多少人聚在一起，才会有50%的几率出现生日“双胞胎”？

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2022-12-21 14:12

图片来源：Unsplash

一个有趣的小问题：随机抽一组人，有50%的概率出现至少有两人生日在同一天的最少人数是多少呢？出人意料的是，这个问题的答案是23人。

撰文 | 查尔斯·Q.崔（Charles Q. Choi）

翻译 | 范嘉豪

审校 | 不周

当我们思考这个在统计学中被称为“生日悖论”的问题时，许多人会凭直觉猜想答案为183人。因为一年有365或366天，而183正是一年中的一半天数。然而直觉在这里却开始失效。

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统计学家吉姆·弗罗斯特（Jim Frost）表示：“我很喜欢研究此类的问题，因为这些问题背后往往反映出人们在概率问题上的不靠谱，甚至会因此做出错误的决策，或者得到错误的结论。而这也进一步表明数学对于我们的日常生活是多么重要。这些反直觉的问题往往很有意思。”他曾撰写过3本有关统计学的书籍，是美国质量协会的Statistics Digest的定期专栏作者。

那么弗罗斯特是如何得到生日悖论问题的答案呢？他先从几个假设开始展开思考，首先为了简化数学计算，闰年的情况被排除在外，其次假设所有的生日都为等概率出现。如果从2人的随机组合开始计算，第一个人与第二个人生日不同天的概率为364/365，那么生日同天的概率则为1-（364/365）≈0.27%。接下来，当随机小组人数达到3人时，因为前2人生日已经占据了2个日期，那么3人生日都不同天的概率为363/365，他们生日同天的概率则为1-(364/365)x(363/365)≈0.82%。

弗罗斯特指出，其实当随机小组中的人数增多，至少有两人生日同天的概率实际上是在增大，当人数达到23人时，两人生日同天的概率就会达到50.73%，而有57人时，则为99%的概率。

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弗罗斯特还谈道：“我曾听说过有位大学统计学教授会在统计学课上就生日悖论问题与学生打20美元的赌，他几乎每次都会赢，每学期总有学生会接受这个赌注，最后输得很惨！好在他事后会把钱还给学生，并在之后教给他们这一问题的解法。”

弗罗斯特认为生日悖论问题的答案之所以存在反直觉的地方，其一是因为人们会下意识计算某人某天过生日的概率，导致偏离了问题的核心，即实际上是否会有人过生日。其二是因为人们会想当然地假定既然一年有365天，要想使得至少两人生日同天的概率达到50%，那么小组人数就应为182，182/365≈50%。

然而关键的一点在于，人们忽视了这一事件的概率大小会随着样本数量的增加而增加，而且是以指数级速率增长。而人们对于指数增长的理解往往十分模糊。弗罗斯特还指出，其实另一个与指数增长有关的问题也与此类似，假如现实生活中某项服务从第1天1分钱开始收费，第2天2分钱，第3天4分钱，8分钱，16分钱......如果以此类推持续收费30天，那么相信大多数人都不会觉得这是个好买卖，因为随着指数的增长，第30天的总收费竟会增长到1070万元，由此可见指数增长的威力之大。

文章链接:

https://www.livescience.com/what-is-birthday-paradox