从《岩波数学辞典》(第4版)看20世纪数学的发展

20世纪是数学飞速发展的世纪。特别是在20世纪的后50年里，数学知识出现了前所未有的爆炸性增长，大量的重要问题得到了解决或取得了突破性的进展。如今的数学真正成为了人类知识范畴中最深奥难懂和最博大精深的一个领域，其抽象与艰深的程度登峰造极，这种状况对于学习和运用现代数学的人们来说造成了巨大的困难。

国内外数学界历来十分重视数学百科全书的写作，这是因为通过全面总结和展示现代数学的基本知识和主要成就，可以帮助人们更好地学习和掌握数学，并推动数学的进一步发展。与其他的学科完全不同，数学作为一门在本质上只研究抽象模式(Pattern)的理论科学，其发展更多地是依靠之前历史上所获得数学知识的积累和发展，所以百科全书这类著作对于数学的重要性要远超过其他学科。

早在一百多年前的1898年，人们就开始编写全面总结19世纪数学成就的德文版数学百科全书(Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften)，历时二十多年才告完成。

而到了上世纪的1977年至1986年间，前苏联的几百位数学家共同编撰了一部篇幅巨大的《数学百科全书》(Математическая энциклопедия)，它比较全面地总结了20世纪70年代以前的现代数学基本成就，它的出版颇受好评。不久，荷兰的莱德尔出版公司出版了由180位西方数学家参加翻译的英文版《数学百科全书》(Encyclopaedia of mathematics)。中国数学会在上世纪90年代组织翻译了这部长达5卷的《数学百科全书》(科学出版社，1994-2000年)。此外，国内还陆续出版过根据日本《岩波数学辞典》(第2版)翻译而成的《数学百科辞典》(科学出版社，1984年)、《中国大百科全书数学卷》(中国大百科全书出版社，1988年)、《数学大辞典》(科学出版社，2010年)等大型百科全书类的著作，它们的出版有力地促进了我国数学事业的进步和发展。

然而以今天的21世纪眼光看，尽管所有这些数学百科全书著作都有各自的优点，但是却有一个共同的不足之处，那就是它们基本上只反映了20世纪70年代以前的数学发展状况，所以还远不能满足人们在当下全面了解和学习现代数学的迫切需求。陈省身先生曾经在中文版《数学百科全书》的序言中说：

“

“数学是一种‘活’的学问：它的内容，不断在变化，在进展。我们现在大学研究院数学活动的内容，大部分在五十年前是不存在的，其他一部分则是昔贤伟大思想的精华，将历久弥新”，“面对着这座巨大的建筑，令人惶惑。百科全书原不为有涯之身所能控制的。数学工作者的使命在对某些选定的项目，增加了解和探索。”

”

随着现代数学各分支快速地交叉发展和日趋统一化，出版一部比较紧凑的、并且能够基本上覆盖全部20世纪数学的包罗万象的百科全书，变得比以往更为迫切了。令人感到十分高兴和振奋的是：现在居然已经有了这样的一部数学百科全书，它就是由日本数学会在2007年重新编撰出版的《岩波数学辞典》(第4版)，这部高质量的著作可以说是全世界范围内第一部能够比较完整地反映在整个20世纪里所取得的现代数学最基本成就的百科全书。

图1：《岩波数学辞典》(第4版)

《岩波数学辞典》(第1版)最早出版于1954年，共有591页。它试图按照布尔巴基的精神来全面总结20世纪上半叶数学发展的主要成就，即“自觉运用所谓抽象化方法，在不同分支中如果相同理论成立，那么就可由相同的公理对它们加以演绎，从集合、对应等一般概念出发，可以把全部数学在拓扑和代数的基础上重新进行组织。”从而将“全部数学尽可能透彻地纳入一个体系”，作为一部辞典，它“试图对数学及其各应用领域的重要术语都分别给出明确的定义，在介绍历史发展背景的基础上，叙述各分支研究的现状，并指出未来的展望”（见《岩波数学辞典》第1版序言）。

