果你居然说 "没有比2小的素数, 是个空集, 所以谈不上什么 2能不能被任何比2小
的素数整除" (非原话, 你大意如此)
你这不就是很傻逼的以为 a∈∅ 就不能做任何逻辑推演了吗? 就好像你认为 "a
∈∅->a∈A" 是假命题一样.
你还说你学数学的? 最基本的数理逻辑都不懂.
关于后面你又怎么搅浑水的, 我等下慢慢再来回复.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:38:12 2013, 美东) 提到:
呵呵, 你在睁眼瞎很久之后, 终于开始承认这句话的正确性了.
不过我想问你, 什么叫 "根据素数定义, 有如下推论"?
我就问你 "a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。" 是不是
素数的一个等价定义而已, 要么是, 要么不是. 其前提自然是默许所有主流数学公理和
定义成立的,
当然是要先有一个主流的定义, 然后我才给你找等价定义, 没有主流的公认的定义, 那
"等价" 是和谁等价呢?
你这楼换个说法是不是这样:
-------
根据逻辑规则和主流的数学公理,定义,
你对 "a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。" 的正确性没
有任何异议.
------
如果是这样的话, 你不就是说这素数的等价定义没问题吗?
号称自己学数学, 居然连自己说的话在数学上是什么意思都不懂.
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:40:55 2013, 美东) 提到:
又看了看，这个证明好像也没什么问题呀
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:43:03 2013, 美东) 提到:
我来水变油给你看
定义，能燃烧的液体就是油：
现在我把一升油加到一升水里面，
现在我有两升油了，
烧光了一点都不剩。
你准备投多少钱？
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:49:45 2013, 美东) 提到:
不明白你说的。不过LZ的证明还是不对哈。
虽然pi * ... *pk +1 不能被pi, ..pk整除，但是可能被大于pk的数整除。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 18:55:52 2013, 美东) 提到:
楼主的证明自然是对的,不过为了减轻文科生的脑力负担,建议把a是素数 <=> "a是大于
1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 中的小于去掉 变成
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除", 没有
任何影响,只是文科生friendly一些,是吧( 毕竟, p1,...pn已经是所有的素数了吧)
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:01:29 2013, 美东) 提到:
<=>右边的statement成立是有条件的
“假设素数有限”直接就否认了它了，
所以不能继续用它来做反证的基础，这是用错误的定义推出错误的结论
对结果无影响（既无正面影响也无负面影响，简单说就是废话）
只能用素数的定义
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:04:28 2013, 美东) 提到:
我前面已经说的很清楚了, 你说这个证明 "没档次" "太繁琐" 都可以, 但是你要说他
是 "错误的", 那就得指出原因.
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另外, 麻烦你贴一个没有复杂化的证明上来.
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最后, 这个素数定义在我眼里是显然的, 你要是第一眼反应不过来那不怪我.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:08:38 2013, 美东) 提到:
这种初等基本问题的证明其实无所谓 "简单" "复杂", 都是差不多的.
不过, 按照 (我认为的) 你的 "简单" 的标准, 以下说法可能更容易体会反证法的意思
由于N=p1*p2*...*pk + 1 , 知道N>1, 但是N不能被任意一个pi整除, 于是N没有素因子
. 我们知道任何大于1的数都有 (至少一个) 素因子, 于是矛盾.
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 19:10:19 2013, 美东) 提到:
围观围观
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 19:11:03 2013, 美东) 提到:
决出胜负了没有？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:12:40 2013, 美东) 提到:
if 不限定质因数大小
then A是质数<=>A不能被小于A的质数整除
if 限定质因数大小(max=p)
then A是质数=>A不能被小于p的质数整除
but not A不能被小于p的质数整除=>A是质数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:13:04 2013, 美东) 提到:
我们来解决你的问题:
你如果认为这里素数定义是错的, 那请指出错在哪里. 指不出来的话可以先看一下171
楼是怎么证明这个定义的正确性的.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:13:26 2013, 美东) 提到:
这样吧,假设 素数有限(p1,..., pn),我来证明
a是素数 <=> "a是大于
"=>" 没问题,a是素数 , a只能被1和a整除,所以a不能被被任何小于a的素数整除
"<=" 假如a不能被小于a的素数整除. 如果a已经是素数,则没什么要证的. 如果a是合数
,
根据因式分解定理, a可以因式分解为 a=p1^k1 * p2^k2 * pn^kn
这些k为非负整数, 注意这个式子里只用到p1,...,pn,因为他们是仅有的素数
然后这些k不能全为0,否则a=1,跟a>1矛盾,于是存在某个k,记为kj,使得, kj>=1, 于是
kj是a的因子. 现在kj盾.. 于是排除了a是合数的可能性,于是 a是素数.. 证毕
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:14:21 2013, 美东) 提到:
别瞎掰扯了, 如果你认为错了, 指出错在哪里就行.
没事干别扣帽子.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:16:14 2013, 美东) 提到:
你脑子缺根弦.
素数都变成 "伪素数" 了, 假设是不是就错了? 那是不是就证出来了?
还硬要逼着别人讨论 "伪素数" 有几个, 神经有毛病.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:18:47 2013, 美东) 提到:
请告诉我, 你到底能不能看懂以下两句话的区别?
1. "2*3*5*7*11*13+1是质数"
2. "如果2,3,5,7,11,13是所有的质数, 那么2*3*5*7*11*13+1是质数"
你懂不懂这两句话的区别? 懂不懂逻辑? 懂不懂反证法? 懂不懂汉语? 懂不懂语境?
目测你脑子里细胞不够, 短期记忆空间太小, 导致你无法记住反证法的前提是什么, 于
是证明看到后面就忘了前面说过什么了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:20:35 2013, 美东) 提到:
stop sucking it. please review all the comments I left to you CAREFULLY!
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:21:25 2013, 美东) 提到:
民科基本都是很执着的，我不怪你
你的2根本就不对，
因为你“限定了质因数大小”，所以
“不能被所有质数（除了本身）整除的数并不一定是质数”
只有不能被所有自然数（除了1和它本身）整除的数才是质数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:23:34 2013, 美东) 提到:
我从未说 "N是素数"
我是说 "在某些前提假设下, N是素数"
懂这两句话的区别否?
反证法懂否? 逻辑懂否? 汉语懂否?
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Galleon (盖伦) 于 (Thu May 23 19:24:00 2013, 美东) 提到:
这个帖子其实暴露出的最大问题并不是数学修养的问题，而是绝大部分中国人，包括那
些受到了很高等教育的中国人，都缺乏基本的逻辑思维能力。
楼主的这个证明，除去那些数学上的鸡蛋里的骨头之类的细节，给任何美国的红脖子讲
，估计都不会有人认为有逻辑问题。可是这个帖居然有那么多人用莫名其妙的逻辑来攻
击楼主的证明。
从侧面这说明了绝大多数中国人受到的所谓教育，其实只是学了些“知识”，但是根本
就没学到任何“科学”。脑子里全是屎。这就是为什么这些人明明在学校里考试好像成
绩都不错，读书都能读到博士，结果一拉到现实生活中的职场一试就都萎了，天天被学
历不如自己的老印欺负。其实根本就不是什么人家会吹或者什么歧视，其实就是因为这
帮2B习惯性脑残。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:24:40 2013, 美东) 提到:
不, 他抽风的地方在于一根筋的认为我的定义是 循环定义.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 19:24:43 2013, 美东) 提到:
zan.
我是懒得打这么多字了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:25:15 2013, 美东) 提到:
主流定义和我的定义等价不?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:25:57 2013, 美东) 提到:
你不就是说素数乘起来加1是你定义的素数吗
我跟你说了这个不是真正的素数
你要说是你定义的素数也可以
那你就得继续证明你定义的素数是实际素数的子集
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:27:31 2013, 美东) 提到:
plz, 在 "素数只有p1,p2,...,pk这些" 的假设下, 你居然跟我讨论什么 "其他素数" ?
要是你都默认有 "其他素数" 了, 那还证明个屁.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:27:38 2013, 美东) 提到:
我都说了好多遍了
如果限定质因数的大小，那个等价根本不能用
更不能作为证明的出发点
你证了半天就是证明那个推论是错的
但是那个推论和素数的原定义已经失联了，从你的假设开始
所以最后都是白忙活
其实只要稍加修改就行了，你又不听
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:28:57 2013, 美东) 提到:
你说这个定义 "不明显", 那是因为你太笨. 在我看来就是显然的.
只要你认为这个定义 "正确", 那你说的很多都是错的.
至于他对你来说 "明显不明显", 这和你本人的智商有关.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:30:28 2013, 美东) 提到:
跟这个Daigaku(大国) 没法交流了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:32:07 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除"
这句话虽然是对的, 不过由于其中有循环定义, 所以我没敢这么写. 因为你判断a是素
数之前, 不知道除a以外的素数都有哪些, 当然, 你要是说 "因为比a大的数都不会整除
a, 所以只用考虑比a小的" 的话, 那和我之前写的就一样了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:33:35 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除"
这句话直接应用于1楼的证明是毫无问题的, 因为它本身是正确的命题. 但是你已经看
到了... 我写成 "小于a的所有素数" 都会被人喷成 "循环定义", 我如果敢写成这句话
, 估计早被喷死了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:35:53 2013, 美东) 提到:
逻辑可笑又可怕.
我只问你, 在主流数学公理体系下, "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小
于a的素数整除" 这句话对不对?
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ulmqman (HIM) 于 (Thu May 23 19:36:23 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
wrong
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:38:42 2013, 美东) 提到:
stop sucking it
focus on my question and do not misunderstand
thx!
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:38:43 2013, 美东) 提到:
你限定质因数大小后，这句话不对
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:40:14 2013, 美东) 提到:
问: 如果 "限定了素数的个数", 那么 "本来正确的定义就不能用了"
为什么?
A. "限定了素数的个数" 是不正确的.
B. 那定义是傻逼.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:41:08 2013, 美东) 提到:
那么请告诉我171楼的证明错在哪里.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:41:49 2013, 美东) 提到:
re
赞
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:44:13 2013, 美东) 提到:
问: 如果 "限定了素数的个数", 那么 "本来正确的定义就不能用了"
为什么?
A. "限定了素数的个数" 是不正确的.
B. 那定义是傻逼.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:52:29 2013, 美东) 提到:
因为等价性不成立，根本不等价
就好比 甲<=>乙
你为了证明甲，用反证法
假设甲不成立，然后说这样的话乙不成立，所以甲必须成立
你不觉得荒谬吗
你假设甲不成立的那一刻起，本身就不能再假定乙成立
更不能用乙不成立来归谬
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:56:37 2013, 美东) 提到:
你要搞清证明的方向,
如果欲证乙=>甲 , 就可以假设乙成立(因为乙是条件),甲不成立(反证),来推出矛盾(比
如乙 不 成立)
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:58:09 2013, 美东) 提到:
别再用你的脑补式逻辑来曲解我的意思了.
我先问你, 463楼选择题选什么?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:02:46 2013, 美东) 提到:
限定素数的个数后不能用那个推论，得从定义出发了
那个推论已经跟素数没有任何关系了，因为条件被改变了
你怎么就不明白
你当然可以限定素数个数，没错
但不能“同时”用那个推论
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 20:03:50 2013, 美东) 提到:
你是那个懂历史语言学的吗？我很喜欢看你的关于语言的帖子。但是你这里实在是在胡
搞，尽管我跟你一边。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:05:19 2013, 美东) 提到:
你嫌我问你选择题太犀利? 不友好? 始终不愿意去选一下? (尽管只有两个简单的选项)
那我还是展开来说吧, 我把话问仔细一些:
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在主流的数学定义,公理以及逻辑规则的框架下, "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何小
其正确性是否只要由主流的数学定义,公理以及逻辑规则就可以保证?
是什么缘由导致你认为 "做了某些假定后" 这句话不再正确?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:06:04 2013, 美东) 提到:
我现在在线, 前面的回复我没有能力逐条看清楚.
如果你认为证明错误或是有其他疑问, 麻烦现在留言.
谢谢.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:09:02 2013, 美东) 提到:
有事说事哈
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:09:49 2013, 美东) 提到:
质数定义不是除１和本身不能被其他数整除吗？怎么不能用？
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 20:10:24 2013, 美东) 提到:
我这个想跟你蛮横的,不逻辑吵一下
如果在数学的反证法证明中不能用主流的,公认的任何"等价命题",那么整个数学界用的
方法都是错误的,你是站在时代先锋的人物..
我知道我这句话有很多值得gre argument的槽点,but still...
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 20:11:27 2013, 美东) 提到:
luobo说得最清楚了。我不在电脑前没法来来回回的讨论。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:11:31 2013, 美东) 提到:
可以用啊
楼主用的不是这个啊
它用的是“不能被其他质数整除”，质数，
你说的是整数，没错
当然实际上我们知道是等价的
但在证明过程中不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:14:44 2013, 美东) 提到:
我不是这个意思
他要是能证明“不能被比其小的质数整除的数有无穷多个”
我一点意见都没有
问题不在这
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:18:19 2013, 美东) 提到:
同意
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:22:23 2013, 美东) 提到:
很容易能证明那句话啊。你不能说他是错的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:25:18 2013, 美东) 提到:
我用的是 "小于它本身的其他质数"
你要说这有问题, 你得指出问题所在, 你不能就声称他有问题, 然后不对此做出论证,
是吧?
469楼的问题你还没有回答?
你是不是不知道为什么我用到的那个素数定义和主流定义是等价的? 如果是, 不要硬撑
, 看171楼.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:27:03 2013, 美东) 提到:
他看不懂。你还是不要硬撑了。。
,
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:27:13 2013, 美东) 提到:
不同意, luobo声称我的证明 "不够严密", 并且没有给出合理依据.
在math版上我和他有讨论, 请阅读此贴全文:
http://www.mitbbs.com/article_t1/Mathematics/31198339_0_1.html
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:27:48 2013, 美东) 提到:
如果他规定了质因数最大只能到p_n，再大的都不能算
但是被考察的数大到p_1*p_2*...*p_n + 1
你还觉得“很容易证明那句话”吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:28:00 2013, 美东) 提到:
不是这个帖子，是他另外一个
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:28:23 2013, 美东) 提到:
http://mitbbs.com/article1/WaterWorld/2026433_3_0.html
我说的是这个
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:28:43 2013, 美东) 提到:
即便不加 "小于它本身" 的限制, 也是对的.
但是那样我估计肯定有人喷我是 循环定义 了.
即便我本来是有 "小于它本身" 的说明的, 还有人喷我是 循环定义 呢.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 20:28:57 2013, 美东) 提到:
基本上是看不懂了
,
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:31:34 2013, 美东) 提到:
问题所在就是不能限制质因数大小才成立
而你的证明过程限制了
这还不简单？
,
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:33:33 2013, 美东) 提到:
只从定义出发就可以证明。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:35:00 2013, 美东) 提到:
我对此的回应是: 按照他的 "不够严密", "逻辑跳跃" 的标准, 他自己给出的所谓 "更
好的证明", 也是 "不够严密", 有 "逻辑跳跃" 的.
具体还是看math版那个帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t1/Mathematics/31198339_0_1.html
该帖内后来我有些地方用词过于尖刻, 不过我认为我陈述的内容是客观的.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:36:20 2013, 美东) 提到:
为什么限制素数个数为有限个后, 就不成立了?
你是否看过171楼的证明?
请问171楼的证明中用到的哪一个命题是必须在 "素数有无限个" 的前提下才能得到的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:36:50 2013, 美东) 提到:
那你可以证明一下看看
其实都说了，lz的思路基本是对的
但就是构造素数的时候有问题
只要承认那个可以是合数，就很容易证明了
lz找出了一个无穷集合
但那个无穷集合不是素数集，也不是素数集的子集
所以没用
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:38:01 2013, 美东) 提到:
我贴的这个链接里面并没有说不够严密。
我是同意他说的有逻辑跳跃的，目前主要体现在说明两个素数定义等价的问题上，几个
人看不懂。当然，即使你把详细步骤都放上了，该看不懂的还是看不懂。目测这几个人
智商在80以下。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:39:20 2013, 美东) 提到:
请解释什么叫 "实际上" 等价.
这个 "实际上" 是什么意思?
为什么 "实际上" 等价的东西, 在 "证明过程中" 不等价?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:41:40 2013, 美东) 提到:
素数有限个后，素数的定义不再是“不能被其他质数整除”
完全不对
必须回到“不能被1和本身之外自然数整除”
你所说的“p1*p2*...*pn+1是质数”
实际就用到了这个完全不对的定义
的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:43:27 2013, 美东) 提到:
“实际上”就是不限定质因数大小
而你在证明过程中限定了质因数大小
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:44:14 2013, 美东) 提到:
请看171楼的论证 (不知道是第几次请了)
请告诉我, 171楼的论证中哪一步哪一个命题是要求 "素数必须有无限个" 的?
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:46:12 2013, 美东) 提到:
这太简单了啊。首先一个质数不会被比它大的数整除。然后考虑比它小的数，要么是质
数，要么是合数，如果一个数不能被比任何一个比它小的质数整除那么必然不能被比它
小的合数整除，因为合数根据定义会被至少１个比它小的质数整除，所以这质数的定义
也可以说成不能比它小的质数整除的数。看懂了没？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:47:34 2013, 美东) 提到:
那么请你说明, 为什么 "限定质数个数是有限个" 会导致我的定义不对.
另外, 注意你的用词, 我回复你的帖子都是尽量用你的词语表述的, 这里 (我认为) 更
准确的描述应该是:
为什么 "假设质数个数只有有限个" 会导致我的定义不对.
为了防止来回掰扯, 请不要举 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509
你如果要举的话, 请先说明 "质数只有2,3,5,7,11,13" 是对的.
否则你如何认定我曾经表达过 "30031是质数" 的意思?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:48:12 2013, 美东) 提到:
我用telnet上网，不容易看楼层，你可以直接贴出来
你证明那个N是素数，用的不是素数的定义
说了很多次了
这里只能用定义
或者证明推论在你的假设下仍然跟定义等价
实际上在你的假设下推论和定义不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:50:24 2013, 美东) 提到:
你怎么又绕回去了
lz已经规定了质数最大就到p_n
p_n+1000什么的都不考虑
你觉得你的证明还有效吗
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:50:54 2013, 美东) 提到:
看我的证明，简单明了。只用了定义。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:51:47 2013, 美东) 提到:
限定了质因数大小后，你不能再说那个N是质数
因为你推出它是质数的数学前提是不限定大小
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 20:51:53 2013, 美东) 提到:
没有那么显然。合数的定义可以是存在一个比它小的非１的整数因子。而这个整数因子
未必是素数。
这里要用到归纳法才可以从存在比较小的整数因子推出存在一个素数因子。在某种非标
准模型里，这两者可以是不等价的。当然一般人（包括数论专家）考虑的都是标准模型
，在这个模型下，这两者等价。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:52:58 2013, 美东) 提到:
转171楼如下:
这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的?
哪一步用到了 "质数必须有无穷个"?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 20:53:35 2013, 美东) 提到:
。。。你这个是循环论证。。。应该是违反了数学哲学。。。
另外俺刚才正想写个程序找，省我事了。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:53:43 2013, 美东) 提到:
你的证明没有规定质数最大只到p_n啊
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:54:42 2013, 美东) 提到:
你说的这些和497楼说的有什么关系?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:56:40 2013, 美东) 提到:
我可没说你用了“素数有无穷多”
但是你默认用了“N=p1*p2*...*pn+1”的质因数必然小于等于p_n
然后推出N是质数
你没看出问题吗？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:59:59 2013, 美东) 提到:
那请问他的证明规定了素数一定要是无穷个吗?
你的逻辑呢?
你的意思是 "证明中不要求素数是有限个, 那么一旦素数是有限个, 证明就错了" 吗?
神逻辑.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:00:11 2013, 美东) 提到:
不必归纳
再次归谬即可
如果不能分解为全为素数的因子，则可以一直分解下去，每个因子都大于1，则这个N事
实上可以分解为任意多个至少为2的因子的相乘，因为N是自然数，不妨设N <= 2^k，但
是我们又能将其分解为大于k个至少为2的数字的乘积，故矛盾
这个真的很明显啊。。。
是质
比它
定义
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:00:16 2013, 美东) 提到:
其实你如果用 (if exist k, then for k+1 ...) 的正规数学写法格式，就容易
看出来循环论证在哪里了。
你要么先假设了 k 开始于无穷个素数 -- 循环论证。
如果是假设 k 从 1 个素数开始，那就断在 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:00:21 2013, 美东) 提到:
请指出哪一步是循环论证, 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:01:11 2013, 美东) 提到:
请问我哪一步假设了素数有无穷个?
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 21:01:39 2013, 美东) 提到:
如果那个整数因子不是质数，就一定可以继续分解成某个质数和一个整数的乘节。换句
话说任何一个合数都可以表达成一个比它小的质数与一个整数的乘节。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:02:25 2013, 美东) 提到:
你直接指出是哪几句话有问题就行了, 不用教我什么 "其实如果怎样怎样".
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:02:58 2013, 美东) 提到:
哲学错了比较难教，俺还要码 code，您慢慢研究就是了。。。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:03:37 2013, 美东) 提到:
你这个继续...直道,如果要写出严格证明的话，就是归纳法了。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:04:16 2013, 美东) 提到:
看我的证明。用不到归纳法。
换句
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:05:15 2013, 美东) 提到:
你的逻辑有问题，问题在于 deduce 过程，不符合数学哲学要求。
有点就像无神论跟有神论无法辨。。。不过俺没时间。。。您就
认为俺不懂，俺是错的就好了。。。俺下线了。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 21:05:36 2013, 美东) 提到:
我相信你谈到的是非UFD里素性和不可分解性不等价的情况. 不过提前证明好整数环的
唯一分解定理后,就没这个问题了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:06:08 2013, 美东) 提到:
这句话在我看来是一样的.
你逻辑错了也比较难改.
指出哪几句有问题, 是一件非常容易的事情, 不是吗? 即使你不做任何论证, 你也可以
直接指出 (相当于断言) 哪几句有问题.
如果你不做的话, 我只能默认你没发现问题, 或者说已经意识到自己的错误, 但是不敢
承认罢了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:09:06 2013, 美东) 提到:
请问数学哲学有什么要求? 我好像从未听过你所谓的这种 "要求". 能不能明确指出?
无神论也不能说有神论有问题, 有神论也不能说无神论有问题. 那么你是根据什么说我
的逻辑有问题的?
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ps, 我说 "你逻辑有问题" 的原因是你说我的方法错误, 但是指不出错在哪, 所以必然
有问题, 这么说是否足够清楚的说明你确实有问题?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 21:11:08 2013, 美东) 提到:
楼主不同意这个，那我们没什么好说了。问题症结就在这儿，搞清就可以了。
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nuun (nuun) 于 (Thu May 23 21:13:01 2013, 美东) 提到:
说LZ证明有问题的应该不是数学专业的吧
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:14:09 2013, 美东) 提到:
需要的，一样的道理。因为你一样要重复某一步骤很多次，你不知道多少次。只不过我
们平时都默认了，所以不费劲再写归纳了。
有一种非标准算术模型，满足皮亚诺公理除了归纳公理外的所有公理，也部分满足归纳
公理。在这样的非标准模型下，你可能能找到一个无限减小的整数数列。在这样的模型
里，你的无限减小的合数可能找不到素因子。这个就说明还是需要归纳法来证明。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:15:05 2013, 美东) 提到:
it is an arbitary number, we do not need induction...
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:17:40 2013, 美东) 提到:
在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的
你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模型", 连整环理论都要扯出来, 有意思? 还
说我不同意你的观点.
下次我写个证明, 是不是每一步都要回溯到那几条公理上, 你们才能说 "正确"?
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:18:42 2013, 美东) 提到:
看不懂你说的。正是因为arbitrary number，才要用到归纳啊。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:21:46 2013, 美东) 提到:
k不是一个在变的数字，k可以是一个固定的数字，即：
设k为使得 N <= 2^k 成立的最小自然数
然后将 N 的分解做k+1次，即可得 N > 2^k >= N，矛盾
这里的次数是“已知”的，和归纳法无关。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:33:55 2013, 美东) 提到:
睡醒了.
能否告诉我:
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那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。
-------
是指哪里不完整?
除。
5
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ndjsj (xyz123) 于 (Thu May 23 21:36:02 2013, 美东) 提到:
楼主， 其实你不必回那几个神经病。你的证明没有问题。我看它们是有意捣蛋！
在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模
型", 连整........
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:36:59 2013, 美东) 提到:
re
不过还有人 "在承认这个定义正确性的前提下, 说证明是错的", 这种人纯属逻辑有问
题.
相比之下, 那些 "认为定义是错的" 的人, 只是脑子稍微笨了一些而已, 属于小问题.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:49:27 2013, 美东) 提到:
为了生活的乐趣, 我义无返顾!
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 22:07:16 2013, 美东) 提到:
同学，一方面我觉得你无聊＋有点神经病（当然我跳了这个大坑说明我也有一点）
另一方面，看在你天真＋固执得分上，就再回你一下。
您睡醒了，可您又重读了我的话了么？偏执不是什么大错，但确实有时候会让人丧失正
常的理解力和判断力。（我也如此）
请您再读一下这句子：“那么，l63的证明是否不完整呢？不是的”。您说说这句话是
什么意思？（我假定您打小在中国长大至少到高中哈）
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:13:31 2013, 美东) 提到:
好的, 明白了.
非常感谢.
抱歉.
看来我还没睡醒.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:14:16 2013, 美东) 提到:
另外, 我确实没有认真重读你的话, 只是扫了几眼.
由此, 再次抱歉.
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:15:23 2013, 美东) 提到:
正确,本题得满分
这坑都能灌出27层高楼???
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:18:46 2013, 美东) 提到:
凡事抵不过认真二字~~
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watermania (灌水狂) 于 (Thu May 23 22:20:19 2013, 美东) 提到:
强帖，不懂，留个名
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:26:21 2013, 美东) 提到:
码工在公司里，对于正确的结论，即使证明逻辑不被码工认可，码工
一般也不说啥。公司管理层大部分不是数学专家或者信息学专家，说
啥都是自讨没趣。
但是有错的逻辑，在公司实际的项目里，能得到正确结论，靠的是运气。
如果结论不正确，码工私下搞个小 prototype，跑点数据，弄两张
图给管理层看看，老板最最喜欢看图说话了。。。
俺如果自己逻辑错了，俺每次都跑自己的测试数据，看分析图表。除非
运气特别糟，一般情况计算机会告诉自己错在哪里，就是要多花点时间
看。
我的逻辑不一定好，但是在这个版面上训练逻辑思维，我觉得还不如老
老实实多码点 code 。。。
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mydice (宇文) 于 (Thu May 23 22:29:18 2013, 美东) 提到:
你没有考虑 p_k < n < p1 * ...* p_k + 1的这些自然数
所以你的证明是有缺陷的
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:32:02 2013, 美东) 提到:
在 Mathmatics 版，看到这贴，这个证明看起来是对的。
楼主抄作业没抄对。。。
http://www.mitbbs.com/article/Mathematics/31198383_0.html
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:32:22 2013, 美东) 提到:
plz be straightforward
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:33:03 2013, 美东) 提到:
已经假设了 "素数只有p_1,p_2,...,p_k这k个".
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lzrm (lzrm) 于 (Thu May 23 22:37:25 2013, 美东) 提到:
你的证明确实有一点小瑕疵，
N = p_1*p_2*...*p_k + 1不能被任何p_i整除，那么要么N是质数，要么N是由p_i以外
的质因数构成，
所以，前提假设不成立。
这个就完整了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:39:10 2013, 美东) 提到:
他是根据我的证明提出的意见.
你注意时间顺序.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:39:57 2013, 美东) 提到:
前提假设不是已经说了 "质数只有p_1,p_2,...,p_k这些" 吗? 何来 "p_i以外的质因数
"?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:41:05 2013, 美东) 提到:
我这贴这么一直灌下去, 也算是为人类的逻辑素养提升做出一些贡献了吧?
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:41:14 2013, 美东) 提到:
LZ的证法更直接,更好
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mydice (宇文) 于 (Thu May 23 22:43:34 2013, 美东) 提到:
你的假设推理的方法是有问题的
你实际上隐含假设了在p_k 和 p_1*...*p_k ＋ １ 之间没有任何数可以整除 p_1*..
.*p_k +１，你需要证明这一点
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 22:44:38 2013, 美东) 提到:
这个问题在上面已经一而再，再而三地被提及了
lz还是把相关链接也贴进顶楼吧，太崩溃了
..
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:45:09 2013, 美东) 提到:
re,
其实这个表述比Euclid的原证明还简介些
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:45:47 2013, 美东) 提到:
我觉得你说的那个 “可知” 容易被误读，混淆了 “推导结果” 还是
“数学上的事实”。（“the deduced result” vs “the common
known fact”）。是不是 google translate 这么翻译？
码工都被你搞晕。。。直接用严格数学语言写就不会导致这种误会 。。。
不过在数学上，有时中文不如英文准确无二意，也是部分的事实。。。
不怪你。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:45:48 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑, 请明确你的发言.
你这么说的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除", 这句话是错的.
是吗?
回复前请仔细阅读引号内的每个字, 注意 "素数" 和 "数" 的区别.
..
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:47:10 2013, 美东) 提到:
"可知" 是建立在前提假设的基础上的.
换成 "如果...那么..." 可能好一些.
按这么理解, 证明是否有误?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:47:59 2013, 美东) 提到:
这俩难道不是一个证法？只是表述上的差别，楼主的容易误解吧。。。
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:48:54 2013, 美东) 提到:
LZ证明很简洁但完全没问题
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:51:47 2013, 美东) 提到:
没什么本质区别,另外那个更绕一点,不会误解
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:52:51 2013, 美东) 提到:
或许有一些区别.
至少在那个证明的作者看来, 他的证明比我的 "更好", 我的 "不够严密".
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lzrm (lzrm) 于 (Thu May 23 22:53:04 2013, 美东) 提到:
所以推出矛盾，所以假设不正确。
我在帮你，你看不出来么？你脑子不清醒了，该睡了。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:55:03 2013, 美东) 提到:
你这个是多绕一步,楼主是少绕一步,证明都对
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ncatlab (弃疾) 于 (Thu May 23 22:55:56 2013, 美东) 提到:
别灌了
有那么多时间证些定理去 :)
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:56:34 2013, 美东) 提到:
不, 你在指出我证明中没有考虑 "p_1,p_2,...,p_k以外的素数" 的情况.
你是否认可?
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:57:41 2013, 美东) 提到:
大侠学DAG的吗?
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ncatlab (弃疾) 于 (Thu May 23 23:00:14 2013, 美东) 提到:
我是菜鸟
刚刚开始学点AT
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:01:54 2013, 美东) 提到:
太难了, 证不出来.
能力仅限于在这灌这个.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:02:06 2013, 美东) 提到:
我基本按照你的行为顺序，但是改些用词（比如英文的 observe，跟中文
的考察，严谨性差不不少），这样看看是不是好些？：
=====================================================
假设素数只有有限个, 把该所有有限个素数记为
p_1,p_2,...,p_k ......(a)
对于这样一个数“N"：N = p_1*p_2*...*p_k + 1
N 不能被所有素数 p_1,p_2,...,p_k 中的任意一个整除，
由素数定义，可推导出: N是素数 .......(b)
由假设（a）可推导出：N 不为素数。 .......(c)
(b) 与 (c) 矛盾，故假设(a)错误。
证毕。
另：素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:05:49 2013, 美东) 提到:
是一个意思.
这个你认为是对的? 那就行了.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:08:38 2013, 美东) 提到:
可能是语言习惯的差别，中文说数学，个人觉得需要说的比较严格，多加限定
修饰语。
中文 non-fiction 方面，貌似总体语言习惯可能没有英文严格。。。
看看美帝非花边新闻和美帝高院判例用词方式啥的。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:09:22 2013, 美东) 提到:
你说版上这么多人觉得这个证明是错的, 主要原因是什么?
我认为的可能:
A. 水版大家挖坑成性, 都在乱灌.
B. 有些人长期不说汉语, 理解不了我汉语的意思.
C. 有些人天生逻辑有问题.
我猜测B是主要原因.
不敢猜C, 是因为C反人性.
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cyw (口令) 于 (Thu May 23 23:09:36 2013, 美东) 提到:
公开朱令案卷宗，
严惩凶手！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:12:16 2013, 美东) 提到:
这个我认为是对的。
但是你的首贴，我看了 10 多分钟也没看明白。还好后来跑去看了另一个帖子。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:12:24 2013, 美东) 提到:
re
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:14:53 2013, 美东) 提到:
反正我是 10 分钟没能理解，最主要原因把 “可知” 理解成类似
“so the fact is” 的意思。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:21:11 2013, 美东) 提到:
"可知" <=> "so we know that / so we have that"
"the fact is that" <=> "事实是"
--------
Yes, I'm 吹毛求疵ing.
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:26:10 2013, 美东) 提到:
我猜很多人没看懂
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:27:54 2013, 美东) 提到:
可知 = 可以知道 / 可以得到 / 可以看出 / 可以推出 .....
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:29:24 2013, 美东) 提到:
有道理.
事实上, 我认为, 这是本坑的关键.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:32:26 2013, 美东) 提到:
可以知道 ==？ 可以推出
反正我是混淆了。。。可能我语文不行。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 23:36:52 2013, 美东) 提到:
常用数学语言,= " *显然*可以推出"
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:42:00 2013, 美东) 提到:
可知 是证明的常用语, 可以理解成 可以知道 / 可以得到 / 可以看出 / 可以推
出 中的随便一个或其他类似的 容易知道 / 容易得到 / 容易看出 / 容易推出 等等
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 23:44:20 2013, 美东) 提到:
lz,老邢让我来代表他谢谢你。我战斗力不行，不敢继续了。你继续对牛弹琴吧。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 23:44:31 2013, 美东) 提到:
我都说了N遍了
这个等价关系在楼主的前提下不成立，不能用
因为楼主规定了最大的质数是p_n
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 23:49:46 2013, 美东) 提到:
继续围观
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:04:44 2013, 美东) 提到:
我靠，这么个简单问题，居然垒了这么高一座楼？LZ的证法是经典证法呀，任何
一个玩过2年奥赛的都应该知道啊。俺是11岁小学5年级上奥赛班时就见过这个题
了，当时讲反证法一般都用这个题来做例子。和这个题同时出现的一般还有格尼
斯堡七桥问题做一笔画问题的例子。这有什么可争的？这逻辑不是很明显吗？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:10:50 2013, 美东) 提到:
我这么问你吧:
你的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 在 "素数
只有有限个" 的前提条件下不对.
是不是?
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frdw (frdw) 于 (Fri May 24 00:12:26 2013, 美东) 提到:
帖子太长，不知道讨论到什么程度了。
我也感觉楼主证明有问题：
p_1,p_2,...,p_k 不能整除N, 不能直接推出所有小于N的素数都不能整除N吧？p_k 和N
之间还可以有很多很多素数。
即使事实上p_k和N之间所有的素数的确不能整除N,那也应该给出证明吧。这个证明应该
不容易吧。
个人浅见，如有不对，请见谅。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:13:27 2013, 美东) 提到:
如果你对a的质因数的上界做了规定，确实不对
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:15:08 2013, 美东) 提到:
你以后回答问题可以先清楚直白一些.
我就当你的回答是 "不对", 可以吧?
继续往下:
那么你的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 成立的前提, 是 "
素数必须有无穷个".
是这个意思吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:17:06 2013, 美东) 提到:
不是
简单说，在这里只需要满足“质因数可以只比a小1”
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:19:49 2013, 美东) 提到:
已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 他可能在p_k和N之间", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道理吗?
换个说法:
已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 不是p_1,p_2,...,p_k中的任何一个", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道
理吗?
------
注: 在假设中, 我并未说p_1,...,p_k是从小到大依次排列的, 不过你可能默认了这一
点, 没关系, 就当你是对的好了, 这个和主题关系不大.
和N
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:21:03 2013, 美东) 提到:
那你直接说
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
成立的前提是什么吧.
请问我缺了什么条件?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:24:12 2013, 美东) 提到:
请你搞清楚你的逻辑.
我现在有一个命题是这样的:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
我认为这句话是对的.
你认为这句话成立, 需要 "某些条件"
那么你就应该指出条件, 并且指出: 在我一楼的证明中, 缺乏了这些条件. 由此我们就
知道, 这个命题不能乱用.
你需要指出这缺乏了的条件是什么.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:24:51 2013, 美东) 提到:
成立条件是，a的质因数以a-1为上界
这个在定理推论里是默认的
但是你用到了p_n，所以不满足a-1为上界
而成了p_n为上界，这个条件比定义里的条件强
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:28:22 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我还是举个例子吧.
比如集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 00:28:36 2013, 美东) 提到:
很有娱乐性就是了.呵呵
有时我都在想是不是老邢在左右互搏
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:33:49 2013, 美东) 提到:
LZ的质因数已经包括了所有质数,你还在上界上界的, 太弱了
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:35:13 2013, 美东) 提到:
俺现在不这么认为了，因为生活中也经常会遇到些逻辑不清楚的争论者。
现在想起来，中小学奥数还是有些用的，我相信只要稍有一些奥数逻辑
训练的人都不会出这种状况。呵呵
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:36:13 2013, 美东) 提到:
他不知道质因数和因数的区别。呵呵
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:37:35 2013, 美东) 提到:
看来是, LOL
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:38:52 2013, 美东) 提到:
l楼主用到了等价定义，我告诉他质数的两个定义此处不再等价。
你看不懂？
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:41:22 2013, 美东) 提到:
其实也不用奥数, 中学数学不太烂就行了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:44:37 2013, 美东) 提到:
我的意思是
要使等价定义成立
你必须保证比a小的所有数都考虑到
而不仅仅是考虑到p_n以下的数
因为这个是等价定义成立的前提
（这里面可能已经有无穷多个数了，不过这个没关系）
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:44:39 2013, 美东) 提到:
举例:
集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:45:14 2013, 美东) 提到:
不是这样，回答完毕
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:45:18 2013, 美东) 提到:
我没看懂你说的什么, 回答一个 "是这样吗?" 的问题, 可以简单到 "是" 或者 "不是"
就行了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:45:39 2013, 美东) 提到:
别打岔
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:46:10 2013, 美东) 提到:
我不知道你自始至终都是否看过171楼的证明.
我不知道你哪里意淫出来这么多 "必须保证xxx", 我怎么不知道我171楼证明中哪一点
用到了你说的 "必须保证" 的东西?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:46:13 2013, 美东) 提到:
因为你的问题问得不清楚呗
是"
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:47:13 2013, 美东) 提到:
发信人: nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖), 信区: WaterWorld
标 题: Re: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
发信站: BBS 未名空间站 (Fri May 24 00:36:13 2013, 美东)
他不知道质因数和因数的区别。呵呵
【 在 thinkhard (think hard) 的大作中提到: 】
: LZ的质因数已经包括了所有质数,你还在上界上界的, 太弱了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:47:46 2013, 美东) 提到:
真是急人
因为你用了那个“等价定义”
你连比p_n大的数都一概不考虑，
还敢说质数就是不能被本身以外质数整除的数？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:48:18 2013, 美东) 提到:
你既然说到上界, 你的意思不就是说:
对于自然数a,b和自然数的某个子集A而言, 虽然a>b, 但是有可能b是A的上界, 而a不是
.
你是这个意思不? 你能看出这有多荒唐不?
如果你本意不是 "上界", 那请把你的本意用能让正常人理解的语言表述出来.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:48:25 2013, 美东) 提到:
你不会也真的以为那个等价定义成立吧
希望你没那么弱
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:49:52 2013, 美东) 提到:
你别激动
事实上，a的质因数可以大于p_n这个你不否认吧
那么你觉得你直接用那个等价定义合适吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 00:51:02 2013, 美东) 提到:
....................
不是
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:51:08 2013, 美东) 提到:
我来回一贴吧，您可能需要搞清楚因数和质因数的区别。为证明合数，只需要
考虑质因数就可以了。而您前面反复强调的p_n+1到a-1的这个整数集可能是
因数，但绝不是您所说的质因数，所以不必考虑。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:51:22 2013, 美东) 提到:
那你可以直接说 "你问的不清楚"
你既然不说我问的不清楚, 你还不直接回答, 你让我说什么?
另外, 我实在不知道这个问题有什么不清楚的地方, 谁能告诉我我这个问题我哪里问的
不清楚吗?
我的问题, 原楼层 (595楼) 的表述是:
-------
呵呵, 我还是举个例子吧.
比如集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
-------
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:52:17 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我也同样怀疑, 你不懂 "质因数" 和 "因数" 的区别.
我问你, a的质因数, 是不是一定是质数?
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:52:57 2013, 美东) 提到:
你是真不知道质因数和因数的区别, xxsl
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:53:39 2013, 美东) 提到:
有人都举出反例了你还不知道？
13以下的质数相乘加1是个合数
其质因数是两个比13大的数
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:53:46 2013, 美东) 提到:
同样的道理，您这里用的质因数还是错误的，质因数是指质数因数，所以必须是质数。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:54:04 2013, 美东) 提到:
不是
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:55:31 2013, 美东) 提到:
a的质因数当然是质数
但是只要a有因数它就不是质数
你这里把质数定义到p_n
所以如果N有大于p_n的因数（有可能是实际的质数，你定义的合数），它仍然不是质数
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:56:50 2013, 美东) 提到:
你怎么那么糊涂
2*3*5*7*11*13+1=59*509
59和509都是质数
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:57:38 2013, 美东) 提到:
对啊，所以说“13以下的质数集包括了所有的质数”的结论是错误的呀。同理，
这里的数字“13”可以被替换为任意一个质数。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:59:49 2013, 美东) 提到:
那你动不动 "根据假设, 质数只有p_1,p_2,...,p_k" 这句话的意思?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:01:48 2013, 美东) 提到:
那你懂不懂 "假设, 质数只有p_1,p_2,...,p_k" 这句话的意思?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:02:23 2013, 美东) 提到:
这个结论当然是错的，但是lz证明得不对
因为他企图通过证明N是素数来完成反证
我要说的仅仅是，不能推出N是素数，因为那个等价定义不能用在这
但是只要稍加修改证明就是对的
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:03:48 2013, 美东) 提到:
明白啊，你就是假设素数集是有限的呗
但是你不觉得假设之后，就不能随便乱用推论了吗？
推论可没有那么多假设
比如推论没有假设最大的素数是p_n
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:06:15 2013, 美东) 提到:
唉，这么说吧
你怎么假设都可以
但是假设了就不能随便说素数就是不能被其他所有素数整除的数
因为你只考虑比p_n小的素数
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 01:06:27 2013, 美东) 提到:
有了假设之后,公理/定义/定理 都得重写, 对吗?
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:07:48 2013, 美东) 提到:
N是质数。
和
在只有p1...pn是质数的前提下，N是质数。
不是一个概念。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:09:00 2013, 美东) 提到:
那可得看情况
比如定义默认a的质因数小于a就行
lz偏要来个必须小于p_n
那当然就不成了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:11:16 2013, 美东) 提到:
质数的定义只有一个：不能被1和本身以外的“自然数”整除
其他都是有条件的推论
楼主可以搞一个自己的定义，没关系
但是最后要返回到我们所讨论的素数上去
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 01:13:04 2013, 美东) 提到:
假设存在K，p_n
即使假设K是N的因数，但也要注意K不可能是N的质因数，因为K不是
质数。那么K应该可以被分解成
一系列因数的积。对吗？如果这些因数有一些是合数，那这些合因数可
以被继续分解成更小的一些因数的积，对吗？以此类推，最终K可以被
分解成一系列质数的积，对吗？这些质数才是K的质因数。那么，就是
说N可以被K整除，而K可以被这些质数整除，所以，N也可以被这些质数
整除。而这是不可能的，因为我们刚刚说过N不可能被任何一个质数
（p_1到p_n）整除。所以假设不成立，即不存在这样一个K。
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:13:08 2013, 美东) 提到:
楼太高，没看完。不知道是不是有人和我表达过相同的意思。反正试试看这种说法大家
觉得有没有道理。
1. 素数的定义只有一个，就是只能被它自己和1整除的数。
2. 反证法一定要给个假设然后证到底的结论和假设矛盾才算数。这一点非常重要。假
设条件在推理中要用，而且不能违背，知道推到和假设条件矛盾的结论为止。
LZ的假设是素数是有限的，我们称为已知素数，那么
LZ说：“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
在反证法的前提下，这句话的意义是
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***已知素数***整除
因为你已经说了，素数就这些。但是，这是错误的。
假设已知素数是2，3，5。49就是变成了素数，而根据素数的定义，49能被7*7整除，49
不是素数。
也就是说，你没有证明N=p1*p2*...pn+1不能被大于pn而小于N的整数整除。
LZ在推论中就有错误，而不是在正确的推理后得出的结论和前提假设错误，不符合反证
法。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:13:10 2013, 美东) 提到:
那只是你的想法.
所有主流数学家都认为, 假设不会影响任何已经成立的命题的正确性.
你如果爱这么以为, 那只能说你的逻辑和主流逻辑不在一个档次上面.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:14:39 2013, 美东) 提到:
来看看吧, 我给你假设一个情况:
按照你的逻辑:
--------
假设 "a是素数, b是小于a且大于1的自然数, 并且b能整除a"
根据质数的定义, 可知, a不是素数, 于是, 你说的定义是错的.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:17:09 2013, 美东) 提到:
又来了一个脑子犯晕的.
我从不假设 "已知素数是哪些", 我只假设 "素数是哪些", 请问: 素数还有 "已知" 和
"未知" 的区别? 请你先给从数学上定义一下, 什么叫 "已知" 的素数, 什么叫 "未知
" 的素数?
另外, 素数的定义只有一个, 只是你这么认为而已.
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:17:47 2013, 美东) 提到:
加上这些讨论当然就好多了
那个K有可能是真正的质数，但是按楼主的假设是合数
反正能推出矛盾来
这个没关系
但是楼主直接说N是质数，因为不能被p_i整除，是错的
因为N可以被K整除，有这种可能
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:18:05 2013, 美东) 提到:
凭什么 "质数的定义只有一个"?
谁告诉你的? 理由是什么?
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 01:19:18 2013, 美东) 提到:
恩。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:21:06 2013, 美东) 提到:
你 "嗯" 其中哪一句?
不介意的话看一下639楼.
请选择性无视第一句 "又来了一个脑子犯晕的."
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 01:21:40 2013, 美东) 提到:
坦率地说我的上述讨论是不必须的，因为如我上面所说，讨论一个数是否为
合数，只要考虑“质”因数即可，而完全不必考虑合因数。这就是为什么LZ
根本不考虑p_n+1到N-1的缘故。这在数论中是非常合法合理的
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:22:43 2013, 美东) 提到:
证明的过程是：
假设A是对的，那B也是对的，但A和B是矛盾的，所以A不可能对。
然后你在那里反复纠结B到底对不对对不对。
说到底楼主不是在证明B对不对这个命题，而是证明由A可以推出B对不对这个命题。
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:22:46 2013, 美东) 提到:
你要说什么啊
下面你说的a当然不是素数
你对素数的定义是：不能被p_n以下质数整除的数是质数
你要这么定义也可以，但最后得把话说回去
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:23:13 2013, 美东) 提到:
素数的原始定义难道不是只有一个吗？
你随便怎么查资料都是这样啊
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:24:18 2013, 美东) 提到:
那你实际上是重新定义了合数了
又得多好多证明
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:24:19 2013, 美东) 提到:
你是不是认为有某些数只有合数因数,而可能没有素因数
话说我在这个版已经心力交瘁,准备洗洗睡了
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:25:46 2013, 美东) 提到:
我要说的是, 为什么我的定义你觉得用一个假设就可以随便否定了, 而你自己认可的定
义, 一个假设就否定不掉? 区别是什么? 这是不是双重标准? 是不是逻辑缺陷? 是不是
戴了有色眼镜?
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:26:04 2013, 美东) 提到:
你怎么也不明白
楼主已经重新定义了素数，在反证假设中
所以重新定义的素数没有那个推论
他却用那个推论来进行证明
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:26:28 2013, 美东) 提到:
请问 "原始定义" 和 "定义" 是一个意思吗?
你的意思是, 某个定义 "不够原始", 于是他是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 01:26:45 2013, 美东) 提到:
又来一个。。。
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:27:47 2013, 美东) 提到:
我死抠原始定义啊
如果定义都不明确，我们俩一个讨论鸡，一个讨论鸭子
那不是白费劲吗
你先说你要讨论的素数是不是我所说的素数吧
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:27:49 2013, 美东) 提到:
好，不就是换个词嘛。另，不要老说人家脑子犯晕。。。
你的前提是，你只假设了“素数是哪些”，然后告诉我“素数是这些”，就***这些素
数***。然后你在第三步中说，
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
那是不是应该是：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除
因为这是你的前提啊，素数就这些。
这个显然是不对的
2，3，5和49的例子。
另外，定义就一个！注意，是定义，你自己随便到哪里看看什么是素数的**定义**
”a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除“是无法推出”a除了
自己和1不能不其他整数整除“的。
然后你就没法归谬了，因为你没发证明a是素数。
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:28:20 2013, 美东) 提到:
我告诉你,楼主定义的素数, 100个数学家(不是混饭的),会有100个赞同
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:28:26 2013, 美东) 提到:
请问, 在主流公理,定义和逻辑体系下, 我 "重新定义" 的素数, 和你眼中的素数, 有
什么区别?
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:28:47 2013, 美东) 提到:
定义就是只有一个
如果不加其他限制，那些等价定义也可以用
但是你做了限制（最大质数是p_n)，所以有些不能用
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:30:45 2013, 美东) 提到:
RE。特别是用反证法，当然要证到这个原始定义。
谁知道其他推论有没有违背反证法的前提：素数是有限的。
素数分解定理的前提就是素数的原始定义。
否则你假设素数只有到pn，凭什么说a一定能被p1到pn整除？
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:31:10 2013, 美东) 提到:
这种口号就免了
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:31:10 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
这句话的正确性, 与假设是什么, 无关.
以上两行能懂不?
-----------
"定义就一个！"
你还加个感叹号, 呵呵. 我请问你, 是素数的定义只有一个, 还是说所有数学对象的定
义都只有一个?
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:32:09 2013, 美东) 提到:
好吧，不管什么情况下，素数都不能被1和它本身以外的自然数整除
这个不能变吧
你要是变了，讨论的就不是我们的素数
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:32:22 2013, 美东) 提到:
你这个说法不对
我们在证明任何一个命题A=>B的时候,都要假设A这个条件成立是吧,找你这样说,多了一
个条件,平时成立的定理就不能用了吗?
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 01:33:46 2013, 美东) 提到:
这楼还在盖啊。。。。太流弊了。。。
大家加油！普及素数以及反证法知识！
我觉得这个问题只有写信请张大师回答一下 才能搞定。。。
☆─────────────────────────────────────☆
aidyzeng (xx) 于 (Fri May 24 01:34:55 2013, 美东) 提到:
不才搞过数学竞赛，楼主证法就是例题中的证法，无懈可击，不知为何有人不懂?看到
有人讨论pk到N之间是否有N的因子，简直笑翻了，与其纠缠这个问题还不如彻底放弃得
了。
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:36:11 2013, 美东) 提到:
我昏。这个限制不是定义，而是假设阿。
假设质数有限，那必然存在一个最大质数pn。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:36:36 2013, 美东) 提到:
如果你要用反正法，就一定要回到原始定义，因为你要证明你的假设是错的。
而你用到的所谓”定义“，都有可能在你的假设下不成立（它本来就是错的嘛）。任何
所谓的其他”定义“的引用，一定要说明它在你的假设下是成立的才能使用。
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
在你说”素数就这些“的前提下，显然是不成立的，怎么能当作推论步骤最后去归谬呢
？
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 01:36:40 2013, 美东) 提到:
谁知道blabla这句话是不正确的
如果你能够懂楼主的定义以及证明，你是可以推出这个定义仍然成立的。谢谢
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:36:58 2013, 美东) 提到:
他是觉得多了一个假设,一些平时能用的定理,等价定义就不能用了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:37:12 2013, 美东) 提到:
这里不是A=>B，而是A<=>B的情况
你胡乱加条件当然不行
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:37:54 2013, 美东) 提到:
你所谓的 "做了限制" 是不是就是 "做了假设"?
那请问, 在没有假设的情况下, 一个命题是对的, 结果有了假设, 这个命题就错了, 原
因是什么?
还是选择题, 已经问过很多遍了:
A. 这个命题就是傻逼到没救了.
B. 这假设是错的.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:39:42 2013, 美东) 提到:
那为什么本来我的定义就是很正常的素数, 结果由于 "某些情况", 你说我的定义不再
是正常的素数了.
你不去怀疑 "某些情况" 是不是出了问题, 反倒说我的定义有问题, 你说说你是不是逻
辑缺陷?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:40:17 2013, 美东) 提到:
A<=>B 即 A=>B and B=>A
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:40:45 2013, 美东) 提到:
是啊，但是证明不是在假设的基础上进行吗
否则不成了瞎证
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:41:03 2013, 美东) 提到:
原始的定义, 在假设下就一定成立?
来你随便给我说个定义, 不妨叫 定义A 好了.
我来给你做个假设:
假设: 定义A是错的.
好的, 按照你的结论, 定义A错了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:41:23 2013, 美东) 提到:
我一直这么说，他们都不听
劝你放弃了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:43:12 2013, 美东) 提到:
我们在说你的证明缺陷而不是结论
结论是正确的大家都知道
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:44:09 2013, 美东) 提到:
是啊
从A=>B是无法推出A=>B&C的
多个条件就完蛋了
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:45:16 2013, 美东) 提到:
我问你, 如果一个命题 (记为命题A), 已经被证明为是对的了.
那么, 我们做假设B,
请问:
做出假设B后, 命题A是对的还是错的?
如果命题A变成错的了, 那是假设B错了呢? 还是因为命题A本身太傻逼? 按照你的说法,
肯定是命题A太傻逼, 是不是?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:45:52 2013, 美东) 提到:
你根本就不懂什么叫 "一个命题是正确的".
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:45:59 2013, 美东) 提到:
如果A的“定义”就是S
你确实不能假设S不成立来搞什么证明
因为毫无意义
就好象说偶数定义成能被2整除的数
你来个假设偶数不能被2整除，根本毫无意义
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 01:49:30 2013, 美东) 提到:
数学老师死得太早了啊。
如果在通常情况下A，也就是他的那个定义是可以推出的
但是加了素数有限之后推不出了，说明什么问题？说明限制有错。
当然这个逻辑只是顺着你的话往下说。如果你能推出这个定义在该假设下不成立，那你
就找到了另一个证明素数无限的办法，虽然我不觉得这个会很容易证。
每个脑子犯浑的我都只给提一次醒，至今没有见到能拯救过来的
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:49:34 2013, 美东) 提到:
这是你的看法, 不是我的看法. 请问: 你是根据哪条公理和逻辑, 限制我不能做出毫无
意义的假设的?
你答不了上一个问题无所谓, 回答一下下面这个问题就行了:
--------
如果一个命题 (记为命题A), 已经被证明为是对的了.
那么, 我们做假设B,
请问:
做出假设B后, 命题A是对的还是错的?
--------
只需要回答 "是对的" 或者 "是错的", 不用超过3个字.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:49:58 2013, 美东) 提到:
那得看你的假设是啥子咯
可能假设导致一个无意义的结论
既不能证明A正确，也不能证明A错误
法,
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:51:15 2013, 美东) 提到:
你的意思是, 一个正确的命题, 是有可能由于一个假设, 变成错误的命题的, 对不对?
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:53:17 2013, 美东) 提到:
有人理解就好。握手
反正我觉得也没什么好争的，请LZ顺着他原先的思路证到
”n只能被自己和1整除“，大家就能歇菜了。
既然他们是等价的，那一定很好证吧？？？：）
但是，千万别跳出**这些素数**的假设哦！
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:54:06 2013, 美东) 提到:
你懂不懂 "一个命题是正确的" 这句话的意思?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 01:54:31 2013, 美东) 提到:
我刚才吃饱了撑的，特地去 google 了一下 Euclid's 的 proof 的 link，
看到两个不同的写法：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
==============================================================
Theorem.
There are infinitely many primes.
Proof.
Suppose that p1=2 < p2 = 3 < ... < pr are all of the primes.
Let P = p1p2...pr+1 and let p be a prime dividing P; then p
can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would divide
the difference P-p1p2...pr=1, which is impossible. So this
prime p is still another prime, and p1, p2, ..., pr would
not be all of the primes.
==============================================================
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P be
any common multiple of these primes plus one (for example, P = p1p2...pr+1).
Now P is either prime or it is not. If it is
prime, then P is a prime that was not in our list. If P is
not prime, then it is divisible by some prime, call it p.
Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would
divide 1, which is impossible. So this prime p is some prime
that was not in our original list. Either way, the original
list was incomplete.
==============================================================
先撇开不讲这两个证明小地方的差别，我觉得跟楼主写法差别主要是语言习惯问题，
英文 Suppose / Let / Call / Now / If / Then / So
都可以直接望文生义，于是中文看 “可知” 也望文生义了一下。。。
另外俺作为码工，个人觉得上面两个里面，看第二个证明更一目了然，因为直接跟
现代集合论挂钩。第一个证明看起来更像从前高中数学课本的数学语言写法。
另外楼主的写法的用词也更多的接近高中数学课本的写法。码工一眼扫过去可能也
不习惯。。。
等等
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:54:42 2013, 美东) 提到:
以及 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 是正
确的还是错误的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:55:36 2013, 美东) 提到:
我都说了好多次了
得看B
有的对，有的不对
你那个就不对
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:56:51 2013, 美东) 提到:
是有这个可能啊
但是你没做到这一点
你假设出了一个没用的东西
你构造了一个既不是素数集也不是合数集的玩意
没法证明任何问题
?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:58:14 2013, 美东) 提到:
呵呵, 你这还不叫有色眼镜?
凭什么你的就对, 我的就不对? 你能给出合理解释不?
你前面一大堆废话从来都是在陈述这个 "断言", 从未证明过.
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:58:57 2013, 美东) 提到:
楼主的证明（其实是老欧的证明）很严格
A命题：质数有限
B命题：存在一个最大质数pn
C命题：存在一个比pn还大的质数N
楼主证明了：
AB == true;
B-> C == true;
C->!B == true;
根据公式A->B == not A or B, 得出：
not B or C == true
not B or not C == true
得出 B==false
又因为AB == true;
得出 A == false
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:59:01 2013, 美东) 提到:
你没有得到它, 如果A是真命题, 那么为了证明p=>q, 我们可以转而证明
p&A=>q
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:00:28 2013, 美东) 提到:
问题就在于N不是质数，不符合质数定义
其他都没问题
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:00:31 2013, 美东) 提到:
素数是无限的！！！！！
这句话是正确的还是错误的？
你那句话的前提就是素数是无限的。但你假设素数是有限的，这句推论怎么能用到证明
里呢？
你都知道了素数是无限的还证个什么啊。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:00:33 2013, 美东) 提到:
大家不用吵了，看俺上面搜出来的英文版写的证明里面的第二个，一目了然。
楼主搞了个高中数学式的写法，外加中文版证明承启转和用词用语。让版上
天天上班看现代数学英文版写法的码工们纷纷阴沟翻船。。。LOL
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:01:49 2013, 美东) 提到:
还是那个问题 (你真的懂如何用精简的语言来回答别人的问题吗? ) :
命题A成立.
如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:01:52 2013, 美东) 提到:
A如果不是真命题呢
完全瞎忙活
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:02:34 2013, 美东) 提到:
同意，楼主没证明C
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:03:41 2013, 美东) 提到:
请问哪只眼睛看到我那个定义正确的前提是 "素数是无限的" ?
定义正确性的证明在171楼, 请你指出171楼哪一句用到的哪个命题是要求 "素数是无限
的", 谢谢.
如果找不出, 请没事干不要给别人的说法扣帽子, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:03:42 2013, 美东) 提到:
这个A当然是真命题
对于一个真命题,我们可以在任何推理中自由的用到..
如果 在某一个假设下(素数有限),这个真命题突然不对了(先不说是不是突然不对了),
那么说明这个假设是错误的,于是也达到了反证的目的
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:04:41 2013, 美东) 提到:
受不了了。这个证明更本不关心C是true还是false.
如果你仔细看我写的东西，就会发现C是不是true根本对楼主证明没有任何影响。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:04:53 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:05:52 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:06:02 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:06:07 2013, 美东) 提到:
楼主的证明说明了:
not B or C == true
not B or not C == true
换句话说，不管N是不是质数 （命题C），那个B肯定都是错的。有这点就够了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:06:09 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:07:19 2013, 美东) 提到:
如果你们这帮搅浑水的真的不是在挖坑的话, 那我只能说你们太蠢了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:07:55 2013, 美东) 提到:
你是在说你自己的证明还是lz的证明
lz的逻辑就是C为true，所以发现了新素数
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:08:08 2013, 美东) 提到:
楼主那个是高中数学语言写法，大伙儿都得回去查高中数学语言的习惯的推导方法。
不过不必费事了，俺搜了个现代集合论写法：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P be
any common multiple of these primes plus one (for example, P = p1p2...pr+1).
Now P is either prime or it is not. If it is
prime, then P is a prime that was not in our list. If P is
not prime, then it is divisible by some prime, call it p.
Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would
divide 1, which is impossible. So this prime p is some prime
that was not in our original list. Either way, the original
list was incomplete.
这个里面是这么说的 “If P is not prime, then it is divisible by
some prime, call it p. Notice p can not be any of p1, p2,
..., pr, otherwise p would divide 1, which is impossible.”
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:10:10 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是不是没胆量回答这个问题?
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:11:30 2013, 美东) 提到:
这个跟楼主的没有任何区别
).
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:12:09 2013, 美东) 提到:
哎呀，我不想多说了
lz的逻辑就是，他可以构造出一个新的素数N（按他自己的定义）
这个素数比p_n还大，所以归谬
但是你承认这个N可能不是“实际的素数”吧，对吧
所以他归谬反证的是“按我自己定义的素数集是无限的”
而他自己定义的素数集包含了实际的合数
,
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:12:56 2013, 美东) 提到:
区别大了
lz一口咬定那个N是素数
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:13:04 2013, 美东) 提到:
这是你171楼的证明，我帮你改了一改：
记住，前提是你说了只有**这些素数**。
你这个结论是不能带入反证法中再去归谬的。
不信你不要分开证，直接将171楼的逻辑代入反正法就知道错了。
-------------------------------------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是这些素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的****这些素因子****
！！！这句话在反证法的前提下是错的！！！
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:13:08 2013, 美东) 提到:
不过其实这是一个生动的例子说明现代数学语言的好处，更加清晰无二意。
同样的概念，古典数学语言实在是要绕口 N 多。。。搞不好就被绕晕了。。。
高中课本还是用古典数学而没有引入现代数学，个人觉得是落后的。这点上
美帝也很不行。
码工一旦上本科，完全丢弃古典数学语言，而采用现代集合论图论语言（离散
那块），不是没有道理的。
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:13:21 2013, 美东) 提到:
我理解楼主的“可知”就是 B->C
如果要咬文嚼字的话，可以改成“可以推出”，“可以得出”，“可以导出”。。。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:14:29 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是不是没胆量回答这个问题?
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:15:04 2013, 美东) 提到:
这是类似的证明，但是不同的写法。没有区别看你怎么定义“没有区别”。
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:15:15 2013, 美东) 提到:
在素数有限的情况下,确实能推出N既是素数,也是合数呀
所以至少有两对矛盾
1. N是素数跟"p1,p2,...,pn是所有素数"
2. N既是素数,又是合数,神经错乱,自相矛盾
用1或者2都可以终结论述,
楼主选了1,这就够了
他没必要再去提2, 甚至没有必要,没有义务去提到N可以被证实为合数.没有任何问题
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:18:07 2013, 美东) 提到:
故意挖坑灌水的, 麻烦私信我一下, 我不会公开内容的, 我只是想省点力气.
你就说你是挖坑的, 然后我就不跟你纠缠了.
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:18:10 2013, 美东) 提到:
“也是合数”没问题
你怎么知道“既是素数”？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:19:20 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是一直假装逃避这个问题吗?
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:19:22 2013, 美东) 提到:
我觉得大家跟我一样都栽在那个“可知”的“知”了。
英文里面 “you know” 和 “then” 完全不是一个意思。。。
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:22:20 2013, 美东) 提到:
from/since " ", we know that...
英文数学书常见句式
know= can easily deduce
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:24:56 2013, 美东) 提到:
你说这个跟我们讨论的问题毫无关系
完全白费力气，懒得回答
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:25:25 2013, 美东) 提到:
你这个“即是/又是”也是高中数学写法，很容易受语言习惯影响或者所谓
的思维辨析。
现代数学直接说在集合里面，或者不在集合里面。不容易歧义。
我个人觉得现代数学语言跟古典数学语言一个很大的差别是：古典数学
语言更基于自然语言上的形成思维，有那么点哲学的意思。而现代数学
语言基本是建立在类似计算机伪码（pseudo code）上的思维，更加
精确和形式逻辑化，歧义少得多。
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:26:44 2013, 美东) 提到:
证明不管正着推还是反着推，我觉得“可知”的意思都是->
这个“可”字很重要啊
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:27:04 2013, 美东) 提到:
我看你是不敢回答.
如果你想让我指出这个和我们讨论的关系, 我告诉你,
A就是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
B就是 "素数只有有限个"
------
你要么脑子缺根筋, 要么已经意识到自己的错误, 但是怯懦到不敢面对错误, 懦夫一个
.
结论就是: 你要么是蠢货, 要么是懦夫.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:33:08 2013, 美东) 提到:
美帝的高中数学课本写法？ wiki 上很少看到 we know that 。。。
并且是根据假设的 deduce 的而不是 facts 的那种。。。
我前面给的这个 google 排在很前面的 link 里，也没看见证明
里面有啥 we know that 。。。
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
中学数学可能是考虑对广大中学生人性化，多采用靠近口语化的写法。不过
中学数学可能主要是教思维，不是真正去应用，歧义不是优先考虑的东东。
做码工毕竟是少数人。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:34:35 2013, 美东) 提到:
计算机语言的第一个要求就是 context free 文法 。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:35:40 2013, 美东) 提到:
我给你认真写一下吧
你自己可能不知道，但是你已经把A偷换成了
a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除
这个结论本身就是错的
跟素数是不是有限个其实是无关的
然后你用它来反证出素数有无穷多个
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:36:14 2013, 美东) 提到:
你的意思是:
"a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除" 这句话是错的是吧?
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:38:43 2013, 美东) 提到:
你就把 可知 当做一个固定词组不行吗
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:40:59 2013, 美东) 提到:
对
也就是说，素数的定义和右边的陈述完全没关系
吧?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:43:33 2013, 美东) 提到:
当然可以，只要熟悉这种语言习惯。
好比如果熟悉文言文，大家用文言文灌水应该也没啥。但是我老不行，灌水白话文
用太多，技术文章有英文看太多，所以栽古典数学写法的坑里面也是情有可原吧
。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:48:10 2013, 美东) 提到:
例子太多了,随手一搜... 前两个know 都是推断
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:48:33 2013, 美东) 提到:
既然你认为他是错的, 请指出他错在哪, 而不是对他的陈述品头论足, 你觉得没关系只
是你看不出关系, 看不懂关系, 不代表真的没关系.
我在171楼已经证明了这句话是正确的, 你看不懂不怪我.
我用这个定义可以判定2,3,5,7,11,13,17,19,.... 等都是素数, 我还证明了他的正确
性, 你根据什么理由说他是错的?
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 02:49:54 2013, 美东) 提到:
你的情况很理解, 完全不是智商或逻辑的问题
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:50:19 2013, 美东) 提到:
没上下文的话，您这句话就错了。所以不是 context free 。。。
没上下文，你只能说
a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何除自己以外的任何素数整除
另外大于1是白说的，后面都隐含了大于1了，不过懒得改了。。。
不过这个也不算定义。。。定义是不能被除了 1 和自己之外的所有其他任何自然数整
除。
吧?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:54:46 2013, 美东) 提到:
没上下文, 是不是意味着默认了 "在主流的数学公理和逻辑规则的前提下" ?
我说这个, 是为了避免等一会哪一边出现吹毛求疵的情况.
此话强调一次, 以后就默认自带在context里面的.
以上是否接受?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:56:41 2013, 美东) 提到:
错就在于，它背离了素数的定义
算了，我们说得够多了，估计也没啥结果
不用再讨论了
反正bbs上也很难有谁说服谁的情形
何苦自寻烦恼，不如找个轻松话题灌水
我退出了哈
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:58:30 2013, 美东) 提到:
我的意思就是, 这是素数的一个等价定义:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
只要承认主流数学公理,定义,逻辑都正确, 那这个定义就是对的.
所以你的问题不单单是看错字了, 可能你还有其他的逻辑错误 (或者我不说的这么绝对
, 换一种说法: 你的观点和我的观点矛盾).
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:00:50 2013, 美东) 提到:
不对，还要加上你反证法的前提：素数是有限的
因为你将这个结论用到了反证法的逻辑推理里了。
然后就逻辑就不对了。因为如果素数是有限的你这个证明是不对的。
就好比说：你说，所有平行线都不相交，对吧，大家都承认吧！！"在主流的数学公理
和逻辑规则的前提下" ，大家都承认吧
然后你去用反证法证明平面上两条平行线A和B不相交
你假设假设A和B相交。
哦不，所有平行线都不相交，大家"在主流的数学公理和逻辑规则的前提下"承认吧！
所以假设是傻逼（你自己的用语）
好吧
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:01:50 2013, 美东) 提到:
你得证明他背离了素数的定义.
你不能因为他们的表述 "看上去不一样", 就说他们在数学上不同.
这就好比: "我今年80岁" 和 "我去年79岁" 矛盾吗?
你不能因为他俩长得不一样, 就说谁背离了谁吧.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:03:43 2013, 美东) 提到:
这个是课本讲课的段落，还是证明题的严格证明？
另外如果是讲课的段落哦，歧义与否也取决于上下文。
不过上班/工程里面如果说 we know，大部分情况就算是推断，
也基本是事实。至少俺这种英文不太好的老中不太敢用可能引
起歧义的用法。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:03:49 2013, 美东) 提到:
另外, 你这个表述:
"a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何除自己以外的任何素数整除"
作为命题来说是正确的, 不过他不能作为素数的定义, 因为你定义a是否是素数的时候,
得先知道 "除a以外的素数" 都是哪些, 这个导致其不可操作, 于是你无法判定a到底
是不是素数.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:06:02 2013, 美东) 提到:
OK, 我之前复制粘贴错了.
我还以为我复制的是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
" 这句话.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:07:26 2013, 美东) 提到:
不好意思, 我之前手误复制了你的内容.
现在重来.
你不要给我扣帽子, 我没有偷换过A的概念,
A是 "a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除"
不要根据你自己的奇葩逻辑来强行声称我偷换了A的概念.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:08:20 2013, 美东) 提到:
你前面的定义里面加了个 “小于 p_n”，那个只有 “在所有的素数都小于 p_n”
的前提下才成立。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:08:23 2013, 美东) 提到:
抱歉.
手误复制错命题.
我本意是指 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命
题.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:09:14 2013, 美东) 提到:
sry, 手误, 见749楼的解释.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:10:31 2013, 美东) 提到:
我现在强烈怀疑你是个挖坑灌水的.
因为你在我出现了第一个明显的复制错误的时候, 竟然就宣称 "退出" 了.
你的目的是不是就是让我不爽? 因为就算我承认了是手误, 你也可以假装看不到.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:12:54 2013, 美东) 提到:
哈哈，大家都敲乱了。
如果我没有记错的话，素数的定义应该是“不能被除了 1 和自己之外的任何自然数整除
的自然数”。
数学里面一个东东的定义只能有一个，其他的要么是等价定义，要么是命题。
否则就是重复定义。
你刚才说的是对的，“不能被除了自己以外的任何素数整除”是命题而不是定义，
定义不能循环定义。
候,
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:17:32 2013, 美东) 提到:
这个命题是正确的！
但是不能用在反证法中，见平行线反证法的例子！你不能随便将一个定理引入反证法逻
辑，否则就会得到这样的笑话：
就好比说：你说，所有平行线都不相交，对吧，大家都承认吧！！"在主流的数学公理
反证法的context和一般证明是不一样的！
证明两条直线是平行线，用反证法只能用定义：两条直线不相交
证明是素数，在反证法中请用定义：只能被1和自己整除。
引用一切其他定理一定要证明这个定理和假设无关。
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
这句话和”素数是有限的，就是这些“是有关系的。因为这个假设，这句话在反证法的
context中不成立，不能作为逻辑推断最后归谬的一部分。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:19:30 2013, 美东) 提到:
对，特别是在反证法里面，因为context中有条假设是错的，这些定价定义很多不能直
接用的。
整除
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:21:31 2013, 美东) 提到:
正确的命题不能用在反证法中?
------
你举的那个平行线的例子, 不能说明你的观点.
你说的 "假设是傻逼" 并没有问题, 假设可以是很明显的错误, 没有人规定你一定要假
设什么.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:24:34 2013, 美东) 提到:
反证法是可以用命题的，只要该命题的前提不会造成循环或者矛盾就可以。
不过从写法来说，我个人还是觉得这个更给力：
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P
be any common multiple of these primes plus one (for example,
P = p1p2...pr+1). Now P is either prime or it is not. If
it is prime, then P is a prime that was not in our list.
If P is not prime, then it is divisible by some prime, call
it p. Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise
p would divide 1, which is impossible. So this prime p is
some prime that was not in our original list. Either way,
the original list was incomplete.
里面的 “If P is not prime, then it is divisible by some prime,
call it p”。这个直接可以从素数定义推出。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:26:55 2013, 美东) 提到:
不管是正证还是反证，正确的命题都是可以用的，但前提是不能导致循环论证。。。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:28:46 2013, 美东) 提到:
当然不能用了，除非你证明这个命题和反证法的前提无关。
你不觉得用”所有平行线都平行“来说”两条平行线是相交的“这个假设很可笑吗？
所有平行线都平行的利用了平行线的传递性。显然，你假设两条平行线相交的话就不成
立了，在反证法中当然不能用。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:30:40 2013, 美东) 提到:
+1.
我的意思就是这个。
LZ用的命题导致了循环论证。
让LZ将他的命题的证明带入反证法一起看就知道了。我前面给过。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:30:58 2013, 美东) 提到:
看来得上 wiki 了，刚才去找了 wiki 上关于素数的定义：
A prime number (or a prime) is a natural number
greater than 1 that has no positive divisors other
than 1 and itself.
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
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startrek (voyager) 于 (Fri May 24 03:32:56 2013, 美东) 提到:
把楼主的证明改写了一下，大家看看对不对。我觉得和楼主的证明是等价的。
素数定义：
* 最小的素数是2
* 一个数是素数，如果这个数是不被任何小于它的素数整除的自然数
素数的性质一：
* 素数只有有限个
假设性质一为真, 将所以素数记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
可知: 如果性质一为真,则N是满足前面素数定义的素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故性质一为假，素数有无穷多个，前面N是素数的推论未必成立。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:34:23 2013, 美东) 提到:
我觉得他的想法是对的，但写的文字太有歧义了，而且当中有个跳跃。
证明题（虽然码工们很久不搞证明题了，但是总还见过猪跑的。。）
写得严谨还是很重要的。思路正确但是写得不够严谨，也是会扣分的。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:37:15 2013, 美东) 提到:
首先, 我这个命题确实和反证法的前提无关.
再次, 请你用脑子想一想, 一个命题是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证明
的假设所影响?
这句话能否理解? 请回答.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:38:35 2013, 美东) 提到:
谢谢，但是：
可知: 如果性质一为真,则N是满足前面素数定义的素数
你还是用到了LZ引用的等价命题。你认为不能被**已知素数**整除就是素数。
而素数的“原始”定义是：只能被自己和1整除的数
在这个反证法的前提下，LZ和您的证明没有保证N不能被Pn+1到N-1之间的数整除。
你没有证到N符合“原始”定义。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:40:51 2013, 美东) 提到:
改写是正确的.
"素数有无穷多个" 这个命题的证明方式太多了.
我本意只是想强调: 1楼的证明没有错误.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:42:24 2013, 美东) 提到:
“一个数是素数，如果这个数是不被任何小于它的素数整除的自然数”
这个不是定义而是正确的命题。不过这个很容易证明（如果能被非素数整除，
自然能被“组成”非素数的素数整除，这个意思）。并且也不引起循环论证
（证明时没有用到有限无限的假设）。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:46:11 2013, 美东) 提到:
请你想一想, 若一个命题 (已被证明) 是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证
明的假设所影响?
难道某个假设会让他变成 (在主流公理体系下) 错误的命题?
