龚光鲁教授与钱敏平教授采访录

访谈时间：2023年2月14日  

访谈人员：李向东研究员（中国科学院数学与系统科学研究院）

访谈地点：北大中关园龚光鲁教授与钱敏平教授寓所

2023年2月14日，受中国概率统计学会的委托，我拜访了龚光鲁教授与钱敏平教授，并对他们进行了近三个小时的采访。在采访过程中，两位老师谈了他们求学、治学、教学的经历，回顾了中国概率统计发展中的一些重要人物与重要事件。在采访录音和笔记的基础上，我整理完成了这篇采访录。在本文的整理过程中，两位老师进行了认真的审核，并对文稿部分内容进行了修改。

两位老师是我们中国概率统计界的前辈，从他们身上我看到了中国知识分子所具有的那种生活上甘于清贫、学问上学无止境的风范。他们的治学态度、以及他们对年轻学子的关怀爱护和殷切期望，令我深受感动。

万林研究员帮助我联系了两位前辈并陪同我进行了采访，丁昊博士帮助我对初稿做了一些整理工作， 王宇钊副教授仔细阅读并指出了多处打印错误， 杨瑛教授对文稿提出了许多有益的建议、帮助查找了有关资料、并提供了两张珍贵的照片。在此，谨向诸位同行表示衷心的感谢。

李向东

2023年9月16日

龚光鲁，男，汉族，祖籍上海崇明, 1936年出生在山东青岛。初中就读于杭州浙大附中, 高中就读于上海复兴中学, 1954年就读于北京大学数学力学系，1959毕业留校。1987年转为清华大学应用数学系教授, 北京大学数学科学学院兼职博导，曾任清华大学概率统计教研室主任，2004年退休。

1990年国家教委第四届博士生导师, 兼职于北京大学概率统计系博士点。

1995年中国自然科学奖评审委员会委员。

1986同列教委科技进步二等奖。

他在随机过程及其应用领域开展了多方面的研究工作, 有五十余篇文章发表于国内外著名学术刊物上。著有 《随机微分方程引论》、《概率统计》， 合著有 《随机过程论》、《应用随机过程论》等。

他的研究兴趣为微分流形上的随机过程、随机微分方程、随机分析、扩散过程、智能计算、金融数学等。

曾主持6项自然科学基金项目、于1981年、1985年、1987年、1989年、1996年、2005年、2007年、2008年、2009年，先后访问日本、美国、德国、 法国、新加坡等多所大学。曾任中国概率统计学会第五届常务理事，《Mathematical Review》与《Zentralblatt》评论, IEEE Transactions on Automatic Control 与 Annals of Probability 的审稿人。

钱敏平，女，汉族，1939年7月出生于四川成都，江苏无锡人。1962年毕业于北京大学数学力学系并留校任教，1979年赴美国华盛顿大学与UC Berkeley进修两年。1987年晋升为教授，2004年2月退休。主要从事随机过程的理论及应用和复杂系统分析的算法及应用研究，近二十多年来还从事计算分子生物学的模型和计算方法研究。在这些领域发表论文百余篇，曾编著《随机过程论》（1990, 1997, 2021）、《随机数学》（2004）、《应用随机过程》（1998）、《应用随机过程教程》（2004）、 《应用随机过程—模型和方法》（2016）等书。

曾任北京大学概率统计系副主任、概率论教研室主任，《数学进展》编委及中国数学会概率统计分会常务理事等职。1986年获国家教委科技进步奖二等奖（与钱敏等合作），2001年获北京市科技进步二等奖。是概率统计系指导研究生最多的博士生导师之一，退休后仍一如既往参与和指导多个学生讨论班。

龚光鲁教授和钱敏平教授伉俪，摄于2014年

李：龚老师、钱老师好！感谢两位老师接受我的采访！首先请龚老师您先谈谈您的个人情况和受教育经历。

龚：我1936年出生，1954年到北大数学力学系，1959年毕业后留校，在北大工作到1986年，后转到清华工作，一直到2004年在清华退休。一开始的时候我是学泛函分析的，1958年大跃进的时候不让学纯理论的东西，我就转到概率统计来了。那个时候概率统计是北大数学系的一个教研室。

