数学教育 一家之言 (完整版， 长， 慎入）# Parenting - 为人父母
s*y
1 楼
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数学教育 一家之言 前言
========================
数学教育， 一家之言是我在 2013年到2014年 之间写的一些有关数学教育的随笔。 最
初发在MITBBS parenting 版。 倒是激起了一些回应。 也蒙版主／站长青目， 屡上置
顶，十大。 此次做一个合集， 略微整理， 剔繁就简，尽量使得单篇能独立， 各篇之
间也有联系.
文中引用了一些网友观点， 引用文字应该从行文中可以清楚看出， 出处恕不一一列出
。 向积极回帖的各位ID 致谢。
列几句口号： 好记又好用
• preK 要推就推数数吧
• 好的数学教育从不背九九表开始
• 拒绝简单重复练习， 尽早拥抱近代数学
• 鲜花板砖都是关注
=================================
数学教育 一家之言 系列之一， 四则运算
=================================
悠悠数学， 包罗万象，从何下手？
我看大家经常讨论 熟练四则运算的重要性。 我就以此开个头。
先问两个问题：
（1） 四则运算熟练了以后学什么？
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高四则运算？
为了减少歧义， 先把preK 的奶爸奶妈排除在外。 preK 的数学教育， 最重要的是数
数。 没错， 数数。 先从1 数 到 100。 熟练了以后， 10， 10 一数 （10， 20，
。。。）。 5， 5， 一数， 2， 2， 一数。 在熟练了以后， 从 100 数 到 1. 在熟
练了以后， 3， 3，一数，4， 4， 一数。 以此类推。
preK 能做到这一条， 恭喜你， 加减乘都没问题了。
闲话少说， 以下讨论针对 3rd-7th grade奶爸奶妈. 先回答第一个问题。
（1） 四则运算熟练了以后学什么？ 分数， 小数。 小学就这样了。 详情见帖子推不
推。
回答第二个问题，
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高四则运算？
第二条路 就是代数 （又叫 数学结构，又叫抽象， 江湖人称一招包一路）
我在帖子 你的娃内化了没有？ 中把一元一次方程总结了一下10中形式供奶爸奶妈与娃
对话， 四则运算的练习就在每天的5分钟里。
等到了七年级， 这点小trick就唬不住娃了。 学完代数，娃直接更你说 ax + b = c;
x = (c-b)/a. a, b, c can be 小数， 分数， 负数， 百分数， 小case了。 这就是
代数的作用。
x + 1 = 2
x - 1 = 2
x * 2 = 2
x / 2 = 2
2x + 1 = 3
x + x = 2
x + x + 1 = 3
2x = x + 1
2x / (x+1) = 1
3x / (x+1) = 2
在往下讲， 就是代数肿么学的问题了。
（1） 代数熟练了以后学什么？
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高代数？
我也不知道。 下次回国， 我知道有几个极富经验的高中老师， 我打算向他们请教。
有了结果， 再与大家分享。
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数学教育 一家之言 系列之二， 内化
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前贴略讲了讲四则运算， 接着讨论非常重要而常常被忽视的一点： 内化， inner
education。
对于数学教育， 内化是一个缓慢但是充满趣味的过程。 每日五分钟， 效果就可以不
一样。
对话是内化的一种很有效的形式。 家长应该常常与娃讨论问题， 这种讨论要平等，不
需要纸笔， 不必拘于地点，一定需要家长的耐心， 但绝不可强迫。
闲话少说， 先举一例。
娃最近刚学加法，奶爸奶妈就可以问问 1 + 1 是几啊？ 娃雀跃回答 2， 赶紧奖励。
鼓励信心是内化的开始。 第一个问题一定要简单。
内化的过程是什么呢？
再举一例。
娃加法学会， 洋洋自得。 奶爸奶妈就可以问我们做一个 游戏好不好？ 猜一猜 1 +几
是二啊？ 若娃雀跃回答， 恭喜你， 赶紧奖励 （她自己把减法workout！， 以后对话
可以引入减法了）。 若娃作思考状， 恭喜你， 耐心等待。 若娃不知所云， 恭喜你
， 继续加法对话。
看到这， 你可能已经明白了， 内化的过程 是一个 exposure 的过程。
内化的目的是什么呢？ 是培养思考/探索的兴趣。 大布分娃将来都不会/也不愿成为
数学家。
学了加法/减法以后怎么办？
见以下， 一元一次方程的形式：
x + 1 = 2