请回答.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:46:52 2013, 美东) 提到:
我用脑子想了想，跟你这么说。
我们说：
这个命题是正确的：若A和B，则Z
然后你要用反证法证A
所以你假设A是错误的，
我问你，若A是错误的且B是正确的，还能则Z吗？
这个命题在反证法里还能用吗？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:48:25 2013, 美东) 提到:
这里面有个跳跃没有证明，但是可以证明并且不引起循环的。（任何一个非素数，
都能被某些个素数整除）。
但是这么搞比较繁复容易引起混淆，不如下面 link 里的证明简洁：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
里面的关键点是 “If P is not prime, then it is divisible by
some prime, call it p. ” 这个由素数的定义可以直接导出，比证明
那个命题貌似简洁一些。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:48:32 2013, 美东) 提到:
命题 (即素数等价定义) 的证明在171楼, 现复制粘贴如下 (考虑对象a):
-----------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
☆─────────────────────────────────────☆
startrek (voyager) 于 (Fri May 24 03:50:39 2013, 美东) 提到:
如果我把上面post定义的素数改个名字，比如叫“吵架数”。那么上面的证明过程和结
论对如此定义的“吵架数”应该是全对的吧。剩下的问题就是确定这么定义的“吵架数
”和原始定义的“素数”是不是完全定价的。我觉得是的。
当然如果楼主使用原始定义，在加上最后那句“如果性质一为假则N不一定是素数”（
楼主没说这句但是确实也没有必要说）就没有这么多争论了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:50:41 2013, 美东) 提到:
请补全A,B,Z都是什么, 谢谢.
因为我实在没看出来我干过你说的那种事情.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:51:35 2013, 美东) 提到:
如果公知的被引用的命题的证明的过程用到了你那个反证法的假设或者结论，就会引起
自相矛盾或者循环论证。
简而言之不能相互循环引用来证明。。。
但你这个证明没有这个问题，虽然不是那么显而易见。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:51:53 2013, 美东) 提到:
另外, 出于对我的尊重, 你能否先正面回答清楚我的问题? 而不是一上来直接跳过回答
, 就开始自说自话?
请回答770楼中的问题. 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:53:26 2013, 美东) 提到:
谢谢你这么多回复.
我的目的不是让他们认为 "素数有无穷多个" 这个命题正确, 这个命题本身确实是有很
多种证明方法.
我的目的是想通过自己的说理, 让他们认为1楼的证明是正确的.
看上去这很困难.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:56:41 2013, 美东) 提到:
"假设" 这个词, 大多数情况下, 就意味着他是还没有被证明的命题, 比如 "黎曼假设"
(riemann's hypothesis), 未被证明的命题, 本身当然不能随便引用.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:57:29 2013, 美东) 提到:
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
这句话要成立，你就要回头去证明素数是无限的，否则你怎么知道这个所谓的“素因子
”一定在**这些素数**中？
a会不会被pn+1到a-1之间的整数除呢？
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**，只是普通意义上的素数。
你说，你的命题和假设有没有关系？
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:59:39 2013, 美东) 提到:
我是说你反证过程中的假设，对于你这个就是假设素数有限多。。。
设"
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 04:02:10 2013, 美东) 提到:
嗯，最终是应当的。我可从来没有说过“你用脑子想一想”“傻逼”什么的话哦。：）
你在770楼中的问题是：
请你想一想, 若一个命题 (已被证明) 是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证
明的假设所影响?
难道某个假设会让他变成 (在主流公理体系下) 错误的命题?
请回答.
我的回答是：
相信已经正面回答你的问题了
加个结论吧：”在反证法中会“。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 04:02:19 2013, 美东) 提到:
你这个证明写的不是太好。其实你要证明的是：
如果自然数a不能被任何小于a的素数整除，那么自然数a必然不能被任何小于a
的除了 1 以外的任何自然数整除。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:03:48 2013, 美东) 提到:
你举例子的目的是什么?
我只是让你指出773楼的证明, 哪一步用到了和假设有关的性质 (即素数有无穷个/素数
有有限个),
我是让你找出哪一步 用 到 了 和假设有关的性质.
你举例子是不是答非所问?
你写的有些东西我逻辑上不能理解, 请你先回答我这个问题:
问题1: 773楼的证明中, 哪一步用到了和假设有关的性质?
-------
如果你觉得你780楼回答的就是如上这个 "问题1" 的话, 那麻烦回复明示.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:05:55 2013, 美东) 提到:
另外, 我773楼在证明 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整
除" 这个命题时, 什么时候考虑过 "这些素数", "那些素数", "红的素数", "紫的素数
", 或是 "白的素数"?
你总不能强行认为我考虑过, 然后说我这么考虑是在意淫吧.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:14:27 2013, 美东) 提到:
OK, 这个怪我没有问一个疑问句, 导致你答案这么长.
换成疑问句吧:
如果一个命题 (已经被证明为) 是正确的, 那么其正确性, 会不会被某个未被证明的假
设所影响?
1. 会. 2. 不会.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:18:25 2013, 美东) 提到:
他们连 "两种定义下的素数是一样的" 都搞不清楚, 你再给他们说个 "吵架数", 他们
会更抓狂的.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:20:55 2013, 美东) 提到:
785楼由于将 "773" 手误打为 "774", 在原帖做出了修改.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:28:27 2013, 美东) 提到:
当然可笑, 因为你假设的命题不成立.
但是你总不能因为你假设的命题不成立 (而且按照你的观点, 应该是错的很可笑), 就
说你不能用 "所有平行线都不相交" 这个命题吧? 为什么不能用?
只是你认为这个太显然, 所以自己给自己脑补了个规矩, 说太显然的时候不能用. 等到
了某些不显然的地方, 你就乱套了.
-------
BTW, 我还真要问你一句, 如果你不用 "所有平行线都不相交" 这一基本命题, 你怎么
证伪 "存在两条相交平行线" 或 "两条平行线是相交的" 这类命题?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:31:19 2013, 美东) 提到:
你怎么唧唧歪歪半天还没说明白我哪一步循环论证了?
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:35:08 2013, 美东) 提到:
说说你码啥了，万一以后碰到了可以直接忽略，免得浪费俺的时间
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:42:29 2013, 美东) 提到:
如果之间有这么个数x存在，则该数是和数，且必然会被p1-pk之中的某个数整除。
换言之，能被数x整除的必然能被某个质数整除。
记住：所有的合数都能表达为一系列质数的乘积形式。
..
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:45:35 2013, 美东) 提到:
你是在bso中学就留学了吗？
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 04:46:06 2013, 美东) 提到:
就是因为你没考虑，所以反证出错了。
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
那你这句话用到了和假设有关的性质
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
我们将这句话代入你的反证法。
你在你的证明里其实用了该命题的这个逻辑：
“a不被任何小于a的素数整除 => a是素数”
但是，前半句是在反证法的假设下，所以前半句中的素数指的是你假设中的素数。
后半句是结论，是要和假设归谬的，所以后半句中的素数指的是素数的定义：除了自己
和1不能整除
所以，这句话其实是
“a不被**这些素数**整除 => a是除了自己和1不能整除的数”
这句话是错的。
你假设**这些素数**只到pn，a会不会被pn+1到a-1之间的数整除呢？你没有证明。
所以我给了例子：
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**。
而你构造了31，你还要证明6到30之间没有数可以整除31，才能说31是素数，才能和假
设归谬。
或者说，”a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除“这句话在素数是有
限的情况下是错的，这句话本来就要素数是无限的这个前提。有没有循环论证呢？
我说完了。谢谢讨论，明天还要上班~
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:50:27 2013, 美东) 提到:
哈哈哈哈哈哈
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:59:52 2013, 美东) 提到:
恩，还有中文定义英文定义:)
话说回来，原始定义用的啥语言？
是不是得用原始定义语言才算Y原汁原味的原始定义？否则怎么证明翻译以后的和非原
始定义等价？
我承认无聊了哈
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:00:22 2013, 美东) 提到:
你看话不看上下文吗:
在a是大于1的自然数的前提下, 请问这句话对不对?:
-------
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
-------
请回答: 对, 或者不对.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:05:38 2013, 美东) 提到:
请问:
7不是你所谓的 "这些素数" 说明了什么?
A. 说明了 "素数不止有这些, 即2,3,5"
B. 说明了我的定义不可靠.
你在错误假设的前提下, 试图来说明我的定义不可靠, 又如何?
这能说明我的定义本身是不可靠的?
有逻辑没?
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 05:06:40 2013, 美东) 提到:
就是说码工高级了，得高级的用词才配得上？
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 05:12:01 2013, 美东) 提到:
不做码工的数学家可能要悲剧了，是吗？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:31:13 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是说我的定义的正确性一定需要有个前提, 那就是 "素数有无穷个" ?
OK, 那我这么问你:
考察以下若干个命题:
一: 素数有无穷个.
二: a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除.
A: 如果命题一正确, 那么命题二正确.
B: 命题二正确.
C: 如果命题一不正确, 那么命题二不正确.
你既然说我的定义的正确性一定需要 "素数有无穷个" 这一前提的话, 你一定是在说命
题B不正确, 对不对?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 05:33:40 2013, 美东) 提到:
您真有精神。。。
这些人根本不知道自己在说什么。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:46:27 2013, 美东) 提到:
我问你, 你看以下这个命题对不对:
命题一: 如果素数只有有限个, 那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何
小于a的素数整除"
请直接回答: 对 or 不对.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 06:10:46 2013, 美东) 提到:
以下简记 " 'a是素数' 等价于 'a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除' "
为命题P.
你只说明了 "如果素数是有限个, 那么P不成立".
你如果想声称 "素数有无穷个" 是P成立的前提的话, 你应该能够证明以下这句话是错
的:
"如果素数只有有限个, 那么P成立"
请尝试证明他是错的.
我可以先证明给你看为什么 "如果素数是有限个, 那么P成立" 这句话是对的 (实际上
由于这句话的前提假设是错的, 所以后半段无论是什么, 整体都是对的, 但是我觉得以
你的逻辑水平和智商, 是无能力理解我这句话的, 故我打了括号, 括号内的内容你可以
不用去管, 和我想说明的东西也没有必然联系, 我不奢求你能看懂)
--------
现在, 我来证明 "如果素数只有有限个, 那么P成立" 是对的.
证明如下 (每行前面有#的部分表示证明的部分):
#如果素数只有有限个, 那么,
# 我们考察任意一个对象a,
# 如果a不是自然数, 那么a不是素数,
# 如果a是自然数, 那么,
# 1.如果a≤1, 那么a不是素数,
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数" 等价于 "a有小于a的素因子"
# 那么,
# "a是素数" 等价于 "a没有小于a的素因子" 等价于 "a不被任何小于a的
素整除"
# 那么,
# a是素数" 等价于 "a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
证明完毕
结论: "如果素数只有有限个, 那么P成立"
请指出这个证明中的问题, 若无问题, 请解释为何你说 "素数有无穷个" 是P的前提,
谢谢!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 06:48:20 2013, 美东) 提到:
谢谢夸奖.
你看我有没有当老师的潜质?
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 08:40:29 2013, 美东) 提到:
证明是错误的
在这个前提下
#如果素数只有有限个
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数"
这个不等价。
合数的定义是除了1和自己，还能被其他数整除。
你这句话中的素数有个前提，就是你反证法的前提，素数有有限个，而且最大为pn，就
这些素数了。a完全可能是新发现的素数，不是合数。
然后你就要讨论了吧。
如果是新发现的素数，反证法成功。
如果是合数，你才能继续你本来的思路，对不对？所以我认为你前面的证明是有缺陷的。
"
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 08:50:54 2013, 美东) 提到:
你跟daigaku都没理解反证法是怎么用的
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:14:39 2013, 美东) 提到:
我什么时候说过
------
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数"
-------
中的素数, 是我定义的素数?
我指的是你所谓的 "通常的" 素数.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:15:59 2013, 美东) 提到:
这里的素数, 就是 "通常意义下的" 素数, 如果你真的非常喜欢用这种奇怪的方式来给
素数加一些区分的话.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:37:34 2013, 美东) 提到:
以后如果不加说明, "素数" 一律指主流公理体系下的 "素数".
这么约定行不行?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 11:00:19 2013, 美东) 提到:
这么样吧，你能不能证一下两个定义等价。我们都知道对于我们的自然数集它们是等价
的，你证一下，必须保证不牵涉素数是无穷的这个结论。很多人的论点就是这不是一个
trivial的东西。这个要求合理吧？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 11:10:18 2013, 美东) 提到:
这个要求很合理, 但真的不是我没有这么做过. 我在171楼已经写了.
当然, 我不介意再复制粘贴过来:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
以上这个证明并没有步步都划归到公理的情形, 其中 "a是合数 <=> a有小于a的素因子
" 严格来说, 还得用数学归纳法证明, 而且证明本身写得也不太规范, 比如最开始我没
有写上一句 "对于任意一个对象a" 就开始说 "a如何如何", 我的目的, 是为了保证原
帖内容的完整性和继承性, 因为这种争议比较大的帖子, 我觉得还是不要随意改动以前
的说法的好. 不过我可以人格保证, 这个证明并不需要用到 "素数有无穷多个" 这一命
题.
如果你认为以上哪个地方有可能用了 "素数有无穷多个" 的话, 麻烦进一步跟帖指出,
我会做进一步详细的解释. 认为证明中哪个地方有错误, 也请回帖指出.
谢谢!
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 11:51:05 2013, 美东) 提到:
大哥，我真诚的告诉你，不能被除了自己以外的任何素数整除这个不叫循环定义，这叫
recursive definition，就像recursive function一样，他和死循环是有区别的。请你
动动手去google一下。。。不要想当然。。。看了之后麻烦不要在这起哄了。。。谢谢
整除
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 11:59:09 2013, 美东) 提到:
如果说成
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
这个作为定义的话, 我感觉确实有点问题, 因为我在考察a是不是素数的时候, 似乎没
办法知道 "任何不等于a的素数" 都包括哪些.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:01:39 2013, 美东) 提到:
呃呃呃 你这是坑我呢么！！！
你不是一直说的是不被任何小于A的素数整除么。。。
你居然改了。。。。
不被任何素数整除当然不对了大哥。。。。。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:02:09 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
不过理论上来说, 根据这个定义, 我也可以判断哪些数是素数, 因为我知道大于a的数
不会整除a (这一事实不依赖于该定义本身), 所以我只需要考虑小于a的素数.
但如此说来, 我相当于是在根据 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除" 在做判断.
--------
我这里也搞不清楚了, 你看我哪个说法是对的?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:03:19 2013, 美东) 提到:
看816楼, 我是有疑惑的.
从逻辑上来讲, 或许是对的.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:03:56 2013, 美东) 提到:
额~~我复制粘贴没看清。。。不好意思。。。因为之前I63一直说的是不被比自己小的
素数整除。。。
所以。。。我想说的是：
大哥，我真诚的告诉你，不能被比自己小的任何素数整除这个不叫循环定义，这叫
recursive definition，就像recursive function一样，他和死循环是有区别的。请你
动动手去google一下。。。不要想当然。。。看了之后麻烦不要在这起哄了。。。谢谢
整除
如果你已经知道这个是对的，那么无视我。。。
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:07:07 2013, 美东) 提到:
额~~有道理。。。只是加了一个trivial case。。。好吧 我naive了。。。
不过。。。那些人连比A小的素数整除都无法理解。。。你现在又说不被任意整除。。
。不是越搅越混。。。
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luobo (菠萝) 于 (Fri May 24 12:09:54 2013, 美东) 提到:
楼主是在证明孪生素数猜想吗？
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 12:11:56 2013, 美东) 提到:
It just does not really matter. If the known truth that " a is prime<=> a>1
& a cannot be divided by any prime that is smaller than a" suddenly fails
under the assumption that "there are only finite many primes", then the
assumption is already proven wrong by logic.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:17:31 2013, 美东) 提到:
我就是因为当初怕人喷我的定义是 "循环定义", 所以才加上了 "小于a" 的限制, 有了
限制以后显然就只是个普通的递归定义, 本身没有问题. 没想到后来还是躺枪了...
现在看来, 即便不用 "小于a", 而只用 "不等于a" 其实也是一个合理的定义.
另外, 其实1楼的证明的正确性, 并不要求 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被
任何不等于a的素数整除" 这句话能作为素数的定义.
只要这句话作为命题, 是正确的, 那就可以了. 所以即便是有循环定义, 但是其 "作为
命题" 是正确的, 那么1楼的证明仍然正确.
这里, 我的逻辑是这样的: 哪些数是素数, 哪些数不是素数, 不是我定义的, 是 "主流
的素数定义" 定义的, 我只是陈述一个事实, 即 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何不等于a的素数整除", 只要认为我陈述的这个确实是个事实, 那么就应该认
为1楼的证明没有问题.
------
呵呵, 于是我发现两个问题:
1. 当初坑没挖好, 不应该有改为 "小于a" 这个举动, 简直是多此一举, 投鼠忌器.
2. 当初没有说 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
是个正确的命题, 而是说 "这是素数的一个等价定义", 倒很不错, 这个对挖坑是有正
作用的.
-------
如果让我再来一次, 我会在证明中说:
由素数的定义 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除",
blablabla......
那想必此坑的效果比现在还好数倍, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:19:02 2013, 美东) 提到:
您是大牛, 就别再调戏我们了.
我也不调戏你了.
好不?
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 12:21:16 2013, 美东) 提到:
同意。本期非诚勿扰播出完毕。双方高手如云。
敬请关注隔壁台的法制类节目。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:22:44 2013, 美东) 提到:
sorry, 我的意思是,
您如果想开开玩笑的话, 我绝对乐意奉陪的.
只是咱们不要再基于一些 "非数学" 的东西来相互抨击了就好.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:23:56 2013, 美东) 提到:
NO.
还有很多人的 "数学上的" 错误, 没搞清楚呢.
至于luobo, 他和我都没有数学上的错误, 至少我这么认为.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:30:27 2013, 美东) 提到:
非诚勿扰完了以后不是什么 "好声音" 还是 "星跳水" 来着?
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newyouth (新青年) 于 (Fri May 24 12:30:48 2013, 美东) 提到:
看着坑大，忍不住跳一个。
就像前面一个人说的，光是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的
素数整除" 是正确的命题不够把。你需要说明这个正确性并不建立在素数无穷的基础上
。虽然你后来证明了，但是你需要把这样的证明加到1楼里面才能完备。加进去之后看
上去并不比欧几里得的要简洁了。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 12:42:54 2013, 美东) 提到:
谢谢
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:49:02 2013, 美东) 提到:
我并没有说我这个证明比欧几里得的简单.
不过欧几里得的证明中也用到了一些 "并非完全直白" 的事实.
当然, 这个我就不敢展开说了, 而且展开说的话也是个好坑, 改天挖挖.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:49:56 2013, 美东) 提到:
请问你后来看了我的812楼的回复了吗?
是否有问题?
谢谢!
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:50:00 2013, 美东) 提到:
我去查了一下，发现素数这个 recursive definition 是正确的。
谢谢。
只是素数这个 recursive definition 确实不如素数非 recursive
definition 用得广泛，外加 recursive definition 的正确性
常常不是那么显而易见，俺半夜三更的就先有罪假定了一把。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:54:08 2013, 美东) 提到:
我后面看到那个素数的 recursive definition。
如果用素数的 recursive definition，你的比欧几里德的简单，因为
你可以直接上 recursive definition。
但是素数的 非recursive definition 更流行，如果是 非recursive
definition，应该是欧几里德的更简单明了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:58:08 2013, 美东) 提到:
你可能看错话了?
我830楼的原话是 "我并没有说我这个证明比欧几里得的简单."
呵呵, 我是个狡猾的人.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:59:28 2013, 美东) 提到:
素数的 非 recursive definition，不需要 “小于自己” 那个条件。
但是素数的 recursive definition，需要 “小于自己” 那个条件，
否则会变成错误的循环定义，而不是 recursive definition。
（少了那个条件无法 recur）
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:01:36 2013, 美东) 提到:
我只是讨论事实，并不是说谁对谁错。
两个证明都对，但是你首贴的证明过程写得不是很完善，至少上来
把我搞晕了。。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:04:59 2013, 美东) 提到:
这个要强烈握下爪。昨天163还说我这么说是熊猫呢。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:05:24 2013, 美东) 提到:
呵呵, 其实不加 "小于a" 的条件, 也是可以清楚地定义出 "哪些数是素数" 的.
具体请再看一下814楼和816楼.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:09:24 2013, 美东) 提到:
其实我觉得你的证明思路更多倾向于 recursive-based。另外你首贴写的不太
完整，然后我看中文数学比较烂，一开始时误解了你的 recursive 思路。
欧几里德的原版不提（反正鸟语也看不懂），我看到的两个翻译（上面贴出来的），
其实一个更接近中学数学思路，另一个更接近现代集合论思路。我个人更喜欢现代
集合论思路。
如果是结果相差不大的证明思路，让我在 集合论-based vs recursive-based
里面选，我一般更倾向于选 集合论-based。主要是 recursive-based 比较
tricky，不小心会搞成循环论证。。。不过这个纯属个人 preference。
当然，码 code 另说，recursive function 写起来比 stack-based 要快，
stack/queue-based 主要是为了速度，或者有些东西 recursive 反而自找
麻烦，比如 BFS 。。。
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 13:10:15 2013, 美东) 提到:
这才是理科同学该有的态度嘛~~很好·~大家长知识
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:13:52 2013, 美东) 提到:
本来就说是不完整啊。。。 怪不得原来最早跳坑的都跑了，留下新来的一波又一波继
续着
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:15:00 2013, 美东) 提到:
嗨呀....你说的高深了, 我无力理解.
我想先讨论讨论这个:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除" 其实也是可以作
为素数定义的, 没有问题.
你说是不是?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:16:09 2013, 美东) 提到:
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
上面这个是正确的命题，但不能作为 recursive definition。因为无法 recur，
造成循环定义。
下面这个才是 recursive definition，因为这个能 recur：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
这个是不是能 recur，对码工不太难，主要是码工写 recursive function
也是家常便饭。
那个英文版的素数 recursive definition 里面用词是 “if and only if”，
常常要那么写不容易有歧义。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:18:21 2013, 美东) 提到:
还是有区别的.
现在, 焦点基本已经变到 "这个素数的定义是不是合理" 上了.
最开始那波可是相当无理取闹的, 比如质问我 "为什么不考虑除了p_1,p_2,...,p_k以
外的素数" 等等, 让我蛋疼菊紧.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:28:58 2013, 美东) 提到:
不是的，原因我在 843 楼里说了。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:30:30 2013, 美东) 提到:
okok
pat pat
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:38:03 2013, 美东) 提到:
我举个例子吧, 如何根据
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
来判定2是不是素数:
由于2肯定不被比2大的自然数整除, 故2也不被比2大的素数整除 (这里用到了定义中的
"素数是自然数")
所以只需考虑比2小的素数,
blablabla
后面我就不说了.
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现在你仍旧认为这个定义有问题吗?
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 13:38:26 2013, 美东) 提到:
亲~~你实在是不太懂我们讨论的么。。。人家的证明没有问题，最多是那个recursive
定义的正确性不太明显，但不能因此说他错或者不完整。。。
说错 不完整的就是不理解反证法的
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:41:58 2013, 美东) 提到:
最后一句是我在这个讨论中最为反对的。其他的都是小问题。你继续哈。
recursive
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:45:06 2013, 美东) 提到:
不完整是指写下的证明文字里面有跳跃，不是指楼主的思路。
不过一开始人也不知道楼主的思路，都是先看文字吧。。。
recursive
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:47:02 2013, 美东) 提到:
这个我要想一想。。。我现在有点事，待会儿在回来贴。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:59:16 2013, 美东) 提到:
I don't think it is right.
The point is, in recursive definition, for those elements used
to construct definition, being "correct" is not sufficient. It
has to be "defined" (prior current/this definition).
So the problem is any prime number bigger than current
prime number is "undefined" in current recursive context,
resulting a incorrect circular-definition.
I am kinda busy now. I can elaborate later when I got chance.
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:00:17 2013, 美东) 提到:
跳步骤和严谨与否不是一回事儿。有些人认为lz跳过了对等价性的证明就说不严谨，我
觉得是不对的。该不该跳步骤是按观众来决定。观众起点低，就要一步一步证，观众起
点高就可以跳步骤。这个和严谨与否没有关系。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:02:56 2013, 美东) 提到:
有些步骤是必要步骤。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:22:36 2013, 美东) 提到:
为了挖一个好坑, 我还在2楼小心翼翼的表达了一些东西.
不知道那些跳坑的人都注意看了没.
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:26:02 2013, 美东) 提到:
yes, 我认为必要步骤都有了
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:33:03 2013, 美东) 提到:
好像主要是因为那个素数的 recursive definition，这个不常用可能需要
特别说明一下比较好。
如果是中学数学考试，可能被判跳步骤，因为中学数学课本貌似没有用素数的
recursive definition。
当然，俺主要是栽在 “可知” 一词上面，语文问题。。。
不能再灌了，老板在喊我回 cube 码 code 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:33:19 2013, 美东) 提到:
这你就和我的基本观念有分歧了.
我这么说吧, 我有一个定义, 并且我现在根据这个定义 (以及其他主流的数学公理,定
义,逻辑体系) 可以清楚地对任意一个对象作出判断, 那这个定义能被称之为错的吗?
你说: "So the problem is any prime number bigger than current
prime number is "undefined" in current recursive context,
resulting a incorrect circular-definition."
这实际上是一种CS工作者的误导, 数学上从未有任何一条公理要求你定义一个东西, 一
定要按照 "从小到大" 的顺序来吧? (更一般的表述是: 数学上并不要求一个定义在考
察其可操作性时一定要满足某种序关系) 你这是一种计算机意义下的 "惯性思维", 在
数学上是不合理的.
简单来说, 我可以问你这么一个问题 (我想你回答了这个问题, 应该就能明白问题所在
了):
我在考察自然数a是否是素数的时候, 是否一定要知道自然数中大于a的素数是哪些?
注意, 我这里的 "一定" 有一点歧义. 换一种问法是这样的:
我如果不知道大于自然数a的素数有哪些, 我还能否说清楚a是不是素数?
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 14:33:32 2013, 美东) 提到:
好吧，的确说不懂反证法有点夸张。。。
我只是觉得其实很简单的问题，大家google一下就能明白的，就一定要想当然的自己根
据自己的想法争执。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:33:56 2013, 美东) 提到:
写证明不只是写给自己看的。一个版本，谁看了都觉得对。另一个，看了结论不统一。
前提是讨论同一个问题。高下很明显了啊。
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:35:23 2013, 美东) 提到:
问题是后来i63又补充证明了等价性，但继续有人挑刺，还有表示仍然有错的，还有纠
结30031的。这是为什么？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:35:32 2013, 美东) 提到:
其实2楼已经暗示的很明白, 如果你不承认这个定义的合理性, 我可以讲给你听.
但是你若已经承认这个定义的合理性, 还坚持认为证明是错的, 那就是愚蠢了.
据我目测, 前面的楼层中可是有很多人犯了这个错误的.
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:35:34 2013, 美东) 提到:
就是语文问题唉。实在看不过半瓶醋说别人不懂数学。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:37:55 2013, 美东) 提到:
这个要握爪
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 14:39:47 2013, 美东) 提到:
其实吧。。我是这楼一直盖过来的。。。第一波人是要么无理取闹，要么不理解反证法
，要么是逻辑学的不太好的。。。。是盖了好多层之后才变成讨论楼主定义存在漏洞这
个事上。。。不然我也不会进来掺一脚。。。
很多人都说，构造数N在lz假设下可能是合数，然后一定要楼主证明这个合数有一个素
因子不属于pn 然后才能推翻原假设。。。这个就是我特别不能理解的。。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:42:39 2013, 美东) 提到:
有简单明了的方法更好而已。早说了10.5分和9.8分的差别。本来163的版本就只是小问
题。补充了可以算10.3分了。
支持163的同学(注:我没注意163说没说)硬说对方不懂数学和逻辑，不是搞笑吗？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:47:29 2013, 美东) 提到:
我把不懂逻辑或反证法的都列到文史类了。你其中挑出一个懂逻辑的吧，我可以找到他
没逻辑的帖子给你看。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:47:36 2013, 美东) 提到:
不需要从小到大，刚才用从小到大只是说起来直观而已，并不是严格的说法。
关键的问题是在 recursive definition 里的 definition 的概念。
严格的说法，在这个 recursive definition 里，被定义的 “素数”（定义符号
左边），同时也出现在用来定义“素数”（定义符右边）。不要求从小到大，但要求
存在一个 context，在该 context 里面，定义符号右边的 “素数” 都已经被定义。
而且最终能够 recursive down，否则就是无法 recur。
recursive definition 广泛存在于计算机文法中。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:51:14 2013, 美东) 提到:
一开始就上 google，难道不是少了很多乐趣。。。
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linglingQ (灵灵球) 于 (Fri May 24 14:52:25 2013, 美东) 提到:
水粉好，刚提到粉呢，您就蹦达出来了
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:55:46 2013, 美东) 提到:
i will call it an "implicit" definition, no matter recursive or not, as long
as it's well-defined, the definition is good. for example, define x:
x+2 = 4, is a well-defined (irrecursive) "implicit" definition.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:56:18 2013, 美东) 提到:
哦, 这么说吧:
我们先不讨论 "计算机逻辑", 我们只讨论 "数学逻辑"
我认为, 在 "数学公理,命题,逻辑体系" 下, 一个定义是不是清楚, 唯一的判断方法就
是看你任取一个对象, 能不能够根据这个定义判断出这个对象符合定义或是不符合定义
.
我这么说你认同不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 14:56:46 2013, 美东) 提到:
你们这些人啊，想不开
long
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:58:47 2013, 美东) 提到:
recursive definition 和 non-recursive definition 都必须遵循
the order of definition （源于数学哲学的 causal-effect 假设）。
recursive definition 的 tricky 的部分，用现代数学语言来说，如果
被 define 的 item 是一个 set，需要存在一个 recursive context，
在该 recursive context 的时候，定义符右边的所用到的 sub-set 已经
被完整定义，从而可以用来定义定义符左边 sub-set。
这个不是时序，而是 the order of definition。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:58:59 2013, 美东) 提到:
另外, 按照你这一楼的 "计算机逻辑" 继续说.
其实这个context是有的 (如果我没有理解错你的意思的话), 那就是你先利用 "任何大
于1的自然数的因子必是小于等于它本身的自然数" 来构造一个 "context".
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:00:25 2013, 美东) 提到:
来说说, 你怎么看最新的这个定义合理性的问题?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 15:02:58 2013, 美东) 提到:
如果你把这个对象看成 set / sub-set，我觉得就容易理解 recursive definition。
当然，我是现代数学集合论/图论写法的扇子。。。没办法，上班老干这个。。。
另外，计算机逻辑跟数学逻辑有啥区别？这个计算机未必一定是要因特尔奔腾，也可以是
抽象的图灵机啥的现实世界中没有的东东。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 15:05:20 2013, 美东) 提到:
这个 context 是对于 set of prime numbers 而言的。。。因为你在用
recursive definition 来定义 prime number 的概念，现代数学集合论
的说法，你在定义 set of prime numbers 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:07:10 2013, 美东) 提到:
"计算机逻辑跟数学逻辑有啥区别？"
这个只是我为了形象表述出我自己的观点, 造出来的区别.
我逻辑学的并不好.
我再看看你的回复先.
以是
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:11:25 2013, 美东) 提到:
还是感觉不太对.
比如我要看a是不是素数, 我先有一个context, 这个context是建立在 "任何大于一的
自然数b的因子都必定小于等于b本身" 之上的. 我觉得这个context好像和素数是什么
并没有关系.
当然, 也可能是我没理解你建立context的规则和方式.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 15:18:49 2013, 美东) 提到:
true。。。。灌水的乐趣我还要慢慢学习体会。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:32:42 2013, 美东) 提到:
我觉得你好像是说问题在这里:
"a没有大于a的因子 => a没有大于a的素因子"
你说 我们还不知道 大于a的素数 "是不是一个集合", 因为我们从未讨论过 "大于a的
素数".
所以 "a没有大于a的因子 => a没有大于a的素因子" 形式上来说, 是错的.
是这个意思吗?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:19:58 2013, 美东) 提到:
比较接近了，如果把 “从未讨论过” 改成 “从未定义过”，可能更好理解些。
当然，我们上面其实是比较两个定义，其中一个有大小限定，另一个没有
大小限定。这个比较虽然让人更容易理解，但本身也会造成一定歧义。
俺下面就从纯数学而言，单就下面这个定义，不跟任何其他定义比较，
说说我认为错在哪里。
对于下面这个 recursive 定义：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
该定义的错误是在定义符号的右边，没能成功构造一个能够 recurs
down 的 sub-set。
上面的不能 recurs down 可以这么证明：如果素数是无限多个，那么
定义符右边的 sub-set 的 size 是 infinite - 1 = infinite。
你都没能 recurs down sub-set 的 size 。。。
当然，如果素数是有限多个（需要太阳从西边出来先。。。），那你这个
recursive 定义貌似就成功了，因为你的确可以 recurs down。实际
是不是可计算性另说，那个属于信息学范畴。。。有没有人吃饱了撑的
证明一下 non-deterministic turing machine 是不是可以按照
那个坑爹的定义算，前提是素数是有限多个。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:26:06 2013, 美东) 提到:
而 wiki 上 recursive 定义里面的 “小于该素数的” 的那一刀，
喀嚓把无限切成有限。。。够狠。。。
不过 wiki 好像还写了 positive，太严格了。。。哪头写 wiki
的数学猪吃饱了撑的没事琢磨到这等变态的程度。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:41:21 2013, 美东) 提到:
我更正一下自己，我刚才想了想，就算是有限多素数，
还是不可以的。
虽然有限多素数可以 recurs down the size of set，
但是还是不能 recurs down 该 set，原因是 recurs
tree 无法生成。因为用 “不等于自己” 构造 recurs
tree 的时候，会发生 tree node 相互 cross 引用
ancestor nodes 的情况，实际上构造成了一个有 loop
的 graph。因此 fail to recurs down。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:44:07 2013, 美东) 提到:
所以我觉得还是得 “小于自己的素数” 那刀够狠，直接避免了
recurs tree 里面引用 ancestor node 造成 loop 的
情况，保证可以 recurs down。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:45:58 2013, 美东) 提到:
另外 loop 的意思就是发生循环定义的情况 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 16:51:38 2013, 美东) 提到:
看上去好复杂, 我已经疲惫了.
睡觉去了先, 起来再看.
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 16:54:23 2013, 美东) 提到:
举个反例证明你是错的吧。N不一定是素数。
比如：N=2*3*5*7*11*13+1;
N可以被59和509整除。
很多自以为破解了难题的人都是把一些本来就不成立的命题看作是显然成立的。数学需
要用数学的思维去思考问题，要不然从一开始你就错了。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:02:30 2013, 美东) 提到:
lz说的是“所有的”素数相乘加一。注意是所有的！你那个N是6个素数乘出来的，
不是所有的素数！怎么就这么点事，争了一天一夜了还有人不明白呢？唉。
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:06:19 2013, 美东) 提到:
发信人: l63 (l63), 信区: WaterWorld
标 题: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东)
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
。。。。。
可知: N是素数
--------------------------------------------------
k=1的时候，就一个质数2，
k=2的时候，就两个质数2和3，
k=3的时候，就三个质数2，3，5，
k=4的时候，就4个质数2 3 5 7
k=5的时候，就5个质数2 3 5 7 11
k=6的时候，就6个质数2 3 5 7 11 13
所有的质数都在这儿了，一个没有漏。
p1=2
p2=3
p3=5
p4=7
p5=11
p6=13
N=p1*p2*p3*p4*p5*p6+1=30031=59*509 不是质数。
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 17:11:41 2013, 美东) 提到:
碰到谁这一仗打下来肯定都得累死。快睡吧。
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 17:14:40 2013, 美东) 提到:
你到是先证明N是素数啊。你以为随便有限个素数相乘再加个1就是素数了。谁告诉你这
个结论是成立的。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:14:45 2013, 美东) 提到:
俺实在无语了。呵呵。您自便吧。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:16:49 2013, 美东) 提到:
类似的证明上面有不下几十贴了，呵呵。您也自便吧。谢谢。
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:25:11 2013, 美东) 提到:
俺也无语了，您也自便吧
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:26:48 2013, 美东) 提到:
你是说你自己吗？
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:28:44 2013, 美东) 提到:
看了一下你的帖子
根本就是个棒槌嘛
人家民科好歹知道推理反证
你连什么是演绎归纳都一窍不通。。。。
就这水平还敢跳这坑。。
胆子够大啊
属于没事找抽型的
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 17:31:41 2013, 美东) 提到:
我感觉水版的智商中位数在80以下。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:08:36 2013, 美东) 提到:
请问我说过 "N是素数" 吗?
我只说过 "在假设下, N是素数", 相当于 "如果假设成立, 那么N是素数".
这么说懂了没? 区别在哪能理解不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 18:08:57 2013, 美东) 提到:
显然不能。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:15:45 2013, 美东) 提到:
wiki的链接麻烦发来我看下, 谢谢!
另外, 关于后来那个新定义是不是真的有问题, 我还没有想清楚.
我现在的看法是这样的: 默认满足某性质的对象构成一个集合, 而不对性质本身提要求
, 确实会带来问题, 比如罗素悖论.
但是我没学过更高级的集合论, 所以我还不知道 "主流公理体系" 是怎么对那些性质提
要求的.
就目前看来, 根据我的 (自认为没有明显矛盾的) 逻辑来看, 在限定了所有讨论对象都
是某类具体对象 (在这里, 这个对象是自然数) 的前提下, "默认满足某性质的对象必
构成其一个子集" 这句话, 似乎看不出什么明显的逻辑问题.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:23:45 2013, 美东) 提到:
现在我的建议是这样:
首先, 数学上来说, 一个定义是否具有良定义性, 只需要看它是不是可以 "鉴别" 出任
何对象, 就足够了. 所谓 recurssive或者是 non-recurssive, 或者某些 "循环定义"
的情况, 本身肯定都是依赖于 "公理体系" 的.
我就是想搞清楚, 抛开其他这些引进的概念 (如recurrsive, 循环定义) 不说, 单从公
理和逻辑的角度来说, 这个新定义如果不对, 是不对在哪里了? 我之前用这个定义 "看
似" 成功的判定了a到底是不是素数的那个过程, 是不是错在了 "声称大于a的素数构成
了一个集合"?
凭我的智商, 其实是不能理解罗素悖论为什么会存在的, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:24:23 2013, 美东) 提到:
thx, 又醒了.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:27:02 2013, 美东) 提到:
你现在有心情的话, 可以直接跟帖回复我说明你的看法. 从而我们来解决我们之间的分
歧.
之前的回复我实在没能力一条一条找了, 所以我不知道 (也记不得) 你说过什么. 抱歉
.
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greenspring (红唇吹彻梅花曲，我愿身为碧玉箫!) 于 (Fri May 24 18:42:53 2013, 美东) 提到:
这么一个简单的反证法都能争这么久，还另开新帖。
I63的证明没有逻辑问题，不存在"不严谨""不完备"的问题。
本来证明的方法都有很多种，反证法只要证明出和假设有矛盾就行了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 21:25:47 2013, 美东) 提到:
你用你的主观感觉判断一下, 某些人是天生蠢, 无药可治, 还是其他原因?
怎么治他们的病?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 21:26:12 2013, 美东) 提到:
你用你的主观感觉判断一下, 某些人是天生蠢, 无药可治, 还是其他原因?
怎么治他们的病?
☆─────────────────────────────────────☆
lebode (lebode) 于 (Fri May 24 22:06:57 2013, 美东) 提到:
除了人身攻击还能干点啥。已经举报。
我好呆也是数学专业毕业的。我就问你是怎么得出N是素数的结论的。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 22:08:28 2013, 美东) 提到:
脑残者无药医也
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 22:10:58 2013, 美东) 提到:
通过你的假设退不出N是素数的结论。你还不懂吗？就是如果假设成立，N也不一定是素
数。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:17:30 2013, 美东) 提到:
我去你还真敢说你是数学专业毕业的... 太丢人了吧..
你是不是脑容量不够, 导致你的大脑不足以把1楼中证明的前6行表述的内容都存储起来
一并分析, 导致你认为我不能推出 "如果前提假设成立, 则N是素数"?
你既然是学数学的, 你指出一楼哪一行是错的吧.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:20:02 2013, 美东) 提到:
请指出1楼第六行那个 "N是素数" 为什么是错的 (如果你认为通过前提假设推不出来的
话).
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verandi (ver0andi) 于 (Fri May 24 22:25:33 2013, 美东) 提到:
这个如何证明p_k和N之间不存在其他素数呢？
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:26:25 2013, 美东) 提到:
文科生，你需要一个独立于你假设之外的公理来证明N是素数.
欧选择了大于1的自然数或是素数，或是合数这个与原假设毫无关系的公理推理得出原
假设矛盾。
你用你的素数定义如何证明N,
说明白点，这个证明需要是从你的定义出发，而不是同时利用用你的假设，
这个是你需要证实或正否的东西，
你用个需要证实或正否的假设得到个结论，反回去说假设错了，算什么反证？
☆─────────────────────────────────────☆
kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:29:23 2013, 美东) 提到:
因为 p_k 是最大的质数
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:31:42 2013, 美东) 提到:
哦，那N也是素数是不是什么地方推导错了。
如果原假设是错的，你怎么能用一个错的假设得到正确的结论N是素数呢？
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:31:55 2013, 美东) 提到:
公理 一词应该改成 定理
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:32:49 2013, 美东) 提到:
这个叫做反证法。证明逆否命题。
为了证明原命题 a=>b
只需要证明等价的命题 !b => !a
where ! means "not" since I can not do the bar thing
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:35:57 2013, 美东) 提到:
公理，定理，那怕是推论，说什么都行。
但如果你要你的公理，定理，推论和原假设推出矛盾，
使用这些公理，定理，推论的证明过程就需要独立于原假设。
如果有矛盾，要么你的假设有问题，
要么你的公理，定理，推论有问题。
而不是用你的公理，定理，推论，加上你需要证明的假设，
共同推出一个矛盾来否定原假设。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:38:14 2013, 美东) 提到:
公理 定理 完全是两回事。
定理是可以证明/证伪的，公理不行。
不知道你的“独立”是什么意思。逻辑里没有这个概念。如果你说的“独立性”指得是
证明某命题不能假设某命题自己成立，这不代表不能使用已经证明的定理或者已经接受
的公理。
反证法的精髓是假设某命题成立，然后推出矛盾，所以可以证明该命题不成立。该命题
的存在并不依赖于任何定理。该命题是否正确可以通过使用某些定理证明，不表明二者
有依赖关系，因为定理，by definition,是已经证明的正确的命题
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:44:01 2013, 美东) 提到:
请自行看本帖171楼.
我不介意复制粘贴如下:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问, 该证明是否正确? 其正确性和前提假设有关系没?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:44:52 2013, 美东) 提到:
公理不行，但公理可以用来证明是不是？我没说反证法要证明公理不对.
当你用反证法来证明/证伪某一假设，
如果你要从已知的正确定理，定义出发，
那证明过程中不能使用原假设，否则推出的矛盾不叫矛盾。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:45:59 2013, 美东) 提到:
谁告诉你 "N是素数" 是正确的结论?
我从来没在抛开前提假设的情况下直接说过 "N是素数".
你脑子里一团浆糊, 是不是总是时时刻刻都要忘掉前提假设?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:49:19 2013, 美东) 提到:
我不知道为什么需要证明 "p_k和N之间不存在其他素数"
在前提假设下, 素数只有p_1,...,p_k这些, 如果前提假设是对的, 那么 "p_k和N之间
不存在其他素数" 是显然的, 无需进一步讨论. 而反证法的目的, 只是为了说明前提假
设是错的.
至于前提假设是错的的情况下, "p_k和N之间存在不存在其他素数?", I DO NOT CARE,
OK?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:50:38 2013, 美东) 提到:
你看不懂，你的证明
同时使用了你素数的定义+++++++你需要证明的假设！
你的素数的定义，是不需要任何假设来判断一个数N是否是素数！
如果你能仅仅使用这个定义说明N是素数，那矛盾存在。
但你的证明过程使用了你需要证明的东西，你如何说你的推论就是对的？
你用你的推论又反过去说你的证明条件之一是错的，那推论呢，还能说是对，
不对又如何说证明条件是错的。
好好看看反证法，反证不是你这么用的。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:51:01 2013, 美东) 提到:
“正确的定义”的提法不恰当。定理，by definition, 是经过证明正确的命题
“假设某命题成立”是假定接受某个命题被证明是定理的情况下，如何如何，当然在这
个假设下，该命题成立。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:51:51 2013, 美东) 提到:
你先把171楼或者925楼看了.
我发现你们这一类人的特点就是, 每当我指出171楼的证明的时候, 你们要么集体失声,
要么顾左右而言他.
敢不敢正面面对一下?
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这么简单的命题,
居然都不知道他是不是对的. 使用该命题的时候又战战兢兢畏首畏尾胡搅蛮缠, 好意思
说你自己逻辑没问题?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:54:00 2013, 美东) 提到:
反证法:或者是同一假设，在相同的条件下得出矛盾的结果，
或是同一假设与另一个以接受命题在不涉及该假设前提下推导得出矛盾。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 22:54:02 2013, 美东) 提到:
其实反证法这个词也让很多人栽了。
楼主那个我觉得其实是归谬法。
外加大部分水车可能像俺这样回帖不看帖。其实俺开始看了半个首贴才回的，
已经可以了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 22:54:40 2013, 美东) 提到:
归谬法。。。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:56:02 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 不是命题，是定义
正确的写法是：
"a是素数 := a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
声,
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 22:56:26 2013, 美东) 提到:
素数不那么好找，所以有一个我们人类已知的最大的素数，当然天天可能都在变大。不
失一般性，假设我们脑容量不比蚂蚁大多少，现在我们已知最大素数是13，总共6个：2
,3,5,7,11,13。有一天来了一只老鼠和蚂蚁对话
蚂蚁：素数只有六个
老鼠：不对，素数无穷多
蚂蚁：你能证明吗？
老鼠：如果如你所说素数只有六个，那看一下这个数2*3*5*7*11*13+1=30031
蚂蚁：怎么样？
老鼠：30031不能被2,3,5,7,11或是13整除
蚂蚁：然后呢？
老鼠：所以根据我们的假设（只有6个素数），30031是一个素数，这样我们就发现还有
一个不是2,3,5,7,11,13的素数？
蚂蚁：？？？什么叫根据我们的假设，30031是一个素数？30031是不是素数跟我们的假
设有关系吗？我会除法，让我慢慢算。。。30031=59*509
鼹鼠：你不懂反证法，这样就已经证明完毕了
蚂蚁：？？？
老鼠：我的测试素数的方法是啮齿类公认的，一共六个素数，不能被任意一个整除就是
素数
蚂蚁：你怎么知道13到30031之间没有素数了？
老鼠：因为我们假设只有六个素数？
蚂蚁：？？？那为什么多出来一个30031你认为是素数？
老鼠：你脑容量小啊？
。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:56:38 2013, 美东) 提到:
你能不能指出来哪一句用到了假设? 你就说171楼的证明哪一句是和前提假设有关的?,
其他废话少讲.
少给我胡搅蛮缠, 脑子里一团浆糊拎不清的货.
你自己拎不清, 总是觉得那个证明和前提假设有关, 我都给你了一个 "和前提假设无关
" 的证明, 你还要说他有关系, 怪谁?
你自己拿A推不出来C, 我用B推出来了C, 而且B和前提假设毫无关系. 结果你他妈问我
"为什么你自己搅来搅去都觉得A推不出来C? 是不是C有问题?"
我他妈能说什么? 我他妈只能说你太蠢!
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:56:52 2013, 美东) 提到:
你看不懂？我已经说了N次了，
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 没问题。
它也不需要任何素数假设的前提就能判断任意N是否是素数。
声,
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:57:43 2013, 美东) 提到:
你请明确指出, 我的证明过程哪一句是用到我的素数的定义了的?
这不是我要证明的命题吗? 我什么时候用到了?
你是不是连 "证明过程" 和 "结论" 都分不清?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:59:04 2013, 美东) 提到:
你这里到底指的是171楼的证明, 还是1楼中的证明? 你回复一个171楼证明内容的帖子,
然后又好像在说1楼证明中的事情, 你说话敢不敢清楚那么一点点?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:01:09 2013, 美东) 提到:
好, 这个命题没问题是吧?
那1楼的证明错在哪里?!
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:01:53 2013, 美东) 提到:
这个说法不确切。什么叫“不涉及该假设前提下”你可能要解释清楚以免误解。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:05:11 2013, 美东) 提到:
Russell's paradox 敲扁的是 naive set theory。现代集合论
基于的是 axiomatic set theory，最大区别是基于 formal language
而不是 natural language，所以码工从罗素身边走过可以视而不见。。。
码工实际使用的 set theory 都是 axiomatic set theory，尼玛
哪个公司的计算机认 natural language ？ 。。。
所以俺的第一贴就是让你用 formal language 重写一遍，结果你不肯。
既然你不肯，俺作为回帖不看贴的水车，看了半个贴子才回，很不错啦。。。
what do you expect 嘛。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:05:52 2013, 美东) 提到:
我就当你的问题在这里好了?
请问谁家规定了: 我在假设A成立的情况下, 用了一个正确命题B的同时, 还就不能用A
了?
这是你家逻辑规定的?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:05:59 2013, 美东) 提到:
靠，你的假设前提 只有a1,a2,..............an个素数。
如果没有这个假设，你如何用你的素数定义来得到N是素数？
你的素数定义，从定义上说，不需要任何假设就能证明任何数N是否素数，
只需根据定义，考察所有从2到N-1的整数，并找出其中的素数一一验证。
而你的（谁都不行）却做不到这一点，
没有人能考察从an+1，到a1*a2*a3*.......an-1的任何整数。
欧几里德做不到，他选择了选用另一个与原假设无关的定义，任何大于1自然数都或是
质数，或是合数。
别忘了，你的素数定义和欧几里德的等价，
也就是说，你能证明的，欧出发也能相同的结论，
欧做不到的，你也不能。不过是多绕一步。
,
我
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oOOo (\_/o!o\_/) 于 (Fri May 24 23:09:38 2013, 美东) 提到:
理科生么？哪个校的
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:11:26 2013, 美东) 提到:
给你找个反例。
smalltalk, class' class, a.k.a. meta class, is also a class.
所有dynamic language都有这个悖论。
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:11:37 2013, 美东) 提到:
好比这个，假定只有a1,a2,...an个质数，
在证明N是质数的时候，就不能使用这个作为条件。
那你证明的时候，就不能先把它当作一个（正确）条件来用。
然后你得到一个结论，却用来推证那个被你用做正确）条件的假设是错误的。
如果你假设的条件是错误的，那你如何能说你的结论的矛盾是成立的？
你仔细看欧几里德的证明，就能明白区别了。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:12:03 2013, 美东) 提到:
我觉得我声称 "大于a的素数构成了一个集合" 就是naive set theory里的东西, 被罗
素悖论敲扁了.
因为罗素悖论告诉我们, 你不能随便拿一个命题函数P(x) 来定义集合 {x|P(x)}, 这可
能会导致有问题.
你说的 axiomatic set theory 我是不懂的, 于是我不知道怎么用formal language来
写. 不过我根据你的意思, 大致明白了, 你应该就是说, 在你那个更高级更严谨的set
theory下, 我这个 "大于a的素数构成的" 东西确实不是集合, 不符合集合的定义.
如果承认 "大于a的素数构成了一个集合", 那我觉得定义是没问题的.
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:12:32 2013, 美东) 提到:
反证法规定的，我也没撤。
A
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:13:36 2013, 美东) 提到:
假定“只有a1,a2,...an个质数” 意思是在“只有a1,a2,...an个质数”是真命题的条
件下，当然认“只有a1,a2,...an个质数”为真。是文字游戏吗？你用符号来写把。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:15:05 2013, 美东) 提到:
我承认 "如果没有这个假设, 我不能根据我的定义来得到 N 是素数", 问题是这句话能
说明证明本身有什么问题吗?
我证明中 第一句就是 "假设xxxxxx"
你看了几行就忘了假设, 于是开始脑补 "如果没有假设, 那么就会xxxx", 由此来说明
我的证明是错的.
你, 真 的 不 觉 得 可 笑 ?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:15:25 2013, 美东) 提到:
你还敢声称你看得懂1楼的证明?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:15:42 2013, 美东) 提到:
我就高中水平的反证法，写不来。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:16:40 2013, 美东) 提到:
我证明中哪一处让你以为我表达过 "如果这个假设不成立, 那么N仍然是质数" 这句话?
如果你认为我根本没表达过这个意思, 那你说了这么多废话在反驳什么?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:17:08 2013, 美东) 提到:
这些玩意儿俺不懂，不过既然都有悖论了，那些玩意儿还能 work 么？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:17:40 2013, 美东) 提到:
看一个10行都不到的反证法, 居然能看到中间就忘记前提假设, 好意思说你懂反证法?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:18:41 2013, 美东) 提到:
一般人看到 “可知” 就直接发帖。。。水版水车么。。。
?
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:19:10 2013, 美东) 提到:
我觉得你的疑问可能因为汉语引起，如果用集合/逻辑符号会比较清楚。如果假定某命
题为真，当然在以下的证明过程中要认为该命题不为假。否则“假定”是什么意思呢？
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:21:06 2013, 美东) 提到:
N是不是素数，和你的假设无关，只需要你的素数定义就能判断了。
话?
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:21:32 2013, 美东) 提到:
必须增加一条规定：
meta class' class is itself.
或者一个闭包
meta class' class is "meta meta class"
"meta meta class"'s class is "meta class"
数学上不完善。但是实际使用里只能这样。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:21:33 2013, 美东) 提到:
这玩意儿可能个人有个人的看法，
我的看法是，不等于 a 的素数是可以看成一个集合（这个只出现了不等于，没出现
大于）。
问题是用那个集合写，recur tree 产生不了，会产生导致一个有 loop 的 graph，
loop 的地方就是循环定义点。
set
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:23:05 2013, 美东) 提到:
不知道, 罗素悖论似乎是说 "在一个普遍的情形下" 你不能随便拿一个命题函数 P(x)
来定义集合 {x:P(x)}
如果首先限定全集是自然数集, 似乎没有这个问题?
具体就不懂了.
我只是觉得, 那个后来再次改版过的更绕人的定义, 如果是让一个具有 "natural
logic" 和 "common sense" 的人来判断素数的话, 应该和通常的定义没什么区别.
至于机器为什么做不到 (按照你的说法是这样的) ... 可能是因为现在的机器还不够牛
逼. ..
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:25:12 2013, 美东) 提到:
你承认就好.
那你的结论到底是什么? 证明是错的还是对的?
如果不完整, 到底缺了什么内容?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 23:26:14 2013, 美东) 提到:
我现在觉得是这样的：
你开始认为自己是对的，后来某个时候终于意识到自己是错的，但是发现这个坑不继续
挖太可惜了，于是假装不明白来胡搅蛮缠。
)
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:28:27 2013, 美东) 提到:
这个在数学上是这样的, 你如果已经承认了 "不等于a的素数确实是构成一个集合" 的
话, 那我们把它拿来和 "大于a的自然数构成的集合" 求交集, 那么 "大于a的素数确实
构成一个集合"
你如果承认了这一点, 那我用定义去判断, 2, 3, 5, 7 是素数, 是不会有缺陷在里面
的.
我发现的可能导致错误的问题就是 "假定了大于a的素数确实构成一个集合, 这个假定
不一定正确"
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:29:12 2013, 美东) 提到:
你或是在证明中认为该命题不为假，推导出两个不同相互独立的矛盾。
或是选择一个不依赖命题的正确命题，从该命题证明，得到和原命题矛盾的结果。
欧的反证法是第二种情况，它选用大于1自然数一定是合数或是质数，
那么这个合数有性质:肯定有因子，其根据其构造，不同于a1,a2,....an任何一个，
或是质数，自身就是大于an的质数
这两种情况必有一个是正确的。
这个结果，不依赖原假设命题或对或错，根本就没有涉及。
这个时候，才有和原假设矛盾的推论，
发现矛盾推证的过程根本就没有涉及原假设命题。
而那个63的证明，N是素数结论的产生需要是原假设命题正确，
这样的矛盾是可耻的背叛。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:29:58 2013, 美东) 提到:
不要自作聪明, 我和tidewater在这里讨论的 "定义", 不是一楼那个定义, 和一楼的论
证毫无关系.
你是不是找不出好的借口, 连帖子也不仔细看, 结果自以为抓住一个把柄, 就开始喜滋
滋的攻击了?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:30:32 2013, 美东) 提到:
由此可见你有多么心虚.
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:34:01 2013, 美东) 提到:
"依赖"不是一个数学概念
等一会我有时间给你写清楚吧。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:36:19 2013, 美东) 提到:
你连正面回复我的帖子的勇气都没有了?
我实在想不出, 一个人的抽象思维能力差到什么程度, 才能连两种同类的情况都归结不
起来.
居然把一种矛盾叫 "矛盾", 把另一种矛盾叫 "背叛", 并声称 "背叛" 的反证法是可耻
的.
笑!掉!大!牙!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:37:10 2013, 美东) 提到:
连什么是 "矛盾" 都不懂的人, 还有资格谈 "反证法"? 呸!
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:37:44 2013, 美东) 提到:
"依赖"不好，就是说选择一个命题，该命题的正确和反证中的假设前提或对或错没有关
系。
我不是学数学的，但对63这个证明，我觉得意思已经很明白了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:37:52 2013, 美东) 提到:
让俺用 “伪 Yacc” 写一个：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
“伪 Yacc” 的东东就是类似于：
::=
func()
operator
func()
::= 2
但是，如果把 “小于 a” 改成 “不等于 a”，这玩意儿好像写不出 “伪 Yacc”。
。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:40:05 2013, 美东) 提到:
你倒是说说Euclid是怎么证明的, 我看看我能不能给你找个 "背叛" 出来.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:46:20 2013, 美东) 提到:
不对.
那看来我们之前还有分歧点.
你这里定义了 "最小的素数是2", 实际上我定义中并未直接声明这一点. 这只是你根据
我定义推出来的结论 (即最小的素数是2), 如果你承认可以由人工来代替做一些合理 "
初始化" 的话, 你应该也直接根据 "大于1的自然数, 其因子不会比它本身大" 这一显
然成立的命题, 把大于a的情况全部通过 "初始化" 过滤掉. 也就是说这两个定义虽然
表述有区别, 但是按你的标准, 他们的 "伪Yacc" 应该一样.
如果你认为之前的定义是对的, 那你应该可以体会到人的逻辑和机器的逻辑的区别.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:51:44 2013, 美东) 提到:
如果按照同样的逻辑,
根据之前的定义, 对于素数2来说, 小于2的素数是集合吗?
如果不知道, 那似乎是不能直接和 {大于1的自然数} 取交集 (从而得到空集) 的.
所以这一切的一切都应该有一个前提: 就是说我们只讨论自然数.
自然数中满足命题函数P(x)的元素所构成的子集的存在性和唯一性, 应该是被直接认可
的.
这样我们才能说 "定义" 的良定义性.
-------
我以上的意思是, 两个定义, 旧的定义和新的定义, 其正确性似乎 (从逻辑上来看) 不
会有区别.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:56:18 2013, 美东) 提到:
这个俺改改不就好了么。。。俺不过就是省了一步搞了个提速优化么。。。
让俺用 “伪 Yacc” 再写一个：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
“伪 Yacc” 的东东就是类似于：
::=
（func()
operator
func()）
&& (func() > 1)
&& (func(set_of_smallest_n_primes>) == true)
::=
done :-)
"
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:59:28 2013, 美东) 提到:
任意一个函数 P(x) 这种写法好像不是 formal language 吧。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:02:11 2013, 美东) 提到:
唉... 我智商堪忧.
我没有理解你的代码是如何work的,
你不用解释这一层, 你就说973楼的那个就行, 我得大致了解下他的 work 方式.
就比如, 如何根据你973楼的代码判断出 1, 2, 3, 4是不是素数的.
谢谢.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:10:08 2013, 美东) 提到:
这个代码当然没法 work，我不是说 “伪 yacc” 不是真 yacc 么？
但是真 yacc 就可以 work，你要做到下面两点：
（1）所有的东东，不是 operand 就是 operator。最最基本的 operand
要定义成 token 样的东东。
（2）写成 LR 文法。
那样 Yacc 就可以 shift-reduce 跑得欢乐。。。你可以拼命扔随机的 set 给
yacc，yacc 很欢乐得 shift-reduce，最后告诉你是不是
set-of-smallest_n_primes (return value is "true" or "false").
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kurutoga (whatsupg) 于 (Sat May 25 00:13:13 2013, 美东) 提到:
好吧，既然对反证法有这么多误解，我老给尔等解释一下。LOL。
证明 "素数有无穷多个"
定义1：质数
n 是质数:= n是大于1的自然数，而且n不能被除了1和n之外的自然数整除
命题a: 质数有无穷多个
命题b: 质数有有限多个, 用p1, p2, p3, ... pk 表示 （其中k是自然数）
denote M = p1*p2*...*pk+1
命题c: b成立 => M不是质数
命题d: b成立 => M 有个因子是p1, p2, p3, ... pk其中一个
命题e: M 没有p1, p2, p3, ... pk其中的数为因子 => b不成立
命题d和命题e互为逆反命题
命题f: M 没有p1, p2, p3, ... pk其中的数为因子
第一步，证明命题c: 因为M不在质数集合里,命题c成立
第二步，证明命题d: 因为第一步已经证明了命题c, 并且合数M一定有质数因子，所以
命题d成立
第三步，证明命题e: 因为第二步已经证明了e的逆反命题，所以e是真命题
第四步，证明命题f: 这个是显然的
第五步，从第三步和第四步的结果（命题e和命题f都成立）得到最终结果：b 不成立
这个证明如果要用到质数的定义，就讲不清楚了。所以还是要抓住M是否有p1, p2, p3,
... pk其中的数为因子。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:15:57 2013, 美东) 提到:
命题函数P(x)
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:17:38 2013, 美东) 提到:
我不懂CS
我的意思不是说真的在计算机上 "work"
我是指, 如何根据你的代码, 然后按照机械逻辑, 去跑出我们想要的结果?
那几个函数啊, 判断啊都是怎么用的? 指令运行的顺序是什么?
以1,2,3,4为具体的例子大概说明一下即可.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:19:48 2013, 美东) 提到:
973 楼是写成 yacc 的文法分析器的概念的。所以不能用通常的计算概念，
计算出素数集合。而是这样计算的（理论上的虚拟 yacc 机）。
虚拟 Yacc 机器首先读入你定义的文法。
然后虚拟 Yacc 机器读入你的输入（在这个实例中就是读入一个任意的 set）。
虚拟 Yacc 机器读入输入的 set 以后，按照前面读入的你定义的文法进行
shift-reduce。
如果 shift-reduce 成功，说明你的输入符合你定义的文法，该虚拟 yacc
机返回 true。如果不能 reduce 成功，返回 false。
在这个例子里，true 就是输入的 set 是 set_of_smallest_n_primes。
false 就不是。
这样，该虚拟 Yacc 机能做到你扔 it 任意一个 set，虚拟 yacc 机返回
该 set 是不是 set_of_smallest_n_primes。
即该虚拟 yacc 机能产生 set_of_primes（你扔给 it 所有自然数集合
的排列组合。。。），当然，慢的要死。。。但理论虚拟机哪个不是慢的要死
的。。。
是不是被我蒙晕了？
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:27:05 2013, 美东) 提到:
依旧不懂.
还是举个实例我理解下吧.
比如我想判定 {1,2,3,4} 里面哪些是素数, 哪些不是素数, 该怎么办? 先往里面扔什
么集合?
然后他是如何根据伪代码筛选的?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:28:59 2013, 美东) 提到:
其实我发现我的 973 楼写错了，因为看着我们那个说法写的。应该看 wiki
的那个写就不会错了。wiki 里面有那个 if and only if，我没写出来。
我写出来的只有 if，漏了 only if，所以其实错了。
不过我们也可以将错就错先跑一下。
=============================================
比如你给 973 楼虚拟 Yacc 一个输入 (2, 3, 5)
input:(2, 3, 5)
shift: 5 divisor (2, 3)
reduce: (2, 3)
shift: 3 divisor (2)
reduce: (2)
SUCCESS
=============================================
如果给 input (2, 4, 5)
input: (2, 4, 5)
shift: 5 divisor (2, 4)
reduce: (2, 4)
shift: 4 divisor (2) !!! FAIL
FAIL
==============================================
现在你应该看到漏了 only if 错在哪里了。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:49:46 2013, 美东) 提到:
还是不懂.
相应函数的作用, 能不能用中文解释一下, 谢谢!
我得先睡一会去.
另外问一下, 如果扔进去 {3,4} 会发生什么?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:50:41 2013, 美东) 提到:
让俺改写成 if & only if 的。。。
::=
(func()
operator
func()
&& (func()
operator
(func(
func())
operator
))
::= 2
哈哈，写的有点绕，不过伪 Yacc 应该可以 if & only if 了
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:54:01 2013, 美东) 提到:
Yacc 没有函数的概念，都是 list of tokens，按语法进行 shift->reduce.
最后 reduce 成功与否。
里面写的 divisor 算子，在 yacc 实现里面，就是求取模（mod）一下。如果 mod
结果不为零（不能整除），直接要求 yacc 不管三七二十一直接弹出 syntax
error，reduce fail。un_divisor 算子反过来。。。
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hush (安静) 于 (Sat May 25 00:56:42 2013, 美东) 提到:
赞学术楼！
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firearasi (firearasi) 于 (Sat May 25 01:17:44 2013, 美东) 提到:
快1000楼了晕
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 01:24:17 2013, 美东) 提到:
(3, 4) 的话，不管是 “有 if 但没有 only if 版”（错误版），还是
“if & only if 版”（正确版），都不能reduce。
但这个是 expected behavior，因为这个 set 是
set_of_smallest_n_primes，漏掉是不可以的。
（formal language 就是没有歧义）。
俺 run 一下 “有 if 但没有 only if 版”（错误版，但 run 起来简单 ;-) ):
input: (3, 4)
shift: 4 divsor (3)
reduce: (3)
UNABLE TO SHIFT: FAIL!
（没有 reduce 到 primitive token，这个例子里是 2）
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 07:02:39 2013, 美东) 提到:
没看懂. 这么说吧, 你能否将你的伪代码翻译成中文? 我不是学CS的, 我很难体会你们
一些约定俗成的英文伪代码一般代表的什么含义.
比如: 如果一个人不懂C代码, 他就不知道 "b=0; for (i=1;i<=n;i++){b=b+i;}" 这段
话的意思, 但是你可以解释给他这段话依次做了什么:
第零步: 开始程序;
第一步: 令b的值是0;
第二步: 令i的值是1;
第三步: 判断i是否小于等于n, 如果是, 做第四步, 如果不是, 做第六步.
第四步: 将b的值改为b之前的值加上i的值;
第五步: 将i的值改为i之前的值加上1, 返回第三步;
第六步: 结束程序.
这样子, 就用汉语很清楚的说明了这段代码在干什么.
能否把你的伪代码用汉语解释一下? 让那种不懂Yacc和CS但是懂汉语和基本逻辑的人都
能看懂.
比如按你989楼的方式, 解释清楚整个代码的中文意思即可.
开头可以是:
"这段代码的目的是为了判断一个集合是不是素数集, 他是这么做的, blablabla"
辛苦了, 谢谢!
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lebode (lebode) 于 (Sat May 25 09:30:49 2013, 美东) 提到:
我去，才看清你的素数的定义，好大一颗坑。
质数，又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然
数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。
你从你用的素数的这种定义出发来证明，行不行？不太清楚这种定义是否能直接用。
Wiki上已经有类似的词条。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，
该证明方法如下：
假设只有有限个素数。令。那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约
数是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合
中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数
集合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
注意，这里的N+1也是分了两种情况讨论的。当然按照你的定义是不需要这么分析的。
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remraf (博士) 于 (Sat May 25 09:58:37 2013, 美东) 提到:
I63，首先祝贺你盖了个高楼
其实你的证明没有什么大错，如果我是老师，会给你全分。
但是，就冲着这么多人有争议，我觉得完美的答案应该稍微改改，
大致思路很多人也提了，我就不再说了。
好，转入正题：
我觉得与其这么争论，不如来统计一下这个高楼里都是什么专业的人？
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Sat May 25 11:17:33 2013, 美东) 提到:
mdmx单独有楼归类id，你可以去要求把自己加入。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 12:51:55 2013, 美东) 提到:
我说了上面写的是伪装 “伪 yacc”，也就是伪码，只是表达想法，不是真正
能执行的。
当然，正因为是表达一个想法，所以没有固定的标准，也可能误解。
我现在有点忙，晚上我有时间可以给写个 Yacc + C++ STL 的真代码。（当然
我没时间去编译 test）。这样就不会有误解。
但是 yacc 不能用你所说的方式解释。因为 yacc 是 LALR parser，parse 的
是 LR 文法描述，其过程是 shift / reduce。没有变量赋值的概念。你必须
能理解 LR 文法描述。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 13:08:39 2013, 美东) 提到:
我先写个提纲，用 yacc 语法：
// yacc 段落：
list_of_primes : list_of_primes one_natural_number
{ if (! func_if_an_only_if_divisor($2, $1))
error ; }
| "2"
;
// func_if_an_only_if_divisor() 晚上用 C++ 写。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:01:58 2013, 美东) 提到:
谢谢, 麻烦了, 期待.
另, 我的意思不是说一定要用 "变量" "赋值" 什么的概念, 我只是举个例子, 告诉你:
代码本身可以翻译成人类的语言.
你只要翻译成汉语就行, 尽量避免歧义.
英语也可以, 但是我的英语不好.
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ALife (草履虫) 于 (Sat May 25 17:28:50 2013, 美东) 提到:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
我也对这个问题很好奇
另，第一千贴！！！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 20:59:57 2013, 美东) 提到:
那我写 C++ 伪码实现。待会儿解释一下，在解释以前
还把相关的几楼汇总一下
=============================================
// yacc 段落 (大致):
list_of_primes : list_of_primes one_natural_number
{ if (! if_and_only_if_divisor($2, $1))
弹出语法错误 ; }
| "2"
{ printf("Reduce 成功！"); }
| "1"
{ 弹出语法错误 ; }
;
// 上面这个 list_of_primes 实际意思是从 2 开始的 N 个连续质数序列，
// 按升序排列，不过正则语法里 token 的名字其实无所谓。
// C 段落（大致）:
bool if_and_only_if_divisor(this_number, list_of_numbers)
{
// 判断 能整除
if (this_number 能被某一个数整除_in list_of_numbers)
return false;
// 判断 最大
if (this_number <=_任何一个数_in list_of_numbers)
return false;
// 判断 仅能 (only if)
// 实际上是 check 从素数序列里最大的到这个数
// 之间有没有其他不能被整除的数
// 素数序列内依赖 yacc 本身 recurs down 保证
for (a_number = max(list_of_numbers) + 1;
a_number < this_number;
a_number++) {
if (a_number 不能被所有的数整除_in list_of_numbers)
return false；
}
}
return true;
}
============================================================
比如一个输入 (2, 3, 5)
input:(2, 3, 5)
reduce: 5 if_an_only_if_divisor (2, 3)
reduce: (2, 3)
reduce: 3 if_an_only_if_divisor (2)
reduce: (2)
SUCCESS
=============================================
如果给 input (2, 4, 5)
input: (2, 4, 5)
reduce: 5 if_an_only_if_divisor (2, 4)
reduce: (2, 4)
reduce: 4 if_an_only_if_divisor (2) !!! FAIL
FAIL
==============================================
input: (3, 4)
reduce: 4 if_an_only_if_dvisor (3)
reduce: (3)
UNABLE TO SHIFT: FAIL!
（没有 reduce 到 primitive token，这个例子里是 2）
==============================================
你:
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:12:02 2013, 美东) 提到:
另外我上面的可以翻译成人类语言，你把 reduce 翻成
“约简” 就可以了。
“约简” 就相当于你说的 “赋值”
“符号” 就是相当于你说的 “变量”
你说的“对变量赋值”（其实是基于 RAM 虚拟概念机上的概念），在这里就变成了
“对符号约简”（“正则文法” 虚拟概念机）。
而你前面说的，“程序接收几个输入数，输出几个输出数。”，在这里
就变成 “程序接收一个非基本符号，约简成基本符号。”
在上面这个程序里，“a_natural_number” 是基本符号，
“2” 是基本符号。“1”是基本符号。
“list_of_primes”（实际的意思是最小的 n 个素数，
不过正则语法取啥名字都不影响语义）则是“非基本符号”。
正则文法就是把非基本符号约简成基本符号，也就是用基本
符号定义非基本符号的意思。
光符号是不够的，还要有算子（operator），这里的算子是“比大小”，
“整除否”。
你:
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:31:11 2013, 美东) 提到:
另外好像是我记错了，yacc 的 shift 应该只移进输入，并不 reduce。
改了最后两贴，前面的懒的改了。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 21:40:25 2013, 美东) 提到:
谢谢.
不过还请说一下 "哪些地方该稍稍修改"
是不是直接使用了非常规定义 (a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的
素数整除) ?
这个命题的正确性的证明, 我在171楼写了.
但是还有一些人认为 "即便这个命题是正确的, 我的证明也不对", 说有 "循环论证"
的嫌疑, 我表示非常不解.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:49:15 2013, 美东) 提到:
另外我说的 reduce 是文法概念上的 reduce，不是 Yacc 真正的
LALR reduce 的方式是顺序。
概念的正则文法顺序常常无所谓（反正就是 set），LR/LALR 才有
严格顺序的差别，输入按顺序读进来，导致左递归和右递归执行效率不同
。。。shift 应该是这个实现层次的概念。。。如果俺老没有昏头又
记错了。。。反正记错大伙儿指正就是了。。。
不过说实话，俺作为水车，灌水灌多了很昏，写的乱七八糟外加错误百出，
interview 不能这么干。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:51:53 2013, 美东) 提到:
建议以后啥证明都写成正则文法，再有疑问，上概念虚拟机跑一遍。。。
不知道罗素看到了以后会不会很郁闷。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 21:59:48 2013, 美东) 提到:
你的代码似乎有点问题.
我的定义 (这里指最开始的小于a版本) 里只要求 "不被任何小于a的素数整除" 并没有
要求你的那个 "// 判断 仅能整除"
按照你的代码, 如果我做 if_an_only_if_divisor (2,3,5)
那拿出5以后, 在 "// 判断 仅能整除" 这一步, 4不能整除5, 不是就要返回错误值了
吗?
(另, 按照你原先写的 else if (this_number 不能整除 a_number), 似乎是笔误, 否
则5不整除1,2,3,4都是显然的, 这样就直接在a_number=1的时候返回错误值了)
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 22:07:32 2013, 美东) 提到:
。。。俺心不在马写错了。。。您看得很仔细啊。。。俺回去改改。。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:28:38 2013, 美东) 提到:
另外我觉得不需要检查 1，只要让 token “1” 语法错误就好了。
其他两个以上数的 list，其实有一个 1 的，就整除检查直接踢出来。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:37:08 2013, 美东) 提到:
应该可以了，现在有请“理论虚拟概念机”上场测试，俺老先去管娃。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:38:56 2013, 美东) 提到:
其实写 token “1” 是多此一举，最后没 reduce 到 “2” 的
统统失败。
不过写着好看好理解一点，就留那边了。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:26:44 2013, 美东) 提到:
我刚才说了，我改了一下，应该这次对了。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
不过如果这个正则语法的递归定义写对了的话，那你的首贴的证明，虽然不是
循环论证，也接近于一个 trivial 的证明了。因为那个递归定义实际上几乎证明
了质数是无限的，只需要证明对任意有限个数的自然数集合，至少存在一个数
不能被该集合里任何自然数整除。这样就直接证明了，不需要反证法或者归谬法。
俺下面写个贴用码工式平推法证明一下。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:38:56 2013, 美东) 提到:
好！俺用码工式正面平推法，依据质数的递归定义，证明质数无限性。
首先见 1001 楼，俺用“yacc/c伪码式”正则语法写了质数的递归定义。
该楼在此：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
这里我写个 C function 来证明，其中的 “list_of_primes” 实际意思
跟 1001 楼 yacc 里意思一样；是指从 2 开始的前 N 个连续质数序列，
按升序排列。（反正正则文法怎么取名问题都不大，内在不对头的话，那个 yacc
必然 reduce 失败。）
// c 伪码 function
list_type grow_primes(list_of_primes)
{
a = 求list里所有数的乘积(list_of_primes);
for (int i = max(list_of_primes) + 1; i < a; i++)
if ( i 不能被list里所有数整除(list_of_primes))
return ( list_of_primes list尾部添上 i);
return ( list_of_primes list尾部添上 (a+1) );
}
可知对任何一个能够被 1001 楼 伪yacc 成功 reduce 的 list_of_primes,
用上面 grow_primes() C function，能够产生一个也能被 1001 楼 伪yacc
成功 reduce 的新的 list_of_primes，并且尺寸比原来大一号。
证毕。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:42:52 2013, 美东) 提到:
俺是不是刚才已经用码工的正则文法把这个高楼坑给埋了？
洗洗睡了。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 01:45:31 2013, 美东) 提到:
你的伪代码改了以后我依旧不能完全看懂.
请用中文描述一下所有的步骤所做的事情.
另外, 请问, 根据这个伪代码, {2,9} 这个集合, 是不是由素数组成的集合?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:50:52 2013, 美东) 提到:
input: (2, 9)
reduce: 9 if_and_only_if_divisor (2)
if_and_only_if_divisor 返回 false
( 返回 false 的原因是第三个条件里，找到 3 不能被 list（2）整除 )
reduce 失败，语法错误
所以那个 yacc 返回不是，不是“前 N 个连续素数集合”。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:01:50 2013, 美东) 提到:
你汉语用法有似乎一些有歧义, 我看不懂.
