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三体开播前,帮三体人找找稳定解

三体开播前,帮三体人找找稳定解

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12月3号,也就是今天,国产科幻动画《三体》本应该要开播。可惜好事多磨,昨天传来了动画暂缓播出的消息。不过,作为《三体》粉丝,我觉得是时候写点什么纪念一下科幻史上这辉煌灿烂的一笔。

遥想四年前我读完《三体》的那个夏天,那时我还是头发茂密的物理系大一本科生。我第一次感受到科幻不仅能对技术做出展望,还能引发对外星文明、宇宙社会、甚至回归到人性自身的探讨。这次我们先不聊太空电梯、超强度纳米线、智子、引力波通讯、费米悖论、降维打击等天马行空的东西(也许播出后结合剧情一起写写),就先聊聊《三体》的基础背景设定,也就是在三星系统。

三体人的故乡 | 图源:《未来漫游指南》第2集38:16


1、 三星系统和混沌


《三体》假设在距离地球4.3光年的半人马座三星系统中,存在一种外星文明。现实中,这个三星系统是真实存在的。目前的观测结果表明,半人马座α星是质量为的黄绿色主序星,表面温度;半人马座β星是的橙色主序星,表面温度;比邻星是的红矮星,表面温度,它距离前两颗恒星有0.2光年,相当于太阳到奥尔特云的距离。所以目前的状态是,比邻星远远地望着α和β缠缠绵绵。

三星系统与我们的位置关系


2016年,人们发现比邻星具有一个位于宜居带的行星——Proxima Centauri b。它距离比邻星0.05个天文单位,质量至少为地球的1.07倍,半径约为地球的1.3倍,公转周期11.2个地球日。据估算,它的平均表面温度为-39℃。如果大气中存在一些温室气体,还是有可能存在碳基生命的。

已经确认的比邻星b、c和尚待确认的比邻星d | 图源:KOSMO


但我得吐槽一句,半人马座三星系统位于南半球天区,赤纬61°~63°S,而红岸基地位于43°N以北的大兴安岭,所以这三颗星全天都在红岸基地的地平线之下。只有27°N以南的华南地区,才有可能直接收到三体文明的信号。

说回正题,因为这三颗恒星目前可以看成一颗小红星远远地绕着双星系统转,所以万幸在接下来的百万年间,它们的轨道都比较稳定。

三体星系的轨迹示意。从该频道的动画来看轨道还算稳定,周期预计54万年 | 图源:KOSMO


但是!别看刚刚的示意图很有序,但这很可能就像天气预报那样不靠谱。而且,模拟时也会出现这种稳定之下暗流汹涌的结果。

稳定了,但不完全稳定 | 图源[6]


原著中,三体的一轮文明设计了人阵列计算机来计算运行轨迹,结果计算出恒纪元后没几天就变成了乱纪元,最终导致了这轮文明的覆灭。我随手跑了个程序,感觉当时的轨迹应该是类似这样子的。

横纵轴单位为A.U.,本次乱纪元持续约9个世纪


这里借用Zzzyt205做的更漂亮的三体模拟视频。虽然计算机做数值计算会存在精度问题,不等于实际发生的情况,但这个模拟结果足够说明三体星系多不适合生存了。

红黄蓝三颗恒星和一颗白色行星 | 特别感谢:bilibili@Zzzyt205


比如50秒左右,行星离三颗恒星都很近,此时三日凌空,行星变成炼狱。1分钟以后,行星不断远离三颗恒星,那就会出现漫长的冰期。又比如在第29秒和38秒,行星从一颗恒星转移到另一颗恒星,如果轨道高度低于洛希极限,那就会出现大撕裂。

未播出海报,目测应该是正剧中的大撕裂场面


那么,有没有可能把它们的轨道精确地写成解析式呢?早在牛顿时代,人们就发现两个物体在引力作用下的运动可以找到解析解,也就是用精确的数学表达式写出这两个物体的轨迹。这件事并不难,我们经常能在高中物理题里见到弱化版的双星模型。如果你有志于做物理研究的话,这类弱化成正圆轨道的题应该是十拿十稳的送分题。