布尔巴基的高观点决定了这部数学百科全书从一开始就必定采用不同于其他同类书籍的写法。《岩波数学辞典》(第1版)最突出的优点是首创了中等词条的做法，并且在以后的各版中都延续了这一重要的做法，这为该书在以后的巨大成功奠定了坚实的基础。所谓“中等词条”，是相对于大的领域词条和小词条来说的，例如在写大的领域 “拓扑学”时，《岩波数学辞典》只写它所包含的“拓扑学(历史概述)”、“基本群”、“覆盖空间”、“映射度”和“复形”等二十几个中等词条。每个中等词条(可以大致看成代表了一个分支)实际上都是一篇有相当长度的简明扼要的综述性文章，里面又各自包含了该分支至少十几条或者几十条小词条（每个小词条对应了一个小分支）。这样，就不用再另外单独地写小词条了。中等词条的作用是将大量分散的小词条整合成了一个整体，从而可以让人们看到各个小词条之间内在的有机联系。

《岩波数学辞典》(第1版)的主编弥永昌吉这样解释为什么要使用中等词条：“为了很快查到各术语的定义，小词条是比较方便的，但是数学已成为系统的学科，把相互关系密切的概念纳入一个（中等）词条下进行说明，可以在和整体的联系中正确掌握各个概念，同时能省去冗长的说明，也是有利的。”而与此相反，一般的数学百科全书基本上采用的都是小词条的写法，这样就容易导致出现内容庞杂、主次不分和理论的整体条理不清晰等缺点，这种写法对于像现代数学这样的高度抽象和复杂的理论学科来说，很可能会让人不得要领，甚至感觉像是陷入了定义和定理的汪洋大海而迷失了方向。

1968年，日本数学会根据当时数学新的发展状况，继续出版了《岩波数学辞典》的第2版，该版增加了不少像“范畴与函子”、“K理论”、“Abel簇”、“层论”和“同调代数”这样的新中等词条，同时还大幅度修订了许多原有的中等词条，使第2版的篇幅增加到了1140页，几乎是第1版的两倍。在5年以后的1972年，美国麻省理工学院出版社出版了《岩波数学辞典》(第2版)的英文第1版，书名为Encyclopedic Dictionary of Mathematics，它立即获得了欧美数学界的高度关注，例如布尔巴基学派的著名数学家J.Dieudonné就在第一时间专门写了书评，登载在《美国数学月刊》1979年第3期上。

在1985年，日本数学会紧接着又推出了《岩波数学辞典》的第3版。在第3版的前言中，主编伊藤清说，在第2版出版后的17年里，数学内部进一步的交叉融合发展与数学对外部科学世界的大量应用，使得有必要出版第3版，以及在此基础上的英文第2版(它在1987年出版)。该版中等词条的数量从原来的436条增加到450条，其中原有的许多中等词条得到了大幅度的改写与合并，总页数也增加了50%。

接下来，时光又过去了20年。在进入到了21世纪的2007年，人们终于等来了《岩波数学辞典》的第4版。在这重要的20年里，现代数学更富有戏剧性地向前发展，达到了辉煌的顶峰，费马大定理和庞加莱猜想等一系列重大问题最终获得了圆满的解决，并且在几乎所有的数学分支学科里都发生了更显著的变化，不仅各分支之间的联系不断加深，而且数学对自然科学和社会科学的应用也进一步扩大。日本数学会认为：《岩波数学辞典》的第3版已经完全不合时宜了，这20年的数学发展都必须反映在《岩波数学辞典》的第4版中，从中可以看到现代数学的各分支比以往更加融合，现代数学统一化的趋势应该更加明显。与前面的第2版和第3版相比，第4版的变动最大，所增加的新的中等词条几乎占到了总数的三分之一，达到了515个中等词条，并且对原有的大部分中等词条也都进行了大规模的改写与扩充。所有的参考文献也作了全新的调整，尽量提供最新的以及更容易找得到的基本文献。第4版的总页数比第3版增加了20%，达到了1976页。