比如 "整除" 这个词, "a整除b" 和 "b被a整除" 表示的是b除以a的余数是0, 即存在
整数r 使得b=a*r, 你好像一些地方是反过来写的.
另外, 你那个yacc段落, 我实在不知道符号是什么意思.
你也可以用C语言来写吧: reduce本身可以当做一个函数, 你注明其作用就行了.
总之你的目的不就是任给一个自然数的子集, 然后用代码判断它是不是素数集吗?
难道yacc伪代码能写, c伪代码就做不到?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:06:57 2013, 美东) 提到:
我不知道你看懂了没有。这里的关键点在于符号文法/正则文法。
或者我就用赋值和中学代数来说。
赋值，其实是用符号代替具体的数。其数学基础是中学代数的第一步：用符号代替
具体的数。
中学代数的第二步，就是符号运算。（多项式化简，等等）。
其实任何符号运算都基于某种符号文法，但中学代数通常不能称为符号文法，只能
称为符号运算，其原因是该符号文法是固定的，不会因为你换一道题做，而改变
一种符号文法。
到大学本科学微积分，其实是另一种符号运算（即所说的“牛顿/莱布尼兹微积分符号
体系”）。虽然换了一种基于的符号文法，但微积分还只能称为符号运算，而不是符号
文法，理由同上。
到码工的正则文法课/LR文法课，这时出现了符号文法。每道题的符号规则一般都不同，
每个 yacc 程序定义了不同的符号规则。所谓 reduce，是看着符号规则（比如
yacc 代码），进行符号运算。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:18:02 2013, 美东) 提到:
我去改一下汉语。
这个语法的左递归比较简单，我可以用 C伪码 递归函数直接写。但是可能比 Yacc
更不直观，更不好理解。毕竟 Yacc 直接把语法写在字面上，C 递归把语法隐含
在递归里。。。
我们不是在讨论素数递归正则语法么？Yacc 直接把 token 写在字面上啊。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:22:51 2013, 美东) 提到:
另外你等等，我马上发一新贴， 里面把 yacc 段落改写成递归 C伪码，
码工么，小菜一碟。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:26:52 2013, 美东) 提到:
哇，memorial day长假出去玩回来想起这个帖子，楼又高了许多，代码都出来了，我等
码工真欢乐！
以前上mitbbs，我只潜水。不过，我承认这次我也灌了许多水，试图引起LZ思考哪里错
了。
好吧，楼很高了，我就总结一下我的发言吧。
首先说，素数的定义是大于1除了自己和1不能被其他自然数整除的自然数。
我把一楼的证明拷贝过来，并在下面一步一步举个简单的例子说明哪步错了。
－－－－－－－－－－
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
（假设素数只有有限个，为2，3，5，7，11，13.这些都是符合定义的素数，而且在13
以下没有遗漏，p_k就是13）
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
（考察N＝2*3*5*7*11*13＋1=30031）
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
（2，3，5，7，11，13都不能整除N。这句话是对的）
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
（这是错的。30031=59*509，N不是素数）
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
（恭喜您，您找到了一个合数（不符合素数定义，符合合数定义），但是这与“素数是
有限个”的假设不矛盾。由于您没有找到新的素数，而只找到了一个合数，所以素数仍
可能是有限个）
（证明在这里戛然而止！！！！！）
所以素数有无穷多个.
－－－－－－－－－－－－
那应该怎样证明下去呢？我们来试试看分类讨论。
1. 若N符合素数定义，好，我们已经找到了一个新的素数，和假设矛盾，反证法成功了！
2. 若N不符合素数定义，但是我们现在知道N不能被已知素数p_1到p_k整除，那它一定
能被大于pk小于N的某个整数整除。记这个新的数为N，重复1，2。
由于N越来越小，是收敛的，最终会到1，你一定会找到一个新的素数。反证法会成功。
我想，这就是欧几里德最初的证明。为什么他要构造N呢？他只是想派出p1到pk成为N的
除数，并没有说N是素数。
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然后，我们来看这1，2的证明是不是和LZ在证明中用的这条素数分解定理：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
的思路是一样的呢？
LZ的错误在于，将这条定理在反证法中的用法搞反了，逻辑就不通了。
由于有“素数是有限的”这个假设，这个定理不成立了，所以楼主就找到了30031这样
的合数，并还宣称它是素数去归谬，导致了错误的证明。
强调一下，LZ的证明是错误的，并不是不完善的，因为他在证明中得出了“N是素数”
这样的错误结论。
这就是我们为什么要在反证法中使用原始的定义，引入其他的定理可能会产生循环论证
。我不是学数学的，只是个码工，前面那个话或许并不好，但是LZ就是在这里出错的。
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最后，LZ要是老是说“你那只眼睛看见的”，“你的智商很低”这种话就没意思了。
但这里是水世界，MITBBS，或者“认真你就输了”。我平时就看看保险，或许不了解文
化。哈哈，大家畅快讨论一场也是不错的。
我们盖个新楼吧！讨论我等码工怎么学好数学，怎样将yacc打造为数学神器如何？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:32:34 2013, 美东) 提到:
又来一个不懂 "反证法" 的.
又来一个证明看到一半就忘掉假设是什么的.
请问以下两句话是否表达同一个意思?
第一句: 30031是质数
第二句: 如果2,3,5,7,11,13是质数, 那么30031是质数
问题很简单, 只需回答 "是" 或 "否" 就可以了.
13
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:33:33 2013, 美东) 提到:
另外说一句，按LZ的方法，N是素数的话，人类也就不要找素数了。
LZ把找素数的公式都给你了。那岂不是你将所有已知的素数相乘加一就找到了一个新的
素数了？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:38:51 2013, 美东) 提到:
不太懂, 没学过 "符号文法" 相关的课.
你就用普通汉语表述一下代码的工作就行.
或者你用伪代码写C的递归也可以, 我可以看懂.
关键是你用了一个叫"yacc伪代码" 的东西, 我并不清楚yacc伪代码和普通汉语 (或者
普通英语) 有什么关系, 也不清楚其形式. 不过C的常见伪代码我是可以看懂的.
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具体来说是这样的: 你说一段代码是用 "yacc伪代码" 写的, 因为我不懂 "yacc伪代码
", 所以我不懂哪些地方是 "伪" 的, 于是我无法区分哪些地方该按照 "代码风格" 理
解, 哪些地方按照 "普通语言风格" 理解.
简要来说, "yacc伪代码" 在我这里不是一个 "良定义" 的东西, 我的大脑没法精确处
理了.
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我码完如上废话后, 你的后续回复我已看到, 静候C伪代码.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:39:03 2013, 美东) 提到:
这个简单的 Yacc 左递归，俺翻成下面这个 C伪码 程序。不过翻成 C伪码后不能直接
写 token，俺大脑当人肉yacc编译器，所以对表达正则文法而言，远远不如 yacc
直观。（实际上我是看着 yacc 代码写的这段 C 代码
但是 yacc 只能搞 LR 文法，不少 problem 的正则表述不能用 LR 文法
表达，所以码工就的写 C++ 的 tree/graph 算法。。。实际上 Yacc 除了
编译器领域之外，用得不多，但是 yacc 对正则文法、符号文法的概念比较有好处。
bool is_list_of_primes(list_of_primes)
{
// yacc primitives reduce condition
if (list_of_primes.size() == 1) {
if (list_of_primes == "2")
return true;
else if （list_of_primes == "1")
return false;
else
return false;
}
// yacc left-recursive reduce section
one_natural_number = get_biggest_number(list_of_primes);
list_of_primes_small = remove_biggest_number(list_of_primes);
if (! if_and_only_if_divisor(one_natural_number, list_of_primes_small))
return false;
return is_list_of_primes(list_of_primes_small);
}
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:40:39 2013, 美东) 提到:
请注意你自己的逻辑.
请回答1022楼的问题.
请告诉我 "假设全部素数只有p1,...pn" 和 "我们已知的素数只有p1,...,pn" 这两句
话的区别
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:41:35 2013, 美东) 提到:
汉语英语啥的，对俺码工太难了。还不如俺上面直接看着 yacc 人肉翻译成 C伪码。。。
LOL
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:49:02 2013, 美东) 提到:
请问输入集合 {3},
你的程序是怎么做的?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:50:16 2013, 美东) 提到:
Yacc 只收 LR 文法，还只收字符串，大部分地方不好用。
如果 Yacc 能收抽象的 graph，或者实在不成收 C++STL 的 container
class 啥的也成。这样就不限于 LR 文法。
不过这样牛逼的 超级yacc 编译器，谁来写？
13
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:51:58 2013, 美东) 提到:
恕我愚笨，我没法回答这个问题。
因为这两句话都是错的，纠结它们之间的关系有意义吗？
第二句: 如果2,3,5,7,11,13是质数, 那么30031是质数
（逻辑何在？？？！！！）
第一句: 30031是质数
（这句话是错的！因为30031=509*59，是合数，不是素数）
被你质疑了若干遍后，我忍不住要反过来问你一句，你懂不懂反证法？？？！！！
你在反证法中的任务是在假设已知这些素数的情况下找新的符合素数定义的数（你懂素
数定义吗？），由此说明只要有已知素数，就一定有新的素数，以证明素数是无限的。
你找到了30031这个合数有什么意义呢？你的证明到这里就结束了。它不是素数，不能
用来归谬啊！
你一定要说30031是个素数，那就像我前面说的，你都给出素数公式了，一个个相乘加
一就可以了，恭喜您解决了人类一大难题！
70M算什么？您老可以把素数给一个个推出来啊！而且30031也光荣成为了素数！我代它
感谢您！
前面发了很多贴就是为了引导你，后面给出总结了你还是这样的回答。
看来我对这个贴太认真了。
看来你是铁下心来灌水的。我想我后面也不用回了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:58:15 2013, 美东) 提到:
如果是 C伪码版，{3} 的 size 是 1，又不等于集合 {2}，返回 false。
如果是 yacc伪码版，reduce 成 primitive token “one_natural_number”，
但不是 "2"，出语法错。（我 伪yacc 没写全，伪码就是个意思，省掉不写的默认
action 是语法错）。
这个是 expected behavior，应为 list_of_primes 的实际定义是从 2
开始的前 N 个连续素数。{3} 不符合这个定义。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:00:14 2013, 美东) 提到:
还是我给你写一个吧:
//以下程序的作用是, 判断输入的自然数a是不是素数
bool judge_prime(int a)
{
int b;
if (a<=1)
return 0;
else
{
for (b=0;b{
if(judge_prime(b)&& a%b==0)
return 0;
}
return 1;
}
}
我这段程序是真的可以用的哦.
不过其中有个地方我已经忘了C语言的规定了, 请问 a%b=0 是我想表达的意思吗?
我的意思是存在整数r, 使得a=r*b
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:03:02 2013, 美东) 提到:
不好意思, 我原意表述错了
本意是这样的:
请你告诉我这两句话的区别:
1. "30031是质数"
2. "如果质数只有2,3,5,7,11,13, 那么30031是质数"
这下理解了吧?
对于之前造成的误解非常抱歉.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:04:10 2013, 美东) 提到:
请问以下两句话是否表达同一个意思?
第一句: 30031是质数
第二句: 如果质数只有2,3,5,7,11,13, 那么30031是质数
问题很简单, 只需回答 "是" 或 "否" 就可以了.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:05:21 2013, 美东) 提到:
我是一个有节操的人, 像1022楼那种, 我自己犯了个愚蠢的错误, 我也不会去编辑的.
不像某些人.
---
嘿嘿, ps, 1022楼虽然没有表达出我的本意, 但是本质上来说, 并没有说过什么错误的
话.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:08:05 2013, 美东) 提到:
其实就有点像罗素悖论，你俩看同一个自然语言，结果看到是不同的意思。
这不奇怪，我一开始看楼主的，也没看明白。也争了一大通。不过后来发现
那是古典数学语言。码工多用现代数学集合论图论正则语言，或者类似正则
语言写法的东东，导致看古典数学转不过弯来。
楼主的证明其实没错，但是用到了素数的递归定义，实际上我认为是个
trivial 的证明。（由素数递归定义可以容易直接证明无限性，不需要
反证或归谬）。
老实说素数的递归定义并不显而易见，我觉得非码工用自然语言理解，很可能是
似懂非懂。说实话我一开始其实也理解有偏差，导致一开始写的那个 yacc/c
伪码里，把 if and only if 里的 only if 判断条件写错了。其实那个
不是笔误，是理解错误。但写正则语法就是有这个好处，写出来，testcase
跑对，也就基本理解对了。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:09:17 2013, 美东) 提到:
看1032楼.
我认为是对我的定义的一个比较好的表述.
其中并不需要单独写明 "2是质数"
但是若把定义中的小于a改成不等于a, 我就不知道怎么逐字逐句的翻译成代码了.
只能说先根据整数的整除理论 (不需要素数定义) 得出比a大的数不能是a的因子, 然后
再继续, 写出来的代码是一样的.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:10:24 2013, 美东) 提到:
他这一楼的回复其实没问题.
我1022楼问的确实有点傻逼了, 那个问题不是我的本意.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:15:15 2013, 美东) 提到:
你递归定义的base case和recursion各是什么
我看看对不对
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:16:42 2013, 美东) 提到:
你现在还认为我的证明哪里有问题吗?
如果有问题, 还请重新指出. 前面咱们说过什么我都忘了.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:21:06 2013, 美东) 提到:
你这个 C 程序写的更精炼，直接符合质数递归定义。
我那个是从 yacc 直接翻译过来，目的是跟 yacc 一致。
其实是为了保持 token / set 的概念写的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:21:53 2013, 美东) 提到:
你的问题已经好多人重复指出了
就是在推出N是素数的时候，没有遵守素数的定义
你以为你遵守了，因为用的是等价推论
但是你的反证假设实际包含了“质因数最大只能检查到p_n”
这样就破坏了等价性，所以不能再用那个等价推论还判断N是否素数
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:30:12 2013, 美东) 提到:
你不懂什么叫 "命题",
我在利用如下 "命题":
"a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 => a 是素数"
我利用该 "命题" 判断 "在前提假设下, N是素数" 对不对时, 只需要验证: "在前提假
设下,N是大于1的自然数, 且N不被任何小于N的素数整除"
我的验证方法是:
在前提假设下,N是自然数, 显然, N大于1, 显然, "假设" 告诉我们素数只有p_1,...,p
_k这些, 故 "小于N的素数" 也至多是这些, 但每一个p_i都不能整除N
于是: "在前提假设下, N是素数"
这么说够清楚不?
你不懂如何利用一个正确的命题进行 "判断", 满脑子都是码工的想法, 什么 "质因数
最大只能检查到n" 这种说法, 只能暴露出你对 "命题" 这个词的认识还停留在计算机
智力的水平.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:34:20 2013, 美东) 提到:
你别管我是码工还是什么
你为什么死都听不进去别人的话
你反驳一下说说的有什么不对吧
你不知道那个推论实际已经隐含了素数可以任意大的条件了吗？
那你还证明什么？
如果我给你一个arbitrarily big的自然数
你怎么判断它是不是素数，按照你的假设？
按照素数的原始定义是可以判断的哦
,p
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:35:41 2013, 美东) 提到:
再补充一下:
请问: 如果在主流公理体系下, "A<=>B" 是正确命题.
结果在某个假设下, 可以推出 "A<=>B" 是错误命题 (也就是你说的什么 "假设的东西
破坏了等价性"), 那这是不是已经说明 "假设错了" ?
还是说 (按照我理解的你的意思):
"假设" 这个东西, 其实是一个很牛逼的东西的, 他屌炸天了, 如果在 "假设" 下, 某
个命题是错的, 那么就算他早都被证明为是正确的了, 那他也是错的! 在假设条件下,
你就是死你也不能用这个命题, 就是不能用!! 我不准你用! 不准你用!!!!
你是这个意思不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Sun May 26 03:35:57 2013, 美东) 提到:
我去，你们还在继续。。
,
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:37:17 2013, 美东) 提到:
那个等价关系之所以成立
是因为今天人们已经知道素数有无穷多
在素数有无穷多得证之前
是没有那个等价关系的
,
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:39:16 2013, 美东) 提到:
其实你的程序跟我的程序最大的差别是，你是判断单个数是不是素数，
而我是在判断一个 set 是不是完整的素数 set。
另一个问题是，我的确不知道你的程序是不是能在理论的正则文法虚拟机
上建立 token 以及 reduce token。
这两个程序还是有概念差别的。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:39:29 2013, 美东) 提到:
引用-----
如果我给你一个arbitrarily big的自然数
你怎么判断它是不是素数，按照你的假设？
按照素数的原始定义是可以判断的哦
-------
假设是对的还是错的?
如果假设是错的, 你凭什么让我在假设下来判断一个命题是对的还是错的?
就算我告诉你: "在假设下, 这个命题是错的", 那就能说明这个命题真的是错的?
你是凭什么让我 "在假设条件下" 判断一件事情? 还限制我不能用这不能用那的? 数
理逻辑课给你这么教过? 你自己说说你这合理不? 是不是霸王条款?
--------
另外, 我再说一遍:
"如果素数只有有限个, 记为p1,...,pk, 并定义N=p1*...*pk +1, 那么N是素数"
这句话毫无问题, 我也只承认这句话, 你如果认为我错, 你就指出这句话错在哪里.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:41:01 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是:
我要证明 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题
的话, 必须要用到 "素数有无穷多个"?
回答 "是", 或者 "不是".
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:44:15 2013, 美东) 提到:
反证，就是要在假设的条件下利用公理等推出与假设相反的结论
你先回答我一个问题
如果我们“不知道素数是不是有无穷多个”
能不能说 a是素数<=>a没有小于a的质因数
回答能或者不能
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:47:20 2013, 美东) 提到:
能.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:47:26 2013, 美东) 提到:
是
更准确的说法是：
如果素数不是无穷多，这个等价关系成立与否需要证明
如果是无穷多，成立（所以现在直接可以看成另一定义）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:47:54 2013, 美东) 提到:
我的程序是很容易证明素数无限性的。因为我的程序（伪码）是判断输入
的 set 是不是完整的素数 set。按照 LR文法虚拟机左递归文法的概念，
很容易 recur up 产生 size 大一号的素数 set。
他的程序去证明素数无限性貌似并不那么显而易见，而且他的程序判断的
输入的单个数字而不是完整 set。不知道能不能放在 LR文法 或者
正则文法虚拟机 上跑。
当然，任何这种程序就能在 RAM虚拟机上跑，但是 RAM虚拟机就像图灵机
那种，用来证明形式语言文法命题，可能跳跃稍大点。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:51:48 2013, 美东) 提到:
好
你说即使不知道素数是不是有无穷多，也可以认为他们等价
那么假设素数是有限的，最大是p_n
比p_n大的，且不能被其他自然数整除的数，
按照素数的定义（等价符号左边部分），是素数
但是按照等价符号右边部分的表述，是合数
所以就不等价了，是不是
只要你回答是不是等价，不要扯其他的
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:52:41 2013, 美东) 提到:
你再表述一遍, 你是说明 "不需要反证法, 也可以证明 素数有无穷个 " 的?
谢谢.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:54:27 2013, 美东) 提到:
错, 你那不是更准确的说法, 你那是自我意淫出来的说法. 我不认同你意淫出来的说法
.
我就问你, 你是不是认为: 我在没有素数无穷多的前提下, 证明不了 "a是素数 <=> a
是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题?
请回答 是 or 不是.
请简单回答, 不要做其他补充.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:55:16 2013, 美东) 提到:
请问这说明你的假设错了, 还是说明他们不等价?
你在一个错误假设下搞出来的命题, 你指望别人听你的吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:55:59 2013, 美东) 提到:
我已经说了是了，你还要干嘛
a
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:56:16 2013, 美东) 提到:
请回答等价还是不等价，不要扯其他的
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:57:31 2013, 美东) 提到:
我不回答这一楼的问题, 因为我根本看不懂你的问题.
请你把问题写清楚.
你的问题是不是 "如果素数只有有限个, 那么两个定义不等价" ?
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:01:23 2013, 美东) 提到:
因为你在说了 "是" 以后, 自己又脑补出了一堆自己的错误理解.
我认为是你的数学逻辑太差.
你自己看一下, 这两句话是不是一个意思:
第一句: 在没有素数无穷多的前提下, 证明不了 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何小于a的素数整除" 这个命题.
第二句: 如果素数只有有限个, 那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何
小于a的素数整除" 是错误的命题.
-------
你不明白 "正确" 和 "错误" 与 "可以证明" 和 "不能证明" 的区别.
我证明了一个命题正确. 你 "在某种假设下, 证明了这个命题错误", 你由此来说明:
我的 "证明" 是错的. 你说你是不是有问题?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:03:08 2013, 美东) 提到:
再问一遍：
在你的前提下，两个定义是不是等价
请回答
（1）等价
（2）不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:04:13 2013, 美东) 提到:
所以你知道不等价了？
只要有一个反例就不等价
注意我们只讨论两个概念是否等价，先不要管别的
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:04:44 2013, 美东) 提到:
我这么给你说吧:
在数学逻辑体系下, 若A是假命题, 那么不管B是不是真命题, 以下两个命题都是真命题
1. "如果A正确, 则B正确"
2. "如果A正确, 则B错误"
------
你如果不认可, 那是你数学逻辑太差, 自己找本主流的数学逻辑教材去看去, 不要跟我
在这瞎掰掰.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:06:20 2013, 美东) 提到:
看1065楼我的发言.
我对你这一楼问题的回答是:
(1) (2) 都是正确的.
你要实在理解不了, 自己去学学数学逻辑吧, 我真的没多余的话可讲了, 唯一确定的是
, 你不懂数学逻辑.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:08:34 2013, 美东) 提到:
我们试图用无二义的程序代码来解决歧义的问题。但是我发现他（I63）
似乎一直还在 RAM虚拟机/图灵机 的思路里。
你看他为这个讨论写的程序（其实也反映了思想和倾向），输入是一个单个
素数。素数的有限无限性，在他的程序上，不是那么直接明显。
我为这个讨论写的程序，输入是一个完整的素数 set。那素数是有限还是
无限，检查这个完整素数 set 的 size 就可以了。
我个人觉得，I63 或多或少还试图坚持从“代数”的角度来观察，用变量
代表数字。
但素数的无限性，其实是一个完整 set 的无限性。我个人认为使用 token
代表完整素数 set （前N个素数）的符号文法，更适合解决这个问题。
无限性直接跟 set 的 size（无限的定义就是对任意 size 的，总能找到
更大的 size），以及 set 是否 reducible （是不是 valid 的完整
素数 set）直接挂钩。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:09:01 2013, 美东) 提到:
我还是给你举其他的例子吧, 你看看这两句话哪句是对的:
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮也已经不存在了"
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮仍继续存在"
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:10:17 2013, 美东) 提到:
咱俩先来解决这个问题.
我认为: 不用反证法, 证明不了 "素数有无穷多个"
你试试反驳我, 给一个不用反证法的证明.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:10:29 2013, 美东) 提到:
你等等，我先去喊罗素回家做证明题。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:13:28 2013, 美东) 提到:
前提设定以后
两个定义只可能等价或不等价
没有第三种情况
你不要在这捣糨糊
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:15:17 2013, 美东) 提到:
这两个句子都是命题，不是概念（定义）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:15:33 2013, 美东) 提到:
我在 1012 楼里用自然语言描述，1013 楼里用 C伪码，基于俺前面集合论伪码实现
的素数递归定义，应该是给证明了。如果不对，敬请指正。俺好继续学习。
自然语言描述的链接：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034779_0.html
C伪码证明的链接：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034787_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:18:49 2013, 美东) 提到:
不是我捣糨糊.
数学逻辑公式就是这么规定的, 这是公理.
你要不认同, 只能说你不认同主流公理, 那我无话可讲.
我尝试解释一下吧, 如果以你的智商看不懂, 我表示可以理解.
在数学逻辑中, 对于命题p和q, 并不要求 "如果p则q" 这句话中, p和q一定要有什么 "
推导关系",
"如果p则q" 在数学逻辑中, 是这么定义的:
"非p 或 q" (这就是公理, 其合理性在懂数学的人看来是显然的, 你要不懂, 我无话可
讲"
"如果p则q" 正确, 当且仅当 "p错误" (即 "非p" 正确) 或 "q" 正确
以上的 "正确", 等同于 "是真命题".
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:20:26 2013, 美东) 提到:
我没看懂.
这么说吧, 你把你证明中 得到最终结论的那句 "故素数有无穷个" 这句话倒数往前数5
句的内容, 再写给我看一下. 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:26:59 2013, 美东) 提到:
"定义" 在数学中, 就是 "命题" 的一种.
"定义" 本身是一个 "命题", 但是他比命题多了一些东西, 比如 "良定义性" (也就是
说你得能够根据定义判断出来你所处理的对象是不是具有某种属性).
并不是所有 "命题" 都具有良定义性, 比如:
"a是素数 <=> a是素数" ,这就是一个正确的 "命题", 但他不能作为素数的 "定义".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何除1和它本身外的自然数整除", 这就可
以作为一个 "定义", 同时他也是 "命题", 在主流数学公里下, 这是素数的主流 "定义
", 也是 "真命题".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除", 这也可以作为一个
"素数的定义", 同时也是 "命题", 在主流数学公理下, 我们知道, 这是个 "真命题",
可以用来 "证明" 其他 "命题", 其 "定义", 和 "主流定义" 是等价的.
但无论如何, "定义" 本身, 一定是 "命题".
这么说, 明白不?
不明白只能说你得去找本主流的逻辑书看看.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:32:35 2013, 美东) 提到:
我同样用了 p1*p2*p3...*pN + 1 这个数，但是我没有用反证。
我用有限证明无限是用这个无限的定义：
如果对于一个任意 size 的 set，如果总能生成出另一个 set，并满足以下条件：
（1）该 set 是 valid 的
（2）该 set 的 size 大于原来 set 的 size
那么该 set 是可以无限的。
数5
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:40:30 2013, 美东) 提到:
没看懂, 你这个定义中 什么叫一个set和另一个set? 是不是同一个set? (1), (2) 中
的 "该set" 到底是指那个set?
还有, 什么叫 "生成"? 这是一种什么样的操作?
比如我规定一个 "生成" 操作是: 把一个set内所有的元素都加起来, 并再放入这个set
中.
那么我可以由set: {1,2}, 生成set: {1,2,3}
那就是说 {1,2} 是 "可以无限的", 是这个意思吗?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:43:44 2013, 美东) 提到:
另外我刚才发现一个问题，你的程序实际上还是需要外加自然语言的定义的。
因为你的程序是判断单个数是不是素数，而素数无限性的问题实际上是集合
的 size 的问题。
你的程序没有出现集合。当然，你的想法估计是“我把所有自然数都上去跑
一遍，这个自然就是集合了嘛。”。这个的确不错，但这一句是自然语言而
不是 formal language。于是罗素悄悄的来了。。。:-)
另外一个问题，除了因为你没有定义素数集合这个 token 以外，更重要
的是，正因为你没有定义素数集合这个 token，你的递归并没有真正意义
上去 reduce 一个代表集合的 token 到小一号的 token。你的递归
还是更倾向于自然语言的实现，递归式的判断单个数，而不是递归式的
reduce 一个集合。但 again，证明有限无限性，是集合 size 的
问题。。。
数5
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:50:26 2013, 美东) 提到:
我的程序是 "判断a是不是素数"
我只是说如何把我的 "定义" 翻译成 "程序语言"
我没有说我的程序在证明 "素数有无穷个" 这个命题.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:53:31 2013, 美东) 提到:
别扯些乱七八糟的
在formal logic里面，一个proposition可以有truth value
但是不讨论定义的truth value
所以你问的那个完全就是不相干
",
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:56:35 2013, 美东) 提到:
我扯的这怎么就是乱七八糟?
你要懂这些的话, 早都开窍了, 我用给你扯这些?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:57:41 2013, 美东) 提到:
具体而言，这里的 set，用自然语言描述，是“前N个完整连续素数的集合”。
（但是，again，正则文法里，这个自然语言的描述，只能用来帮助理解。
权威的定义来自那段伪码 code。）
第二个问题，是不是同一 set？容我这么唐：
在变量赋值的时候，你开始写了个 “a = 2”，后面又写了一句 “a = 5”。
你说这两个 a 是不是同一个 a？
那我进一步说，我写了一个 token，意义是“单个自然数”。开始的时候这个 token
是 “50”，后来这个 token 被改成 “100”，那这个 token 还是不是
“单个自然数”。
那我再进一步说，我写了个 token，意义是“前N个连续自然数”。开始的时候
这个 token 是 ( 1 , 2 )，后来这个这个 token 变成 （1, 2, 3, 4, 5)。
那这个 token 是不是还是“前N个连续自然数”？
那我再再进一步说，你要是写了个 “a = a + 1”，你说这两 a 是不是同一个 a？
那我要是写个 yacc reduce “token : token 1”，把 token reduce 成
token 和一个自然数“1”，那你说这两个 token 是不是同一个 token。。。
搞糊涂没？搞糊涂了俺就可以去洗洗睡了。。。
set
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:58:20 2013, 美东) 提到:
还是讨论刚那个 "反证法" 的问题.
不要说用机械语言.
你就用自然语言, 我都不觉得你能用一种方法避开反证法.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:03:11 2013, 美东) 提到:
我擦，我上面难道不是用 formal logic 证明了，基于素数的
formal logic 的递归定义（严格的说是素数集合的递归定义），
对于任何一个“前N个连续素数的完整集合”，总能找到一个尺寸大
一个的“前N个连续素数的完整集合”，并且该集合满足素数集合的
formal logic 的递归定义？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:04:35 2013, 美东) 提到:
我就这么说吧, 抛开蹩脚难用的机器代码不说.
你就用自然语言证明 "素数有无穷多个"
你最后证明的是什么?
我看你证明的很可能是下面这段话:
"现在设我们手中有一个素数的子集, 他是个有限集, 记为{p1,...,pk}, 那么我们可以
根据一系列正确的命题, 来构造出一个新的素数p0"
如果是这样的话, 我只能说, 严格来讲, 你并未证明 "素数集是无穷集"
--------
另外, "无穷集" 在集合论上是这么定义的:
"a是无穷集 当且仅当 a不是有限集"
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:05:29 2013, 美东) 提到:
你那个 "无穷集" 的定义我没看懂, 尤其是其中 "生成" 二字, 不明白什么意思.
另外, 它是不是和经典集合论的 "无穷集" 定义等价, 需要证明.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:07:08 2013, 美东) 提到:
我以为我们是在把自然语言定义翻成 formal logic，
用 yacc伪码 或者 C伪码 。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:08:53 2013, 美东) 提到:
.....
那更简单, 连递归都没有了.
不讨论这个问题, 没有难度.
说说怎么 "不用反证法证明 素数有无穷个" 吧.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:15:54 2013, 美东) 提到:
我这个定义只用“找到”。。。这个总可以理解吧。。。
至于前面用的 “生成” 的意思，是指按照 yacc伪码 写的 formal logic，
反向 recur up 找出大一号的集合。（yacc 运行是 reduce / recur down）。
这样保证能被 reduce，所以找出来的是 valid 的集合。
经典集合论的无穷集，俺估计早就忘得一干二净了。。。我对无穷的最最最最近的记忆，
是本科微积分课。。。你要让我再去找欧几里德，我直接晕菜了。。。
不过这个交流也不错，码工们的学习都是渐变的。俺没意识到古典数学思想和现代数学
思想差别还是蛮大的。看来俺要让俺的娃在可能的情况下提早向现代数学迈步。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:21:08 2013, 美东) 提到:
我那个 formal logic 定义的不是任意的素数子集，而是“前N个连续素数的集合”，
当中漏掉一个素数不可以的。
而构造的，也是要“前N个连续素数的集合”，当中漏掉任何一个素数也不可以。
N 大一号。
这个也是你指出我的错以后，我重新改了 “and only if” 条件。否则就变成
你说的子集了。（我写错的原因是按照自然语言印象直接写，结果罗素可能看了
一眼。。。）
这样能无穷集了么？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:28:10 2013, 美东) 提到:
这个为啥用 formal logic 容易证明。自然语言的困难，在于无歧义的表述
“前N个连续素数的集合”的递归定义，罗素会打招呼，我写的意思不一定是你
读的意思。
而 formal logic 没有这个问题，而且码工可以用 LR 文法写，对还是不对
可以直接在 LR文法虚拟机上思想验证。
不是说自然语言不能证明，但是因为天生的歧义性，我证明了不一定能说服你。
甚至我证明了都不一定说服明天的我。。。人不能两次跨过同一条河流。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:29:31 2013, 美东) 提到:
请求: 不要再跟我谈伪代码了, 我真的不懂伪代码, 认输!
我懂C代码, 但不懂伪代码, 尤其是我连是什么东西都不知道的 "yacc伪代码".
你的任何解释, 都可以是基于汉语的, 请不要在证明中说到 "伪代码" 相关的东西.
你用汉语解释一下你定义中的 "生成" 是一个什么样的操作.
我现在无法判断你说的是不是有道理. 因为你的每一句话都要往上回溯好几楼, 而且要
归结到最开始的 "伪代码" 情形. 我无能力处理这种情况.
-------
请你直接用汉语, 重新表述一下, 如何不用反证法证明 "素数有无穷个".
谢谢啦!
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:31:25 2013, 美东) 提到:
素数集递归定义的 formal logic 。。。 不是讨论在递归定义么？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:32:23 2013, 美东) 提到:
比如说吧, 你在1073楼给了个 "自然语言描述链接", 我点进去一看, 除了一些简短的
评论以外, 还是一个链接, 于是继续点进去, 结果是个伪代码.
于是我崩溃了.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:34:05 2013, 美东) 提到:
我那个C语言代码难道有什么缺陷?
不是logic的吗?
我觉得我的代码在 "承认素数是自然数的一个子集" 的前提下, 几乎就是和我文字描述
的递归定义的 "平铺直叙翻译版".
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:40:57 2013, 美东) 提到:
我承认我无法在合理有限的时间内，用自然语言，无歧义地表达。
我能表达的，都已经表达，特别是在 1083 楼这一楼，回答
两个 token 是不是一个，link 如下：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035113_0.html
在此之上，我有些感概。其实 LR 文法真的是一个不常用的基本忘得一干
二净的东西，上这种抽象课也不觉得有啥用处。但是有些潜移默化的东西，
看来还是有其存在价值的，我们自己未必意识到。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:44:28 2013, 美东) 提到:
那没法说了...自然语言都表达不了的话... 我作为自然人, 是无法理解其精神所在的.
...
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:46:36 2013, 美东) 提到:
请你认识到 "我作为一个自然人" 的局限性.
对于 "yacc" 神马的, 我表示认输了!
PS, 以上非调侃..
你之前问过我一句 "看糊涂了没?", 我现在明确而大方地回应你:
糊涂了~
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:46:42 2013, 美东) 提到:
你的 C 语言代码没有任何缺陷，也正如你说的，“平铺直叙翻译版”。
但正因为是 “平铺直叙翻译版”，跟基于集合论的 formal logic
还是有所距离。距离在哪里，我在 1079 楼下面这个 link 里说了。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035073_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:47:52 2013, 美东) 提到:
关于你说的 "文法", 你指出 "你得到了很多感慨", 那真心恭喜你, 这相当于是某种再
学习和再进步的过程.
不过, 恕不能感同身受......
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:49:47 2013, 美东) 提到:
至少能理解数学家们为啥当初吃饱了撑的搞个 formal logic 的概念出来。。。
估计已经到刀兵相见的程度了。。。哈哈。。。
不过其实都是自然人，只是被专业课老师逼迫多学一种语言或者语言概念罢了。。。
的.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:54:13 2013, 美东) 提到:
这个高楼还是很有营养的。或对或错另说，其实并不那么重要。这种读书的或对或错，
总是有机会可以改的。
但是从不同的角度看一个问题，还是很有启发的。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 09:04:29 2013, 美东) 提到:
令我十分疑惑的是. 本帖自发帖开始, 那些 "看懂证明表述的意思还认为证明错误" (
包括认为那个素数的定义不对) 的人, 竟然到最后, 连一个反水的都没有.
这毁了我的三观.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 09:35:21 2013, 美东) 提到:
不要跟LZ扯了。我确信他是来盖楼的。
他硬要说30031是素数，你有什么办法。
我说我不回了，他还发个邮件过来，让我看楼。
他的意思是在素数是有限的情况下，30031是素数。这就是他所谓反证法的精髓。
但是他的假设中没假设30031是素数，怎么30031摇身一变成为素数了呢^_^
你就问问他30031是不是素数就够了。其余的我在1021都说了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:26:17 2013, 美东) 提到:
我这么说：
第一：这个高楼是现代数学跟古典数学的冲突。你看看我花了多少时间，
大部分人不一定花我这么多时间。
第二：如果按照码工所使用的现代集合论硅谷实用版，你的证明的确到“可知”
那步就断了。因为 formal logic 到那一步，写不出来。写不出来的
原因是因为 “可知” 是基于那句自然语言 “如果素数是有限的”。而那句
在 formal logic（比如我写的 yacc 伪码），无法表述。
（yacc 伪码里，如何放这句自然语言 “如果素数是有限的，所以。。。”
进去？ 你如何创建一个 token，来代表 “如果素数是有限的”？）
第三：我觉得绝大多数码工，思维习惯是基于现代数学的。比如：
如果让码工在 job interview 的时候快速写一个实用素数序列发生器，
估计绝大部分码工都会让素数序列发生器保持已经产生的完整的前N个素数
序列在内存里，然后根据其产生下一个素数，不断添加那个序列。一直到
满足尺寸要求。。。
你如果看我的程序，差别只是我把已经产生的完整前N个素数保持在参数里
而不是内存里。那个差别主要是为了讨论的目的，满足能在 LR文法的
yacc概念虚拟机上跑程序的要求。
可能不管你怎么说，不管大伙儿有没有用 formal logic 的 notation。
大伙儿的思维很可能是更倾向于 formal logic 的。（码工写的程序可不能
出现罗素悖论啊，否则老板们喊你们回 cube 修 code 啊 。。。）。所以最后
导致鸡同鸭讲的情况。。。 run 。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:46:50 2013, 美东) 提到:
另外我对这个问题感兴趣，主要是娃的教育问题。毕竟娃的将来中学数学教材
还是基于古典数学的。
我个人的感觉，formal logic 概念的数学思维，从大脑思维角度，相对而言
更加 spatial。而古典数学（比如欧几里德之类的）数学思维，从大脑思维角
度，相对而言更加 sequential。
我在想，是不是中学数学，除了打个数学基础以外，更加有用的是作为哲学教育
的存在（哲学教育总不能光聊空洞的问题吧）。等到娃意识到罗素悖论之类的
悖论以后，数学教育，在概念方面，其实可以直接上 formal logic。
（当然，不要用数学家的一对晦涩的 notation 就是了，表达概念不需要
notation）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:53:41 2013, 美东) 提到:
第三个问题，昨晚你问的，能不能用自然语言表达。我觉得应该这么说。
如果要用自然语言表达，我就必须在白板上画一张“语法生成树”，然后
再讨论。这样我不需要用任何“yacc伪码”之类的表述，可以直接用
“产生 token”，“token 加”，“token 减” 等等自然语言（或者
不喜欢 token 这个词，改成集合好了，反正 formal logic 么，
用啥词关系不大）。
但是 BBS 上不行，没白板，用 text 画 graph/tree 要累昏。。。
原因，again，个人认为是大脑思维方式的
spatial(symbol) vs sequential(verbal)。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 15:14:49 2013, 美东) 提到:
反对你的人有不止一个是数学专业的（不包括我）
他们的话你听不进去，还骂人
你这个问题是古典问题，自古以来有很多人尝试过
所以总结出各种证明
而你居然认为自己拍脑袋想出来的很简单的新方法是对的
也很毁三观啊
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ALife (草履虫) 于 (Sun May 26 15:55:00 2013, 美东) 提到:
daigaku, 能麻烦你列一下那几个认为l63的证明错误，你比较确定的数学专业的id么？
我想看看他们的理由，学习了解一下他们的思路。谢谢。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 16:22:06 2013, 美东) 提到:
记得有xiongyp还是什么（大概是这个拼写）
还有一些发言少的忘了ID了，你可以在前面的帖子里搜出来
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ALife (草履虫) 于 (Sun May 26 16:41:29 2013, 美东) 提到:
随便选了几个xiongyp的帖子，看起来不太象。不过从以下帖子来看：
》发信人: xiongyp (dreamrain), 信区: WaterWorld
》标 题: Re: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
》发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 15:20:01 2013, 美东)
》
》你也是学数学的？
》
》【 在 czjn (霍乐刚) 的大作中提到: 】
》: “完备性”，我一再提这个词，不过似乎lz不太理解。。。
有可能他是学数学的。如果是真的，那我学习了。谢谢。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 17:00:49 2013, 美东) 提到:
我现在觉得楼主的证明是错误的，原因是楼主引用的素数的递归定义。
我现在这么阐述。
=========================================================
关键问题：问题（1）：楼主引用的素数的递归定义，是不是只能存在于
formal logic 的系统里。
---------------------------------------------------------
如果问题（1）的回答是“是”。
那由于楼主所用到的古典反证法里面的“假定素数集是有限的” 这个假定无法
被符号化，从而无法被纳入 formal logic 系统，导致整个证明因为采取
相互矛盾的数学系统，不自洽，而失败。
---------------------------------------------------------
如果问题（1）的回答是“否”，那看楼主前面的帖子会发现：
（a）：楼主无法回答素数递归定义里面那个“小于a”的那个条件的必要性。
（实际上是必要的）。
（b）：更重要的是：楼主无法回答在素数递归定义里，被定义的素数（集），
和用来定义的素数（集），是不是一样的问题。楼主实际上陷入了罗素
悖论。特别见楼主的 1078 楼。（我在 1083 楼解释了，看起来是
古典集合论思想跟现代集合论思想的冲突）。
这样由于楼主所引用的素数递归定义本身不能被古典集合论所接纳（陷入罗素
悖论？），导致证明失败。
=========================================================
所以我现在觉得楼主的证明是错误的。
不过我觉得不是因为完备性的问题，而是因为自洽性的问题（自相矛盾）。
这个自洽性非常隐蔽，隐藏在古典集合论和现代集合论中。（其实可能还有
古典无限定义和现代无限定义的矛盾）。
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 17:03:17 2013, 美东) 提到:
你多喝点咖啡，准备晚上跟他打架吧
呵呵
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 17:18:05 2013, 美东) 提到:
楼主可以把那个递归定义不当成定义，当成定理。
但如果是那样，我觉得楼主的证明也就有点 trivial 了。。。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 22:59:15 2013, 美东) 提到:
我这么给你说吧:
一个真正的学数学的人, 从来不屑于以说 "我是学数学的"/"我是数学专业的" 这种方
式来让别人信服自己. 试图以这种方式让别人信服自己的人, 我不屑于认为他是学数学
的. 如果他真的是学数学的, 那么他不配学数学.
over, 以上论断, 我个人认为: 不证自明.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:02:02 2013, 美东) 提到:
编辑掉.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:04:11 2013, 美东) 提到:
他们声称我的证明不全, 却从来不明确指出缺在哪里, 只会自己脑补或者歪曲一些步骤
, 并进一步声明 "他们的脑补" 是错误的, 所以我说他们不懂逻辑, 并不是随口胡说
.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:21:52 2013, 美东) 提到:
请解释一下 "定义" 这个词.
我的解释:
"定义" 在数学上, 本质是一个命题函数, 是从定义域到{0,1}的一个映射.
比如, "素数" 的定义就是一个函数, 定义域可以在自然数, 实数, 或者复数上面, 这
里我们讨论的前提是自然数, 不妨把 "素数" 看做自然数的一个子集, 其定义对应的函
数, 就是这个子集的 "示性函数", 我们把主流的素数定义对应的命题函数记做 P(x),
则 P(0)=0, P(1)=0, P(2)=1, P(3)=1, P(4)=0, P(5)=1,...
在讨论前提是自然数 (相当于全集是自然数) 的意义下:
我提出了一个命题:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
实际上就是断言, 对于任意自然数a, 总成立下式:
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x(由于文本打逻辑符号不太好用, 我这里用c语言+自然语言的写法)
我们知道这个断言是对的.
那么他能否作为素数的定义呢?
这要求我们能根据
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 来定义一
个函数 P(x), 使得这个函数本身是自然数集上的一个良定义的函数.
定义方式已经在前面1032楼用代码写了, 如果有人觉得自己比计算机还笨, 不认为这个
函数是良定义的函数, 那我无话可讲.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:04:02 2013, 美东) 提到:
俺暂定你这里说的是指高中数学的公理定理系统，而不是指
formal logic 系统。
如果我上面说的是对的，那你就不能援引你 1032 楼的
C 代码。因为尽管你的 C 代码是判定单个素数，但是
你的 C 代码里有递归，递归背后的数学基础还是 formal
logic。（递归是函数自己 call 自己，好比就是理发师
自己给自己理发。。。）。
我觉得你这段文字的问题还是涉及同时使用两个矛盾的数学
系统导致的。具体说是：
（1）你用 formal logic 系统判定单个素数（而不是直接
判定集合）。
（2）你用自然语言/经典集合论，把很多单个素数组成素数集合。
以上的（2）直接违反了 formal logic。
formal logic 本身并不禁止用单个数构成集合，但你必须
定义一个 token 代表集合，同时还是定义 operator 把
单个素数的 token 组成素数集合的 token。同时这个
token 和 operator 要满足 formal logic 的基本要求。
但这些你都没有定义，所以不被 formal logic 所认可。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:06:19 2013, 美东) 提到:
其实整个计算机语言都是建立在 formal logic 数学基础上，
比如最基本的赋值。。。虽然有可能有个别程序段可能真的不基于
一点 formal logic 的概念，但是大部分程序很难。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:39:43 2013, 美东) 提到:
另外，理论上，Yacc 可以用来写 C 编译器的语法分析阶段。
而且 ISO/IEC/IEEE 的 C 标准文本的语法部分是用 BNF
（Backus–Naur Form）写的。
没这个高楼前没体会到 formal logic 在码工界如此深入
人心 + 潜移默化。。。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 01:39:29 2013, 美东) 提到:
So your opinion is formal languages must conform to an LR grammar? Isn't
that too limiting?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:10:22 2013, 美东) 提到:
formal logic 当然不限于 LR文法 或者 formal language。
但俺就是一个码工，不是数学家。超过 formal language 和
graph theory 的 formal logic 俺一无所知。
不过这个楼的破玩意儿，LR文法这种简单的 formal logic
不也给了解么？
再说了，俺老好歹搬了个 LR 文法出来。。。而楼主搬的
“相同性质的东东放在一起构成集合” 的经典集合论，
让码工们靠着混饭吃的 graph theory 情何以堪嘛。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:17:06 2013, 美东) 提到:
另外我那段文字里没有说 formal language 一定要 LR 的意思。
我的重点是说 define token，define operator，不能用
自然语言 “同类的东东放在一起构成一个集合”。
我实际上都没有限制说一定要用哪一种 set theory，只要满足
formal logic 即可，自创都可以。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 02:20:08 2013, 美东) 提到:
I thought YACC can only build LR parsers but I could be wrong
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:24:11 2013, 美东) 提到:
yacc 只能搞 LR parser，你没错。我这个问题用 yacc 搞成，不等于
其他的问题都用 yacc 搞。。。就好比会写中文不等于只会写中文。。。
当然，我灌水时通常天马行空乱用术语，我主要是说个意思。当然，这个
也不好，我刚才飞速去 wiki 了一下，其实我说的意思应该是 formal
system（当年的课是不是叫《形式逻辑和自动机》？）。
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_system
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 02:45:58 2013, 美东) 提到:
I know what you are trying to do. I just felt the original problem is
simpler than the different methods used by various people in this thread.
And I agree, LZ should not use the definition of prime numbers in the proof,
because it leads to a circular reasoning.
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 06:31:52 2013, 美东) 提到:
1. 你好像没有回应我的请求 ( "请解释一下 "定义" 这个词)
2. 你的意思大致似乎是说我的方法中可能会导致类似 "罗素悖论的东西", 但是, 我认
为, 在已经限制了 "全集是自然数集" 的前提下, 根本不会出现 "罗素悖论" .
罗素悖论的问题, 是没有定义清楚 "集合", 比如, 什么叫 "任意的集合"? 但是这里,
全集已经很清楚了, 就是自然数集, 这种情况下不会有问题.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 15:59:55 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
好吧，我们直接看你的这个式子。
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x你试图求解 P(x) 函数的存在，实际上这个 P(x) 函数在高中数学公理定理
体系里无法求解，于是你利用你的 C 程序求解。在这步，你混淆了两个矛盾
的数学系统。我这里给个简单解释：
在高中数学公理定理函数系统里，“a=a+1” 这个式子无解，“f(x)=f(x)+1”
这个式子也无解。
但是在 formal system 里面，“a=a+1” 或 “f(x)=f(x)+1” 可以是
valid 的，valid 与否取决于如何定义 token 和 operator。
你遇到的问题，是由于高中数学里的公理定理体系是一个不完备的体系（上面
有人提到的完备性）。你试图部分地引入，而不是完全地引入 formal system
来 fix 这个完备性，导致这个混合的系统产生自洽性的问题。
,
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 16:44:03 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
喝口水，俺们接着聊：
由上贴所述，你按照中学数学的公理定理体系以及 notation 写的这个方程：
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x在中学数学公理定理体系里无解（类似求解 f(x)=f(x)+1）。因此你在你的帖子
里的 P(x) 实际上只能由那段 C 代码得到。下面为了避免混淆，我把你从 C 代码
里的得到的那个记为 P_fs (fs 实际代表 formal system，我这里避免写成函数
符号，是为了避免混淆，具体下面会说明）。
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logic98 (logic) 于 (Mon May 27 16:51:12 2013, 美东) 提到:
真能扯啊。这些和LR Grammar有什么关系？LR Grammar能表达的languages本身只是CFL
的一个子集。在整个计算机语言编译的几个阶段中，LR parser只是语法分析的阶段。
这些东东虽然属于逻辑的范畴（formal language),但和首贴的逻辑推理差太远了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 16:56:56 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
喝口水继续。
那现在的问题是这个 P_fs 是啥东东。楼主肯定会说，当然是个 C 函数，
否则你是个傻瓜。:-) 那这个 C 函数跟高中数学函数是不是类似的东东，
可以互换呢？让俺们先回到 C 程序背后的 formal system。
P_fs 这个 C 函数，实际上是 C 语言背后概念上的 formal system
里面的一个 operator，这个 operator 的功能是把一个代表单个自然数
的 token 变成一个 boolean （0或1）类型的 token，根据该 boolean
token 可判断输入的单个自然数是不是素数。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:03:37 2013, 美东) 提到:
楼主首贴里面的逻辑很牛逼，但伊还是引用了素数的递归定义。
现在的问题是，素数的递归定义引起混淆和争论。为了平息争论，所以想用某种
formal system 的 notation 来精确定义一下素数的递归定义。
当然，你说的对，LR grammar 的确用词不精确，LR grammar 不定义语义。
用 yacc 还是精确点。
所以也就是用 yacc 来定义一下楼主首贴证明里面所引用的“素数的递归定义”。
当然，其实不限于 yacc。任何 formal system 的 notation 方式都可以。
只不过素数的递归定义比较简单，用 yacc 就可以定义。
CFL
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:20:25 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
又喝口水继续：
楼主这点写得比较长，为了避免误解或自然语言的二义性，我先把楼主写
的那段 copy & paste 在这里：
== 引用楼主的段落 =============================================
== 引用段结束 ================================================
俺长话短说总结一下，楼主的想法是，有了上面 C 程序里的 P_fs 这样的
operator（C 函数）。我给 P_fs 送个 “自然数全集”，P_fs 当然
就会给我 “素数全集”。简单 easy 啊。
但是 P_fs 就不高兴了，于是上诉到 C 语言体系所属 formal system
的联邦最高法院。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:33:21 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
又喝口水继续：
下面是 C语言系统所属 formal system 联邦最高法院的法庭记录：
大法官：P_fs 啊，你干嘛来法院起哄？
P_fs：俺的出生证上明明白白写着俺只能处理“单个自然数”这样一个 token，
丫的直接给我一个东东叫 “自然数全集”。法官您说，这活俺能干么？
俺控告楼主 “以不可想象的工作量的方式试图让 formal system
算子(operator) 过劳死”！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:55:34 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
再喝一口水：
大法官想了想，问 C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
你那里不是有一堆处理集合的 operator/token，就不能出头解决这个问题？
C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
法官您有所不知，丫要的是处理“自然数全集”这样的 operator/token。咱们
C/C++ 语言联邦自打立宪建州建国那天就把那些给驱逐得一干二净。没办法，
那些家伙引起悖论也不是咱们的错是吧。。。
大法官：
那啥地方有那些东东？
C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
其他的 formal system 有没有这玩意儿，俺不知道。要知道 formal system
的小屁国多了去了。但是俺知道欧几里德王国肯定有，因为俺刚才问了移民局局长，
楼主就是从那里坐集装箱过来的。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 18:19:49 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
继续喝水：
大法官擦了一把汗：
还好伊不是无国籍人士。这样吧，警察局长，既然移民局长核实了伊坐集装箱
从欧几里德王国过来的，你警察局长就让伊坐集装箱回去不就完事了？
警察局长：
人要是不肯走咋办？
大法官：
这种问题居然问法官？你们局子里没蒙汗药？
警察局长：
。。。 。。。
大法官：
记得别让伊把 P_fs 给带走了。
警察局长：
为啥？
大法官：
猪头！P_fs 有本国出生证！您难道又要我法官去查“纵容绑架本国公民罪”判多少年？
（我为啥说“又”呢？）
警察局长立马起身，边跑边说：
俺马上去办事，你们继续喝酒。。。俺马上去办事，你们继续喝酒。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 19:00:04 2013, 美东) 提到:
这个高楼，还是加深俺对码工所用实用数学的体会（或者说是偏见也成）：
中学数学里欧几里德的数学思想，虽然精巧，但对码工而言，帮助不大。
个人觉得对码工所用现代数学思想最有帮助的，恰恰是那些看起来
傻大笨粗的东东，能想起来的是：
数学归纳法
解析几何
泰勒展开
傅立叶变换
第一个编程语言
（过去是 Pascal 或 C，现在可能是 Java）
计算机图论
YACC 和 formal language
乱序执行的超级标量流水线结构
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logic98 (logic) 于 (Mon May 27 22:04:54 2013, 美东) 提到:
只能说你想太多了。
没错，程序设计语言本身确实是形式语言的一种。但是你说的yacc(一种语法分析器）
和它能够支持的LR grammar,是属于context-free languages的一种，这种只是语法分
析的一部分，而不涉及语义分析。简单的说，这种语法分析可以理解 a+b*c是解释成a+
(b*c)还是(a+b)*c.但具体a,b,c,有没有定义，可不可以合法的用在这里（比如如果b是
字符串类型），加法和乘法如何定义，这个不是context-free grammar可以处理的(因
为完整的程序设计语言属于context-sensitive language)。
回到这个问题，关于素数定义显然不仅仅是语法问题，而更多的是语义问题，因此不是
yacc，context-free grammar之类能说清的。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 22:09:34 2013, 美东) 提到:
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
a+
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 22:11:42 2013, 美东) 提到:
不过灌水的目的主要是娱乐，真的要每贴都回的话要出人命滴。
俺不灌啦，大伙儿继续，俺潜水走人。。。
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 23:30:59 2013, 美东) 提到:
哈哈, 写得很有意思.
不过为了长话短说, 我还是再解释一下 (我认为的) 数学中的 "定义" 的概念:
首先, 什么是集合? 自从罗素悖论后, 这个问题变得十分诡异, 后来为了将集合论公理
化, 有一种方式是这样的:
我们不考虑 "任意的集合", 我们不试图找出 "任意的集合", 我们只在某一个 (或几个
, 至于如何定义 "几个", 先不管, 实际上我们真正用的时候, 并不需要用到 "几个＂
这一概念） 具体的集集合 (记为集合A, B, C 等) 的基础上, 承认以下的东西也是
集合:
0. 空集
即 "不包含任何元素的集合", 定义是这样的: 如果有一个集合A#满足: for all x (x&
#8713;A#), 那么我们称A#是空集, 注意, 这里用到了 for all x, 那什么叫for all x
呢? 什么叫 x呢? 在讨论具体问题时, 一定都会有个前提, 比如说讨论的事情都是关
于集合A的事情, 那么我们就考察A的所有元素x (什么是元素? 实际上在集合论公理体
系中, 并不区分集合和元素, 但这里我们还是用日常说法对其加以区分), 即那些满足
x∈A的x, 这样x就说清楚了. 那么什么叫x∈A和x∉A呢? 我们不管, 我们只承认,
如果我们已经有了一个具体的集合A的概念, 那么 "要么x∈A, 要么x∉A", 也就
是说, 我们承认 "x∈A" 和 "x∉A" 成立且只成立其中一个, 并且我们不允许取x
=A来问这种问题, 通俗地讲, 也就是说只能取非A的东西来问这个问题, 否则我们不承
认这个问题有意义 (这从具体的数学实用和实际角度来说, 是非常合理的, 如果我们已
经知道一个东西他就是集合A了, 那么我们不是已经知道他是什么东西了吗? 你干嘛还
要问 A是不是属于A呢? 不是闲的蛋疼吗? 不问会对你有什么损失吗? 会妨碍你做什么
具体的问题吗? 于是我们就这么强行规定啦! 不服的一边玩蛋去).
在这个概念下, 空集也可以被称为 "基于A集合下的空集", 那么对于不同的A和B, 基于
A的空集和基于B的空集一样吗? 首先, 这个问题是没法问的, 因为讨论的范畴都不同,
没法比较. 其次, 如果你承认有一个更大的集合C包含A和B (A,B是C的子集, 具体什么
是子集, 下面再说), 那么我们可以证明, 基于C集合下, A的空集和B的空集是一样的 (
什么叫两个集合一样? 以下面会有说明), 证明方法略去.
1. 任何包含于A的集合
即A的子集, 他是这么定义的: 如果我们有这么一个集合A#, 他满足: "for all x (x∈
A# -> x∈A), 那么我们就承认A#是集合.
2. 集合A与B (或者B与A, A与C, C与A) 构成的笛卡尔积
即A*B, 其定义是这样的: 首先我们对于任意两个元素 a∈A, b∈B, 我们先承认以下集
合是集合: , 即a,b构成的二元有序对, 定义为 {{a},{a,b}}, 注意, 如果a=b,
那么 {a,a}实际上是一个多重集合, 具体概念不再说, 再说就复杂了. 进一步我们可以
证明 等于当且仅当a=c,b=d, 证明方法就不说了.
哦, 对了, 忘记说明 "集合的相等" 的概念, 这个概念是这样的: 若 for all x (x∈A
x∈B) ,那么我们称A=B.
在有了有序对的情况下, 我们承认这个东西是集合: { | a∈A, b∈A#}, 这个集
合称为A*B, 或者A和B的笛卡尔积.
3. 集合A的幂集
即 P(A), 他是这么定义的: {A# | A#是A的子集}, 我们承认这是一个集合.
好了, 这里我们已经列举了几种最常见的集合, 实际上还有其他一些, 比如我们用集合
定义了 "函数" 以后, 还可以定义 "指标", 进一步就有 "指标集", 具体就不说了, 这
里只强调一个理念, 也就是说 "我们只承认我们给过概念的那些东西是集合, 除去概念
外的, 我们不承认他们是集合"
-------
那么罗素悖论是怎么回事呢?
罗素悖论中是问到了A∈A还是A∉A这样的事情, 我们不承认他这个问题合法, 就
可以了...
于是罗素悖论解决了 (罗素哭了) ....至于会不会有其他类似的问题也 "不合法", 但
是我们还没发现呢? 先不管, 就这么凑合着吧, 目前看来没什么问题. (罗素要骂娘了,
丫号称这是数学吗? 丫的严谨性呢?!)
----------
咳咳, 转入正题, 我们现在来说关于 "定义" 的事情.
上面已经说了, 对于两个具体的集合A和B来说, 我们承认有集合 A*B, 也就是A和B的笛
卡尔积. 也就是所有形如 的二元有序对组成的集合 (注: 数学中的 "序" 实际
上就是通过二元有序对定义的, 至于二元有序对, 上面已经说了, 本质上是一个集合),
如果A*B的一个子集 (A*B)# (即一部分二元有序对构成的集合, 注: 这里 (A*B)# 整
体是一个符号, 看上去可能会有些别扭, 我只是为了和前面的子集符号用法保持一致)
满足: 对于任意[a1,b1], [a2,b2] 总有 "a1=a2蕴含b1=b2" 那么我们称这个子集 (A*B
)# 是 "单值的", 也称其是一个 "A到B的偏函数", 如果进一步有 "对于任意a∈A, 存
在[a,b]∈ (A*B)#", 那么我们称 (A*B)#是一个 "A到B的函数" (直观上说, 偏函数是
定义域不一定盖满A, 而函数是定义域盖满A),
现在我们来解决所谓 "定义" 的 "良定义性"
首先, 说什么叫 , 一个东西被称为 "
广泛定义" 是说你能根据这个定义去确定一个 A*{0,1} 的子集. (注意看, 我这里的表
述再深究下去, 就很不严谨了, 什么叫 "去确定一个" ? 什么叫 "确定" ? 这些问题不
是数学能解决的问题, 而是哲学范围内的了, 粗略来讲, "广泛定义" 就是那类 "声称
什么什么东西是怎么怎么样的" 的这种话) 我们举个例子, 比如我们根据一个定义, 确
定了一个子集, 并且 和 都在这个子集内, 那你可以称 "a是xxx的", 也
可以称 "a不是xxx" 的. 注意, 难道有人会认为你给了某个 "广泛定义", 声称某种东
西 "是xxx的", 难道可以根据这个定义来判定出某一个具体的东西 可以 "是xxx的",
也可以 "不是xxx的" 吗? 实际上, 这是有可能的, 数学学到比较深入 (只是相对非数
学专业的人来说哈, 大牛们莫拍) 的话, 确实有可能发生这种事情, 比如你在抽象代数
中学到 "等价" 的概念后, 如果随便下一个 "广泛定义", 那很有可能导致重复定义的,
也就是会导致 "一个东西c即是a, 又是b, 而a和b不同), 于是 "广泛定义" 的 "良定
义性" 需要来说明.
什么是 "良定义性" 呢? 良定义性就是说, 你根据 "广泛定义" 确定的那个子集, 是一
个 A到 {0,1} 的函数. 这样我们就把 "广泛定义" 称为 "合理定义", 简称 "定义".
那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被小于a的任何素数整除", 这句话是不
是一个合理的定义呢?
我认为是的, 因为我能够根据这个定义来确定 自然数集 到 {0,1} 上的一个函数.
说完了.
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PS: 其实到了最关键的地方, 什么都没说, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 23:41:07 2013, 美东) 提到:
啊, 再补充一下 (接上一楼, 即1143楼), 其实是这样的.
关于 "能不能确定一个函数" , 我们是这样来 "确定" 的:
a是不是素数, 只考虑a作为自然数集的一个元素来去 "判定", 而不是a作为自然数集的
一个子集来 "判定", 根据这个, 我们是不是就可以诱导出自然数集 到 {0,1}的一个函
数 P(x) 了? 应该没有疑问了吧?
好, 那么, 至于素数本身是不是一个集合呢? 是这样的:
在限定讨论的前提是自然数集 (或者某些具体的集合, 比如实数集合, 复数集合, 所有
的R->R的函数构成的集合 等等, 总之不许不加前提的说 "一个空泛的集合" 或者 "任
意的一个集合" ) 的情况下, 我们已经有了一个函数P(x), 那么 P(x)==1? 是一个允许
问的问题 (记住, 目前不允许问的只有 "x∈x?"), 于是, {x | P(x)==1} 我们就承认
这是一个集合, 说不是的, 一边玩蛋去.
(再一次, 罗素哭了..)
-------
总之呢, 我想表达是这么个意思, 你只要不允许问 "x∈x?", 那目前来说, 这套体系还
是很好的, 并没发现什么问题. 另外, 哥德尔也说了 "一个体系的无矛盾性是不能自证
的", 于是我们也不用浪费时间去纠结 "真的没问题吗? 能不能证明他就是没问题呀?"
这类无聊的问题了.
这种解决方案并不是什么 "高中数学", 这是罗素悖论被提出后, 数学家们想了很久才
迫于无奈提出的一个方案, 这个方案在当今世界来说, 是被主流数学界所接受的. (因
为现在做逻辑的人已经很少了, 哥德尔已经把最重要的几个问题讲的很清楚了, 哥德尔
给我们指明了方向, 说哪些问题有意义, 哪些问题没有意义, 这使得人类历史翻开了新
的篇章.. 使得现在没什么人去做逻辑了.. 咳咳.. 嗯... 罗素又哭了..)
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liamsun (维) 于 (Tue May 28 00:05:47 2013, 美东) 提到:
辛苦了，你的反证法的前提是一堆素数之积+1是素数，复杂的东西咱也不懂，请解释2
×3×5×7×11×13+1=30031=59×509
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 00:10:12 2013, 美东) 提到:
继续补充.
发现刚说的关于 "罗素悖论" 的东西, 不够完整.
是这样的:
我们不仅不允许问 "x∈x?" 这种问题, 我们还硬性规定: 不管你谈论什么对象 (记为
对象x), 那么我们一律认为 x∉x, 我们不承认 "x∈x", 我们不准问 "x∈x?",
我们不承认任何表述中含有 "x∈x" 的命题, 我们不认为这种命题是 "命题"! 总之,
不要跟我谈论任何关于 "x∈x" 的东西!!!
没错, 这就是霸王条款!! 质疑的都玩儿蛋去!
可能有人会进一步的小心翼翼的问: 那我能定义一个集合A吗? 他...他...他是这么定
义的...:
A is defined as {A}.
(战战兢兢:) 那是不是就有 A∈A 了?
这时, 我们的心情好了一些, 不让这人去玩儿蛋了. 不过, 我们还会问他一个问题: 丫
你这 A 到底什么东西? 你能说清楚不? 什么叫 "定义一个A, 他是这么定义的: A 就是
{A}" ? 丫能给解释解释不? 于是那个人 (我们认为) 就会哭了...
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 01:41:25 2013, 美东) 提到:
他的反证法的前提其实是：“如果素数是有限的，那么所有素数之乘积+1应该是素数”。
这个从自然语言角度是正确的。
但是码工的 C/C++ 以及其背后的 formal system 根本没法产生 “所有素数乘积”
这么一个函数/算符。。。
2
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:04:28 2013, 美东) 提到:
其实这个还是数学哲学的问题，俺补充一下细节，其实应该是这样的，
对于：“前N个连续素数乘积+1 是素数”，其实码工们和楼主都认为是错的。
但是，对于 “所有素数之乘积+1 是素数” （关键词：所有）：
楼主曰：
在假设素数有限的情况，是对的。
但是码工的 formal system 曰：
这句话本身不 valid，不许说，不许讨论对不对。不 valid 的原因是
“所有素数之乘积” 这个函数/算符本身不存在，因为所有素数可能是
无限的，求无限个大于 1 的数的乘积这样的函数/算符 不valid。
楼主曰：
在假设素数有限的前提下，所有素数乘积是有限个素数乘积，这时
“所有素数乘积”这个函数/算符是 valid 的。
码工的 formal system 曰：
那你这个函数/算符不叫 “所有素数乘积”，叫 “假设素数有限的条件下
所有素数乘积”（绕口令啊。。。）。
除非你能证明素数有限，否则这个函数/算符就是不 valid 的。。。
对了，您不是打算证明素数无限么？那岂不是一旦您证明了，您的证明过程
立刻变成不 valid 了么？这个是不是自相矛盾之数学版？
楼主曰：
”。
2
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:24:01 2013, 美东) 提到:
补充说明一下，以免火药味太浓。
这个其实不是跟楼主对着干，这个是某种 formal system 跟欧几里德
对着干（这个里面都没有出现素数的递归定义）。
但是那个 formal system 的确也有本钱跟欧几里德对着干，因为
那个 formal system 不需要反证法，可以直接从素数递归定义
里很容易证明（我前面证明过）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:37:35 2013, 美东) 提到:
其实楼主是可以让码工的 formal system 为此加一个符号，叫
“无穷大整数”，这样就可以让 “所有素数乘积” 这个函数/
算符变成 valid。
不过这样一来，又陷入了这个“无穷大整数”是素数还是合数的
悖论。因为 “无穷大整数”+ 1 等于 “无穷大整数”。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 06:34:58 2013, 美东) 提到:
我没说过 "所有素数乘积" 这一回事,
我是在假设素数有限的情况下, 把这有限个素数乘起来了再加1, 然后我看这个数是不
是素数.
找你这种说法, 那主流的 "素数无限个" 的证明都是错的.
因为虽然别的证明没有说 (按照你的理解的表述如下) "所有素数乘积+1是素数", 他们
至少也说了 "所有素数乘积加一" 这句话, 至于是分素数合数讨论了呢还是直接当成素
数, 这退居到了次要问题.
如果 "所有素数乘积加1" 按照你的观点, 即使在 "素数只有有限个, 而有限个数的乘
积可以做" 的情况下也不能做的话 (你的理由是 "本身就不存在所谓 "所有素数的乘积
" 这种操作), 那难道主流的 "素数有无穷个" 的证明, 都是错的?
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概括:
我们证明中并没有声称 "所有素数的乘积" 这么一回事, 我们只是在素数有限个的前提
下, 把这有限个素数乘积弄出来了 (只用到了 "有限个数可以做乘法" 这么一回事),
这一点应该没什么问题.
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 06:38:01 2013, 美东) 提到:
我觉得你那个 formal system 局限性太大了.
请问你那个 formal system 如何根据以下这个素数的主流定义来判断素数?
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且不被任何非1和非a的自然数整除"
请问, 你的 formal system 如何扔掉比a大的那一部分? (在主流数学逻辑中, 我们可
以根据 "比a大的自然数不会整除a" 来做这个 "筛选" )
这个定义本身, 在数学上来看应该是 "没有问题" 的, 用了几千年了....
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logic98 (logic) 于 (Tue May 28 11:57:43 2013, 美东) 提到:
你对集合论的悖论一知半解。
罗素悖论并不是第一个集合论悖论。第一个集合论悖论是利用|P(A)|>|A|的定理推出来
的，这里根本不会问道x∈x的问题。只不过罗素悖论不需要用到任何定理，非常直观，
所以才被广泛引用。不许问x∈x根本解决不了悖论问题。
真正引起悖论的原因是集合不能太大。ZFC系统的关键就是对集合大小做了限制。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 14:04:36 2013, 美东) 提到:
码工把 “非a” 改成 “小于a”，问题迎刃而解。
从数学家的观点看，码工的 formal system 局限性的确很大。
但码工看非信息学数学家，其实也觉得其局限性更大。搞了一堆牛逼的
符号出来，但是所谓的数学推导，里面说白了翻来覆去全是些 “assert()”
嘛。。。这种 code 也好意思 run ？ // 打酱油啊，别当真。。。
说实话，美帝的码工们不是活生生把 F22 的流线型隐形外壳给算出来了么？
俄罗斯的数学家们不知道是不是很悲愤。。。至于跟日常相关的。。。美帝
的码工们不是通过 GPS 卫星群让手机跑那里定位在哪里，连大气扰动误差
都给补偿进去。。。
啰嗦了那么多，总结一下，简而言之，当前实际社会上的计算，最大的局限性
是计算系统不够牛逼，而不是符号系统不够牛逼。。。所以大伙儿都忙着搞
牛逼云计算，而不是搞牛逼云符号。。。
另外几千年算个球，码工们搞出来才二十年不到的牛逼串行算法，估计将来云
计算一旦普及，能改并行都得该并行，不能改并行的好自为之。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Tue May 28 14:13:06 2013, 美东) 提到:
写非a也无所谓，因为大于a的肯定统统不能整除a，加个条件判断语句if (b>a) return
0就行了。it doesn't make any difference.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 14:37:28 2013, 美东) 提到:
是不是主流问题，俺这么说：
您说，牛顿力学是不是早就被爱因斯坦和薛定谔打得找不着牙了？那牛顿力学
不还是主流？不信的话，您试试去 JPL 火星车控制分队里说要用相对论和
量子力学控制火星车动作，不被一堆扔过来 robotics 的砖头书敲到满头是包
的程度就不要来见我。。。
码工也是这个意思，其实自己的小 project 咋整问题都不大，只要计算机肯跑。
但是如果是 CFT （cross functional team）的大 project 或者还带点
创新的。。。要是写 code 的码工伙计儿都把 CFT specification 还有
CFT meeting communication 搞成欧几里德那个绕来绕去的样子。。。
我大胆假设老板们自己先辞职走人。。。（CFT project 的老板们通常没有
统一的 report chain，出了不大不小的问题的话，悲催的老板可能被踢皮球，
这时基本靠拼爹。。。）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 15:52:30 2013, 美东) 提到:
虽然俺灌水比较无厘头，不过俺认真一下回答你这个问题。
如果一个 formal system 是这么建立的：
任何一个符号或者（1）”是一个明确的有限集”，或者（2）“是由明确的有限集
递归生成的”。那么这个 formal system 里面不需要 “从无限集 减去 无限集
得到 有限集” 这样的算子。
所以这样的一个 formal system 不需要你这个“从无穷集筛选”的操作。
对于这个实际例子 “小于 a 的自然数”，在这样的 formal system 里面，并
没有发生把 “大于 a 的所有自然扔掉” 这样一个操作。取而代之的，是下面这样
的操作：
（a）“自然数递归生成至 a 结束”，产生一个 “前N个连续自然数” 的 token。
（这个 token 实际上是个有限集）。
（b）从（a）产生的 token 里面去掉最大的数，产生另一个 token。
（c）test 自然数 x 是不是在（b）产生的 token 里。（operator：in_set())。
更确切的说，"（a）" 其实发生得比上面看起来的更早。"（a）" 需要发生
在你 refer 任何自然数之前。因为在 “前 N 个自然数” 被递归生成之前，
“单个 valid 的自然数” 这个 token 本身不存在。所以在自然数被递归
生成之前，问题 “小于 a 的自然数” 本身不 valid （不许问，OK? :-) ）
换言之，在自然数递归生成到 “a” 之前，这个问题 “小于 a 的自然数”
本身不 valid。这个问题只有到自然数递归生成到 “a” 及其之后才 valid。
码工实际写 code 就是上面这个思想的映射。C/C++ 系统一开始就已经
把无符号整数递归生成为 (0, 1, 2, ..., MAX_INT) 这样一个有限集。
任何大于 MAX_INT 的整数在编程时要么不存在，要么自己用两个整数去凑
（自己产生新 token）。（当然，实际上 C/C++ 有 unsigned short,
unsigned long, unsigned long long，上面就是说个概念）。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:43:33 2013, 美东) 提到:
你是说 {A:A是集合} 若被视为一个集合的话, 会导致基数矛盾是吧?
你看完我的所有发言, 我做了两件事情:
1. 明确限定哪种东西可以叫做集合.
2. 不允许讨论A∈A这种问题, 强行规定A∉A
-------
我并不是只做了第二件事情.
你的意思我明白, 你是说如果做了第一件事情后, 第二件事情就没必要做了, 你说的是
有些道理的.
但是你所谓 "真正引起悖论的原因是集合不能太大" 这句话, 我也不敢完全认同. 有的
公理体系就是强行规定了A∉A, 或许不那么主流, 不过从目前来看, 他和不这么
作规定的公理体系, 没什么实质上的差别.
另, 我对集合和公理确实一知半解, 所以很多东西说完后自己想想也觉得没说清楚.
我想问一下, 假如你不做第二点的限制, 那么你能否举出一个集合A的例子, 满足A∈A?
谢谢!
抽象的例子也行, 只要你自认为说清楚了即可.
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:45:28 2013, 美东) 提到:
不能解决问题.
计算机并不知道, 大于a的都不用做判断了, 直接否定.
如果按你这么写, 他会在考虑比a大的数的时候, 不停地return 0, 然后.. 直到永远...
return
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:57:12 2013, 美东) 提到:
那你做的事情还是不是验证 "a不能被除1和a以外的自然数整除" ?
在你这个里面, "除1和a以外的自然数" 是什么? 是不是通常意义下的 "除1和a以外的
自然数"?
另外, 我看不懂你的这个步骤:
（c）test 自然数 x 是不是在（b）产生的 token 里。
试问, 你都要test哪些数? 所有自然数? (按照定义你应该要test除1和a以外的所有自
然数), 但是你这个时候 步骤(a) 至多是有限步 (如果是计算机来做的话), 请问你如
何能保证任意一个自然数都被你生成了? 也就是说你如何保证你这里 test 自然数 x
里面的那个 x, 是没有局限性的, 真正的 "任意自然数x" ?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:04:17 2013, 美东) 提到:
我语文不太好。我的意思是你如果要 test “x 是小于 a 的自然数” 。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:06:07 2013, 美东) 提到:
另外这里最关键的 point 是从来不生成到 “任意的自然数”，
而是生成到 “问题所需要的自然数” 。。。也就是说，为了
解决问题，需要多少生成多少，避免了无限集的问题。。。
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logic98 (logic) 于 (Tue May 28 23:14:14 2013, 美东) 提到:
呵呵，限定A∈A这种问题根本解决不了问题。比如可不可以 A∈B∈C∈A?
