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解析数论大牛获邵逸夫奖,陶哲轩:他的课好难

解析数论大牛获邵逸夫奖,陶哲轩:他的课好难

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西风 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI

2024邵逸夫数学科学奖出炉,颁给了解析数论大牛彼得·萨纳克(Peter Sarnak)

陶哲轩第一时间送上祝贺,并透露研究生期间曾上过他的课,但“难到吓人”:

我在读研究生时从萨纳克那里学习了解析数论,当时我觉得这个学科令人生畏,便转而专注研究调和分析。

我目前在解析数论方面的许多工作都与他的研究相关,特别是他关于莫比乌斯函数与零熵序列不相交性的猜想;我早期在凯莱图扩展性方面的工作也受到了彼得及其合作者奠基性工作的启发。

彼得·萨纳克现任美国普林斯顿大学数学讲座教授,是今年邵逸夫数学科学奖唯一获奖者

官方宣布的获奖理由是:

表彰他将数论、分析学、组合学、动力学、几何学和谱论相结合,发展了薄群算术理论和仿射筛法。

据了解,萨纳克将获得120万美元奖金(比诺贝尔奖还高20万美元),约869万RMB。

邵逸夫奖官网也更详细地介绍了他的贡献。

率先在稀疏子集中寻找多项式的殆素数值

在了解萨纳克的研究前,我们先回顾一下什么是质数/素数:指大于1的自然数中,除了1和它本身外,不能被其它自然数整除。

公元前300年左右,古希腊数学家和几何学家欧几里得在《几何原本》中提出了一个非常经典的证明,称之为欧几里得素数定理。

其中指出,除了0和1之外的任何自然数都是素数的乘积,并且素数有无穷多个

研究素数的分布是数论的一个核心主题。科学家不断寻找一个多项式函数f(x),使得在无穷多个整数x上,f(x)的值都是素数。

根据欧几里得定理,f(x)=x就是这样的一种函数。

进一步扩展这个问题,可以要求f(x)在无穷多个整数x上是殆素数(almost prime valued),殆素数是指由有限个素数的乘积组成的正整数(6是一个殆素数,因为它等于2×3)

例如,孪生素数猜想可以表述为,有无穷多个整数x,使得f(x)=x(x+2)的值是两个素数的乘积(3和5、5和7、11和13就是孪生素数)

中国数学家陈景润1973年使用布伦的组合筛法证明了该函数在无穷多个整数x上最多有3个素数因子

图源:百度百科

研究者还可以通过将x限定在一个稀疏的整数子集中来限制x的集合。对于任何具有整数系数的多元多项式,可以提出类似的问题。

萨纳克开创了一种方法,可以在由薄群轨道形成的稀疏子集中寻找多项式的殆素数值

薄群(thin group)是算术群的一个子群,它的特性可谓“恰到好处”:既不太大(为无穷指数),也不太小(具有与算术群相同的Zariski闭包)

薄群在纯数学和应用数学中出现得非常自然。例如整数apollonian圆堆积的对称群就是一个薄群,还有很多克莱因群也都是薄群。

整数apollonian堆积,每个圆都与给定的三个圆相切

扩展图(expanders)是计算机科学中广泛使用的一种高连接度的稀疏图。

萨纳克预见到,薄群的有限商群的扩展性质可以用来生成殆素数,于是他提出并发展了仿射筛法(affine sieve),与其他数学家一起,从一些薄群中构建了扩展图。

其中也用到了他与另一位合作者的早期工作,其中展示了有限线性群表示的最小维数与扩展图之间的关系。

他与Bourgain和Gamburd一同,获得了薄群轨道上整数向量的精确计数和均匀分布结果,当对这些向量应用某个特定的多项式函数时,它们会取殆素数值。

并且,萨纳克还与Golsefidy证明了,在某些自然假设下,一个整数多项式函数在薄群轨道的Zariski稠密子集中会产生殆素数。

萨纳克将组合数学和遍历理论方法引入丢番图(Diophantus)问题,对这一领域产生了深远的影响。

还有3位科学家也获邵逸夫奖

邵逸夫奖于2002年设立,旨在表彰在学术及科学研究或应用近期作出杰出贡献,或在其他领域取得卓越成就的科学家,被很多人称作是“东方诺贝尔奖”。

除了数学科学奖,邵逸夫奖还设有天文学奖、生命科学与医学奖

邵逸夫天文学奖今年颁给了美国加州理工学院天文学与行星科学教授Shrinivas R Kulkarni

获奖理由是:

表彰他在毫秒脉冲星、伽马射线暴、超新星以及其他可变或瞬变天体方面的开创性发现。他在时域天文学领域的贡献推动了Palomar Transient Factory,及其继任者Zwicky Transient Facility的构想、建设与领导,这些工作极大地革新了我们对时变光学天空的理解。

邵逸夫生命科学与医学奖今年有两位获奖者,分别是美国国家心肺血液研究所高级研究员Swee Lay Thein、哈佛医学院杰出教授Stuart Orkin

获奖理由是:

表彰他们发现了胎儿到成人血红蛋白转换的遗传和分子机制,使得一种革命性且高效的基因编辑疗法成为可能,可用于治疗镰状细胞贫血和β地中海贫血等影响全球数百万人的严重血液疾病。

参考链接:
[1]https://www.shawprize.org/prizes-and-laureates/mathematical-sciences/

[2]https://mathstodon.xyz/@tao/112479863527543754

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