C*g
2 楼
高像素都是浮云。
z*e
3 楼
一组勾股数a^2+b^2=c^2
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者
sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者
sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
l*s
5 楼
假设p是a,b,c的最大公约数。
(a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
a/p, b/p, c/p 没有公约数。
如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
也就证明了
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
也就是说问题转换为
对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
一定能有 sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
a,b中一定有一个是奇数。
如果都是偶数,那从c也必定是偶数,与a,b,c没有公约数相矛盾。
不失一般性的假定a是奇数。
b^2 = c^2 - a^2= (c+a)(c-a)
c+a=m
c-a=n
现在需要证明b是偶数.
(
大概可以用反证法:
如果b也是奇数,那从c^2是偶数,c也必定是偶数。
还没想好怎么证明,明天继续
)
假设已经证明了b是偶数,继续后面的证明。
b是偶数,a是奇数,所以c是奇数。
m,n都是偶数。
m/2 和 n/2 没有公约数。
如果m/2 和 n/2之间有公约数k,
那么c=m/2+n/2, a=m/2-n/2 和 b也都有约数k,
与a,b,c没有公约数相矛盾。
m/2 * (n/2) = (b/2)^2
并且m/2 和 n/2 没有公约数, 所以m/2 和n/2一定是平方数。
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 一组勾股数a^2+b^2=c^2
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者
: sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
(a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
a/p, b/p, c/p 没有公约数。
如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
也就证明了
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
也就是说问题转换为
对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
一定能有 sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
a,b中一定有一个是奇数。
如果都是偶数,那从c也必定是偶数,与a,b,c没有公约数相矛盾。
不失一般性的假定a是奇数。
b^2 = c^2 - a^2= (c+a)(c-a)
c+a=m
c-a=n
现在需要证明b是偶数.
(
大概可以用反证法:
如果b也是奇数,那从c^2是偶数,c也必定是偶数。
还没想好怎么证明,明天继续
)
假设已经证明了b是偶数,继续后面的证明。
b是偶数,a是奇数,所以c是奇数。
m,n都是偶数。
m/2 和 n/2 没有公约数。
如果m/2 和 n/2之间有公约数k,
那么c=m/2+n/2, a=m/2-n/2 和 b也都有约数k,
与a,b,c没有公约数相矛盾。
m/2 * (n/2) = (b/2)^2
并且m/2 和 n/2 没有公约数, 所以m/2 和n/2一定是平方数。
【在 z*********e 的大作中提到】
![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 一组勾股数a^2+b^2=c^2
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者
: sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
m*i
6 楼
再等一阵吧,马上BF了
z*e
7 楼
不错,奖励一个包子
【在 l*******s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 假设p是a,b,c的最大公约数。
: (a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
: a/p, b/p, c/p 没有公约数。
: 如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
: 也就证明了
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
: 也就是说问题转换为
: 对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
【在 l*******s 的大作中提到】
![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 假设p是a,b,c的最大公约数。
: (a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
: a/p, b/p, c/p 没有公约数。
: 如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
: 也就证明了
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
: 也就是说问题转换为
: 对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
o*e
8 楼
kmart的广告上好像有300多一台的。
x*z
10 楼
谢谢大家的信息。那我还是等BF吧。希望到时候有好deal。
V*D
12 楼
刚在bestbuy买了一组whirlpool的,价格还不错
G*r
14 楼
反正你是租房子,没必要买太好的。这一对不错,很便宜了。
http://dealsea.com/view-deal/362017
http://dealsea.com/view-deal/362017
z*e
16 楼
你可以直接假设是primitive Pythagorean triple,就是3个数没有公因子,
然后这个奇偶性部分用modulo 算数是很明显的结果
a = 1 mod 4
b = 1 mod 4
then a^2 + b^2 = 2 mod 4,c一定不会是整数
另外wikipedia上有一些很有趣的结果
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Elementary_properties_of_
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 l*******s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 多谢包子,昨天太晚了,先睡了。现在把缺的一段证明补上。
: 如果a奇数,b一定是偶数.
