最近alicegirl，smallsilver也不见了# Piebridge - 鹊桥
E*Q
1 楼
9 部iPad作为portrait photography的光源。。。。
http://www.youtube.com/watch?v=1nKPTo_vuzE
The modelsaid: "I have fun!!"
http://www.youtube.com/watch?v=1nKPTo_vuzE
The modelsaid: "I have fun!!"
l*s
2 楼
这里给了个简答。
http://www.mitbbs.com/article/Joke/33891891_0.html
这里有个完整的解，抛砖引玉，欢迎讨论。
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892101_0.html
http://www.mitbbs.com/article/Joke/33891891_0.html
这里有个完整的解，抛砖引玉，欢迎讨论。
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892101_0.html
p*e
3 楼
最后一波都走了
x*c
4 楼
如果问少说这是蛋痛，我同意。
f*n
5 楼
题目看不懂
s*r
6 楼
干嘛找我？
h*s
7 楼
猫都不错
l*s
8 楼
不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
三个函数我都给出来了。
哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
【在 f*****n 的大作中提到】
: 题目看不懂
三个函数我都给出来了。
哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
【在 f*****n 的大作中提到】
: 题目看不懂
p*e
9 楼
哦，您还在呀，没事
：干嘛找我？
【在 s*********r 的大作中提到】
: 干嘛找我？
：干嘛找我？
【在 s*********r 的大作中提到】
: 干嘛找我？
x*k
10 楼
何止蛋疼，都碎了
【在 x****c 的大作中提到】
: 如果问少说这是蛋痛，我同意。
【在 x****c 的大作中提到】
: 如果问少说这是蛋痛，我同意。
P*i
11 楼
你生猜出来的？
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
:三个函数我都给出来了。
:哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
:三个函数我都给出来了。
:哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
s*r
12 楼
身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
【在 p******e 的大作中提到】
: 哦，您还在呀，没事
:
: ：干嘛找我？
你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
【在 p******e 的大作中提到】
: 哦，您还在呀，没事
:
: ：干嘛找我？
l*s
13 楼
我推导加猜出来的
【在 P****i 的大作中提到】
: 你生猜出来的？
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
: :三个函数我都给出来了。
: :哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
【在 P****i 的大作中提到】
: 你生猜出来的？
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
: :三个函数我都给出来了。
: :哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
p*e
14 楼
今天脱下鞋和袜，明天不知穿不穿。混呗
：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
【在 s*********r 的大作中提到】
: 身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: 你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
【在 s*********r 的大作中提到】
: 身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: 你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
l*s
15 楼
educated guess
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我推导加猜出来的
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我推导加猜出来的
s*r
16 楼
难道你40了，也打餐馆？
50时候呢？
60？
70的时候，你打算日子怎么过啊
【在 p******e 的大作中提到】
: 今天脱下鞋和袜，明天不知穿不穿。混呗
:
: ：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: ：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
50时候呢？
60？
70的时候，你打算日子怎么过啊
【在 p******e 的大作中提到】
: 今天脱下鞋和袜，明天不知穿不穿。混呗
:
: ：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: ：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
l*s
17 楼
我来抛砖引玉，给出我的推导和猜测
【在 l*******s 的大作中提到】
: educated guess
【在 l*******s 的大作中提到】
: educated guess
p*e
18 楼
人生无常，不去想
：难道你40了，也打餐馆？
：50时候呢？
：60？
：70的时候，你打算日子怎么过啊
【在 s*********r 的大作中提到】
: 难道你40了，也打餐馆？
: 50时候呢？
: 60？
: 70的时候，你打算日子怎么过啊
：难道你40了，也打餐馆？
：50时候呢？
：60？
：70的时候，你打算日子怎么过啊
【在 s*********r 的大作中提到】
: 难道你40了，也打餐馆？
: 50时候呢？
: 60？
: 70的时候，你打算日子怎么过啊
l*s
19 楼
f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
let y=0
f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
From (2), let x=0
f(f(0)^2)=0 (3)
f(0) can be either zero or non-zero
Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
Claim: if f(a)=0, then a=1,
Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
from (1), if x+y=xy, then f(f(x)f(y))=0
So f(f(x)f(x/(x-1))=0 for all x ≠ 1
let x=a, f(f(a)f(a/(a-1))=f(0)=0,
contradition to f(0) ≠ 0
So f(0)^2 must be 1, and f(0) is either 1 or -1.