x - 1 = 2
x * 2 = 2
x / 2 = 2
2x + 1 = 3
x + x = 2
x + x + 1 = 3
2x = x + 1
2x / (x+1) = 1
3x / (x+1) = 2
以上十种方程，家长可以于娃讨论从K （或学了加法开始） 直到 7th grade， 基本可
以循序渐进。 中间可以穿插 分数， 小数， 负数， 百分数， 及各种组合。
当然， 循序渐进是基本原则。 exposure 意义远大于解出答案。 尊重娃的兴趣远重于
获得知识。
多说几句， 小学乘法是关键。 乘法是平方，开方， 幂指数，指数， 对数 的基础。
会了乘法， 平方，开方， 幂指数， 指数， 对数 都没有问题。 怎样内化乘法？从不
背九九表开始。 详细见攻略。
关于内化的详细讨论， 可参考 贴子 “美国老师教孩子的方法领先中国几条街”。
=========================================
数学教育 一家之言系列之三， 中美比较
=========================================
闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
但总的程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公式
）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。相当或略高于中国高中， 略低于
工科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明显优势， 美式强调代数和近代数学的衔接。
5年级之前， 中式完胜。 九年级时 （15岁， 初三）， 美式看中式数学教育的深度，
总感觉很迷惑。 为什么还停留在1000年至2000年前 （平面几何， 初级代数）的水平
？ 这些技巧， 训练， 与现代数学几乎没有关系， 与应用也几乎没有关系 （不要告
诉我， 用勾股定理就能成为突击队长）。 美式已经进入18世纪的数学。
以上是一般学区， 正常学校， 正常班级 （当然， 比较serious）。
中式教学也在变革， 希望是越变越好。
以下是mitbbs文献综述， 观点多有引用之处，恕不一一列举source
小结一下吧。
preK： 要推就多 数数 吧。
K-5： 乘法是重点。 乘法从不背九九表开始。 这是我从苏绯云处听来的（一手资料）
。 谁是苏绯云， 各位自google。 她的话就是权威？ 自己判断。
对中式 大量练习 情有独钟的， 上 新加坡math和 kumon
对中式 大量练习 不感冒的， 美式教育自有其内在规律。 跟着走就好了。实在忍不
住， amazon上好书挺多。
对神经生物学有研究的同修重点指出：大量重复练习对大脑发育没有影响。各式速算法
基本靠背。基因决定一切。 对此如有疑问， 向有关部门进一步查询。
中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
wikipage 和以下讨论， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学
的应用也没多大关系。
中国传统的数学教育（清末以前）有一个鲜明的特点， 以归纳为主。 这以与演绎为主
的几何原本形成了鲜明对比。 中土几千年没有形成严密的逻辑演绎体系， 几何原本和
天演论在历史上都承担了思想启蒙的作用。 新文化诸位达人想通过强调演绎（平面几
何）来开启民智， 以达到普及逻辑思维的目的 （用数学来普及逻辑是否恰当， 可以
讨论）。 不料有了高考， 悠悠万事， 重又回归重复练习， 直至21世纪。 抚古览今
， 感慨万千。 好在中国也在改，详情见V。
美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应用结合， 不强调在初等数学上大
量练习， 有其显而易见的不足： 基础不稳， 不扎实， 混了半天其实啥也没学到，花
里胡哨的， 微积分都会了（也不真正懂， 一变就不会了）还不会通分， 其实还不如
不学。 有人care， 有人不care，有人觉得糟的很， 有人觉得好的很， 自己选择。
随手翻了一本social science 的小学教科书。It covers: 历史， 地理， 科学和技术
， 宗教， 文化， 政治， 经济。 数学算是属于科学和技术这一支吧。 社会的每一个
分支都有上千年的积累。 都学，学得过来吗？ 都推， 这不浪费生命吗？
结论， 还是那句话： 尊重娃的兴趣，不要失去了学习和探索的乐趣。
===================================
数学教育 一家之言系列之四，小学攻略
===================================
说了那么多虚的， 还是攻略来的实在。
多年前回国，请教了一个极富经验的老师，把笔记列在下面，供大家参考.