数学家考虑的比你深多了。ZFC系统里很重要的一条就是正则公理，防止这种情况出现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:20:44 2013, 美东) 提到:
哦, 那疑问继续:
我的意思是说, 你如何test "比a大的自然数" ?
因为定义中要求要test "除1和a外的所有自然数", 你现在递归出来一个自然数的子集
(自然语义下, 这个子集是 "小于a的自然数" 构成的集合), 那你似乎没有做 "比a大"
那部分呀? 你只是声称 "我们做这个事情的时候, 只用把自然数从0递归到a, 然后去做
, 就可以了", 你的方法中并没有说明这么做的 "合理性" 在哪里呀?
就好比我现在换一个定义 (在只讨论自然数的前提下) :
我们说, 如果一个自然数能够和其他任何一个自然数的差是pi, 那我们称这个自然数为
"幽灵数".
你看我这个定义, 在数学上来说, 显然是合理的, 因为我知道, 任何两个自然数的差都
不可能是pi, 所以任何一个自然数都不是幽灵数.
那么现在, 假定我给你了一个函数, 他足够判断清楚两个自然数的差是不是pi, 就记做
judge(x,y)吧, 此函数会告诉你x和y的差是不是pi, 是pi就会告诉你 "是", 不是pi就
告诉你 "否"
你如何根据这个函数, 来用你的那一套language, 从自然数集中找出 "幽灵数集" ?
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:22:40 2013, 美东) 提到:
问题就在这里, 你如何用你那套system体系内的东西来说明 "需要生成多少"?
数学逻辑会告诉你: 比a大的自然数, 都不可能整除a, 我们就不需要考虑了.
你那套system如何考虑这个问题?
是不是本质上来说你还是用你的自然逻辑做了一个先验判定?
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:29:52 2013, 美东) 提到:
按照我的说法, 不可以, 只要是能够蕴含A∈A的任何命题, 一律无视.
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其实我不懂, 我想问一下, 到底有没有A∈A的例子?
现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:30:30 2013, 美东) 提到:
还是说根据ZFC系统里的公理, 可以证明一个集合不可能属于自身?
现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:31:03 2013, 美东) 提到:
或者我再换这么一个定义 (仍旧是在讨论前提为自然数的情况下) :
给一个自然数K, 我们称以下这种数为 "K-整除数":
a被称为 "K-整除数", 当且仅当 "存在K个自然数b, 使得a是b的因子"
-------
这个定义从数学上看显然相当合理, 并且我们知道对任意自然数a来说, a,2a,...,Ka这
些数都能被a整除, 故我们就已经找到了K个自然数b了. 故我们知道, 给定一个自然数K
, "K-整除数" 构成的集合就是自然数集本身.
请问你的那套system里如何根据这个定义, 来判断 "什么是所需要的自然数" ?
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:35:25 2013, 美东) 提到:
或者我这么说:
所有命题中, 只要蕴含 "A∈A" 的, 不管他符合不符合逻辑运算规则, 一概规定为假命
题.
不过这确实会带来很多问题, 那就是我们无法判定一个命题究竟是不是真的蕴含了 "A
∈A"
所以我只能不严格的这么说: 如果一个命题, 我们发现他蕴含了 "A∈A", 那他就是假
命题. 没发现之前, 先不管...
------
这么说虽然很傻逼, 不过其实整个数学体系都在做这样的事情呀, 你没有发现一个东西
有矛盾之前, 你只要认为他符合你的规则, 那就是对的呗.. 发现了再说.
反正你永远证明不了 "这货肯定不会有矛盾".
现。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:38:45 2013, 美东) 提到:
码工的 C 程序所属 formal system 里，整数的 token，和浮点数
的 token，不是同一种 token，不能直接上加减乘除 operator，需要先用
另一种 operator，叫 type cast，把一种 token cast 成另一种 token
。。。所以你的问题根本不 valid。。。哈哈。。。
写程序的时候很多时候没写 cast，是因为 implicit cast 的存在。不等于
没有 type cast。
而且整数被零除产生 divide by zero 异常；浮点数被零除没有异常，结果
是 NaN。所以 3/0 和 3.0/0.0 不是一回事。。。也是一个侧面印证不是
一种 token，楼主搞晕了没？
集
"
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:42:58 2013, 美东) 提到:
递归定义系统不需要任何 token 都递归定义。只要递归定义产生
“前N的自然数”以后，其他的东西都在“前N个自然数”集合里做普通
操作就可以了。
只是这里没有无限集，也就是没有“所有K-整除数”，只有“前M个K-整除数”
。。。
数K
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logic98 (logic) 于 (Tue May 28 23:46:17 2013, 美东) 提到:
A∈B∈C∈A怎么蕴含了A∈A？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:47:53 2013, 美东) 提到:
码工不处理无限集，但码工会考虑整型数边界的问题，浮点数要考虑的
更多，参见 IEEE 浮点标准。。。另外浮点数的数学程序不少要考虑
computational stable 的问题，也就是如果要是一个大浮点数
加一个小浮点数，重复抽插 N 次之后，结果可能很悲催。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:01:48 2013, 美东) 提到:
我脑残了......
噢, 那这个, 感觉疑似可以? 目测没什么问题.
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另外, 我现在也觉得我说的东西是不必要的, 不过我有个学逻辑的同学告诉我说, 有一
种公
理体系就是直接拒绝认为存在满足 A∈A 这样的集合A. 我觉得这种体系没什么问题.
我想问一下: 在你的观点中, A∈A这个东西, 到底是:
1. 可以被其他更 "朴素" 的公理证明, 不用强行限定.
2. 有可能成立.
3. 不知道有没有可能成立, 但是不用去管他, 限定是不必要的, 会节外生枝.
请问是哪一种?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:04:10 2013, 美东) 提到:
我觉得你没有理解我的问题.
我是说, 你怎么根据这个定义去判断一个数是不是 "K整除数" ?
即便你不找出所有, 我就让你找 "前M个K-整除数", 你怎么找?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:06:50 2013, 美东) 提到:
我不管你喜欢处理什么或是不喜欢处理什么.
我只是说, 你的system里有某种局限性, 而你是用了的一些你的先验判定做了 "预处理
" 的.
你那个system本身, 并没有做 "预处理" 的能力.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 00:11:20 2013, 美东) 提到:
其实我前面没看清你的帖子，回答错了。（水贴回帖不看帖。。。）
正确的回答是：
如果“K整除数”违背了这个 formal system 的自洽性要求，并且
没有“K整除数”这样一个 token，也不影响这个 formal system
的完备性，那么这样的 token 就根本不需要生成，不valid。直接
从该 formal system 里踢掉。
我知道这个是码工的 formal system 的霸王条款。但是这个是
数学哲学。码工的 formal system 是用来 solve problem，
并不用来解释世上万物。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:15:18 2013, 美东) 提到:
现, 我又觉得A∈B∈C∈A不科学.
不过我不会证明.
只感觉不科学.
像这种A,B,C,D, 真的可能存在吗?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:17:49 2013, 美东) 提到:
没懂...
所以其实你的意思是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被其他非a的素数整除"
这个定义, 违背了你那个system?
我疑惑的就是, 如果上面的定义违背了你那个system, 那你是如何论证清楚 "a是素数
<=> a是大于1的自然数, 且a不被非1和a的任何自然数整除" 这个定义是不违背你那个
system的?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:22:11 2013, 美东) 提到:
1174楼补充了一个 "3"
另外1178楼求解.
谢谢! 我其实根本不懂公理集合论, 只学过 "朴素集合论", 所以看法基本都是各种道
听途说+杂知识. 其中必定有不能解释清楚的地方, 还请指点!
我现在最疑惑的就是 A∈A 这个玩意, 本身到底是什么意义? 怎么理解?
现。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 00:28:55 2013, 美东) 提到:
这两个都字面上违背。
但第二个可以改成：
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被非1和a的任何已定义的自然数整除"
就不违背。
"
数
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:08:15 2013, 美东) 提到:
俺看出来了，您是要在整数边界问题上整俺，因为码工的 formal system
是有边界的系统。
但其实这个问题不难，有边界的系统不一定是静态边界的系统。码工只要对
每个合法算子定义其相应的边界检查算子。
最简单的边界检查算子是返回 true or false。如果得到 false，就
把边界加大一号即可。一直到边界满足要求，才执行对应的算子。
而且理论上的边界检查算子未必要非常精确，只要保证不越界，同时行为
不暴力就成。。。
码工可以写不限长度的整数加减法算法，就是这个道理。。。
"
数
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 01:18:34 2013, 美东) 提到:
什么叫 "已定义的自然数" ? 如果你说 "已定义的自然数" 就是 "递归到a的自然数"
的话.
那你第一个完全可以改成 "已定义的素数" , 也就是 "递归到a-1的自然数子集中的所
有素数"
至于为什么我要说 "只用到a-1", 那很简单, 我是根据定义表述来判断的, 就好像你根
据定义和一些 "预处理" 之后, 根本不在程序中考虑 "比a大的自然数" 这种情况一样.
如果你这么做 (即在程序中只考虑 "递归到a且非a的自然数") 是 "有道理的", 那我不
觉得根据第一个定义, 只考虑 "递归到a-1的自然数子集中的所有素数" 有什么 "没道
理" 的地方.
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另备注: 以上说 "递归到a的自然数子集" 是指0, 1, 2,..., a 这些自然数构成的集合
.
在朴素集合论中, a本身是一个自然数的子集, 是指 {0,1,2,...,a-1}, 所以我不知道
上下文中的 "递归到a的自然数子集" 是指 {0,1,2,...,a} 还是指a本身 (也就是{0,1,
2,...,a-1} ), 故特别声明规定一下, 这里的表意是前一种, 即 {0,1,2,...,a}.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:32:33 2013, 美东) 提到:
这个其实是有边界系统，计算的结果 valid 的前提是不越界。是不是越界
由边界检查算子判定。
如果计算导致越界，那计算的结果是 invalid 的。
在素数定义中，自然数先于素数定义，如果自然数没有定义到该素数，该素数
已经越界了。
样.
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fra (fra) 于 (Wed May 29 01:43:42 2013, 美东) 提到:
楼好高。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:45:30 2013, 美东) 提到:
实际上你的第二个定义是对的，这个就是素数的递归定义。
只是递归定义的边界（指被定义 token 自己）在递归的 context
下很严格，因为是自己定义自己。
而非递归定义的边界只要够大，不发生越界就可以，因为是用别人定义自己。
样.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 01:46:33 2013, 美东) 提到:
简要来讲, 就是你的system里形式上创造出了一个 "能不能valid" 的限定.
但是为什么一些东西 "不valid", 却不会对你定义素数本身产生灾难性的后果, 你这个
system本身是说不清楚原因的.
好比刚那个 "K整除数" (看1175楼), 是一个在数学上显然合理的定义, 但是在你的
system里不valid, 于是你的system不承认这样的定义.
但是你的system里即便承认素数的定义是valid的, 那也和普通的定义有差别, 因为你
的system直接不考虑大于a的数 (你说原因是大于a的数不valid, 这一原因也直接导致
了你的system不会判定什么是 "K整除数" ), 但是你的system本身并不能说明这么做为
什么合理.
至于其合理性 (也就是说你得保证你system给出的素数结果和通常数学定义下的素数结
果一致) 这一点, 你在system内是说明不了的, 你必须跳出来用system外的数学逻辑和
自然语句去解释原因.
从这个角度来说, 我断言: 你的system并不比那个判定单个素数的c++程序高明多少.
那个c++程序照样是人为限定了判定的范围, 只是没有在形式上说出什么 "valid还是不
valid" 一类的条条框框而已.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:54:33 2013, 美东) 提到:
如果你说的是素数的非递归定义，那这个是俺说的不清楚引起的歧义。
在素数的非递归定义里，是用自然数来定义素数，所以自然数的边界不需要跟素数
一致，只要比该素数大，使得该素数不会越界即可。
换言之，这个有边界的 formal system，首先定义了一个“前N个连续自然数”
的子集，然后在此基础上定义素数。（当然，还要先定义整除算子）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:06:47 2013, 美东) 提到:
素数非递归定义中，可以略去更大的自然数，是因为整除算子的存在。
而且整除算子是比素数定义先定义的。
但是另一方面，我同意你的看法，虽然这样的 formal system，对
素数有递归定义和非递归定义两种定义方式构造，用非递归定义构造的系统
的确有悖论之嫌疑。用素数的递归定义来构造系统更加合理。
当然，现在又是数学哲学问题了。我们是不是需要能够构造所有的可想象
的系统？码工的哲学是，如果构造的两个系统是等价的，其中一个系统
有悖论之嫌疑，另一个没有。那码工就直接扔掉那个有悖论嫌疑的系统，
留下那个良好的系统。背后的哲学是，我们不需要能够构造包含所有万物
的系统，我们只需要能够构造完备的能解决问题的系统。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 02:31:59 2013, 美东) 提到:
如果整除算子有能力略去 "更大的自然数", 为什么没有能力略去 "更大的素数"? 尤其
是考虑到我们已经从定义中清楚的知道 "素数都是自然数" 这一点.
而你的system里如果不能论证 "素数都是自然数" 这一点的话, 那你的system里也无法
说明 "为什么只需要从自然数里面把素数找出来, 而不再去考虑其他东西?"
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:39:16 2013, 美东) 提到:
（1）那是素数的递归定义，递归定义是自己定义自己，其边界是天然跨在被定义的和
用来
定义的当中。否则为啥正好左边的还没有被定义，右边的已经被定义了？
（2）自然数先于素数定义，所以在定义素数前，边界内的自然数已经都定义了。
（3）素数是自然数是定义，不需要证明。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:41:41 2013, 美东) 提到:
另外实在不行我们不用非递归的素数定义不就完事了。。。反正是等价定义。。。
或者加上“小于a”好了，反正也是等价定义。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 02:46:07 2013, 美东) 提到:
噢, 是这样, 我的问题就是, 你现在好像在说这么一件事情:
首先我们只考虑 "边界内的自然数", 然后由此我们可以根据朴素定义来判定 "边界内
的素数", 至于 "边界外的" 为什么不用考虑, system内给出的理由是 "有一个整除算
子可以排除边界外的情况".
那我的疑问就是: 既然整除算子能够 "排除边界外的自然数 (因为他们肯定大于a)",
那为什么不能排除 "边界外的素数"? 尤其是你已经默认system有能力知道 "素数都是
自然数" 这一回事.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:58:11 2013, 美东) 提到:
你说的有道理。
其实我发现这个是自然语言解释时的产生的附加二义性问题。
我现在有一个问题，就是能不能用自然语言准确地无二义的描述 formal logic。
如果回答是 yes。那么我们这个 formal logic 有啥用？
如果回答是 no，那么只要 formal logic 能够无二义的定义了这些 token，
那这事也就完事了。这个是“小于a”还是“不等于a”实际上是我们人为加上去的，
也就是人为的解释 formal logic，从而造成的二义性。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:36:43 2013, 美东) 提到:
我觉得是这样, 如果你讨论 "有限的东西", 那造出一套体系应该是没问题的, 也就是
你那个formal logic可以做到. 但是你如果讨论 "无限的东西", 势必会带来问题, 目
前的计算机本质上是不能理解 "无限的列下去" 是什么意思的, 也就是说, 计算机不懂
"自然数", 这和目前计算机结构的局限性有关. 计算机上讨论的东西实际上都是 "有
限集", 在 "有限集" 的前提下, 所有问题都可以解决 (大不了全部列出来看看就是了)
.
逻辑中最基本的 "命题公式", "等值演算" 等概念, 都是建立在 "讨论的东西是有限的
" 这一前提下, 比如我们有命题p,q,r等等, 我们对其做逻辑运算 (基本的三种就是或,
与, 非), 我们只考虑有限次运算下出来的东西, 我们称运算出来的东西也是命题. 比
如 ((非(p且)q)或(r且(非p))) 等等, 直到这一步的东西, 计算机还是可以完全明白在
干什么的, 等值演算也不过就是把一个含有限个点的空间对应到 {真,假} 这个二元空
间上, 总是可以在有限步内列举的完.
但是到了更高一层的概念, 即一阶谓词逻辑的概念的时候, 就开始变得微妙了, 这时候
会出现 "存在" "对于任意", "具有某种性质" 这种东西, 这对计算机来说, 有时候就
是不可理解的. 尤其是当你承认皮亚诺系统的合理性的时候 (皮亚诺系统, 可以简单地
理解为 "声称自然数集是存在的" 的一种系统), 问题就会开始变得诡异.
哥德尔第一不完备性定理大致就是说, 你的体系内如果承认皮亚诺系统的话, 那总有命
题你是证明不了的.
换成更通俗的话讲是这样的:
如果你认为 "自然数集" 存在, 那么有一些事情, 你永远说不清楚他到底是对的还是错
的.
计算机面临的问题就是这样, 如果你允许让计算机讨论 "自然数" 的话, 那么计算机所
在的体系必定不完备, 换句话说, 总能找到体系内的某个陈述, 而这个陈述, 计算机本
身根本无法理解其正误性.
做为自然人的话, 你遇到了这种情况, 你可以强行限定一些额外的规则 (体系外的规则
) 来避免这种事情, 而计算机是无法做到这一点的. (我指目前的计算机啊, 谁知道以
后计算机会变成什么样子, 整不好我们被天网灭了也不一定呢,哈哈!)
所以你的那个formal logic下的system, 只要有关于 "自然数集合" 的东西, 那和人脑
子中的 "自然数集合" 肯定不一样, 互相翻译的话必然有语义上的差别. 这个是哥德尔
说清楚了原因的. 相当于其中有数学原理来保证, 如果你相信数学, 那么这个结果不可
改变.
------
ps. 哥德尔不完备性定理, 具体的讲, 我是不懂的, 只大致知道其表述. 哥德尔的两个
不完备性定理, (虽然我不知道证明) 颠覆了我的观念, 其意义绝不仅仅是数学上的,
而还有哲学上的, 这定理能告诉你某种 "你看待这个世界" 的方式, 而这定理本身, 我
们是可以用某些 "公认" 的 "事实" 来说的十分清楚的, 从这个角度来说, 他更不仅仅
是一个虚空的哲学观念 (比如什么 "世界上不会有两片不同的叶子" 啦, "唯一不变的
是变化" 啦这些, 其实说白了都是扯淡), 也就是说他不仅仅是某些人的某些主观的哲
学看法, 而更应该做为一种普遍的信仰被解读, 从这个角度上来说, 其价值是远高于
狭义的 "哲学" 的.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:40:47 2013, 美东) 提到:
补一条哥德尔的格言:
有些事实被认知为真, 但不必然可证.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:53:47 2013, 美东) 提到:
其实我觉得那些搞法律的, 才真应该学学哥德尔的理论. 哥德尔的理论绝对是对建设法
治社会的最有力的指导.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:16:10 2013, 美东) 提到:
其实我觉得那些搞法律的, 才真应该学学哥德尔的理论. 哥德尔的理论绝对是对建设法
治社会的最有力的指导.
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logic98 (logic) 于 (Wed May 29 08:23:24 2013, 美东) 提到:
你这位学逻辑的同学可能想用通俗的语言告诉你，结果太通俗了以至于让你理解错误。
ZFC系统的公理可以分成几类
1。外延公理：就是定义集合为何相等的。
2。让集合不太大,所以有替换公理（如果定义域是集合，值域也是集合。直观的说，函
数的值域比定义域小）和子集公理（子集一定是集合)。
3。让集合“可控”的变大，这里有并集公理，无穷公理（可以定义自然数），幂集公
理，配对公理。
4. 选择公理。这个人为痕迹太重，有人不喜欢，有的系统也不包括。
5。比较有趣的是正则公理。这个公理其实就是说如果你把集合看成包袱，把包袱皮一
层层的剥开，最后总有个头。如果A∈A或者A∈B∈C∈A这种递归情况出现，你的包袱皮
是永远剥不完的。
所以在绝大多数逻辑学家公认的公理系统里，这个东西是被用公理强行排除在集合的定
义之外的。
当然没人阻止你定义一个 A={x:x is a set}. 只不过这样的A我们不称它为集合，而称
它为类(class.当然不是码工说的class).这样的A不可以是其它集合的元素。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:47:21 2013, 美东) 提到:
学习啦, 谢谢!
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:50:12 2013, 美东) 提到:
另外想问一下, 我听说公理化的集合体系里, 不区分集合与元素, 那么一个集合往下剥
, 剥到最后是什么?
就是说集合里的东西还是集合, 再往下还是集合, 等剥到最底下不能剥 (按你说的正则
公理) 的时候, 那个东西叫什么?
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logic98 (logic) 于 (Wed May 29 09:33:59 2013, 美东) 提到:
剥到最后什么都没有就是空集了啊。所以所有的集合都可以从空集里造出来。
用集合论构造自然数的时候，我们就是用空集表示0，
然后1={0} = {{}}
2={0，1} = { {}， {{}}}
3 = {0，1，2}
4={0，1，2，3}
以此类推。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 10:52:04 2013, 美东) 提到:
噢, 有道理.
我之前还在想: "如果剥到最后基本元素都成空集的话, 那他怎么区别空集与空集间的
关系呢? 难道一个叫空集a, 另一个叫空集b?"
您这一说我恍然大悟, 发现上半学期学的朴素集合论基本就是白学了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 30 01:12:16 2013, 美东) 提到:
再请问一下.
那在ZFC下, 是不是就可以讨论 "任意的集合" 了?
比如连续统假设, 标准表述是不是:
对于任意的集合, 其基数不可能严格大于N0且严格小于2^(N0) ?
------
我问这个的意思是, 我有个疑惑:
如果连续统假设的这种表述方式是标准的, 那哥德巴赫猜想理论上说, 是不是完全也有
可能 "既对又错" 了?
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l63 (l63) 于 (Sat Jun 1 09:32:24 2013, 美东) 提到:
求指点..
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logic98 (logic) 于 (Sat Jun 1 10:03:18 2013, 美东) 提到:
ZFC下所谓的"任意集合“，就是按照ZFC公理构造出来的集合才算。桌子板凳之类就不
算了。讨论当然是可以讨论的，而且写出来的公式都是一阶谓词逻辑表达式。
比如连续统假设就是: forall x( ||x||<=aleph_0 or ||x||>2^aleph_0)。 是一个
非常标准的表达式。
关于第二点，是你对连续统假设的独立性有误解。严格的说，连续统假设还没有被证明
。被证明的只是ＺＦＣ系统没法证明它的真假。实际上，连续统假设要么真，要么假，
但ZFC不是一个完备的系统，没法推导出世界上所有的为真的命题。
稍微展开点说，关于＂真假“有两个不同的概念，一个是语义的，就是在现实世界里为
真。另一个是语法的，也就是可以（在某个公理系统里）被证明。通常来说，一个公理
系统证明出来的在现实世界里都必须是真的。这个叫soundness.另一个方向是说，如果
如果所有现实世界里真的都能被证明，那这个系统就是完备的。（开个玩笑，孙维是不
是下毒的恐怕永远没法被证明了，但这件事一定要么真，要么假。所以我们的法律体系
是不完备的）。
回到歌德巴赫猜想，它可以被表达成一个没有歧义的公式，因此语义上说，它一定是真
，或者是假的，这个没有任何问题。
但是，它有没有可能无法被证明？或者说在语法上是不是可能既不对又不错？这个完全
有可能。这个依赖于公理系统。有可能这个命题是独立于现在的数论公理系统的，那么
用现有的办法确实不可能证明。在这种情况下，我们可以增加公理，看能否在新的公理
系统里可以被证明。比较极端的是你就可以把歌德巴赫猜想当成公理加进去。如果没有
矛盾，你甚至可以把歌德巴赫猜想的反面加进去。那么你很可能构造出一个和现实世界
的数论略有不同的一个自洽体系（非欧几何就是这样的一个例子）。
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l63 (l63) 于 (Sun Jun 2 06:56:26 2013, 美东) 提到:
非常感谢!
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白的? 而由于这
种逻辑不会在日常生活中经常用到, 所以这部分人被视为 "正常人" ?
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:38:24 2013, 美东) 提到:
既然素数的定义有了，把你的证明中的合数定义也说说吧。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:47:07 2013, 美东) 提到:
点个名吧, 本人不屑于太隐晦.
认为1楼中证明错误的人的id是: carbon 和 czjn
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:47:27 2013, 美东) 提到:
请你先说明我的证明中哪一步是用到了 "合数的定义" 的?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:48:31 2013, 美东) 提到:
你是否有胆量在此帖中明确指出你之前的观点, 即1楼的证明是错误的? (或者, 按你的
说法, 是 "不完全" 的? )
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:50:44 2013, 美东) 提到:
自然数是有合数和质数共同组成的，
都有其自身严格的定义，
难道你的理论中只有质数的定义，没有合数的定义？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:51:47 2013, 美东) 提到:
我的证明只用到素数的定义.
我只需要用到素数的定义就可以证明我想证明的命题.
我不需要像某些人一样画蛇添足, 搬多余的石头砸自己的脚.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:54:32 2013, 美东) 提到:
因为你的错误就在你自以为是的聪明上。
好吧，我也不勉强你，
不过你提到自然数了，
你的证明总该承认自然数仅由质数和合数组成吧。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:54:50 2013, 美东) 提到:
如果你想要看合数的定义, 当然可以, 以下是一种定义方式:
a是合数 <=> a是大于1的自然数, 且存在b, b是大于1且小于a的自然数, 使得b能整除a
.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:56:37 2013, 美东) 提到:
你如果认为证明错误, 你就需要指出错在哪, 顾左右而言他只能显出你的无能.
你如果有能力的话, 你可以指出一楼的证明中第几行到第几行是错误的, 原因是什么.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:57:29 2013, 美东) 提到:
我看你现在连明确说出 "一楼证明是错误的" 的这种勇气都没有.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 00:58:20 2013, 美东) 提到:
你要是连你的证明中自然数是不是仅由质数和合数组都不能承认，
我怎么给你指出错误？
.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 00:59:06 2013, 美东) 提到:
其实现在这俩人就是嘴硬而已了，让他们嘴上占点便宜吧
实际上怎么回事大家都很清楚了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:03:16 2013, 美东) 提到:
首先, 你这句话本身就错了.
自然数可以看做是由质数, 合数, 和1组成的. 不过我不会由此来取笑你, 或者抓住这
一点无限放大.
我现在明确告诉你, 我认同你 (应该做一下修改的) 看法, 即:
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.
------
请问接下来如何?
------
另外, 指出一个证明的错误, 我认为并不需要这些, 你只需要明确说出第几行到第几行
是错的, 就可以了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:04:21 2013, 美东) 提到:
不一定.
其实我认为他们可能是真的有逻辑缺陷 (换一种说法就是蠢), 并不一定是嘴硬.
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:04:47 2013, 美东) 提到:
a
我说的是有pa才回复，既然你又开始，那我继续。
就你这种学了两天逻辑学的n本文科生、连初中数学都不过关的人，自以为是的用了个
二半吊子证明来说质数无限多。反复告诉你要用到数学逻辑，还执迷不悟，你秀什么存
在感啊。还点名道姓的，你刚从文革出来么？
还是那句话，大于一的自然数，可能是质数也可能是合数，你这个自作聪明的证明只考
虑了质数的情况。
你脑子的沟回都长脸上了啊？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:07:14 2013, 美东) 提到:
是么，这位大仙。那个楼里有中间人打分了的。您这么有一搭没一搭的阴阳怪气冷不丁
就来一句。对不起您高贵的身份吧。。。
“大家都很清楚”你懂的～
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:08:09 2013, 美东) 提到:
你这样数学初中都考不过的，还逻辑缺陷，你陷逻辑里了吧
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:13:36 2013, 美东) 提到:
在我的前提假设下, 我已经论证了N是素数, 请问我为什么要考虑合数的情况?
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:17:46 2013, 美东) 提到:
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.
等价假设2： 除去1,p_1,p_2,...........,p_K之外的自然数均为合数。
显然等价假设2与原假设同为真或同为假。
推论过程原假设与等价假设必须同时成立或不成立。
此步骤没问题
a是素数推论成立前提，原假设1成立。
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 根据假设1，素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
3. 若假设1成立，a即不被任何小于a的素数整除
4. 推理结论 a是素数成立
该推理过程无误
考虑等价假设2
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 若等价假设2成立，a不是1，p_1,P_2............P_k中任何一个
3. a是合数成立
也可知，N 是合数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:17:57 2013, 美东) 提到:
为什么没人来跟我一起回帖呢?
我觉得能找到两个蠢货, 就可以凸显出自己的聪明. 毕竟智商也是要有参照物的呀.
感觉到自己很聪明不是很好吗? 希望大家比较闲的都可以欢乐的加入进来.
另, 不明真相的同志们可以看这个帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t1/WaterWorld/2017961_0_1.html
顺带再次感叹, KingOfLunHui挖的一手好坑, 骗了我好多回复了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:21:22 2013, 美东) 提到:
你的推理没问题.
这说明我们在前提假设下, 构造出了一个N, N既是素数, 又是合数.
请问这说明什么?
为了防止你实在太笨, 我给你两个选项吧 (当然你认为如果是其他情况也可以回帖指出
):
A. 这说明了前提假设是错的.
B. 这说明了1楼的证明是错的.
--------
选择题会不会做?
不会也可以扔硬币.
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 01:22:16 2013, 美东) 提到:
你太自以为是了。。。呵呵。我觉得你也就找找泥哥刷一下存在感吧，他们可能跟你有
的一拼，祝你跟他们玩的愉快～另一个楼里你就自言自语吧，我反正不回了。你爱pa不
pa。引用你一句话（大意如下）“我攻击pa他人都是有理有据的”，我看你不如说：你
天生素质低下，就热爱pa别人。好歹还坐回真小人。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:24:25 2013, 美东) 提到:
因为你逻辑确实有缺陷, 换句话说就是蠢.
PA你是应该的.
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powerforward (抽敏感詞的筋) 于 (Thu May 23 01:26:13 2013, 美东) 提到:
這就不必要了。你的證明顯然是對的。
但是邏輯推理能力確實不是天生就有的，是要後天多訓練的。
缺乏美感的人和缺乏邏輯分析能力的人都是正常人。三毛數學不及格，不能妨礙她成為
很好的作家。愛因斯坦穿得很醜，也不能妨礙他成為偉大的物理學家。
a
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:27:37 2013, 美东) 提到:
请你能否清楚明确的先回个帖, 说1楼证明是错的? 就当留个案底呗? 谢谢!
(我也记不清这是第几遍请你了)
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:28:26 2013, 美东) 提到:
1，证明过程就是说明前提假设是错误的。
2. 说明你的结论 a 是素数是错误的，尽管最后蒙对了答案1。
3. 如果你还不明白在该假设下为什么只说a是素数是错误,或只讨论a是素数的情况不完
备，
那你除了愚蠢还是愚蠢。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:30:53 2013, 美东) 提到:
每个人都有长处和短处, 这我当然理解.
但是我看不惯那些对自身所犯的错误不自知, 还跳出来抨击别人的人.
对于这种人我不屑于给他们留面子.
我在原帖 http://www.mitbbs.com/article_t1/WaterWorld/2017961_0_1.html 中最开始可是一步一步耐心跟他们交流的, 至于先PA的, 我不认为是我.
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:33:55 2013, 美东) 提到:
在你的前提假设下, 我已经论证了N是合数, 请问我为什么要考虑素数的情况?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:34:29 2013, 美东) 提到:
我可以明确告诉你为什么只讨论质数:
因为我根据质数的定义, 发现N就是质数.
这么说够不够清楚?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 01:34:58 2013, 美东) 提到:
存个照
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:35:03 2013, 美东) 提到:
23楼的选择题, 你能否正面回答一下先?
可以多选.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:38:32 2013, 美东) 提到:
我什么时候问过你为什么不考虑N是素数的情况?
你不考虑也可以, 只要你最终能证明 "素数只有有限个" 是错的, 就行了.
你这个问题的根源是什么? 好像我之前欺负了你似的．
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:38:38 2013, 美东) 提到:
看来一句"文科生“说的你很疼，
跟着什么愚蠢无知都出来了。
难道你认为被说成"文科生“和被骂愚蠢是一样的冒犯？
我真没这么看待文科生。
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carbon (kaben) 于 (Thu May 23 01:44:09 2013, 美东) 提到:
文科生，我们的讨论对稍懂点数学证明的人看来，已经结束了。
这是我最后一贴，
你和这里那个装B的CS蠢材后面的PA贴我懒的搭理了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:47:46 2013, 美东) 提到:
如果你的目的只是想PA的话, 我不介意.
如果你的目的是探究清楚谁对谁错, 还请你在PA之前, 回答一下你之前还没有回答的问
题:
1. 5楼: 请你先说明我的证明中哪一步是用到了 "合数的定义" 的?
2. 23楼: 请问那个选择题选什么?
-------
这些都是很简单的问题, 回答每个问题应该不会超过一行. 当然, 如果你找个借口 (比
如:费口舌?) 就走掉的话, 我也没办法.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 01:48:51 2013, 美东) 提到:
问题都不敢回答, 一句 "已经结束了" 就走人了.
呵呵, 真有风范.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 01:51:55 2013, 美东) 提到:
恩，昨天我指出他所谓“欧几里德的证明”不过是他的臆想之后，他就开始满口喷粪了
跟这种人有什么好说的呢
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:19:31 2013, 美东) 提到:
如果一个人蠢就可以pa的话，那么你每天应该收到上千次。不过好在这个世界上大部分
人是有同情心的，不过不好意思，我最近缺乏一点，那我只好遵照你的意思：你这么蠢
的人是怎么学会说话的啊？你怎么蠢看不出别人指出的错误还执迷不悟确实是蠢到姥姥
家了。我求你不要把这么蠢的基因遗传下去了，有些不忍看到你子孙的惨状。。。
听说你喜欢调戏蠢人，我也是这个爱好，这就是为什么我现在看你想吐但是还搭理你。
不过你要想做到这一点比较困难，你可以找个黑人常去的网站尝试一下，但是估计你英
语也不行，愁人～算了你自己玩儿蛋吧。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 02:21:34 2013, 美东) 提到:
这个没问题,euclid的原版证明确实啰嗦了些
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:28:45 2013, 美东) 提到:
你在PA之余, 能不能对你还没有回答的问题, 做出一些清楚的回复?
比如:
20楼: 在我的前提假设下, 我已经论证了N是素数, 请问我为什么要考虑合数的情况?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:29:18 2013, 美东) 提到:
您都有颠倒黑白的逻辑能力，先pa的当然不是你了～
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:31:38 2013, 美东) 提到:
我想问。。。他的推理为什么没问题？无论他的哪一个假设，构造出来的N都不可能是
合数。
假设除了1，a1, a2,...ak外都是合数，N=1+ai连乘无法被任何小于N的质数整除，于是
N是质数，和假设矛盾于是假设不成立。
假设除了1，a1,a2...ak之外都是合数，那么任何不是这几个数的自然数都是合数。。
。这跟N实际是不是合数有关系么？假前提一定是真命题，这和结论真假有关系么？
另外，反证法真的能证明？？你的假设是a1,a2,...ak是素数的全集A，那么1+ai连乘必
然也是素数，那么假设不成立，a1,a2,...ak不是素数的全集。A不是素数的全集就等于
素数无穷多？
本人非数学专业理科生。
另外实在无法忍受为什么假设了只有那么多质数还要去讨论如果存在别的质数会怎么样
。。。。
在假设只有2和3是质数的前提下，25也是质数。5是不是质数都不影响这个逻辑的完整
性，我们要证明的都是不止2和3这两个质数，25能分解成5X5不说明任何问题，就像36
能分解成6X6一样，最终影响证明的是5不能被2和3分解，而这个和25不能被2和3分解是
等价的，即是存在不等于2和3的其他质数。分情况讨论没有任何意义
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:32:36 2013, 美东) 提到:
你已经证明了N是质数，我还证明了N可以是合数呢。怎么，是不是一个数既可以是合数
也可以是质数啊？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 02:36:35 2013, 美东) 提到:
假设素数集合是有限集合，推出矛盾，所以素数个数不可能有限，有问题吗
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:37:19 2013, 美东) 提到:
只提问你原帖最后一段：
假设素数只有2和3，那么25是素数吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 02:38:11 2013, 美东) 提到:
存照
能是
于是
。。
乘必
等于
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:40:08 2013, 美东) 提到:
假设质数只有p1,p2,...,pk,
那N=p1*p2*...*pk+1 显然N不等于p1,p2,...,pk中的任何一个, 且N大于1.
因为自然数只有1,质数,合数, 所以N是合数.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:43:22 2013, 美东) 提到:
哦, 你没看清楚证明方式.
首先是假设素数只有有限个,
既然有有限个, 你就可以列出来: a1,a2,...,ak
最后根据逻辑推导, 又找到了一个N, 也是素数, 并且不是a1,a2,...,ak中的任何一个,
所以假设不成立.
假设不成立不只是说 "素数不止有a1,a2,...,ak", 而是说 "素数有无穷个"
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:45:30 2013, 美东) 提到:
所以根据假设, 我们推导出了: N既是素数, 又是合数.
请问这说明了什么?
还是23楼选择题:
A. 这说明了前提假设是错的.
B. 这说明了1楼的证明是错的.
如果你认为A,B都不对, 而是其他情况, 请回帖说明.
也可以多选.
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:46:43 2013, 美东) 提到:
你是如何证明在假设前提下N是合数的？去掉前提，那么N可能是质数也可能是合数。
再假设前提下，N一定是质数。
假设只有2和3是质数，那么请问25是质数还是合数？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:48:29 2013, 美东) 提到:
我帮他回答一下:
以下所有命题, (不管你承认不承认) 按照逻辑规则和主流数学公理的标准来看, 都是
对的:
"如果素数只有2和3, 那么25是素数"
"如果素数只有2和3, 那么25是合数"
"如果素数只有2和3, 那么25等于1"
"如果素数只有2和3, 那么25不是自然数"
"如果素数只有2和3, 那么你是猪"
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:49:36 2013, 美东) 提到:
这是你的证明么？你的证明只是说N是素数，对不对？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:51:59 2013, 美东) 提到:
如果你最终证明了素数不只有2和3,那你打算如何定义25是合数还是素数呢？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:52:44 2013, 美东) 提到:
明确告诉你, 不对.
我的证明中只承认了这个命题的正确性:
"如果质数只有p1,p2,...,pn这有限个, 那么N=p1*p2*...*pn +1是质数"
我从未说
"取前n个素数p1,p2,...,pn, 则N=p1*p2*...*pn +1是素数"
你究竟能否搞清楚这两句话的区别?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:54:41 2013, 美东) 提到:
我可以回答你: 25这个自然数, 按照主流数学公理体系来看, 是合数.
我的问题: 25是合数还是质数, 与1楼中证明是否正确有何关系?
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 02:55:57 2013, 美东) 提到:
所以你是说根据假设你推出N是合数？？？合数的定义是能被质数分解，假设前提下N显
然不是合数啊。。。
这逻辑和说：
假设偶数只有2和4，6不是2或4，自然数要么是奇数要么是偶数，所以6是奇数
有区别？
所以这个逻辑对证明假设错误有任何意义？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 02:57:03 2013, 美东) 提到:
你确实是说的第一句话，我没说不是啊。你既然已经“推出”了前提的错误，那么你再
说N是质数，是正确的么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 02:57:55 2013, 美东) 提到:
我不是学数学的哈，但是感觉逻辑上有个小问题
你虽然证明了N不能被{p_i|i=1~k}中的任何一个整除
但是不能直接得出N不能被 自然数集-{p_i}中的任何一个整除
我知道你想说其他那些都不是质数，因为你已经把质数都罗列出来了
但是在你的“虚拟假设”下，你没法证明N不能被某个合数整除
你要考虑从p_k到N之间的所有数都是因数的candidate
比如万一N能够被p_k*250+1整除呢？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 02:59:59 2013, 美东) 提到:
在一个错误的假设下, 你推出相互矛盾的命题, 是很正常的, 反正法的作用你应该能理
解吧?
只要推理符合逻辑, 那错误的就不是 "推理" 和 "证明" 本身了, 而是前提假设.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:00:33 2013, 美东) 提到:
我还是举例子吧.
你说N是合数, 对吧?
假设质数只有2,3, 那么2*3+1=7
请问7是合数还是质数?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:00:47 2013, 美东) 提到:
好啊。假设质数只有2和3，你推出25是质数；之后经验证5也是质数。于是你的质数集
合现在变成了｛2,3,5,25｝。你可以一直往下推，“证明”质数有无限个。但是你在反
证的过程中已经自相矛盾了好么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:02:28 2013, 美东) 提到:
如果质数只有2，3
那5是质数还是合数？按你的假设应该是合数
那么你的那个N有被5这样的数（或者其他组合）整除的危险，需要证明
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:02:36 2013, 美东) 提到:
这取决于素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
你是否认同这个定义?
你如果认同, 那么N的因子就只需要考虑素数. 你如果认为这个定义不对, 那就是另一
回事了, 那样的话我可以给你讲讲为什么这个可以作为素数的一个等价的定义.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:04:45 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3, 我推出了一个矛盾, 所以假设错误.
我的结论是 "质数不只有2和3"
我的结论从来都不是 "质数集合变成了 {2,3,5,25}"
"质数集合变成了 {2,3,5,25}" 这是你的逻辑. 你不要随随便便说这是我的质数集.
这么说你明白不?
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:04:54 2013, 美东) 提到:
我是根据你在原帖的回复说的，根据你的逻辑，在这个质数只有2,3的前提下，7既是质
数又是合数。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:05:30 2013, 美东) 提到:
任意数若能分解成除1外的连乘，其最终factor必然是质数。
多想一步就可以了。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:07:04 2013, 美东) 提到:
按照假设应该是合数，但是5又不能分解，所以又是质数，矛盾
我真怀疑你是不是carbon换个马甲又上来了。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:08:01 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3，那么25无法被2，3整除，于是25是质数，这是类似你的证明里的，
对吧？同理5也是。
怎么？你证明完人家是质数，还不给人加到质数集合里面，心虚怎么的？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:08:02 2013, 美东) 提到:
但是你已经假设了素数有限（为了用反证法）
所以p_k到N之间的数都是合数，没错吧
但是你怎么保证N不被p_k到N之间的任何数整除？
你现在要证明N是质数啊
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:10:06 2013, 美东) 提到:
You really got the point!
说泥哥泥哥到，I63看来你无法在人类身上找到优越感了，火星会欢迎你的。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:10:41 2013, 美东) 提到:
问题是大于p_k的所有数都是合数了啊，不是质数
按照反证的假设
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:11:44 2013, 美东) 提到:
那你这个质数集一直往上加？
那还怎么用 cardinal=k的假设？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:12:41 2013, 美东) 提到:
你在说什么？
你无非就是想说N可以被除了p1...pk之外的一些数整除
但是当将N分解为f1*f2*...*fn的形式时，最终所有因子都可以化归为p1...pk。
好吧，我承认这对有些人来说太难了。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 03:13:03 2013, 美东) 提到:
“你这种臆想是病，得治！”
抓紧啊别再拖了，啊～
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:13:23 2013, 美东) 提到:
这只是说你这个例子而已，又不是说证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:19:49 2013, 美东) 提到:
你假设了质数集有限之后，就不能再用那些推论了
比如质数集只有{2,3}的话，5也是合数（介于3和7之间）
但是5不能分解成2和3
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:25:11 2013, 美东) 提到:
"如果质数只有2和3, 那么7既是质数, 又是合数"
我承认这句话的正确性.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:26:36 2013, 美东) 提到:
请问我什么时候证明过25是质数?
我只承认 "如果质数只有2和3, 那么25是质数".
我从未在没有任何假设前提的情况下说过 "25是质数".
你如果认为我这么说了, 请列举出来源, 否则不要乱扣帽子.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:27:24 2013, 美东) 提到:
一步一步来, 我先问你认同不认同这个定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:27:35 2013, 美东) 提到:
最后点你一句：
任何合数最终可以分解为质数的乘积，这个证明和假设是无关的。
N如果只能分解成合数的乘积，那意味着N可以无限分解下去，等同于N有无限多个因子
，于是N为无穷。这显然是错误的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:27:36 2013, 美东) 提到:
你还得证明7不能被5整除，光证明不能被p_1, p_2也就是2，3整除不够
也就是说2*3+1的构造无法逃脱5这个“伪合数”
当然这个比较trivial
但是当数变大了以后就麻烦了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:30:17 2013, 美东) 提到:
这个没错
但是还有个看似多余的必要条件，就是a不被任何小于a的合数整除
这个一般情况下纯属多余
在你的构造下却不是多余的了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:31:15 2013, 美东) 提到:
你不是czjn和carbon的马甲吧?
怎么好像也不太懂反证法和逻辑.
我这么说吧:
我的目的, 从来都不是为了找出哪些数是质数, 我的目的只是为了证明 "素数只有有限
个" 这个命题不对.
至于哪些数是素数, 与这个命题无关, 我也无需关心.
这么说可以理解不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:31:46 2013, 美东) 提到:
即使不是，也基本是一类人
原以为这人还值得教育下，没想到。。
现在蠢货太多了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:32:20 2013, 美东) 提到:
在你的假设下，合数可能已经无法分解了，比如这里5就是合数
所以你在前面的做法是把它又加进质数集
但这样就破坏了论证过程
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 03:32:46 2013, 美东) 提到:
我没什么可说的了
你继续。
因子
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:33:19 2013, 美东) 提到:
你既然承认他没错, 那他就是没错.
不过我看你的表述, 似乎是想说 "这个在一般情况下是对的, 但是某些时候不完全对",
如果你想这么说的话, 那就是认为他错了.
如果你认为他错了, 你可以进一步回复我, 明确指出 "这个定义是错的".
我可以在下面的回复中给你证明这个定义的合理性和正确性.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:34:57 2013, 美东) 提到:
如果硬要从 "语言和文字" 的角度来回复你的这个看法的话,
我似乎应该这么说:
如果 "素数只有有限个" 是正确的话, 那他本身就应该是 "一般情况", 如果这个 "素
数只有有限个" 是错的 (也就是说不是你所谓的 "一般情况" 了), 那我根本就无需进
一步论证到底哪些是素数, 哪些不是, 因为我证明的目的已经达到了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:35:59 2013, 美东) 提到:
那我换个方式问你吧:
如果我的假设是正确的话, 合数能不能分解?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:37:22 2013, 美东) 提到:
这个定义本身没错，但不能有其他假设在里面
你做了“{p_i}之外都不是质数的假设”
当然也就破坏了定义，或者说需要加强定义
不然就是循环论证
",
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:37:48 2013, 美东) 提到:
所以吧, 我那个想法还真不是空穴来风的.
这几个逻辑掰不清楚的人我目测其中就有CS工作者, 按理说在社会上也是体面的中产阶
级.
普世价值观下的 "正常人", 可以根据逻辑结构进一步分类, 真的不是随便说说玩的...
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 03:38:07 2013, 美东) 提到:
l63，佩服你还能坚持一遍遍的解释
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:38:09 2013, 美东) 提到:
看91楼.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:39:29 2013, 美东) 提到:
如果假设本身是正确的 (也就是说和公理体系相容, 不知道你懂不懂这句数学表述是啥
意思, 应该大致能明白吧), 那他怎么会和本来就正确的定义有冲突呢? 为什么会破坏
定义?
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 03:43:23 2013, 美东) 提到:
daigaku,经常看你的帖子，收益颇多。
I63的证明是对的。他的证明跟欧氏的证明不一样，所以不需要欧氏证明中额外的东西。
有5这个“伪合数”与否不影响他证明的正确性。正如l63所说，
"如果质数只有2和3, 那么7既是质数, 又是合数"
这个statement是正确的（从逻辑学和一般数学证明的意义上）
我想你一定知道逻辑里面，从一个错误的前提出发推出任何结论都不会影响这个
＊推理＊的正确性。比如说，“1＋1=3 ＝＝》地球是方的”这个推理是正确的。
你静下心，稍微想一想，我相信你很快可以想清楚的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:44:11 2013, 美东) 提到:
谢谢.
其实我的动机是, 按照哥德尔的说法, 现代数学公理体系和逻辑也不能自证其合理性 (
不知道我这说的是不是哥德尔的意思, 我也没看过哥德尔的文章), 所以和我逻辑 "相
同" 的人, 我们都不能说明自己是 "正确" 的.
如果 "正常人" 的逻辑真的可以分为不止一类, 而且无法说明其互相间的优劣性的话,
那会是非常劲爆的结果.
就好比非人的物种, 海豚, 猩猩啥的, 你说他们的逻辑和我们人 (这里指和我逻辑体系
相同的那类人) 是一样的吗?
人和人之间的逻辑结构会不会有区分?
很有意思的问题, 茶余饭后值得花时间探索一下.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:44:23 2013, 美东) 提到:
如果你假设质数为有限
那么可以肯定的是，大于p_k的“合数”里有很多不能分解
成为p_1到p_k之间的数
所以你有两个选择
一个是证明它们当中有质数（但你并没有做，所以有漏洞）
一个是证明N不能被它们当中任何一个整除（我觉得可能无法证明 ）
总之这个问题的结论大家都知道是对的
所以关键就看你的论证有没有漏洞
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:46:15 2013, 美东) 提到:
所以你的意思是 "daigaku" 其人, 从其平常的发炎表现来看, 应该算是一个正常的,
理性的人, 对不对?
我真的很倾向于认为: 正常人中的逻辑结构是可以分类的, 不止一类.
否则这么简单清楚的一个小问题, 怎么会让一部分 (看上去平时非常正常的) 人, 和另
一部分人的基本观念不同?
西。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 03:47:58 2013, 美东) 提到:
你的这一层与我的问题无关.
我只是问你, 如果你假设一个命题成立, 并且这个命题在当前公理体系下确实是成立的
,
那么他会不会对你之前认为是正确的所有命题造成 "破坏"?
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unclegua (纯洁的刮叔) 于 (Thu May 23 03:50:34 2013, 美东) 提到:
把已知的质数全部乘起来+1得到的N可能不是质数, 但是却可以证明质数有无限多...因
为不管N是质数还是合数, 我们都已经得至少一个新的质数了.
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 03:51:04 2013, 美东) 提到:
l63，佩服你还能坚持一遍遍的解释
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:53:28 2013, 美东) 提到:
从假设出发，你怎么知道7是质数呢？
“万一”7被5整除的话，那它还是质数吗？（当然现在数小，可以看出来）
从构造假设只能看出7不能被2和3这两个质数整除
西。
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 03:55:18 2013, 美东) 提到:
你这个证明有点绕，感觉不够严密。这样证会更好一些 (给你改进了一下)。
假设：素数只有有限个, 记为 p_1, p_2, ..., p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
显然 N 不能被所有 p_i 整除。（1）
但根据假设，N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某些 p_i 整除。（2）
（1）（2）矛盾，假设不成立。
用不到素数的定义。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 03:56:59 2013, 美东) 提到:
不会
但是“5变成合数以后”，质数的定义显然就变了
应该叫“质数星号”
质数星号不满足你那个性质
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ucr (ucr) 于 (Thu May 23 04:01:02 2013, 美东) 提到:
我也没看过他的文章，你说的这个是他的第二定理，也就是相容性的问题。还有一个定
理是说的不完备性，就是说任何相容的公理体系里总有你不能证明它是真是假的命题。
这种颠覆性的结果是来的很有意思。嗯，多思考多探索才能出有意思的结果！
当然前提是都假设包含了皮亚诺算术公理
(
,
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:02:04 2013, 美东) 提到:
所以说啊，你不能光用N这个构造不能被p_i们整除说事
还得说他如果碰巧是合数，那因子必然有在p_i们之外的
所以质数集元素大于k个
当然也可能是我没理解你的想法
☆─────────────────────────────────────☆
ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:12:01 2013, 美东) 提到:
从假设出发（2，3为所有的质数），再加上定义和other well-known facts, 是可以得
出7是质数的结论的，同7是否被5整除无关。
稍微详细一点说，根据2，3为所有质数的假定，7为合数的＊必要条件＊是7被2或3整除。
如果你一定要考虑7是否被5整除的问题，也可以。那么根据2，3为所有质数的假定，5
一定是合数且5一定会被2或3整除，那么，again，在2，3为所有质数的假定下，7就不
可能被5整除。这个逻辑可以扩展到任何2，3和7之间的数。
那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:12:20 2013, 美东) 提到:
编辑掉, 回复错人了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:17:06 2013, 美东) 提到:
1. 请问1楼的证明是否正确? 你的看法是 "有点绕, 不够严密", 如果严格来说, 你的
意思是不是 "不正确"? 那么请你指出错误的地方.
2. 你这里并未作出任何好的改进, 因为 "N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某
些 p_i 整除。" 这句话依赖的数学命题是 :任何大于一的自然数都有素因子分解, 这
个命题证明的复杂程度和我用到的那个素数的等价定义的复杂程度是差不多的.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:17:55 2013, 美东) 提到:
我顺着你的思路问吧:
在主流数学公理体系下, 5是质数还是合数?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:20:12 2013, 美东) 提到:
引用:
-------
"那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。"
------
结束引用
抱歉, 实在没看懂, 你是如何说明1楼的证明不完整的.
能否说仔细一些? 谢谢.
除。
5
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:21:55 2013, 美东) 提到:
那请问:
从假设出发, 除了2和3, 还有质数吗?
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:22:20 2013, 美东) 提到:
l63的证明跟欧式的证明不一样。如果这里贴的欧氏证明没错的话，欧氏的是构造法，
要构造出一个新的更大的质数。而l63的证明是反证法，不需要考虑任何具体的更大的
质数（或者合数）。
当然你也可以说，l63的以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
somehow implicitly考虑了那些“更大的质数”。但是从这个定义出发，在l63的证明
中确实不需要考虑那些“更大的质数”的。
你觉得这样讲make sense么？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:23:01 2013, 美东) 提到:
5显然是质数
但是你用数学归纳的时候，设定了质数={2,3}
所以你还想说5是质数，就必须证明一下了，这难道不是明摆着的吗
如果你证明了5也是质数，其实就已经完成证明了
（当然需要推广到k个元素的一帮情况）
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:27:37 2013, 美东) 提到:
太晚了，您该休息了。睡个好觉。如果您还想讨论，明天先把这段话再看一遍以后再说
。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:27:49 2013, 美东) 提到:
那么 (接着你106楼的看法),
"5变成合数以后", 我为什么要考虑质数的定义变成什么了呢? 既然5本身就不是合数.
-------
你要搞清楚, 逻辑是这样的:
我假设命题A成立, 最终推出矛盾, 于是知道命题A不成立.
至于命题A "如果成立" 会怎么样, 我根本不需关心.
如果命题A能成立的话 (也就是说A和现有公理体系相容), 那质数的定义又怎么会变呢?
为什么还有什么 "质数星号"?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:29:39 2013, 美东) 提到:
你也可以先解释解释.
另外我不在美国的时区, 现在不是睡觉时间.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:34:10 2013, 美东) 提到:
我的证明中没有用到数学归纳法. 请问你为什么说我用了数学归纳?
那个素数的定义本身是有递归在里面的, 不过你如果承认了其定义的合理性和正确性,
那就没关系了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:37:54 2013, 美东) 提到:
我现在更理解了你的想法
你是想说即使7被5整除，也符合质数的定义，对吧（在假设下）
因为不被2和3整除
这里有个问题，
质数实际上是不被1和本身以外任何“自然数”整除
之所以可以简化为“不被比其小的质数整除”
是考虑到了质因数范围在[2,N-1]都可能，这才成立
你的构造实际上限定了质因数范围在[2,p_k]之间
这已经破坏了等价定义成立的条件，那个等价定义就不能用了
当然，就像我说的，你也可以把自己定义的“质数星号”拿来论证
证明它最后等价于质数或者包含与质数什么的
但是你没有做
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:39:49 2013, 美东) 提到:
这个等价定义隐含条件是“因数可以是小于N的任何数”
一般情况下是对的
但在lz假设下不对
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:45:07 2013, 美东) 提到:
不是归纳，我用词不当
就是说我们讨论这个例子{2,3}的时候，
你怎么还能假设他就是我们日常说的“质数”并用到它的全部性质？
,
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:45:20 2013, 美东) 提到:
如果质数只有2和3, 且2和3都不整除7, 那么根据定义, 7就是质数 (即使5整除7).
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:48:20 2013, 美东) 提到:
请参考质数的“原始定义”
其他推论是有前提的
你的假设破坏了前提
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:49:02 2013, 美东) 提到:
你不懂反证法.
如果假设质数范围在[2,p_k]之间直接就 "破坏了定义", 那这个假设本身就是错的, (
否则怎么可能原先正确的东西变成错的了? 用你的话说叫 "被破坏了".)
所以根本无需考虑这种 "破坏定义" 的情况. 你去考虑这个, 叫庸人自扰. 别人不考虑
, 你不能说别人错, 因为你考虑这个是多余.
这么说你理解了不?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:50:57 2013, 美东) 提到:
一个假设如果能够 "破坏正确的东西", 那这个假设是对的还是错的?
我想你的回答应该是: 假设是错的.
如果已经是错的了, 那我的证明已经完成了. 我何必在他是错的的基础上还要考虑什么
"他破坏了什么什么东西" ?
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 04:51:15 2013, 美东) 提到:
好，那你同意根据lz的质数定义，他的证明完整，没有问题，是吧？
如果是，那我们说等价性的问题。我们可不可以在lz的证明之前，先“证明”lz的定义
和标准定义等价呢？这个证明很简单（比如用递归），并且同质数有穷无穷无关。你觉
得是不是？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:52:55 2013, 美东) 提到:
问题是，你在证明过程中直接用到了那个“等价定义”
我现在告诉你只能用原始定义，因为那个等价定义成立条件被改变了
为什么改变了？因为你的反证假设
你要么死抠原始定义
要么从原始定义出发，用你的假设推出定理
不能再用“素数就是没有比它小的质因数的数”
因为在你的假设下，对质因数的搜索范围太小，跟原始定义不等价了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:54:56 2013, 美东) 提到:
你可以先从原始定义出发推出等价定义. 这一步与假设是什么毫无关系.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:56:43 2013, 美东) 提到:
我认为没法证明“等价”
你怎么证明p_k到N之间的数都不是N的因数
这个太难了
但实际上不用证明等价
前面那谁已经说了，只要证明N的因数都“大于p_k”就行了
lz的主要错误在于认为只要N没有p_k以下的因数就可以了
我指出这不符合素数的“原始定义”
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:57:29 2013, 美东) 提到:
我再把这个问题问一遍, 你直接回答一下:
如果在某个假设下, 本来正确的东西变得错误了 (在这里, 你的表述是 "因为在我的假
设下，对质因数的搜索范围太小，跟原始定义不等价了")
那么, 这个假设, 是对的还是错的?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:58:17 2013, 美东) 提到:
哦, 所以你的问题是不会证明这个定义是素数的一个等价定义?
不会的话可以明确说出来, 我给你补一个证明.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 04:58:19 2013, 美东) 提到:
素数的原始定义（根据维基）：
“
质数，又稱素数，指在一個大於1的自然数中，除了1和此整数自身外，無法被其他自然
数整除的数（也可定義為只有1和本身两个因数的数）。
”
如果7被5整除，那就不是素数。period
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 04:59:56 2013, 美东) 提到:
那么你到底是否承认以下这个定义的正确性?
素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:02:29 2013, 美东) 提到:
只能说明你的论证过程不对
我再重复一遍，N很可能不是素数（根据素数的原始定义）
你的论证是：（1）N是素数；（2）N在k个素数之外。所以反证法成功。
我告诉你（1）就是错的
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:06:39 2013, 美东) 提到:
怎么又来了，我都说了好多遍了
再强调一下你的错误：
你用你的假设推出N是素数，然后说这是第k+1个素数
但实际上根据素数的原始定义，它可能不是素数
为什么你会推出它是素数呢？因为你用了等价定义
但等价定义默认的条件是[2,N-1]之间的质数都可能是质因数
你却只允许[2,p_k]之间的质数是质因数
所以没法用
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:10:33 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑.
我从未在没有任何前提假设的情况下说过 "N=p1*p2*...*pn+1是素数"
我只说 "如果素数只有p1,p2,...,pn, 那么N=p1*p2*...*pn+1是素数"
你究竟是否知道这两句话的区别?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:11:30 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑, 请问我哪一句话说了在前提假设下, N是第k+1个素数?
实际上在前提假设下, 素数不是只有k个吗?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:12:52 2013, 美东) 提到:
我只问你是否认为这个定义正确? 我认为你并没有明确回答.
我想这个定义正确不正确, 和前提假设应该无关系吧?
难道你的观点是, 一句话在主流公理体系下是否正确, 还和你某个证明中的前提假设有
关?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:16:41 2013, 美东) 提到:
你回帖前麻烦先把没看过的楼层都看一遍.
我不厌其烦的再根据你的逻辑问这个 (我已经问了很多遍而你没有回答) 的问题:
如果A正确, 但是在前提假设B下可以推导出A不正确, 那么请问假设B是不是错了?
如果假设B错了, 那我为什么要考虑 "B不正确的话会怎么怎么样" 这种事情? 这是不是
多余?
--------
具体来讲, 在这里, 你的看法是:
本来这个定义 (指1楼中所用的素数的定义) 是对的, 但是在前提假设下, 这个定义的
正确性 "被破坏了" (用标准语言来说, 也就是错了), 那这是不是直接说明前提假设是
错的? 既然前提假设是错的, 那我反证法的目的不是已经达到了?
我再去考虑 "这个定义被破坏了会怎样" 是不是多余? 是不是庸人自扰?
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 05:17:28 2013, 美东) 提到:
即使p_i们都是素数
N也可能不是素数
你说它是素数需要证明（说实话我觉得根本证不出来）
仅仅说它不含p_i当中任何一个因子是不够的
它说不定含有 p_n+444 这个因子呢（瞎说的哈）
但实际上你不用证明N在此条件下是素数也能完成证明
前面说了
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:17:57 2013, 美东) 提到:
试问, 在前提假设 (质数只有p_1,p_2,...,p_k这k个) 下,
[2,N-1]内的质数, 和[2,p_k]内的质数有什么区别?
你考虑[2,N-1]这个区间, 是不是多余?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:20:51 2013, 美东) 提到:
真怀疑你是否看过证明
一楼原文如下:
----------
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
---------
其中是不是说明了, 在这个前提假设下, N就是素数?
只有这么几行, 看起来也不麻烦. 你居然都会认为我没证明 "在前提假设下, N是素数"
.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:23:04 2013, 美东) 提到:
试问, p_n+444 是不是素数? 如果不是素数, 他有没有素因子? 如果他有素因子 (称为
r), 那r是不是N的素因子?
而且这个推理本身根本和1楼的证明毫无关系.
证明素数的等价定义时或许会用到, 但是我不明白既然你已经承认定义的合理性了, 为
什么用的时候要去怀疑他.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 05:25:25 2013, 美东) 提到:
"但实际上你不用证明N在此条件下是素数也能完成证明"
我从未说过只有证明N在此条件下是素数才能完成证明.
---------
我只是问你1楼的证明对不对.
你如果认为不对, 那就得指出问题所在.
这么简单的逻辑关系, 真的会有人看不懂吗?
☆─────────────────────────────────────☆
gushe (波娃) 于 (Thu May 23 08:44:03 2013, 美东) 提到:
难道我的理解有问题？如果p-k到n之间的数是合数，那么这个数必然能被分解，n不能
被假设的所有的质数整除，那么也不能被之间的合数整除，如果之间的数是质数，那么
不论能不能整除，都得到另一个质数了
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 08:52:37 2013, 美东) 提到:
我也认为这个证明有误。最后你推导不出N是素数。它可能是个合数，但包括一个素因
子不属于{p_1, ..., p_k}，于是这个素因子成为新发现的素数。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:04:22 2013, 美东) 提到:
而且，上面证明的最后一步，依赖于算术基本定理。
The Fundamental Theorem of Arithmetic: Any integer greater than 1 is either
a prime number, or can be written as a unique product of prime numbers (
ignoring the order).
而算术基本定理的证明，又依赖于欧拉引理或者称为欧拉第一定理
Euclid's lemma: Let p be a prime number, and assume p divides the product of
two integers a and b. (In symbols this is written p|ab. Its negation, p
does not divide ab is written p∤ab.)
Then p|a or p|b (or both).
以上一系列的证明，并不依赖于“素数有无穷多个”这个假设。
我看了半天，所有楼上的，没一个是学数学的。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:07:11 2013, 美东) 提到:
你不要认为你推导不出, 别人就推导不出.
----
素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
-----
承不承认这个定义的合理性?
如果承认的话, 那请指出1楼证明的问题所在.
请问如果在这个假设下, 推导不出N是素数.
那么一楼第六行那个 "N是素数" 之前必然至少有某处是错的, 请问是哪一处?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:09:42 2013, 美东) 提到:
就这水平还好意思判断别人是不是学数学的.
你可以说我使用的那个素数的定义的合理性是依赖于Fundamental Theorem of
Arithmetic的, 但是你不能说那个定义是错的, 或者1楼的证明是错的.
你是学数学的? 你要是学数学的, 数学学成这样, 其实挺丢人.
either
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:11:39 2013, 美东) 提到:
在一个错误的假设下, N可能是合数, 不代表N就不可能是素数.
出现这种荒诞结果的原因是: 假设是错的!
基本逻辑都搞不懂, 居然敢断言楼上所有人都不是学数学的, 可笑.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:13:10 2013, 美东) 提到:
你这个素数的定义不对，是根据素数定义的一个推论。本身需要证明。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:13:31 2013, 美东) 提到:
注: 152楼的表述有误.
应该这么说:
在一个错误的假设下, N有可能是合数, 不代表 "N一定是素数" 是错的.
出现这种荒诞结果的原因是: 假设是错的.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:14:31 2013, 美东) 提到:
所以你的问题在于, 质疑我给出的这个素数定义不对?
我可以证明给你看, 这是素数的一个等价定义.
需要看看不?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:16:15 2013, 美东) 提到:
另外, 一个东西 "需要证明" 不代表他 "不对".
这么基本的事情, 你难道都理解不了?
我看你的表述, 似乎就是在说 "你这个东西不对, 他需要证明"
"命题A需要证明" 可以作为 "命题A不对" 的理由吗?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:18:15 2013, 美东) 提到:
"在一个错误的假设下, N有可能是合数, 不代表 "N一定是素数" 是错的. "
你这已经自相矛盾了。在错误的假设下，你认可N可能是合数。既然N可能是合数，那你
说N一定是素数的推断不对。
我的表述是，在错误的前提下，N可能是素数，那就得出矛盾。N也可能是合数，但根据
算术基本定理，这个合数有一个不属于以前素数的素因子，从而找到新的素数，同样是
矛盾。于是说明这个前提是错误的。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:21:50 2013, 美东) 提到:
你也是个逻辑有问题的.
(好, 我不那么武断, 改成: 你也是个在我眼中逻辑有问题的. )
我问你:
--------
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
--------
这句话对不对?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:22:50 2013, 美东) 提到:
什么叫定义？数学中，一个定义可以推导出很多等价定义。而你的定义是有问题的。
你对素数的定义是
a是素数 <==> a是大于一的整数，a不能被小于a的素数整除。
你仔细看看，这个定义有问题么？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:24:34 2013, 美东) 提到:
你说的证明是正确的, 不代表我的证明就是错误的.
你如果认为我的证明错误, 你就应该指出错误的地方, 而不是说一个不相关的正确的证
明.
-------
这就好比, 我说: "姚明是个男人"
你说: "不, 你说的不对, 郭敬明是男人"
我问你: "为什么我说的不对"
你说: "因为郭敬明是男人. 你认同郭敬明是男人吧?"
我说: "我认同."
你说: "所以你之前是错的."
-------
你现在我看就是这个逻辑.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:25:16 2013, 美东) 提到:
所以你是说这个定义是错的吗?
请问你需要我给你证明一下这个定义是对的吗?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:25:23 2013, 美东) 提到:
这句话当然不对。你应该不是学数学的，这么简单的问题，你现在也没发现。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:26:08 2013, 美东) 提到:
啊哈哈, 你真的是学数学的吗?
这下你丢人真丢大了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:27:00 2013, 美东) 提到:
你给说说素数是怎么定义的吧.
我给你往这个等价定义上推导.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:30:03 2013, 美东) 提到:
看来只好我教教你了。
你的定义，是用素数来定义素数，犯了循环定义的错误。
你称一个数a为素数，就是a大于1，且不能被小于它的素数整除。可是我问你，什么叫
“小于它的素数”。你定义的时候，已认可另外一个定义”小于它的素数“。这种定义
的错误，学数学的人不会犯。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:30:50 2013, 美东) 提到:
看来只好我教教你了。
你的定义，是用素数来定义素数，犯了循环定义的错误。
你称一个数a为素数，就是a大于1，且不能被小于它的素数整除。可是我问你，什么叫
“小于它的素数”。你定义的时候，已认可另外一个定义”小于它的素数“。这种定义
的错误，学数学的人不会犯。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:35:34 2013, 美东) 提到:
真正素数的定义，是指一个大于1的自然数，只能被1和自己整除。这个定义，是建立在
对自然数的定义之上。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:36:59 2013, 美东) 提到:
从这个素数的定义，当然可以推出一个素数不能被任何比自己小的素数整除。所以，你
的这个结果，是根据素数定义得到的推论，本身不能用来当定义。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:38:18 2013, 美东) 提到:
好好学学什么叫递归再出来混吧.
这个定义就是一个递归的定义.
我定义a是不是素数的时候, 只用到了比a小的数的性质, 怎么就循环定义呢?
给你举个例子:
根据我的定义判断5是不是素数:
首先5>1, 其次, 需要找出比5小的自然数中的素数, 我们依次来看:
2是素数吗? 2大于1, 并且没有比2小的素数 (这是因为比2小的自然数最大只能是1, 而
素数要大于1), 所以不存在比2小的素数, 2自然就不会被比2小的素数整除, 于是2是素
数.
3是素数吗? 3大于1, 比3小的素数, 根据如上陈述, 可知, 只有2, 但是2不整除3, 于
是3是素数.
4是素数吗? 4大于1, 但是4被2整除, 2是素数, 于是4不是素数.
我们找出了比5小的所有素数, 即2,3, 并且我们知道, 2和3都不整除5, 所以5是素数.
看懂了没? 哪里有循环定义?
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:42:28 2013, 美东) 提到:
莫名其妙啊。你文科生？ lz列的证明的是反证法，你用来证明N是合数是循环论证。狗
屁不通。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:43:26 2013, 美东) 提到:
这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:44:20 2013, 美东) 提到:
你想要递归定义，就得有终止条件。也就是你要定义第一个素数。
根据你的递归定义，要加上一条，强制规定2就是素数。否则，你如何证明没有比2小的
素数。
看来你是学计算机的，没有学数学的严谨。
那按照你的递归定义，素数是递归定义出来的，而第一个素数2是强制规定的。你要玩
算法可以，玩数学就不行了。
你要如此，我来问你，你如何定义自然数？如何定义整数？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:46:27 2013, 美东) 提到:
用定义还是用推论不影响证明的过程。因为要证明的是无穷性，并不是什么是素数。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:48:20 2013, 美东) 提到:
眼睛瞎吗?
不会根据定义判断2是不是素数吗?
我再写一遍, 或者你回去重读169楼也可以.
如何用我的定义判断2是不是素数:
2>1, 成立.
考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然数
,
故不存在比2小的素数.
于是2不被任何小于2的素数整除.
于是2是素数.
--------
能看懂不?
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:49:37 2013, 美东) 提到:
这个推论不能当成定义。要用就用素数原始的定义。
证明的过程用了不当的定义，整个证明就有了问题。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:51:13 2013, 美东) 提到:
素数定义不是靠人说了算的。所以楼主的确用词不当，不应该说是定义。但是除此以外
，没有什么问题。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:52:03 2013, 美东) 提到:
与推论矛盾照样是反证。不一定要与定义矛盾才是反证。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:52:15 2013, 美东) 提到:
当然不对。你不定义好素数，又如何定义合数。那何来的”不是素数就必是合数“这个
命题？
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:54:38 2013, 美东) 提到:
如果用素数的推论的话，那么从素数的定义，就可以推导出有无穷多个素数，那还证什
么。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:56:42 2013, 美东) 提到:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
你认为需要证明这个么？
你就是认为lz少了一步对此的证明是吧？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:57:44 2013, 美东) 提到:
我只问你这个证明对不对.
我未列举出素数和合数的定义, 自然是默认主流的定义, 我证明中使用的都是别人已经
证明为正确的结果.
这里并未从素数的定义出发来证明所有命题, 包括Fundamental Theorem of
Arithmetic, 我都没有证明, 是直接使用的, 但是我用到的所有步骤, 你敢说哪一步是
错的吗?
你如果认为证明不对, 请你指出其中哪一步推导是错误的.
如果你认为证明是正确的, 那么请你承认:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 09:58:40 2013, 美东) 提到:
你只能用=>，不能用<=>
如果你想用<=>，那前提是已明确素数的定义了，然后产生几个等价命题。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 09:59:14 2013, 美东) 提到:
你可以说我1楼的证明 "很低级" "很麻烦"
但是你如果要说他 "是错的", 那请指出错误的地方. 不要用我160楼提到的那种低水准
的伎俩.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 09:59:34 2013, 美东) 提到:
推论是从定义出发证明出来的。你可以说素数无穷是推论。但你如果要证明此推论，那
么此推论不能用来作为证明的前提。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:00:47 2013, 美东) 提到:
素数定义当然是明确的，而且是公认的，不是靠人来说的。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:01:32 2013, 美东) 提到:
证明自己定义出来的“素数”而不是公认定出来的“素数”的无穷性有任何意义么？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:01:35 2013, 美东) 提到:
不, 定义当然是人说了算的.
只是有一个主流的定义大多数人都认可而已.
在这个基础上还可能有若干等价的定义.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:02:31 2013, 美东) 提到:
如果你的定义不是公认的或主流的定义，那你必须先证明他和主流定义等价。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:03:00 2013, 美东) 提到:
顺便说一句, 意识到自己的错误的时候麻烦回帖知会一声, 别像今天其他几个人一样,
发现错了就灰溜溜的跑了, 屁都不敢放一个.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:04:14 2013, 美东) 提到:
那当然,
在171楼中, 我已经用一些公认正确的命题, 给xiongyp证明了我的定义是和主流定义等
价的.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:04:37 2013, 美东) 提到:
所谓定义，就是不需要证明的。靠证明推出的是推论，不是定义。
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ghxiao (bridgelover) 于 (Thu May 23 10:04:46 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是，N是素数这个结论是不是正确和证明这个命题是不相关的？只要它和
原来的假设矛盾就行了？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:07:58 2013, 美东) 提到:
推论也要定义也好，等价就行。这有点像玩文字游戏
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:10:07 2013, 美东) 提到:
对.
具体来说是这样的:
"如果素数只有 p_1,p_2,...,p_k, 那么 p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话是对的
.
"p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话我从来没在缺乏前提假设的条件下说过, 至于
其正确性, 与我的证明无关.
前n个素数的连乘积+1当然有可能是合数, 比如2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509, 但这
根本不能说明1楼的证明本身是错的, 有些人连这一点都绕不过去, 我觉得很可笑.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:12:10 2013, 美东) 提到:
你证明的整个思路是没问题的，但有不严谨的地方。你能过素数的原始定义，得到一些
等价出来的正确的命题，然后用这个命题来证明最后的结论，是没问题的。问题在于你
给出的称为素数的定义
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
是不严谨的。
你既然用你称为"默认主流的定义", 就应该用这个定义来进行反证。可是你却要用别人
证明了正确的结果，这使得整个证明的美观性大打折扣。
你知道集合论中的罗素悖论吧？这个悖论就是用集合本身的定义来否定集体论本身。他
给出集合定义{x|x does not belong to x}，结果证明这不是集合，也是反证法。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:16:36 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我只问你证明的对错.
既然你说 "不严谨", 那想必是 "有错" 了?
学数学的人从来不屑于说 "不严谨" 这个词, 你认为有错, 那么就指出错误所在.
扯不出1楼证明错在哪里, 连罗素悖论都开始用上了? 呵呵, 节操呢?
PS: 那个递归定义看懂没? 循环定义在哪呢? 还求您老指点呀.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:16:56 2013, 美东) 提到:
作为一个学数学的人, 不敢承认自己的错误, 是可耻的.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:17:16 2013, 美东) 提到:
反证法，只要证明过程逻辑没错误，证明出矛盾就成了。既然有矛盾，过程中肯定有假
命题出现。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:18:01 2013, 美东) 提到:
拍个照.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:18:58 2013, 美东) 提到:
反证法的思想，就是以子之矛，攻子之盾。而楼主的做法，是把矛重新打造成了一把同
样锋利的刀，再来攻子这盾。当然，以后我们就不叫矛盾了，改刀盾了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:21:33 2013, 美东) 提到:
另外, 求您老给来一个 "素数有无穷多个" 的 "美观" 的证明方法.
记住, 千万别用反证法哟~ 因为罗素悖论告诉你, 反证法都是错的.