Case B1: f(0)=1 (4)
from (2), f(f(x))=1-f(x) (5)
From (1), let y=1,
1+f(x+1)=f(x)
f(x+1)=f(x)-1
f(x+N)=f(x)-N for any integer N (6)
continue to:
f(x)=f(1-f(x)) (7)
from (7), guess
f(x)=1-x (8)
Case B2: f(0)=-1
f(x)=x-1
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我来抛砖引玉，给出我的推导和猜测
let y=0
f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
From (2), let x=0
f(f(0)^2)=0 (3)
f(0) can be either zero or non-zero
Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
Claim: if f(a)=0, then a=1,
Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
from (1), if x+y=xy, then f(f(x)f(y))=0
So f(f(x)f(x/(x-1))=0 for all x ≠ 1
let x=a, f(f(a)f(a/(a-1))=f(0)=0,
contradition to f(0) ≠ 0
So f(0)^2 must be 1, and f(0) is either 1 or -1.
Case B1: f(0)=1 (4)
from (2), f(f(x))=1-f(x) (5)
From (1), let y=1,
1+f(x+1)=f(x)
f(x+1)=f(x)-1
f(x+N)=f(x)-N for any integer N (6)
continue to:
f(x)=f(1-f(x)) (7)
from (7), guess
f(x)=1-x (8)
Case B2: f(0)=-1
f(x)=x-1
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我来抛砖引玉，给出我的推导和猜测
s*r
20 楼
你难道不想有所改变？
离花街那么近，去花街呗，
天天打餐馆，不无聊？
去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
【在 p******e 的大作中提到】
: 人生无常，不去想
:
: ：难道你40了，也打餐馆？
: ：50时候呢？
: ：60？
: ：70的时候，你打算日子怎么过啊
离花街那么近，去花街呗，
天天打餐馆，不无聊？
去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
【在 p******e 的大作中提到】
: 人生无常，不去想
:
: ：难道你40了，也打餐馆？
: ：50时候呢？
: ：60？
: ：70的时候，你打算日子怎么过啊
l*s
21 楼
从（7）到（8）， 还需要证明：
For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
谁有简单直接的的证明？
以前的某个版主可能会。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
谁有简单直接的的证明？
以前的某个版主可能会。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
p*e
22 楼
人生不如意十常八九，该在哪儿呆着就在哪儿呆着
：你难道不想有所改变？
：离花街那么近，去花街呗，
：天天打餐馆，不无聊？
：去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
【在 s*********r 的大作中提到】
: 你难道不想有所改变？
: 离花街那么近，去花街呗，
: 天天打餐馆，不无聊？
: 去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
：你难道不想有所改变？
：离花街那么近，去花街呗，
：天天打餐馆，不无聊？
：去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
【在 s*********r 的大作中提到】
: 你难道不想有所改变？
: 离花街那么近，去花街呗，
: 天天打餐馆，不无聊？
: 去了花街，就有女人，有房子，有娃，还有诗和远方
d*f
23 楼
没戏，这种排他性证明一般不是靠巧劲，你需要别的工具
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
f*p
24 楼
没被拐走呀？！
【在 s*********r 的大作中提到】
: 干嘛找我？
【在 s*********r 的大作中提到】
: 干嘛找我？
l*y
25 楼
imo official 应该有答案
f*p
26 楼
拿给小淫，看看能不能放倒她。
【在 p******e 的大作中提到】
: 今天脱下鞋和袜，明天不知穿不穿。混呗
:
: ：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: ：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
【在 p******e 的大作中提到】
: 今天脱下鞋和袜，明天不知穿不穿。混呗
:
: ：身为民工，想多挣几个铜板，以后早点养老，所以现在累的跟啥似的
: ：你说你怎么就这么淡定的呢，难道餐馆阿姨长的很漂亮？
d*f
27 楼
你还真信这是奥数真题？
【在 l****y 的大作中提到】
: imo official 应该有答案
【在 l****y 的大作中提到】
: imo official 应该有答案
p*e
28 楼
你妈妈叫我喊你回家一起
：拿给小淫，看看能不能放倒她。
【在 f****p 的大作中提到】
: 拿给小淫，看看能不能放倒她。
：拿给小淫，看看能不能放倒她。
【在 f****p 的大作中提到】
: 拿给小淫，看看能不能放倒她。
l*y
29 楼
看了一眼，没说f连续，应该是中等数学，函数方程题
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
l*s
30 楼
2017年奥数第2题
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
l*s
31 楼
给个证明在这里，不很简单，欢迎讨论
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892009_0.html
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892009_0.html
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
r*z
32 楼
想起马蹄丝了，多聪明大方的女孩。
你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
该是 f(0) 而不是 0 吧？
回头有空再接着读。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
该是 f(0) 而不是 0 吧？
回头有空再接着读。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
l*s
33 楼
一回事，因为Case A，f（0）=0
【在 r****z 的大作中提到】
: 想起马蹄丝了，多聪明大方的女孩。
: 你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
: 该是 f(0) 而不是 0 吧？
: 回头有空再接着读。
【在 r****z 的大作中提到】
: 想起马蹄丝了，多聪明大方的女孩。
: 你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
: 该是 f(0) 而不是 0 吧？
: 回头有空再接着读。
x*h
34 楼
博导啥都能怀疑哈。狗狗一下应该有答案的……
【在 l*******s 的大作中提到】
: 2017年奥数第2题
【在 l*******s 的大作中提到】
: 2017年奥数第2题
P*i
35 楼
第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
后面都多余的
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
:let y=0
:f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
:From (2), let x=0
:f(f(0)^2)=0 (3)
:f(0) can be either zero or non-zero
:Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
:Case B: f(0) NotEqual 0, then f(0)^2 must be 1.
