Cross Admission，大学录取的哥德巴赫猜想
满贯、大满贯和超级大满贯
在美本申请上，一直有一个神秘兮兮的问题，即cross-admission。每年有多少拿到多藤、加上斯坦福、甚至加上麻理工的满贯、大满贯的得主呢？这问题可以猜，却没法回答。
一个人能拿到所有哈、耶、普的Offer，叫做满贯。如果是哈、耶、普，外加斯坦福，叫大满贯。如果是哈、耶、普、斯，再加上麻理工，就叫超级大满贯。2015年以后，越来越多的拿下多藤的近满贯、满贯的申请人把自己的经历放到YouTube分享。而且每年藤校放榜日后，也总那么有一篇满贯文书火爆网络。
有人 Po，有人火，热闹归热闹。但那个问题，还是没人回答得了。谁也不知道每年能有多少（1）超级大满贯、（2）大满贯、和（3）满贯得主。那就更别提下面这一连串更专业点的问题了。
4）每年，有多少哈-耶双连得主？
5）那，哈-普双连得主呢？
6）那，哈-斯双连得主呢？
7）那，哈-麻双连得主呢？
8）那，耶-普双连得主呢？
9）那，耶-斯双连得主呢？
10）那，耶-麻双连得主呢？
11）那，普-斯双连得主呢？
12）那，普-麻双连得主呢？
13）那，斯-麻双连得主呢？
如果双黄问题不够刺激，我们再把专业度提高一层：
14）哈-耶-斯三连得主呢？
15）哈-耶-麻三连得主呢？
16）哈-普-斯三连得主呢？
17）哈-普-麻三连得主呢？
18）哈-斯-麻三连得主呢？
19）耶-普-斯三连得主呢？
20）耶-普-麻三连得主呢？
21）耶-斯-麻三连得主呢？
22）普-斯-麻三连得主呢？
而且，这问题还没完呢，再加上下面这四个：
23）哈-耶-普-麻四方连呢？
24）哈-耶-斯-麻四方连呢？
25）哈-普-斯-麻四方连呢？
26）普-斯-耶-麻四方连呢？
解开这一连串的问题，就能解开T5招生的一个秘密。这个秘密，T5们不说，人们都只能当Gossip一样瞎猜瞎传。这样的话，哈斯普耶麻就可以一边任由各种录取奇迹骗取你的感情，另一边拿连年惨跌的录取率来霸占你的劳动。
从 Frosh Survey 说起
录取数据这个秘密，是T5的底裤。他们会习惯性地捂着它，除了每年露个录取率来营造一下市场气氛。底裤捂得最严的，是哈、斯、麻。他们仨在T5各据市场细分的一极，所以对赖在其他T5的竞争最不敏感。但耶、普两家就稍有不同，他们各自的细分价值稍显模糊，再面临着哈斯麻的竞争压力，难免要更不淡定一些。所以会再多露一些底出来，从而勾引市场的兴趣。
这其中，有一份普林斯顿的Frosh Survey。Frosh是大学一年级新生，跟Freshman同义。每个学校都会有这种Survey，但只有普林会在Survey里公布Cross Admission的统计数据。其他学校的Frosh对于Cross Admission问题，要么是有数据但不公布，要么就是干脆没数据。
斯坦福的Survey也应该有Cross Admission数据，但是从不公布。可是有一次，仅有一次，不知道是哪个校办的秘书手潮，还是网管忘了加墙，让Stanford Faculty Senate Minutes的记录漏出网上，被人把数据记下来了。这是一个亚裔Lawrence Chiou，他是Harvard'14，Stanford PhD'18，他现在斯坦福做Data Scientist。让我们一起感谢Lawrence Chiou。
从这些数据，我做了一个基础数据表格。这篇的聚焦在T5，所以其他藤校的数据先暂时忽略，以后有时间再跟大家做更深入的推演。 从这个表格里的基础数据出发，我们就可以相当准确地计算出以上所有问题的答案，即各种哈耶普斯麻组合下的Cross Admission的人数。
从多藤到超级大满贯的数据合成
关于这个数据计算的详细过程，我就不啰嗦太多了。我只简单说一下合成其他空白数据的原则。首要原则就是对称原则，即以对角线为对称轴的两个格子的数据，反映着同一对学校之间的交叉offer人数，这样的人数（注意不是录取概率）应该相等。次要原则是等比例原则，即构成矩形的四个小格的数据应该横竖两个方向都成比例。我们通过这两个原则，就可以合成出其他所有空白格的数据。这就是双录取的全部概率分布情况。
根据以上的数字，再加上各校年均招生的人数，我们就可以算出各种搭配下的双录取人数，这就是下面的双连表。所有的双连录取数字就此得解。请注意，双连总人数2175，少于所有双连数字相加的结果2537。为什么呢？请读者自己思考。要是想不明白的话，Top 20就不要申请了。但是哈佛和耶鲁还是可以申的，因为他们都不会要求你达到嫩么的quant。