与第2版相比，《岩波数学辞典》(第4版)可以说几乎就是一部全新的著作。特别是在数论、群论与表示论、代数几何、微分几何学、拓扑学、复分析、泛函分析等基础数学领域，以及应用数学和计算数学的领域中，涌现了大量的新分支学科。其中尤其以数论、代数几何、微分几何与拓扑学等领域表现得最为明显，它们在《岩波数学辞典》(第4版)中所新增加的相关内容的篇幅是原来篇幅的两倍以上，显示了这些分支学科在20世纪最后30年里所取得的巨大进步。许多表现前沿分支的新中等词条由于内容极其丰富，所以写得特别长，例如“自守形式”和“志村簇”等词条就是这样。此外为适应应用数学和计算数学众多分支的迅速增加，《岩波数学辞典》(第4版)还专门增加了“应用分析”、“离散数学与组合论”和“信息科学中的数学”这三个领域。

除了大量吸收现代数学的新成果外，《岩波数学辞典》(第4版)还特别注重提高各词条文章的可读性，它尽量采用最现代标准的数学记号和术语来清楚简明地给出数学概念和定理，用平易的语言尽量深入浅出地解释其所包含的意义和内涵，其中不乏真知灼见。此外为了让读者更好地了解高深复杂的现代数学的来龙去脉，《岩波数学辞典》(第4版)还对几乎所有的各主要领域或分支的历史概述词条都作了一定程度的扩充和介绍。

下面按照数学领域的划分，详细列出了《岩波数学辞典》(第4版)中全部的中等词条，并且对各个领域的发展历史作了一点非常简单的介绍。

一、数学基础和数理逻辑领域

数理逻辑与数学基础(历史概述)，形式体系的语义学，形式体系与证明，可计算的函数，模型论，稳定性理论，非标准分析，顺序极小(o-minimal)理论，公理集合论，力迫法，大基数，描述集合论，递归理论，判定问题，不可解度，可构造序数，证明理论，Gödel不完全性定理，算术的非标准模型，类型论与λ-计算，Herbrand定理与分解原理，非标准逻辑，悖论。

二、集合与点集拓扑领域

集合，关系，等价关系，函数，选择公理，基数，结构，排列与组合，数，实数，复数，序，序数，格，Boole代数，拓扑空间，度量空间，平面区域，收敛，连通，维数，一致空间，一致收敛，范畴与函子，归纳极限和射影极限，层论。

三、代数学领域

代数学(历史概述)，矩阵与行列式、多项式与代数方程、域与伽罗瓦理论、线性空间、张量积与外积、群论、有限群、有限单群、结晶体群、典型群、拓扑群、紧群、李群、李代数、代数群、环论、代数、模论、群表示论、代数表示论、同调代数、Hopf代数、交换环与诺特环、范畴与函子、不变量理论、幂级数环、唯一分解整环、交换环的同调理论、优秀（excellent）环、Hensel环与逼近定理、理想的胎紧闭包（tight closure）、二次型、Clifford代数、微分环、Witt向量、赋值论、阿代尔与伊代尔、Cayley代数、Jordan代数、格论、Boole代数、对称空间、齐性空间上的群作用、不连续群、模表示、酉表示、无限维表示、群作用与不变量、D-模、量子群、无限维李代数。

抽象代数起源于19世纪伽罗瓦等数学家在群论方面的工作，在20世纪初数学公理化的思潮中，又出现了环与域的抽象理论。

线性代数的基本理论也产生于20世纪初，后来又进一步发展成了关于环上的模的理论。与此同时，表示论也发展了起来，群表示论是其中最基本的内容。简单地来说，群表示论是把一个抽象的群与比较具体的矩阵联系起来，使得群中的运算对应到矩阵的乘法（此时称这种联系为群在有限维线性空间上的表示），这样就能够将群论中的问题转化为容易解决的线性代数问题。此外，群还可以表示在无限维线性空间上，这时就可以运用分析学的方法来解决群论的问题。

从1930年代开始，随着范德瓦尔登的两卷名著《代数学》的发表，抽象代数得到了进一步的发展，抽象代数方法被运用到了数学的各个领域中，特别是数论领域和代数几何学领域。

李群和李代数理论的研究在20世纪有了很大的发展，例如人们发现，李群的齐性空间的拓扑不变量由对应的李代数的权、根和外尔房来决定。古典的调和分析与紧李群的表示论密切相关，由此形成了非交换调和分析的理论。从半单李群理论中，还发展出了代数群和谢瓦莱（Chevalley）群的理论。