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:21:50 2013, 美东) 提到:
我反复强调了，你的错误在下面这句话。
"由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
我的理解，就是你认为素数的定义为
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
那自然是错误的，不能这么定义素数的。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:22:24 2013, 美东) 提到:
我也拍个照
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:23:39 2013, 美东) 提到:
再拍个照。
我什么时候说过罗素悖论说反证法是错的啊？罗素悖论是反证法的一个经典案例。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:23:50 2013, 美东) 提到:
谁告诉你不能这么定义素数?
我之前已经证明了这么定义素数的合理性, 你既然不看, 那怪谁?
打回去重看169楼, 171楼, 174楼.
如果还有疑问, 请留言.
如果认为这个定义不对, 请明确指出哪里不对.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:27:00 2013, 美东) 提到:
好, 那么反证法没错, 你既然认为反证法没错, 你195楼屁叨叨屁叨叨说半天的目的是
什么? 我看你啥都没说.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:27:47 2013, 美东) 提到:
我已经说了, 您老说我的证明 "低档次","太繁琐","没水平" 都可以, 我接受, 毕竟您
老厉害呀!
但是您老要是说我的证明 "错误" (同类词语 "有误","不对","不完备","不严谨" 等等
), 那还烦请您老指出错误所在哟~
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 10:28:27 2013, 美东) 提到:
我觉得你现在在讨论语文错误而非数学错误，争论的只是推论还是定义。不觉得太无聊
了么。如果不用语言纯用数字逻辑符号来证明，就一点问题也没有了。所以lz的证明逻
辑完全没有问题，最多就是描述上可能有一点问题。所以就这个问题提出异议的都是鸡
蛋里挑骨头，故意找茬。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:33:42 2013, 美东) 提到:
我在172，178已反驳过
再反驳你说的174楼，2是素数的问题。
这是你的原话在174楼
[考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然
数]
注意，你考察2的时候，还没素数定义呢。
可是你却说"素数要求是自然数, 且大于1"，这个说法来自于素数的原始定义，也就是
公认的定义，并由此你推断出2是素数。也就是说，最开始的素数2，是由原始定义来证
明出来的，而不是你所谓的定义得到的。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:35:04 2013, 美东) 提到:
抛开定义不说, 一句话是不是定义, 和他 (在主流数学体系下) 是对的还是错的, 没有
关系吧?
你干脆告诉我:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题是对的还
是错的就行了, 然后再告诉我, 如果他是对的, 那我在一个证明里能不能用.
如果他是错的, 说出错在哪.
你之前所谓的 "循环定义" 我已经在169楼和174楼做出了 (我认为) 明确的回复. 我不
知道你是否还认为这个有 "循环定义" 的问题? 如果你认为有, 麻烦指出169楼中的错
误.
如果你认为没有 "循环定义" 的问题, 麻烦指出其他问题.
--------
另外, 作为一个学数学的, 我认为最基本的素养是能够承认自己的错误, 比如就目前情
况来看, 你没有对 "循环定义" 这个问题做任何后续说明, 我姑且认为你已经知道了自
己的错误 (当然这只是我的猜测), 如果你已经知道自己错了, 还不说出来, 那我以你
为耻.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:36:35 2013, 美东) 提到:
你在
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
这句话里难道看不到 "素数要求是自然数, 且大于1" ?
我说你眼瞎不冤枉你吧.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:40:43 2013, 美东) 提到:
好，我就用英文表达楼主的关键性错误
"由素数的定义:
According to the definition of prime numbers,
We say a is a prime number if and only if a is a natural number greater than
1 and a can not be divided by any prime numbers less than a.
If this definition works, then I can define an irrational number
We say b is an irrational number if and only if be can be expressed as a
limit of irrational numbers.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:47:05 2013, 美东) 提到:
那你的表述就应该是这样的。
在大于的自然数中
a是素数 <=> a不被任何小于a的素数整除
即便这样定义，依然有问题
比如说2，根据你的说法，不存在小于2的素数。而你要求"不被任何小于a的素数整除"
已无法验证。因为小于2的素数为空集。这个时候，你如何证明2是素数。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:49:23 2013, 美东) 提到:
你的If是错的.
你定义b 是 irrational number的时候, 用到了irrational number, 而定义中的
irrational number你无法判定 (至少我认为你无法判定)
而我定义a是素数的时候, 我只用到了 "比a小的自然数中的素数" 的性质, 而我是可以
判定哪些比a小的自然数是素数的.
-------
另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
可以是无理数的, 有理数列的极限也可能是无理数.
不过这个问题与你本来的目的无关, 指出你这个错误也没什么意思, 我就不多说了.
than
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:54:28 2013, 美东) 提到:
首先你这多此一举我就不说了.
还是那句话, 你要指出我的错误, 应直接说出错误的地方, 而不是换一种同样正确的说
法, 这毫无意义.
其次, 没有小于2的素数, 自然2不被任何小于2的素数整除, 这句话难道你不懂?
你真的是学数学的吗?
看看以下这个命题对不对吧, 以辅助我判断一下你的数学水平:
"对于任意a∈∅, a是自然数."
如果你觉得不对, 那可以看一下这句话的符号化表述:
a∈∅ -> a∈ N
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:55:50 2013, 美东) 提到:
[另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
That is true. But it does not conflict my definition. An irrational number
can be a limit of rational series or irrational series. But the limit of
irrational series must be an irrational.
[而我是可以判定哪些比a小的自然数是素数的.]
How?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:57:09 2013, 美东) 提到:
p_i除N的余数是1, 不是0, 所以p_i不能整除 N
不需要去讨论大于p_k之后的数和N的整除关系, 因为已经假定了素数只有p_1,p_2,...,
p_k, 我只需要找素因子就可以 (请看一楼中素数的定义).
懂了没?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 10:57:57 2013, 美东) 提到:
"How?"
我169楼的例子白写了吗?
限才
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:58:00 2013, 美东) 提到:
"对于任意a∈∅, a是自然数."
It is definitely wrong. ∅ means the empty set, right?
If a belongs to an empty set, a is nothing. It is not a natural number at
all.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 10:59:20 2013, 美东) 提到:
我172反驳的贴子也白写了吗？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:00:05 2013, 美东) 提到:
修改掉, 在下面楼回复.
限才
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:02:10 2013, 美东) 提到:
所以你的意思是
a∈∅ -> a∈ N
是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 11:02:19 2013, 美东) 提到:
(1) The definition I used for Composite Numbers is its original definition,
trivial and obvious.
(2) The definition you used for Prime Numbers is not conventional. I would
say it nontrivial for an easy and simple proof problem like this.
(3) The definition you provided for Prime Numbers itself does not
automatically imply N is a prime number. It has to be clearly stated that it
must be in combination with the initial assumption that p_1, p_2, ..., p_k
are all the prime numbers that are less than N and the fact that N is not
divisible by any of them. In my view, that is a nontrivial logic leap in
your proof, considering the small size and magnitude of the problem itself.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 11:03:42 2013, 美东) 提到:
174楼看不懂?
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:04:38 2013, 美东) 提到:
楼主对素数的递归定义，用的显然是数学归纳法。假设2是素数，那一切比2大的自然数
如果不能被任何比它小的素数整除，那必然也是素数。这个定义是没有问题的。但这个
定义要首先证明2是素数，这就要用原始素数定义了。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:06:07 2013, 美东) 提到:
楼主对素数的递归定义，用的显然是数学归纳法。假设2是素数，那一切比2大的自然数
如果不能被任何比它小的素数整除，那必然也是素数。这个定义是没有问题的。但这个
定义要首先证明2是素数，这就要用原始素数定义了。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:07:05 2013, 美东) 提到:
Yes.
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:17:39 2013, 美东) 提到:
no, 如果前提为假命题，所有结论都为真。看来你没学过逻辑学。
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 11:17:44 2013, 美东) 提到:
大哥 我看不下去了。。。你真是学数学的么？学CS的也不是把。。。
对空集元素的任何命题都是正确的。。。N多证明最后都需要用到对于空集结论成立（
trivial）。。。
vacuous truth。。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:25:51 2013, 美东) 提到:
我承认错误，这个结论我写错了，真诚道歉。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:28:19 2013, 美东) 提到:
但我坚持楼主定义不对。还是对2是素数的讨论。
因为找不到比2小的素数，所以2就是素数。
这是楼主的结论，这个大家认同吗？
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:37:45 2013, 美东) 提到:
lz是对的。
反证法： 按照lz定义，如果2不是素数，那么存在比2小的素数可以整除2。比2小的自
然数只有1。 1不是素数。矛盾。
所以2是素数。
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Thu May 23 11:40:55 2013, 美东) 提到:
这方法能证3是素数吗？
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:43:15 2013, 美东) 提到:
我认为可以。5，7，11，多大都可以证。穷举法。只是太大的数字，穷举法太麻烦，所
以用递归，正确的说法是数学归纳法。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:45:47 2013, 美东) 提到:
问题恰好在这里
我们做个集合X={比2小的素数}.结果发现这个集合为空，所以证明2是素数。表面看是
没问题，仔细看，问题大了。
我再三强调，在证明2是否为素数前，我们并没有素数的概念。因为楼主是递归定义的
。既然没有素数的概念，又何来小于2的素数集合呢？
这个时候是定义的问题，不是反证法的问题。包括罗素悖论，都是建立在对集合论的定
义基础之上。
我请大家冷静的想我下面的这个命题。这是仿造楼主的定义。
a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 11:46:29 2013, 美东) 提到:
大哥~你别硬撑了。。。lz定义没问题啊。。。
recursive到2的时候，根据lz定义需要判断2能不能被任意比2小的素数整除。而比2小
的自然数只有1，而根据定义1不是素数，因此满足条件的素数的集合是空集，那么命题
：所有属于空集的素数都无法整除2 恒为真，证毕
☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:47:46 2013, 美东) 提到:
有素数概念啊，如果认为符合lz定义的就是素数: a是大于1的自然数，而且不能被小
于a的素数整除。
☆─────────────────────────────────────☆
bairen (败人) 于 (Thu May 23 11:48:26 2013, 美东) 提到:
围观之
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:49:25 2013, 美东) 提到:
那楼上看看我能不能如下定义。我仅仅加了一个字”奇“。
a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。
☆─────────────────────────────────────☆
dangran (当当当) 于 (Thu May 23 11:51:53 2013, 美东) 提到:
...
你那个N不是素数。。。
☆─────────────────────────────────────☆
bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 11:53:17 2013, 美东) 提到:
我觉得你没必要使用素数的等价定义，把简单问题复杂化了。别人只是指出了这一点，
但是你不肯承认。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 11:54:36 2013, 美东) 提到:
既然能recursive到2，为什么不能recursive到3？我同样有递归如下定义，是否也能成
为素数的定义。我这个定义就是recursive到3
"a是素数 <=> a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。"
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:55:43 2013, 美东) 提到:
这是你定义的素数，不是公认定义的素数。和公认定义的素数不等价。但也可以用相同
方法证明其无穷性。有问题么？
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 11:56:40 2013, 美东) 提到:
N是偶数？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:58:39 2013, 美东) 提到:
有没有必要和对错完全是两个概念
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 11:59:44 2013, 美东) 提到:
不是素数但又是素数，所以才矛盾
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:01:20 2013, 美东) 提到:
文科生就别凑热闹了
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:03:23 2013, 美东) 提到:
真2
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:04:48 2013, 美东) 提到:
太欢乐了，这儿
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:05:44 2013, 美东) 提到:
我强调多次，这个定义是循环定义。预先知道什么叫素数了，再找个推论。
(1) "a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素
数。
(2) "a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素数。
(1)和(2)都是递归定义. (1)不全，漏了2。(2)是全的。这说明递归在数学上不能当成
定义，只能当成数学归纳法用来证明一个命题。而且，递归的初始条件，是靠定义来完
成的。
比如说证明2是素数，是根据素数定义，说一个大于1的自然数只能被1和其本身整除。2
正好满足这一定义，这才是证明2是素数的根据。并由此展开数学归纳法，就可以证明
凡是大于1而不能被比自己小的素数整除的，必是素数。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:06:30 2013, 美东) 提到:
N = p_1*p_2*...*p_k + 1
我是文科生，请教一下。
既然N是偶数，那就不是素数
那有限个素数不是还成立吗
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:07:07 2013, 美东) 提到:
come on, 2 is a prime number, so N must be odd
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:07:52 2013, 美东) 提到:
而楼主用小于2的素数集合为空集来证明2是素数，这绝对错误。你在不知道什么是素数
的情况下，居然去定义一个素数集合，已自相矛盾了。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:08:16 2013, 美东) 提到:
如果使用了这个等价定义，必须先要证明，不能省略。但是在lz给出的原证明并没有出
现，那么这个证明是建立在两个假设上的：
1.一个自然数如果只能被1和自己整除就是素数 《=》 一个自然数不能被小于自己的任
何素数整除（最小的素数是2）就是素数
2.只有有限多个素数
反证的结论应该是两个假设至少有一个不为真，而不是2不为真
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:09:26 2013, 美东) 提到:
在你这个定义下，2不是素数，因此不能成为大家公认的素数定义。另外这个lz的证明
有关系？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:09:34 2013, 美东) 提到:
递归定义不是不可以啊，递归只要能追溯到源头就行。而且此定义与公认定义等价，有
什么不可以的呢。递归和循环不是一个概念。递归证明叫数学归纳法是可以的，循环的
叫循环论证是无理的。
数。
。2
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 12:10:32 2013, 美东) 提到:
（1）首先，题目很小。引用素数的非常规定义，杀猪用牛刀。只会是证明复杂化。
（2）其次，你这个非常规定义本身并不自动暗示N是素数。N满足定义才能说N是素数。
你对素数的定义：不被任何小于它的素数整除且大于1的自然数。这里你漏掉了N是如何
满足你这个定义的这个关键环节而直接得出N是素数。这个属于逻辑跳跃。这里需要清
楚写明：
（A）N为大于1的自然数，这个trivial，不必多言。
（B）根据原始假设，p_i （i=1,2，。。。，k）是小于N的所有素数。这个很关键。
（C）N不能被所有p_i整除。这个前面已有结论。
基于（A)(B)(C)三点，才可得出N是素数的结论，与原始假设矛盾。实际上反证法不必
要求与原始假设矛盾，出来的任何矛盾都可否定原始假设。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:11:26 2013, 美东) 提到:
你如果不承认（1）是对的，需要楼主证明，那的确楼主应该证明。但楼主认为大家对
（1）是承认的，所以省略了证明。他后来补充了证明。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:14:04 2013, 美东) 提到:
google了一下，N可以是素数或者合数。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，该
证明方法如下：
假设只有有限个素数。p1,p2....,pN
令N=p1*p2*...*pN,
那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1,p2,....pN，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数
是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集
合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:14:34 2013, 美东) 提到:
我觉得此证明比欧几里得的要简单。你觉得有更简单的证明？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:15:52 2013, 美东) 提到:
对你彻底无语了
，该
约数
中。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:17:58 2013, 美东) 提到:
我觉得开始几个人就是指出了1不能不证自明。最初的确是lz没有承认，不管是没意识
到还是没明白。如果把1的证明补上了就没有问题。即使如此，这个证明复杂化了，尽
管没错。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:18:58 2013, 美东) 提到:
如果大家承认（1），这个证明不就简单化了？ 你觉得最简单的证明是什么？
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luobo (菠萝) 于 (Thu May 23 12:20:55 2013, 美东) 提到:
See my previous post.
假设：素数只有有限个, 记为 p_1, p_2, ..., p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
显然 N 不能被所有 p_i 整除。（1）
但根据假设，N必为合数，必为已有素数之积，即必可被某些 p_i 整除。（2）
（1）（2）矛盾，假设不成立。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 12:22:08 2013, 美东) 提到:
,
拜托你别现了。我们要睡觉不像你在某个其它的时区。
你逻辑确实强大的狠，不回复你了就说“发现错了灰溜溜的跑了”。嗯，你确实逻辑强
大到了自我脑补的境地了，不奇怪。你就再脑补一下：“如果那几个反对的人不再回复
，是因为lz太蠢了，大家觉得和他说话很丢份”。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:23:49 2013, 美东) 提到:
我一直指出的是楼主在素数定义中犯的错误。用素数定义素数，是不行的。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:24:19 2013, 美东) 提到:
用空集是为了让你更好理解，也可以不用空集
这么说，我们要判断2是不是素数，lz定义，需判断能否被大于0小于2的素数整除。
那么满足大于0小于2的数只有1，1不是素数已知，所以2不能被大于0小于2的素数整除
，所以2是素数，这有问题？
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:24:46 2013, 美东) 提到:
只是最后几步简单了一点，完整的证明是复杂化了，没有必要。但是这不是这里讨论的
问题，我们就不要偏楼了。
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omgpop (不忍睹) 于 (Thu May 23 12:24:55 2013, 美东) 提到:
你好像被两个神仙玩得不轻啊，你被人消费悲愤了。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 12:27:44 2013, 美东) 提到:
我完全同意你的观点。。。不过很遗憾，你应该也进到lz的不正常人list里了。但是，
谁会在乎呢？嘿嘿
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:28:09 2013, 美东) 提到:
民科就是民科，
素数定义不对，正确的是：
素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数
你不能认为N就是素数。
需要证明N不能被所有其他自然数整除
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:29:21 2013, 美东) 提到:
"1不是素数已知"
怎么知道的？是来自素数本身的定义。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:29:30 2013, 美东) 提到:
同意，楼主民科，鉴定完毕。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:32:25 2013, 美东) 提到:
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
楼主继续。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:32:34 2013, 美东) 提到:
A natural number is called a prime or a prime number if it has exactly two
positive divisors, 1 and itself.
根据这个大众认可的定义，1被排除在素数之外。没有这个标准定义，1是无法被排除在
外的。可是楼主直接引用了这个前提。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:32:45 2013, 美东) 提到:
如果lz把"定义"两字改成"推论", 你觉得怎么样？
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:34:56 2013, 美东) 提到:
怎么改也没有
因为是错的
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:35:19 2013, 美东) 提到:
这样我就没有异议了。
如果楼主说，根据素数定义，有以下推论。
"a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。"
这样我没有任何异议。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 12:38:54 2013, 美东) 提到:
如果你说1不是素数这个需要证明。。。那我们无法讨论了。。。
直接无视我把。。。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 12:39:34 2013, 美东) 提到:
我只好无视你了。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:42:19 2013, 美东) 提到:
你用到的: N可被某些 p_i 整除=>N为合数
lz用到的: N不可被任何p_i 整除=>N为素数
没啥差别啊
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 12:43:37 2013, 美东) 提到:
文科生一边凉快去
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 12:45:03 2013, 美东) 提到:
no, lz used "any KNOWN prime number"
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:45:36 2013, 美东) 提到:
有区别
你的pi只是从p1到pN, N=p1*p2*...*PN+1
N虽然不能被pi整除，但是N可以被pi以外的书整除
因为你的pi不是最大的素数。
所以N不是素数！
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:46:30 2013, 美东) 提到:
我把反例都给你找出来了，你还嘴硬。。
民科果然厉害！
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:51:50 2013, 美东) 提到:
LZ说N不能被小于N的任何素数整除
你的例子与LZ说的不是一码事。
咱俩都是学文科的，我来给你解释下
LZ假设素数是有限的，只存p1到pn个素数。
把所有的素数乘起来加1，却得到第n+1个素数，
所以只有n个素数是错的
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:53:35 2013, 美东) 提到:
。。。
楼主说素数的积+1还是素数
我告诉他不是，
因为2*3*5*7*11*13+1=30031 就不是素数，30031=59*509
这个新的数是个合数，
所以楼主并没有得到第n+1个素数。
-----------------------------------
不要被民科迷惑了，民科有时候很绕的
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 12:55:14 2013, 美东) 提到:
素数的积还是素数，在这里是有前提的
这个积是所有素数的积，不是部分素数的积
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 12:59:23 2013, 美东) 提到:
当然是所有的素数
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37...
一个没有遗漏
2*3+1=7 是素数
2*3*5+1=31 是素数
2*3*5*7+1=211 是素数
2*3*5*7*11+1=2311 是素数
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:01:23 2013, 美东) 提到:
你这个只能说明，素数的范围超出2,3,5,7,11 and 13
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:07:05 2013, 美东) 提到:
。。。
楼主的证明是这样的
假设世界上只有N个素数，
那么把这N个素数都乘起来再加1，
就会得到一个新的素数，
这说明世界上不只有N个素数。
------------------------------------
这个证明不对
因为N个素数的乘积+1可以不是素数。
反例就是N=6的时候，6个素数乘积+1不是素数
----------------------------------
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:07:24 2013, 美东) 提到:
你根本没搞清楚他们在讨论什么问题，你还是把所有帖子看过一遍再来说话吧
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:08:49 2013, 美东) 提到:
你看过了，你说说他们在讨论什么问题。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:09:16 2013, 美东) 提到:
你再说说我们在讨论什么问题？
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:10:35 2013, 美东) 提到:
你说的跟他们根本不是一回事，你自己回去看看就知道了
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:10:56 2013, 美东) 提到:
那么你说说到底是怎么一回事吧
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 13:12:43 2013, 美东) 提到:
他们说了几百楼，我没时间给你讲解，你自己去看看吧
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:14:15 2013, 美东) 提到:
你是用传统素数的定义，可没注意到楼主用了一个很绕的所谓定义。他定义，凡是不能
被任何小于这个数的素数整除的，就必是素数了。因为他假设一共有k个素数p_1, ...,
p_k, 那么当我们获得N=p_1*...*p_k+1时，N不能被任何一个小于它的素数(其实也就
是所有的素数)整除，于是N为素数。
大家都被他这个所谓的定义绕进去了。但我一开始就发现这个定义有问题，所以一堆贴
子都是针对定义的，不是针对这个证明本身。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:15:52 2013, 美东) 提到:
凡是不能被任何小于这个数的素数整除的，就必是素数了。
那你是啥定义啊？这个就是俺学过的定义啊，难道俺的老师在瞎掰？
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:19:27 2013, 美东) 提到:
即使按照楼主的定义
N是素数这个结论也是错的
N=p1*...pk+1
N 虽然不能被p1...pk整除，但是从pk到N之间还有很多素数，
N 仍然可以被其他的素数整除。
例子就是
2*3*5*7*11*13+1=30031
30031虽然不能被2 3 5 7 11 13整除
但是30031可以被59 和 509整除
.,
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:19:44 2013, 美东) 提到:
那你的老师一定是在瞎掰
这是正确的定义：我们称一个自然数为素数，如果它恰好只有两个正整数可以被它整除
。这两个正整数是1和它自己。下面是英文的标准定义。
A natural number is called a prime or a prime number if it has exactly two
positive divisors, 1 and itself.
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:21:10 2013, 美东) 提到:
因为楼主已假设有限个素数p_1,...,p_k了，不会再有别的素数。由它的定义找到一个
新的素数。
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 13:22:54 2013, 美东) 提到:
我歇了。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 13:22:54 2013, 美东) 提到:
但是他找到的那个N可能不是素数啊
即使按照他自己的定义也不是。
所以这个反证法就失败了
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:26:30 2013, 美东) 提到:
你好好看看定义。这个定义非常绕，你看清楚了。楼主假设一共有有限个素数，但没有
一个可以整除那个新造的数，按这个奇怪的定义，新造的数必是素数。你猜想p_1,...,
p_k和N之间还有别的素数，已与假设矛盾了。所以假设如果为真，你的猜想不对。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:27:54 2013, 美东) 提到:
所有质疑楼主的贴子，都没说到点子上，都被这个很奇怪的定义给绕进去了。不得不说
。楼主挖了个好坑。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 13:29:52 2013, 美东) 提到:
如果他的假定（只有那n个素数）是正确的，那这个新的数就是素数，也就是证明了假
设不正确。
如果的假定是错误的，那已经证明有无穷多个素数了。
所以无论哪种情况，都有无穷多个素数。
现在他找到的这个数不是素数是因为他的假定不正确。证明他的假定不正确就已经证明
了结论了。
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:36:08 2013, 美东) 提到:
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
大家看看wiki上的经典证明吧。和楼主的截然不同。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:39:45 2013, 美东) 提到:
因为楼主这个非常绕的定义的问题，我回了很多贴，也被绕进去了，并公开道歉。但这
个定义，我一直认为绝对错误。我回了很多贴，楼主包括围观的就是不明白。那不妨请
楼主找一链接，证明你的这个定义，虽然罕见，但也是对素数的一种定义方法。注意，
是定义方法，不是由素数定义得到的一个推论。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:40:48 2013, 美东) 提到:
如果找不到，也不妨大方道歉。对错分明，真君子了。这个楼也可以歇了。
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sate (blah) 于 (Thu May 23 13:41:23 2013, 美东) 提到:
楼主的证明是对的，描述的不那么严谨而已。
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nvbs (水波淼淼) 于 (Thu May 23 13:43:46 2013, 美东) 提到:
楼主的证明明显不对。
漏洞很明显。N不一定是素数。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:43:49 2013, 美东) 提到:
楼主的证明基于对素数的错误定义，连定义都搞错了，谈什么严谨。
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sate (blah) 于 (Thu May 23 13:45:07 2013, 美东) 提到:
反证法要的就是会产生漏洞
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nvbs (水波淼淼) 于 (Thu May 23 13:47:40 2013, 美东) 提到:
N都不一定是素数了，还产生什么矛盾？
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 13:51:35 2013, 美东) 提到:
我这么举个例子吧。大家都知道Fibonacci数列为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,...
如果我递归定义如下，一个自然数序列，任何一个数都是前两个数的和。
这当然是个不严谨的定义。于是我得出结论，a_n > 2a_(n-2)
我的证明如下：根据定义，我造了以下序列: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ...
也满足定义中任何一个数都是前两数的和。于是这个结论很显然成立。
但真正的数列，这个结论却不成立，因为可以找到反例 2 = 2*1, not 2 > 2*1
由一个不严谨的定义，会衍生出很多问题，尽管有的时候结论是对的，但也可能结论不
对。
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 13:54:52 2013, 美东) 提到:
lz的错误在于认为 素数的定义等价于“该自然数不能被其本身以外的所有素数整除”
实际上应该是“该自然数不能1和它本身以外的自然数整除”
两者看似等价，但是在lz构造的反证法的时候不等价
所以最后就是乱七八糟
☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:01:22 2013, 美东) 提到:
正确的定义，是由自然数去定义素数。可是楼主的定义，是用素数去定义素数。大家可
以看以前的贴，我反复论证过多次。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 14:03:33 2013, 美东) 提到:
这个算么？
https://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_definition#Prime_numbers
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:06:19 2013, 美东) 提到:
是的
我昨晚就说过，他那个应该叫“素数星号”
还需要证明素数星号跟素数等价，或者素数星号包含于素数
但是今天有人举出反例根本不等价
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 14:06:57 2013, 美东) 提到:
楼主的证明是对的.从错误的前提出发,能推出自相矛盾千奇百怪的结论,有什么好奇怪
的...
素数: 可以被定义为不能被其他素数整除的整数.
同学们不知道什么是等价定义么..
/thread
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:09:31 2013, 美东) 提到:
应该是“不能被1及其本身之外其他自然数整除的整数”
其他所有定义都是推论
楼主证明过程已经违反了原始定义，所以是错的
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iamwq (will) 于 (Thu May 23 14:16:55 2013, 美东) 提到:
这个很容易啊，继续用反证法，假设那个数是合数，但是它不能被任何p1~pn整除，所
以存在除p1~pn之外的素数，矛盾。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:18:43 2013, 美东) 提到:
我们所有的argument就是要加上你这句话才是完全正确的证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:21:53 2013, 美东) 提到:
这样就对了
但是lz没这么证
他坚持N是他所定义的素数
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:22:27 2013, 美东) 提到:
这个算，但即便这个，也一样有问题。这个链接是关于recursive definition的，专门
提到需要base case。但对prime number的定义，它说
(1) 1 is not a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is not
divisible by any prime number smaller than itself
但紧接着说
The primality of the integer 1 is the base case
这恰好矛盾了。
按照recursive definition的规则，你定义一样东西，要先说明一个base case确实是
这样东西。可它对素数的定义，base case却不是素数。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Thu May 23 14:22:48 2013, 美东) 提到:
LZ显然不是学数学的，或者没有受到合适的数学训练。如果努力写一个严密的证明，细
节方面可以做得更好。
另外，1不是质数也不是合数。说自然数只包括质数与合数是不对的。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 14:25:48 2013, 美东) 提到:
what exactly is your p*? I think you are getting yourself confused. if your
p* is the prime definition used in his proof, it is equivalent to the basic
prime definition. people only argued that he should not use p* for granted.
somebody also pointed out that it is actually not easy to prove that p* is
equivalent to p. and if he uses the original p definition, he will have to
add another line considering the case that N is not a prime.
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:27:35 2013, 美东) 提到:
我再叨一段吧。这是lz的证明：
“假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个. ”
好，我们现在发现，用这个方法，找出来许多“伪素数”，30031算一个。lz你现在有
两个选择：
1. 证明这种“伪素数”是有限的；
2. 这种红“伪素数”是无限的。
请证明1或者2。如果你能证明1，好，补到原证明上去。如果你无法证明，那好，请继
续证明素数有无限多个。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:28:01 2013, 美东) 提到:
如果要用recursive definition，就应该有如下的表述
(1) 1 is not a prime, 2 is a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is not
divisible by any prime number smaller than itself
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:28:20 2013, 美东) 提到:
根本不等价
你看前面有人举出反例了，13以下的质数相乘再加1得到的是个合数
所以那个质数星号和质数是两个不同的集合
your
basic
.
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 14:28:28 2013, 美东) 提到:
继续围观，估计楼主睡觉去了
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:29:05 2013, 美东) 提到:
330楼的
“2. 这种红“伪素数”是无限的。”
改为：
“2. 这种“伪素数”是无限的。”
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前面有删帖，330 实为 329
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 14:29:28 2013, 美东) 提到:
a recursive definition must always have base cases, cases that satisfy the
definition without being defined in terms of the definition itself
所以base case（1的素数性primarity）是不需要证明的，既是trivial的。这里讨论的
是素数性，不是素数也是素数性的一种。
当然我之前说了，你认为需要证明我认为不需要，我们没法交流，只是发个连接fyi
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 14:30:31 2013, 美东) 提到:
you are confused. his p* definition is
一个自然数(>2)不能被小于自己的任何素数整除（最小的素数是2）就是素数
what you mentioned is a construction in his proof.
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iamwq (will) 于 (Thu May 23 14:32:02 2013, 美东) 提到:
你这么说也是有道理的，如果说比较两个推论更显而易见，应该是N不是素数更直接。
所以如果楼主把N不是素数当成条件来用，就更少批评了。不过显然他的证明是直接拿
欧几里得的证明。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 14:34:25 2013, 美东) 提到:
我可没有confuse
在他的反证前提下，他那个定义就是错的
因为违法了原始定义
他实际上已经给出了素数的另一定义，只是自己没察觉到
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:34:41 2013, 美东) 提到:
他那个证明只是看起来像欧氏证明。
人家欧大师讨论了N是素数和非素数两种情况，涵盖了除掉1之外所有的自然数，这才是
严密的数学证明。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:35:01 2013, 美东) 提到:
真是很难沟通。
定义一个东西，先得告诉我哪个数是这样东西。却不能告诉我哪个数不是这样东西。
比如阶乘的定义。我们先定义0!=1，这是定义，不需要证明。然后定义n!=n*(n-1)!进
行递归定义。
但我如果给下面的递归定义，你接受么？
(1) 0! <>0
(2) n! = n * (n-1)!
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 14:36:43 2013, 美东) 提到:
lz不管你最终怎么想，我不得不说：你的挖坑水平已经很高了！
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 14:39:53 2013, 美东) 提到:
如果要仿造那个链接的recursive definition，我如下定义素数，也是完全合理的。
(1) 1 is not a prime number, 2 is not a prime number
(2) any other positive integer is a prime number if and only if it is odd
and it is not divisible by any prime number smaller than itself
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 14:41:14 2013, 美东) 提到:
民科的特点就是在最基本的问题上纠缠不清
这里连素数的定义都搞错。。。
跟水变油有的一拼
定义：能烧起来的液体就是油
那么水里面加点油它也能烧
这样就把水都变成油了!
烧完了还什么都不剩呢，
因为水都挥发了。
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gushe (波娃) 于 (Thu May 23 14:59:38 2013, 美东) 提到:
你的结果不是证明了素数是无穷的吗？你得到的59不是素数吗？得到的结果不是证明素
数是无限的吗？
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:00:32 2013, 美东) 提到:
lz是这么证明的么？
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 15:05:50 2013, 美东) 提到:
你这个定义是合理的，不过很明显，你定义的集合不等同于传统意义上素数的集合，你
可以定义为这个集合为荤数的集合。关于递归的定义，没有规定base一定是或者不是。
你之前找到的定义很明显是正确。因为既然1不是素数，那根据定义的第二条，2就是素
数，以此类推。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 15:06:13 2013, 美东) 提到:
just an fyi...
权当互相加深知识吧，你无法说服我我也无法说服你。。。我认为素数X证明的递归需
要建立在所有小于X数的素数性之上，也就是说知道这个数是否是素数就行。告诉你a是
素数或者a不是素数就可以证明结论。
你的递归明显是不对的，n！的证明需要建立在所有小于n的非负数a！的值之上，因此
你需要告诉我0！是多少。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:12:12 2013, 美东) 提到:
i don't understand what you are talking about regarding whehter "KNOWN" or
not. the assumption is that all prime numbers are in the product, of course
this can be done only if the number of prime number is limited.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:13:11 2013, 美东) 提到:
我的结论： 民科比文科强多了去了
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 15:13:51 2013, 美东) 提到:
所以说，通过递归手段定义出来的东西，有可能和实际的东西有差距。在数学上，一般
不采用递归定义。你既然认为我的定义也是合理的，但我的递归定义，只说明了这样定
义的数是素数，但没说明所有素数都长成那样。比如2就被排斥在外。所以，当你用递
归定义素数的时候，还要证明完备性。即传统定义的素数，全部包含在你这样所定义的
素数中。所以，一般的数学证明，不会采用这样递归的定义。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:15:37 2013, 美东) 提到:
“完备性”，我一再提这个词，不过似乎lz不太理解。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:18:01 2013, 美东) 提到:
pi以外没有素数了，同志。这是根据素数有限的假设推出来的结论。素数有限，其数量
为N。不过你貌似看不懂这什么意思。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 15:20:01 2013, 美东) 提到:
你也是学数学的？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:21:02 2013, 美东) 提到:
不可否认的是按楼主的定义定义出来的素数就是公认的素数。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:25:53 2013, 美东) 提到:
2 is a prime number is not necessary. 2 is a prime number can be proved with
lz's definition.
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 15:35:59 2013, 美东) 提到:
首先，你的定义不是素数的定义。我说你的定义是合理的，只是说这个定义是well
defined。也就是说给我任何一个自然数，我可以根据你的定义确认它在或是不在你的
集合里。你330楼的定义自然也是well defined，且可证明和传统的素数集定义是等价。
这定义中的第二条，if and only if就说明了所有的素数都应该这样。
常见的递归定义往往会有最后一条，即不符合以上条件的都不属于这个集合。在这，这
个条件是多余的，因为if and only if在第二条。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 15:38:07 2013, 美东) 提到:
绝对错误毛啊。。。
我前面已经给出了这个定义和一般素数定义的等价证明。。。
不过我已经开始相信你们看不懂了。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:38:29 2013, 美东) 提到:
做为本证明，是不需要证明完备性的（充分条件），只要证明必要条件即可。当然如果
你要证明等价关系，是需要证明充分必要条件的。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:45:10 2013, 美东) 提到:
我是民科。。。肯定没有你严谨
我报志愿本来是想学数学的，可是都劝我就业不好。。。不过一直很感兴趣。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:49:14 2013, 美东) 提到:
30031 满足下列条件么？
30031是大于1的自然数, 且30031不被任何小于30031的素数整除
如果不符合，就不符合楼主定义的素数。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:55:03 2013, 美东) 提到:
从lz的证明出发，可以找出很多这样30031的“伪素数”，同意不？
如果你能证明这样的伪素数有限，OK，虽然你漏掉了无数素数，可你终归还是得到了某
个集合，有无限个元素，其中有限个不为质数，将就算个对。lz证明这一点了么？
好，你也可能发现这样的伪素数在这个集合里有无限个，那就不好玩了，还得另辟蹊径
去证明你这个集合剩下的元素个数为无限。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:56:54 2013, 美东) 提到:
不同意，你完全没理解N什么意思。30031是素数还是合数和lz的证明一点关系都没有
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 15:58:48 2013, 美东) 提到:
那我这样问你吧：假设质数只有2和3。25是质数呗？然后5是质数呗？你打算把5和25都
放到你所定义的素数集合里面吗？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 15:59:12 2013, 美东) 提到:
楼主的证明用到了“N是素数这一结论”，所以错了
素数的定义是“不能被1和本身以外的自然数整除”
这个“永远都不能变”，因为是原始定义
不符合这个定义的数，都不是素数
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 15:59:16 2013, 美东) 提到:
事实证明智商低于一定水平的人，是无法理解初中数学的
看着你们这么费劲，我感觉很搞笑。
了某
蹊径
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 15:59:23 2013, 美东) 提到:
N不是任意的数，而是根据素数有限的假设必然能够找到的一个数。至于是几，不知道
，也无关紧要。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:00:32 2013, 美东) 提到:
错，只要和定义等价，就是一会儿事儿，不管表述上有多么不同。你懂不懂什么叫等价
命题？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:01:25 2013, 美东) 提到:
我本身也很enjoy看这帮文科生的发言。所以才有兴趣在这里费劲。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:02:16 2013, 美东) 提到:
你怎么每次说你都这么精辟啊。我还是佩服你，虽然你智力很低，但是对自己的认识还
是蛮精准的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:03:13 2013, 美东) 提到:
真烦，还等价呢
那能等价吗，都给出反例了还等价
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:04:02 2013, 美东) 提到:
你别说我有时候还挺想学文，改变一下脑子结构来反驳基本数学常识。不针对你。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 16:04:14 2013, 美东) 提到:
但楼主给出的是充要条件的定义，就必须证明完备性。纠结还在递归定义上。
真要较真，所有的递归定义都是不严谨的，都建立在集合论上。我看到链接上自然数的
定义，先说1是自然数，然后进行递归，如果n是自然数，那n+1必然是自然数。
这个定义，我也不认为是严谨的。
数学的基础是集合论。从集合论可以定义两个数0和1，然后在集合{0,1}的基础上定义
加法，成为半群，于是得到自然数集合。再进而定义加法群，成为整数集合。再加上乘
法，成为环，再生成有理数域。再用极限定义实数域。等等。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:05:00 2013, 美东) 提到:
假设质数只有2和3然后出现矛盾，只能说明假设不对。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:05:53 2013, 美东) 提到:
反例你个头啊？30031符合lz的素数定义吗？
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 16:06:07 2013, 美东) 提到:
我的天哪。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:07:39 2013, 美东) 提到:
那只能说明楼主定义的素数不是常识中的素数呗
所以他必须选择：
（1） 证明他的素数和常识的素数等价
（2）证明他的素数是常识素数的子集
他证明了吗？
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Mayabc (Mayabc) 于 (Thu May 23 16:08:43 2013, 美东) 提到:
围观而已。。。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:09:22 2013, 美东) 提到:
你这个所谓的矛盾无法证明素数有无限个，因为你可能包含无限个25这样的伪素数在你
的无限增长的集合中，你用这样一个可能含有无限合数的无限集合来证明素数无限，难
道正确了？闹了半天是白证了。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:10:41 2013, 美东) 提到:
集合论是数学的抽象和延展，并不是基础，比如什么群环之类的。lz需不需要证明他的
定义等价于公认定义，是个仁者见仁智者见智的问题。我认为是不需要，你们认为需要
。争论点应该是这里吧？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:11:41 2013, 美东) 提到:
楼主定义的素数就是常识中的素数，你还没明白么？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:13:28 2013, 美东) 提到:
你还是没明白N代表什么。N是2么？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 16:14:48 2013, 美东) 提到:
我投降了，我放弃了。真是对牛弹琴啊。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:16:57 2013, 美东) 提到:
我跟楼上想法一致。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:18:39 2013, 美东) 提到:
lz的逻辑是“N是我定义的素数”，因为“出现了n+1个我定义的素数”，
所以反证成功
问题是你定义的素数再多有什么用呢？
根本不符合素数的原始定义，所以无法说那是新出现的素数
你必须构造出n+1个真正的素数才有用
楼主只证明了“我自己定义的素数是无限的”
而他自己定义的素数包含了一些传统意义上合数
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 16:19:41 2013, 美东) 提到:
显然不是，这么简单的道理你怎么不懂
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 16:21:57 2013, 美东) 提到:
素数不能被除了自己和1以外的别的数整除
我找出两个别的数来整除它，
那别的两个数不管是什么数，
你那N都不是素数了。。。
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 16:24:45 2013, 美东) 提到:
根据lz的“证明”，你可以推出N为无穷，那又怎样？你这个无穷个元素里可能有无穷
个合数，你还能一定得出素数无限的结论吗？
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popspace (扑通) 于 (Thu May 23 16:38:12 2013, 美东) 提到:
令N=2x3x5x7x11x13+1=30031
59X509=30031
所以N不是素数!!
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 16:39:02 2013, 美东) 提到:
Lz 的p1, p2, ..., pk 不是lz定义的，而是根据传统素数集定义的，因为前提是有限
，所以可以一一列出。N= p1*p2...pk+1 是按照330楼的定义判定为素数，因为,根据假
设，[pk+1,N-1]之间不存在素数，而N不能被P1，p2,...pk整除。此外，330楼的定义和
传统定义等同。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 16:57:59 2013, 美东) 提到:
正是如此。他用了一个非常规的定义，从而产生了问题。数学中的公理和定义，是不需
要证明的，直接用就行，大家没有异议。可是由公理和定义推导出来的等价的结论，你
直接拿来用，就会被质疑。
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coolist (coocoo) 于 (Thu May 23 17:04:10 2013, 美东) 提到:
结论应该这么改才严谨：
可知：要么N是素数，或者N只能被p1~pk以外的其他素数整除，所以假设不成立。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:05:49 2013, 美东) 提到:
还有，集合论当然是数学的基础。因为数学的公理体系就是在集合论上建立起来的。而
罗素悖论的出现引发了第三次数学危机，使公理化集合论势在必行。德国数理逻辑学家
策梅洛应用自己的公理系统，使得集合在公理的限制下不会太大，从而避免了罗素悖论
。经过改进，这一系统形成了现在被称为ZF系统的公理集合论体系。这个体系至今没有
发现悖论。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 17:11:11 2013, 美东) 提到:
嗯，I approve this statement.
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pokerpro (专业的) 于 (Thu May 23 17:11:12 2013, 美东) 提到:
This is the killer.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:13:11 2013, 美东) 提到:
并非如此，推论都可以用，只要是公认的就可以。不是公认的才需要证明。
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:14:50 2013, 美东) 提到:
问题是楼主的定义，并非公认。
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jiuyin (jiuyin) 于 (Thu May 23 17:16:12 2013, 美东) 提到:
这个楼实在太欢乐乐。这个不是无穷多素数的经典证明吗？第一个想到的人还是挺厉害
的。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:17:04 2013, 美东) 提到:
作为推论是公认的，或者说，其等价性是公认的
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:18:20 2013, 美东) 提到:
推论就是等价？
A推论出B，那么A和B就等价？
发现一个文科生+民科！
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:18:34 2013, 美东) 提到:
在那时是挺厉害。在现在，应该不少人能证明出来（没看过此证明的前提下）
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:19:11 2013, 美东) 提到:
A推出B, B也能推出A
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:19:34 2013, 美东) 提到:
这个推论只能说是显然的，当然也是公认的。但把这个推论反过来当定义，就不那么显
然，还是递归的定义，可不是那么公认的了。我相信许多人并不意识到这个定义是个递
归定义，而且没觉得这个定义有什么不对。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:20:09 2013, 美东) 提到:
mark一下，让大家看看文科生是怎么证明问题的哦！！！
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:20:11 2013, 美东) 提到:
你承不承认他和公认定义等价？
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:21:22 2013, 美东) 提到:
我A和B说的是lz的定义和公认定义，并不是说其他的A和B
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xiongyp (dreamrain) 于 (Thu May 23 17:23:27 2013, 美东) 提到:
我承认，但这个等价不明显，需要有完备性的证明。我同样给出的另一个类似的递归定
义，就不完备。对于一个不明显的递归定义，有必要进行说明或者证明。楼主在这个问
题上一笔跳过，是不严谨的。
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:24:34 2013, 美东) 提到:
如果教科书上有，就算公认。当然我不能完全断定这个等价是否是公认的。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:28:35 2013, 美东) 提到:
你自己再读两遍这都什么逻辑。
如果A正确，那么B正确，A是B的充分条件。
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lanti (Ice+cream+inside) 于 (Thu May 23 17:30:00 2013, 美东) 提到:
Seriously, this proof is WRONG.
N could be composite. You only showed that N is not divisible by p_1, p_2, .
.., p_k, but there could be primes larger than p_k but smaller than N, that
divides N.
So N is not necessarily prime, yet the very existence of some prime between
p_k + 1 and N-1, inclusive, shows there are primes other than p_1, ..., p_k.
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 17:30:52 2013, 美东) 提到:
逻辑不好也就算了，理解力还那么低。你看不懂我发的帖就别来回，只会丢人现眼。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:33:55 2013, 美东) 提到:
说实话，
我觉得有必要从小学开始就要教一门逻辑课
如果下雨，那么地上一定会湿，这是A推出B，
反过来，B推出A，就变成了
如果地上湿了，那么一定下雨了。。。
就不能是某人撒泡尿啊。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 17:36:10 2013, 美东) 提到:
又来一个。。。假设就是素数都在这里了，你从哪来的那个p[k+1]。。
mitbbs真是个好地方啊
.
that
between
k.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 17:36:19 2013, 美东) 提到:
Seriously lz assumed that p1,...,pk are the ONLY EXISTING PRIMES!.
.
that
between
k.
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timemachine2 (流光飞舞) 于 (Thu May 23 17:37:23 2013, 美东) 提到:
seriously, some people did not read through.
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 17:37:53 2013, 美东) 提到:
问题是，
只要找到一个因子
不管这个因子是不是质数，
都能说明N不是质数！
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czjn (霍乐刚) 于 (Thu May 23 17:42:02 2013, 美东) 提到:
正准备拍照呢，看来不用了。
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jesseq (JesseQ) 于 (Thu May 23 17:44:01 2013, 美东) 提到:
整栋楼里也就xiongyp同学可以讨论下了，不过我认为你无法说服他，至于其他人。。
连证明的假设都不看就来喷。。。也没啥纠缠的必要了 歇了吧
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robotan (黑胖子) 于 (Thu May 23 17:45:09 2013, 美东) 提到:
问题是，
根据lz质数的定义，不需要因子。只要不能被小于N的质数整除就可以判定为质数。你
能找到一个因子的终结原因还是因为之前有限质数的假设是错的。
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:02:57 2013, 美东) 提到:
这也叫证明？质数的定义根本就是错的。
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:04:31 2013, 美东) 提到:
空口无凭，民科要你证明给他看。。。
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 18:11:16 2013, 美东) 提到:
能被合数整除的，必然能被某个特定的质数整除。换句话说不能被任一个质数整除，那
必然不能被除１和它本身的数整除，所以是质数。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:17:16 2013, 美东) 提到:
睡了个觉, 起来继续.
昨天实际上是写着写着熄灯断电了, 不好意思.
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:20:07 2013, 美东) 提到:
不许改原帖哦
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:22:52 2013, 美东) 提到:
先解决你这个问题吧, 这个问题和主题无关.
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你昨天在212楼说:
"According to the definition of prime numbers,
We say a is a prime number if and only if a is a natural number greater than
1 and a can not be divided by any prime numbers less than a."
抛开循环定义这个问题不说, 单就这句话的正确性来说, 你这句话是不对的.
我在214楼指出:
"另外, 不介意我指出你那个无理数定义中一个很脑残的问题吧? 不是无理数列的极限才
可以是无理数的, 有理数列的极限也可能是无理数.
不过这个问题与你本来的目的无关, 指出你这个错误也没什么意思, 我就不多说了."
我214楼说的确实是错的, 正如你在216楼指出的那样 "An irrational number
can be a limit of rational series or irrational series."
但是我不得不说, 你那句话还是错的, 请问 0 能不能表示成一个无理数列的极限? (说
不能请回去面壁) 0是无理数吗?
你好意思说你学数学的吗?
限才
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:31:12 2013, 美东) 提到:
然后再来解决你这个问题.
你的根源就是逻辑不清, 不懂数理逻辑. 错误地认为a∈∅是荒唐的事情, 于是竟
认为以下这个命题是错的.
a∈∅->a∈A (这里A可以是任意一个集合)
后来在别人的指正下你改变了观念, 但实际上只是改头换面而已.
既然你已经认为上面那个命题没问题, 那么试问, 我的定义中的 "循环定义" 在哪呢?
你说 "一定要强行定义2为初始素数才可以"
对此我已经在169楼指出如何根据我的定义判断出2是素数, 后又在174楼重复说了一遍,
现在我再说一遍:
根据我的定义判断2是不是素数:
-------
2>1, 成立.
考察比2小的素数, 因为素数要求是自然数, 且大于1, 而不存在比2小且大于1的自然数
,
故不存在比2小的素数.
于是2不被任何小于2的素数整除.
于是2是素数.
--------
结果你居然说 "没有比2小的素数, 是个空集, 所以谈不上什么 2能不能被任何比2小
的素数整除" (非原话, 你大意如此)
你这不就是很傻逼的以为 a∈∅ 就不能做任何逻辑推演了吗? 就好像你认为 "a
∈∅->a∈A" 是假命题一样.
你还说你学数学的? 最基本的数理逻辑都不懂.
关于后面你又怎么搅浑水的, 我等下慢慢再来回复.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 18:38:12 2013, 美东) 提到:
呵呵, 你在睁眼瞎很久之后, 终于开始承认这句话的正确性了.
不过我想问你, 什么叫 "根据素数定义, 有如下推论"?
我就问你 "a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。" 是不是
素数的一个等价定义而已, 要么是, 要么不是. 其前提自然是默许所有主流数学公理和
定义成立的,
当然是要先有一个主流的定义, 然后我才给你找等价定义, 没有主流的公认的定义, 那
"等价" 是和谁等价呢?
你这楼换个说法是不是这样:
-------
根据逻辑规则和主流的数学公理,定义,
你对 "a是素数 <=> a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。" 的正确性没
有任何异议.
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如果是这样的话, 你不就是说这素数的等价定义没问题吗?
号称自己学数学, 居然连自己说的话在数学上是什么意思都不懂.
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:40:55 2013, 美东) 提到:
又看了看，这个证明好像也没什么问题呀
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dangran (当当当) 于 (Thu May 23 18:43:03 2013, 美东) 提到:
我来水变油给你看
定义，能燃烧的液体就是油：
现在我把一升油加到一升水里面，
现在我有两升油了，
烧光了一点都不剩。
你准备投多少钱？
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nfnmd (大文) 于 (Thu May 23 18:49:45 2013, 美东) 提到:
不明白你说的。不过LZ的证明还是不对哈。
虽然pi * ... *pk +1 不能被pi, ..pk整除，但是可能被大于pk的数整除。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 18:55:52 2013, 美东) 提到:
楼主的证明自然是对的,不过为了减轻文科生的脑力负担,建议把a是素数 <=> "a是大于
1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 中的小于去掉 变成
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除", 没有
任何影响,只是文科生friendly一些,是吧( 毕竟, p1,...pn已经是所有的素数了吧)
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:01:29 2013, 美东) 提到:
<=>右边的statement成立是有条件的
“假设素数有限”直接就否认了它了，
所以不能继续用它来做反证的基础，这是用错误的定义推出错误的结论
对结果无影响（既无正面影响也无负面影响，简单说就是废话）
只能用素数的定义
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:04:28 2013, 美东) 提到:
我前面已经说的很清楚了, 你说这个证明 "没档次" "太繁琐" 都可以, 但是你要说他
是 "错误的", 那就得指出原因.
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另外, 麻烦你贴一个没有复杂化的证明上来.
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最后, 这个素数定义在我眼里是显然的, 你要是第一眼反应不过来那不怪我.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:08:38 2013, 美东) 提到:
这种初等基本问题的证明其实无所谓 "简单" "复杂", 都是差不多的.
不过, 按照 (我认为的) 你的 "简单" 的标准, 以下说法可能更容易体会反证法的意思
由于N=p1*p2*...*pk + 1 , 知道N>1, 但是N不能被任意一个pi整除, 于是N没有素因子
. 我们知道任何大于1的数都有 (至少一个) 素因子, 于是矛盾.
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 19:10:19 2013, 美东) 提到:
围观围观
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 19:11:03 2013, 美东) 提到:
决出胜负了没有？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:12:40 2013, 美东) 提到:
if 不限定质因数大小
then A是质数<=>A不能被小于A的质数整除
if 限定质因数大小(max=p)
then A是质数=>A不能被小于p的质数整除
but not A不能被小于p的质数整除=>A是质数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:13:04 2013, 美东) 提到:
我们来解决你的问题:
你如果认为这里素数定义是错的, 那请指出错在哪里. 指不出来的话可以先看一下171
楼是怎么证明这个定义的正确性的.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:13:26 2013, 美东) 提到:
这样吧,假设 素数有限(p1,..., pn),我来证明
a是素数 <=> "a是大于
"=>" 没问题,a是素数 , a只能被1和a整除,所以a不能被被任何小于a的素数整除
"<=" 假如a不能被小于a的素数整除. 如果a已经是素数,则没什么要证的. 如果a是合数
,
根据因式分解定理, a可以因式分解为 a=p1^k1 * p2^k2 * pn^kn
这些k为非负整数, 注意这个式子里只用到p1,...,pn,因为他们是仅有的素数
然后这些k不能全为0,否则a=1,跟a>1矛盾,于是存在某个k,记为kj,使得, kj>=1, 于是
kj是a的因子. 现在kj盾.. 于是排除了a是合数的可能性,于是 a是素数.. 证毕
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:14:21 2013, 美东) 提到:
别瞎掰扯了, 如果你认为错了, 指出错在哪里就行.
没事干别扣帽子.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:16:14 2013, 美东) 提到:
你脑子缺根弦.
素数都变成 "伪素数" 了, 假设是不是就错了? 那是不是就证出来了?
还硬要逼着别人讨论 "伪素数" 有几个, 神经有毛病.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:18:47 2013, 美东) 提到:
请告诉我, 你到底能不能看懂以下两句话的区别?
1. "2*3*5*7*11*13+1是质数"
2. "如果2,3,5,7,11,13是所有的质数, 那么2*3*5*7*11*13+1是质数"
你懂不懂这两句话的区别? 懂不懂逻辑? 懂不懂反证法? 懂不懂汉语? 懂不懂语境?
目测你脑子里细胞不够, 短期记忆空间太小, 导致你无法记住反证法的前提是什么, 于
是证明看到后面就忘了前面说过什么了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:20:35 2013, 美东) 提到:
stop sucking it. please review all the comments I left to you CAREFULLY!
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:21:25 2013, 美东) 提到:
民科基本都是很执着的，我不怪你
你的2根本就不对，
因为你“限定了质因数大小”，所以
“不能被所有质数（除了本身）整除的数并不一定是质数”
只有不能被所有自然数（除了1和它本身）整除的数才是质数
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:23:34 2013, 美东) 提到:
我从未说 "N是素数"
我是说 "在某些前提假设下, N是素数"
懂这两句话的区别否?
反证法懂否? 逻辑懂否? 汉语懂否?
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Galleon (盖伦) 于 (Thu May 23 19:24:00 2013, 美东) 提到:
这个帖子其实暴露出的最大问题并不是数学修养的问题，而是绝大部分中国人，包括那
些受到了很高等教育的中国人，都缺乏基本的逻辑思维能力。
楼主的这个证明，除去那些数学上的鸡蛋里的骨头之类的细节，给任何美国的红脖子讲
，估计都不会有人认为有逻辑问题。可是这个帖居然有那么多人用莫名其妙的逻辑来攻
击楼主的证明。
从侧面这说明了绝大多数中国人受到的所谓教育，其实只是学了些“知识”，但是根本
就没学到任何“科学”。脑子里全是屎。这就是为什么这些人明明在学校里考试好像成
绩都不错，读书都能读到博士，结果一拉到现实生活中的职场一试就都萎了，天天被学
历不如自己的老印欺负。其实根本就不是什么人家会吹或者什么歧视，其实就是因为这
帮2B习惯性脑残。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:24:40 2013, 美东) 提到:
不, 他抽风的地方在于一根筋的认为我的定义是 循环定义.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 19:24:43 2013, 美东) 提到:
zan.
我是懒得打这么多字了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:25:15 2013, 美东) 提到:
主流定义和我的定义等价不?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:25:57 2013, 美东) 提到:
你不就是说素数乘起来加1是你定义的素数吗
我跟你说了这个不是真正的素数
你要说是你定义的素数也可以
那你就得继续证明你定义的素数是实际素数的子集
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:27:31 2013, 美东) 提到:
plz, 在 "素数只有p1,p2,...,pk这些" 的假设下, 你居然跟我讨论什么 "其他素数" ?
要是你都默认有 "其他素数" 了, 那还证明个屁.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:27:38 2013, 美东) 提到:
我都说了好多遍了
如果限定质因数的大小，那个等价根本不能用
更不能作为证明的出发点
你证了半天就是证明那个推论是错的
但是那个推论和素数的原定义已经失联了，从你的假设开始
所以最后都是白忙活
其实只要稍加修改就行了，你又不听
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:28:57 2013, 美东) 提到:
你说这个定义 "不明显", 那是因为你太笨. 在我看来就是显然的.
只要你认为这个定义 "正确", 那你说的很多都是错的.
至于他对你来说 "明显不明显", 这和你本人的智商有关.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:30:28 2013, 美东) 提到:
跟这个Daigaku(大国) 没法交流了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:32:07 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除"
这句话虽然是对的, 不过由于其中有循环定义, 所以我没敢这么写. 因为你判断a是素
数之前, 不知道除a以外的素数都有哪些, 当然, 你要是说 "因为比a大的数都不会整除
a, 所以只用考虑比a小的" 的话, 那和我之前写的就一样了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:33:35 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何素数(当然,可能的a除外)整除"
这句话直接应用于1楼的证明是毫无问题的, 因为它本身是正确的命题. 但是你已经看
到了... 我写成 "小于a的所有素数" 都会被人喷成 "循环定义", 我如果敢写成这句话
, 估计早被喷死了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:35:53 2013, 美东) 提到:
逻辑可笑又可怕.
我只问你, 在主流数学公理体系下, "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小
于a的素数整除" 这句话对不对?
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ulmqman (HIM) 于 (Thu May 23 19:36:23 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
wrong
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:38:42 2013, 美东) 提到:
stop sucking it
focus on my question and do not misunderstand
thx!
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:38:43 2013, 美东) 提到:
你限定质因数大小后，这句话不对
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:40:14 2013, 美东) 提到:
问: 如果 "限定了素数的个数", 那么 "本来正确的定义就不能用了"
为什么?
A. "限定了素数的个数" 是不正确的.
B. 那定义是傻逼.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:41:08 2013, 美东) 提到:
那么请告诉我171楼的证明错在哪里.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:41:49 2013, 美东) 提到:
re
赞
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:44:13 2013, 美东) 提到:
问: 如果 "限定了素数的个数", 那么 "本来正确的定义就不能用了"
为什么?
A. "限定了素数的个数" 是不正确的.
B. 那定义是傻逼.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 19:52:29 2013, 美东) 提到:
因为等价性不成立，根本不等价
就好比 甲<=>乙
你为了证明甲，用反证法
假设甲不成立，然后说这样的话乙不成立，所以甲必须成立
你不觉得荒谬吗
你假设甲不成立的那一刻起，本身就不能再假定乙成立
更不能用乙不成立来归谬
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 19:56:37 2013, 美东) 提到:
你要搞清证明的方向,
如果欲证乙=>甲 , 就可以假设乙成立(因为乙是条件),甲不成立(反证),来推出矛盾(比
如乙 不 成立)
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 19:58:09 2013, 美东) 提到:
别再用你的脑补式逻辑来曲解我的意思了.
我先问你, 463楼选择题选什么?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:02:46 2013, 美东) 提到:
限定素数的个数后不能用那个推论，得从定义出发了
那个推论已经跟素数没有任何关系了，因为条件被改变了
你怎么就不明白
你当然可以限定素数个数，没错
但不能“同时”用那个推论
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 20:03:50 2013, 美东) 提到:
你是那个懂历史语言学的吗？我很喜欢看你的关于语言的帖子。但是你这里实在是在胡
搞，尽管我跟你一边。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:05:19 2013, 美东) 提到:
你嫌我问你选择题太犀利? 不友好? 始终不愿意去选一下? (尽管只有两个简单的选项)
那我还是展开来说吧, 我把话问仔细一些:
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在主流的数学定义,公理以及逻辑规则的框架下, "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何小
其正确性是否只要由主流的数学定义,公理以及逻辑规则就可以保证?
是什么缘由导致你认为 "做了某些假定后" 这句话不再正确?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:06:04 2013, 美东) 提到:
我现在在线, 前面的回复我没有能力逐条看清楚.
如果你认为证明错误或是有其他疑问, 麻烦现在留言.
谢谢.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:09:02 2013, 美东) 提到:
有事说事哈
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:09:49 2013, 美东) 提到:
质数定义不是除１和本身不能被其他数整除吗？怎么不能用？
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 20:10:24 2013, 美东) 提到:
我这个想跟你蛮横的,不逻辑吵一下
如果在数学的反证法证明中不能用主流的,公认的任何"等价命题",那么整个数学界用的
方法都是错误的,你是站在时代先锋的人物..
我知道我这句话有很多值得gre argument的槽点,but still...
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 20:11:27 2013, 美东) 提到:
luobo说得最清楚了。我不在电脑前没法来来回回的讨论。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:11:31 2013, 美东) 提到:
可以用啊
楼主用的不是这个啊
它用的是“不能被其他质数整除”，质数，
你说的是整数，没错
当然实际上我们知道是等价的
但在证明过程中不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:14:44 2013, 美东) 提到:
我不是这个意思
他要是能证明“不能被比其小的质数整除的数有无穷多个”
我一点意见都没有
问题不在这
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:18:19 2013, 美东) 提到:
同意
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:22:23 2013, 美东) 提到:
很容易能证明那句话啊。你不能说他是错的。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:25:18 2013, 美东) 提到:
我用的是 "小于它本身的其他质数"
你要说这有问题, 你得指出问题所在, 你不能就声称他有问题, 然后不对此做出论证,
是吧?
469楼的问题你还没有回答?
你是不是不知道为什么我用到的那个素数定义和主流定义是等价的? 如果是, 不要硬撑
, 看171楼.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:27:03 2013, 美东) 提到:
他看不懂。你还是不要硬撑了。。
,
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:27:13 2013, 美东) 提到:
不同意, luobo声称我的证明 "不够严密", 并且没有给出合理依据.
在math版上我和他有讨论, 请阅读此贴全文:
http://www.mitbbs.com/article_t1/Mathematics/31198339_0_1.html
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:27:48 2013, 美东) 提到:
如果他规定了质因数最大只能到p_n，再大的都不能算
但是被考察的数大到p_1*p_2*...*p_n + 1
你还觉得“很容易证明那句话”吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:28:00 2013, 美东) 提到:
不是这个帖子，是他另外一个
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:28:23 2013, 美东) 提到:
http://mitbbs.com/article1/WaterWorld/2026433_3_0.html
我说的是这个
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:28:43 2013, 美东) 提到:
即便不加 "小于它本身" 的限制, 也是对的.
但是那样我估计肯定有人喷我是 循环定义 了.
即便我本来是有 "小于它本身" 的说明的, 还有人喷我是 循环定义 呢.
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 20:28:57 2013, 美东) 提到:
基本上是看不懂了
,
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:31:34 2013, 美东) 提到:
问题所在就是不能限制质因数大小才成立
而你的证明过程限制了
这还不简单？
,
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:33:33 2013, 美东) 提到:
只从定义出发就可以证明。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:35:00 2013, 美东) 提到:
我对此的回应是: 按照他的 "不够严密", "逻辑跳跃" 的标准, 他自己给出的所谓 "更
好的证明", 也是 "不够严密", 有 "逻辑跳跃" 的.
具体还是看math版那个帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t1/Mathematics/31198339_0_1.html
该帖内后来我有些地方用词过于尖刻, 不过我认为我陈述的内容是客观的.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:36:20 2013, 美东) 提到:
为什么限制素数个数为有限个后, 就不成立了?
你是否看过171楼的证明?
请问171楼的证明中用到的哪一个命题是必须在 "素数有无限个" 的前提下才能得到的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:36:50 2013, 美东) 提到:
那你可以证明一下看看
其实都说了，lz的思路基本是对的
但就是构造素数的时候有问题
只要承认那个可以是合数，就很容易证明了
lz找出了一个无穷集合
但那个无穷集合不是素数集，也不是素数集的子集
所以没用
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 20:38:01 2013, 美东) 提到:
我贴的这个链接里面并没有说不够严密。
我是同意他说的有逻辑跳跃的，目前主要体现在说明两个素数定义等价的问题上，几个
人看不懂。当然，即使你把详细步骤都放上了，该看不懂的还是看不懂。目测这几个人
智商在80以下。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:39:20 2013, 美东) 提到:
请解释什么叫 "实际上" 等价.
这个 "实际上" 是什么意思?
为什么 "实际上" 等价的东西, 在 "证明过程中" 不等价?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:41:40 2013, 美东) 提到:
素数有限个后，素数的定义不再是“不能被其他质数整除”
完全不对
必须回到“不能被1和本身之外自然数整除”
你所说的“p1*p2*...*pn+1是质数”
实际就用到了这个完全不对的定义
的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:43:27 2013, 美东) 提到:
“实际上”就是不限定质因数大小
而你在证明过程中限定了质因数大小
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:44:14 2013, 美东) 提到:
请看171楼的论证 (不知道是第几次请了)
请告诉我, 171楼的论证中哪一步哪一个命题是要求 "素数必须有无限个" 的?
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:46:12 2013, 美东) 提到:
这太简单了啊。首先一个质数不会被比它大的数整除。然后考虑比它小的数，要么是质
数，要么是合数，如果一个数不能被比任何一个比它小的质数整除那么必然不能被比它
小的合数整除，因为合数根据定义会被至少１个比它小的质数整除，所以这质数的定义
也可以说成不能比它小的质数整除的数。看懂了没？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:47:34 2013, 美东) 提到:
那么请你说明, 为什么 "限定质数个数是有限个" 会导致我的定义不对.
另外, 注意你的用词, 我回复你的帖子都是尽量用你的词语表述的, 这里 (我认为) 更
准确的描述应该是:
为什么 "假设质数个数只有有限个" 会导致我的定义不对.
为了防止来回掰扯, 请不要举 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509
你如果要举的话, 请先说明 "质数只有2,3,5,7,11,13" 是对的.
否则你如何认定我曾经表达过 "30031是质数" 的意思?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:48:12 2013, 美东) 提到:
我用telnet上网，不容易看楼层，你可以直接贴出来
你证明那个N是素数，用的不是素数的定义
说了很多次了
这里只能用定义
或者证明推论在你的假设下仍然跟定义等价
实际上在你的假设下推论和定义不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:50:24 2013, 美东) 提到:
你怎么又绕回去了
lz已经规定了质数最大就到p_n
p_n+1000什么的都不考虑
你觉得你的证明还有效吗
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 20:50:54 2013, 美东) 提到:
看我的证明，简单明了。只用了定义。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:51:47 2013, 美东) 提到:
限定了质因数大小后，你不能再说那个N是质数
因为你推出它是质数的数学前提是不限定大小
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 20:51:53 2013, 美东) 提到:
没有那么显然。合数的定义可以是存在一个比它小的非１的整数因子。而这个整数因子
未必是素数。
这里要用到归纳法才可以从存在比较小的整数因子推出存在一个素数因子。在某种非标
准模型里，这两者可以是不等价的。当然一般人（包括数论专家）考虑的都是标准模型
，在这个模型下，这两者等价。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:52:58 2013, 美东) 提到:
转171楼如下:
这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的?
哪一步用到了 "质数必须有无穷个"?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 20:53:35 2013, 美东) 提到:
。。。你这个是循环论证。。。应该是违反了数学哲学。。。
另外俺刚才正想写个程序找，省我事了。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:53:43 2013, 美东) 提到:
你的证明没有规定质数最大只到p_n啊
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:54:42 2013, 美东) 提到:
你说的这些和497楼说的有什么关系?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 20:56:40 2013, 美东) 提到:
我可没说你用了“素数有无穷多”
但是你默认用了“N=p1*p2*...*pn+1”的质因数必然小于等于p_n
然后推出N是质数
你没看出问题吗？
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 20:59:59 2013, 美东) 提到:
那请问他的证明规定了素数一定要是无穷个吗?
你的逻辑呢?
你的意思是 "证明中不要求素数是有限个, 那么一旦素数是有限个, 证明就错了" 吗?
神逻辑.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:00:11 2013, 美东) 提到:
不必归纳
再次归谬即可
如果不能分解为全为素数的因子，则可以一直分解下去，每个因子都大于1，则这个N事
实上可以分解为任意多个至少为2的因子的相乘，因为N是自然数，不妨设N <= 2^k，但
是我们又能将其分解为大于k个至少为2的数字的乘积，故矛盾
这个真的很明显啊。。。
是质
比它
定义
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:00:16 2013, 美东) 提到:
其实你如果用 (if exist k, then for k+1 ...) 的正规数学写法格式，就容易
看出来循环论证在哪里了。
你要么先假设了 k 开始于无穷个素数 -- 循环论证。
如果是假设 k 从 1 个素数开始，那就断在 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:00:21 2013, 美东) 提到:
请指出哪一步是循环论证, 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:01:11 2013, 美东) 提到:
请问我哪一步假设了素数有无穷个?
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ZZidane (Zidane) 于 (Thu May 23 21:01:39 2013, 美东) 提到:
如果那个整数因子不是质数，就一定可以继续分解成某个质数和一个整数的乘节。换句
话说任何一个合数都可以表达成一个比它小的质数与一个整数的乘节。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:02:25 2013, 美东) 提到:
你直接指出是哪几句话有问题就行了, 不用教我什么 "其实如果怎样怎样".
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:02:58 2013, 美东) 提到:
哲学错了比较难教，俺还要码 code，您慢慢研究就是了。。。
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:03:37 2013, 美东) 提到:
你这个继续...直道,如果要写出严格证明的话，就是归纳法了。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:04:16 2013, 美东) 提到:
看我的证明。用不到归纳法。
换句
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 21:05:15 2013, 美东) 提到:
你的逻辑有问题，问题在于 deduce 过程，不符合数学哲学要求。
有点就像无神论跟有神论无法辨。。。不过俺没时间。。。您就
认为俺不懂，俺是错的就好了。。。俺下线了。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 21:05:36 2013, 美东) 提到:
我相信你谈到的是非UFD里素性和不可分解性不等价的情况. 不过提前证明好整数环的
唯一分解定理后,就没这个问题了
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:06:08 2013, 美东) 提到:
这句话在我看来是一样的.
你逻辑错了也比较难改.
指出哪几句有问题, 是一件非常容易的事情, 不是吗? 即使你不做任何论证, 你也可以
直接指出 (相当于断言) 哪几句有问题.
如果你不做的话, 我只能默认你没发现问题, 或者说已经意识到自己的错误, 但是不敢
承认罢了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:09:06 2013, 美东) 提到:
请问数学哲学有什么要求? 我好像从未听过你所谓的这种 "要求". 能不能明确指出?
无神论也不能说有神论有问题, 有神论也不能说无神论有问题. 那么你是根据什么说我
的逻辑有问题的?
------
ps, 我说 "你逻辑有问题" 的原因是你说我的方法错误, 但是指不出错在哪, 所以必然
有问题, 这么说是否足够清楚的说明你确实有问题?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Thu May 23 21:11:08 2013, 美东) 提到:
楼主不同意这个，那我们没什么好说了。问题症结就在这儿，搞清就可以了。
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nuun (nuun) 于 (Thu May 23 21:13:01 2013, 美东) 提到:
说LZ证明有问题的应该不是数学专业的吧
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:14:09 2013, 美东) 提到:
需要的，一样的道理。因为你一样要重复某一步骤很多次，你不知道多少次。只不过我
们平时都默认了，所以不费劲再写归纳了。
有一种非标准算术模型，满足皮亚诺公理除了归纳公理外的所有公理，也部分满足归纳
公理。在这样的非标准模型下，你可能能找到一个无限减小的整数数列。在这样的模型
里，你的无限减小的合数可能找不到素因子。这个就说明还是需要归纳法来证明。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:15:05 2013, 美东) 提到:
it is an arbitary number, we do not need induction...
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:17:40 2013, 美东) 提到:
在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的
你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模型", 连整环理论都要扯出来, 有意思? 还
说我不同意你的观点.
下次我写个证明, 是不是每一步都要回溯到那几条公理上, 你们才能说 "正确"?
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logic98 (logic) 于 (Thu May 23 21:18:42 2013, 美东) 提到:
看不懂你说的。正是因为arbitrary number，才要用到归纳啊。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 21:21:46 2013, 美东) 提到:
k不是一个在变的数字，k可以是一个固定的数字，即：
设k为使得 N <= 2^k 成立的最小自然数
然后将 N 的分解做k+1次，即可得 N > 2^k >= N，矛盾
这里的次数是“已知”的，和归纳法无关。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:33:55 2013, 美东) 提到:
睡醒了.
能否告诉我:
-------
那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。
-------
是指哪里不完整?
除。
5
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ndjsj (xyz123) 于 (Thu May 23 21:36:02 2013, 美东) 提到:
楼主， 其实你不必回那几个神经病。你的证明没有问题。我看它们是有意捣蛋！
在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模
型", 连整........
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:36:59 2013, 美东) 提到:
re
不过还有人 "在承认这个定义正确性的前提下, 说证明是错的", 这种人纯属逻辑有问
题.
相比之下, 那些 "认为定义是错的" 的人, 只是脑子稍微笨了一些而已, 属于小问题.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 21:49:27 2013, 美东) 提到:
为了生活的乐趣, 我义无返顾!
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ALife (草履虫) 于 (Thu May 23 22:07:16 2013, 美东) 提到:
同学，一方面我觉得你无聊＋有点神经病（当然我跳了这个大坑说明我也有一点）
另一方面，看在你天真＋固执得分上，就再回你一下。
您睡醒了，可您又重读了我的话了么？偏执不是什么大错，但确实有时候会让人丧失正
常的理解力和判断力。（我也如此）
请您再读一下这句子：“那么，l63的证明是否不完整呢？不是的”。您说说这句话是
什么意思？（我假定您打小在中国长大至少到高中哈）
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:13:31 2013, 美东) 提到:
好的, 明白了.
非常感谢.
抱歉.
看来我还没睡醒.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:14:16 2013, 美东) 提到:
另外, 我确实没有认真重读你的话, 只是扫了几眼.
由此, 再次抱歉.
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:15:23 2013, 美东) 提到:
正确,本题得满分
这坑都能灌出27层高楼???
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:18:46 2013, 美东) 提到:
凡事抵不过认真二字~~
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watermania (灌水狂) 于 (Thu May 23 22:20:19 2013, 美东) 提到:
强帖，不懂，留个名
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:26:21 2013, 美东) 提到:
码工在公司里，对于正确的结论，即使证明逻辑不被码工认可，码工
一般也不说啥。公司管理层大部分不是数学专家或者信息学专家，说
啥都是自讨没趣。
但是有错的逻辑，在公司实际的项目里，能得到正确结论，靠的是运气。
如果结论不正确，码工私下搞个小 prototype，跑点数据，弄两张
图给管理层看看，老板最最喜欢看图说话了。。。
俺如果自己逻辑错了，俺每次都跑自己的测试数据，看分析图表。除非
运气特别糟，一般情况计算机会告诉自己错在哪里，就是要多花点时间
看。
我的逻辑不一定好，但是在这个版面上训练逻辑思维，我觉得还不如老
老实实多码点 code 。。。
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mydice (宇文) 于 (Thu May 23 22:29:18 2013, 美东) 提到:
你没有考虑 p_k < n < p1 * ...* p_k + 1的这些自然数
所以你的证明是有缺陷的
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:32:02 2013, 美东) 提到:
在 Mathmatics 版，看到这贴，这个证明看起来是对的。
楼主抄作业没抄对。。。
http://www.mitbbs.com/article/Mathematics/31198383_0.html
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:32:22 2013, 美东) 提到:
plz be straightforward
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:33:03 2013, 美东) 提到:
已经假设了 "素数只有p_1,p_2,...,p_k这k个".
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lzrm (lzrm) 于 (Thu May 23 22:37:25 2013, 美东) 提到:
你的证明确实有一点小瑕疵，
N = p_1*p_2*...*p_k + 1不能被任何p_i整除，那么要么N是质数，要么N是由p_i以外
的质因数构成，
所以，前提假设不成立。
这个就完整了。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:39:10 2013, 美东) 提到:
他是根据我的证明提出的意见.