（1） 会做加法，就可以引入代数的概念。 如：1 加 “大象” 等于 2.“大象”
是几啊？剑法，枷法 都在里面了。
（2） 会做加法，就可以介绍乘法。如：2×3 = 2 + 2 +2. 练了加法也练了乘法。
（3） 不背九九表。 每一个乘法都是同孩子反复一起计算得的。 刚开始都是从头
算， 慢慢小朋友自己就会有窍门了。 如： 3 × 7 = 七个三 = 3 + 3 + 3 +3 +3 +
3 +3 = 三个七 = 7 + 7 + 7. 又如小孩记住了4×5 但没记住4 ×6， 就可以问问从 4
× 5 怎么到 4 × 6.
（4） 除法从2开始。 一班初二，初三无需解释。娃都会。 会了后除4怎么办？ 先
除2， 再除2。除6怎么办？先除2， 再除3. 除8, 除9怎么办？你知道的。 到了这一步
，除5，除7 也会了。 公约数的初步概念也有了。分解质因数的初步概念也有了。
（5） 会做加法，多位数加法，不进位也会了。试着让娃自己找到进位的办法， 从
9+1开始。
（6） 多位数减法亦然
（7） 分数最重要的概念。 其次是约分。会了约分， 乘除就会了。 通分也会了。
会了通分，加减也会了。烩了约分， 比例的概念也有了。
（8） 会乘法，平方和平方根就可以介绍了。 一班小盆友算到19的平方都没问题。
（9） 会乘法，指数，根指数，和对数也不会有问题。 建议算2的一次方，2的二次
方，2的三次方。 应该鼓励小天星猜猜 2 的 零次方 是几。
（10） 解以下一元方程应该没问题：x+1=2, x-1 = 2; x*2 = 2; x/2=2; x*x=1.建
议让娃猜猜2x=x+1.
（11） 多位数乘除不用叫， 学校自然会教。
（12） 小数加减乘除不用叫，学校自然会教。
好像小学就这样了。不管你信不信， 反正我信了: 最重要的是不要丧失学习和探索的
乐趣！
下次回国， 一定要问问中学怎么学?!