在1950年代，由于受拓扑学发展的影响，同调代数诞生了，由此促进了同调方法在数学的其他分支学科中的运用。例如在代数几何中就用到了关于交换环的同调代数理论。

在20世纪的下半叶，对代数的结构和代数表示论的研究取得了很大的进步。

四、数论领域

数论(历史概述)，初等数论，连分数，数论函数，堆垒数论，素数的分布，数的几何与数论中的逼近，超越数，丢番图方程，二次域的数论，代数数域的数论，局部域，类域论，岩泽理论，代数K理论，算术几何，费马大定理，数域上的代数群，自守形式，志村簇，Dirichlet级数，函数，准齐性向量空间。

例如对属于数论领域的“算术几何”这个中等词条，《岩波数学辞典》(第4版) 又将算术几何这个分支进一步分成了“ 进上同调”、“同余zeta函数和Weil猜想”、“Hasse-Weil 函数”、“BSD猜想”、“Hasse-Weil 函数的特殊值”、“主题（motive）”、“混合主题与主题上同调”、“局部域上的代数簇”、“ 进上同调”、“代数的基本群”和“Arakelov几何”这11个小分支来分别加以论述。对每个小分支，《岩波数学辞典》(第4版)都详尽地给出了相关理论的思想和历史背景、最基本概念的含义及其性质、最主要的定理结论和研究进展状况、以及最新的参考文献等。

在20世纪初，希尔伯特的《数论报告》深入研究了代数数域的伽罗瓦扩张与素理想分解之间的关系，并由此开启了代数数论进一步发展的大门，后来导致出现了1920年代的类域论、1930年代的局部域与局部整体原则、1940年代的有限域上函数域的算术和函数域上的黎曼猜想（即Weil定理）的证明等重要成果。

20世纪的下半叶数论领域所取得的最主要成就是：代数簇的算术理论、分圆域理论、朗兰兹猜想、Weil猜想的证明、莫德尔（Mordell）猜想的证明、费马大定理的证明。由于数论领域中所使用的方法不断翻新，因此涌现了数论领域中一系列新分支学科。数论领域成为了大量数学理论的应用场所，用以检验这些数学理论的有效性，例如算术几何就是将代数几何的方法运用到数论里而产生的一个新分支学科，其中的Weil猜想是通过运用了格罗滕迪克的平展（étale）上同调理论而得到证明的。

五、代数几何学领域

代数几何(历史概述)，代数曲线，代数曲面与复解析曲面，代数簇，层及其上同调理论，有理映射与奇点，除子与Abel簇，闭链与周环，代数空间与形式概形，极化簇，代数簇的拓扑与比较定理，代数向量丛，Hodge理论，Abel簇，有理簇与Fano簇，双有理几何，环面簇，相交理论，奇点理论，模空间问题。

19世纪代数几何主要的研究对象是代数曲线。在20世纪，数学家们转向代数曲面和高维代数簇的研究。人们开始运用抽象代数、整体微分几何和拓扑学的方法来精确地描述代数簇的各种几何性质，在1960年代，格罗滕迪克通过创立概形理论，为代数几何建立了一个牢固的逻辑基础，并且由此促进了代数几何的大发展。

另一方面在20世纪中，复数域上代数几何的超越方法也有了重大的进展，例如有Hodge的调和积分理论的应用、小平邦彦等人的变形理论等成果。在20世纪的下半叶，模空间理论的研究取得了很大的成就，人们对代数簇的分类有了更多的了解。大量的代数几何经典问题得到了解决，并且在解决的过程中形成了不少代数几何领域新的分支学科。

六、几何学领域

几何学(历史概述)，欧氏几何，欧氏空间，非欧几何，射影几何，仿射几何，共形几何，埃尔兰根纲领，几何基础，几何作图问题，正多面体，圆周率，三角学，二次曲线与二次曲面，凸集，坐标，向量分析，曲线，曲面，四色问题，组合几何。

几何学领域相对来说比较经典，因此其中包含的新分支学科很少，在这里只列出了一个：组合几何。

组合几何（又称为几何组合学）是对欧氏几何内有限个几何对象的配置分类、组合计数进行研究所产生的数学理论，它与计数几何、图论、离散几何等分支学科都有些交叉。组合几何也属于组合数学的范畴。