你注意时间顺序.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:39:57 2013, 美东) 提到:
前提假设不是已经说了 "质数只有p_1,p_2,...,p_k这些" 吗? 何来 "p_i以外的质因数
"?
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:41:05 2013, 美东) 提到:
我这贴这么一直灌下去, 也算是为人类的逻辑素养提升做出一些贡献了吧?
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:41:14 2013, 美东) 提到:
LZ的证法更直接,更好
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mydice (宇文) 于 (Thu May 23 22:43:34 2013, 美东) 提到:
你的假设推理的方法是有问题的
你实际上隐含假设了在p_k 和 p_1*...*p_k ＋ １ 之间没有任何数可以整除 p_1*..
.*p_k +１，你需要证明这一点
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Thu May 23 22:44:38 2013, 美东) 提到:
这个问题在上面已经一而再，再而三地被提及了
lz还是把相关链接也贴进顶楼吧，太崩溃了
..
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:45:09 2013, 美东) 提到:
re,
其实这个表述比Euclid的原证明还简介些
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:45:47 2013, 美东) 提到:
我觉得你说的那个 “可知” 容易被误读，混淆了 “推导结果” 还是
“数学上的事实”。（“the deduced result” vs “the common
known fact”）。是不是 google translate 这么翻译？
码工都被你搞晕。。。直接用严格数学语言写就不会导致这种误会 。。。
不过在数学上，有时中文不如英文准确无二意，也是部分的事实。。。
不怪你。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:45:48 2013, 美东) 提到:
注意你的逻辑, 请明确你的发言.
你这么说的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除", 这句话是错的.
是吗?
回复前请仔细阅读引号内的每个字, 注意 "素数" 和 "数" 的区别.
..
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:47:10 2013, 美东) 提到:
"可知" 是建立在前提假设的基础上的.
换成 "如果...那么..." 可能好一些.
按这么理解, 证明是否有误?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 22:47:59 2013, 美东) 提到:
这俩难道不是一个证法？只是表述上的差别，楼主的容易误解吧。。。
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:48:54 2013, 美东) 提到:
LZ证明很简洁但完全没问题
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 22:51:47 2013, 美东) 提到:
没什么本质区别,另外那个更绕一点,不会误解
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:52:51 2013, 美东) 提到:
或许有一些区别.
至少在那个证明的作者看来, 他的证明比我的 "更好", 我的 "不够严密".
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lzrm (lzrm) 于 (Thu May 23 22:53:04 2013, 美东) 提到:
所以推出矛盾，所以假设不正确。
我在帮你，你看不出来么？你脑子不清醒了，该睡了。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:55:03 2013, 美东) 提到:
你这个是多绕一步,楼主是少绕一步,证明都对
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ncatlab (弃疾) 于 (Thu May 23 22:55:56 2013, 美东) 提到:
别灌了
有那么多时间证些定理去 :)
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 22:56:34 2013, 美东) 提到:
不, 你在指出我证明中没有考虑 "p_1,p_2,...,p_k以外的素数" 的情况.
你是否认可?
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 22:57:41 2013, 美东) 提到:
大侠学DAG的吗?
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ncatlab (弃疾) 于 (Thu May 23 23:00:14 2013, 美东) 提到:
我是菜鸟
刚刚开始学点AT
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:01:54 2013, 美东) 提到:
太难了, 证不出来.
能力仅限于在这灌这个.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:02:06 2013, 美东) 提到:
我基本按照你的行为顺序，但是改些用词（比如英文的 observe，跟中文
的考察，严谨性差不不少），这样看看是不是好些？：
=====================================================
假设素数只有有限个, 把该所有有限个素数记为
p_1,p_2,...,p_k ......(a)
对于这样一个数“N"：N = p_1*p_2*...*p_k + 1
N 不能被所有素数 p_1,p_2,...,p_k 中的任意一个整除，
由素数定义，可推导出: N是素数 .......(b)
由假设（a）可推导出：N 不为素数。 .......(c)
(b) 与 (c) 矛盾，故假设(a)错误。
证毕。
另：素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:05:49 2013, 美东) 提到:
是一个意思.
这个你认为是对的? 那就行了.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:08:38 2013, 美东) 提到:
可能是语言习惯的差别，中文说数学，个人觉得需要说的比较严格，多加限定
修饰语。
中文 non-fiction 方面，貌似总体语言习惯可能没有英文严格。。。
看看美帝非花边新闻和美帝高院判例用词方式啥的。。。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:09:22 2013, 美东) 提到:
你说版上这么多人觉得这个证明是错的, 主要原因是什么?
我认为的可能:
A. 水版大家挖坑成性, 都在乱灌.
B. 有些人长期不说汉语, 理解不了我汉语的意思.
C. 有些人天生逻辑有问题.
我猜测B是主要原因.
不敢猜C, 是因为C反人性.
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cyw (口令) 于 (Thu May 23 23:09:36 2013, 美东) 提到:
公开朱令案卷宗，
严惩凶手！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:12:16 2013, 美东) 提到:
这个我认为是对的。
但是你的首贴，我看了 10 多分钟也没看明白。还好后来跑去看了另一个帖子。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:12:24 2013, 美东) 提到:
re
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:14:53 2013, 美东) 提到:
反正我是 10 分钟没能理解，最主要原因把 “可知” 理解成类似
“so the fact is” 的意思。
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:21:11 2013, 美东) 提到:
"可知" <=> "so we know that / so we have that"
"the fact is that" <=> "事实是"
--------
Yes, I'm 吹毛求疵ing.
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:26:10 2013, 美东) 提到:
我猜很多人没看懂
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:27:54 2013, 美东) 提到:
可知 = 可以知道 / 可以得到 / 可以看出 / 可以推出 .....
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 23:29:24 2013, 美东) 提到:
有道理.
事实上, 我认为, 这是本坑的关键.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Thu May 23 23:32:26 2013, 美东) 提到:
可以知道 ==？ 可以推出
反正我是混淆了。。。可能我语文不行。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 23:36:52 2013, 美东) 提到:
常用数学语言,= " *显然*可以推出"
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thinkhard (think hard) 于 (Thu May 23 23:42:00 2013, 美东) 提到:
可知 是证明的常用语, 可以理解成 可以知道 / 可以得到 / 可以看出 / 可以推
出 中的随便一个或其他类似的 容易知道 / 容易得到 / 容易看出 / 容易推出 等等
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mdmx (没大没小) 于 (Thu May 23 23:44:20 2013, 美东) 提到:
lz,老邢让我来代表他谢谢你。我战斗力不行，不敢继续了。你继续对牛弹琴吧。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Thu May 23 23:44:31 2013, 美东) 提到:
我都说了N遍了
这个等价关系在楼主的前提下不成立，不能用
因为楼主规定了最大的质数是p_n
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bairen (败人) 于 (Thu May 23 23:49:46 2013, 美东) 提到:
继续围观
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:04:44 2013, 美东) 提到:
我靠，这么个简单问题，居然垒了这么高一座楼？LZ的证法是经典证法呀，任何
一个玩过2年奥赛的都应该知道啊。俺是11岁小学5年级上奥赛班时就见过这个题
了，当时讲反证法一般都用这个题来做例子。和这个题同时出现的一般还有格尼
斯堡七桥问题做一笔画问题的例子。这有什么可争的？这逻辑不是很明显吗？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:10:50 2013, 美东) 提到:
我这么问你吧:
你的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 在 "素数
只有有限个" 的前提条件下不对.
是不是?
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frdw (frdw) 于 (Fri May 24 00:12:26 2013, 美东) 提到:
帖子太长，不知道讨论到什么程度了。
我也感觉楼主证明有问题：
p_1,p_2,...,p_k 不能整除N, 不能直接推出所有小于N的素数都不能整除N吧？p_k 和N
之间还可以有很多很多素数。
即使事实上p_k和N之间所有的素数的确不能整除N,那也应该给出证明吧。这个证明应该
不容易吧。
个人浅见，如有不对，请见谅。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:13:27 2013, 美东) 提到:
如果你对a的质因数的上界做了规定，确实不对
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:15:08 2013, 美东) 提到:
你以后回答问题可以先清楚直白一些.
我就当你的回答是 "不对", 可以吧?
继续往下:
那么你的意思就是:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 成立的前提, 是 "
素数必须有无穷个".
是这个意思吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:17:06 2013, 美东) 提到:
不是
简单说，在这里只需要满足“质因数可以只比a小1”
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:19:49 2013, 美东) 提到:
已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 他可能在p_k和N之间", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道理吗?
换个说法:
已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 不是p_1,p_2,...,p_k中的任何一个", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道
理吗?
------
注: 在假设中, 我并未说p_1,...,p_k是从小到大依次排列的, 不过你可能默认了这一
点, 没关系, 就当你是对的好了, 这个和主题关系不大.
和N
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:21:03 2013, 美东) 提到:
那你直接说
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
成立的前提是什么吧.
请问我缺了什么条件?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:24:12 2013, 美东) 提到:
请你搞清楚你的逻辑.
我现在有一个命题是这样的:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
我认为这句话是对的.
你认为这句话成立, 需要 "某些条件"
那么你就应该指出条件, 并且指出: 在我一楼的证明中, 缺乏了这些条件. 由此我们就
知道, 这个命题不能乱用.
你需要指出这缺乏了的条件是什么.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:24:51 2013, 美东) 提到:
成立条件是，a的质因数以a-1为上界
这个在定理推论里是默认的
但是你用到了p_n，所以不满足a-1为上界
而成了p_n为上界，这个条件比定义里的条件强
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:28:22 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我还是举个例子吧.
比如集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 00:28:36 2013, 美东) 提到:
很有娱乐性就是了.呵呵
有时我都在想是不是老邢在左右互搏
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:33:49 2013, 美东) 提到:
LZ的质因数已经包括了所有质数,你还在上界上界的, 太弱了
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:35:13 2013, 美东) 提到:
俺现在不这么认为了，因为生活中也经常会遇到些逻辑不清楚的争论者。
现在想起来，中小学奥数还是有些用的，我相信只要稍有一些奥数逻辑
训练的人都不会出这种状况。呵呵
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:36:13 2013, 美东) 提到:
他不知道质因数和因数的区别。呵呵
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:37:35 2013, 美东) 提到:
看来是, LOL
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:38:52 2013, 美东) 提到:
l楼主用到了等价定义，我告诉他质数的两个定义此处不再等价。
你看不懂？
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:41:22 2013, 美东) 提到:
其实也不用奥数, 中学数学不太烂就行了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:44:37 2013, 美东) 提到:
我的意思是
要使等价定义成立
你必须保证比a小的所有数都考虑到
而不仅仅是考虑到p_n以下的数
因为这个是等价定义成立的前提
（这里面可能已经有无穷多个数了，不过这个没关系）
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:44:39 2013, 美东) 提到:
举例:
集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:45:14 2013, 美东) 提到:
不是这样，回答完毕
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:45:18 2013, 美东) 提到:
我没看懂你说的什么, 回答一个 "是这样吗?" 的问题, 可以简单到 "是" 或者 "不是"
就行了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:45:39 2013, 美东) 提到:
别打岔
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:46:10 2013, 美东) 提到:
我不知道你自始至终都是否看过171楼的证明.
我不知道你哪里意淫出来这么多 "必须保证xxx", 我怎么不知道我171楼证明中哪一点
用到了你说的 "必须保证" 的东西?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:46:13 2013, 美东) 提到:
因为你的问题问得不清楚呗
是"
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:47:13 2013, 美东) 提到:
发信人: nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖), 信区: WaterWorld
标 题: Re: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
发信站: BBS 未名空间站 (Fri May 24 00:36:13 2013, 美东)
他不知道质因数和因数的区别。呵呵
【 在 thinkhard (think hard) 的大作中提到: 】
: LZ的质因数已经包括了所有质数,你还在上界上界的, 太弱了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:47:46 2013, 美东) 提到:
真是急人
因为你用了那个“等价定义”
你连比p_n大的数都一概不考虑，
还敢说质数就是不能被本身以外质数整除的数？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:48:18 2013, 美东) 提到:
你既然说到上界, 你的意思不就是说:
对于自然数a,b和自然数的某个子集A而言, 虽然a>b, 但是有可能b是A的上界, 而a不是
.
你是这个意思不? 你能看出这有多荒唐不?
如果你本意不是 "上界", 那请把你的本意用能让正常人理解的语言表述出来.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:48:25 2013, 美东) 提到:
你不会也真的以为那个等价定义成立吧
希望你没那么弱
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:49:52 2013, 美东) 提到:
你别激动
事实上，a的质因数可以大于p_n这个你不否认吧
那么你觉得你直接用那个等价定义合适吗？
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 00:51:02 2013, 美东) 提到:
....................
不是
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:51:08 2013, 美东) 提到:
我来回一贴吧，您可能需要搞清楚因数和质因数的区别。为证明合数，只需要
考虑质因数就可以了。而您前面反复强调的p_n+1到a-1的这个整数集可能是
因数，但绝不是您所说的质因数，所以不必考虑。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:51:22 2013, 美东) 提到:
那你可以直接说 "你问的不清楚"
你既然不说我问的不清楚, 你还不直接回答, 你让我说什么?
另外, 我实在不知道这个问题有什么不清楚的地方, 谁能告诉我我这个问题我哪里问的
不清楚吗?
我的问题, 原楼层 (595楼) 的表述是:
-------
呵呵, 我还是举个例子吧.
比如集合 {1,2,3}
你的意思是, 这个集合, 以3为上界, 但是不以4为上界.
是这样吗?
-------
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:52:17 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我也同样怀疑, 你不懂 "质因数" 和 "因数" 的区别.
我问你, a的质因数, 是不是一定是质数?
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 00:52:57 2013, 美东) 提到:
你是真不知道质因数和因数的区别, xxsl
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:53:39 2013, 美东) 提到:
有人都举出反例了你还不知道？
13以下的质数相乘加1是个合数
其质因数是两个比13大的数
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:53:46 2013, 美东) 提到:
同样的道理，您这里用的质因数还是错误的，质因数是指质数因数，所以必须是质数。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:54:04 2013, 美东) 提到:
不是
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:55:31 2013, 美东) 提到:
a的质因数当然是质数
但是只要a有因数它就不是质数
你这里把质数定义到p_n
所以如果N有大于p_n的因数（有可能是实际的质数，你定义的合数），它仍然不是质数
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 00:56:50 2013, 美东) 提到:
你怎么那么糊涂
2*3*5*7*11*13+1=59*509
59和509都是质数
☆─────────────────────────────────────☆
nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 00:57:38 2013, 美东) 提到:
对啊，所以说“13以下的质数集包括了所有的质数”的结论是错误的呀。同理，
这里的数字“13”可以被替换为任意一个质数。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 00:59:49 2013, 美东) 提到:
那你动不动 "根据假设, 质数只有p_1,p_2,...,p_k" 这句话的意思?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:01:48 2013, 美东) 提到:
那你懂不懂 "假设, 质数只有p_1,p_2,...,p_k" 这句话的意思?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:02:23 2013, 美东) 提到:
这个结论当然是错的，但是lz证明得不对
因为他企图通过证明N是素数来完成反证
我要说的仅仅是，不能推出N是素数，因为那个等价定义不能用在这
但是只要稍加修改证明就是对的
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:03:48 2013, 美东) 提到:
明白啊，你就是假设素数集是有限的呗
但是你不觉得假设之后，就不能随便乱用推论了吗？
推论可没有那么多假设
比如推论没有假设最大的素数是p_n
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:06:15 2013, 美东) 提到:
唉，这么说吧
你怎么假设都可以
但是假设了就不能随便说素数就是不能被其他所有素数整除的数
因为你只考虑比p_n小的素数
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thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 01:06:27 2013, 美东) 提到:
有了假设之后,公理/定义/定理 都得重写, 对吗?
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:07:48 2013, 美东) 提到:
N是质数。
和
在只有p1...pn是质数的前提下，N是质数。
不是一个概念。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:09:00 2013, 美东) 提到:
那可得看情况
比如定义默认a的质因数小于a就行
lz偏要来个必须小于p_n
那当然就不成了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:11:16 2013, 美东) 提到:
质数的定义只有一个：不能被1和本身以外的“自然数”整除
其他都是有条件的推论
楼主可以搞一个自己的定义，没关系
但是最后要返回到我们所讨论的素数上去
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 01:13:04 2013, 美东) 提到:
假设存在K，p_n
即使假设K是N的因数，但也要注意K不可能是N的质因数，因为K不是
质数。那么K应该可以被分解成
一系列因数的积。对吗？如果这些因数有一些是合数，那这些合因数可
以被继续分解成更小的一些因数的积，对吗？以此类推，最终K可以被
分解成一系列质数的积，对吗？这些质数才是K的质因数。那么，就是
说N可以被K整除，而K可以被这些质数整除，所以，N也可以被这些质数
整除。而这是不可能的，因为我们刚刚说过N不可能被任何一个质数
（p_1到p_n）整除。所以假设不成立，即不存在这样一个K。
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:13:08 2013, 美东) 提到:
楼太高，没看完。不知道是不是有人和我表达过相同的意思。反正试试看这种说法大家
觉得有没有道理。
1. 素数的定义只有一个，就是只能被它自己和1整除的数。
2. 反证法一定要给个假设然后证到底的结论和假设矛盾才算数。这一点非常重要。假
设条件在推理中要用，而且不能违背，知道推到和假设条件矛盾的结论为止。
LZ的假设是素数是有限的，我们称为已知素数，那么
LZ说：“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
在反证法的前提下，这句话的意义是
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***已知素数***整除
因为你已经说了，素数就这些。但是，这是错误的。
假设已知素数是2，3，5。49就是变成了素数，而根据素数的定义，49能被7*7整除，49
不是素数。
也就是说，你没有证明N=p1*p2*...pn+1不能被大于pn而小于N的整数整除。
LZ在推论中就有错误，而不是在正确的推理后得出的结论和前提假设错误，不符合反证
法。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:13:10 2013, 美东) 提到:
那只是你的想法.
所有主流数学家都认为, 假设不会影响任何已经成立的命题的正确性.
你如果爱这么以为, 那只能说你的逻辑和主流逻辑不在一个档次上面.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:14:39 2013, 美东) 提到:
来看看吧, 我给你假设一个情况:
按照你的逻辑:
--------
假设 "a是素数, b是小于a且大于1的自然数, 并且b能整除a"
根据质数的定义, 可知, a不是素数, 于是, 你说的定义是错的.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:17:09 2013, 美东) 提到:
又来了一个脑子犯晕的.
我从不假设 "已知素数是哪些", 我只假设 "素数是哪些", 请问: 素数还有 "已知" 和
"未知" 的区别? 请你先给从数学上定义一下, 什么叫 "已知" 的素数, 什么叫 "未知
" 的素数?
另外, 素数的定义只有一个, 只是你这么认为而已.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:17:47 2013, 美东) 提到:
加上这些讨论当然就好多了
那个K有可能是真正的质数，但是按楼主的假设是合数
反正能推出矛盾来
这个没关系
但是楼主直接说N是质数，因为不能被p_i整除，是错的
因为N可以被K整除，有这种可能
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:18:05 2013, 美东) 提到:
凭什么 "质数的定义只有一个"?
谁告诉你的? 理由是什么?
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 01:19:18 2013, 美东) 提到:
恩。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:21:06 2013, 美东) 提到:
你 "嗯" 其中哪一句?
不介意的话看一下639楼.
请选择性无视第一句 "又来了一个脑子犯晕的."
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 01:21:40 2013, 美东) 提到:
坦率地说我的上述讨论是不必须的，因为如我上面所说，讨论一个数是否为
合数，只要考虑“质”因数即可，而完全不必考虑合因数。这就是为什么LZ
根本不考虑p_n+1到N-1的缘故。这在数论中是非常合法合理的
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:22:43 2013, 美东) 提到:
证明的过程是：
假设A是对的，那B也是对的，但A和B是矛盾的，所以A不可能对。
然后你在那里反复纠结B到底对不对对不对。
说到底楼主不是在证明B对不对这个命题，而是证明由A可以推出B对不对这个命题。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:22:46 2013, 美东) 提到:
你要说什么啊
下面你说的a当然不是素数
你对素数的定义是：不能被p_n以下质数整除的数是质数
你要这么定义也可以，但最后得把话说回去
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:23:13 2013, 美东) 提到:
素数的原始定义难道不是只有一个吗？
你随便怎么查资料都是这样啊
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:24:18 2013, 美东) 提到:
那你实际上是重新定义了合数了
又得多好多证明
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:24:19 2013, 美东) 提到:
你是不是认为有某些数只有合数因数,而可能没有素因数
话说我在这个版已经心力交瘁,准备洗洗睡了
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:25:46 2013, 美东) 提到:
我要说的是, 为什么我的定义你觉得用一个假设就可以随便否定了, 而你自己认可的定
义, 一个假设就否定不掉? 区别是什么? 这是不是双重标准? 是不是逻辑缺陷? 是不是
戴了有色眼镜?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:26:04 2013, 美东) 提到:
你怎么也不明白
楼主已经重新定义了素数，在反证假设中
所以重新定义的素数没有那个推论
他却用那个推论来进行证明
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:26:28 2013, 美东) 提到:
请问 "原始定义" 和 "定义" 是一个意思吗?
你的意思是, 某个定义 "不够原始", 于是他是错的?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 01:26:45 2013, 美东) 提到:
又来一个。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:27:47 2013, 美东) 提到:
我死抠原始定义啊
如果定义都不明确，我们俩一个讨论鸡，一个讨论鸭子
那不是白费劲吗
你先说你要讨论的素数是不是我所说的素数吧
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:27:49 2013, 美东) 提到:
好，不就是换个词嘛。另，不要老说人家脑子犯晕。。。
你的前提是，你只假设了“素数是哪些”，然后告诉我“素数是这些”，就***这些素
数***。然后你在第三步中说，
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
那是不是应该是：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除
因为这是你的前提啊，素数就这些。
这个显然是不对的
2，3，5和49的例子。
另外，定义就一个！注意，是定义，你自己随便到哪里看看什么是素数的**定义**
”a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除“是无法推出”a除了
自己和1不能不其他整数整除“的。
然后你就没法归谬了，因为你没发证明a是素数。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:28:20 2013, 美东) 提到:
我告诉你,楼主定义的素数, 100个数学家(不是混饭的),会有100个赞同
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:28:26 2013, 美东) 提到:
请问, 在主流公理,定义和逻辑体系下, 我 "重新定义" 的素数, 和你眼中的素数, 有
什么区别?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:28:47 2013, 美东) 提到:
定义就是只有一个
如果不加其他限制，那些等价定义也可以用
但是你做了限制（最大质数是p_n)，所以有些不能用
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:30:45 2013, 美东) 提到:
RE。特别是用反证法，当然要证到这个原始定义。
谁知道其他推论有没有违背反证法的前提：素数是有限的。
素数分解定理的前提就是素数的原始定义。
否则你假设素数只有到pn，凭什么说a一定能被p1到pn整除？
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:31:10 2013, 美东) 提到:
这种口号就免了
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:31:10 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
这句话的正确性, 与假设是什么, 无关.
以上两行能懂不?
-----------
"定义就一个！"
你还加个感叹号, 呵呵. 我请问你, 是素数的定义只有一个, 还是说所有数学对象的定
义都只有一个?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:32:09 2013, 美东) 提到:
好吧，不管什么情况下，素数都不能被1和它本身以外的自然数整除
这个不能变吧
你要是变了，讨论的就不是我们的素数
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:32:22 2013, 美东) 提到:
你这个说法不对
我们在证明任何一个命题A=>B的时候,都要假设A这个条件成立是吧,找你这样说,多了一
个条件,平时成立的定理就不能用了吗?
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 01:33:46 2013, 美东) 提到:
这楼还在盖啊。。。。太流弊了。。。
大家加油！普及素数以及反证法知识！
我觉得这个问题只有写信请张大师回答一下 才能搞定。。。
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aidyzeng (xx) 于 (Fri May 24 01:34:55 2013, 美东) 提到:
不才搞过数学竞赛，楼主证法就是例题中的证法，无懈可击，不知为何有人不懂?看到
有人讨论pk到N之间是否有N的因子，简直笑翻了，与其纠缠这个问题还不如彻底放弃得
了。
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:36:11 2013, 美东) 提到:
我昏。这个限制不是定义，而是假设阿。
假设质数有限，那必然存在一个最大质数pn。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:36:36 2013, 美东) 提到:
如果你要用反正法，就一定要回到原始定义，因为你要证明你的假设是错的。
而你用到的所谓”定义“，都有可能在你的假设下不成立（它本来就是错的嘛）。任何
所谓的其他”定义“的引用，一定要说明它在你的假设下是成立的才能使用。
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
在你说”素数就这些“的前提下，显然是不成立的，怎么能当作推论步骤最后去归谬呢
？
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 01:36:40 2013, 美东) 提到:
谁知道blabla这句话是不正确的
如果你能够懂楼主的定义以及证明，你是可以推出这个定义仍然成立的。谢谢
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:36:58 2013, 美东) 提到:
他是觉得多了一个假设,一些平时能用的定理,等价定义就不能用了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:37:12 2013, 美东) 提到:
这里不是A=>B，而是A<=>B的情况
你胡乱加条件当然不行
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:37:54 2013, 美东) 提到:
你所谓的 "做了限制" 是不是就是 "做了假设"?
那请问, 在没有假设的情况下, 一个命题是对的, 结果有了假设, 这个命题就错了, 原
因是什么?
还是选择题, 已经问过很多遍了:
A. 这个命题就是傻逼到没救了.
B. 这假设是错的.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:39:42 2013, 美东) 提到:
那为什么本来我的定义就是很正常的素数, 结果由于 "某些情况", 你说我的定义不再
是正常的素数了.
你不去怀疑 "某些情况" 是不是出了问题, 反倒说我的定义有问题, 你说说你是不是逻
辑缺陷?
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:40:17 2013, 美东) 提到:
A<=>B 即 A=>B and B=>A
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:40:45 2013, 美东) 提到:
是啊，但是证明不是在假设的基础上进行吗
否则不成了瞎证
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:41:03 2013, 美东) 提到:
原始的定义, 在假设下就一定成立?
来你随便给我说个定义, 不妨叫 定义A 好了.
我来给你做个假设:
假设: 定义A是错的.
好的, 按照你的结论, 定义A错了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:41:23 2013, 美东) 提到:
我一直这么说，他们都不听
劝你放弃了
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:43:12 2013, 美东) 提到:
我们在说你的证明缺陷而不是结论
结论是正确的大家都知道
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:44:09 2013, 美东) 提到:
是啊
从A=>B是无法推出A=>B&C的
多个条件就完蛋了
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:45:16 2013, 美东) 提到:
我问你, 如果一个命题 (记为命题A), 已经被证明为是对的了.
那么, 我们做假设B,
请问:
做出假设B后, 命题A是对的还是错的?
如果命题A变成错的了, 那是假设B错了呢? 还是因为命题A本身太傻逼? 按照你的说法,
肯定是命题A太傻逼, 是不是?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:45:52 2013, 美东) 提到:
你根本就不懂什么叫 "一个命题是正确的".
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:45:59 2013, 美东) 提到:
如果A的“定义”就是S
你确实不能假设S不成立来搞什么证明
因为毫无意义
就好象说偶数定义成能被2整除的数
你来个假设偶数不能被2整除，根本毫无意义
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 01:49:30 2013, 美东) 提到:
数学老师死得太早了啊。
如果在通常情况下A，也就是他的那个定义是可以推出的
但是加了素数有限之后推不出了，说明什么问题？说明限制有错。
当然这个逻辑只是顺着你的话往下说。如果你能推出这个定义在该假设下不成立，那你
就找到了另一个证明素数无限的办法，虽然我不觉得这个会很容易证。
每个脑子犯浑的我都只给提一次醒，至今没有见到能拯救过来的
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:49:34 2013, 美东) 提到:
这是你的看法, 不是我的看法. 请问: 你是根据哪条公理和逻辑, 限制我不能做出毫无
意义的假设的?
你答不了上一个问题无所谓, 回答一下下面这个问题就行了:
--------
如果一个命题 (记为命题A), 已经被证明为是对的了.
那么, 我们做假设B,
请问:
做出假设B后, 命题A是对的还是错的?
--------
只需要回答 "是对的" 或者 "是错的", 不用超过3个字.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:49:58 2013, 美东) 提到:
那得看你的假设是啥子咯
可能假设导致一个无意义的结论
既不能证明A正确，也不能证明A错误
法,
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:51:15 2013, 美东) 提到:
你的意思是, 一个正确的命题, 是有可能由于一个假设, 变成错误的命题的, 对不对?
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 01:53:17 2013, 美东) 提到:
有人理解就好。握手
反正我觉得也没什么好争的，请LZ顺着他原先的思路证到
”n只能被自己和1整除“，大家就能歇菜了。
既然他们是等价的，那一定很好证吧？？？：）
但是，千万别跳出**这些素数**的假设哦！
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:54:06 2013, 美东) 提到:
你懂不懂 "一个命题是正确的" 这句话的意思?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 01:54:31 2013, 美东) 提到:
我刚才吃饱了撑的，特地去 google 了一下 Euclid's 的 proof 的 link，
看到两个不同的写法：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
==============================================================
Theorem.
There are infinitely many primes.
Proof.
Suppose that p1=2 < p2 = 3 < ... < pr are all of the primes.
Let P = p1p2...pr+1 and let p be a prime dividing P; then p
can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would divide
the difference P-p1p2...pr=1, which is impossible. So this
prime p is still another prime, and p1, p2, ..., pr would
not be all of the primes.
==============================================================
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P be
any common multiple of these primes plus one (for example, P = p1p2...pr+1).
Now P is either prime or it is not. If it is
prime, then P is a prime that was not in our list. If P is
not prime, then it is divisible by some prime, call it p.
Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would
divide 1, which is impossible. So this prime p is some prime
that was not in our original list. Either way, the original
list was incomplete.
==============================================================
先撇开不讲这两个证明小地方的差别，我觉得跟楼主写法差别主要是语言习惯问题，
英文 Suppose / Let / Call / Now / If / Then / So
都可以直接望文生义，于是中文看 “可知” 也望文生义了一下。。。
另外俺作为码工，个人觉得上面两个里面，看第二个证明更一目了然，因为直接跟
现代集合论挂钩。第一个证明看起来更像从前高中数学课本的数学语言写法。
另外楼主的写法的用词也更多的接近高中数学课本的写法。码工一眼扫过去可能也
不习惯。。。
等等
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:54:42 2013, 美东) 提到:
以及 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 是正
确的还是错误的?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:55:36 2013, 美东) 提到:
我都说了好多次了
得看B
有的对，有的不对
你那个就不对
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 01:56:51 2013, 美东) 提到:
是有这个可能啊
但是你没做到这一点
你假设出了一个没用的东西
你构造了一个既不是素数集也不是合数集的玩意
没法证明任何问题
?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 01:58:14 2013, 美东) 提到:
呵呵, 你这还不叫有色眼镜?
凭什么你的就对, 我的就不对? 你能给出合理解释不?
你前面一大堆废话从来都是在陈述这个 "断言", 从未证明过.
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 01:58:57 2013, 美东) 提到:
楼主的证明（其实是老欧的证明）很严格
A命题：质数有限
B命题：存在一个最大质数pn
C命题：存在一个比pn还大的质数N
楼主证明了：
AB == true;
B-> C == true;
C->!B == true;
根据公式A->B == not A or B, 得出：
not B or C == true
not B or not C == true
得出 B==false
又因为AB == true;
得出 A == false
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 01:59:01 2013, 美东) 提到:
你没有得到它, 如果A是真命题, 那么为了证明p=>q, 我们可以转而证明
p&A=>q
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:00:28 2013, 美东) 提到:
问题就在于N不是质数，不符合质数定义
其他都没问题
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:00:31 2013, 美东) 提到:
素数是无限的！！！！！
这句话是正确的还是错误的？
你那句话的前提就是素数是无限的。但你假设素数是有限的，这句推论怎么能用到证明
里呢？
你都知道了素数是无限的还证个什么啊。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:00:33 2013, 美东) 提到:
大家不用吵了，看俺上面搜出来的英文版写的证明里面的第二个，一目了然。
楼主搞了个高中数学式的写法，外加中文版证明承启转和用词用语。让版上
天天上班看现代数学英文版写法的码工们纷纷阴沟翻船。。。LOL
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:01:49 2013, 美东) 提到:
还是那个问题 (你真的懂如何用精简的语言来回答别人的问题吗? ) :
命题A成立.
如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:01:52 2013, 美东) 提到:
A如果不是真命题呢
完全瞎忙活
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:02:34 2013, 美东) 提到:
同意，楼主没证明C
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:03:41 2013, 美东) 提到:
请问哪只眼睛看到我那个定义正确的前提是 "素数是无限的" ?
定义正确性的证明在171楼, 请你指出171楼哪一句用到的哪个命题是要求 "素数是无限
的", 谢谢.
如果找不出, 请没事干不要给别人的说法扣帽子, 谢谢.
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:03:42 2013, 美东) 提到:
这个A当然是真命题
对于一个真命题,我们可以在任何推理中自由的用到..
如果 在某一个假设下(素数有限),这个真命题突然不对了(先不说是不是突然不对了),
那么说明这个假设是错误的,于是也达到了反证的目的
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:04:41 2013, 美东) 提到:
受不了了。这个证明更本不关心C是true还是false.
如果你仔细看我写的东西，就会发现C是不是true根本对楼主证明没有任何影响。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:04:53 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:05:52 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:06:02 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:06:07 2013, 美东) 提到:
楼主的证明说明了:
not B or C == true
not B or not C == true
换句话说，不管N是不是质数 （命题C），那个B肯定都是错的。有这点就够了。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:06:09 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:07:19 2013, 美东) 提到:
如果你们这帮搅浑水的真的不是在挖坑的话, 那我只能说你们太蠢了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:07:55 2013, 美东) 提到:
你是在说你自己的证明还是lz的证明
lz的逻辑就是C为true，所以发现了新素数
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:08:08 2013, 美东) 提到:
楼主那个是高中数学语言写法，大伙儿都得回去查高中数学语言的习惯的推导方法。
不过不必费事了，俺搜了个现代集合论写法：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P be
any common multiple of these primes plus one (for example, P = p1p2...pr+1).
Now P is either prime or it is not. If it is
prime, then P is a prime that was not in our list. If P is
not prime, then it is divisible by some prime, call it p.
Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise p would
divide 1, which is impossible. So this prime p is some prime
that was not in our original list. Either way, the original
list was incomplete.
这个里面是这么说的 “If P is not prime, then it is divisible by
some prime, call it p. Notice p can not be any of p1, p2,
..., pr, otherwise p would divide 1, which is impossible.”
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:10:10 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是不是没胆量回答这个问题?
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:11:30 2013, 美东) 提到:
这个跟楼主的没有任何区别
).
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:12:09 2013, 美东) 提到:
哎呀，我不想多说了
lz的逻辑就是，他可以构造出一个新的素数N（按他自己的定义）
这个素数比p_n还大，所以归谬
但是你承认这个N可能不是“实际的素数”吧，对吧
所以他归谬反证的是“按我自己定义的素数集是无限的”
而他自己定义的素数集包含了实际的合数
,
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:12:56 2013, 美东) 提到:
区别大了
lz一口咬定那个N是素数
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 02:13:04 2013, 美东) 提到:
这是你171楼的证明，我帮你改了一改：
记住，前提是你说了只有**这些素数**。
你这个结论是不能带入反证法中再去归谬的。
不信你不要分开证，直接将171楼的逻辑代入反正法就知道错了。
-------------------------------------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是这些素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的****这些素因子****
！！！这句话在反证法的前提下是错的！！！
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:13:08 2013, 美东) 提到:
不过其实这是一个生动的例子说明现代数学语言的好处，更加清晰无二意。
同样的概念，古典数学语言实在是要绕口 N 多。。。搞不好就被绕晕了。。。
高中课本还是用古典数学而没有引入现代数学，个人觉得是落后的。这点上
美帝也很不行。
码工一旦上本科，完全丢弃古典数学语言，而采用现代集合论图论语言（离散
那块），不是没有道理的。
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:13:21 2013, 美东) 提到:
我理解楼主的“可知”就是 B->C
如果要咬文嚼字的话，可以改成“可以推出”，“可以得出”，“可以导出”。。。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:14:29 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是不是没胆量回答这个问题?
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:15:04 2013, 美东) 提到:
这是类似的证明，但是不同的写法。没有区别看你怎么定义“没有区别”。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:15:15 2013, 美东) 提到:
在素数有限的情况下,确实能推出N既是素数,也是合数呀
所以至少有两对矛盾
1. N是素数跟"p1,p2,...,pn是所有素数"
2. N既是素数,又是合数,神经错乱,自相矛盾
用1或者2都可以终结论述,
楼主选了1,这就够了
他没必要再去提2, 甚至没有必要,没有义务去提到N可以被证实为合数.没有任何问题
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:18:07 2013, 美东) 提到:
故意挖坑灌水的, 麻烦私信我一下, 我不会公开内容的, 我只是想省点力气.
你就说你是挖坑的, 然后我就不跟你纠缠了.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:18:10 2013, 美东) 提到:
“也是合数”没问题
你怎么知道“既是素数”？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:19:20 2013, 美东) 提到:
已知:
一. 命题A成立.
二. 如果命题B成立, 那么命题A不成立.
请问, 这说明什么?
1. 这说明: 命题B不成立.
2. 这说明: 命题A不成立.
3. 这说明: 命题A不仅不成立, 而且命题A是傻逼, 本来他成立的, 结果来了个B, 他就
不成立了, 所以A一定是傻逼.
-------
痛快点, 选什么?
你如果觉得这问题不够清楚, 你也可以自己补充你自己的选项. 不过由于选项1 和选项
2 的表述都是十分清楚的, 所以请你至少告诉我选项1以及选项2是否正确, 谢谢.
你是一直假装逃避这个问题吗?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:19:22 2013, 美东) 提到:
我觉得大家跟我一样都栽在那个“可知”的“知”了。
英文里面 “you know” 和 “then” 完全不是一个意思。。。
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:22:20 2013, 美东) 提到:
from/since " ", we know that...
英文数学书常见句式
know= can easily deduce
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:24:56 2013, 美东) 提到:
你说这个跟我们讨论的问题毫无关系
完全白费力气，懒得回答
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:25:25 2013, 美东) 提到:
你这个“即是/又是”也是高中数学写法，很容易受语言习惯影响或者所谓
的思维辨析。
现代数学直接说在集合里面，或者不在集合里面。不容易歧义。
我个人觉得现代数学语言跟古典数学语言一个很大的差别是：古典数学
语言更基于自然语言上的形成思维，有那么点哲学的意思。而现代数学
语言基本是建立在类似计算机伪码（pseudo code）上的思维，更加
精确和形式逻辑化，歧义少得多。
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whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:26:44 2013, 美东) 提到:
证明不管正着推还是反着推，我觉得“可知”的意思都是->
这个“可”字很重要啊
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:27:04 2013, 美东) 提到:
我看你是不敢回答.
如果你想让我指出这个和我们讨论的关系, 我告诉你,
A就是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
B就是 "素数只有有限个"
------
你要么脑子缺根筋, 要么已经意识到自己的错误, 但是怯懦到不敢面对错误, 懦夫一个
.
结论就是: 你要么是蠢货, 要么是懦夫.
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:33:08 2013, 美东) 提到:
美帝的高中数学课本写法？ wiki 上很少看到 we know that 。。。
并且是根据假设的 deduce 的而不是 facts 的那种。。。
我前面给的这个 google 排在很前面的 link 里，也没看见证明
里面有啥 we know that 。。。
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
中学数学可能是考虑对广大中学生人性化，多采用靠近口语化的写法。不过
中学数学可能主要是教思维，不是真正去应用，歧义不是优先考虑的东东。
做码工毕竟是少数人。。。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:34:35 2013, 美东) 提到:
计算机语言的第一个要求就是 context free 文法 。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:35:40 2013, 美东) 提到:
我给你认真写一下吧
你自己可能不知道，但是你已经把A偷换成了
a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除
这个结论本身就是错的
跟素数是不是有限个其实是无关的
然后你用它来反证出素数有无穷多个
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:36:14 2013, 美东) 提到:
你的意思是:
"a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除" 这句话是错的是吧?
☆─────────────────────────────────────☆
whmin (超超) 于 (Fri May 24 02:38:43 2013, 美东) 提到:
你就把 可知 当做一个固定词组不行吗
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:40:59 2013, 美东) 提到:
对
也就是说，素数的定义和右边的陈述完全没关系
吧?
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:43:33 2013, 美东) 提到:
当然可以，只要熟悉这种语言习惯。
好比如果熟悉文言文，大家用文言文灌水应该也没啥。但是我老不行，灌水白话文
用太多，技术文章有英文看太多，所以栽古典数学写法的坑里面也是情有可原吧
。。。
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 02:48:10 2013, 美东) 提到:
例子太多了,随手一搜... 前两个know 都是推断
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:48:33 2013, 美东) 提到:
既然你认为他是错的, 请指出他错在哪, 而不是对他的陈述品头论足, 你觉得没关系只
是你看不出关系, 看不懂关系, 不代表真的没关系.
我在171楼已经证明了这句话是正确的, 你看不懂不怪我.
我用这个定义可以判定2,3,5,7,11,13,17,19,.... 等都是素数, 我还证明了他的正确
性, 你根据什么理由说他是错的?
☆─────────────────────────────────────☆
thinkhard (think hard) 于 (Fri May 24 02:49:54 2013, 美东) 提到:
你的情况很理解, 完全不是智商或逻辑的问题
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 02:50:19 2013, 美东) 提到:
没上下文的话，您这句话就错了。所以不是 context free 。。。
没上下文，你只能说
a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何除自己以外的任何素数整除
另外大于1是白说的，后面都隐含了大于1了，不过懒得改了。。。
不过这个也不算定义。。。定义是不能被除了 1 和自己之外的所有其他任何自然数整
除。
吧?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:54:46 2013, 美东) 提到:
没上下文, 是不是意味着默认了 "在主流的数学公理和逻辑规则的前提下" ?
我说这个, 是为了避免等一会哪一边出现吹毛求疵的情况.
此话强调一次, 以后就默认自带在context里面的.
以上是否接受?
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Fri May 24 02:56:41 2013, 美东) 提到:
错就在于，它背离了素数的定义
算了，我们说得够多了，估计也没啥结果
不用再讨论了
反正bbs上也很难有谁说服谁的情形
何苦自寻烦恼，不如找个轻松话题灌水
我退出了哈
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:58:30 2013, 美东) 提到:
我的意思就是, 这是素数的一个等价定义:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
只要承认主流数学公理,定义,逻辑都正确, 那这个定义就是对的.
所以你的问题不单单是看错字了, 可能你还有其他的逻辑错误 (或者我不说的这么绝对
, 换一种说法: 你的观点和我的观点矛盾).
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:00:50 2013, 美东) 提到:
不对，还要加上你反证法的前提：素数是有限的
因为你将这个结论用到了反证法的逻辑推理里了。
然后就逻辑就不对了。因为如果素数是有限的你这个证明是不对的。
就好比说：你说，所有平行线都不相交，对吧，大家都承认吧！！"在主流的数学公理
和逻辑规则的前提下" ，大家都承认吧
然后你去用反证法证明平面上两条平行线A和B不相交
你假设假设A和B相交。
哦不，所有平行线都不相交，大家"在主流的数学公理和逻辑规则的前提下"承认吧！
所以假设是傻逼（你自己的用语）
好吧
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:01:50 2013, 美东) 提到:
你得证明他背离了素数的定义.
你不能因为他们的表述 "看上去不一样", 就说他们在数学上不同.
这就好比: "我今年80岁" 和 "我去年79岁" 矛盾吗?
你不能因为他俩长得不一样, 就说谁背离了谁吧.
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:03:43 2013, 美东) 提到:
这个是课本讲课的段落，还是证明题的严格证明？
另外如果是讲课的段落哦，歧义与否也取决于上下文。
不过上班/工程里面如果说 we know，大部分情况就算是推断，
也基本是事实。至少俺这种英文不太好的老中不太敢用可能引
起歧义的用法。。。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:03:49 2013, 美东) 提到:
另外, 你这个表述:
"a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何除自己以外的任何素数整除"
作为命题来说是正确的, 不过他不能作为素数的定义, 因为你定义a是否是素数的时候,
得先知道 "除a以外的素数" 都是哪些, 这个导致其不可操作, 于是你无法判定a到底
是不是素数.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:06:02 2013, 美东) 提到:
OK, 我之前复制粘贴错了.
我还以为我复制的是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
" 这句话.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:07:26 2013, 美东) 提到:
不好意思, 我之前手误复制了你的内容.
现在重来.
你不要给我扣帽子, 我没有偷换过A的概念,
A是 "a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除"
不要根据你自己的奇葩逻辑来强行声称我偷换了A的概念.
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:08:20 2013, 美东) 提到:
你前面的定义里面加了个 “小于 p_n”，那个只有 “在所有的素数都小于 p_n”
的前提下才成立。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:08:23 2013, 美东) 提到:
抱歉.
手误复制错命题.
我本意是指 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命
题.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:09:14 2013, 美东) 提到:
sry, 手误, 见749楼的解释.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:10:31 2013, 美东) 提到:
我现在强烈怀疑你是个挖坑灌水的.
因为你在我出现了第一个明显的复制错误的时候, 竟然就宣称 "退出" 了.
你的目的是不是就是让我不爽? 因为就算我承认了是手误, 你也可以假装看不到.
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:12:54 2013, 美东) 提到:
哈哈，大家都敲乱了。
如果我没有记错的话，素数的定义应该是“不能被除了 1 和自己之外的任何自然数整除
的自然数”。
数学里面一个东东的定义只能有一个，其他的要么是等价定义，要么是命题。
否则就是重复定义。
你刚才说的是对的，“不能被除了自己以外的任何素数整除”是命题而不是定义，
定义不能循环定义。
候,
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:17:32 2013, 美东) 提到:
这个命题是正确的！
但是不能用在反证法中，见平行线反证法的例子！你不能随便将一个定理引入反证法逻
辑，否则就会得到这样的笑话：
就好比说：你说，所有平行线都不相交，对吧，大家都承认吧！！"在主流的数学公理
反证法的context和一般证明是不一样的！
证明两条直线是平行线，用反证法只能用定义：两条直线不相交
证明是素数，在反证法中请用定义：只能被1和自己整除。
引用一切其他定理一定要证明这个定理和假设无关。
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
这句话和”素数是有限的，就是这些“是有关系的。因为这个假设，这句话在反证法的
context中不成立，不能作为逻辑推断最后归谬的一部分。
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:19:30 2013, 美东) 提到:
对，特别是在反证法里面，因为context中有条假设是错的，这些定价定义很多不能直
接用的。
整除
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:21:31 2013, 美东) 提到:
正确的命题不能用在反证法中?
------
你举的那个平行线的例子, 不能说明你的观点.
你说的 "假设是傻逼" 并没有问题, 假设可以是很明显的错误, 没有人规定你一定要假
设什么.
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:24:34 2013, 美东) 提到:
反证法是可以用命题的，只要该命题的前提不会造成循环或者矛盾就可以。
不过从写法来说，我个人还是觉得这个更给力：
Theorem.
There are more primes than found in any finite list of primes.
Proof.
Call the primes in our finite list p1, p2, ..., pr. Let P
be any common multiple of these primes plus one (for example,
P = p1p2...pr+1). Now P is either prime or it is not. If
it is prime, then P is a prime that was not in our list.
If P is not prime, then it is divisible by some prime, call
it p. Notice p can not be any of p1, p2, ..., pr, otherwise
p would divide 1, which is impossible. So this prime p is
some prime that was not in our original list. Either way,
the original list was incomplete.
里面的 “If P is not prime, then it is divisible by some prime,
call it p”。这个直接可以从素数定义推出。。。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:26:55 2013, 美东) 提到:
不管是正证还是反证，正确的命题都是可以用的，但前提是不能导致循环论证。。。
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:28:46 2013, 美东) 提到:
当然不能用了，除非你证明这个命题和反证法的前提无关。
你不觉得用”所有平行线都平行“来说”两条平行线是相交的“这个假设很可笑吗？
所有平行线都平行的利用了平行线的传递性。显然，你假设两条平行线相交的话就不成
立了，在反证法中当然不能用。
☆─────────────────────────────────────☆
bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:30:40 2013, 美东) 提到:
+1.
我的意思就是这个。
LZ用的命题导致了循环论证。
让LZ将他的命题的证明带入反证法一起看就知道了。我前面给过。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:30:58 2013, 美东) 提到:
看来得上 wiki 了，刚才去找了 wiki 上关于素数的定义：
A prime number (or a prime) is a natural number
greater than 1 that has no positive divisors other
than 1 and itself.
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
☆─────────────────────────────────────☆
startrek (voyager) 于 (Fri May 24 03:32:56 2013, 美东) 提到:
把楼主的证明改写了一下，大家看看对不对。我觉得和楼主的证明是等价的。
素数定义：
* 最小的素数是2
* 一个数是素数，如果这个数是不被任何小于它的素数整除的自然数
素数的性质一：
* 素数只有有限个
假设性质一为真, 将所以素数记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
可知: 如果性质一为真,则N是满足前面素数定义的素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故性质一为假，素数有无穷多个，前面N是素数的推论未必成立。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:34:23 2013, 美东) 提到:
我觉得他的想法是对的，但写的文字太有歧义了，而且当中有个跳跃。
证明题（虽然码工们很久不搞证明题了，但是总还见过猪跑的。。）
写得严谨还是很重要的。思路正确但是写得不够严谨，也是会扣分的。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:37:15 2013, 美东) 提到:
首先, 我这个命题确实和反证法的前提无关.
再次, 请你用脑子想一想, 一个命题是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证明
的假设所影响?
这句话能否理解? 请回答.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:38:35 2013, 美东) 提到:
谢谢，但是：
可知: 如果性质一为真,则N是满足前面素数定义的素数
你还是用到了LZ引用的等价命题。你认为不能被**已知素数**整除就是素数。
而素数的“原始”定义是：只能被自己和1整除的数
在这个反证法的前提下，LZ和您的证明没有保证N不能被Pn+1到N-1之间的数整除。
你没有证到N符合“原始”定义。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:40:51 2013, 美东) 提到:
改写是正确的.
"素数有无穷多个" 这个命题的证明方式太多了.
我本意只是想强调: 1楼的证明没有错误.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:42:24 2013, 美东) 提到:
“一个数是素数，如果这个数是不被任何小于它的素数整除的自然数”
这个不是定义而是正确的命题。不过这个很容易证明（如果能被非素数整除，
自然能被“组成”非素数的素数整除，这个意思）。并且也不引起循环论证
（证明时没有用到有限无限的假设）。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:46:11 2013, 美东) 提到:
请你想一想, 若一个命题 (已被证明) 是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证
明的假设所影响?
难道某个假设会让他变成 (在主流公理体系下) 错误的命题?
请回答.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:46:52 2013, 美东) 提到:
我用脑子想了想，跟你这么说。
我们说：
这个命题是正确的：若A和B，则Z
然后你要用反证法证A
所以你假设A是错误的，
我问你，若A是错误的且B是正确的，还能则Z吗？
这个命题在反证法里还能用吗？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:48:25 2013, 美东) 提到:
这里面有个跳跃没有证明，但是可以证明并且不引起循环的。（任何一个非素数，
都能被某些个素数整除）。
但是这么搞比较繁复容易引起混淆，不如下面 link 里的证明简洁：
http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html
里面的关键点是 “If P is not prime, then it is divisible by
some prime, call it p. ” 这个由素数的定义可以直接导出，比证明
那个命题貌似简洁一些。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:48:32 2013, 美东) 提到:
命题 (即素数等价定义) 的证明在171楼, 现复制粘贴如下 (考虑对象a):
-----------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
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startrek (voyager) 于 (Fri May 24 03:50:39 2013, 美东) 提到:
如果我把上面post定义的素数改个名字，比如叫“吵架数”。那么上面的证明过程和结
论对如此定义的“吵架数”应该是全对的吧。剩下的问题就是确定这么定义的“吵架数
”和原始定义的“素数”是不是完全定价的。我觉得是的。
当然如果楼主使用原始定义，在加上最后那句“如果性质一为假则N不一定是素数”（
楼主没说这句但是确实也没有必要说）就没有这么多争论了。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:50:41 2013, 美东) 提到:
请补全A,B,Z都是什么, 谢谢.
因为我实在没看出来我干过你说的那种事情.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:51:35 2013, 美东) 提到:
如果公知的被引用的命题的证明的过程用到了你那个反证法的假设或者结论，就会引起
自相矛盾或者循环论证。
简而言之不能相互循环引用来证明。。。
但你这个证明没有这个问题，虽然不是那么显而易见。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:51:53 2013, 美东) 提到:
另外, 出于对我的尊重, 你能否先正面回答清楚我的问题? 而不是一上来直接跳过回答
, 就开始自说自话?
请回答770楼中的问题. 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:53:26 2013, 美东) 提到:
谢谢你这么多回复.
我的目的不是让他们认为 "素数有无穷多个" 这个命题正确, 这个命题本身确实是有很
多种证明方法.
我的目的是想通过自己的说理, 让他们认为1楼的证明是正确的.
看上去这很困难.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 03:56:41 2013, 美东) 提到:
"假设" 这个词, 大多数情况下, 就意味着他是还没有被证明的命题, 比如 "黎曼假设"
(riemann's hypothesis), 未被证明的命题, 本身当然不能随便引用.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 03:57:29 2013, 美东) 提到:
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
这句话要成立，你就要回头去证明素数是无限的，否则你怎么知道这个所谓的“素因子
”一定在**这些素数**中？
a会不会被pn+1到a-1之间的整数除呢？
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**，只是普通意义上的素数。
你说，你的命题和假设有没有关系？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 03:59:39 2013, 美东) 提到:
我是说你反证过程中的假设，对于你这个就是假设素数有限多。。。
设"
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 04:02:10 2013, 美东) 提到:
嗯，最终是应当的。我可从来没有说过“你用脑子想一想”“傻逼”什么的话哦。：）
你在770楼中的问题是：
请你想一想, 若一个命题 (已被证明) 是正确的, 那么其正确性怎么可能被某个未被证
明的假设所影响?
难道某个假设会让他变成 (在主流公理体系下) 错误的命题?
请回答.
我的回答是：
相信已经正面回答你的问题了
加个结论吧：”在反证法中会“。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 04:02:19 2013, 美东) 提到:
你这个证明写的不是太好。其实你要证明的是：
如果自然数a不能被任何小于a的素数整除，那么自然数a必然不能被任何小于a
的除了 1 以外的任何自然数整除。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:03:48 2013, 美东) 提到:
你举例子的目的是什么?
我只是让你指出773楼的证明, 哪一步用到了和假设有关的性质 (即素数有无穷个/素数
有有限个),
我是让你找出哪一步 用 到 了 和假设有关的性质.
你举例子是不是答非所问?
你写的有些东西我逻辑上不能理解, 请你先回答我这个问题:
问题1: 773楼的证明中, 哪一步用到了和假设有关的性质?
-------
如果你觉得你780楼回答的就是如上这个 "问题1" 的话, 那麻烦回复明示.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:05:55 2013, 美东) 提到:
另外, 我773楼在证明 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整
除" 这个命题时, 什么时候考虑过 "这些素数", "那些素数", "红的素数", "紫的素数
", 或是 "白的素数"?
你总不能强行认为我考虑过, 然后说我这么考虑是在意淫吧.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:14:27 2013, 美东) 提到:
OK, 这个怪我没有问一个疑问句, 导致你答案这么长.
换成疑问句吧:
如果一个命题 (已经被证明为) 是正确的, 那么其正确性, 会不会被某个未被证明的假
设所影响?
1. 会. 2. 不会.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:18:25 2013, 美东) 提到:
他们连 "两种定义下的素数是一样的" 都搞不清楚, 你再给他们说个 "吵架数", 他们
会更抓狂的.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:20:55 2013, 美东) 提到:
785楼由于将 "773" 手误打为 "774", 在原帖做出了修改.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:28:27 2013, 美东) 提到:
当然可笑, 因为你假设的命题不成立.
但是你总不能因为你假设的命题不成立 (而且按照你的观点, 应该是错的很可笑), 就
说你不能用 "所有平行线都不相交" 这个命题吧? 为什么不能用?
只是你认为这个太显然, 所以自己给自己脑补了个规矩, 说太显然的时候不能用. 等到
了某些不显然的地方, 你就乱套了.
-------
BTW, 我还真要问你一句, 如果你不用 "所有平行线都不相交" 这一基本命题, 你怎么
证伪 "存在两条相交平行线" 或 "两条平行线是相交的" 这类命题?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 04:31:19 2013, 美东) 提到:
你怎么唧唧歪歪半天还没说明白我哪一步循环论证了?
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:35:08 2013, 美东) 提到:
说说你码啥了，万一以后碰到了可以直接忽略，免得浪费俺的时间
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:42:29 2013, 美东) 提到:
如果之间有这么个数x存在，则该数是和数，且必然会被p1-pk之中的某个数整除。
换言之，能被数x整除的必然能被某个质数整除。
记住：所有的合数都能表达为一系列质数的乘积形式。
..
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:45:35 2013, 美东) 提到:
你是在bso中学就留学了吗？
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 04:46:06 2013, 美东) 提到:
就是因为你没考虑，所以反证出错了。
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
那你这句话用到了和假设有关的性质
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
我们将这句话代入你的反证法。
你在你的证明里其实用了该命题的这个逻辑：
“a不被任何小于a的素数整除 => a是素数”
但是，前半句是在反证法的假设下，所以前半句中的素数指的是你假设中的素数。
后半句是结论，是要和假设归谬的，所以后半句中的素数指的是素数的定义：除了自己
和1不能整除
所以，这句话其实是
“a不被**这些素数**整除 => a是除了自己和1不能整除的数”
这句话是错的。
你假设**这些素数**只到pn，a会不会被pn+1到a-1之间的数整除呢？你没有证明。
所以我给了例子：
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**。
而你构造了31，你还要证明6到30之间没有数可以整除31，才能说31是素数，才能和假
设归谬。
或者说，”a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除“这句话在素数是有
限的情况下是错的，这句话本来就要素数是无限的这个前提。有没有循环论证呢？
我说完了。谢谢讨论，明天还要上班~
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:50:27 2013, 美东) 提到:
哈哈哈哈哈哈
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 04:59:52 2013, 美东) 提到:
恩，还有中文定义英文定义:)
话说回来，原始定义用的啥语言？
是不是得用原始定义语言才算Y原汁原味的原始定义？否则怎么证明翻译以后的和非原
始定义等价？
我承认无聊了哈
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:00:22 2013, 美东) 提到:
你看话不看上下文吗:
在a是大于1的自然数的前提下, 请问这句话对不对?:
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a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
-------
请回答: 对, 或者不对.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:05:38 2013, 美东) 提到:
请问:
7不是你所谓的 "这些素数" 说明了什么?
A. 说明了 "素数不止有这些, 即2,3,5"
B. 说明了我的定义不可靠.
你在错误假设的前提下, 试图来说明我的定义不可靠, 又如何?
这能说明我的定义本身是不可靠的?
有逻辑没?
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 05:06:40 2013, 美东) 提到:
就是说码工高级了，得高级的用词才配得上？
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walkingtree (低烈度折腾) 于 (Fri May 24 05:12:01 2013, 美东) 提到:
不做码工的数学家可能要悲剧了，是吗？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:31:13 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是说我的定义的正确性一定需要有个前提, 那就是 "素数有无穷个" ?
OK, 那我这么问你:
考察以下若干个命题:
一: 素数有无穷个.
二: a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除.
A: 如果命题一正确, 那么命题二正确.
B: 命题二正确.
C: 如果命题一不正确, 那么命题二不正确.
你既然说我的定义的正确性一定需要 "素数有无穷个" 这一前提的话, 你一定是在说命
题B不正确, 对不对?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 05:33:40 2013, 美东) 提到:
您真有精神。。。
这些人根本不知道自己在说什么。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 05:46:27 2013, 美东) 提到:
我问你, 你看以下这个命题对不对:
命题一: 如果素数只有有限个, 那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何
小于a的素数整除"
请直接回答: 对 or 不对.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 06:10:46 2013, 美东) 提到:
以下简记 " 'a是素数' 等价于 'a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除' "
为命题P.
你只说明了 "如果素数是有限个, 那么P不成立".
你如果想声称 "素数有无穷个" 是P成立的前提的话, 你应该能够证明以下这句话是错
的:
"如果素数只有有限个, 那么P成立"
请尝试证明他是错的.
我可以先证明给你看为什么 "如果素数是有限个, 那么P成立" 这句话是对的 (实际上
由于这句话的前提假设是错的, 所以后半段无论是什么, 整体都是对的, 但是我觉得以
你的逻辑水平和智商, 是无能力理解我这句话的, 故我打了括号, 括号内的内容你可以
不用去管, 和我想说明的东西也没有必然联系, 我不奢求你能看懂)
--------
现在, 我来证明 "如果素数只有有限个, 那么P成立" 是对的.
证明如下 (每行前面有#的部分表示证明的部分):
#如果素数只有有限个, 那么,
# 我们考察任意一个对象a,
# 如果a不是自然数, 那么a不是素数,
# 如果a是自然数, 那么,
# 1.如果a≤1, 那么a不是素数,
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数" 等价于 "a有小于a的素因子"
# 那么,
# "a是素数" 等价于 "a没有小于a的素因子" 等价于 "a不被任何小于a的
素整除"
# 那么,
# a是素数" 等价于 "a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
证明完毕
结论: "如果素数只有有限个, 那么P成立"
请指出这个证明中的问题, 若无问题, 请解释为何你说 "素数有无穷个" 是P的前提,
谢谢!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 06:48:20 2013, 美东) 提到:
谢谢夸奖.
你看我有没有当老师的潜质?
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Fri May 24 08:40:29 2013, 美东) 提到:
证明是错误的
在这个前提下
#如果素数只有有限个
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数"
这个不等价。
合数的定义是除了1和自己，还能被其他数整除。
你这句话中的素数有个前提，就是你反证法的前提，素数有有限个，而且最大为pn，就
这些素数了。a完全可能是新发现的素数，不是合数。
然后你就要讨论了吧。
如果是新发现的素数，反证法成功。
如果是合数，你才能继续你本来的思路，对不对？所以我认为你前面的证明是有缺陷的。
"
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 08:50:54 2013, 美东) 提到:
你跟daigaku都没理解反证法是怎么用的
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:14:39 2013, 美东) 提到:
我什么时候说过
------
# 2.如果a>1, 那么,
# "a不是素数" 等价于 "a是合数"
-------
中的素数, 是我定义的素数?
我指的是你所谓的 "通常的" 素数.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:15:59 2013, 美东) 提到:
这里的素数, 就是 "通常意义下的" 素数, 如果你真的非常喜欢用这种奇怪的方式来给
素数加一些区分的话.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 10:37:34 2013, 美东) 提到:
以后如果不加说明, "素数" 一律指主流公理体系下的 "素数".
这么约定行不行?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 11:00:19 2013, 美东) 提到:
这么样吧，你能不能证一下两个定义等价。我们都知道对于我们的自然数集它们是等价
的，你证一下，必须保证不牵涉素数是无穷的这个结论。很多人的论点就是这不是一个
trivial的东西。这个要求合理吧？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 11:10:18 2013, 美东) 提到:
这个要求很合理, 但真的不是我没有这么做过. 我在171楼已经写了.
当然, 我不介意再复制粘贴过来:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
以上这个证明并没有步步都划归到公理的情形, 其中 "a是合数 <=> a有小于a的素因子
" 严格来说, 还得用数学归纳法证明, 而且证明本身写得也不太规范, 比如最开始我没
有写上一句 "对于任意一个对象a" 就开始说 "a如何如何", 我的目的, 是为了保证原
帖内容的完整性和继承性, 因为这种争议比较大的帖子, 我觉得还是不要随意改动以前
的说法的好. 不过我可以人格保证, 这个证明并不需要用到 "素数有无穷多个" 这一命
题.
如果你认为以上哪个地方有可能用了 "素数有无穷多个" 的话, 麻烦进一步跟帖指出,
我会做进一步详细的解释. 认为证明中哪个地方有错误, 也请回帖指出.
谢谢!
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 11:51:05 2013, 美东) 提到:
大哥，我真诚的告诉你，不能被除了自己以外的任何素数整除这个不叫循环定义，这叫
recursive definition，就像recursive function一样，他和死循环是有区别的。请你
动动手去google一下。。。不要想当然。。。看了之后麻烦不要在这起哄了。。。谢谢
整除
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 11:59:09 2013, 美东) 提到:
如果说成
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
这个作为定义的话, 我感觉确实有点问题, 因为我在考察a是不是素数的时候, 似乎没
办法知道 "任何不等于a的素数" 都包括哪些.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:01:39 2013, 美东) 提到:
呃呃呃 你这是坑我呢么！！！
你不是一直说的是不被任何小于A的素数整除么。。。
你居然改了。。。。
不被任何素数整除当然不对了大哥。。。。。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:02:09 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
不过理论上来说, 根据这个定义, 我也可以判断哪些数是素数, 因为我知道大于a的数
不会整除a (这一事实不依赖于该定义本身), 所以我只需要考虑小于a的素数.
但如此说来, 我相当于是在根据 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除" 在做判断.
--------
我这里也搞不清楚了, 你看我哪个说法是对的?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:03:19 2013, 美东) 提到:
看816楼, 我是有疑惑的.
从逻辑上来讲, 或许是对的.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:03:56 2013, 美东) 提到:
额~~我复制粘贴没看清。。。不好意思。。。因为之前I63一直说的是不被比自己小的
素数整除。。。
所以。。。我想说的是：
大哥，我真诚的告诉你，不能被比自己小的任何素数整除这个不叫循环定义，这叫
recursive definition，就像recursive function一样，他和死循环是有区别的。请你
动动手去google一下。。。不要想当然。。。看了之后麻烦不要在这起哄了。。。谢谢
整除
如果你已经知道这个是对的，那么无视我。。。
☆─────────────────────────────────────☆
jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 12:07:07 2013, 美东) 提到:
额~~有道理。。。只是加了一个trivial case。。。好吧 我naive了。。。
不过。。。那些人连比A小的素数整除都无法理解。。。你现在又说不被任意整除。。
。不是越搅越混。。。
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luobo (菠萝) 于 (Fri May 24 12:09:54 2013, 美东) 提到:
楼主是在证明孪生素数猜想吗？
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firearasi (firearasi) 于 (Fri May 24 12:11:56 2013, 美东) 提到:
It just does not really matter. If the known truth that " a is prime<=> a>1
& a cannot be divided by any prime that is smaller than a" suddenly fails
under the assumption that "there are only finite many primes", then the
assumption is already proven wrong by logic.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:17:31 2013, 美东) 提到:
我就是因为当初怕人喷我的定义是 "循环定义", 所以才加上了 "小于a" 的限制, 有了
限制以后显然就只是个普通的递归定义, 本身没有问题. 没想到后来还是躺枪了...
现在看来, 即便不用 "小于a", 而只用 "不等于a" 其实也是一个合理的定义.
另外, 其实1楼的证明的正确性, 并不要求 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被
任何不等于a的素数整除" 这句话能作为素数的定义.
只要这句话作为命题, 是正确的, 那就可以了. 所以即便是有循环定义, 但是其 "作为
命题" 是正确的, 那么1楼的证明仍然正确.
这里, 我的逻辑是这样的: 哪些数是素数, 哪些数不是素数, 不是我定义的, 是 "主流
的素数定义" 定义的, 我只是陈述一个事实, 即 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何不等于a的素数整除", 只要认为我陈述的这个确实是个事实, 那么就应该认
为1楼的证明没有问题.
------
呵呵, 于是我发现两个问题:
1. 当初坑没挖好, 不应该有改为 "小于a" 这个举动, 简直是多此一举, 投鼠忌器.
2. 当初没有说 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除"
是个正确的命题, 而是说 "这是素数的一个等价定义", 倒很不错, 这个对挖坑是有正
作用的.
-------
如果让我再来一次, 我会在证明中说:
由素数的定义 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除",
blablabla......
那想必此坑的效果比现在还好数倍, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:19:02 2013, 美东) 提到:
您是大牛, 就别再调戏我们了.
我也不调戏你了.
好不?
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 12:21:16 2013, 美东) 提到:
同意。本期非诚勿扰播出完毕。双方高手如云。
敬请关注隔壁台的法制类节目。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:22:44 2013, 美东) 提到:
sorry, 我的意思是,
您如果想开开玩笑的话, 我绝对乐意奉陪的.
只是咱们不要再基于一些 "非数学" 的东西来相互抨击了就好.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:23:56 2013, 美东) 提到:
NO.
还有很多人的 "数学上的" 错误, 没搞清楚呢.
至于luobo, 他和我都没有数学上的错误, 至少我这么认为.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:30:27 2013, 美东) 提到:
非诚勿扰完了以后不是什么 "好声音" 还是 "星跳水" 来着?
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newyouth (新青年) 于 (Fri May 24 12:30:48 2013, 美东) 提到:
看着坑大，忍不住跳一个。
就像前面一个人说的，光是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的
素数整除" 是正确的命题不够把。你需要说明这个正确性并不建立在素数无穷的基础上
。虽然你后来证明了，但是你需要把这样的证明加到1楼里面才能完备。加进去之后看
上去并不比欧几里得的要简洁了。
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 12:42:54 2013, 美东) 提到:
谢谢
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:49:02 2013, 美东) 提到:
我并没有说我这个证明比欧几里得的简单.
不过欧几里得的证明中也用到了一些 "并非完全直白" 的事实.
当然, 这个我就不敢展开说了, 而且展开说的话也是个好坑, 改天挖挖.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:49:56 2013, 美东) 提到:
请问你后来看了我的812楼的回复了吗?
是否有问题?
谢谢!
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:50:00 2013, 美东) 提到:
我去查了一下，发现素数这个 recursive definition 是正确的。
谢谢。
只是素数这个 recursive definition 确实不如素数非 recursive
definition 用得广泛，外加 recursive definition 的正确性
常常不是那么显而易见，俺半夜三更的就先有罪假定了一把。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:54:08 2013, 美东) 提到:
我后面看到那个素数的 recursive definition。
如果用素数的 recursive definition，你的比欧几里德的简单，因为
你可以直接上 recursive definition。
但是素数的 非recursive definition 更流行，如果是 非recursive
definition，应该是欧几里德的更简单明了。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 12:58:08 2013, 美东) 提到:
你可能看错话了?
我830楼的原话是 "我并没有说我这个证明比欧几里得的简单."
呵呵, 我是个狡猾的人.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 12:59:28 2013, 美东) 提到:
素数的 非 recursive definition，不需要 “小于自己” 那个条件。
但是素数的 recursive definition，需要 “小于自己” 那个条件，
否则会变成错误的循环定义，而不是 recursive definition。
（少了那个条件无法 recur）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:01:36 2013, 美东) 提到:
我只是讨论事实，并不是说谁对谁错。
两个证明都对，但是你首贴的证明过程写得不是很完善，至少上来
把我搞晕了。。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:04:59 2013, 美东) 提到:
这个要强烈握下爪。昨天163还说我这么说是熊猫呢。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:05:24 2013, 美东) 提到:
呵呵, 其实不加 "小于a" 的条件, 也是可以清楚地定义出 "哪些数是素数" 的.
具体请再看一下814楼和816楼.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:09:24 2013, 美东) 提到:
其实我觉得你的证明思路更多倾向于 recursive-based。另外你首贴写的不太
完整，然后我看中文数学比较烂，一开始时误解了你的 recursive 思路。
欧几里德的原版不提（反正鸟语也看不懂），我看到的两个翻译（上面贴出来的），
其实一个更接近中学数学思路，另一个更接近现代集合论思路。我个人更喜欢现代
集合论思路。
如果是结果相差不大的证明思路，让我在 集合论-based vs recursive-based
里面选，我一般更倾向于选 集合论-based。主要是 recursive-based 比较
tricky，不小心会搞成循环论证。。。不过这个纯属个人 preference。
当然，码 code 另说，recursive function 写起来比 stack-based 要快，
stack/queue-based 主要是为了速度，或者有些东西 recursive 反而自找
麻烦，比如 BFS 。。。
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 13:10:15 2013, 美东) 提到:
这才是理科同学该有的态度嘛~~很好·~大家长知识
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:13:52 2013, 美东) 提到:
本来就说是不完整啊。。。 怪不得原来最早跳坑的都跑了，留下新来的一波又一波继
续着
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:15:00 2013, 美东) 提到:
嗨呀....你说的高深了, 我无力理解.
我想先讨论讨论这个:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除" 其实也是可以作
为素数定义的, 没有问题.
你说是不是?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:16:09 2013, 美东) 提到:
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
上面这个是正确的命题，但不能作为 recursive definition。因为无法 recur，
造成循环定义。
下面这个才是 recursive definition，因为这个能 recur：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
这个是不是能 recur，对码工不太难，主要是码工写 recursive function
也是家常便饭。
那个英文版的素数 recursive definition 里面用词是 “if and only if”，
常常要那么写不容易有歧义。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:18:21 2013, 美东) 提到:
还是有区别的.
现在, 焦点基本已经变到 "这个素数的定义是不是合理" 上了.
最开始那波可是相当无理取闹的, 比如质问我 "为什么不考虑除了p_1,p_2,...,p_k以
外的素数" 等等, 让我蛋疼菊紧.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:28:58 2013, 美东) 提到:
不是的，原因我在 843 楼里说了。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:30:30 2013, 美东) 提到:
okok
pat pat
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 13:38:03 2013, 美东) 提到:
我举个例子吧, 如何根据
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
来判定2是不是素数:
由于2肯定不被比2大的自然数整除, 故2也不被比2大的素数整除 (这里用到了定义中的
"素数是自然数")
所以只需考虑比2小的素数,
blablabla
后面我就不说了.
-------
现在你仍旧认为这个定义有问题吗?
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 13:38:26 2013, 美东) 提到:
亲~~你实在是不太懂我们讨论的么。。。人家的证明没有问题，最多是那个recursive
定义的正确性不太明显，但不能因此说他错或者不完整。。。
说错 不完整的就是不理解反证法的
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 13:41:58 2013, 美东) 提到:
最后一句是我在这个讨论中最为反对的。其他的都是小问题。你继续哈。
recursive
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:45:06 2013, 美东) 提到:
不完整是指写下的证明文字里面有跳跃，不是指楼主的思路。
不过一开始人也不知道楼主的思路，都是先看文字吧。。。
recursive
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:47:02 2013, 美东) 提到:
这个我要想一想。。。我现在有点事，待会儿在回来贴。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 13:59:16 2013, 美东) 提到:
I don't think it is right.
The point is, in recursive definition, for those elements used
to construct definition, being "correct" is not sufficient. It
has to be "defined" (prior current/this definition).
So the problem is any prime number bigger than current
prime number is "undefined" in current recursive context,
resulting a incorrect circular-definition.
I am kinda busy now. I can elaborate later when I got chance.
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:00:17 2013, 美东) 提到:
跳步骤和严谨与否不是一回事儿。有些人认为lz跳过了对等价性的证明就说不严谨，我
觉得是不对的。该不该跳步骤是按观众来决定。观众起点低，就要一步一步证，观众起
点高就可以跳步骤。这个和严谨与否没有关系。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:02:56 2013, 美东) 提到:
有些步骤是必要步骤。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:22:36 2013, 美东) 提到:
为了挖一个好坑, 我还在2楼小心翼翼的表达了一些东西.
不知道那些跳坑的人都注意看了没.
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:26:02 2013, 美东) 提到:
yes, 我认为必要步骤都有了
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:33:03 2013, 美东) 提到:
好像主要是因为那个素数的 recursive definition，这个不常用可能需要
特别说明一下比较好。
如果是中学数学考试，可能被判跳步骤，因为中学数学课本貌似没有用素数的
recursive definition。
当然，俺主要是栽在 “可知” 一词上面，语文问题。。。
不能再灌了，老板在喊我回 cube 码 code 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:33:19 2013, 美东) 提到:
这你就和我的基本观念有分歧了.
我这么说吧, 我有一个定义, 并且我现在根据这个定义 (以及其他主流的数学公理,定
义,逻辑体系) 可以清楚地对任意一个对象作出判断, 那这个定义能被称之为错的吗?
你说: "So the problem is any prime number bigger than current
prime number is "undefined" in current recursive context,
resulting a incorrect circular-definition."
这实际上是一种CS工作者的误导, 数学上从未有任何一条公理要求你定义一个东西, 一
定要按照 "从小到大" 的顺序来吧? (更一般的表述是: 数学上并不要求一个定义在考
察其可操作性时一定要满足某种序关系) 你这是一种计算机意义下的 "惯性思维", 在
数学上是不合理的.
简单来说, 我可以问你这么一个问题 (我想你回答了这个问题, 应该就能明白问题所在
了):
我在考察自然数a是否是素数的时候, 是否一定要知道自然数中大于a的素数是哪些?
注意, 我这里的 "一定" 有一点歧义. 换一种问法是这样的:
我如果不知道大于自然数a的素数有哪些, 我还能否说清楚a是不是素数?