送分题,请高中生自行学习


但是当问题变成三个物体时,别说高中生,就是一流数理学家,都束手无策。1890年,法国数学家庞加莱发表论文,说明对于三体系统而言,只要系统的初始状态发生一点点改变,就会对后续的运动产生极大的影响。1961年,美国气象学家洛伦茨在研究气象预报时,也发现稍微改变一点输入数据,预测结果就会大相径庭。11年后,他在美国科学发展学会第139次会议上提出著名的蝴蝶效应,“巴西的一只蝴蝶扇动翅膀,就可能在得克萨斯州掀起一场龙卷风”。由此,人们正式对混沌学科开展系统性的研究,三体问题也成了一个世界公认的难题。我们再重申一遍问题:三个物体在平方反比引力的作用下能否找到它们轨迹的解析通解

目前的结论是不能,代数上只能用无限多的级数去逼近,数值上也只能不断地迭代做有限差分求解。可以说,三体作为一个混沌系统,除了质心是稳定的以外,再也不能找出一点秩序了。

三体系统唯一稳定的质心 | 图源:Wikipedia


不过,我们总可以根据最新的观测结果更新模型的初始数据,从而实现在短期内做到一定程度的准确预报。随着算力的提升,迭代精度也可以不断增加,这在另一方面也能减小数值解的误差。


2、 稳定的特解


其实,三体问题也可以有稳定的周期解。最有代表性的就是欧拉-拉格朗日族、8字族和布鲁克-赫农族这三族(family)解。

8字族


布鲁克-赫农族 | 图源:[4]


不过直到十年前,人们也就只找到了这三族解。注意这里的用词,是三族解,不是三个解。

2013年,塞尔维亚贝尔格莱德物理研究所[7]的MilovanŠuvakov和VeljkoDmitrašinović,利用计算机,成功地找出了13族新的三体问题的周期性特殊解。他们使用的方法,是先从一个已知的周期解出发,然后在计算机模拟中不断调整系统内部的参数,改变初始条件,直到发现新的、稳定的三体运动模式。2015年,AnaHudomal用同样的方法新发现了14族解。

双弯曲三角+大圆|图源[6]


2017年,上海交通大学的廖世俊教授[8]利用天河二号超级计算机,新发现了669个周期解。从这里开始解的发现就不再按族算了,而是按个。比如这个扭曲的8字形轨道和糖果轨道。

扭曲的八字型轨道 | 图源[8]


糖果轨道 | 图源[8]


2018年,他们又新发现1349个解。2021年,他们又基于机器学习搞出了135445个解,而且称数值精度比普朗克尺度还小……果然人算还是不如超算啊。感兴趣的读者可以去参考资料[8]看看其他轨道。


3、 拉格朗日点


如果三体系统中,有一个天体的质量小到相对于另外两个天体可以忽略不计,那么对于这个小质量天体,就存在五个位置,可以让系统稳定地做周期性转动。这就是刚刚提到的欧拉-拉格朗日族中的一种情况,这五个点就是拉格朗日点。下面的推导非常优美,推荐有高一基础的读者看看,不感兴趣的读者可以直接跳到#晕轮轨道小节。

五个拉格朗日点


#

在前面的假设中,第三个物体对另外两个物体的引力可以忽略,所以我们先求解相距为的两体运动。

解得

然后再在之间放上,要求它能在万有引力的作用下一起绕质心公转

这是个关于的五次方程,没有解析的求根公式。所以我们需要上传统艺能——小量近似,。再把代入,就会发现关于的二次项也会消掉,只剩下一个可以轻松解出的三次项

#

类似,列出向心运动方程

做传统艺能,,解得

在这种小量近似下,非常优美。


#

这次我们选取的参考点不在地球,而是在相对于的对侧

做传统艺能,,解得


#

这部分是我觉得拉格朗日最牛的地方。先想象在可以构成等边三角形的地方放置一个,然后我们反过来证明,在这个地方产生的引力刚好能为提供向心力。

首先是证明合力方向指向公转中心O。由于,又因为,所以力合成的平行四边形和平行四边形CDOE是相似的,这样就证明了合力指向O点。

接着是证明合力大小刚好提供向心力。你当然可以套余弦公式把合力的大小和的长度算出来,来验证它们是符合圆周运动的运动方程。但更优雅的方式是,验证它们所受到的引力加速度总与公转半径成正比。第一个等号已经成立,而,其中分别是的单位矢量。代入第一个等号,。你会发现,用矢量的语言不仅说明了大小关系,还再一次验证了合力方向指向O点。