: 反证法:
: 如果b也是奇数,那从c^2是偶数,c也必定是偶数。
: 用以下关系表达a,b,c
: a=2d+1, b=2e+1, c=2f
: d,e,f都是整数。
: 所以
: (2d+1)^2 + (2e+1)^2 = (2f)^2
: 4d^4 + 4d + 4e^2 + 4e +2 = 4f^2
然后这个奇偶性部分用modulo 算数是很明显的结果
a = 1 mod 4
b = 1 mod 4
then a^2 + b^2 = 2 mod 4,c一定不会是整数
另外wikipedia上有一些很有趣的结果
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Elementary_properties_of_
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 l*******s 的大作中提到】
![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 多谢包子,昨天太晚了,先睡了。现在把缺的一段证明补上。
: 如果a奇数,b一定是偶数.
: 反证法:
: 如果b也是奇数,那从c^2是偶数,c也必定是偶数。
: 用以下关系表达a,b,c
: a=2d+1, b=2e+1, c=2f
: d,e,f都是整数。
: 所以
: (2d+1)^2 + (2e+1)^2 = (2f)^2
: 4d^4 + 4d + 4e^2 + 4e +2 = 4f^2
l*s
17 楼
很有意思。
:你可以直接假设是primitive Pythagorean triple,就是3个数没有公因子,
:
:你可以直接假设是primitive Pythagorean triple,就是3个数没有公因子,
:
n*r
18 楼
只要a,b,c互质,那么a,b,c一定可以写成
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2的形式。
令b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,就行了。
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2的形式。
令b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,就行了。
v*e
20 楼
都告诉你们了知乎有答案,就在上面我给的链接里;你们还讨论个啥劲啊,嫌脑细胞没
地方用?
地方用?
l*s
23 楼
这几个命题的证明也挺有意思。
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
这个在前面帖子里已经证明了
Exactly one of a, b is divisible by 3.
任何一个整数都必须是 3n,3n+1,3n-1, 中的一种。
如果a,b都不是3的倍数,那么 a^2 + b^2 一定是属于3n-1,
c不是3的倍数。
所以 c+a, c-a中个数中必定有一个是3的倍数。
所以 b^2 是3的倍数。矛盾。
Exactly one of a, b is divisible by 4.
假设a,b中 a为奇数,b为偶数。
b^2 = c^2 - a^2
两个奇数的平方差一定是8的倍数,所以b一定是4的倍数。
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
假设a为奇数,b为4的倍数。 c为为奇数。
如果a,或c中任何一个是5的倍数,则命题成立。
如果a,c都不是5的倍数,则a,c必定是以下两类数中的一同一类。
第一类 10n±1, 也就是10进制中尾数为1或9的数。
(10n ± 1)^2 =100n^2 ± 20n +1
第二类 10m±3, 也就是10进制中尾数为3或7的数。
(10m ± 3)^2 =100m^2 ± 60m +9
如果a,c分属这两类数。
c^-a^2的尾数一定是2或8
而b是4的倍数, b^2的尾数只能是0,4,6。 矛盾。
因为a,c同属这两类数中的一类,所以c^2-a^2是10的倍数,
所以b是10的倍数,也就是5的倍数。命题成立。
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 嗯,你说的对,奖励一个包子
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
这个在前面帖子里已经证明了
Exactly one of a, b is divisible by 3.
任何一个整数都必须是 3n,3n+1,3n-1, 中的一种。
如果a,b都不是3的倍数,那么 a^2 + b^2 一定是属于3n-1,
c不是3的倍数。
所以 c+a, c-a中个数中必定有一个是3的倍数。
所以 b^2 是3的倍数。矛盾。
Exactly one of a, b is divisible by 4.
假设a,b中 a为奇数,b为偶数。
b^2 = c^2 - a^2
两个奇数的平方差一定是8的倍数,所以b一定是4的倍数。
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
假设a为奇数,b为4的倍数。 c为为奇数。
如果a,或c中任何一个是5的倍数,则命题成立。
如果a,c都不是5的倍数,则a,c必定是以下两类数中的一同一类。
第一类 10n±1, 也就是10进制中尾数为1或9的数。
(10n ± 1)^2 =100n^2 ± 20n +1
第二类 10m±3, 也就是10进制中尾数为3或7的数。
(10m ± 3)^2 =100m^2 ± 60m +9
如果a,c分属这两类数。
c^-a^2的尾数一定是2或8
而b是4的倍数, b^2的尾数只能是0,4,6。 矛盾。
因为a,c同属这两类数中的一类,所以c^2-a^2是10的倍数,
所以b是10的倍数,也就是5的倍数。命题成立。
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 z*********e 的大作中提到】
![](/moin_static193/solenoid/img/up.png)
: 嗯,你说的对,奖励一个包子
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