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 14:33:32 2013, 美东) 提到:
好吧，的确说不懂反证法有点夸张。。。
我只是觉得其实很简单的问题，大家google一下就能明白的，就一定要想当然的自己根
据自己的想法争执。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:33:56 2013, 美东) 提到:
写证明不只是写给自己看的。一个版本，谁看了都觉得对。另一个，看了结论不统一。
前提是讨论同一个问题。高下很明显了啊。
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:35:23 2013, 美东) 提到:
问题是后来i63又补充证明了等价性，但继续有人挑刺，还有表示仍然有错的，还有纠
结30031的。这是为什么？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:35:32 2013, 美东) 提到:
其实2楼已经暗示的很明白, 如果你不承认这个定义的合理性, 我可以讲给你听.
但是你若已经承认这个定义的合理性, 还坚持认为证明是错的, 那就是愚蠢了.
据我目测, 前面的楼层中可是有很多人犯了这个错误的.
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:35:34 2013, 美东) 提到:
就是语文问题唉。实在看不过半瓶醋说别人不懂数学。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:37:55 2013, 美东) 提到:
这个要握爪
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 14:39:47 2013, 美东) 提到:
其实吧。。我是这楼一直盖过来的。。。第一波人是要么无理取闹，要么不理解反证法
，要么是逻辑学的不太好的。。。。是盖了好多层之后才变成讨论楼主定义存在漏洞这
个事上。。。不然我也不会进来掺一脚。。。
很多人都说，构造数N在lz假设下可能是合数，然后一定要楼主证明这个合数有一个素
因子不属于pn 然后才能推翻原假设。。。这个就是我特别不能理解的。。。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 14:42:39 2013, 美东) 提到:
有简单明了的方法更好而已。早说了10.5分和9.8分的差别。本来163的版本就只是小问
题。补充了可以算10.3分了。
支持163的同学(注:我没注意163说没说)硬说对方不懂数学和逻辑，不是搞笑吗？
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:47:29 2013, 美东) 提到:
我把不懂逻辑或反证法的都列到文史类了。你其中挑出一个懂逻辑的吧，我可以找到他
没逻辑的帖子给你看。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:47:36 2013, 美东) 提到:
不需要从小到大，刚才用从小到大只是说起来直观而已，并不是严格的说法。
关键的问题是在 recursive definition 里的 definition 的概念。
严格的说法，在这个 recursive definition 里，被定义的 “素数”（定义符号
左边），同时也出现在用来定义“素数”（定义符右边）。不要求从小到大，但要求
存在一个 context，在该 context 里面，定义符号右边的 “素数” 都已经被定义。
而且最终能够 recursive down，否则就是无法 recur。
recursive definition 广泛存在于计算机文法中。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:51:14 2013, 美东) 提到:
一开始就上 google，难道不是少了很多乐趣。。。
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linglingQ (灵灵球) 于 (Fri May 24 14:52:25 2013, 美东) 提到:
水粉好，刚提到粉呢，您就蹦达出来了
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mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 14:55:46 2013, 美东) 提到:
i will call it an "implicit" definition, no matter recursive or not, as long
as it's well-defined, the definition is good. for example, define x:
x+2 = 4, is a well-defined (irrecursive) "implicit" definition.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:56:18 2013, 美东) 提到:
哦, 这么说吧:
我们先不讨论 "计算机逻辑", 我们只讨论 "数学逻辑"
我认为, 在 "数学公理,命题,逻辑体系" 下, 一个定义是不是清楚, 唯一的判断方法就
是看你任取一个对象, 能不能够根据这个定义判断出这个对象符合定义或是不符合定义
.
我这么说你认同不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 14:56:46 2013, 美东) 提到:
你们这些人啊，想不开
long
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 14:58:47 2013, 美东) 提到:
recursive definition 和 non-recursive definition 都必须遵循
the order of definition （源于数学哲学的 causal-effect 假设）。
recursive definition 的 tricky 的部分，用现代数学语言来说，如果
被 define 的 item 是一个 set，需要存在一个 recursive context，
在该 recursive context 的时候，定义符右边的所用到的 sub-set 已经
被完整定义，从而可以用来定义定义符左边 sub-set。
这个不是时序，而是 the order of definition。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 14:58:59 2013, 美东) 提到:
另外, 按照你这一楼的 "计算机逻辑" 继续说.
其实这个context是有的 (如果我没有理解错你的意思的话), 那就是你先利用 "任何大
于1的自然数的因子必是小于等于它本身的自然数" 来构造一个 "context".
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:00:25 2013, 美东) 提到:
来说说, 你怎么看最新的这个定义合理性的问题?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 15:02:58 2013, 美东) 提到:
如果你把这个对象看成 set / sub-set，我觉得就容易理解 recursive definition。
当然，我是现代数学集合论/图论写法的扇子。。。没办法，上班老干这个。。。
另外，计算机逻辑跟数学逻辑有啥区别？这个计算机未必一定是要因特尔奔腾，也可以是
抽象的图灵机啥的现实世界中没有的东东。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 15:05:20 2013, 美东) 提到:
这个 context 是对于 set of prime numbers 而言的。。。因为你在用
recursive definition 来定义 prime number 的概念，现代数学集合论
的说法，你在定义 set of prime numbers 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:07:10 2013, 美东) 提到:
"计算机逻辑跟数学逻辑有啥区别？"
这个只是我为了形象表述出我自己的观点, 造出来的区别.
我逻辑学的并不好.
我再看看你的回复先.
以是
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:11:25 2013, 美东) 提到:
还是感觉不太对.
比如我要看a是不是素数, 我先有一个context, 这个context是建立在 "任何大于一的
自然数b的因子都必定小于等于b本身" 之上的. 我觉得这个context好像和素数是什么
并没有关系.
当然, 也可能是我没理解你建立context的规则和方式.
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jesseq (JesseQ) 于 (Fri May 24 15:18:49 2013, 美东) 提到:
true。。。。灌水的乐趣我还要慢慢学习体会。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 15:32:42 2013, 美东) 提到:
我觉得你好像是说问题在这里:
"a没有大于a的因子 => a没有大于a的素因子"
你说 我们还不知道 大于a的素数 "是不是一个集合", 因为我们从未讨论过 "大于a的
素数".
所以 "a没有大于a的因子 => a没有大于a的素因子" 形式上来说, 是错的.
是这个意思吗?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:19:58 2013, 美东) 提到:
比较接近了，如果把 “从未讨论过” 改成 “从未定义过”，可能更好理解些。
当然，我们上面其实是比较两个定义，其中一个有大小限定，另一个没有
大小限定。这个比较虽然让人更容易理解，但本身也会造成一定歧义。
俺下面就从纯数学而言，单就下面这个定义，不跟任何其他定义比较，
说说我认为错在哪里。
对于下面这个 recursive 定义：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
该定义的错误是在定义符号的右边，没能成功构造一个能够 recurs
down 的 sub-set。
上面的不能 recurs down 可以这么证明：如果素数是无限多个，那么
定义符右边的 sub-set 的 size 是 infinite - 1 = infinite。
你都没能 recurs down sub-set 的 size 。。。
当然，如果素数是有限多个（需要太阳从西边出来先。。。），那你这个
recursive 定义貌似就成功了，因为你的确可以 recurs down。实际
是不是可计算性另说，那个属于信息学范畴。。。有没有人吃饱了撑的
证明一下 non-deterministic turing machine 是不是可以按照
那个坑爹的定义算，前提是素数是有限多个。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:26:06 2013, 美东) 提到:
而 wiki 上 recursive 定义里面的 “小于该素数的” 的那一刀，
喀嚓把无限切成有限。。。够狠。。。
不过 wiki 好像还写了 positive，太严格了。。。哪头写 wiki
的数学猪吃饱了撑的没事琢磨到这等变态的程度。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:41:21 2013, 美东) 提到:
我更正一下自己，我刚才想了想，就算是有限多素数，
还是不可以的。
虽然有限多素数可以 recurs down the size of set，
但是还是不能 recurs down 该 set，原因是 recurs
tree 无法生成。因为用 “不等于自己” 构造 recurs
tree 的时候，会发生 tree node 相互 cross 引用
ancestor nodes 的情况，实际上构造成了一个有 loop
的 graph。因此 fail to recurs down。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:44:07 2013, 美东) 提到:
所以我觉得还是得 “小于自己的素数” 那刀够狠，直接避免了
recurs tree 里面引用 ancestor node 造成 loop 的
情况，保证可以 recurs down。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 16:45:58 2013, 美东) 提到:
另外 loop 的意思就是发生循环定义的情况 。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 16:51:38 2013, 美东) 提到:
看上去好复杂, 我已经疲惫了.
睡觉去了先, 起来再看.
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 16:54:23 2013, 美东) 提到:
举个反例证明你是错的吧。N不一定是素数。
比如：N=2*3*5*7*11*13+1;
N可以被59和509整除。
很多自以为破解了难题的人都是把一些本来就不成立的命题看作是显然成立的。数学需
要用数学的思维去思考问题，要不然从一开始你就错了。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:02:30 2013, 美东) 提到:
lz说的是“所有的”素数相乘加一。注意是所有的！你那个N是6个素数乘出来的，
不是所有的素数！怎么就这么点事，争了一天一夜了还有人不明白呢？唉。
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:06:19 2013, 美东) 提到:
发信人: l63 (l63), 信区: WaterWorld
标 题: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东)
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
。。。。。
可知: N是素数
--------------------------------------------------
k=1的时候，就一个质数2，
k=2的时候，就两个质数2和3，
k=3的时候，就三个质数2，3，5，
k=4的时候，就4个质数2 3 5 7
k=5的时候，就5个质数2 3 5 7 11
k=6的时候，就6个质数2 3 5 7 11 13
所有的质数都在这儿了，一个没有漏。
p1=2
p2=3
p3=5
p4=7
p5=11
p6=13
N=p1*p2*p3*p4*p5*p6+1=30031=59*509 不是质数。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 17:11:41 2013, 美东) 提到:
碰到谁这一仗打下来肯定都得累死。快睡吧。
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 17:14:40 2013, 美东) 提到:
你到是先证明N是素数啊。你以为随便有限个素数相乘再加个1就是素数了。谁告诉你这
个结论是成立的。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:14:45 2013, 美东) 提到:
俺实在无语了。呵呵。您自便吧。
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nikeman (已经颓了的北京超酷男胖子，简称酷胖) 于 (Fri May 24 17:16:49 2013, 美东) 提到:
类似的证明上面有不下几十贴了，呵呵。您也自便吧。谢谢。
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:25:11 2013, 美东) 提到:
俺也无语了，您也自便吧
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:26:48 2013, 美东) 提到:
你是说你自己吗？
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dangran (当当当) 于 (Fri May 24 17:28:44 2013, 美东) 提到:
看了一下你的帖子
根本就是个棒槌嘛
人家民科好歹知道推理反证
你连什么是演绎归纳都一窍不通。。。。
就这水平还敢跳这坑。。
胆子够大啊
属于没事找抽型的
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 17:31:41 2013, 美东) 提到:
我感觉水版的智商中位数在80以下。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:08:36 2013, 美东) 提到:
请问我说过 "N是素数" 吗?
我只说过 "在假设下, N是素数", 相当于 "如果假设成立, 那么N是素数".
这么说懂了没? 区别在哪能理解不?
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 18:08:57 2013, 美东) 提到:
显然不能。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:15:45 2013, 美东) 提到:
wiki的链接麻烦发来我看下, 谢谢!
另外, 关于后来那个新定义是不是真的有问题, 我还没有想清楚.
我现在的看法是这样的: 默认满足某性质的对象构成一个集合, 而不对性质本身提要求
, 确实会带来问题, 比如罗素悖论.
但是我没学过更高级的集合论, 所以我还不知道 "主流公理体系" 是怎么对那些性质提
要求的.
就目前看来, 根据我的 (自认为没有明显矛盾的) 逻辑来看, 在限定了所有讨论对象都
是某类具体对象 (在这里, 这个对象是自然数) 的前提下, "默认满足某性质的对象必
构成其一个子集" 这句话, 似乎看不出什么明显的逻辑问题.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:23:45 2013, 美东) 提到:
现在我的建议是这样:
首先, 数学上来说, 一个定义是否具有良定义性, 只需要看它是不是可以 "鉴别" 出任
何对象, 就足够了. 所谓 recurssive或者是 non-recurssive, 或者某些 "循环定义"
的情况, 本身肯定都是依赖于 "公理体系" 的.
我就是想搞清楚, 抛开其他这些引进的概念 (如recurrsive, 循环定义) 不说, 单从公
理和逻辑的角度来说, 这个新定义如果不对, 是不对在哪里了? 我之前用这个定义 "看
似" 成功的判定了a到底是不是素数的那个过程, 是不是错在了 "声称大于a的素数构成
了一个集合"?
凭我的智商, 其实是不能理解罗素悖论为什么会存在的, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:24:23 2013, 美东) 提到:
thx, 又醒了.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 18:27:02 2013, 美东) 提到:
你现在有心情的话, 可以直接跟帖回复我说明你的看法. 从而我们来解决我们之间的分
歧.
之前的回复我实在没能力一条一条找了, 所以我不知道 (也记不得) 你说过什么. 抱歉
.
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greenspring (红唇吹彻梅花曲，我愿身为碧玉箫!) 于 (Fri May 24 18:42:53 2013, 美东) 提到:
这么一个简单的反证法都能争这么久，还另开新帖。
I63的证明没有逻辑问题，不存在"不严谨""不完备"的问题。
本来证明的方法都有很多种，反证法只要证明出和假设有矛盾就行了。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 21:25:47 2013, 美东) 提到:
你用你的主观感觉判断一下, 某些人是天生蠢, 无药可治, 还是其他原因?
怎么治他们的病?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 21:26:12 2013, 美东) 提到:
你用你的主观感觉判断一下, 某些人是天生蠢, 无药可治, 还是其他原因?
怎么治他们的病?
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 22:06:57 2013, 美东) 提到:
除了人身攻击还能干点啥。已经举报。
我好呆也是数学专业毕业的。我就问你是怎么得出N是素数的结论的。
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Fri May 24 22:08:28 2013, 美东) 提到:
脑残者无药医也
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lebode (lebode) 于 (Fri May 24 22:10:58 2013, 美东) 提到:
通过你的假设退不出N是素数的结论。你还不懂吗？就是如果假设成立，N也不一定是素
数。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:17:30 2013, 美东) 提到:
我去你还真敢说你是数学专业毕业的... 太丢人了吧..
你是不是脑容量不够, 导致你的大脑不足以把1楼中证明的前6行表述的内容都存储起来
一并分析, 导致你认为我不能推出 "如果前提假设成立, 则N是素数"?
你既然是学数学的, 你指出一楼哪一行是错的吧.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:20:02 2013, 美东) 提到:
请指出1楼第六行那个 "N是素数" 为什么是错的 (如果你认为通过前提假设推不出来的
话).
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verandi (ver0andi) 于 (Fri May 24 22:25:33 2013, 美东) 提到:
这个如何证明p_k和N之间不存在其他素数呢？
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:26:25 2013, 美东) 提到:
文科生，你需要一个独立于你假设之外的公理来证明N是素数.
欧选择了大于1的自然数或是素数，或是合数这个与原假设毫无关系的公理推理得出原
假设矛盾。
你用你的素数定义如何证明N,
说明白点，这个证明需要是从你的定义出发，而不是同时利用用你的假设，
这个是你需要证实或正否的东西，
你用个需要证实或正否的假设得到个结论，反回去说假设错了，算什么反证？
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:29:23 2013, 美东) 提到:
因为 p_k 是最大的质数
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:31:42 2013, 美东) 提到:
哦，那N也是素数是不是什么地方推导错了。
如果原假设是错的，你怎么能用一个错的假设得到正确的结论N是素数呢？
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:31:55 2013, 美东) 提到:
公理 一词应该改成 定理
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:32:49 2013, 美东) 提到:
这个叫做反证法。证明逆否命题。
为了证明原命题 a=>b
只需要证明等价的命题 !b => !a
where ! means "not" since I can not do the bar thing
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:35:57 2013, 美东) 提到:
公理，定理，那怕是推论，说什么都行。
但如果你要你的公理，定理，推论和原假设推出矛盾，
使用这些公理，定理，推论的证明过程就需要独立于原假设。
如果有矛盾，要么你的假设有问题，
要么你的公理，定理，推论有问题。
而不是用你的公理，定理，推论，加上你需要证明的假设，
共同推出一个矛盾来否定原假设。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:38:14 2013, 美东) 提到:
公理 定理 完全是两回事。
定理是可以证明/证伪的，公理不行。
不知道你的“独立”是什么意思。逻辑里没有这个概念。如果你说的“独立性”指得是
证明某命题不能假设某命题自己成立，这不代表不能使用已经证明的定理或者已经接受
的公理。
反证法的精髓是假设某命题成立，然后推出矛盾，所以可以证明该命题不成立。该命题
的存在并不依赖于任何定理。该命题是否正确可以通过使用某些定理证明，不表明二者
有依赖关系，因为定理，by definition,是已经证明的正确的命题
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:44:01 2013, 美东) 提到:
请自行看本帖171楼.
我不介意复制粘贴如下:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问, 该证明是否正确? 其正确性和前提假设有关系没?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:44:52 2013, 美东) 提到:
公理不行，但公理可以用来证明是不是？我没说反证法要证明公理不对.
当你用反证法来证明/证伪某一假设，
如果你要从已知的正确定理，定义出发，
那证明过程中不能使用原假设，否则推出的矛盾不叫矛盾。
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:45:59 2013, 美东) 提到:
谁告诉你 "N是素数" 是正确的结论?
我从来没在抛开前提假设的情况下直接说过 "N是素数".
你脑子里一团浆糊, 是不是总是时时刻刻都要忘掉前提假设?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:49:19 2013, 美东) 提到:
我不知道为什么需要证明 "p_k和N之间不存在其他素数"
在前提假设下, 素数只有p_1,...,p_k这些, 如果前提假设是对的, 那么 "p_k和N之间
不存在其他素数" 是显然的, 无需进一步讨论. 而反证法的目的, 只是为了说明前提假
设是错的.
至于前提假设是错的的情况下, "p_k和N之间存在不存在其他素数?", I DO NOT CARE,
OK?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:50:38 2013, 美东) 提到:
你看不懂，你的证明
同时使用了你素数的定义+++++++你需要证明的假设！
你的素数的定义，是不需要任何假设来判断一个数N是否是素数！
如果你能仅仅使用这个定义说明N是素数，那矛盾存在。
但你的证明过程使用了你需要证明的东西，你如何说你的推论就是对的？
你用你的推论又反过去说你的证明条件之一是错的，那推论呢，还能说是对，
不对又如何说证明条件是错的。
好好看看反证法，反证不是你这么用的。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:51:01 2013, 美东) 提到:
“正确的定义”的提法不恰当。定理，by definition, 是经过证明正确的命题
“假设某命题成立”是假定接受某个命题被证明是定理的情况下，如何如何，当然在这
个假设下，该命题成立。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:51:51 2013, 美东) 提到:
你先把171楼或者925楼看了.
我发现你们这一类人的特点就是, 每当我指出171楼的证明的时候, 你们要么集体失声,
要么顾左右而言他.
敢不敢正面面对一下?
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这么简单的命题,
居然都不知道他是不是对的. 使用该命题的时候又战战兢兢畏首畏尾胡搅蛮缠, 好意思
说你自己逻辑没问题?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:54:00 2013, 美东) 提到:
反证法:或者是同一假设，在相同的条件下得出矛盾的结果，
或是同一假设与另一个以接受命题在不涉及该假设前提下推导得出矛盾。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 22:54:02 2013, 美东) 提到:
其实反证法这个词也让很多人栽了。
楼主那个我觉得其实是归谬法。
外加大部分水车可能像俺这样回帖不看帖。其实俺开始看了半个首贴才回的，
已经可以了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 22:54:40 2013, 美东) 提到:
归谬法。。。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 22:56:02 2013, 美东) 提到:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 不是命题，是定义
正确的写法是：
"a是素数 := a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
声,
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 22:56:26 2013, 美东) 提到:
素数不那么好找，所以有一个我们人类已知的最大的素数，当然天天可能都在变大。不
失一般性，假设我们脑容量不比蚂蚁大多少，现在我们已知最大素数是13，总共6个：2
,3,5,7,11,13。有一天来了一只老鼠和蚂蚁对话
蚂蚁：素数只有六个
老鼠：不对，素数无穷多
蚂蚁：你能证明吗？
老鼠：如果如你所说素数只有六个，那看一下这个数2*3*5*7*11*13+1=30031
蚂蚁：怎么样？
老鼠：30031不能被2,3,5,7,11或是13整除
蚂蚁：然后呢？
老鼠：所以根据我们的假设（只有6个素数），30031是一个素数，这样我们就发现还有
一个不是2,3,5,7,11,13的素数？
蚂蚁：？？？什么叫根据我们的假设，30031是一个素数？30031是不是素数跟我们的假
设有关系吗？我会除法，让我慢慢算。。。30031=59*509
鼹鼠：你不懂反证法，这样就已经证明完毕了
蚂蚁：？？？
老鼠：我的测试素数的方法是啮齿类公认的，一共六个素数，不能被任意一个整除就是
素数
蚂蚁：你怎么知道13到30031之间没有素数了？
老鼠：因为我们假设只有六个素数？
蚂蚁：？？？那为什么多出来一个30031你认为是素数？
老鼠：你脑容量小啊？
。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:56:38 2013, 美东) 提到:
你能不能指出来哪一句用到了假设? 你就说171楼的证明哪一句是和前提假设有关的?,
其他废话少讲.
少给我胡搅蛮缠, 脑子里一团浆糊拎不清的货.
你自己拎不清, 总是觉得那个证明和前提假设有关, 我都给你了一个 "和前提假设无关
" 的证明, 你还要说他有关系, 怪谁?
你自己拿A推不出来C, 我用B推出来了C, 而且B和前提假设毫无关系. 结果你他妈问我
"为什么你自己搅来搅去都觉得A推不出来C? 是不是C有问题?"
我他妈能说什么? 我他妈只能说你太蠢!
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 22:56:52 2013, 美东) 提到:
你看不懂？我已经说了N次了，
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 没问题。
它也不需要任何素数假设的前提就能判断任意N是否是素数。
声,
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:57:43 2013, 美东) 提到:
你请明确指出, 我的证明过程哪一句是用到我的素数的定义了的?
这不是我要证明的命题吗? 我什么时候用到了?
你是不是连 "证明过程" 和 "结论" 都分不清?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 22:59:04 2013, 美东) 提到:
你这里到底指的是171楼的证明, 还是1楼中的证明? 你回复一个171楼证明内容的帖子,
然后又好像在说1楼证明中的事情, 你说话敢不敢清楚那么一点点?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:01:09 2013, 美东) 提到:
好, 这个命题没问题是吧?
那1楼的证明错在哪里?!
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:01:53 2013, 美东) 提到:
这个说法不确切。什么叫“不涉及该假设前提下”你可能要解释清楚以免误解。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:05:11 2013, 美东) 提到:
Russell's paradox 敲扁的是 naive set theory。现代集合论
基于的是 axiomatic set theory，最大区别是基于 formal language
而不是 natural language，所以码工从罗素身边走过可以视而不见。。。
码工实际使用的 set theory 都是 axiomatic set theory，尼玛
哪个公司的计算机认 natural language ？ 。。。
所以俺的第一贴就是让你用 formal language 重写一遍，结果你不肯。
既然你不肯，俺作为回帖不看贴的水车，看了半个贴子才回，很不错啦。。。
what do you expect 嘛。。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:05:52 2013, 美东) 提到:
我就当你的问题在这里好了?
请问谁家规定了: 我在假设A成立的情况下, 用了一个正确命题B的同时, 还就不能用A
了?
这是你家逻辑规定的?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:05:59 2013, 美东) 提到:
靠，你的假设前提 只有a1,a2,..............an个素数。
如果没有这个假设，你如何用你的素数定义来得到N是素数？
你的素数定义，从定义上说，不需要任何假设就能证明任何数N是否素数，
只需根据定义，考察所有从2到N-1的整数，并找出其中的素数一一验证。
而你的（谁都不行）却做不到这一点，
没有人能考察从an+1，到a1*a2*a3*.......an-1的任何整数。
欧几里德做不到，他选择了选用另一个与原假设无关的定义，任何大于1自然数都或是
质数，或是合数。
别忘了，你的素数定义和欧几里德的等价，
也就是说，你能证明的，欧出发也能相同的结论，
欧做不到的，你也不能。不过是多绕一步。
,
我
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oOOo (\_/o!o\_/) 于 (Fri May 24 23:09:38 2013, 美东) 提到:
理科生么？哪个校的
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:11:26 2013, 美东) 提到:
给你找个反例。
smalltalk, class' class, a.k.a. meta class, is also a class.
所有dynamic language都有这个悖论。
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:11:37 2013, 美东) 提到:
好比这个，假定只有a1,a2,...an个质数，
在证明N是质数的时候，就不能使用这个作为条件。
那你证明的时候，就不能先把它当作一个（正确）条件来用。
然后你得到一个结论，却用来推证那个被你用做正确）条件的假设是错误的。
如果你假设的条件是错误的，那你如何能说你的结论的矛盾是成立的？
你仔细看欧几里德的证明，就能明白区别了。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:12:03 2013, 美东) 提到:
我觉得我声称 "大于a的素数构成了一个集合" 就是naive set theory里的东西, 被罗
素悖论敲扁了.
因为罗素悖论告诉我们, 你不能随便拿一个命题函数P(x) 来定义集合 {x|P(x)}, 这可
能会导致有问题.
你说的 axiomatic set theory 我是不懂的, 于是我不知道怎么用formal language来
写. 不过我根据你的意思, 大致明白了, 你应该就是说, 在你那个更高级更严谨的set
theory下, 我这个 "大于a的素数构成的" 东西确实不是集合, 不符合集合的定义.
如果承认 "大于a的素数构成了一个集合", 那我觉得定义是没问题的.
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:12:32 2013, 美东) 提到:
反证法规定的，我也没撤。
A
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:13:36 2013, 美东) 提到:
假定“只有a1,a2,...an个质数” 意思是在“只有a1,a2,...an个质数”是真命题的条
件下，当然认“只有a1,a2,...an个质数”为真。是文字游戏吗？你用符号来写把。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:15:05 2013, 美东) 提到:
我承认 "如果没有这个假设, 我不能根据我的定义来得到 N 是素数", 问题是这句话能
说明证明本身有什么问题吗?
我证明中 第一句就是 "假设xxxxxx"
你看了几行就忘了假设, 于是开始脑补 "如果没有假设, 那么就会xxxx", 由此来说明
我的证明是错的.
你, 真 的 不 觉 得 可 笑 ?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:15:25 2013, 美东) 提到:
你还敢声称你看得懂1楼的证明?
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:15:42 2013, 美东) 提到:
我就高中水平的反证法，写不来。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:16:40 2013, 美东) 提到:
我证明中哪一处让你以为我表达过 "如果这个假设不成立, 那么N仍然是质数" 这句话?
如果你认为我根本没表达过这个意思, 那你说了这么多废话在反驳什么?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:17:08 2013, 美东) 提到:
这些玩意儿俺不懂，不过既然都有悖论了，那些玩意儿还能 work 么？
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:17:40 2013, 美东) 提到:
看一个10行都不到的反证法, 居然能看到中间就忘记前提假设, 好意思说你懂反证法?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:18:41 2013, 美东) 提到:
一般人看到 “可知” 就直接发帖。。。水版水车么。。。
?
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:19:10 2013, 美东) 提到:
我觉得你的疑问可能因为汉语引起，如果用集合/逻辑符号会比较清楚。如果假定某命
题为真，当然在以下的证明过程中要认为该命题不为假。否则“假定”是什么意思呢？
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:21:06 2013, 美东) 提到:
N是不是素数，和你的假设无关，只需要你的素数定义就能判断了。
话?
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:21:32 2013, 美东) 提到:
必须增加一条规定：
meta class' class is itself.
或者一个闭包
meta class' class is "meta meta class"
"meta meta class"'s class is "meta class"
数学上不完善。但是实际使用里只能这样。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:21:33 2013, 美东) 提到:
这玩意儿可能个人有个人的看法，
我的看法是，不等于 a 的素数是可以看成一个集合（这个只出现了不等于，没出现
大于）。
问题是用那个集合写，recur tree 产生不了，会产生导致一个有 loop 的 graph，
loop 的地方就是循环定义点。
set
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:23:05 2013, 美东) 提到:
不知道, 罗素悖论似乎是说 "在一个普遍的情形下" 你不能随便拿一个命题函数 P(x)
来定义集合 {x:P(x)}
如果首先限定全集是自然数集, 似乎没有这个问题?
具体就不懂了.
我只是觉得, 那个后来再次改版过的更绕人的定义, 如果是让一个具有 "natural
logic" 和 "common sense" 的人来判断素数的话, 应该和通常的定义没什么区别.
至于机器为什么做不到 (按照你的说法是这样的) ... 可能是因为现在的机器还不够牛
逼. ..
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:25:12 2013, 美东) 提到:
你承认就好.
那你的结论到底是什么? 证明是错的还是对的?
如果不完整, 到底缺了什么内容?
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Fri May 24 23:26:14 2013, 美东) 提到:
我现在觉得是这样的：
你开始认为自己是对的，后来某个时候终于意识到自己是错的，但是发现这个坑不继续
挖太可惜了，于是假装不明白来胡搅蛮缠。
)
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:28:27 2013, 美东) 提到:
这个在数学上是这样的, 你如果已经承认了 "不等于a的素数确实是构成一个集合" 的
话, 那我们把它拿来和 "大于a的自然数构成的集合" 求交集, 那么 "大于a的素数确实
构成一个集合"
你如果承认了这一点, 那我用定义去判断, 2, 3, 5, 7 是素数, 是不会有缺陷在里面
的.
我发现的可能导致错误的问题就是 "假定了大于a的素数确实构成一个集合, 这个假定
不一定正确"
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:29:12 2013, 美东) 提到:
你或是在证明中认为该命题不为假，推导出两个不同相互独立的矛盾。
或是选择一个不依赖命题的正确命题，从该命题证明，得到和原命题矛盾的结果。
欧的反证法是第二种情况，它选用大于1自然数一定是合数或是质数，
那么这个合数有性质:肯定有因子，其根据其构造，不同于a1,a2,....an任何一个，
或是质数，自身就是大于an的质数
这两种情况必有一个是正确的。
这个结果，不依赖原假设命题或对或错，根本就没有涉及。
这个时候，才有和原假设矛盾的推论，
发现矛盾推证的过程根本就没有涉及原假设命题。
而那个63的证明，N是素数结论的产生需要是原假设命题正确，
这样的矛盾是可耻的背叛。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:29:58 2013, 美东) 提到:
不要自作聪明, 我和tidewater在这里讨论的 "定义", 不是一楼那个定义, 和一楼的论
证毫无关系.
你是不是找不出好的借口, 连帖子也不仔细看, 结果自以为抓住一个把柄, 就开始喜滋
滋的攻击了?
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:30:32 2013, 美东) 提到:
由此可见你有多么心虚.
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kurutoga (whatsupg) 于 (Fri May 24 23:34:01 2013, 美东) 提到:
"依赖"不是一个数学概念
等一会我有时间给你写清楚吧。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:36:19 2013, 美东) 提到:
你连正面回复我的帖子的勇气都没有了?
我实在想不出, 一个人的抽象思维能力差到什么程度, 才能连两种同类的情况都归结不
起来.
居然把一种矛盾叫 "矛盾", 把另一种矛盾叫 "背叛", 并声称 "背叛" 的反证法是可耻
的.
笑!掉!大!牙!
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:37:10 2013, 美东) 提到:
连什么是 "矛盾" 都不懂的人, 还有资格谈 "反证法"? 呸!
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carbon (kaben) 于 (Fri May 24 23:37:44 2013, 美东) 提到:
"依赖"不好，就是说选择一个命题，该命题的正确和反证中的假设前提或对或错没有关
系。
我不是学数学的，但对63这个证明，我觉得意思已经很明白了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:37:52 2013, 美东) 提到:
让俺用 “伪 Yacc” 写一个：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
“伪 Yacc” 的东东就是类似于：
func
operator
func
但是，如果把 “小于 a” 改成 “不等于 a”，这玩意儿好像写不出 “伪 Yacc”。
。。
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:40:05 2013, 美东) 提到:
你倒是说说Euclid是怎么证明的, 我看看我能不能给你找个 "背叛" 出来.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:46:20 2013, 美东) 提到:
不对.
那看来我们之前还有分歧点.
你这里定义了 "最小的素数是2", 实际上我定义中并未直接声明这一点. 这只是你根据
我定义推出来的结论 (即最小的素数是2), 如果你承认可以由人工来代替做一些合理 "
初始化" 的话, 你应该也直接根据 "大于1的自然数, 其因子不会比它本身大" 这一显
然成立的命题, 把大于a的情况全部通过 "初始化" 过滤掉. 也就是说这两个定义虽然
表述有区别, 但是按你的标准, 他们的 "伪Yacc" 应该一样.
如果你认为之前的定义是对的, 那你应该可以体会到人的逻辑和机器的逻辑的区别.
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l63 (l63) 于 (Fri May 24 23:51:44 2013, 美东) 提到:
如果按照同样的逻辑,
根据之前的定义, 对于素数2来说, 小于2的素数是集合吗?
如果不知道, 那似乎是不能直接和 {大于1的自然数} 取交集 (从而得到空集) 的.
所以这一切的一切都应该有一个前提: 就是说我们只讨论自然数.
自然数中满足命题函数P(x)的元素所构成的子集的存在性和唯一性, 应该是被直接认可
的.
这样我们才能说 "定义" 的良定义性.
-------
我以上的意思是, 两个定义, 旧的定义和新的定义, 其正确性似乎 (从逻辑上来看) 不
会有区别.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:56:18 2013, 美东) 提到:
这个俺改改不就好了么。。。俺不过就是省了一步搞了个提速优化么。。。
让俺用 “伪 Yacc” 再写一个：
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
“伪 Yacc” 的东东就是类似于：
（func
operator
func
&& (func
&& (func
done :-)
"
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Fri May 24 23:59:28 2013, 美东) 提到:
任意一个函数 P(x) 这种写法好像不是 formal language 吧。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:02:11 2013, 美东) 提到:
唉... 我智商堪忧.
我没有理解你的代码是如何work的,
你不用解释这一层, 你就说973楼的那个就行, 我得大致了解下他的 work 方式.
就比如, 如何根据你973楼的代码判断出 1, 2, 3, 4是不是素数的.
谢谢.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:10:08 2013, 美东) 提到:
这个代码当然没法 work，我不是说 “伪 yacc” 不是真 yacc 么？
但是真 yacc 就可以 work，你要做到下面两点：
（1）所有的东东，不是 operand 就是 operator。最最基本的 operand
要定义成 token 样的东东。
（2）写成 LR 文法。
那样 Yacc 就可以 shift-reduce 跑得欢乐。。。你可以拼命扔随机的 set 给
yacc，yacc 很欢乐得 shift-reduce，最后告诉你是不是
set-of-smallest_n_primes (return value is "true" or "false").
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kurutoga (whatsupg) 于 (Sat May 25 00:13:13 2013, 美东) 提到:
好吧，既然对反证法有这么多误解，我老给尔等解释一下。LOL。
证明 "素数有无穷多个"
定义1：质数
n 是质数:= n是大于1的自然数，而且n不能被除了1和n之外的自然数整除
命题a: 质数有无穷多个
命题b: 质数有有限多个, 用p1, p2, p3, ... pk 表示 （其中k是自然数）
denote M = p1*p2*...*pk+1
命题c: b成立 => M不是质数
命题d: b成立 => M 有个因子是p1, p2, p3, ... pk其中一个
命题e: M 没有p1, p2, p3, ... pk其中的数为因子 => b不成立
命题d和命题e互为逆反命题
命题f: M 没有p1, p2, p3, ... pk其中的数为因子
第一步，证明命题c: 因为M不在质数集合里,命题c成立
第二步，证明命题d: 因为第一步已经证明了命题c, 并且合数M一定有质数因子，所以
命题d成立
第三步，证明命题e: 因为第二步已经证明了e的逆反命题，所以e是真命题
第四步，证明命题f: 这个是显然的
第五步，从第三步和第四步的结果（命题e和命题f都成立）得到最终结果：b 不成立
这个证明如果要用到质数的定义，就讲不清楚了。所以还是要抓住M是否有p1, p2, p3,
... pk其中的数为因子。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:15:57 2013, 美东) 提到:
命题函数P(x)
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:17:38 2013, 美东) 提到:
我不懂CS
我的意思不是说真的在计算机上 "work"
我是指, 如何根据你的代码, 然后按照机械逻辑, 去跑出我们想要的结果?
那几个函数啊, 判断啊都是怎么用的? 指令运行的顺序是什么?
以1,2,3,4为具体的例子大概说明一下即可.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:19:48 2013, 美东) 提到:
973 楼是写成 yacc 的文法分析器的概念的。所以不能用通常的计算概念，
计算出素数集合。而是这样计算的（理论上的虚拟 yacc 机）。
虚拟 Yacc 机器首先读入你定义的文法。
然后虚拟 Yacc 机器读入你的输入（在这个实例中就是读入一个任意的 set）。
虚拟 Yacc 机器读入输入的 set 以后，按照前面读入的你定义的文法进行
shift-reduce。
如果 shift-reduce 成功，说明你的输入符合你定义的文法，该虚拟 yacc
机返回 true。如果不能 reduce 成功，返回 false。
在这个例子里，true 就是输入的 set 是 set_of_smallest_n_primes。
false 就不是。
这样，该虚拟 Yacc 机能做到你扔 it 任意一个 set，虚拟 yacc 机返回
该 set 是不是 set_of_smallest_n_primes。
即该虚拟 yacc 机能产生 set_of_primes（你扔给 it 所有自然数集合
的排列组合。。。），当然，慢的要死。。。但理论虚拟机哪个不是慢的要死
的。。。
是不是被我蒙晕了？
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:27:05 2013, 美东) 提到:
依旧不懂.
还是举个实例我理解下吧.
比如我想判定 {1,2,3,4} 里面哪些是素数, 哪些不是素数, 该怎么办? 先往里面扔什
么集合?
然后他是如何根据伪代码筛选的?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:28:59 2013, 美东) 提到:
其实我发现我的 973 楼写错了，因为看着我们那个说法写的。应该看 wiki
的那个写就不会错了。wiki 里面有那个 if and only if，我没写出来。
我写出来的只有 if，漏了 only if，所以其实错了。
不过我们也可以将错就错先跑一下。
=============================================
比如你给 973 楼虚拟 Yacc 一个输入 (2, 3, 5)
input:(2, 3, 5)
shift: 5 divisor (2, 3)
reduce: (2, 3)
shift: 3 divisor (2)
reduce: (2)
SUCCESS
=============================================
如果给 input (2, 4, 5)
input: (2, 4, 5)
shift: 5 divisor (2, 4)
reduce: (2, 4)
shift: 4 divisor (2) !!! FAIL
FAIL
==============================================
现在你应该看到漏了 only if 错在哪里了。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 00:49:46 2013, 美东) 提到:
还是不懂.
相应函数的作用, 能不能用中文解释一下, 谢谢!
我得先睡一会去.
另外问一下, 如果扔进去 {3,4} 会发生什么?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:50:41 2013, 美东) 提到:
让俺改写成 if & only if 的。。。
(func
operator
func
&& (func
operator
(func
func
operator
哈哈，写的有点绕，不过伪 Yacc 应该可以 if & only if 了
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 00:54:01 2013, 美东) 提到:
Yacc 没有函数的概念，都是 list of tokens，按语法进行 shift->reduce.
最后 reduce 成功与否。
里面写的 divisor 算子，在 yacc 实现里面，就是求取模（mod）一下。如果 mod
结果不为零（不能整除），直接要求 yacc 不管三七二十一直接弹出 syntax
error，reduce fail。un_divisor 算子反过来。。。
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hush (安静) 于 (Sat May 25 00:56:42 2013, 美东) 提到:
赞学术楼！
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firearasi (firearasi) 于 (Sat May 25 01:17:44 2013, 美东) 提到:
快1000楼了晕
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 01:24:17 2013, 美东) 提到:
(3, 4) 的话，不管是 “有 if 但没有 only if 版”（错误版），还是
“if & only if 版”（正确版），都不能reduce。
但这个是 expected behavior，因为这个 set 是
set_of_smallest_n_primes，漏掉是不可以的。
（formal language 就是没有歧义）。
俺 run 一下 “有 if 但没有 only if 版”（错误版，但 run 起来简单 ;-) ):
input: (3, 4)
shift: 4 divsor (3)
reduce: (3)
UNABLE TO SHIFT: FAIL!
（没有 reduce 到 primitive token，这个例子里是 2）
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 07:02:39 2013, 美东) 提到:
没看懂. 这么说吧, 你能否将你的伪代码翻译成中文? 我不是学CS的, 我很难体会你们
一些约定俗成的英文伪代码一般代表的什么含义.
比如: 如果一个人不懂C代码, 他就不知道 "b=0; for (i=1;i<=n;i++){b=b+i;}" 这段
话的意思, 但是你可以解释给他这段话依次做了什么:
第零步: 开始程序;
第一步: 令b的值是0;
第二步: 令i的值是1;
第三步: 判断i是否小于等于n, 如果是, 做第四步, 如果不是, 做第六步.
第四步: 将b的值改为b之前的值加上i的值;
第五步: 将i的值改为i之前的值加上1, 返回第三步;
第六步: 结束程序.
这样子, 就用汉语很清楚的说明了这段代码在干什么.
能否把你的伪代码用汉语解释一下? 让那种不懂Yacc和CS但是懂汉语和基本逻辑的人都
能看懂.
比如按你989楼的方式, 解释清楚整个代码的中文意思即可.
开头可以是:
"这段代码的目的是为了判断一个集合是不是素数集, 他是这么做的, blablabla"
辛苦了, 谢谢!
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lebode (lebode) 于 (Sat May 25 09:30:49 2013, 美东) 提到:
我去，才看清你的素数的定义，好大一颗坑。
质数，又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然
数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。
你从你用的素数的这种定义出发来证明，行不行？不太清楚这种定义是否能直接用。
Wiki上已经有类似的词条。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，
该证明方法如下：
假设只有有限个素数。令。那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约
数是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合
中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数
集合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
注意，这里的N+1也是分了两种情况讨论的。当然按照你的定义是不需要这么分析的。
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remraf (博士) 于 (Sat May 25 09:58:37 2013, 美东) 提到:
I63，首先祝贺你盖了个高楼
其实你的证明没有什么大错，如果我是老师，会给你全分。
但是，就冲着这么多人有争议，我觉得完美的答案应该稍微改改，
大致思路很多人也提了，我就不再说了。
好，转入正题：
我觉得与其这么争论，不如来统计一下这个高楼里都是什么专业的人？
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bigjoker (Awesome & Handsome) 于 (Sat May 25 11:17:33 2013, 美东) 提到:
mdmx单独有楼归类id，你可以去要求把自己加入。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 12:51:55 2013, 美东) 提到:
我说了上面写的是伪装 “伪 yacc”，也就是伪码，只是表达想法，不是真正
能执行的。
当然，正因为是表达一个想法，所以没有固定的标准，也可能误解。
我现在有点忙，晚上我有时间可以给写个 Yacc + C++ STL 的真代码。（当然
我没时间去编译 test）。这样就不会有误解。
但是 yacc 不能用你所说的方式解释。因为 yacc 是 LALR parser，parse 的
是 LR 文法描述，其过程是 shift / reduce。没有变量赋值的概念。你必须
能理解 LR 文法描述。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 13:08:39 2013, 美东) 提到:
我先写个提纲，用 yacc 语法：
// yacc 段落：
list_of_primes : list_of_primes one_natural_number
{ if (! func_if_an_only_if_divisor($2, $1))
error ; }
| "2"
;
// func_if_an_only_if_divisor() 晚上用 C++ 写。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:01:58 2013, 美东) 提到:
谢谢, 麻烦了, 期待.
另, 我的意思不是说一定要用 "变量" "赋值" 什么的概念, 我只是举个例子, 告诉你:
代码本身可以翻译成人类的语言.
你只要翻译成汉语就行, 尽量避免歧义.
英语也可以, 但是我的英语不好.
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ALife (草履虫) 于 (Sat May 25 17:28:50 2013, 美东) 提到:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
我也对这个问题很好奇
另，第一千贴！！！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 20:59:57 2013, 美东) 提到:
那我写 C++ 伪码实现。待会儿解释一下，在解释以前
还把相关的几楼汇总一下
=============================================
// yacc 段落 (大致):
list_of_primes : list_of_primes one_natural_number
{ if (! if_and_only_if_divisor($2, $1))
弹出语法错误 ; }
| "2"
{ printf("Reduce 成功！"); }
| "1"
{ 弹出语法错误 ; }
;
// 上面这个 list_of_primes 实际意思是从 2 开始的 N 个连续质数序列，
// 按升序排列，不过正则语法里 token 的名字其实无所谓。
// C 段落（大致）:
bool if_and_only_if_divisor(this_number, list_of_numbers)
{
// 判断 能整除
if (this_number 能被某一个数整除_in list_of_numbers)
return false;
// 判断 最大
if (this_number <=_任何一个数_in list_of_numbers)
return false;
// 判断 仅能 (only if)
// 实际上是 check 从素数序列里最大的到这个数
// 之间有没有其他不能被整除的数
// 素数序列内依赖 yacc 本身 recurs down 保证
for (a_number = max(list_of_numbers) + 1;
a_number < this_number;
a_number++) {
if (a_number 不能被所有的数整除_in list_of_numbers)
return false；
}
}
return true;
}
============================================================
比如一个输入 (2, 3, 5)
input:(2, 3, 5)
reduce: 5 if_an_only_if_divisor (2, 3)
reduce: (2, 3)
reduce: 3 if_an_only_if_divisor (2)
reduce: (2)
SUCCESS
=============================================
如果给 input (2, 4, 5)
input: (2, 4, 5)
reduce: 5 if_an_only_if_divisor (2, 4)
reduce: (2, 4)
reduce: 4 if_an_only_if_divisor (2) !!! FAIL
FAIL
==============================================
input: (3, 4)
reduce: 4 if_an_only_if_dvisor (3)
reduce: (3)
UNABLE TO SHIFT: FAIL!
（没有 reduce 到 primitive token，这个例子里是 2）
==============================================
你:
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:12:02 2013, 美东) 提到:
另外我上面的可以翻译成人类语言，你把 reduce 翻成
“约简” 就可以了。
“约简” 就相当于你说的 “赋值”
“符号” 就是相当于你说的 “变量”
你说的“对变量赋值”（其实是基于 RAM 虚拟概念机上的概念），在这里就变成了
“对符号约简”（“正则文法” 虚拟概念机）。
而你前面说的，“程序接收几个输入数，输出几个输出数。”，在这里
就变成 “程序接收一个非基本符号，约简成基本符号。”
在上面这个程序里，“a_natural_number” 是基本符号，
“2” 是基本符号。“1”是基本符号。
“list_of_primes”（实际的意思是最小的 n 个素数，
不过正则语法取啥名字都不影响语义）则是“非基本符号”。
正则文法就是把非基本符号约简成基本符号，也就是用基本
符号定义非基本符号的意思。
光符号是不够的，还要有算子（operator），这里的算子是“比大小”，
“整除否”。
你:
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:31:11 2013, 美东) 提到:
另外好像是我记错了，yacc 的 shift 应该只移进输入，并不 reduce。
改了最后两贴，前面的懒的改了。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 21:40:25 2013, 美东) 提到:
谢谢.
不过还请说一下 "哪些地方该稍稍修改"
是不是直接使用了非常规定义 (a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的
素数整除) ?
这个命题的正确性的证明, 我在171楼写了.
但是还有一些人认为 "即便这个命题是正确的, 我的证明也不对", 说有 "循环论证"
的嫌疑, 我表示非常不解.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:49:15 2013, 美东) 提到:
另外我说的 reduce 是文法概念上的 reduce，不是 Yacc 真正的
LALR reduce 的方式是顺序。
概念的正则文法顺序常常无所谓（反正就是 set），LR/LALR 才有
严格顺序的差别，输入按顺序读进来，导致左递归和右递归执行效率不同
。。。shift 应该是这个实现层次的概念。。。如果俺老没有昏头又
记错了。。。反正记错大伙儿指正就是了。。。
不过说实话，俺作为水车，灌水灌多了很昏，写的乱七八糟外加错误百出，
interview 不能这么干。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 21:51:53 2013, 美东) 提到:
建议以后啥证明都写成正则文法，再有疑问，上概念虚拟机跑一遍。。。
不知道罗素看到了以后会不会很郁闷。。。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 21:59:48 2013, 美东) 提到:
你的代码似乎有点问题.
我的定义 (这里指最开始的小于a版本) 里只要求 "不被任何小于a的素数整除" 并没有
要求你的那个 "// 判断 仅能整除"
按照你的代码, 如果我做 if_an_only_if_divisor (2,3,5)
那拿出5以后, 在 "// 判断 仅能整除" 这一步, 4不能整除5, 不是就要返回错误值了
吗?
(另, 按照你原先写的 else if (this_number 不能整除 a_number), 似乎是笔误, 否
则5不整除1,2,3,4都是显然的, 这样就直接在a_number=1的时候返回错误值了)
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 22:07:32 2013, 美东) 提到:
。。。俺心不在马写错了。。。您看得很仔细啊。。。俺回去改改。。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:28:38 2013, 美东) 提到:
另外我觉得不需要检查 1，只要让 token “1” 语法错误就好了。
其他两个以上数的 list，其实有一个 1 的，就整除检查直接踢出来。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:37:08 2013, 美东) 提到:
应该可以了，现在有请“理论虚拟概念机”上场测试，俺老先去管娃。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sat May 25 23:38:56 2013, 美东) 提到:
其实写 token “1” 是多此一举，最后没 reduce 到 “2” 的
统统失败。
不过写着好看好理解一点，就留那边了。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:26:44 2013, 美东) 提到:
我刚才说了，我改了一下，应该这次对了。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
不过如果这个正则语法的递归定义写对了的话，那你的首贴的证明，虽然不是
循环论证，也接近于一个 trivial 的证明了。因为那个递归定义实际上几乎证明
了质数是无限的，只需要证明对任意有限个数的自然数集合，至少存在一个数
不能被该集合里任何自然数整除。这样就直接证明了，不需要反证法或者归谬法。
俺下面写个贴用码工式平推法证明一下。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:38:56 2013, 美东) 提到:
好！俺用码工式正面平推法，依据质数的递归定义，证明质数无限性。
首先见 1001 楼，俺用“yacc/c伪码式”正则语法写了质数的递归定义。
该楼在此：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
这里我写个 C function 来证明，其中的 “list_of_primes” 实际意思
跟 1001 楼 yacc 里意思一样；是指从 2 开始的前 N 个连续质数序列，
按升序排列。（反正正则文法怎么取名问题都不大，内在不对头的话，那个 yacc
必然 reduce 失败。）
// c 伪码 function
list_type grow_primes(list_of_primes)
{
a = 求list里所有数的乘积(list_of_primes);
for (int i = max(list_of_primes) + 1; i < a; i++)
if ( i 不能被list里所有数整除(list_of_primes))
return ( list_of_primes list尾部添上 i);
return ( list_of_primes list尾部添上 (a+1) );
}
可知对任何一个能够被 1001 楼 伪yacc 成功 reduce 的 list_of_primes,
用上面 grow_primes() C function，能够产生一个也能被 1001 楼 伪yacc
成功 reduce 的新的 list_of_primes，并且尺寸比原来大一号。
证毕。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:42:52 2013, 美东) 提到:
俺是不是刚才已经用码工的正则文法把这个高楼坑给埋了？
洗洗睡了。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 01:45:31 2013, 美东) 提到:
你的伪代码改了以后我依旧不能完全看懂.
请用中文描述一下所有的步骤所做的事情.
另外, 请问, 根据这个伪代码, {2,9} 这个集合, 是不是由素数组成的集合?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 01:50:52 2013, 美东) 提到:
input: (2, 9)
reduce: 9 if_and_only_if_divisor (2)
if_and_only_if_divisor 返回 false
( 返回 false 的原因是第三个条件里，找到 3 不能被 list（2）整除 )
reduce 失败，语法错误
所以那个 yacc 返回不是，不是“前 N 个连续素数集合”。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:01:50 2013, 美东) 提到:
你汉语用法有似乎一些有歧义, 我看不懂.
比如 "整除" 这个词, "a整除b" 和 "b被a整除" 表示的是b除以a的余数是0, 即存在
整数r 使得b=a*r, 你好像一些地方是反过来写的.
另外, 你那个yacc段落, 我实在不知道符号是什么意思.
你也可以用C语言来写吧: reduce本身可以当做一个函数, 你注明其作用就行了.
总之你的目的不就是任给一个自然数的子集, 然后用代码判断它是不是素数集吗?
难道yacc伪代码能写, c伪代码就做不到?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:06:57 2013, 美东) 提到:
我不知道你看懂了没有。这里的关键点在于符号文法/正则文法。
或者我就用赋值和中学代数来说。
赋值，其实是用符号代替具体的数。其数学基础是中学代数的第一步：用符号代替
具体的数。
中学代数的第二步，就是符号运算。（多项式化简，等等）。
其实任何符号运算都基于某种符号文法，但中学代数通常不能称为符号文法，只能
称为符号运算，其原因是该符号文法是固定的，不会因为你换一道题做，而改变
一种符号文法。
到大学本科学微积分，其实是另一种符号运算（即所说的“牛顿/莱布尼兹微积分符号
体系”）。虽然换了一种基于的符号文法，但微积分还只能称为符号运算，而不是符号
文法，理由同上。
到码工的正则文法课/LR文法课，这时出现了符号文法。每道题的符号规则一般都不同，
每个 yacc 程序定义了不同的符号规则。所谓 reduce，是看着符号规则（比如
yacc 代码），进行符号运算。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:18:02 2013, 美东) 提到:
我去改一下汉语。
这个语法的左递归比较简单，我可以用 C伪码 递归函数直接写。但是可能比 Yacc
更不直观，更不好理解。毕竟 Yacc 直接把语法写在字面上，C 递归把语法隐含
在递归里。。。
我们不是在讨论素数递归正则语法么？Yacc 直接把 token 写在字面上啊。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:22:51 2013, 美东) 提到:
另外你等等，我马上发一新贴， 里面把 yacc 段落改写成递归 C伪码，
码工么，小菜一碟。
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:26:52 2013, 美东) 提到:
哇，memorial day长假出去玩回来想起这个帖子，楼又高了许多，代码都出来了，我等
码工真欢乐！
以前上mitbbs，我只潜水。不过，我承认这次我也灌了许多水，试图引起LZ思考哪里错
了。
好吧，楼很高了，我就总结一下我的发言吧。
首先说，素数的定义是大于1除了自己和1不能被其他自然数整除的自然数。
我把一楼的证明拷贝过来，并在下面一步一步举个简单的例子说明哪步错了。
－－－－－－－－－－
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
（假设素数只有有限个，为2，3，5，7，11，13.这些都是符合定义的素数，而且在13
以下没有遗漏，p_k就是13）
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
（考察N＝2*3*5*7*11*13＋1=30031）
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
（2，3，5，7，11，13都不能整除N。这句话是对的）
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
（这是错的。30031=59*509，N不是素数）
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
（恭喜您，您找到了一个合数（不符合素数定义，符合合数定义），但是这与“素数是
有限个”的假设不矛盾。由于您没有找到新的素数，而只找到了一个合数，所以素数仍
可能是有限个）
（证明在这里戛然而止！！！！！）
所以素数有无穷多个.
－－－－－－－－－－－－
那应该怎样证明下去呢？我们来试试看分类讨论。
1. 若N符合素数定义，好，我们已经找到了一个新的素数，和假设矛盾，反证法成功了！
2. 若N不符合素数定义，但是我们现在知道N不能被已知素数p_1到p_k整除，那它一定
能被大于pk小于N的某个整数整除。记这个新的数为N，重复1，2。
由于N越来越小，是收敛的，最终会到1，你一定会找到一个新的素数。反证法会成功。
我想，这就是欧几里德最初的证明。为什么他要构造N呢？他只是想派出p1到pk成为N的
除数，并没有说N是素数。
－－－－－－－－－－－－
然后，我们来看这1，2的证明是不是和LZ在证明中用的这条素数分解定理：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
的思路是一样的呢？
LZ的错误在于，将这条定理在反证法中的用法搞反了，逻辑就不通了。
由于有“素数是有限的”这个假设，这个定理不成立了，所以楼主就找到了30031这样
的合数，并还宣称它是素数去归谬，导致了错误的证明。
强调一下，LZ的证明是错误的，并不是不完善的，因为他在证明中得出了“N是素数”
这样的错误结论。
这就是我们为什么要在反证法中使用原始的定义，引入其他的定理可能会产生循环论证
。我不是学数学的，只是个码工，前面那个话或许并不好，但是LZ就是在这里出错的。
－－－－－－－－－－－－
最后，LZ要是老是说“你那只眼睛看见的”，“你的智商很低”这种话就没意思了。
但这里是水世界，MITBBS，或者“认真你就输了”。我平时就看看保险，或许不了解文
化。哈哈，大家畅快讨论一场也是不错的。
我们盖个新楼吧！讨论我等码工怎么学好数学，怎样将yacc打造为数学神器如何？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:32:34 2013, 美东) 提到:
又来一个不懂 "反证法" 的.
又来一个证明看到一半就忘掉假设是什么的.
请问以下两句话是否表达同一个意思?
第一句: 30031是质数
第二句: 如果2,3,5,7,11,13是质数, 那么30031是质数
问题很简单, 只需回答 "是" 或 "否" 就可以了.
13
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:33:33 2013, 美东) 提到:
另外说一句，按LZ的方法，N是素数的话，人类也就不要找素数了。
LZ把找素数的公式都给你了。那岂不是你将所有已知的素数相乘加一就找到了一个新的
素数了？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:38:51 2013, 美东) 提到:
不太懂, 没学过 "符号文法" 相关的课.
你就用普通汉语表述一下代码的工作就行.
或者你用伪代码写C的递归也可以, 我可以看懂.
关键是你用了一个叫"yacc伪代码" 的东西, 我并不清楚yacc伪代码和普通汉语 (或者
普通英语) 有什么关系, 也不清楚其形式. 不过C的常见伪代码我是可以看懂的.
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具体来说是这样的: 你说一段代码是用 "yacc伪代码" 写的, 因为我不懂 "yacc伪代码
", 所以我不懂哪些地方是 "伪" 的, 于是我无法区分哪些地方该按照 "代码风格" 理
解, 哪些地方按照 "普通语言风格" 理解.
简要来说, "yacc伪代码" 在我这里不是一个 "良定义" 的东西, 我的大脑没法精确处
理了.
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我码完如上废话后, 你的后续回复我已看到, 静候C伪代码.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:39:03 2013, 美东) 提到:
这个简单的 Yacc 左递归，俺翻成下面这个 C伪码 程序。不过翻成 C伪码后不能直接
写 token，俺大脑当人肉yacc编译器，所以对表达正则文法而言，远远不如 yacc
直观。（实际上我是看着 yacc 代码写的这段 C 代码
但是 yacc 只能搞 LR 文法，不少 problem 的正则表述不能用 LR 文法
表达，所以码工就的写 C++ 的 tree/graph 算法。。。实际上 Yacc 除了
编译器领域之外，用得不多，但是 yacc 对正则文法、符号文法的概念比较有好处。
bool is_list_of_primes(list_of_primes)
{
// yacc primitives reduce condition
if (list_of_primes.size() == 1) {
if (list_of_primes == "2")
return true;
else if （list_of_primes == "1")
return false;
else
return false;
}
// yacc left-recursive reduce section
one_natural_number = get_biggest_number(list_of_primes);
list_of_primes_small = remove_biggest_number(list_of_primes);
if (! if_and_only_if_divisor(one_natural_number, list_of_primes_small))
return false;
return is_list_of_primes(list_of_primes_small);
}
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:40:39 2013, 美东) 提到:
请注意你自己的逻辑.
请回答1022楼的问题.
请告诉我 "假设全部素数只有p1,...pn" 和 "我们已知的素数只有p1,...,pn" 这两句
话的区别
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:41:35 2013, 美东) 提到:
汉语英语啥的，对俺码工太难了。还不如俺上面直接看着 yacc 人肉翻译成 C伪码。。。
LOL
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 02:49:02 2013, 美东) 提到:
请问输入集合 {3},
你的程序是怎么做的?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:50:16 2013, 美东) 提到:
Yacc 只收 LR 文法，还只收字符串，大部分地方不好用。
如果 Yacc 能收抽象的 graph，或者实在不成收 C++STL 的 container
class 啥的也成。这样就不限于 LR 文法。
不过这样牛逼的 超级yacc 编译器，谁来写？
13
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 02:51:58 2013, 美东) 提到:
恕我愚笨，我没法回答这个问题。
因为这两句话都是错的，纠结它们之间的关系有意义吗？
第二句: 如果2,3,5,7,11,13是质数, 那么30031是质数
（逻辑何在？？？！！！）
第一句: 30031是质数
（这句话是错的！因为30031=509*59，是合数，不是素数）
被你质疑了若干遍后，我忍不住要反过来问你一句，你懂不懂反证法？？？！！！
你在反证法中的任务是在假设已知这些素数的情况下找新的符合素数定义的数（你懂素
数定义吗？），由此说明只要有已知素数，就一定有新的素数，以证明素数是无限的。
你找到了30031这个合数有什么意义呢？你的证明到这里就结束了。它不是素数，不能
用来归谬啊！
你一定要说30031是个素数，那就像我前面说的，你都给出素数公式了，一个个相乘加
一就可以了，恭喜您解决了人类一大难题！
70M算什么？您老可以把素数给一个个推出来啊！而且30031也光荣成为了素数！我代它
感谢您！
前面发了很多贴就是为了引导你，后面给出总结了你还是这样的回答。
看来我对这个贴太认真了。
看来你是铁下心来灌水的。我想我后面也不用回了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 02:58:15 2013, 美东) 提到:
如果是 C伪码版，{3} 的 size 是 1，又不等于集合 {2}，返回 false。
如果是 yacc伪码版，reduce 成 primitive token “one_natural_number”，
但不是 "2"，出语法错。（我 伪yacc 没写全，伪码就是个意思，省掉不写的默认
action 是语法错）。
这个是 expected behavior，应为 list_of_primes 的实际定义是从 2
开始的前 N 个连续素数。{3} 不符合这个定义。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:00:14 2013, 美东) 提到:
还是我给你写一个吧:
//以下程序的作用是, 判断输入的自然数a是不是素数
bool judge_prime(int a)
{
int b;
if (a<=1)
return 0;
else
{
for (b=0;b{
if(judge_prime(b)&& a%b==0)
return 0;
}
return 1;
}
}
我这段程序是真的可以用的哦.
不过其中有个地方我已经忘了C语言的规定了, 请问 a%b=0 是我想表达的意思吗?
我的意思是存在整数r, 使得a=r*b
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:03:02 2013, 美东) 提到:
不好意思, 我原意表述错了
本意是这样的:
请你告诉我这两句话的区别:
1. "30031是质数"
2. "如果质数只有2,3,5,7,11,13, 那么30031是质数"
这下理解了吧?
对于之前造成的误解非常抱歉.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:04:10 2013, 美东) 提到:
请问以下两句话是否表达同一个意思?
第一句: 30031是质数
第二句: 如果质数只有2,3,5,7,11,13, 那么30031是质数
问题很简单, 只需回答 "是" 或 "否" 就可以了.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:05:21 2013, 美东) 提到:
我是一个有节操的人, 像1022楼那种, 我自己犯了个愚蠢的错误, 我也不会去编辑的.
不像某些人.
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嘿嘿, ps, 1022楼虽然没有表达出我的本意, 但是本质上来说, 并没有说过什么错误的
话.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:08:05 2013, 美东) 提到:
其实就有点像罗素悖论，你俩看同一个自然语言，结果看到是不同的意思。
这不奇怪，我一开始看楼主的，也没看明白。也争了一大通。不过后来发现
那是古典数学语言。码工多用现代数学集合论图论正则语言，或者类似正则
语言写法的东东，导致看古典数学转不过弯来。
楼主的证明其实没错，但是用到了素数的递归定义，实际上我认为是个
trivial 的证明。（由素数递归定义可以容易直接证明无限性，不需要
反证或归谬）。
老实说素数的递归定义并不显而易见，我觉得非码工用自然语言理解，很可能是
似懂非懂。说实话我一开始其实也理解有偏差，导致一开始写的那个 yacc/c
伪码里，把 if and only if 里的 only if 判断条件写错了。其实那个
不是笔误，是理解错误。但写正则语法就是有这个好处，写出来，testcase
跑对，也就基本理解对了。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:09:17 2013, 美东) 提到:
看1032楼.
我认为是对我的定义的一个比较好的表述.
其中并不需要单独写明 "2是质数"
但是若把定义中的小于a改成不等于a, 我就不知道怎么逐字逐句的翻译成代码了.
只能说先根据整数的整除理论 (不需要素数定义) 得出比a大的数不能是a的因子, 然后
再继续, 写出来的代码是一样的.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:10:24 2013, 美东) 提到:
他这一楼的回复其实没问题.
我1022楼问的确实有点傻逼了, 那个问题不是我的本意.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:15:15 2013, 美东) 提到:
你递归定义的base case和recursion各是什么
我看看对不对
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:16:42 2013, 美东) 提到:
你现在还认为我的证明哪里有问题吗?
如果有问题, 还请重新指出. 前面咱们说过什么我都忘了.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:21:06 2013, 美东) 提到:
你这个 C 程序写的更精炼，直接符合质数递归定义。
我那个是从 yacc 直接翻译过来，目的是跟 yacc 一致。
其实是为了保持 token / set 的概念写的。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:21:53 2013, 美东) 提到:
你的问题已经好多人重复指出了
就是在推出N是素数的时候，没有遵守素数的定义
你以为你遵守了，因为用的是等价推论
但是你的反证假设实际包含了“质因数最大只能检查到p_n”
这样就破坏了等价性，所以不能再用那个等价推论还判断N是否素数
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:30:12 2013, 美东) 提到:
你不懂什么叫 "命题",
我在利用如下 "命题":
"a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 => a 是素数"
我利用该 "命题" 判断 "在前提假设下, N是素数" 对不对时, 只需要验证: "在前提假
设下,N是大于1的自然数, 且N不被任何小于N的素数整除"
我的验证方法是:
在前提假设下,N是自然数, 显然, N大于1, 显然, "假设" 告诉我们素数只有p_1,...,p
_k这些, 故 "小于N的素数" 也至多是这些, 但每一个p_i都不能整除N
于是: "在前提假设下, N是素数"
这么说够清楚不?
你不懂如何利用一个正确的命题进行 "判断", 满脑子都是码工的想法, 什么 "质因数
最大只能检查到n" 这种说法, 只能暴露出你对 "命题" 这个词的认识还停留在计算机
智力的水平.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:34:20 2013, 美东) 提到:
你别管我是码工还是什么
你为什么死都听不进去别人的话
你反驳一下说说的有什么不对吧
你不知道那个推论实际已经隐含了素数可以任意大的条件了吗？
那你还证明什么？
如果我给你一个arbitrarily big的自然数
你怎么判断它是不是素数，按照你的假设？
按照素数的原始定义是可以判断的哦
,p
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:35:41 2013, 美东) 提到:
再补充一下:
请问: 如果在主流公理体系下, "A<=>B" 是正确命题.
结果在某个假设下, 可以推出 "A<=>B" 是错误命题 (也就是你说的什么 "假设的东西
破坏了等价性"), 那这是不是已经说明 "假设错了" ?
还是说 (按照我理解的你的意思):
"假设" 这个东西, 其实是一个很牛逼的东西的, 他屌炸天了, 如果在 "假设" 下, 某
个命题是错的, 那么就算他早都被证明为是正确的了, 那他也是错的! 在假设条件下,
你就是死你也不能用这个命题, 就是不能用!! 我不准你用! 不准你用!!!!
你是这个意思不?
☆─────────────────────────────────────☆
devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Sun May 26 03:35:57 2013, 美东) 提到:
我去，你们还在继续。。
,
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:37:17 2013, 美东) 提到:
那个等价关系之所以成立
是因为今天人们已经知道素数有无穷多
在素数有无穷多得证之前
是没有那个等价关系的
,
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:39:16 2013, 美东) 提到:
其实你的程序跟我的程序最大的差别是，你是判断单个数是不是素数，
而我是在判断一个 set 是不是完整的素数 set。
另一个问题是，我的确不知道你的程序是不是能在理论的正则文法虚拟机
上建立 token 以及 reduce token。
这两个程序还是有概念差别的。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:39:29 2013, 美东) 提到:
引用-----
如果我给你一个arbitrarily big的自然数
你怎么判断它是不是素数，按照你的假设？
按照素数的原始定义是可以判断的哦
-------
假设是对的还是错的?
如果假设是错的, 你凭什么让我在假设下来判断一个命题是对的还是错的?
就算我告诉你: "在假设下, 这个命题是错的", 那就能说明这个命题真的是错的?
你是凭什么让我 "在假设条件下" 判断一件事情? 还限制我不能用这不能用那的? 数
理逻辑课给你这么教过? 你自己说说你这合理不? 是不是霸王条款?
--------
另外, 我再说一遍:
"如果素数只有有限个, 记为p1,...,pk, 并定义N=p1*...*pk +1, 那么N是素数"
这句话毫无问题, 我也只承认这句话, 你如果认为我错, 你就指出这句话错在哪里.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:41:01 2013, 美东) 提到:
你的意思是不是:
我要证明 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题
的话, 必须要用到 "素数有无穷多个"?
回答 "是", 或者 "不是".
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:44:15 2013, 美东) 提到:
反证，就是要在假设的条件下利用公理等推出与假设相反的结论
你先回答我一个问题
如果我们“不知道素数是不是有无穷多个”
能不能说 a是素数<=>a没有小于a的质因数
回答能或者不能
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:47:20 2013, 美东) 提到:
能.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:47:26 2013, 美东) 提到:
是
更准确的说法是：
如果素数不是无穷多，这个等价关系成立与否需要证明
如果是无穷多，成立（所以现在直接可以看成另一定义）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 03:47:54 2013, 美东) 提到:
我的程序是很容易证明素数无限性的。因为我的程序（伪码）是判断输入
的 set 是不是完整的素数 set。按照 LR文法虚拟机左递归文法的概念，
很容易 recur up 产生 size 大一号的素数 set。
他的程序去证明素数无限性貌似并不那么显而易见，而且他的程序判断的
输入的单个数字而不是完整 set。不知道能不能放在 LR文法 或者
正则文法虚拟机 上跑。
当然，任何这种程序就能在 RAM虚拟机上跑，但是 RAM虚拟机就像图灵机
那种，用来证明形式语言文法命题，可能跳跃稍大点。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:51:48 2013, 美东) 提到:
好
你说即使不知道素数是不是有无穷多，也可以认为他们等价
那么假设素数是有限的，最大是p_n
比p_n大的，且不能被其他自然数整除的数，
按照素数的定义（等价符号左边部分），是素数
但是按照等价符号右边部分的表述，是合数
所以就不等价了，是不是
只要你回答是不是等价，不要扯其他的
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:52:41 2013, 美东) 提到:
你再表述一遍, 你是说明 "不需要反证法, 也可以证明 素数有无穷个 " 的?
谢谢.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:54:27 2013, 美东) 提到:
错, 你那不是更准确的说法, 你那是自我意淫出来的说法. 我不认同你意淫出来的说法
.
我就问你, 你是不是认为: 我在没有素数无穷多的前提下, 证明不了 "a是素数 <=> a
是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这个命题?
请回答 是 or 不是.
请简单回答, 不要做其他补充.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:55:16 2013, 美东) 提到:
请问这说明你的假设错了, 还是说明他们不等价?
你在一个错误假设下搞出来的命题, 你指望别人听你的吗?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:55:59 2013, 美东) 提到:
我已经说了是了，你还要干嘛
a
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 03:56:16 2013, 美东) 提到:
请回答等价还是不等价，不要扯其他的
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 03:57:31 2013, 美东) 提到:
我不回答这一楼的问题, 因为我根本看不懂你的问题.
请你把问题写清楚.
你的问题是不是 "如果素数只有有限个, 那么两个定义不等价" ?
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:01:23 2013, 美东) 提到:
因为你在说了 "是" 以后, 自己又脑补出了一堆自己的错误理解.
我认为是你的数学逻辑太差.
你自己看一下, 这两句话是不是一个意思:
第一句: 在没有素数无穷多的前提下, 证明不了 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何小于a的素数整除" 这个命题.
第二句: 如果素数只有有限个, 那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何
小于a的素数整除" 是错误的命题.
-------
你不明白 "正确" 和 "错误" 与 "可以证明" 和 "不能证明" 的区别.
我证明了一个命题正确. 你 "在某种假设下, 证明了这个命题错误", 你由此来说明:
我的 "证明" 是错的. 你说你是不是有问题?
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:03:08 2013, 美东) 提到:
再问一遍：
在你的前提下，两个定义是不是等价
请回答
（1）等价
（2）不等价
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:04:13 2013, 美东) 提到:
所以你知道不等价了？
只要有一个反例就不等价
注意我们只讨论两个概念是否等价，先不要管别的
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:04:44 2013, 美东) 提到:
我这么给你说吧:
在数学逻辑体系下, 若A是假命题, 那么不管B是不是真命题, 以下两个命题都是真命题
1. "如果A正确, 则B正确"
2. "如果A正确, 则B错误"
------
你如果不认可, 那是你数学逻辑太差, 自己找本主流的数学逻辑教材去看去, 不要跟我
在这瞎掰掰.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:06:20 2013, 美东) 提到:
看1065楼我的发言.
我对你这一楼问题的回答是:
(1) (2) 都是正确的.
你要实在理解不了, 自己去学学数学逻辑吧, 我真的没多余的话可讲了, 唯一确定的是
, 你不懂数学逻辑.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:08:34 2013, 美东) 提到:
我们试图用无二义的程序代码来解决歧义的问题。但是我发现他（I63）
似乎一直还在 RAM虚拟机/图灵机 的思路里。
你看他为这个讨论写的程序（其实也反映了思想和倾向），输入是一个单个
素数。素数的有限无限性，在他的程序上，不是那么直接明显。
我为这个讨论写的程序，输入是一个完整的素数 set。那素数是有限还是
无限，检查这个完整素数 set 的 size 就可以了。
我个人觉得，I63 或多或少还试图坚持从“代数”的角度来观察，用变量
代表数字。
但素数的无限性，其实是一个完整 set 的无限性。我个人认为使用 token
代表完整素数 set （前N个素数）的符号文法，更适合解决这个问题。
无限性直接跟 set 的 size（无限的定义就是对任意 size 的，总能找到
更大的 size），以及 set 是否 reducible （是不是 valid 的完整
素数 set）直接挂钩。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:09:01 2013, 美东) 提到:
我还是给你举其他的例子吧, 你看看这两句话哪句是对的:
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮也已经不存在了"
"如果太阳已经不存在了, 那么月亮仍继续存在"
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:10:17 2013, 美东) 提到:
咱俩先来解决这个问题.
我认为: 不用反证法, 证明不了 "素数有无穷多个"
你试试反驳我, 给一个不用反证法的证明.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:10:29 2013, 美东) 提到:
你等等，我先去喊罗素回家做证明题。。。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:13:28 2013, 美东) 提到:
前提设定以后
两个定义只可能等价或不等价
没有第三种情况
你不要在这捣糨糊
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:15:17 2013, 美东) 提到:
这两个句子都是命题，不是概念（定义）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:15:33 2013, 美东) 提到:
我在 1012 楼里用自然语言描述，1013 楼里用 C伪码，基于俺前面集合论伪码实现
的素数递归定义，应该是给证明了。如果不对，敬请指正。俺好继续学习。
自然语言描述的链接：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034779_0.html
C伪码证明的链接：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034787_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:18:49 2013, 美东) 提到:
不是我捣糨糊.
数学逻辑公式就是这么规定的, 这是公理.
你要不认同, 只能说你不认同主流公理, 那我无话可讲.
我尝试解释一下吧, 如果以你的智商看不懂, 我表示可以理解.
在数学逻辑中, 对于命题p和q, 并不要求 "如果p则q" 这句话中, p和q一定要有什么 "
推导关系",
"如果p则q" 在数学逻辑中, 是这么定义的:
"非p 或 q" (这就是公理, 其合理性在懂数学的人看来是显然的, 你要不懂, 我无话可
讲"
"如果p则q" 正确, 当且仅当 "p错误" (即 "非p" 正确) 或 "q" 正确
以上的 "正确", 等同于 "是真命题".
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:20:26 2013, 美东) 提到:
我没看懂.
这么说吧, 你把你证明中 得到最终结论的那句 "故素数有无穷个" 这句话倒数往前数5
句的内容, 再写给我看一下. 谢谢.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:26:59 2013, 美东) 提到:
"定义" 在数学中, 就是 "命题" 的一种.
"定义" 本身是一个 "命题", 但是他比命题多了一些东西, 比如 "良定义性" (也就是
说你得能够根据定义判断出来你所处理的对象是不是具有某种属性).