====================================================
数学教育 一家之言系列之五， 变化中的中国中学数学教育
====================================================
好久没写 数学教育系列， 今天得空， 又来唠叨几句， 觉得有益， 您就赞， 觉得无
益， 板砖慢点拍。 I-IV 到可以在保留区找到。
中国一向自豪中学数学， 觉得 美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应
用结合， 强调螺旋上升， 不强调在初等数学上大量重复练习，不强调证明， 有其显
而易见的不足： 基础不稳， 不扎实， 算数只会用计算器， 混了半天其实啥也没学到
，花里胡哨的， 微积分学了等于没学， 甚至比不学还糟。 （更有极端者认为微积分
完全没有用， 学好四则混合运算就可以了， 此处不展开了）。
鄙人还真对此问题请教了国内一资深高级中学教师， 他的评论我整理了一下， 列在下
面， 也许对大家有帮助：
（1） 与世界各国比，中国的数学教育其内容陈旧是突出的。中国花大量的时间在初等
数学， 包括初等几何的训练上面， 而稍微近代一点的内容， 如矩阵和微积分训练很
少。
（2） 中国的数学教育极其强调演绎，几乎忽略归纳， 不符合教育原理和认知规律。
具体来说强调证明，完全忽略数学定理的发现和探索的过程。 但是人的认识规律总是
从特例到一般， 数学其实也不例外。
中国不是没有注意到此问题， 事实上大纲一直在改。 现在的中学数学教育与以前相比
， 差别很大。 举几例如下：
（1） 初中教材有了很大改动。 证明的成分大大降低， 联系生活的成分， 和鼓励学
生探索的成分增加。
（2） 高中大纲有了很大改动。 高中分为必修， 选修。 选修开设多个层次： 矩阵，
微积分， 计算机编程， 布尔代数， 线性规划， 都包括在选修里。 当然矫枉一定过
正。 现在选修也包括了 几何曲面的分类 等极具中土特色的topic
（3）虽然大纲有了很大改动， 中学教育未必马上能跟上。 不是每个中学都能把选修
课开出来 （ 几何曲面的分类 ：） ）。 老师的思维还是有一定的惯性。 还是以高考
为导向， 重复做题为基本手段， 鼓励探索和发现的成分太少。但毕竟不是在初等数学
里重复训练了。
由此看来， 是中国以行动在向世界靠拢而不是反过来。
大概我能记得的就是这些了。
不久前看一位家长的贴， 提到强迫小孩记九九表， 不禁莞尔。 见帖子 好的数学教育
从不背九九表开始 （或 数学教育一家之言 IV： 小学攻略）。
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数学教育 一家之言 后记
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我查了一下记录， 我从13年夏天写的 数学教育一家之言 I， 到今年 V， 应该把需要
说的都说了。 对象主要是 70后， 80后的父母。 当90后来到美国成长为父母时， 因
为他们的环境与70后， 80后大不一样， 应该不需要这些讨论。
有人感慨中国就像一幕快速放映的电影， 不但新的观察者不知道下面会是什么， 就是
看过前面一部分的观察者，也完全不知道下面会是什么。
不过还是回到parenting, 还是一句老话： 不要泯灭了孩子学习和探索的兴趣。
数学教育 一家之言 前言
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数学教育， 一家之言是我在 2013年到2014年 之间写的一些有关数学教育的随笔。 最
初发在MITBBS parenting 版。 倒是激起了一些回应。 也蒙版主／站长青目， 屡上置
顶，十大。 此次做一个合集， 略微整理， 剔繁就简，尽量使得单篇能独立， 各篇之
间也有联系.
文中引用了一些网友观点， 引用文字应该从行文中可以清楚看出， 出处恕不一一列出
。 向积极回帖的各位ID 致谢。
列几句口号： 好记又好用
• preK 要推就推数数吧
• 好的数学教育从不背九九表开始
• 拒绝简单重复练习， 尽早拥抱近代数学
• 鲜花板砖都是关注
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数学教育 一家之言 系列之一， 四则运算
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悠悠数学， 包罗万象，从何下手？
我看大家经常讨论 熟练四则运算的重要性。 我就以此开个头。
先问两个问题：
（1） 四则运算熟练了以后学什么？
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高四则运算？
为了减少歧义， 先把preK 的奶爸奶妈排除在外。 preK 的数学教育， 最重要的是数