:Claim: if f(a)=0, then a=1,
:Assume: there is a NotEqual 1 such f(a)=0
:..........
f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
后面都多余的
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
:let y=0
:f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
:From (2), let x=0
:f(f(0)^2)=0 (3)
:f(0) can be either zero or non-zero
:Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
:Case B: f(0) NotEqual 0, then f(0)^2 must be 1.
:Claim: if f(a)=0, then a=1,
:Assume: there is a NotEqual 1 such f(a)=0
:..........
l*s
36 楼
你在跟我一开始做的一样。
这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
l*s
37 楼
公式（5）已经得到跟你一样的结论了。
可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
就不完整。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
就不完整。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
l*s
38 楼
所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 公式（5）已经得到跟你一样的结论了。
: 可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
: 就不完整。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 公式（5）已经得到跟你一样的结论了。
: 可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
: 就不完整。
l*s
39 楼
“不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。”
这句可能不对，但我还没发现更好的方法，
不用证明injectivity，就能得到完整的解的。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 你在跟我一开始做的一样。
: 这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
: 不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
这句可能不对，但我还没发现更好的方法，
不用证明injectivity，就能得到完整的解的。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 你在跟我一开始做的一样。
: 这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
: 不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
l*s
40 楼
这里有个完整的解，抛砖引玉，欢迎讨论。
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892101_0.html
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892101_0.html
P*i
41 楼
推导过程中可能缩小了定义域，解是必要非充分的，所以最多只有这三个
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
z*e
42 楼
想了一个解抛砖引玉，还有点问题，
if f is differentiable
f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
then
f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
all y
from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
- f(y)/C = - Cy + D
f(y) = C^2 y - D, C = -1/f(0)
take this back to f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy), which holds for all x, y,
gets
C = +/- 1, D = 1
f(y) = y - 1
if f is differentiable
f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
then
f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
all y
from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
- f(y)/C = - Cy + D
f(y) = C^2 y - D, C = -1/f(0)
take this back to f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy), which holds for all x, y,
gets
C = +/- 1, D = 1
f(y) = y - 1
l*s
43 楼
只有这3个函数的结论是对的。
但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
)。
而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
【在 P****i 的大作中提到】
: 推导过程中可能缩小了定义域，解是必要非充分的，所以最多只有这三个
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
)。
而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
【在 P****i 的大作中提到】
: 推导过程中可能缩小了定义域，解是必要非充分的，所以最多只有这三个
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
l*s
44 楼
首先不能假设发f(x)连续可导。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 想了一个解抛砖引玉，还有点问题，
: if f is differentiable
: f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
: then
: f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
: d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
: so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
: all y
: from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
: from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
【在 z*********e 的大作中提到】
: 想了一个解抛砖引玉，还有点问题，
: if f is differentiable
: f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
: then
: f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
: d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
: so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
: all y
: from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
: from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
l*s
45 楼
一个简单的例子
当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
(0
【在 l*******s 的大作中提到】
: 只有这3个函数的结论是对的。
: 但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
: 如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
: )。
: 而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
: 我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
: 证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
(0
【在 l*******s 的大作中提到】
: 只有这3个函数的结论是对的。
: 但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
: 如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
: )。
: 而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
: 我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
: 证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
l*s
46 楼
你可以说floor(x)-1不满足原等式。
但你不能排除所有满足你的导出等式的函数除x-1外都不满足原等式
【在 l*******s 的大作中提到】
: 一个简单的例子
: 当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
: 这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
:
: (0
但你不能排除所有满足你的导出等式的函数除x-1外都不满足原等式
【在 l*******s 的大作中提到】
: 一个简单的例子
: 当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
: 这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
:
: (0
l*s
47 楼
从这帖子这么被冷落，就看出现在术版是真衰了。
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