最折腾人的数学问题
最折腾人的数学问题
蒋闻铭
这一篇我们聊三体问题。开普勒行星运动的三大定律，是他根据第谷的观测数据硬描出来的。后来有了微积分，有了牛顿力学，又有了万有引力定律，牛顿就搞了一个极端简化的宇宙模型。他写了一组微分方程式，研究两个质点在相互的引力作用下的运动轨迹。这就是牛顿的二体问题了。有了方程就求解。解出来一看，二体问题的解，和开普勒的三大定律，是一回事。数学一般是先有了方程再求解。现代天体力学，倒过来，先有解后有方程。
二体问题解决了，下面就轮到了三体问题。太阳系如果只算太阳地球，就是二体问题。但是如果把木星也算上，就成了三体问题。作为数学问题，二体问题的解，简洁完美，到了三体问题，就要了命。任牛顿怎么折腾，就是解不出来，最后搞得他害头疼。这个是他自己在书里说的。不单是他，后来的数学家，整个十八世纪十九世纪，有一个算一个，拉格朗日，拉普拉斯，柯西，欧拉，高斯，庞加莱，都被这个三体问题，折腾得不要不要的。
不过呢，不管数学家们怎么折腾，这个三体问题，却是越折腾越没指望。折腾到后来，连究竟要怎样，才算是把三体问题解决了，大家都没能弄得明白。别的数学问题，费马大定理，庞加莱猜想，黎曼猜想，哥德巴赫猜想（这个列在这里有些不伦不类，不够资格，不过知道它的中国人多，马马虎虎吧）,这个定理，那个猜想，再难，解决没解决，总有个明确的说法。这个奇葩的三体问题，作为数学问题怎么才算是被解决了，到现在连个明确的说法都没有。说三体问题，是从古到今，最难的数学问题，恐怕没人会不同意。
搞不出精确解，就搞近似解。什么意思呢？算月亮的轨道，第一要考虑的，是地球的引力，其他不考虑，就是二体问题。但是因为有其他天体，所以月亮的真实轨道，和二体问题的解，就有误差。这个误差，以古人的观测手段，测不出来，所以可以忽略不计。但是后来观测精度提高得贼快，看月亮成了定海船的位置的主要手段，二体问题就不行了，要考虑太阳的吸引力。这就成了三体问题，解不了。不过太阳毕竟离得远，对地球月亮的相对运动，影响不大。所以就先把地球月亮，用二体问题的解，做为起始，把太阳的影响，当着是对二体问题的解的小扰动。月亮地球是两口子，太阳长得俊，老在人家面前晃，对这两口子的关系，还是有些小影响。
这个影响什么时候是多大，算起来可就要了命。但是航海有需要，多难多烦都得算。这样的计算，和哥白尼当年的那十几个轮子比，要麻烦成千上万倍。 这就是天体力学的摄动理论了。算轨道摄动，先要推公式，后要算具体的位置。举个例子，美国当年有个天体力学家C.W. Hill，算月亮全世界有名，先花了十年推公式，再用他推的公式算月亮的具体位置。算月亮的位置，需要雇几屋子的人一起算。
摄动理论最有名，最轰动的成就，是发现海王星。当年的天文望远镜，做起来没那么难。所以一大帮人，天天拿着望远镜看天，指望着发现点什么新鲜的，青史留名。还真有一位，发现了天王星。不过天王星的轨道，大家算来算去，总算不准。有人就说算不准，恐怕是因为还有其它大家不知道的行星，在做扰动。这么一说，就有人当了真，对自己说能不能算算看，这个未知的行星，需要有多大多远，轨道是什么样子，才能对天王星的运动，产生现在观测到的偏差。他应用摄动理论，算了几年，出了结果，说某月某日，这颗以前我们不知道的行星，应该出现在某个位置上。到了时候，拿望远镜一看，果然有一颗星在那里。这就是海王星了。
当然现在有了计算机，算行星的轨道，人造卫星的轨道，就用不着手推公式了。 人造卫星刚出来的时候，算轨道也还需要用手推公式。只是最近这三十年，计算机真正发达了，算轨道就完全不用手推了。结果就是现在，算行星轨道的，和研究三体问题的，正式分了家。算轨道的，在天文系和行星科学系。把三体问题当数学问题研究的，都在数学系。