数。 没错， 数数。 先从1 数 到 100。 熟练了以后， 10， 10 一数 （10， 20，
。。。）。 5， 5， 一数， 2， 2， 一数。 在熟练了以后， 从 100 数 到 1. 在熟
练了以后， 3， 3，一数，4， 4， 一数。 以此类推。
preK 能做到这一条， 恭喜你， 加减乘都没问题了。
闲话少说， 以下讨论针对 3rd-7th grade奶爸奶妈. 先回答第一个问题。
（1） 四则运算熟练了以后学什么？ 分数， 小数。 小学就这样了。 详情见帖子推不
推。
回答第二个问题，
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高四则运算？
第二条路 就是代数 （又叫 数学结构，又叫抽象， 江湖人称一招包一路）
我在帖子 你的娃内化了没有？ 中把一元一次方程总结了一下10中形式供奶爸奶妈与娃
对话， 四则运算的练习就在每天的5分钟里。
等到了七年级， 这点小trick就唬不住娃了。 学完代数，娃直接更你说 ax + b = c;
x = (c-b)/a. a, b, c can be 小数， 分数， 负数， 百分数， 小case了。 这就是
代数的作用。
x + 1 = 2
x - 1 = 2
x * 2 = 2
x / 2 = 2
2x + 1 = 3
x + x = 2
x + x + 1 = 3
2x = x + 1
2x / (x+1) = 1
3x / (x+1) = 2
在往下讲， 就是代数肿么学的问题了。
（1） 代数熟练了以后学什么？
（2） 除了大量练习外， 还有什么办法提高代数？
我也不知道。 下次回国， 我知道有几个极富经验的高中老师， 我打算向他们请教。
有了结果， 再与大家分享。
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数学教育 一家之言 系列之二， 内化
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前贴略讲了讲四则运算， 接着讨论非常重要而常常被忽视的一点： 内化， inner
education。
对于数学教育， 内化是一个缓慢但是充满趣味的过程。 每日五分钟， 效果就可以不
一样。
对话是内化的一种很有效的形式。 家长应该常常与娃讨论问题， 这种讨论要平等，不
需要纸笔， 不必拘于地点，一定需要家长的耐心， 但绝不可强迫。
闲话少说， 先举一例。
娃最近刚学加法，奶爸奶妈就可以问问 1 + 1 是几啊？ 娃雀跃回答 2， 赶紧奖励。
鼓励信心是内化的开始。 第一个问题一定要简单。
内化的过程是什么呢？
再举一例。
娃加法学会， 洋洋自得。 奶爸奶妈就可以问我们做一个 游戏好不好？ 猜一猜 1 +几
是二啊？ 若娃雀跃回答， 恭喜你， 赶紧奖励 （她自己把减法workout！， 以后对话
可以引入减法了）。 若娃作思考状， 恭喜你， 耐心等待。 若娃不知所云， 恭喜你
， 继续加法对话。
看到这， 你可能已经明白了， 内化的过程 是一个 exposure 的过程。
内化的目的是什么呢？ 是培养思考/探索的兴趣。 大布分娃将来都不会/也不愿成为
数学家。
学了加法/减法以后怎么办？
见以下， 一元一次方程的形式：
x + 1 = 2
x - 1 = 2
x * 2 = 2
x / 2 = 2
2x + 1 = 3
x + x = 2
x + x + 1 = 3
2x = x + 1
2x / (x+1) = 1
3x / (x+1) = 2
以上十种方程，家长可以于娃讨论从K （或学了加法开始） 直到 7th grade， 基本可
以循序渐进。 中间可以穿插 分数， 小数， 负数， 百分数， 及各种组合。
当然， 循序渐进是基本原则。 exposure 意义远大于解出答案。 尊重娃的兴趣远重于
获得知识。
多说几句， 小学乘法是关键。 乘法是平方，开方， 幂指数，指数， 对数 的基础。
会了乘法， 平方，开方， 幂指数， 指数， 对数 都没有问题。 怎样内化乘法？从不
背九九表开始。 详细见攻略。
关于内化的详细讨论， 可参考 贴子 “美国老师教孩子的方法领先中国几条街”。
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数学教育 一家之言系列之三， 中美比较
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闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
但总的程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公式
）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。相当或略高于中国高中， 略低于
工科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明显优势， 美式强调代数和近代数学的衔接。