李：那个时候许宝騄先生还在吗？

龚：还在。

李：您是跟哪位老师学的泛函分析呢？

龚：跟着关肇直老师学，我是第一批学生。关肇直当时在北大开课，是全国第一个泛函分析课，那时候还没有教科书，关肇直的书那时也没出来，都是凭关肇直自己讲，我们记笔记。所以他等于开办了中国第一个泛函分析的讲座。他在科学院数学所工作，但是是在北大上课。

钱：五十年代的时候，北大和科学院的关系比现在要密切得多，数学所的很多研究员基本上都兼任北大的兼职教授或者是到北大来上课。

龚：我这一届有几个新的专业，比如说多复变，就是华罗庚、陆启铿来上课。主要是华罗庚来上课，带出了一批人，包括最近去世的陈志华，他比我小两岁吧。

钱：当时华罗庚和陆启铿在北大上课， 上完课以后就带他们的大学生毕业论文。我们那个时候大学本科是六年，在这之前是五年制。从我们这一届开始，因为1958年搞运动之类的都没怎么上课，当时就很担心这批学生上大学没学到多少东西，所以从我们这届开始五年制就变成六年制。所以，我们都受了一点所谓的专门化教育。

李：是，当时就有泛函分析专门化，还有数论函数论专门化。

钱：龚老师也受了一点专门化教育。

龚：我们那时候的水平绝对超过英国的硕士毕业水平。

李：再请钱老师谈谈您的个人情况和受教育经历。

钱：我的经历大概是这样，我是1939年出生，1956年考上北大，然后念了六年直到1962年毕业，毕业以后就在北大没动过。

李：老北大了。

钱：基本上是终身北大，大部分人生都在北大，而且也献给北大了。新中国从五十年代开始就进行了一定程度的科研安排和教育革命。1953年的时候，国家有一个自然科学发展的规划，在这之前几乎只有极少的人懂得什么叫概率论，什么叫统计，什么叫微分方程，那时候计算机也还没有，计算数学也没有。但是到了大约是1954年的时候,  有关部门就开始制定了一个中国科学发展的规划，1956年公布的1956年到1967年中国科学技术发展的远景規划中正式提出“向科学进军”的口号，并指出数学要重点在三个方向上大力发展：一个是概率统计，一个是微分方程，还有一个是计算数学。其中没有基础数学，因为基础数学本来就有了，而在那个时候都还没有人明确以概率统计为研究方向的，于是就动员了一部分人去研究这几个方向，那时候他们也都还年轻。

李：您能谈谈北大的概率统计发展吗？

钱：因为北大有了许宝騄先生， 他在上世纪三十年代就已经在概率统计领域，特别是统计领域，作出了重要贡献，所以他那个时候已经是国际知名了。上世纪三十年代，许先生先是到英国，后来到美国去，内曼(Neymann)是他的导师。我记得1980年我到Berkeley去，当时内曼还活着，我在那里是visiting faculty。有一天内曼在我的信箱里留了个条子，他在条子上写：传言说你是P.L. Hsu(许宝騄）的学生，他是我最好的学生，你是不是有时间到我办公室来聊一聊。所以说，内曼非常喜欢许先生，因为他把内曼-佩尔森理论进一步系统化，然后用于做多元分析。

李：对。

钱：所以，我们北大概率统计是有基础的。但是当时没有这个专业，也没有几个人跟着许先生学概率统计。1952年院系调整以后很快就提出来了要发展三个方向，于是北大就成立了概率统计教研室、微分方程教研室还有计算数学教研室，然后还有原来已经成熟的代数几何教研室、分析教研室。为了要发展概率统计，许先生就领头办了一个概率统计培训班，全国各个学校抽调他们的人到北大来，和中科院数学所一起开办了概率统计培训班。他们有的就住在北大，有的人算中科院数学所的进修生，一起参加概率统计的培训班。

