狭义相对论中一个有趣的问题

其实是个唬人的问题。

我们都知道，当一艘飞船离开地球，以可以跟光速比拟的速度飞向浩瀚的宇宙时，对地球上的人会发现两个有趣的现象，我们会发现飞船上的尺子变短了，时钟变慢了。

那么问题来了，如果两艘匀速飞行的飞船在宇宙中擦肩而过，到底是哪艘船上的时钟会走的慢一些呢？

不知原委的人大概想破脑袋都想不出来吧，嘿嘿。

不必打嘴仗，不必较真，本帖纯属娱乐，或者寓教于乐。

困了，明天我再详细解答

其实楼主在问题中的问法是故意很含糊，这样可以让问题稍微复杂一些，增加一些讨论的空间。

要回到这个问题，还应该确定两点：
一是相对于哪个观测者，不同坐标系里的人光测到的结果是很不一样的。
二是如何做出比较。

归结起来，这个问题有三中情况，假设两艘匀速运动的飞船是A、B那么：
1。A飞船里的人光测B飞船里的钟，并与自己飞船里的钟做比较是个什么情况。
2。B飞船里的人光测A飞船里的钟，并与自己飞船里的钟做比较是个什么情况。
3。A飞船B飞船里的人分别观察自己飞船里的钟，然后他们之间再比较，以确定哪个钟跑快哪个钟跑的慢。也就是比较一个时间差，比如一个小时，或者十分钟等，看哪个钟走的快慢。

首先看第一种情况，我们分别在两艘飞船上建立坐标轴平行的坐标系A与B，对于A飞船里的人来说，他相对于坐标系A是静止的，而坐标系B是以速度在离他而去。这样，这个场景完全等同于相对于地球上的惯性系静止的地球上的人，看一艘离他而去的飞船所造成的效应。也就是A飞船里的人看B飞船里的时钟时，发现比自己的钟走的慢。

第二种情况其实完全雷同于第一种情况，因为两艘飞船的相对速度是完全一样的，当B飞船里的人观察A飞船里的钟的时候，他相对于自己所处的B坐标系也是静止的。因而他观察到的时间效应其实是与A飞船里的人一样的，只是结果反过来了，是A飞船里的钟比自己的慢了。

事实上，我们可以把洛伦兹变换写成矩阵形式，可以证明，这个变换矩阵不只是线性的，也是正交的。这样就保证了它的逆变换也保持同样的形式不变。因而用洛伦兹变换计算的出来的结果也是一样的。
这个现象说明了，对于两个做相对运动的惯性系，它们之间是不分主次不分前后，是完全一样的等价的。

由于这样观测到的时间是跟不同的坐标系有关的，相对论里有一个专门的名词，叫做‘坐标时’。坐标时是不可以做测量的，它只是看的见摸不着的，或者说是只能计算无法验证的。

第三种情况有点难度，是各种观察自己飞船的钟然后做比较，这还真不能胡说。还真需要一点理论上的推导。

先得介绍相对论里一个非常重要的概念，四维时空里两个事件的间隔。它是这么定义的：时空中有两个事件：A(t1,x1,y1,z1)，B(t2,x2,y2,z2)。
其实我这么写是很不规范的，对于四个分量在广义相对论中只用一个字符就代替了。而如果广义坐标变换用这样的坐标表达，是寸步难行的。
好在我们只是为了说明，不做具体的运算。这样看上去更加的直白。

有如下的表达式：△s^2=(c△t)^2-(△x^2+△y^2+△z2)
其中c是光速，△t=t2-t1,对xyz也一样。
△s就叫做四维时空中两个事件的间隔。

休息一下。

@_小老头_ 2021-01-19 09:21:23
有如下的表达式：△s^2=(c△t)^2-(△x^2+△y^2+△z2)
其中c是光速，△t=t2-t1,对xyz也一样。
△s就叫做四维时空中两个事件的间隔。
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为什么要如此定义呢？因为这样定义有个巨大的好处，只要两个事件确定，就是它跟光速一样，是个不变的量，跟坐标系没有了关系。这可以通过洛伦兹变换得到证明。

我们可以比较一下三维空间里的一段距离的计算公式：△L^2=△x^2+△y^2+△z2
△L的长度也是不随坐标系变化的，无论你平移或怎么转动坐标系，得到的计算结果都是同一个数。四维时空中的间隔△s与这个很类似。

好了，我们从飞船坐标系A的内部的角度去看自己的时钟，由于时钟已经观测者相对于A惯性系都是静止的，因此△x、△y、△z都为0，代入△s的计算公式得到下面的式子：
△s=c*△tA
tA=△s/c

又因为△s与c都是不随坐标系变化的量，我们知道△tA也是不随坐标变换的量。
同样我们也可以得出B飞船上的时间tB跟tA一样，也是一个不随坐标系变化的量。

相对论中对这个时间也有一个专门的名称：叫做‘固有时’，通常以△τ表示，即
△τ=△s/c
固有时跟坐标时完全不同，它是一个可以被测量的时间。

通过光速不变性以及间隔的定义，我们还能得到某些有意思但很重要的结论。
在任一坐标系下，一束光传播的距离与时间分别是△L与△t，则根据速度公式
c=△L/△t 也就是：
(c*△t)^2=△L^2
(c*△t)^2=△x^2+△y^2+△z2 把各项全部移到等号左端变成：
(c*△t)^2-（△x^2+△y^2+△z2 ）=0
这正好是△s的表达式，也就是
△s=0
这也就是代表了光在四维时空中的间隔恒等于0。

由狭义相对论计算出来的坐标时间（也就是另一艘飞船上的时钟让你看到的时间）比自己的时间变慢了其实是个假象，因为这个时间是跟坐标系紧密相关的。如果同时又有艘匀速飞过来的飞船，但它的飞行方向是有一个角度的，那它看到的这艘飞船上的时间，跟你看到的时间肯定是不一样的，虽然他看到的时间也是比自己的时间是慢的。

孪生子问题中，哥哥做火箭出来兜一圈风再回到地球，自己会比弟弟变的年轻是真实的，因为它的系统中的钟记录的是被改变的时间是固有时间，是一个真实可见的时间。

如果非要对这个现象给出一个解释可以这样理解，做飞船出去虽然空间距离上绕了大弯，但在生命的路途中，他却是走了捷径，而弟弟却是绕了大弯。

我了个天，花眼了，吃顿饭的功夫两位大侠大战三百合，居然还未分出胜负。