用这种瓷砖铺房间，你会得到永远不会重复的图案

爱因斯坦瓷砖 图片来源：维基百科

撰文 | 玛农·比肖夫（Manon Bischoff） 艾莉森·帕歇尔（Allison Parshall） 

翻译 | 仇艳菲 

审校 | 陶兆巍

戴维·史密斯（David Smith）是英国约克郡的一位数学爱好者，他发现了数学家数十年来一直在寻找的十三边形。这种轮廓崎岖、形似帽子的图案被称为“爱因斯坦（einstein）”，但这个名字与著名物理学家爱因斯坦没有任何关系，而是源于德语单词“ein”（意为“一”）和“stein”（意为“石头”），也就是“一块石头”。“爱因斯坦瓷砖”指的是有这样性质的瓷砖：如果你用一些完全相同的这种瓷砖去铺浴室地板——或者任何（可以是无穷大的）平面——它们都能非常完美地拼合在一起，填满整个平面，并且不管你怎么铺，它们都不会形成重复的图案。

几十年来，数学家一直在寻找像这样只能形成非周期性排列的瓷砖组合，用这种瓷砖组合去密铺平面也被称为“非周期性密铺”（当组合里只有一种瓷砖时就得到了爱因斯坦瓷砖）。起初，数学家找到的瓷砖组合用到了大量不同形状的瓷砖：1964年数学家[华人数学家王浩指导的博士生罗伯特·伯杰（Robert Berger）]发现了第一组非周期性密铺方案，它需要20 426块不同形状的瓷砖。后来又被缩减到103块。到了1974年，数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现了两种瓷砖形状，它们可以像马赛克一样拼起来，形成永不重复的排列，这一非周期性密铺也被称为“彭罗斯密铺”。

但传说中的“爱因斯坦瓷砖”是否真的存在？或者说，能否只用一种形状的瓷砖就实现非周期性密铺？多丽丝·沙特施奈德（Doris Schattschneider）是美国摩拉维亚大学一位研究密铺的退休数学家，她此前对此就很怀疑。“这就是为什么这个结果如此令人吃惊，因为这种形状不仅存在而且它还如此简单。”她说，“我感觉这简直有点离谱。” 2022年11月，史密斯正尝试用一个叫做“多边形拼图求解器”的软件拼接各种不同的形状，结果发现了一种爱因斯坦瓷砖，它由八个筝形，或者说十六个相同的30°直角三角形组成，看起来像只帽子。与许多数学家预测的扭曲、复杂的形状完全不同，它是如此的简洁优雅。

史密斯给加拿大滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）发了一封邮件，卡普兰随即意识到这很可能就是传说中的“爱因斯坦瓷砖”。虽然这种图案的密铺似乎永远不会出现重复，但两人还需要在数学上证明：即使密铺的平面无限大，它也永远不会重复。为此，他们招募了软件开发人员约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯（Joseph Samuel Myers）和美国阿肯色大学的数学家查姆·古德曼-施特劳斯（Chaim Goodman-Strauss），他们过去都曾在密铺和组合学领域做过研究。

研究人员找到了两种不同的证明方法。首先，他们展示了这种帽形瓷砖能够组成四种特定形状的“元瓷砖”。这些元瓷砖又能组合成与它们形状类似、功能相同的更大尺寸的瓷砖，也就是“超级瓷砖”。四种超级瓷砖又可以进一步组合成更大尺寸的超级瓷砖。数学家已经证明，这种分层结构就意味着瓷砖不能分割成重复的部分，因此它们必然是非周期性的（这个证明技巧是伯杰发明的）。对于第二个证明方法，团队发明了一种新的方法，使得他们可以将帽形瓷砖与更广为人知的非周期性瓷砖“多联钻石”（polyiamonds）瓷砖进行对比。在这个过程中，团队还展示了可以通过调整这种瓷砖的某些侧边长度，制造出无限种类似的爱因斯坦瓷砖。

然而，即使有了这些证明，数学家还是没有找到一个普适的理论来解释为何这个简单的帽子形状如此特别。“这仍然是个未解之谜，”美国普林斯顿高等研究院的数学家蕾切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld）说。“或许还有更多类型的爱因斯坦瓷砖有待发现，但这顶几何帽子并没有透露线索，”美国史密斯学院的退休数学家马乔里·塞内查尔（Marjorie Senechal）表示， “这些都是人们偶然间发现的。”

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