一个并不复杂的已知导数求原函数的问题 [包子答谢]# WaterWorld - 未名水世界
b*w
1 楼
已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
求x(t)
第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
求x(t)
第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
b*n
2 楼
我FT，回去看高数第一册
b*w
3 楼
手头没高数书。。。。
【在 b*****n 的大作中提到】
: 我FT，回去看高数第一册
【在 b*****n 的大作中提到】
: 我FT，回去看高数第一册
t*i
4 楼
分开求解，第一项是e^(-at)，第二项直接积分就可，是(a/b)*e^(bt)
b*w
5 楼
谢谢唐骏博士。分解后，最后 x(t)等于多少啊？
【在 t**********i 的大作中提到】
: 分开求解，第一项是e^(-at)，第二项直接积分就可，是(a/b)*e^(bt)
【在 t**********i 的大作中提到】
: 分开求解，第一项是e^(-at)，第二项直接积分就可，是(a/b)*e^(bt)
t*i
6 楼
这个。。。。
在我唐博士看来，把我唐博士写的两项加起来便可。我唐博士在加州理工学的微积分，应该还是过硬的。
【在 b*w 的大作中提到】
: 谢谢唐骏博士。分解后，最后 x(t)等于多少啊？
在我唐博士看来，把我唐博士写的两项加起来便可。我唐博士在加州理工学的微积分，应该还是过硬的。
【在 b*w 的大作中提到】
: 谢谢唐骏博士。分解后，最后 x(t)等于多少啊？
S*w
7 楼
这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
b*w
8 楼
，应该还是过硬的。
b*w
9 楼
厉害。。。。
我说我怎么用简单的已知导数求原函数怎么也凑不出来呢
(b
/(
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
我说我怎么用简单的已知导数求原函数怎么也凑不出来呢
(b
/(
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
t*i
10 楼
小英雄，我唐博士把你的求解代入原函数去验算了一下，貌似不太对啊。
当然了，唐博士投身企业经营时间太久，学业有所荒疏，算错也是有可能地。
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
当然了，唐博士投身企业经营时间太久，学业有所荒疏，算错也是有可能地。
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
b*w
11 楼
取C=1，带回去验证一下，小英雄的结果好像是对的
【在 t**********i 的大作中提到】
: 小英雄，我唐博士把你的求解代入原函数去验算了一下，貌似不太对啊。
: 当然了，唐博士投身企业经营时间太久，学业有所荒疏，算错也是有可能地。
:
: (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 t**********i 的大作中提到】
: 小英雄，我唐博士把你的求解代入原函数去验算了一下，貌似不太对啊。
: 当然了，唐博士投身企业经营时间太久，学业有所荒疏，算错也是有可能地。
:
: (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
k*n
12 楼
两边Laplace变换
Xs=-aX+a*1/(s-b)
X(s+a)=a/(s-b)
X=a/(s+a)(s-b)
=[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
==>
x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
Xs=-aX+a*1/(s-b)
X(s+a)=a/(s-b)
X=a/(s+a)(s-b)
=[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
==>
x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
t*i
13 楼
此法甚妙，唐博士竟然忘了拉屎变换了
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
b*w
14 楼
方法巧妙。。。佩服
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
k*n
15 楼
我的答案的正确答案
其他人不敢保证
代入后：
左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)
右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b)
=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b)
=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边
【在 b*w 的大作中提到】
: 方法巧妙。。。佩服
其他人不敢保证
代入后：
左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)
右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b)
=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b)
=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边
【在 b*w 的大作中提到】
: 方法巧妙。。。佩服
b*w
16 楼
连验算都替我做了，万分感谢！
【在 k****n 的大作中提到】
: 我的答案的正确答案
: 其他人不敢保证
: 代入后：
: 左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)
: 右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b)
: =[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b)
: =[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边
【在 k****n 的大作中提到】
: 我的答案的正确答案
: 其他人不敢保证
: 代入后：
: 左边=[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)
: 右边=[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)]*1/(a+b)
: =[a*a*exp(-at)-a*a*exp(bt)+a*(a+b)*e^(b*t)]*1/(a+b)
: =[a*a*exp(-at)+a*b*exp(bt)]*1/(a+b)=左边
a*n
17 楼
如果你要用大一的知识做，那么等式两侧乘上e^(at),你会发现含有
这个等式和(x(t)*e^(at))' 有关系。然后就可以用简单的积分关系做了
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
这个等式和(x(t)*e^(at))' 有关系。然后就可以用简单的积分关系做了
【在 b*w 的大作中提到】
: 已知：x'(t) = -a*x(t)+a*e^(b*t)
: 求x(t)
: 第一个解答出来的，双黄包答谢。。。
r*d
18 楼
我觉得这个是对的.