人数不少哇！看见这个的人会首先感叹一下。我们来仔细分析一下。重合数字最高的是耶鲁-普林的427，这说明两校之间再招生价值的重合度最高，因为校际价值越重合，就会共同向越多的申请者发出offer。这并不在于他们官宣的价值，而在于他们看到同样价值的申请者的真实反应（即发offer的概率）。其次普林-斯坦福之间、哈佛-斯坦佛的重合度也都很高。这就间接的证明了一点，斯坦福实际上在与东部院校全线展开竞争的。
更有意思的是，哈耶普斯四校与麻理工之间的重合度都很低。这说明麻理和大家的重合度都低得很，最低的是再哈-麻这两所同城之间，每年的共同offer人数只有50这个量级。只有各自招生规模的2-3%而已。与麻理工重合度最高的，反而是远在西岸的斯坦福，这符合我们的常识经验。
下面我们来解决三连的人数问题。根据双连概率表，再加上条件概率的计算公式，就可以很方便计算出三联数字。比如我们已经知道哈佛录取人里有耶鲁录取的概率，也知道耶鲁里有普林的概率，两者相乘，就得到了哈-耶-普三联的概率。如此，算出的三联表格如下。我只填了对角线以下的表格。对角线以上的表格，可以参考对称原则来计算。
用三连概率表格，我们同样可以计算出何种搭配下的三连录取的人数：
三连的人数就变少得可怜了，362人，只有二连总数的15%（六分之一）。以哈-普-斯三连的人数最多（76），比藤校满贯的哈-耶-普都更多出十几个人来。这么看来，人们习惯只把哈耶普而不是哈普斯叫做满贯，还是有道理的。哈-耶-斯、普-耶-斯的三连人数都差不多，在60人以上。有麻理工的三连里，普-斯-麻的人数最多。同时具有哈-麻的三连都少得可怜。从前面的哈麻双连就知道，沾上哈气儿的人，基本上就很难再混进麻团儿里了。但无论如何，这些能在哈耶普斯四校之间拿下任意三个的，都是绝对顶尖的学生了。
还有更顶尖的四方连。我就不罗嗦算法了，直接上四连的概率表格和人数。能拿到T5中四连录取的总人数在20人的数量级。我个人认为这个数字算的有点偏低，但数量级基本上靠谱，再多也不会超过50人。除了大满贯哈-耶-普-斯之外，其他任何的四方连（即带上麻理工的四连）就少得可以当没有了。麻是最难进的（不是只看录取率数字那么简单），敢申的人就少的很，即使你是有哈耶普斯里三连实力的人。
最后，超级大满贯，HYPSM五张通知书集齐的人，我算出来的结果是零。也许有，但这人数非常稀少了。我上次见还是2017年，我记得北达科塔州的一个白人小伙。极少数了，除了让我们感叹一下，其实他对我们的申请没什么借鉴价值。被一群价值观完全不同的学校都录取，这个纯属运气。
这些，对申请有什么用？
满屏的Gossip说完，哈喇子流了一地。这有什么用呢？有用的话在下面！
对于大多数T5申请人来说，都是有实力、但没信心的人。要申请都是碰运气，不申呢又白不申吧。所以你要是能拿到offer，也就是撞上一家的运气而已。T5总共发出9700张左右的offer，给到7300人手中。这其中拿到仅仅一张offer的人，一共有5350人。看上去很多是吧，但其实里面有3870张是早申拿下的，而且这些人里面的70%有Legacy的。剩下的1480张single offer，会在19万份Regular中找到主人，相当于0.7%的录取概率。这跟媒体报道的3-5%RD概率之间相差甚远。
各家的情况如何呢？先说哈佛吧。他每年给出约1900张offer，其中1192张是给到了只拿到哈佛的人的手里了。这些哈佛single offer的学生，有858人其实在早申中拿到的，80%以上的人有Legacy，没有legacy的早申offer也就不到200个人而已。对比早申数1万多人数，如果你没有Legacy，那么你的早申录取率其实只有2%，根本不是宣传的7%（2020年早录）更不会是13%（2019年早录）那么高。在Regular阶段去申的话，没有Legacy的录取率其实都不到0.6%。
耶鲁和斯坦福的录取率和哈佛类似，而且非Legacy录取率更低。最惨的其实在普林。没有Legacy的人在Regular阶段去申普林其实就跟心理安慰差不多，他给你的single offer本来就很少。这基本上可以看出来，普林是一个招生价值观相对更传统和封闭的学校。他在识别申请者的时候，更多的会关注到传统的精英价值观上去。当你仿着对哈佛斯坦佛的那一套，把自己做成进步主义的profile给普林的时候，你可能已经走在了一条自裁的路上。
读了这满篇的数字分析，请大家不要把上面的数字绝对化。这些事合理计算的结果，可以作为很好的定性参考。我想读到这里的同学，会自然地想到各校招生价值观的差异化问题。关于这个问题，我们过去在美本文书讲座和讲座之后的文稿里详细阐述过。你可以去翻我的博客。