千禧年大奖难题BSD猜想有了新进展：这些整数可以写成两个有理数的立方和

这项工作第一次明确了有多少整数可以写成两个分数的立方和。

今年早些时候，三位数学家讨论了数论中最古老的问题之一：有多少整数可以写成两个分数（有理数）的立方之和。例如，数字 6 = (17/21)^3 + (37/21)^3，而 13 = (7/3)^3+(2/3)^3。

几十年来，数学家们一直猜测整数中有一半可以写成这种形式，就像奇数和偶数一样。

但是没有人能够证明这一点，甚至没有人能够估计属于每个阵营的整数比例。根据数学家目前的了解，与最初的猜测不同，真正可以写成两个有理数立方之和的整数阵营有两种可能的情况：要么能分解的整数非常少，甚至可以忽略不计；要么几乎所有整数都可以写成两个有理数立方和的形式。

数学家已经计算出，如果世界七大数学难题之一 BSD 猜想被证实，那么大约 59% 的数字都可以写成两个有理数的立方和。但这个比例数据仅能提供一些参考而已。

如下图所示，蓝色方格内的数字可以写成两个有理数的立方和；其他则不能。

哈佛大学的 Barry Mazur 说：「与奇数和偶数不同，这两个阵营的划分是很微妙的。」没有测试过的数字就不能明确说属于哪个阵营，而测试本身也是一项挑战。

实际上，将一个整数分解成两个分数立方和，这个问题的意义不止是哪些整数可以分解，还有一个重要的意义是应用于椭圆曲线。椭圆曲线具有非常复杂的结构，这使它们成为纯数学和应用数学等许多领域的中心，特别是可以用于密码学领域来构建强大的密码。BSD 猜想是该领域的核心问题，克雷数学研究所曾在 2000 年为破解这一难题设置 100 万美金的奖励，但至今无人能给出完整的理论证明。

就在 10 月下旬发表的一篇论文中，三位数学家 Levent Alpöge、Manjul Bhargava 和 Ari Shnidman 证明了至少有 2/21（约 9.5%）和最多 5/6（约 83%）的整数可以写成两个分数的立方之和。值得一提的是，论文作者之一 Manjul Bhargava 在 2014 年因其对椭圆曲线研究做出的贡献而获得菲尔兹奖。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2210.10730

论文作者之一 Manjul Bhargava。

10 月发表的这项新工作建立在 Bhargava 过去 20 年与合作者一起开发的一套工具的基础上。

神奇的三次方

与两个分数的立方和相反，几乎没有任何整数可以分解成两个分数的平方和。1600 年代初期，数学家 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 想出了一个简单的测试来确定哪些整数可以分解成两个分数的平方和：先把整数分解成几个质数的幂的乘积，然后用 4 除每个质数，找到余数为 3 的质数，查看其指数，如果指数都是偶数，那么这个整数就能够分解成两个分数的平方之和；反之不能。例如 490 = 2^1 × 5^1 × 7^2。每个质数除以 4 时余数为 3 的唯一因数是 7，并且 7 的指数是偶数。因此，490 是两个有理数的平方和（490 = 7^2 + 21^2）。需要注意的是，绝大多数整数都未能通过 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 提出的偶数指数测试。

如果你随机选择一个整数，它是两个分数平方和的概率基本上为零。数学家认为，两个分数之和的四次方、五次方或任何大于三的次方也是如此。只有立方的总和才会变得丰富。

论文作者之一、希伯来大学的 Ari Shnidman。

在由两个变量构成的方程中（如两个立方之和方程），最高指数为 1 或 2 的方程，要么没有有理解，要么有无穷多，同时，最高指数为 4 或更高的方程通常只有有限的有理解。

相比之下，三次方程可以有有限多个解，也可以有无限多个解，或者根本没有解。「三次方总是这么与众不同」，哈佛大学的 Mazur 说道。

映射矩阵

今年 4 月，该研究团队在之前工作的基础上发现，只要一个立方和（sum-of-cubes）方程有有理解，就有办法构建至少一个特殊的 2 × 2 × 2 × 2 矩阵。

为此，该团队借鉴了两个已经研究了一个多世纪的经典课题。一个是「几何数论（geometry of numbers）」，涉及如何计算不同几何形状内的格点（lattice points）。

另一种称为圆法（circle method），由传奇印度数学家 Srinivasa Ramanujan 及其长期合作者 G.H. Hardy 完成。该研究是将圆法与几何数论技术相结合的首次重大应用。

使用这些方法，该研究证明，在所有整数中，至少有 1/6 的整数不存在 2 × 2 × 2 × 2 矩阵。这意味着在这些整数中，立方和（sum-of-cubes）方程没有有理解。所以在剩余不到 5/6 的整数中（大约占 83%），可以由两个分数的立方和构成。

论文作者之一、哈佛大学的 Levent Alpöge。

进一步的，该研究发现至少占据 5/12 的整数中恰好有一个匹配矩阵。

此外该研究还需要一种椭圆曲线研究人员称之为逆定理（converse theorem）的知识——获取有关三次方程的信息并使用它来构建有理解。逆定理是椭圆曲线理论发展的一个子领域，三人（Alpöge、Bhargava、Shnidman）求助于该子领域的两位专家——德克萨斯大学的 Ashay Burungale 和普林斯顿的 Skinner。Burungale 等人证明，至少在某些情况下，如果一个整数只有一个相关矩阵，那么这个数一定是两个有理数立方的和。

Burungale 等人的证明必须施加一个技术条件，将 5/12 的子集削减到 2/21，或所有整数的 9.5%。但 Bhargava 乐观地认为，Burungale 和 Skinner 或他们所在领域的其他研究人员将在不久的将来达到剩下的 5/12（总共约 41%）。 

证明了完整猜想——恰好一半的整数是两个立方体的综合，最终将需要处理具有多个关联矩阵的数字集。Bhargava 认为这个非常模糊的数字集包含了「是和不是」两个立方体和的数字，他表示处理这些数字需要全新的思路。

目前，他们很高兴最终解决了大部分整数的问题，并希望进一步探索证明方法。普林斯顿大学教授、数学家 Peter Sarnak 称赞道：「解释结果也许是件容易的事，但重要的是这些工具处于数论的前沿。」

原文链接：https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/

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