七、微分几何学领域

微分几何(历史概述)，流形，Riemann流形，联络，张量与旋量，整体Riemann几何，齐性空间的微分几何，G-结构与等价问题，复流形，调和积分，曲线与曲面的微分几何，子流形的微分几何，极小子流形，几何测度论，调和映射，Morse理论，仿射微分几何，Finsler空间，积分几何，谱几何，刚性与几何群论，辛几何与切触几何，模空间与偏微分方程，一些新的几何分支介绍（如Twistor空间、Calabi-Yau流形等）。

在19世纪，微分几何学主要还是研究流形的局部性质，而到了20世纪，几何学家们开始研究流形的整体（或大范围）性质。De Rham在1931年证明了流形的上同调不变量可以通过微分形式的计算来得到，接着霍奇证明了一个十分重要的定理：在紧黎曼流形上，每个上同调类中都有唯一的调和微分形式，这样，人们就能够用微分几何和分析的手段来获取流形的上同调不变量。

在1930年左右，数学家们发现了一类重要的复流形，称为凯勒（Kähler）流形，它具有和黎曼度量相类似的凯勒度量。在凯勒流形上，可以建立起关于调和积分的极其有效的Hodge理论。由于射影代数簇也属于凯勒流形，因此人们研究代数几何又多了一种微分几何的方法。

在1940年代，联系流形的局部与整体性质的高斯-博内定理被陈省身先生推广到了高维，然后他由此发展了陈（省身）示性类的理论。陈类理论后来被用来表达高维的黎曼-罗赫定理，后者又进一步发展成了阿蒂亚-辛格指标定理。

在20世纪的下半叶，微分几何学与拓扑学、微分方程、复分析、代数几何和数学物理等领域进一步加强了联系，从而获得了迅速的发展。

在讲解整体微分几何的起源时，《岩波数学辞典》(第4版)扼要地叙述了H. Hopf在1920年代开始研究黎曼空间的局部微分几何结构与整体拓扑性质的联系、微分流形概念的产生促进了李群整体理论的诞生、de Rham和Hodge用微分形式来表示拓扑不变量、Kähler流形理论的产生、流形上高斯-博内定理的证明和示性类的发现、Bochner用调和形式刻画Kähler流形、C. Ehresman建立主丛上的联络理论，以及所有这一系列发展与Yang-Mills联络及4维流形等现代数学理论之间的关系等。通过这样的简单历史介绍，就能够使读者大致明白整体微分几何的宗旨就是建立起微分流形的局部微分性质与整体拓扑性质的紧密联系。

八、拓扑学领域

拓扑学(历史概述)，基本群，覆盖空间，映射度，复形，同调论，不动点定理，同伦论，纤维丛，障碍理论，示性类，拓扑K理论，纽结理论，变换群，可微映射的奇点，叶状结构，动力系统，低维动力系统，双曲动力系统，保守动力系统，动力系统中的分歧，流形的拓扑，指标定理，3维流形，4维流形，几何拓扑。

早期不用抽象代数的拓扑学也被称为组合拓扑学。在20世纪的上半叶，引入了同调群的基本概念，这标志着代数拓扑的诞生，然后数学家们建立了系统的同调论和同伦论。

微分流形的整体理论起源于从代数拓扑的角度，对纤维丛与示性类的深入研究，而托姆（Thom）的协边理论、米尔诺（Milnor）关于7维球面 上不同微分结构的发现，都导致了微分拓扑的产生。

1960年代形成的拓扑K理论是一种广义的上同调理论，它充分运用了向量丛的稳定类。

从阿蒂亚-辛格指标定理出发，人们系统地发展了指标定理理论，它在刻画流形的拓扑性质方面具有很重要的作用。

对3维流形和4维流形的研究也非常重要，这方面的研究已经取得了很大的进展。动力系统理论最早起源于常微分方程的定性理论，后来数学家们运用了微分拓扑的方法来研究微分流形上的常微分系统，建立了结构稳定性理论，由此促进了动力系统的发展。