5年级之前， 中式完胜。 九年级时 （15岁， 初三）， 美式看中式数学教育的深度，
总感觉很迷惑。 为什么还停留在1000年至2000年前 （平面几何， 初级代数）的水平
？ 这些技巧， 训练， 与现代数学几乎没有关系， 与应用也几乎没有关系 （不要告
诉我， 用勾股定理就能成为突击队长）。 美式已经进入18世纪的数学。
以上是一般学区， 正常学校， 正常班级 （当然， 比较serious）。
中式教学也在变革， 希望是越变越好。
以下是mitbbs文献综述， 观点多有引用之处，恕不一一列举source
小结一下吧。
preK： 要推就多 数数 吧。
K-5： 乘法是重点。 乘法从不背九九表开始。 这是我从苏绯云处听来的（一手资料）
。 谁是苏绯云， 各位自google。 她的话就是权威？ 自己判断。
对中式 大量练习 情有独钟的， 上 新加坡math和 kumon
对中式 大量练习 不感冒的， 美式教育自有其内在规律。 跟着走就好了。实在忍不
住， amazon上好书挺多。
对神经生物学有研究的同修重点指出：大量重复练习对大脑发育没有影响。各式速算法
基本靠背。基因决定一切。 对此如有疑问， 向有关部门进一步查询。
中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
wikipage 和以下讨论， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学
的应用也没多大关系。
中国传统的数学教育（清末以前）有一个鲜明的特点， 以归纳为主。 这以与演绎为主
的几何原本形成了鲜明对比。 中土几千年没有形成严密的逻辑演绎体系， 几何原本和
天演论在历史上都承担了思想启蒙的作用。 新文化诸位达人想通过强调演绎（平面几
何）来开启民智， 以达到普及逻辑思维的目的 （用数学来普及逻辑是否恰当， 可以
讨论）。 不料有了高考， 悠悠万事， 重又回归重复练习， 直至21世纪。 抚古览今
， 感慨万千。 好在中国也在改，详情见V。
美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应用结合， 不强调在初等数学上大
量练习， 有其显而易见的不足： 基础不稳， 不扎实， 混了半天其实啥也没学到，花
里胡哨的， 微积分都会了（也不真正懂， 一变就不会了）还不会通分， 其实还不如
不学。 有人care， 有人不care，有人觉得糟的很， 有人觉得好的很， 自己选择。
随手翻了一本social science 的小学教科书。It covers: 历史， 地理， 科学和技术
， 宗教， 文化， 政治， 经济。 数学算是属于科学和技术这一支吧。 社会的每一个
分支都有上千年的积累。 都学，学得过来吗？ 都推， 这不浪费生命吗？
结论， 还是那句话： 尊重娃的兴趣，不要失去了学习和探索的乐趣。
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数学教育 一家之言系列之四，小学攻略
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说了那么多虚的， 还是攻略来的实在。
多年前回国，请教了一个极富经验的老师，把笔记列在下面，供大家参考.
（1） 会做加法，就可以引入代数的概念。 如：1 加 “大象” 等于 2.“大象”
是几啊？剑法，枷法 都在里面了。
（2） 会做加法，就可以介绍乘法。如：2×3 = 2 + 2 +2. 练了加法也练了乘法。
（3） 不背九九表。 每一个乘法都是同孩子反复一起计算得的。 刚开始都是从头
算， 慢慢小朋友自己就会有窍门了。 如： 3 × 7 = 七个三 = 3 + 3 + 3 +3 +3 +
3 +3 = 三个七 = 7 + 7 + 7. 又如小孩记住了4×5 但没记住4 ×6， 就可以问问从 4
× 5 怎么到 4 × 6.
（4） 除法从2开始。 一班初二，初三无需解释。娃都会。 会了后除4怎么办？ 先
除2， 再除2。除6怎么办？先除2， 再除3. 除8, 除9怎么办？你知道的。 到了这一步
，除5，除7 也会了。 公约数的初步概念也有了。分解质因数的初步概念也有了。
（5） 会做加法，多位数加法，不进位也会了。试着让娃自己找到进位的办法， 从
9+1开始。
（6） 多位数减法亦然
（7） 分数最重要的概念。 其次是约分。会了约分， 乘除就会了。 通分也会了。
会了通分，加减也会了。烩了约分， 比例的概念也有了。
（8） 会乘法，平方和平方根就可以介绍了。 一班小盆友算到19的平方都没问题。
（9） 会乘法，指数，根指数，和对数也不会有问题。 建议算2的一次方，2的二次
方，2的三次方。 应该鼓励小天星猜猜 2 的 零次方 是几。
（10） 解以下一元方程应该没问题：x+1=2, x-1 = 2; x*2 = 2; x/2=2; x*x=1.建
议让娃猜猜2x=x+1.