对LAPLACE不太熟, 但似乎结果少了一个常数???
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
对LAPLACE不太熟, 但似乎结果少了一个常数???
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
r*d
19 楼
知道了, 你第一步作变化时, 因为不知道初始值, 所以应该是
sX - X(0)= -aX+a*1/(s-b)
...
这样常数项就出来了.
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
sX - X(0)= -aX+a*1/(s-b)
...
这样常数项就出来了.
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
b*w
20 楼
那上面的结果是正确的？
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
【在 S******w 的大作中提到】
: 这是一个常微分方程，而不是简单的不定积分。而且唐博士真的错了……
: 令y(t)=x(t)-[a/(a+b)]e^(b*t)，则dy/dt=x'(t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-a*x(t)+a*e^(b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: a*x(t)+[a^2/(a+b)]e^(b*t)=-a*y(t)。易解得y(t)=C*e^(-a*t)。所以x(t)=y(t)+[a/(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
: a*t)+[a/(a+b)]e^(b*t)，C为任意常数
k*n
21 楼
怀疑你是文科生或者经济系的
直接带入不就行了吗
这条公式看上去也像经济的
【在 b*w 的大作中提到】
: 那上面的结果是正确的？
:
: (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
直接带入不就行了吗
这条公式看上去也像经济的
【在 b*w 的大作中提到】
: 那上面的结果是正确的？
:
: (b*t)-[ab/(a+b)]e^(b*t)=-
: /(a+b)]e^(b*t)=C*e^(-
b*w
22 楼
double check, double check，呵呵
【在 k****n 的大作中提到】
: 怀疑你是文科生或者经济系的
: 直接带入不就行了吗
: 这条公式看上去也像经济的
【在 k****n 的大作中提到】
: 怀疑你是文科生或者经济系的
: 直接带入不就行了吗
: 这条公式看上去也像经济的
w*d
23 楼
这是学电工的人的解法嘛哈哈
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
【在 k****n 的大作中提到】
: 两边Laplace变换
: Xs=-aX+a*1/(s-b)
: X(s+a)=a/(s-b)
: X=a/(s+a)(s-b)
: =[-a/(s+a)+a/(s-b)]*1/(a+b)
: ==>
: x(t)=[-a*exp(-at)+a*exp(bt)]*1/(a+b)
l*t
24 楼
mathematic 5.0 -_-b
In[4]:=
DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]
Out[4]=
a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}
In[4]:=
DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]
Out[4]=
a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}
k*n
25 楼
re
b*e
26 楼
ODE用LAPLACE TRANSFORM
t*8
27 楼
数学，不懂诶
b*w
28 楼
数学不懂，讨论下哲学或文学问题也可以
【在 t*******8 的大作中提到】
: 数学，不懂诶
【在 t*******8 的大作中提到】
: 数学，不懂诶
b*w
29 楼
嗯，mathematic够强大，决定给它发包子。。。
【在 l********t 的大作中提到】
: mathematic 5.0 -_-b
: In[4]:=
: DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]
: Out[4]=
: a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}
【在 l********t 的大作中提到】
: mathematic 5.0 -_-b
: In[4]:=
: DSolve[x'[t]==-a*x[t]+a*\[ExponentialE]^(b*t),x,t]
: Out[4]=
: a*e^{-at+(a+b)t}/(a+b) + c1*e^{-at}
t*i
30 楼
Mathematica太难了，我唐博士喜欢用Maple，跟草稿纸似的。
【在 b*w 的大作中提到】
: 嗯，mathematic够强大，决定给它发包子。。。
【在 b*w 的大作中提到】
: 嗯，mathematic够强大，决定给它发包子。。。
相关阅读
大家听一下我评论UA事件 (转载)曾经对于借钱的看法自行车共享是不错，可出了事儿谁负责？日本飞行员为何带军刀不带降落伞？亚洲没有12个席位别想踢世界杯美国人为何要比加拿大人寿命短？突然陷入两难,好烦恼,求解惑累了倦了，听段录音休息一下缓个神 (转载)达康书记在吗法国警察事件说明法国其实还是一个流氓国家外科风云虐心啦！！！！现在的情况是只有loser还留在这个班了，见不得人的蟑螂 (转载)不可思议！美歌大婚将至？运用之妙存乎一心澳元疲軟 對美元價格有可能跌至0.70之下你所知道最冷的冷知识是什么？快乐大本营众人的分析之上——何炅性取向与谢娜Re: 文贵这事，我和老将态度不一样 (转载)一群傻逼讨论傻逼电视剧 (转载)我他妈不理解支持Trump的 (转载)