纽结理论是拓扑学领域中很重要的一个分支学科，它与低维流形的拓扑性质的研究密切相关。

九、分析学领域

分析学(历史概述)，连续函数，不等式，凸分析，有界变差函数，微分学，算子演算，隐函数，初等函数，-函数、超可微函数和拟解析函数，积分学，线积分和面积分，测度论，积分理论，不变测度，长度和面积，分形，级数，渐近级数，多项式逼近，正交函数系，Fourier级数，Fourier变换，小波，调和分析与实分析，殆周期函数，Laplace变换，积分变换，位势论，调和函数与上(下)调和函数，Dirichlet问题，容量，变分法，Plateau问题，等周问题。特殊函数，母函数，椭圆函数，Γ函数，超几何函数，球函数，合流型函数，Bessel函数，椭球调和函数，Mathieu函数，q级数，多重对数函数，特殊正交多项式。

分析学领域中的数学理论也比较经典，它们大多在19世纪和20世纪初就已经形成，其中就包括了数学分析（高等微积分）、实变函数论、经典的调和分析、变分法等理论。当然在20世纪，分析学领域中的许多研究也有不少的进展。

十、复分析领域

复分析(历史概述)，全纯函数，幂级数，全纯函数族，全纯函数最大值原理，解析函数边界性质，单叶函数，值分布理论，复逼近论，Riemann面，Riemann面上的分析，复动力系统，共形映射(即保角映射)，拟共形映射(即拟保角映射)，Teichmüller空间，Klein群，多变量解析函数，解析空间， 方程，全纯映射，多重下调和函数，CR-流形，核函数，Siegel区域，周期积分。

复分析领域的主要研究对象是全纯函数（或解析函数），这个领域可以分成一元的复变函数论与多元的多复变函数论这两大部分。

数学家们在19世纪就已经建立了复变函数论的初步理论，其中就包括了黎曼面（或黎曼曲面）理论和椭圆函数理论，这些理论对后世的影响很大。在20世纪，值分布理论、拟共形映射、Teichmüller空间等重要理论的研究取得了很大的进展。

在20世纪初，人们开始研究多复变函数论。由于多复变函数非常复杂，所以就用到了微分几何、代数几何、拓扑学、微分方程等领域中的许多理论与方法。

十一、泛函分析领域

泛函分析(历史概述)，Hilbert空间，Banach空间，有序线性空间，拓扑线性空间，函数空间，广义函数与超函数，向量值积分，线性算子，紧算子与核型算子，插值空间，算子的谱分析，算子不等式，线性算子的摄动，算子半群和发展方程，Banach代数，-代数，函数代数，von Neumann代数，非线性泛函分析。

泛函分析的起源可以追溯到Volterra在1887年的重要工作，那时他就提出了算子这个重要概念，算子将函数变成函数。如果算子的值域是数域，那么算子就成为了泛函。Volterra与Fredholm在研究积分方程时，提炼出了泛函分析的基本思想，然后在此基础上，希尔伯特研究了从希尔伯特空间上的连续算子，他的一个重要发现是连续谱。

在1929年，冯·诺伊曼（von Neumann）证明了一个十分重要的定理：希尔伯特空间中的闭线性算子T有实谱分解的充要条件是T是自共轭算子，这个结果为量子力学奠定了必要的数学基础。

在1932年，数学家巴拿赫（Banach）引进了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间的概念，他证明了一系列关于巴拿赫空间中闭线性算子的基本定理，其中包括开映射定理、闭图象定理和一致有界定理等，这些定理以后又被布尔巴基学派推广到了局部凸拓扑线性空间中。

巴拿赫代数在1936年被引进，盖尔范德（Gel’fand）在这方面的基础工作，使得巴拿赫代数后来成为在研究局部紧群的线性表示理论时的重要工具。

同样在1936年，索伯列夫（Sobolev）通过运用微积分中的分部积分公式，给出了函数概念和导数概念的一种推广，这个推广在1945年被施瓦兹（L. Schwartz）进一步发展成了广义函数的理论。广义函数是定义在函数空间上的连续线性泛函，它给出了物理学家狄拉克的 -函数的一个合理的解释。