（11） 多位数乘除不用叫， 学校自然会教。
（12） 小数加减乘除不用叫，学校自然会教。
好像小学就这样了。不管你信不信， 反正我信了: 最重要的是不要丧失学习和探索的
乐趣！
下次回国， 一定要问问中学怎么学?!
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数学教育 一家之言系列之五， 变化中的中国中学数学教育
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好久没写 数学教育系列， 今天得空， 又来唠叨几句， 觉得有益， 您就赞， 觉得无
益， 板砖慢点拍。 I-IV 到可以在保留区找到。
中国一向自豪中学数学， 觉得 美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应
用结合， 强调螺旋上升， 不强调在初等数学上大量重复练习，不强调证明， 有其显
而易见的不足： 基础不稳， 不扎实， 算数只会用计算器， 混了半天其实啥也没学到
，花里胡哨的， 微积分学了等于没学， 甚至比不学还糟。 （更有极端者认为微积分
完全没有用， 学好四则混合运算就可以了， 此处不展开了）。
鄙人还真对此问题请教了国内一资深高级中学教师， 他的评论我整理了一下， 列在下
面， 也许对大家有帮助：
（1） 与世界各国比，中国的数学教育其内容陈旧是突出的。中国花大量的时间在初等
数学， 包括初等几何的训练上面， 而稍微近代一点的内容， 如矩阵和微积分训练很
少。
（2） 中国的数学教育极其强调演绎，几乎忽略归纳， 不符合教育原理和认知规律。
具体来说强调证明，完全忽略数学定理的发现和探索的过程。 但是人的认识规律总是
从特例到一般， 数学其实也不例外。
中国不是没有注意到此问题， 事实上大纲一直在改。 现在的中学数学教育与以前相比
， 差别很大。 举几例如下：
（1） 初中教材有了很大改动。 证明的成分大大降低， 联系生活的成分， 和鼓励学
生探索的成分增加。
（2） 高中大纲有了很大改动。 高中分为必修， 选修。 选修开设多个层次： 矩阵，
微积分， 计算机编程， 布尔代数， 线性规划， 都包括在选修里。 当然矫枉一定过
正。 现在选修也包括了 几何曲面的分类 等极具中土特色的topic
（3）虽然大纲有了很大改动， 中学教育未必马上能跟上。 不是每个中学都能把选修
课开出来 （ 几何曲面的分类 ：） ）。 老师的思维还是有一定的惯性。 还是以高考
为导向， 重复做题为基本手段， 鼓励探索和发现的成分太少。但毕竟不是在初等数学
里重复训练了。
由此看来， 是中国以行动在向世界靠拢而不是反过来。
大概我能记得的就是这些了。
不久前看一位家长的贴， 提到强迫小孩记九九表， 不禁莞尔。 见帖子 好的数学教育
从不背九九表开始 （或 数学教育一家之言 IV： 小学攻略）。
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数学教育 一家之言 后记
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我查了一下记录， 我从13年夏天写的 数学教育一家之言 I， 到今年 V， 应该把需要
说的都说了。 对象主要是 70后， 80后的父母。 当90后来到美国成长为父母时， 因
为他们的环境与70后， 80后大不一样， 应该不需要这些讨论。
有人感慨中国就像一幕快速放映的电影， 不但新的观察者不知道下面会是什么， 就是
看过前面一部分的观察者，也完全不知道下面会是什么。
不过还是回到parenting, 还是一句老话： 不要泯灭了孩子学习和探索的兴趣。