并不是所有 "命题" 都具有良定义性, 比如:
"a是素数 <=> a是素数" ,这就是一个正确的 "命题", 但他不能作为素数的 "定义".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何除1和它本身外的自然数整除", 这就可
以作为一个 "定义", 同时他也是 "命题", 在主流数学公里下, 这是素数的主流 "定义
", 也是 "真命题".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除", 这也可以作为一个
"素数的定义", 同时也是 "命题", 在主流数学公理下, 我们知道, 这是个 "真命题",
可以用来 "证明" 其他 "命题", 其 "定义", 和 "主流定义" 是等价的.
但无论如何, "定义" 本身, 一定是 "命题".
这么说, 明白不?
不明白只能说你得去找本主流的逻辑书看看.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:32:35 2013, 美东) 提到:
我同样用了 p1*p2*p3...*pN + 1 这个数，但是我没有用反证。
我用有限证明无限是用这个无限的定义：
如果对于一个任意 size 的 set，如果总能生成出另一个 set，并满足以下条件：
（1）该 set 是 valid 的
（2）该 set 的 size 大于原来 set 的 size
那么该 set 是可以无限的。
数5
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:40:30 2013, 美东) 提到:
没看懂, 你这个定义中 什么叫一个set和另一个set? 是不是同一个set? (1), (2) 中
的 "该set" 到底是指那个set?
还有, 什么叫 "生成"? 这是一种什么样的操作?
比如我规定一个 "生成" 操作是: 把一个set内所有的元素都加起来, 并再放入这个set
中.
那么我可以由set: {1,2}, 生成set: {1,2,3}
那就是说 {1,2} 是 "可以无限的", 是这个意思吗?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:43:44 2013, 美东) 提到:
另外我刚才发现一个问题，你的程序实际上还是需要外加自然语言的定义的。
因为你的程序是判断单个数是不是素数，而素数无限性的问题实际上是集合
的 size 的问题。
你的程序没有出现集合。当然，你的想法估计是“我把所有自然数都上去跑
一遍，这个自然就是集合了嘛。”。这个的确不错，但这一句是自然语言而
不是 formal language。于是罗素悄悄的来了。。。:-)
另外一个问题，除了因为你没有定义素数集合这个 token 以外，更重要
的是，正因为你没有定义素数集合这个 token，你的递归并没有真正意义
上去 reduce 一个代表集合的 token 到小一号的 token。你的递归
还是更倾向于自然语言的实现，递归式的判断单个数，而不是递归式的
reduce 一个集合。但 again，证明有限无限性，是集合 size 的
问题。。。
数5
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:50:26 2013, 美东) 提到:
我的程序是 "判断a是不是素数"
我只是说如何把我的 "定义" 翻译成 "程序语言"
我没有说我的程序在证明 "素数有无穷个" 这个命题.
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:53:31 2013, 美东) 提到:
别扯些乱七八糟的
在formal logic里面，一个proposition可以有truth value
但是不讨论定义的truth value
所以你问的那个完全就是不相干
",
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:56:35 2013, 美东) 提到:
我扯的这怎么就是乱七八糟?
你要懂这些的话, 早都开窍了, 我用给你扯这些?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 04:57:41 2013, 美东) 提到:
具体而言，这里的 set，用自然语言描述，是“前N个完整连续素数的集合”。
（但是，again，正则文法里，这个自然语言的描述，只能用来帮助理解。
权威的定义来自那段伪码 code。）
第二个问题，是不是同一 set？容我这么唐：
在变量赋值的时候，你开始写了个 “a = 2”，后面又写了一句 “a = 5”。
你说这两个 a 是不是同一个 a？
那我进一步说，我写了一个 token，意义是“单个自然数”。开始的时候这个 token
是 “50”，后来这个 token 被改成 “100”，那这个 token 还是不是
“单个自然数”。
那我再进一步说，我写了个 token，意义是“前N个连续自然数”。开始的时候
这个 token 是 ( 1 , 2 )，后来这个这个 token 变成 （1, 2, 3, 4, 5)。
那这个 token 是不是还是“前N个连续自然数”？
那我再再进一步说，你要是写了个 “a = a + 1”，你说这两 a 是不是同一个 a？
那我要是写个 yacc reduce “token : token 1”，把 token reduce 成
token 和一个自然数“1”，那你说这两个 token 是不是同一个 token。。。
搞糊涂没？搞糊涂了俺就可以去洗洗睡了。。。
set
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:58:20 2013, 美东) 提到:
还是讨论刚那个 "反证法" 的问题.
不要说用机械语言.
你就用自然语言, 我都不觉得你能用一种方法避开反证法.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:03:11 2013, 美东) 提到:
我擦，我上面难道不是用 formal logic 证明了，基于素数的
formal logic 的递归定义（严格的说是素数集合的递归定义），
对于任何一个“前N个连续素数的完整集合”，总能找到一个尺寸大
一个的“前N个连续素数的完整集合”，并且该集合满足素数集合的
formal logic 的递归定义？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:04:35 2013, 美东) 提到:
我就这么说吧, 抛开蹩脚难用的机器代码不说.
你就用自然语言证明 "素数有无穷多个"
你最后证明的是什么?
我看你证明的很可能是下面这段话:
"现在设我们手中有一个素数的子集, 他是个有限集, 记为{p1,...,pk}, 那么我们可以
根据一系列正确的命题, 来构造出一个新的素数p0"
如果是这样的话, 我只能说, 严格来讲, 你并未证明 "素数集是无穷集"
--------
另外, "无穷集" 在集合论上是这么定义的:
"a是无穷集 当且仅当 a不是有限集"
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:05:29 2013, 美东) 提到:
你那个 "无穷集" 的定义我没看懂, 尤其是其中 "生成" 二字, 不明白什么意思.
另外, 它是不是和经典集合论的 "无穷集" 定义等价, 需要证明.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:07:08 2013, 美东) 提到:
我以为我们是在把自然语言定义翻成 formal logic，
用 yacc伪码 或者 C伪码 。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:08:53 2013, 美东) 提到:
.....
那更简单, 连递归都没有了.
不讨论这个问题, 没有难度.
说说怎么 "不用反证法证明 素数有无穷个" 吧.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:15:54 2013, 美东) 提到:
我这个定义只用“找到”。。。这个总可以理解吧。。。
至于前面用的 “生成” 的意思，是指按照 yacc伪码 写的 formal logic，
反向 recur up 找出大一号的集合。（yacc 运行是 reduce / recur down）。
这样保证能被 reduce，所以找出来的是 valid 的集合。
经典集合论的无穷集，俺估计早就忘得一干二净了。。。我对无穷的最最最最近的记忆，
是本科微积分课。。。你要让我再去找欧几里德，我直接晕菜了。。。
不过这个交流也不错，码工们的学习都是渐变的。俺没意识到古典数学思想和现代数学
思想差别还是蛮大的。看来俺要让俺的娃在可能的情况下提早向现代数学迈步。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:21:08 2013, 美东) 提到:
我那个 formal logic 定义的不是任意的素数子集，而是“前N个连续素数的集合”，
当中漏掉一个素数不可以的。
而构造的，也是要“前N个连续素数的集合”，当中漏掉任何一个素数也不可以。
N 大一号。
这个也是你指出我的错以后，我重新改了 “and only if” 条件。否则就变成
你说的子集了。（我写错的原因是按照自然语言印象直接写，结果罗素可能看了
一眼。。。）
这样能无穷集了么？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:28:10 2013, 美东) 提到:
这个为啥用 formal logic 容易证明。自然语言的困难，在于无歧义的表述
“前N个连续素数的集合”的递归定义，罗素会打招呼，我写的意思不一定是你
读的意思。
而 formal logic 没有这个问题，而且码工可以用 LR 文法写，对还是不对
可以直接在 LR文法虚拟机上思想验证。
不是说自然语言不能证明，但是因为天生的歧义性，我证明了不一定能说服你。
甚至我证明了都不一定说服明天的我。。。人不能两次跨过同一条河流。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:29:31 2013, 美东) 提到:
请求: 不要再跟我谈伪代码了, 我真的不懂伪代码, 认输!
我懂C代码, 但不懂伪代码, 尤其是我连是什么东西都不知道的 "yacc伪代码".
你的任何解释, 都可以是基于汉语的, 请不要在证明中说到 "伪代码" 相关的东西.
你用汉语解释一下你定义中的 "生成" 是一个什么样的操作.
我现在无法判断你说的是不是有道理. 因为你的每一句话都要往上回溯好几楼, 而且要
归结到最开始的 "伪代码" 情形. 我无能力处理这种情况.
-------
请你直接用汉语, 重新表述一下, 如何不用反证法证明 "素数有无穷个".
谢谢啦!
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:31:25 2013, 美东) 提到:
素数集递归定义的 formal logic 。。。 不是讨论在递归定义么？
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:32:23 2013, 美东) 提到:
比如说吧, 你在1073楼给了个 "自然语言描述链接", 我点进去一看, 除了一些简短的
评论以外, 还是一个链接, 于是继续点进去, 结果是个伪代码.
于是我崩溃了.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:34:05 2013, 美东) 提到:
我那个C语言代码难道有什么缺陷?
不是logic的吗?
我觉得我的代码在 "承认素数是自然数的一个子集" 的前提下, 几乎就是和我文字描述
的递归定义的 "平铺直叙翻译版".
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:40:57 2013, 美东) 提到:
我承认我无法在合理有限的时间内，用自然语言，无歧义地表达。
我能表达的，都已经表达，特别是在 1083 楼这一楼，回答
两个 token 是不是一个，link 如下：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035113_0.html
在此之上，我有些感概。其实 LR 文法真的是一个不常用的基本忘得一干
二净的东西，上这种抽象课也不觉得有啥用处。但是有些潜移默化的东西，
看来还是有其存在价值的，我们自己未必意识到。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:44:28 2013, 美东) 提到:
那没法说了...自然语言都表达不了的话... 我作为自然人, 是无法理解其精神所在的.
...
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:46:36 2013, 美东) 提到:
请你认识到 "我作为一个自然人" 的局限性.
对于 "yacc" 神马的, 我表示认输了!
PS, 以上非调侃..
你之前问过我一句 "看糊涂了没?", 我现在明确而大方地回应你:
糊涂了~
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:46:42 2013, 美东) 提到:
你的 C 语言代码没有任何缺陷，也正如你说的，“平铺直叙翻译版”。
但正因为是 “平铺直叙翻译版”，跟基于集合论的 formal logic
还是有所距离。距离在哪里，我在 1079 楼下面这个 link 里说了。
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035073_0.html
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 05:47:52 2013, 美东) 提到:
关于你说的 "文法", 你指出 "你得到了很多感慨", 那真心恭喜你, 这相当于是某种再
学习和再进步的过程.
不过, 恕不能感同身受......
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:49:47 2013, 美东) 提到:
至少能理解数学家们为啥当初吃饱了撑的搞个 formal logic 的概念出来。。。
估计已经到刀兵相见的程度了。。。哈哈。。。
不过其实都是自然人，只是被专业课老师逼迫多学一种语言或者语言概念罢了。。。
的.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 05:54:13 2013, 美东) 提到:
这个高楼还是很有营养的。或对或错另说，其实并不那么重要。这种读书的或对或错，
总是有机会可以改的。
但是从不同的角度看一个问题，还是很有启发的。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 09:04:29 2013, 美东) 提到:
令我十分疑惑的是. 本帖自发帖开始, 那些 "看懂证明表述的意思还认为证明错误" (
包括认为那个素数的定义不对) 的人, 竟然到最后, 连一个反水的都没有.
这毁了我的三观.
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bluemonkeyz (bluemonkeyz) 于 (Sun May 26 09:35:21 2013, 美东) 提到:
不要跟LZ扯了。我确信他是来盖楼的。
他硬要说30031是素数，你有什么办法。
我说我不回了，他还发个邮件过来，让我看楼。
他的意思是在素数是有限的情况下，30031是素数。这就是他所谓反证法的精髓。
但是他的假设中没假设30031是素数，怎么30031摇身一变成为素数了呢^_^
你就问问他30031是不是素数就够了。其余的我在1021都说了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:26:17 2013, 美东) 提到:
我这么说：
第一：这个高楼是现代数学跟古典数学的冲突。你看看我花了多少时间，
大部分人不一定花我这么多时间。
第二：如果按照码工所使用的现代集合论硅谷实用版，你的证明的确到“可知”
那步就断了。因为 formal logic 到那一步，写不出来。写不出来的
原因是因为 “可知” 是基于那句自然语言 “如果素数是有限的”。而那句
在 formal logic（比如我写的 yacc 伪码），无法表述。
（yacc 伪码里，如何放这句自然语言 “如果素数是有限的，所以。。。”
进去？ 你如何创建一个 token，来代表 “如果素数是有限的”？）
第三：我觉得绝大多数码工，思维习惯是基于现代数学的。比如：
如果让码工在 job interview 的时候快速写一个实用素数序列发生器，
估计绝大部分码工都会让素数序列发生器保持已经产生的完整的前N个素数
序列在内存里，然后根据其产生下一个素数，不断添加那个序列。一直到
满足尺寸要求。。。
你如果看我的程序，差别只是我把已经产生的完整前N个素数保持在参数里
而不是内存里。那个差别主要是为了讨论的目的，满足能在 LR文法的
yacc概念虚拟机上跑程序的要求。
可能不管你怎么说，不管大伙儿有没有用 formal logic 的 notation。
大伙儿的思维很可能是更倾向于 formal logic 的。（码工写的程序可不能
出现罗素悖论啊，否则老板们喊你们回 cube 修 code 啊 。。。）。所以最后
导致鸡同鸭讲的情况。。。 run 。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:46:50 2013, 美东) 提到:
另外我对这个问题感兴趣，主要是娃的教育问题。毕竟娃的将来中学数学教材
还是基于古典数学的。
我个人的感觉，formal logic 概念的数学思维，从大脑思维角度，相对而言
更加 spatial。而古典数学（比如欧几里德之类的）数学思维，从大脑思维角
度，相对而言更加 sequential。
我在想，是不是中学数学，除了打个数学基础以外，更加有用的是作为哲学教育
的存在（哲学教育总不能光聊空洞的问题吧）。等到娃意识到罗素悖论之类的
悖论以后，数学教育，在概念方面，其实可以直接上 formal logic。
（当然，不要用数学家的一对晦涩的 notation 就是了，表达概念不需要
notation）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 14:53:41 2013, 美东) 提到:
第三个问题，昨晚你问的，能不能用自然语言表达。我觉得应该这么说。
如果要用自然语言表达，我就必须在白板上画一张“语法生成树”，然后
再讨论。这样我不需要用任何“yacc伪码”之类的表述，可以直接用
“产生 token”，“token 加”，“token 减” 等等自然语言（或者
不喜欢 token 这个词，改成集合好了，反正 formal logic 么，
用啥词关系不大）。
但是 BBS 上不行，没白板，用 text 画 graph/tree 要累昏。。。
原因，again，个人认为是大脑思维方式的
spatial(symbol) vs sequential(verbal)。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 15:14:49 2013, 美东) 提到:
反对你的人有不止一个是数学专业的（不包括我）
他们的话你听不进去，还骂人
你这个问题是古典问题，自古以来有很多人尝试过
所以总结出各种证明
而你居然认为自己拍脑袋想出来的很简单的新方法是对的
也很毁三观啊
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ALife (草履虫) 于 (Sun May 26 15:55:00 2013, 美东) 提到:
daigaku, 能麻烦你列一下那几个认为l63的证明错误，你比较确定的数学专业的id么？
我想看看他们的理由，学习了解一下他们的思路。谢谢。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 16:22:06 2013, 美东) 提到:
记得有xiongyp还是什么（大概是这个拼写）
还有一些发言少的忘了ID了，你可以在前面的帖子里搜出来
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ALife (草履虫) 于 (Sun May 26 16:41:29 2013, 美东) 提到:
随便选了几个xiongyp的帖子，看起来不太象。不过从以下帖子来看：
》发信人: xiongyp (dreamrain), 信区: WaterWorld
》标 题: Re: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多个"
》发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 15:20:01 2013, 美东)
》
》你也是学数学的？
》
》【 在 czjn (霍乐刚) 的大作中提到: 】
》: “完备性”，我一再提这个词，不过似乎lz不太理解。。。
有可能他是学数学的。如果是真的，那我学习了。谢谢。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 17:00:49 2013, 美东) 提到:
我现在觉得楼主的证明是错误的，原因是楼主引用的素数的递归定义。
我现在这么阐述。
=========================================================
关键问题：问题（1）：楼主引用的素数的递归定义，是不是只能存在于
formal logic 的系统里。
---------------------------------------------------------
如果问题（1）的回答是“是”。
那由于楼主所用到的古典反证法里面的“假定素数集是有限的” 这个假定无法
被符号化，从而无法被纳入 formal logic 系统，导致整个证明因为采取
相互矛盾的数学系统，不自洽，而失败。
---------------------------------------------------------
如果问题（1）的回答是“否”，那看楼主前面的帖子会发现：
（a）：楼主无法回答素数递归定义里面那个“小于a”的那个条件的必要性。
（实际上是必要的）。
（b）：更重要的是：楼主无法回答在素数递归定义里，被定义的素数（集），
和用来定义的素数（集），是不是一样的问题。楼主实际上陷入了罗素
悖论。特别见楼主的 1078 楼。（我在 1083 楼解释了，看起来是
古典集合论思想跟现代集合论思想的冲突）。
这样由于楼主所引用的素数递归定义本身不能被古典集合论所接纳（陷入罗素
悖论？），导致证明失败。
=========================================================
所以我现在觉得楼主的证明是错误的。
不过我觉得不是因为完备性的问题，而是因为自洽性的问题（自相矛盾）。
这个自洽性非常隐蔽，隐藏在古典集合论和现代集合论中。（其实可能还有
古典无限定义和现代无限定义的矛盾）。
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daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 17:03:17 2013, 美东) 提到:
你多喝点咖啡，准备晚上跟他打架吧
呵呵
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Sun May 26 17:18:05 2013, 美东) 提到:
楼主可以把那个递归定义不当成定义，当成定理。
但如果是那样，我觉得楼主的证明也就有点 trivial 了。。。
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 22:59:15 2013, 美东) 提到:
我这么给你说吧:
一个真正的学数学的人, 从来不屑于以说 "我是学数学的"/"我是数学专业的" 这种方
式来让别人信服自己. 试图以这种方式让别人信服自己的人, 我不屑于认为他是学数学
的. 如果他真的是学数学的, 那么他不配学数学.
over, 以上论断, 我个人认为: 不证自明.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:02:02 2013, 美东) 提到:
编辑掉.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:04:11 2013, 美东) 提到:
他们声称我的证明不全, 却从来不明确指出缺在哪里, 只会自己脑补或者歪曲一些步骤
, 并进一步声明 "他们的脑补" 是错误的, 所以我说他们不懂逻辑, 并不是随口胡说
.
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 23:21:52 2013, 美东) 提到:
请解释一下 "定义" 这个词.
我的解释:
"定义" 在数学上, 本质是一个命题函数, 是从定义域到{0,1}的一个映射.
比如, "素数" 的定义就是一个函数, 定义域可以在自然数, 实数, 或者复数上面, 这
里我们讨论的前提是自然数, 不妨把 "素数" 看做自然数的一个子集, 其定义对应的函
数, 就是这个子集的 "示性函数", 我们把主流的素数定义对应的命题函数记做 P(x),
则 P(0)=0, P(1)=0, P(2)=1, P(3)=1, P(4)=0, P(5)=1,...
在讨论前提是自然数 (相当于全集是自然数) 的意义下:
我提出了一个命题:
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
实际上就是断言, 对于任意自然数a, 总成立下式:
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x(由于文本打逻辑符号不太好用, 我这里用c语言+自然语言的写法)
我们知道这个断言是对的.
那么他能否作为素数的定义呢?
这要求我们能根据
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 这句话, 来定义一
个函数 P(x), 使得这个函数本身是自然数集上的一个良定义的函数.
定义方式已经在前面1032楼用代码写了, 如果有人觉得自己比计算机还笨, 不认为这个
函数是良定义的函数, 那我无话可讲.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:04:02 2013, 美东) 提到:
俺暂定你这里说的是指高中数学的公理定理系统，而不是指
formal logic 系统。
如果我上面说的是对的，那你就不能援引你 1032 楼的
C 代码。因为尽管你的 C 代码是判定单个素数，但是
你的 C 代码里有递归，递归背后的数学基础还是 formal
logic。（递归是函数自己 call 自己，好比就是理发师
自己给自己理发。。。）。
我觉得你这段文字的问题还是涉及同时使用两个矛盾的数学
系统导致的。具体说是：
（1）你用 formal logic 系统判定单个素数（而不是直接
判定集合）。
（2）你用自然语言/经典集合论，把很多单个素数组成素数集合。
以上的（2）直接违反了 formal logic。
formal logic 本身并不禁止用单个数构成集合，但你必须
定义一个 token 代表集合，同时还是定义 operator 把
单个素数的 token 组成素数集合的 token。同时这个
token 和 operator 要满足 formal logic 的基本要求。
但这些你都没有定义，所以不被 formal logic 所认可。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:06:19 2013, 美东) 提到:
其实整个计算机语言都是建立在 formal logic 数学基础上，
比如最基本的赋值。。。虽然有可能有个别程序段可能真的不基于
一点 formal logic 的概念，但是大部分程序很难。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 00:39:43 2013, 美东) 提到:
另外，理论上，Yacc 可以用来写 C 编译器的语法分析阶段。
而且 ISO/IEC/IEEE 的 C 标准文本的语法部分是用 BNF
（Backus–Naur Form）写的。
没这个高楼前没体会到 formal logic 在码工界如此深入
人心 + 潜移默化。。。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 01:39:29 2013, 美东) 提到:
So your opinion is formal languages must conform to an LR grammar? Isn't
that too limiting?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:10:22 2013, 美东) 提到:
formal logic 当然不限于 LR文法 或者 formal language。
但俺就是一个码工，不是数学家。超过 formal language 和
graph theory 的 formal logic 俺一无所知。
不过这个楼的破玩意儿，LR文法这种简单的 formal logic
不也给了解么？
再说了，俺老好歹搬了个 LR 文法出来。。。而楼主搬的
“相同性质的东东放在一起构成集合” 的经典集合论，
让码工们靠着混饭吃的 graph theory 情何以堪嘛。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:17:06 2013, 美东) 提到:
另外我那段文字里没有说 formal language 一定要 LR 的意思。
我的重点是说 define token，define operator，不能用
自然语言 “同类的东东放在一起构成一个集合”。
我实际上都没有限制说一定要用哪一种 set theory，只要满足
formal logic 即可，自创都可以。
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 02:20:08 2013, 美东) 提到:
I thought YACC can only build LR parsers but I could be wrong
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 02:24:11 2013, 美东) 提到:
yacc 只能搞 LR parser，你没错。我这个问题用 yacc 搞成，不等于
其他的问题都用 yacc 搞。。。就好比会写中文不等于只会写中文。。。
当然，我灌水时通常天马行空乱用术语，我主要是说个意思。当然，这个
也不好，我刚才飞速去 wiki 了一下，其实我说的意思应该是 formal
system（当年的课是不是叫《形式逻辑和自动机》？）。
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_system
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kurutoga (whatsupg) 于 (Mon May 27 02:45:58 2013, 美东) 提到:
I know what you are trying to do. I just felt the original problem is
simpler than the different methods used by various people in this thread.
And I agree, LZ should not use the definition of prime numbers in the proof,
because it leads to a circular reasoning.
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 06:31:52 2013, 美东) 提到:
1. 你好像没有回应我的请求 ( "请解释一下 "定义" 这个词)
2. 你的意思大致似乎是说我的方法中可能会导致类似 "罗素悖论的东西", 但是, 我认
为, 在已经限制了 "全集是自然数集" 的前提下, 根本不会出现 "罗素悖论" .
罗素悖论的问题, 是没有定义清楚 "集合", 比如, 什么叫 "任意的集合"? 但是这里,
全集已经很清楚了, 就是自然数集, 这种情况下不会有问题.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 15:59:55 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
好吧，我们直接看你的这个式子。
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x你试图求解 P(x) 函数的存在，实际上这个 P(x) 函数在高中数学公理定理
体系里无法求解，于是你利用你的 C 程序求解。在这步，你混淆了两个矛盾
的数学系统。我这里给个简单解释：
在高中数学公理定理函数系统里，“a=a+1” 这个式子无解，“f(x)=f(x)+1”
这个式子也无解。
但是在 formal system 里面，“a=a+1” 或 “f(x)=f(x)+1” 可以是
valid 的，valid 与否取决于如何定义 token 和 operator。
你遇到的问题，是由于高中数学里的公理定理体系是一个不完备的体系（上面
有人提到的完备性）。你试图部分地引入，而不是完全地引入 formal system
来 fix 这个完备性，导致这个混合的系统产生自洽性的问题。
,
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 16:44:03 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
喝口水，俺们接着聊：
由上贴所述，你按照中学数学的公理定理体系以及 notation 写的这个方程：
(P(a)==1) == (a>1) && (for all x ( (x在中学数学公理定理体系里无解（类似求解 f(x)=f(x)+1）。因此你在你的帖子
里的 P(x) 实际上只能由那段 C 代码得到。下面为了避免混淆，我把你从 C 代码
里的得到的那个记为 P_fs (fs 实际代表 formal system，我这里避免写成函数
符号，是为了避免混淆，具体下面会说明）。
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logic98 (logic) 于 (Mon May 27 16:51:12 2013, 美东) 提到:
真能扯啊。这些和LR Grammar有什么关系？LR Grammar能表达的languages本身只是CFL
的一个子集。在整个计算机语言编译的几个阶段中，LR parser只是语法分析的阶段。
这些东东虽然属于逻辑的范畴（formal language),但和首贴的逻辑推理差太远了。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 16:56:56 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
喝口水继续。
那现在的问题是这个 P_fs 是啥东东。楼主肯定会说，当然是个 C 函数，
否则你是个傻瓜。:-) 那这个 C 函数跟高中数学函数是不是类似的东东，
可以互换呢？让俺们先回到 C 程序背后的 formal system。
P_fs 这个 C 函数，实际上是 C 语言背后概念上的 formal system
里面的一个 operator，这个 operator 的功能是把一个代表单个自然数
的 token 变成一个 boolean （0或1）类型的 token，根据该 boolean
token 可判断输入的单个自然数是不是素数。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:03:37 2013, 美东) 提到:
楼主首贴里面的逻辑很牛逼，但伊还是引用了素数的递归定义。
现在的问题是，素数的递归定义引起混淆和争论。为了平息争论，所以想用某种
formal system 的 notation 来精确定义一下素数的递归定义。
当然，你说的对，LR grammar 的确用词不精确，LR grammar 不定义语义。
用 yacc 还是精确点。
所以也就是用 yacc 来定义一下楼主首贴证明里面所引用的“素数的递归定义”。
当然，其实不限于 yacc。任何 formal system 的 notation 方式都可以。
只不过素数的递归定义比较简单，用 yacc 就可以定义。
CFL
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:20:25 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
又喝口水继续：
楼主这点写得比较长，为了避免误解或自然语言的二义性，我先把楼主写
的那段 copy & paste 在这里：
== 引用楼主的段落 =============================================
== 引用段结束 ================================================
俺长话短说总结一下，楼主的想法是，有了上面 C 程序里的 P_fs 这样的
operator（C 函数）。我给 P_fs 送个 “自然数全集”，P_fs 当然
就会给我 “素数全集”。简单 easy 啊。
但是 P_fs 就不高兴了，于是上诉到 C 语言体系所属 formal system
的联邦最高法院。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:33:21 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
又喝口水继续：
下面是 C语言系统所属 formal system 联邦最高法院的法庭记录：
大法官：P_fs 啊，你干嘛来法院起哄？
P_fs：俺的出生证上明明白白写着俺只能处理“单个自然数”这样一个 token，
丫的直接给我一个东东叫 “自然数全集”。法官您说，这活俺能干么？
俺控告楼主 “以不可想象的工作量的方式试图让 formal system
算子(operator) 过劳死”！
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 17:55:34 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
再喝一口水：
大法官想了想，问 C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
你那里不是有一堆处理集合的 operator/token，就不能出头解决这个问题？
C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
法官您有所不知，丫要的是处理“自然数全集”这样的 operator/token。咱们
C/C++ 语言联邦自打立宪建州建国那天就把那些给驱逐得一干二净。没办法，
那些家伙引起悖论也不是咱们的错是吧。。。
大法官：
那啥地方有那些东东？
C/C++ “集合论/集合算子/集合函数库”州的州长：
其他的 formal system 有没有这玩意儿，俺不知道。要知道 formal system
的小屁国多了去了。但是俺知道欧几里德王国肯定有，因为俺刚才问了移民局局长，
楼主就是从那里坐集装箱过来的。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 18:19:49 2013, 美东) 提到:
下面文字是针对楼主的这个帖子而言：
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2035975_0.html
继续喝水：
大法官擦了一把汗：
还好伊不是无国籍人士。这样吧，警察局长，既然移民局长核实了伊坐集装箱
从欧几里德王国过来的，你警察局长就让伊坐集装箱回去不就完事了？
警察局长：
人要是不肯走咋办？
大法官：
这种问题居然问法官？你们局子里没蒙汗药？
警察局长：
。。。 。。。
大法官：
记得别让伊把 P_fs 给带走了。
警察局长：
为啥？
大法官：
猪头！P_fs 有本国出生证！您难道又要我法官去查“纵容绑架本国公民罪”判多少年？
（我为啥说“又”呢？）
警察局长立马起身，边跑边说：
俺马上去办事，你们继续喝酒。。。俺马上去办事，你们继续喝酒。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 19:00:04 2013, 美东) 提到:
这个高楼，还是加深俺对码工所用实用数学的体会（或者说是偏见也成）：
中学数学里欧几里德的数学思想，虽然精巧，但对码工而言，帮助不大。
个人觉得对码工所用现代数学思想最有帮助的，恰恰是那些看起来
傻大笨粗的东东，能想起来的是：
数学归纳法
解析几何
泰勒展开
傅立叶变换
第一个编程语言
（过去是 Pascal 或 C，现在可能是 Java）
计算机图论
YACC 和 formal language
乱序执行的超级标量流水线结构
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logic98 (logic) 于 (Mon May 27 22:04:54 2013, 美东) 提到:
只能说你想太多了。
没错，程序设计语言本身确实是形式语言的一种。但是你说的yacc(一种语法分析器）
和它能够支持的LR grammar,是属于context-free languages的一种，这种只是语法分
析的一部分，而不涉及语义分析。简单的说，这种语法分析可以理解 a+b*c是解释成a+
(b*c)还是(a+b)*c.但具体a,b,c,有没有定义，可不可以合法的用在这里（比如如果b是
字符串类型），加法和乘法如何定义，这个不是context-free grammar可以处理的(因
为完整的程序设计语言属于context-sensitive language)。
回到这个问题，关于素数定义显然不仅仅是语法问题，而更多的是语义问题，因此不是
yacc，context-free grammar之类能说清的。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 22:09:34 2013, 美东) 提到:
http://www.mitbbs.com/article/WaterWorld/2034385_0.html
a+
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Mon May 27 22:11:42 2013, 美东) 提到:
不过灌水的目的主要是娱乐，真的要每贴都回的话要出人命滴。
俺不灌啦，大伙儿继续，俺潜水走人。。。
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 23:30:59 2013, 美东) 提到:
哈哈, 写得很有意思.
不过为了长话短说, 我还是再解释一下 (我认为的) 数学中的 "定义" 的概念:
首先, 什么是集合? 自从罗素悖论后, 这个问题变得十分诡异, 后来为了将集合论公理
化, 有一种方式是这样的:
我们不考虑 "任意的集合", 我们不试图找出 "任意的集合", 我们只在某一个 (或几个
, 至于如何定义 "几个", 先不管, 实际上我们真正用的时候, 并不需要用到 "几个＂
这一概念） 具体的集集合 (记为集合A, B, C 等) 的基础上, 承认以下的东西也是
集合:
0. 空集
即 "不包含任何元素的集合", 定义是这样的: 如果有一个集合A#满足: for all x (x&
#8713;A#), 那么我们称A#是空集, 注意, 这里用到了 for all x, 那什么叫for all x
呢? 什么叫 x呢? 在讨论具体问题时, 一定都会有个前提, 比如说讨论的事情都是关
于集合A的事情, 那么我们就考察A的所有元素x (什么是元素? 实际上在集合论公理体
系中, 并不区分集合和元素, 但这里我们还是用日常说法对其加以区分), 即那些满足
x∈A的x, 这样x就说清楚了. 那么什么叫x∈A和x∉A呢? 我们不管, 我们只承认,
如果我们已经有了一个具体的集合A的概念, 那么 "要么x∈A, 要么x∉A", 也就
是说, 我们承认 "x∈A" 和 "x∉A" 成立且只成立其中一个, 并且我们不允许取x
=A来问这种问题, 通俗地讲, 也就是说只能取非A的东西来问这个问题, 否则我们不承
认这个问题有意义 (这从具体的数学实用和实际角度来说, 是非常合理的, 如果我们已
经知道一个东西他就是集合A了, 那么我们不是已经知道他是什么东西了吗? 你干嘛还
要问 A是不是属于A呢? 不是闲的蛋疼吗? 不问会对你有什么损失吗? 会妨碍你做什么
具体的问题吗? 于是我们就这么强行规定啦! 不服的一边玩蛋去).
在这个概念下, 空集也可以被称为 "基于A集合下的空集", 那么对于不同的A和B, 基于
A的空集和基于B的空集一样吗? 首先, 这个问题是没法问的, 因为讨论的范畴都不同,
没法比较. 其次, 如果你承认有一个更大的集合C包含A和B (A,B是C的子集, 具体什么
是子集, 下面再说), 那么我们可以证明, 基于C集合下, A的空集和B的空集是一样的 (
什么叫两个集合一样? 以下面会有说明), 证明方法略去.
1. 任何包含于A的集合
即A的子集, 他是这么定义的: 如果我们有这么一个集合A#, 他满足: "for all x (x∈
A# -> x∈A), 那么我们就承认A#是集合.
2. 集合A与B (或者B与A, A与C, C与A) 构成的笛卡尔积
即A*B, 其定义是这样的: 首先我们对于任意两个元素 a∈A, b∈B, 我们先承认以下集
合是集合: , 即a,b构成的二元有序对, 定义为 {{a},{a,b}}, 注意, 如果a=b,
那么 {a,a}实际上是一个多重集合, 具体概念不再说, 再说就复杂了. 进一步我们可以
证明 等于
哦, 对了, 忘记说明 "集合的相等" 的概念, 这个概念是这样的: 若 for all x (x∈A
x∈B) ,那么我们称A=B.
在有了有序对的情况下, 我们承认这个东西是集合: { | a∈A, b∈A#}, 这个集
合称为A*B, 或者A和B的笛卡尔积.
3. 集合A的幂集
即 P(A), 他是这么定义的: {A# | A#是A的子集}, 我们承认这是一个集合.
好了, 这里我们已经列举了几种最常见的集合, 实际上还有其他一些, 比如我们用集合
定义了 "函数" 以后, 还可以定义 "指标", 进一步就有 "指标集", 具体就不说了, 这
里只强调一个理念, 也就是说 "我们只承认我们给过概念的那些东西是集合, 除去概念
外的, 我们不承认他们是集合"
-------
那么罗素悖论是怎么回事呢?
罗素悖论中是问到了A∈A还是A∉A这样的事情, 我们不承认他这个问题合法, 就
可以了...
于是罗素悖论解决了 (罗素哭了) ....至于会不会有其他类似的问题也 "不合法", 但
是我们还没发现呢? 先不管, 就这么凑合着吧, 目前看来没什么问题. (罗素要骂娘了,
丫号称这是数学吗? 丫的严谨性呢?!)
----------
咳咳, 转入正题, 我们现在来说关于 "定义" 的事情.
上面已经说了, 对于两个具体的集合A和B来说, 我们承认有集合 A*B, 也就是A和B的笛
卡尔积. 也就是所有形如 的二元有序对组成的集合 (注: 数学中的 "序" 实际
上就是通过二元有序对定义的, 至于二元有序对, 上面已经说了, 本质上是一个集合),
如果A*B的一个子集 (A*B)# (即一部分二元有序对构成的集合, 注: 这里 (A*B)# 整
体是一个符号, 看上去可能会有些别扭, 我只是为了和前面的子集符号用法保持一致)
满足: 对于任意[a1,b1], [a2,b2] 总有 "a1=a2蕴含b1=b2" 那么我们称这个子集 (A*B
)# 是 "单值的", 也称其是一个 "A到B的偏函数", 如果进一步有 "对于任意a∈A, 存
在[a,b]∈ (A*B)#", 那么我们称 (A*B)#是一个 "A到B的函数" (直观上说, 偏函数是
定义域不一定盖满A, 而函数是定义域盖满A),
现在我们来解决所谓 "定义" 的 "良定义性"
首先, 说什么叫 , 一个东西被称为 "
广泛定义" 是说你能根据这个定义去确定一个 A*{0,1} 的子集. (注意看, 我这里的表
述再深究下去, 就很不严谨了, 什么叫 "去确定一个" ? 什么叫 "确定" ? 这些问题不
是数学能解决的问题, 而是哲学范围内的了, 粗略来讲, "广泛定义" 就是那类 "声称
什么什么东西是怎么怎么样的" 的这种话) 我们举个例子, 比如我们根据一个定义, 确
定了一个子集, 并且 和 都在这个子集内, 那你可以称 "a是xxx的", 也
可以称 "a不是xxx" 的. 注意, 难道有人会认为你给了某个 "广泛定义", 声称某种东
西 "是xxx的", 难道可以根据这个定义来判定出某一个具体的东西 可以 "是xxx的",
也可以 "不是xxx的" 吗? 实际上, 这是有可能的, 数学学到比较深入 (只是相对非数
学专业的人来说哈, 大牛们莫拍) 的话, 确实有可能发生这种事情, 比如你在抽象代数
中学到 "等价" 的概念后, 如果随便下一个 "广泛定义", 那很有可能导致重复定义的,
也就是会导致 "一个东西c即是a, 又是b, 而a和b不同), 于是 "广泛定义" 的 "良定
义性" 需要来说明.
什么是 "良定义性" 呢? 良定义性就是说, 你根据 "广泛定义" 确定的那个子集, 是一
个 A到 {0,1} 的函数. 这样我们就把 "广泛定义" 称为 "合理定义", 简称 "定义".
那么 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被小于a的任何素数整除", 这句话是不
是一个合理的定义呢?
我认为是的, 因为我能够根据这个定义来确定 自然数集 到 {0,1} 上的一个函数.
说完了.
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PS: 其实到了最关键的地方, 什么都没说, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Mon May 27 23:41:07 2013, 美东) 提到:
啊, 再补充一下 (接上一楼, 即1143楼), 其实是这样的.
关于 "能不能确定一个函数" , 我们是这样来 "确定" 的:
a是不是素数, 只考虑a作为自然数集的一个元素来去 "判定", 而不是a作为自然数集的
一个子集来 "判定", 根据这个, 我们是不是就可以诱导出自然数集 到 {0,1}的一个函
数 P(x) 了? 应该没有疑问了吧?
好, 那么, 至于素数本身是不是一个集合呢? 是这样的:
在限定讨论的前提是自然数集 (或者某些具体的集合, 比如实数集合, 复数集合, 所有
的R->R的函数构成的集合 等等, 总之不许不加前提的说 "一个空泛的集合" 或者 "任
意的一个集合" ) 的情况下, 我们已经有了一个函数P(x), 那么 P(x)==1? 是一个允许
问的问题 (记住, 目前不允许问的只有 "x∈x?"), 于是, {x | P(x)==1} 我们就承认
这是一个集合, 说不是的, 一边玩蛋去.
(再一次, 罗素哭了..)
-------
总之呢, 我想表达是这么个意思, 你只要不允许问 "x∈x?", 那目前来说, 这套体系还
是很好的, 并没发现什么问题. 另外, 哥德尔也说了 "一个体系的无矛盾性是不能自证
的", 于是我们也不用浪费时间去纠结 "真的没问题吗? 能不能证明他就是没问题呀?"
这类无聊的问题了.
这种解决方案并不是什么 "高中数学", 这是罗素悖论被提出后, 数学家们想了很久才
迫于无奈提出的一个方案, 这个方案在当今世界来说, 是被主流数学界所接受的. (因
为现在做逻辑的人已经很少了, 哥德尔已经把最重要的几个问题讲的很清楚了, 哥德尔
给我们指明了方向, 说哪些问题有意义, 哪些问题没有意义, 这使得人类历史翻开了新
的篇章.. 使得现在没什么人去做逻辑了.. 咳咳.. 嗯... 罗素又哭了..)
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liamsun (维) 于 (Tue May 28 00:05:47 2013, 美东) 提到:
辛苦了，你的反证法的前提是一堆素数之积+1是素数，复杂的东西咱也不懂，请解释2
×3×5×7×11×13+1=30031=59×509
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 00:10:12 2013, 美东) 提到:
继续补充.
发现刚说的关于 "罗素悖论" 的东西, 不够完整.
是这样的:
我们不仅不允许问 "x∈x?" 这种问题, 我们还硬性规定: 不管你谈论什么对象 (记为
对象x), 那么我们一律认为 x∉x, 我们不承认 "x∈x", 我们不准问 "x∈x?",
我们不承认任何表述中含有 "x∈x" 的命题, 我们不认为这种命题是 "命题"! 总之,
不要跟我谈论任何关于 "x∈x" 的东西!!!
没错, 这就是霸王条款!! 质疑的都玩儿蛋去!
可能有人会进一步的小心翼翼的问: 那我能定义一个集合A吗? 他...他...他是这么定
义的...:
A is defined as {A}.
(战战兢兢:) 那是不是就有 A∈A 了?
这时, 我们的心情好了一些, 不让这人去玩儿蛋了. 不过, 我们还会问他一个问题: 丫
你这 A 到底什么东西? 你能说清楚不? 什么叫 "定义一个A, 他是这么定义的: A 就是
{A}" ? 丫能给解释解释不? 于是那个人 (我们认为) 就会哭了...
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 01:41:25 2013, 美东) 提到:
他的反证法的前提其实是：“如果素数是有限的，那么所有素数之乘积+1应该是素数”。
这个从自然语言角度是正确的。
但是码工的 C/C++ 以及其背后的 formal system 根本没法产生 “所有素数乘积”
这么一个函数/算符。。。
2
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:04:28 2013, 美东) 提到:
其实这个还是数学哲学的问题，俺补充一下细节，其实应该是这样的，
对于：“前N个连续素数乘积+1 是素数”，其实码工们和楼主都认为是错的。
但是，对于 “所有素数之乘积+1 是素数” （关键词：所有）：
楼主曰：
在假设素数有限的情况，是对的。
但是码工的 formal system 曰：
这句话本身不 valid，不许说，不许讨论对不对。不 valid 的原因是
“所有素数之乘积” 这个函数/算符本身不存在，因为所有素数可能是
无限的，求无限个大于 1 的数的乘积这样的函数/算符 不valid。
楼主曰：
在假设素数有限的前提下，所有素数乘积是有限个素数乘积，这时
“所有素数乘积”这个函数/算符是 valid 的。
码工的 formal system 曰：
那你这个函数/算符不叫 “所有素数乘积”，叫 “假设素数有限的条件下
所有素数乘积”（绕口令啊。。。）。
除非你能证明素数有限，否则这个函数/算符就是不 valid 的。。。
对了，您不是打算证明素数无限么？那岂不是一旦您证明了，您的证明过程
立刻变成不 valid 了么？这个是不是自相矛盾之数学版？
楼主曰：
”。
2
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:24:01 2013, 美东) 提到:
补充说明一下，以免火药味太浓。
这个其实不是跟楼主对着干，这个是某种 formal system 跟欧几里德
对着干（这个里面都没有出现素数的递归定义）。
但是那个 formal system 的确也有本钱跟欧几里德对着干，因为
那个 formal system 不需要反证法，可以直接从素数递归定义
里很容易证明（我前面证明过）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 02:37:35 2013, 美东) 提到:
其实楼主是可以让码工的 formal system 为此加一个符号，叫
“无穷大整数”，这样就可以让 “所有素数乘积” 这个函数/
算符变成 valid。
不过这样一来，又陷入了这个“无穷大整数”是素数还是合数的
悖论。因为 “无穷大整数”+ 1 等于 “无穷大整数”。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 06:34:58 2013, 美东) 提到:
我没说过 "所有素数乘积" 这一回事,
我是在假设素数有限的情况下, 把这有限个素数乘起来了再加1, 然后我看这个数是不
是素数.
找你这种说法, 那主流的 "素数无限个" 的证明都是错的.
因为虽然别的证明没有说 (按照你的理解的表述如下) "所有素数乘积+1是素数", 他们
至少也说了 "所有素数乘积加一" 这句话, 至于是分素数合数讨论了呢还是直接当成素
数, 这退居到了次要问题.
如果 "所有素数乘积加1" 按照你的观点, 即使在 "素数只有有限个, 而有限个数的乘
积可以做" 的情况下也不能做的话 (你的理由是 "本身就不存在所谓 "所有素数的乘积
" 这种操作), 那难道主流的 "素数有无穷个" 的证明, 都是错的?
-------
概括:
我们证明中并没有声称 "所有素数的乘积" 这么一回事, 我们只是在素数有限个的前提
下, 把这有限个素数乘积弄出来了 (只用到了 "有限个数可以做乘法" 这么一回事),
这一点应该没什么问题.
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 06:38:01 2013, 美东) 提到:
我觉得你那个 formal system 局限性太大了.
请问你那个 formal system 如何根据以下这个素数的主流定义来判断素数?
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且不被任何非1和非a的自然数整除"
请问, 你的 formal system 如何扔掉比a大的那一部分? (在主流数学逻辑中, 我们可
以根据 "比a大的自然数不会整除a" 来做这个 "筛选" )
这个定义本身, 在数学上来看应该是 "没有问题" 的, 用了几千年了....
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logic98 (logic) 于 (Tue May 28 11:57:43 2013, 美东) 提到:
你对集合论的悖论一知半解。
罗素悖论并不是第一个集合论悖论。第一个集合论悖论是利用|P(A)|>|A|的定理推出来
的，这里根本不会问道x∈x的问题。只不过罗素悖论不需要用到任何定理，非常直观，
所以才被广泛引用。不许问x∈x根本解决不了悖论问题。
真正引起悖论的原因是集合不能太大。ZFC系统的关键就是对集合大小做了限制。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 14:04:36 2013, 美东) 提到:
码工把 “非a” 改成 “小于a”，问题迎刃而解。
从数学家的观点看，码工的 formal system 局限性的确很大。
但码工看非信息学数学家，其实也觉得其局限性更大。搞了一堆牛逼的
符号出来，但是所谓的数学推导，里面说白了翻来覆去全是些 “assert()”
嘛。。。这种 code 也好意思 run ？ // 打酱油啊，别当真。。。
说实话，美帝的码工们不是活生生把 F22 的流线型隐形外壳给算出来了么？
俄罗斯的数学家们不知道是不是很悲愤。。。至于跟日常相关的。。。美帝
的码工们不是通过 GPS 卫星群让手机跑那里定位在哪里，连大气扰动误差
都给补偿进去。。。
啰嗦了那么多，总结一下，简而言之，当前实际社会上的计算，最大的局限性
是计算系统不够牛逼，而不是符号系统不够牛逼。。。所以大伙儿都忙着搞
牛逼云计算，而不是搞牛逼云符号。。。
另外几千年算个球，码工们搞出来才二十年不到的牛逼串行算法，估计将来云
计算一旦普及，能改并行都得该并行，不能改并行的好自为之。。。
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mdmx (没大没小) 于 (Tue May 28 14:13:06 2013, 美东) 提到:
写非a也无所谓，因为大于a的肯定统统不能整除a，加个条件判断语句if (b>a) return
0就行了。it doesn't make any difference.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 14:37:28 2013, 美东) 提到:
是不是主流问题，俺这么说：
您说，牛顿力学是不是早就被爱因斯坦和薛定谔打得找不着牙了？那牛顿力学
不还是主流？不信的话，您试试去 JPL 火星车控制分队里说要用相对论和
量子力学控制火星车动作，不被一堆扔过来 robotics 的砖头书敲到满头是包
的程度就不要来见我。。。
码工也是这个意思，其实自己的小 project 咋整问题都不大，只要计算机肯跑。
但是如果是 CFT （cross functional team）的大 project 或者还带点
创新的。。。要是写 code 的码工伙计儿都把 CFT specification 还有
CFT meeting communication 搞成欧几里德那个绕来绕去的样子。。。
我大胆假设老板们自己先辞职走人。。。（CFT project 的老板们通常没有
统一的 report chain，出了不大不小的问题的话，悲催的老板可能被踢皮球，
这时基本靠拼爹。。。）
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 15:52:30 2013, 美东) 提到:
虽然俺灌水比较无厘头，不过俺认真一下回答你这个问题。
如果一个 formal system 是这么建立的：
任何一个符号或者（1）”是一个明确的有限集”，或者（2）“是由明确的有限集
递归生成的”。那么这个 formal system 里面不需要 “从无限集 减去 无限集
得到 有限集” 这样的算子。
所以这样的一个 formal system 不需要你这个“从无穷集筛选”的操作。
对于这个实际例子 “小于 a 的自然数”，在这样的 formal system 里面，并
没有发生把 “大于 a 的所有自然扔掉” 这样一个操作。取而代之的，是下面这样
的操作：
（a）“自然数递归生成至 a 结束”，产生一个 “前N个连续自然数” 的 token。
（这个 token 实际上是个有限集）。
（b）从（a）产生的 token 里面去掉最大的数，产生另一个 token。
（c）test 自然数 x 是不是在（b）产生的 token 里。（operator：in_set())。
更确切的说，"（a）" 其实发生得比上面看起来的更早。"（a）" 需要发生
在你 refer 任何自然数之前。因为在 “前 N 个自然数” 被递归生成之前，
“单个 valid 的自然数” 这个 token 本身不存在。所以在自然数被递归
生成之前，问题 “小于 a 的自然数” 本身不 valid （不许问，OK? :-) ）
换言之，在自然数递归生成到 “a” 之前，这个问题 “小于 a 的自然数”
本身不 valid。这个问题只有到自然数递归生成到 “a” 及其之后才 valid。
码工实际写 code 就是上面这个思想的映射。C/C++ 系统一开始就已经
把无符号整数递归生成为 (0, 1, 2, ..., MAX_INT) 这样一个有限集。
任何大于 MAX_INT 的整数在编程时要么不存在，要么自己用两个整数去凑
（自己产生新 token）。（当然，实际上 C/C++ 有 unsigned short,
unsigned long, unsigned long long，上面就是说个概念）。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:43:33 2013, 美东) 提到:
你是说 {A:A是集合} 若被视为一个集合的话, 会导致基数矛盾是吧?
你看完我的所有发言, 我做了两件事情:
1. 明确限定哪种东西可以叫做集合.
2. 不允许讨论A∈A这种问题, 强行规定A∉A
-------
我并不是只做了第二件事情.
你的意思我明白, 你是说如果做了第一件事情后, 第二件事情就没必要做了, 你说的是
有些道理的.
但是你所谓 "真正引起悖论的原因是集合不能太大" 这句话, 我也不敢完全认同. 有的
公理体系就是强行规定了A∉A, 或许不那么主流, 不过从目前来看, 他和不这么
作规定的公理体系, 没什么实质上的差别.
另, 我对集合和公理确实一知半解, 所以很多东西说完后自己想想也觉得没说清楚.
我想问一下, 假如你不做第二点的限制, 那么你能否举出一个集合A的例子, 满足A∈A?
谢谢!
抽象的例子也行, 只要你自认为说清楚了即可.
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:45:28 2013, 美东) 提到:
不能解决问题.
计算机并不知道, 大于a的都不用做判断了, 直接否定.
如果按你这么写, 他会在考虑比a大的数的时候, 不停地return 0, 然后.. 直到永远...
return
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 22:57:12 2013, 美东) 提到:
那你做的事情还是不是验证 "a不能被除1和a以外的自然数整除" ?
在你这个里面, "除1和a以外的自然数" 是什么? 是不是通常意义下的 "除1和a以外的
自然数"?
另外, 我看不懂你的这个步骤:
（c）test 自然数 x 是不是在（b）产生的 token 里。
试问, 你都要test哪些数? 所有自然数? (按照定义你应该要test除1和a以外的所有自
然数), 但是你这个时候 步骤(a) 至多是有限步 (如果是计算机来做的话), 请问你如
何能保证任意一个自然数都被你生成了? 也就是说你如何保证你这里 test 自然数 x
里面的那个 x, 是没有局限性的, 真正的 "任意自然数x" ?
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:04:17 2013, 美东) 提到:
我语文不太好。我的意思是你如果要 test “x 是小于 a 的自然数” 。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:06:07 2013, 美东) 提到:
另外这里最关键的 point 是从来不生成到 “任意的自然数”，
而是生成到 “问题所需要的自然数” 。。。也就是说，为了
解决问题，需要多少生成多少，避免了无限集的问题。。。
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logic98 (logic) 于 (Tue May 28 23:14:14 2013, 美东) 提到:
呵呵，限定A∈A这种问题根本解决不了问题。比如可不可以 A∈B∈C∈A?
数学家考虑的比你深多了。ZFC系统里很重要的一条就是正则公理，防止这种情况出现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:20:44 2013, 美东) 提到:
哦, 那疑问继续:
我的意思是说, 你如何test "比a大的自然数" ?
因为定义中要求要test "除1和a外的所有自然数", 你现在递归出来一个自然数的子集
(自然语义下, 这个子集是 "小于a的自然数" 构成的集合), 那你似乎没有做 "比a大"
那部分呀? 你只是声称 "我们做这个事情的时候, 只用把自然数从0递归到a, 然后去做
, 就可以了", 你的方法中并没有说明这么做的 "合理性" 在哪里呀?
就好比我现在换一个定义 (在只讨论自然数的前提下) :
我们说, 如果一个自然数能够和其他任何一个自然数的差是pi, 那我们称这个自然数为
"幽灵数".
你看我这个定义, 在数学上来说, 显然是合理的, 因为我知道, 任何两个自然数的差都
不可能是pi, 所以任何一个自然数都不是幽灵数.
那么现在, 假定我给你了一个函数, 他足够判断清楚两个自然数的差是不是pi, 就记做
judge(x,y)吧, 此函数会告诉你x和y的差是不是pi, 是pi就会告诉你 "是", 不是pi就
告诉你 "否"
你如何根据这个函数, 来用你的那一套language, 从自然数集中找出 "幽灵数集" ?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:22:40 2013, 美东) 提到:
问题就在这里, 你如何用你那套system体系内的东西来说明 "需要生成多少"?
数学逻辑会告诉你: 比a大的自然数, 都不可能整除a, 我们就不需要考虑了.
你那套system如何考虑这个问题?
是不是本质上来说你还是用你的自然逻辑做了一个先验判定?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:29:52 2013, 美东) 提到:
按照我的说法, 不可以, 只要是能够蕴含A∈A的任何命题, 一律无视.
======
其实我不懂, 我想问一下, 到底有没有A∈A的例子?
现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:30:30 2013, 美东) 提到:
还是说根据ZFC系统里的公理, 可以证明一个集合不可能属于自身?
现。
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:31:03 2013, 美东) 提到:
或者我再换这么一个定义 (仍旧是在讨论前提为自然数的情况下) :
给一个自然数K, 我们称以下这种数为 "K-整除数":
a被称为 "K-整除数", 当且仅当 "存在K个自然数b, 使得a是b的因子"
-------
这个定义从数学上看显然相当合理, 并且我们知道对任意自然数a来说, a,2a,...,Ka这
些数都能被a整除, 故我们就已经找到了K个自然数b了. 故我们知道, 给定一个自然数K
, "K-整除数" 构成的集合就是自然数集本身.
请问你的那套system里如何根据这个定义, 来判断 "什么是所需要的自然数" ?
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 23:35:25 2013, 美东) 提到:
或者我这么说:
所有命题中, 只要蕴含 "A∈A" 的, 不管他符合不符合逻辑运算规则, 一概规定为假命
题.
不过这确实会带来很多问题, 那就是我们无法判定一个命题究竟是不是真的蕴含了 "A
∈A"
所以我只能不严格的这么说: 如果一个命题, 我们发现他蕴含了 "A∈A", 那他就是假
命题. 没发现之前, 先不管...
------
这么说虽然很傻逼, 不过其实整个数学体系都在做这样的事情呀, 你没有发现一个东西
有矛盾之前, 你只要认为他符合你的规则, 那就是对的呗.. 发现了再说.
反正你永远证明不了 "这货肯定不会有矛盾".
现。
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:38:45 2013, 美东) 提到:
码工的 C 程序所属 formal system 里，整数的 token，和浮点数
的 token，不是同一种 token，不能直接上加减乘除 operator，需要先用
另一种 operator，叫 type cast，把一种 token cast 成另一种 token
。。。所以你的问题根本不 valid。。。哈哈。。。
写程序的时候很多时候没写 cast，是因为 implicit cast 的存在。不等于
没有 type cast。
而且整数被零除产生 divide by zero 异常；浮点数被零除没有异常，结果
是 NaN。所以 3/0 和 3.0/0.0 不是一回事。。。也是一个侧面印证不是
一种 token，楼主搞晕了没？
集
"
☆─────────────────────────────────────☆
tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:42:58 2013, 美东) 提到:
递归定义系统不需要任何 token 都递归定义。只要递归定义产生
“前N的自然数”以后，其他的东西都在“前N个自然数”集合里做普通
操作就可以了。
只是这里没有无限集，也就是没有“所有K-整除数”，只有“前M个K-整除数”
。。。
数K
☆─────────────────────────────────────☆
logic98 (logic) 于 (Tue May 28 23:46:17 2013, 美东) 提到:
A∈B∈C∈A怎么蕴含了A∈A？
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Tue May 28 23:47:53 2013, 美东) 提到:
码工不处理无限集，但码工会考虑整型数边界的问题，浮点数要考虑的
更多，参见 IEEE 浮点标准。。。另外浮点数的数学程序不少要考虑
computational stable 的问题，也就是如果要是一个大浮点数
加一个小浮点数，重复抽插 N 次之后，结果可能很悲催。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:01:48 2013, 美东) 提到:
我脑残了......
噢, 那这个, 感觉疑似可以? 目测没什么问题.
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另外, 我现在也觉得我说的东西是不必要的, 不过我有个学逻辑的同学告诉我说, 有一
种公
理体系就是直接拒绝认为存在满足 A∈A 这样的集合A. 我觉得这种体系没什么问题.
我想问一下: 在你的观点中, A∈A这个东西, 到底是:
1. 可以被其他更 "朴素" 的公理证明, 不用强行限定.
2. 有可能成立.
3. 不知道有没有可能成立, 但是不用去管他, 限定是不必要的, 会节外生枝.
请问是哪一种?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:04:10 2013, 美东) 提到:
我觉得你没有理解我的问题.
我是说, 你怎么根据这个定义去判断一个数是不是 "K整除数" ?
即便你不找出所有, 我就让你找 "前M个K-整除数", 你怎么找?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:06:50 2013, 美东) 提到:
我不管你喜欢处理什么或是不喜欢处理什么.
我只是说, 你的system里有某种局限性, 而你是用了的一些你的先验判定做了 "预处理
" 的.
你那个system本身, 并没有做 "预处理" 的能力.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 00:11:20 2013, 美东) 提到:
其实我前面没看清你的帖子，回答错了。（水贴回帖不看帖。。。）
正确的回答是：
如果“K整除数”违背了这个 formal system 的自洽性要求，并且
没有“K整除数”这样一个 token，也不影响这个 formal system
的完备性，那么这样的 token 就根本不需要生成，不valid。直接
从该 formal system 里踢掉。
我知道这个是码工的 formal system 的霸王条款。但是这个是
数学哲学。码工的 formal system 是用来 solve problem，
并不用来解释世上万物。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:15:18 2013, 美东) 提到:
现, 我又觉得A∈B∈C∈A不科学.
不过我不会证明.
只感觉不科学.
像这种A,B,C,D, 真的可能存在吗?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:17:49 2013, 美东) 提到:
没懂...
所以其实你的意思是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被其他非a的素数整除"
这个定义, 违背了你那个system?
我疑惑的就是, 如果上面的定义违背了你那个system, 那你是如何论证清楚 "a是素数
<=> a是大于1的自然数, 且a不被非1和a的任何自然数整除" 这个定义是不违背你那个
system的?
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 00:22:11 2013, 美东) 提到:
1174楼补充了一个 "3"
另外1178楼求解.
谢谢! 我其实根本不懂公理集合论, 只学过 "朴素集合论", 所以看法基本都是各种道
听途说+杂知识. 其中必定有不能解释清楚的地方, 还请指点!
我现在最疑惑的就是 A∈A 这个玩意, 本身到底是什么意义? 怎么理解?
现。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 00:28:55 2013, 美东) 提到:
这两个都字面上违背。
但第二个可以改成：
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被非1和a的任何已定义的自然数整除"
就不违背。
"
数
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:08:15 2013, 美东) 提到:
俺看出来了，您是要在整数边界问题上整俺，因为码工的 formal system
是有边界的系统。
但其实这个问题不难，有边界的系统不一定是静态边界的系统。码工只要对
每个合法算子定义其相应的边界检查算子。
最简单的边界检查算子是返回 true or false。如果得到 false，就
把边界加大一号即可。一直到边界满足要求，才执行对应的算子。
而且理论上的边界检查算子未必要非常精确，只要保证不越界，同时行为
不暴力就成。。。
码工可以写不限长度的整数加减法算法，就是这个道理。。。
"
数
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 01:18:34 2013, 美东) 提到:
什么叫 "已定义的自然数" ? 如果你说 "已定义的自然数" 就是 "递归到a的自然数"
的话.
那你第一个完全可以改成 "已定义的素数" , 也就是 "递归到a-1的自然数子集中的所
有素数"
至于为什么我要说 "只用到a-1", 那很简单, 我是根据定义表述来判断的, 就好像你根
据定义和一些 "预处理" 之后, 根本不在程序中考虑 "比a大的自然数" 这种情况一样.
如果你这么做 (即在程序中只考虑 "递归到a且非a的自然数") 是 "有道理的", 那我不
觉得根据第一个定义, 只考虑 "递归到a-1的自然数子集中的所有素数" 有什么 "没道
理" 的地方.
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另备注: 以上说 "递归到a的自然数子集" 是指0, 1, 2,..., a 这些自然数构成的集合
.
在朴素集合论中, a本身是一个自然数的子集, 是指 {0,1,2,...,a-1}, 所以我不知道
上下文中的 "递归到a的自然数子集" 是指 {0,1,2,...,a} 还是指a本身 (也就是{0,1,
2,...,a-1} ), 故特别声明规定一下, 这里的表意是前一种, 即 {0,1,2,...,a}.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:32:33 2013, 美东) 提到:
这个其实是有边界系统，计算的结果 valid 的前提是不越界。是不是越界
由边界检查算子判定。
如果计算导致越界，那计算的结果是 invalid 的。
在素数定义中，自然数先于素数定义，如果自然数没有定义到该素数，该素数
已经越界了。
样.
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fra (fra) 于 (Wed May 29 01:43:42 2013, 美东) 提到:
楼好高。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:45:30 2013, 美东) 提到:
实际上你的第二个定义是对的，这个就是素数的递归定义。
只是递归定义的边界（指被定义 token 自己）在递归的 context
下很严格，因为是自己定义自己。
而非递归定义的边界只要够大，不发生越界就可以，因为是用别人定义自己。
样.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 01:46:33 2013, 美东) 提到:
简要来讲, 就是你的system里形式上创造出了一个 "能不能valid" 的限定.
但是为什么一些东西 "不valid", 却不会对你定义素数本身产生灾难性的后果, 你这个
system本身是说不清楚原因的.
好比刚那个 "K整除数" (看1175楼), 是一个在数学上显然合理的定义, 但是在你的
system里不valid, 于是你的system不承认这样的定义.
但是你的system里即便承认素数的定义是valid的, 那也和普通的定义有差别, 因为你
的system直接不考虑大于a的数 (你说原因是大于a的数不valid, 这一原因也直接导致
了你的system不会判定什么是 "K整除数" ), 但是你的system本身并不能说明这么做为
什么合理.
至于其合理性 (也就是说你得保证你system给出的素数结果和通常数学定义下的素数结
果一致) 这一点, 你在system内是说明不了的, 你必须跳出来用system外的数学逻辑和
自然语句去解释原因.
从这个角度来说, 我断言: 你的system并不比那个判定单个素数的c++程序高明多少.
那个c++程序照样是人为限定了判定的范围, 只是没有在形式上说出什么 "valid还是不
valid" 一类的条条框框而已.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 01:54:33 2013, 美东) 提到:
如果你说的是素数的非递归定义，那这个是俺说的不清楚引起的歧义。
在素数的非递归定义里，是用自然数来定义素数，所以自然数的边界不需要跟素数
一致，只要比该素数大，使得该素数不会越界即可。
换言之，这个有边界的 formal system，首先定义了一个“前N个连续自然数”
的子集，然后在此基础上定义素数。（当然，还要先定义整除算子）。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:06:47 2013, 美东) 提到:
素数非递归定义中，可以略去更大的自然数，是因为整除算子的存在。
而且整除算子是比素数定义先定义的。
但是另一方面，我同意你的看法，虽然这样的 formal system，对
素数有递归定义和非递归定义两种定义方式构造，用非递归定义构造的系统
的确有悖论之嫌疑。用素数的递归定义来构造系统更加合理。
当然，现在又是数学哲学问题了。我们是不是需要能够构造所有的可想象
的系统？码工的哲学是，如果构造的两个系统是等价的，其中一个系统
有悖论之嫌疑，另一个没有。那码工就直接扔掉那个有悖论嫌疑的系统，
留下那个良好的系统。背后的哲学是，我们不需要能够构造包含所有万物
的系统，我们只需要能够构造完备的能解决问题的系统。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 02:31:59 2013, 美东) 提到:
如果整除算子有能力略去 "更大的自然数", 为什么没有能力略去 "更大的素数"? 尤其
是考虑到我们已经从定义中清楚的知道 "素数都是自然数" 这一点.
而你的system里如果不能论证 "素数都是自然数" 这一点的话, 那你的system里也无法
说明 "为什么只需要从自然数里面把素数找出来, 而不再去考虑其他东西?"
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:39:16 2013, 美东) 提到:
（1）那是素数的递归定义，递归定义是自己定义自己，其边界是天然跨在被定义的和
用来
定义的当中。否则为啥正好左边的还没有被定义，右边的已经被定义了？
（2）自然数先于素数定义，所以在定义素数前，边界内的自然数已经都定义了。
（3）素数是自然数是定义，不需要证明。。。
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:41:41 2013, 美东) 提到:
另外实在不行我们不用非递归的素数定义不就完事了。。。反正是等价定义。。。
或者加上“小于a”好了，反正也是等价定义。。。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 02:46:07 2013, 美东) 提到:
噢, 是这样, 我的问题就是, 你现在好像在说这么一件事情:
首先我们只考虑 "边界内的自然数", 然后由此我们可以根据朴素定义来判定 "边界内
的素数", 至于 "边界外的" 为什么不用考虑, system内给出的理由是 "有一个整除算
子可以排除边界外的情况".
那我的疑问就是: 既然整除算子能够 "排除边界外的自然数 (因为他们肯定大于a)",
那为什么不能排除 "边界外的素数"? 尤其是你已经默认system有能力知道 "素数都是
自然数" 这一回事.
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tidewater (弦影·著名走音错拍公鸭嗓) 于 (Wed May 29 02:58:11 2013, 美东) 提到:
你说的有道理。
其实我发现这个是自然语言解释时的产生的附加二义性问题。
我现在有一个问题，就是能不能用自然语言准确地无二义的描述 formal logic。
如果回答是 yes。那么我们这个 formal logic 有啥用？
如果回答是 no，那么只要 formal logic 能够无二义的定义了这些 token，
那这事也就完事了。这个是“小于a”还是“不等于a”实际上是我们人为加上去的，
也就是人为的解释 formal logic，从而造成的二义性。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:36:43 2013, 美东) 提到:
我觉得是这样, 如果你讨论 "有限的东西", 那造出一套体系应该是没问题的, 也就是
你那个formal logic可以做到. 但是你如果讨论 "无限的东西", 势必会带来问题, 目
前的计算机本质上是不能理解 "无限的列下去" 是什么意思的, 也就是说, 计算机不懂
"自然数", 这和目前计算机结构的局限性有关. 计算机上讨论的东西实际上都是 "有
限集", 在 "有限集" 的前提下, 所有问题都可以解决 (大不了全部列出来看看就是了)
.
逻辑中最基本的 "命题公式", "等值演算" 等概念, 都是建立在 "讨论的东西是有限的
" 这一前提下, 比如我们有命题p,q,r等等, 我们对其做逻辑运算 (基本的三种就是或,
与, 非), 我们只考虑有限次运算下出来的东西, 我们称运算出来的东西也是命题. 比
如 ((非(p且)q)或(r且(非p))) 等等, 直到这一步的东西, 计算机还是可以完全明白在
干什么的, 等值演算也不过就是把一个含有限个点的空间对应到 {真,假} 这个二元空
间上, 总是可以在有限步内列举的完.
但是到了更高一层的概念, 即一阶谓词逻辑的概念的时候, 就开始变得微妙了, 这时候
会出现 "存在" "对于任意", "具有某种性质" 这种东西, 这对计算机来说, 有时候就
是不可理解的. 尤其是当你承认皮亚诺系统的合理性的时候 (皮亚诺系统, 可以简单地
理解为 "声称自然数集是存在的" 的一种系统), 问题就会开始变得诡异.
哥德尔第一不完备性定理大致就是说, 你的体系内如果承认皮亚诺系统的话, 那总有命
题你是证明不了的.
换成更通俗的话讲是这样的:
如果你认为 "自然数集" 存在, 那么有一些事情, 你永远说不清楚他到底是对的还是错
的.
计算机面临的问题就是这样, 如果你允许让计算机讨论 "自然数" 的话, 那么计算机所
在的体系必定不完备, 换句话说, 总能找到体系内的某个陈述, 而这个陈述, 计算机本
身根本无法理解其正误性.
做为自然人的话, 你遇到了这种情况, 你可以强行限定一些额外的规则 (体系外的规则
) 来避免这种事情, 而计算机是无法做到这一点的. (我指目前的计算机啊, 谁知道以
后计算机会变成什么样子, 整不好我们被天网灭了也不一定呢,哈哈!)
所以你的那个formal logic下的system, 只要有关于 "自然数集合" 的东西, 那和人脑
子中的 "自然数集合" 肯定不一样, 互相翻译的话必然有语义上的差别. 这个是哥德尔
说清楚了原因的. 相当于其中有数学原理来保证, 如果你相信数学, 那么这个结果不可
改变.
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ps. 哥德尔不完备性定理, 具体的讲, 我是不懂的, 只大致知道其表述. 哥德尔的两个
不完备性定理, (虽然我不知道证明) 颠覆了我的观念, 其意义绝不仅仅是数学上的,
而还有哲学上的, 这定理能告诉你某种 "你看待这个世界" 的方式, 而这定理本身, 我
们是可以用某些 "公认" 的 "事实" 来说的十分清楚的, 从这个角度来说, 他更不仅仅
是一个虚空的哲学观念 (比如什么 "世界上不会有两片不同的叶子" 啦, "唯一不变的
是变化" 啦这些, 其实说白了都是扯淡), 也就是说他不仅仅是某些人的某些主观的哲
学看法, 而更应该做为一种普遍的信仰被解读, 从这个角度上来说, 其价值是远高于
狭义的 "哲学" 的.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:40:47 2013, 美东) 提到:
补一条哥德尔的格言:
有些事实被认知为真, 但不必然可证.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 07:53:47 2013, 美东) 提到:
其实我觉得那些搞法律的, 才真应该学学哥德尔的理论. 哥德尔的理论绝对是对建设法
治社会的最有力的指导.
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:16:10 2013, 美东) 提到:
其实我觉得那些搞法律的, 才真应该学学哥德尔的理论. 哥德尔的理论绝对是对建设法
治社会的最有力的指导.
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logic98 (logic) 于 (Wed May 29 08:23:24 2013, 美东) 提到:
你这位学逻辑的同学可能想用通俗的语言告诉你，结果太通俗了以至于让你理解错误。
ZFC系统的公理可以分成几类
1。外延公理：就是定义集合为何相等的。
2。让集合不太大,所以有替换公理（如果定义域是集合，值域也是集合。直观的说，函
数的值域比定义域小）和子集公理（子集一定是集合)。
3。让集合“可控”的变大，这里有并集公理，无穷公理（可以定义自然数），幂集公
理，配对公理。
4. 选择公理。这个人为痕迹太重，有人不喜欢，有的系统也不包括。
5。比较有趣的是正则公理。这个公理其实就是说如果你把集合看成包袱，把包袱皮一
层层的剥开，最后总有个头。如果A∈A或者A∈B∈C∈A这种递归情况出现，你的包袱皮
是永远剥不完的。
所以在绝大多数逻辑学家公认的公理系统里，这个东西是被用公理强行排除在集合的定
义之外的。
当然没人阻止你定义一个 A={x:x is a set}. 只不过这样的A我们不称它为集合，而称
它为类(class.当然不是码工说的class).这样的A不可以是其它集合的元素。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:47:21 2013, 美东) 提到:
学习啦, 谢谢!
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 08:50:12 2013, 美东) 提到:
另外想问一下, 我听说公理化的集合体系里, 不区分集合与元素, 那么一个集合往下剥
, 剥到最后是什么?
就是说集合里的东西还是集合, 再往下还是集合, 等剥到最底下不能剥 (按你说的正则
公理) 的时候, 那个东西叫什么?
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logic98 (logic) 于 (Wed May 29 09:33:59 2013, 美东) 提到:
剥到最后什么都没有就是空集了啊。所以所有的集合都可以从空集里造出来。
用集合论构造自然数的时候，我们就是用空集表示0，
然后1={0} = {{}}
2={0，1} = { {}， {{}}}
3 = {0，1，2}
4={0，1，2，3}
以此类推。
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l63 (l63) 于 (Wed May 29 10:52:04 2013, 美东) 提到:
噢, 有道理.
我之前还在想: "如果剥到最后基本元素都成空集的话, 那他怎么区别空集与空集间的
关系呢? 难道一个叫空集a, 另一个叫空集b?"
您这一说我恍然大悟, 发现上半学期学的朴素集合论基本就是白学了.
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l63 (l63) 于 (Thu May 30 01:12:16 2013, 美东) 提到:
再请问一下.
那在ZFC下, 是不是就可以讨论 "任意的集合" 了?
比如连续统假设, 标准表述是不是:
对于任意的集合, 其基数不可能严格大于N0且严格小于2^(N0) ?
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我问这个的意思是, 我有个疑惑:
如果连续统假设的这种表述方式是标准的, 那哥德巴赫猜想理论上说, 是不是完全也有
可能 "既对又错" 了?
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l63 (l63) 于 (Sat Jun 1 09:32:24 2013, 美东) 提到:
求指点..
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logic98 (logic) 于 (Sat Jun 1 10:03:18 2013, 美东) 提到:
ZFC下所谓的"任意集合“，就是按照ZFC公理构造出来的集合才算。桌子板凳之类就不
算了。讨论当然是可以讨论的，而且写出来的公式都是一阶谓词逻辑表达式。
比如连续统假设就是: forall x( ||x||<=aleph_0 or ||x||>2^aleph_0)。 是一个
非常标准的表达式。
关于第二点，是你对连续统假设的独立性有误解。严格的说，连续统假设还没有被证明
。被证明的只是ＺＦＣ系统没法证明它的真假。实际上，连续统假设要么真，要么假，
但ZFC不是一个完备的系统，没法推导出世界上所有的为真的命题。
稍微展开点说，关于＂真假“有两个不同的概念，一个是语义的，就是在现实世界里为
真。另一个是语法的，也就是可以（在某个公理系统里）被证明。通常来说，一个公理
系统证明出来的在现实世界里都必须是真的。这个叫soundness.另一个方向是说，如果
如果所有现实世界里真的都能被证明，那这个系统就是完备的。（开个玩笑，孙维是不
是下毒的恐怕永远没法被证明了，但这件事一定要么真，要么假。所以我们的法律体系
是不完备的）。
回到歌德巴赫猜想，它可以被表达成一个没有歧义的公式，因此语义上说，它一定是真
，或者是假的，这个没有任何问题。
但是，它有没有可能无法被证明？或者说在语法上是不是可能既不对又不错？这个完全
有可能。这个依赖于公理系统。有可能这个命题是独立于现在的数论公理系统的，那么
用现有的办法确实不可能证明。在这种情况下，我们可以增加公理，看能否在新的公理
系统里可以被证明。比较极端的是你就可以把歌德巴赫猜想当成公理加进去。如果没有
矛盾，你甚至可以把歌德巴赫猜想的反面加进去。那么你很可能构造出一个和现实世界
的数论略有不同的一个自洽体系（非欧几何就是这样的一个例子）。
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l63 (l63) 于 (Sun Jun 2 06:56:26 2013, 美东) 提到:
非常感谢!