十二、微分方程领域

微分方程论，常微分方程的初值问题，常微分方程的边值问题，线性常微分方程，线性常微分方程的局部理论，线性常微分方程的大范围理论，非线性常微分方程的局部理论，非线性常微分方程的大范围理论，Painlevé方程，非线性振动，非线性问题，稳定性，积分不变量(即积分不变式)，差分方程，泛函微分方程，全微分方程，偏微分方程的解法，亚椭圆性与可解性，偏微分方程的初值问题，复数域中的偏微分方程，一阶偏微分方程，Monge-Ampère方程，椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程，混合型偏微分方程，偏微分方程理论中的不等式，Green函数与Green算子，积分方程，积分微分方程，特殊微分方程，微局部分析与拟微分算子。

20世纪的常微分方程理论的研究主要有三个方面：解析理论（例如用常微分方程来描写自守函数），定性理论（后来发展成为动力系统理论）、各种常微分方程应用的研究。

偏微分方程理论在现代数学中具有很重要的作用，它是联系一些数学分支学科和自然科学各个学科之间的一个桥梁。在20世纪30年代前，偏微分方程主要研究部分数学物理方程经典解的求法。从30年代起，各种泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人们致力于寻求偏微分方程的广义解。到了60年代，数学家们又将微分算子发展成了拟微分算子，后来进一步发展成微局部分析方法。

在线性偏微分方程理论发展的同时，对各种非线性偏微分方程的研究也获得了许多进展，为此人们不断发展出各种各样的方法来解决大量复杂的非线性问题。

十三、计算数学领域

数值分析(历史概述)，线性方程组的数值解法，非线性方程组的数值解法，特征值的数值计算法，数值积分法，常微分方程的数值解法，偏微分方程的数值解法，有限差分法，有限元方法，函数值计算法，自我校正(self-validating)方法。

计算数学也称为数值分析。在20世纪40年代计算机出现后，科学技术对数值计算方法的需求大幅度增加，为此人们发展出了计算函数值、求积分值、求代数方程和线性方程组的解、求微分方程的数值解的实用方法，特别是可以用很有效的有限元方法来求偏微分方程的近似解。在各种算法的理论研究中，不仅要研究算法的稳定性，以便能够很好地控制不可避免的计算误差，还要尽量提高算法的收敛速度。

十四、应用分析领域

数学模型， 反应扩散方程，自由边界问题，变分分析，流体力学方程，守恒定律，非线性波动方程与非线性色散方程，散射理论，反问题，黏性解。

最近几十年来，微分方程领域与数学物理领域交叉发展，迅速形成了一系列新的分支学科。应用分析领域就是由这些新的分支学科组成的一个新领域。

十五、概率论领域

概率论，概率测度，随机过程，极限定理，Markov过程，Markov链，Brown运动，Lévy过程，鞅，扩散过程，随机微分方程，Malliavin随机分析，测度值过程，Gauss过程，平稳过程，遍历理论，随机控制与随机滤波，统计物理中的概率方法。

在20世纪30年代，概率论被建立在了严格的数学公理化基础之上。人们用概率测度空间 来描写随机现象，其中的是所有可能结果的样本空间， 是事件 -代数， 代表各个事件的概率。这样，数学家们就可以运用测度论来研究概率论。

在概率论的测度论基础建立之后，概率论便获得了快速的发展。例如对随着时间而变化的随机过程的研究就是这样，这方面的研究包括了马尔可夫（Markov）过程和马尔可夫链、鞅、平稳过程、高斯过程等内容。就像过去用微分方程的解来定义新的函数一样，人们也用随机微分方程的解来定义新的随机过程。

遍历理论最早起源于统计力学，后来它发展成为一门与平稳过程理论密切相关的重要分支学科。

十六、数理统计领域

数理统计学(历史概述)，统计模型与统计推断，统计量与样本分布，统计估计，假设检验，多元分析，鲁棒与非参数方法，试验设计，抽样方法，保险数学，时间序列分析，随机过程的统计推断，统计计算，信息几何。