再仔细想想,上述利用矢量关系的推导过程是否绝对依赖于这个假设呢?你不妨试试把系统的公转中心放在三者的质心上,并重新考虑对另外两个物体的引力,会发现上述关系依然成立,之后总可以求出一个角速度,使得三者一起绕着质心公转。所以对于任意三体系统,这种等边三角形的圆周运动模式都是成立的。

木星轨道的特洛伊小行星群


木星的轨道上存在两群小行星,统称为特洛伊群,其中运行在木星“前方”的为“希腊群”,运行在木星“后方”的为“纯特洛伊群”。这两群小行星所处的位置,正是拉格朗日点。上图中紫色的部分是希尔达小行星群,它们的三角形轨道与木星形成2:3的轨道共振。希尔达小行星的远日点可能是这三个拉格朗日点,当它们连续绕太阳旋转三圈,会相继通过这三个点。

最后,恭喜你看完优美推导!再复习一遍五个拉格朗日点和相应的势能面,因为有意思的部分马上要来了。

再复习一遍五个拉格朗日点 | 图源:Wikipedia


#晕轮轨道

拉格朗日点理论上只是一个没有大小的点,但它对于航天探测有重大意义,因为航天器可以稳定地悬停在它周围的晕轮轨道上。1978年,人们将国际彗星探测器发往日地点,开启了对拉格朗日点的第一次应用。尽管它在2014年9月16日失联,但在这36年1个月3天中,它都恪尽职守地保持在点附近的晕轮轨道上。

你可能会好奇,点虽然在切向上看是势能极小点,但在径向上是势能极大点。也就是说,只要在径向有一点点偏差,就应该会万劫不复地坠入深渊。但上节的示意图考虑的是引力势+随日地系统同步公转的等效离心势,实际的运动轨迹并不是严格地一同公转。这就为晕轮轨道的存在提供了空间。比如,1995年发射的太阳和太阳圈探测器(SOHO),它的轨道俯视图就长这样:

SOHO的晕轮轨道


日地系统的点能在相对固定的位置避开部分太阳辐射,有利于天文探测,所以詹姆斯·韦布望远镜就选择在这点附近的晕轮轨道。

再想象一下,如果我们从日地系统切换到地月系统,那么地月系统的点就会是对月背而言极佳的观测点。这里需要补充一个背景知识,月亮因为潮汐锁定,它的公转周期和自转周期已经同步了,也就是说,它只有一个面固定朝向地球。

潮汐锁定 | 图源:星球研究所


鹊桥号所在的晕轮轨道 | 图源:星球研究所


例如鹊桥号通信中继卫星就放置在地月系统的拉格朗日点附近,为嫦娥四号在月背软着陆提供稳定的地月通讯信号转播服务。具体地说,鹊桥号在绕点的晕轮轨道上,随地月系统一起做周期运动。这样不仅能实现在月背上空的悬停,还能最大程度地节省轨道调整的燃料。

鹊桥号


到这里,我们讲了三体问题作为混沌体系在数学上没有解析通解,但存在一些稳定的特殊解,着重介绍了其中的五个拉格朗日点及其在航天上的应用。希望三体人的智子在扫描这篇文章时,能收获一些延长恒纪元的灵感,愿三体文明和地球文明和谐共存。


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参考资料:

[1] 既然三体运动非常不稳定,那太阳系为什么能稳定存在?- 知乎@UFO

[2] 拉格朗日点(平动点)的近似推导 - 知乎@Dr.Space

[3] 三体运动模拟 含行星修正版 - bilibili@Zzzyt205

[4] 上海交大科学家领衔提出求解三体问题周期解之路线图

[5] Alpha Centauri. What Does the Closest Stellar System Conceal? - youtube@Kosmo

[6] 为什么三体不稳定,我们的太阳系如此稳定?

[7] Three-Body Gallery

[8] Movies of the Periodic Planar Collisionless Three-Body Orbits in Real Space or on Shape Sphere - 廖世俊教授

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