数理统计是和概率论一起发展起来的，数理统计的方法可以应用在自然科学和社会科学的各种专门领域中。

在20世纪初，著名的“学生” 分布的发现开启了对于小样本统计推断的研究，随后费希尔（Fisher）创立了关于假设检验、估计量、置信区间的基本理论。

从20世纪的中期开始，数理统计有了多方面的发展，其中就包括了多元统计分析、大样本统计、贝叶斯统计、非参数统计、信息几何等。

十七、离散数学与组合论领域

离散数学与组合论，图论，计数组合学，拟阵，设计理论，离散几何，极值集合论，代数组合学。

离散数学与组合论领域是一个专门研究离散结构性质的数学领域，它的研究内容十分广泛，包括了排列、整数分拆、集合划分、偏序集、图论、拟阵、区组设计、编码、凸多胞形、计数组合学、Ramsey（拉姆齐）理论、组合最优化、几何组合学等多方面内容。

在现代数学中，往往对应着不少研究连续性质的数学对象的分支学科，都有相应的离散（或组合）数学对象的分支学科，例如有许多像“离散代数拓扑”和“组合交换代数”这样的交叉分支学科。

十八、信息科学中的数学

信息科学中的数学(历史概述)，形式语言与自动机，计算复杂性理论，信息论，编码理论，密码学，计算机代数，计算几何，随机数与Monte Carlo方法。

信息科学主要研究的范围是：在自然科学和社会科学的各个学科领域中，不同信息的取得、度量、存储、传递、分析、处理、利用和控制的普遍规律。信息科学中的数学理论主要包括了编码理论、信息传输理论、信息处理理论、计算机代数、密码理论等。

十九、最优化理论领域

数学规划，线性规划，非线性规划，半定规划与整体最优化，网络流，离散凸分析，整数规划，组合最优化，动态规划，随机规划，对策论，互补性问题，控制论，运筹学，证券投资(portfolio)理论，Markov决策过程。

最优化理论的目标是：怎样在运用和筹划各种有限的资源时，达到最大的效益。对于各种最优化的理论，一般都要研究最优解的条件、具体算法的设计、算法的收敛性与收敛速度、计算复杂性分析等。

二十、数学物理领域

单位制，量纲分析，变分原理，力学，天体力学，宇宙物理学，三体问题，流体力学，等离子物理学，湍流，复杂系统，相变，振动与波动，几何光学，电磁学，网络与回路，热力学，统计力学，相对论，统一场论，量子力学，Lorentz群，Racah代数，二次量子化，场论，S矩阵，Feynman积分，基本粒子论，重正化群，可解模型，孤立子，共形场论，物理学中的逼近方法。

数学物理主要研究以物理问题为目标的数学理论与方法。在20世纪初期，数学物理方程是数学物理的主要研究内容，这些数学物理方程来自于连续介质力学、热学和电磁场理论。从那时以后，在等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术和核技术等领域又提出了不少新的偏微分方程，其中就涉及到了孤立子波、间断解、分歧解和反问题等方面的研究。

20世纪蓬勃发展的物理学也对数学理论的需求越来越大。例如相对论要用到整体微分几何，量子力学与量子场论则建立在了泛函分析的基础之上，正交群和洛伦兹（Lorentz）群的各种表示理论，对讨论具有时空对称性的许多物理现象有很重要的作用，对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论（其中用到了纤维丛上的联络理论）的诞生。此外，由于物理现象具有某种随机性，所以在像统计力学这样的物理学科中，还需要用到随机过程的理论。

二十一、数学史领域

埃及与巴比伦数学、希腊与罗马数学，中世纪西欧数学，阿拉伯的数学，印度的数学，中国的数学，日本的数学，文艺复兴时期的数学，十七世纪的数学，十八世纪的数学，十九世纪的数学，Abel，Artin，Bernoulli，Cantor，Cartan，Cauchy，Dedekind，Descartes，Dirichlet，Einstein，Euler，Fermat，Fourier，Frege，Galois，Gauss，Gödel，Hilbert，Jacobi，Klein，Kronecker，Lagrange，Laplace，Lebesgue，Leibniz，Lie，Newton，Pascal，Poincaré，Ramanujan，Riemann，Siegel，Turing，Viète，von Neumann，Weierstrass，Weyl，Weil，关孝和，高木贞治，冈洁。

关于现代数学的发展历史方面，值得注意的是《岩波数学辞典》(第4版)还增加了对20世纪数学发展产生过重大影响的数学家Weil、Siegel以及Emil Artin等人的介绍。