龚：其中有王寿仁先生。

钱：梁之舜、王寿仁、郑曾同三位老师已经是教员了，他们帮着许先生，但主要还是许先生在那儿张罗讲课的事。张尧庭先生已经是北大的教员了。

龚：他是许先生的大管家，56年北大毕业，然后留校工作。

钱：胡迪鹤也是北大出去的，他是1957毕业，张尧庭是1956年毕业，他们两个后来都是北大的教员，文革后为解决两地问题调离北大。

龚：学习班的时候胡迪鹤还不是教员，那时候他还没毕业。

钱：所以胡迪鹤也是参加学习班的。总之，全国各地都派了人来，第一届概率统计学会的那些理事，百分之九十是从这个班里面出来的。那个时候教研室底下的概率统计专业是很正规的，我们也是受到比较正规的培养，所以，要说真正的概率统计专业的学生，我们56年是第一届。我们上面有两届，其中有韦博成。

李：韦博成是东南大学的吧？他后来搞信息几何。

钱：对，他是北大统计毕业的。

钱：还有汪仁官，在苏州大学。还有昆明的王学仁，后来他就做概率统计在地质学中的应用研究，很有成绩的。他们都是那个北大培训班的学员。

李：那个班有多少学员呢？

钱：三、四十个吧。

龚：基本上是北大的、中山的、南开的。

钱：不止！还有华东师大的茆诗松。不过茆诗松还没赶上学习班，当时他还比较小。但是华东师大主要有一个美国回来的统计学家，叫做魏宗舒。

李：魏宗舒。

钱：魏宗舒是学统计的，他是从美国回来的，比许先生要晚个5到8年吧，但他在美国拿了博士学位又工作了一些时候，然后大概五十年代回来的。那么因为他原来学统计，所以他在华东师大就建立了一个统计的group。

李：那南开大学原来有哪些人？

钱：南开的跟我们有点不同，南开有两个留学俄罗斯的，一个王梓坤，一个胡国定。

李：一个是学随机过程，一个是学信息论。胡国定跟江泽民主席是同学吗？

钱：不，他是江泽民主席的党支部书记。

2011年8月27日龚光鲁教授75岁华诞活动在香山（左起：刘勇，谢践生，钱敏平，龚光鲁，杨凤霞，向开南，席福宝，方海涛，王家赠，徐佩，彭胜兰，陈大岳）。摄影：杨瑛

龚：他那时是江主席的上级。

龚：江泽培也是到莫斯科大学做进修教师。

钱：江泽培他当时在北大。江泽培的哥哥江泽坚在吉林大学。

李：后来江泽培是搞两弹去了吧？

钱：他去过，他大概是1961年去的二机部。1954还是1955年的时候，江先生去的莫斯科大学。

李：他也是学信息论是吧？

钱：不是，他是学随机过程的，他的正式导师就是柯尔莫哥洛夫，他跟我讲他一到莫斯科就要确定研究方向，于是柯尔莫哥洛夫就找他谈。去莫斯科之前江先生的泛函分析基础就很好，他念过Riesz和Nagy的书，写过两篇论文。所以柯尔莫哥洛夫就让他做平稳序列方面的工作，给了他Doklady Akademii Nauk SSSR上一篇摘要性的两三页的文章，该文就是关于平稳序列的预测内插和外推。

李：1949年维纳(N. Wiener)出了一本书就是研究平稳序列的预测内插和外推。（采访者注：Nobert Wiener, Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series: With Engineering Applications, MIT Press, 1949)

钱：对。但是我说的这篇文章是柯尔莫哥洛夫的文章，三几年的。柯尔莫哥洛夫做的是一维的随机序列，他建议江先生做二维和高维。江先生读了柯尔莫哥洛夫的文章以后就把他的结果做到了平稳随机场的预测外推内插，他在这个问题上的研究是首创的。（采访者注：相关论文见：A. N. Kolmogorov, The local structure of turbulence in an incompressible fluid at very large Reynolds number, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 30, 1941, 229--303.  A. N. Kolmogorov, The distribution of energy in locally isotropic turblence,  Dokl. Akad. Nauk SSSR, 32, 1941, 19-21. Chiang Tse-pei. On the linear extrapolation theory of a homogeneous random field. Teor. Verojatnost. i Primenen. 2 (1957), 60-91. English translation in Theory of Probability and its Applications, Vol. 2, Iss. 1 (1957)10.1137/1102003. 柯尔莫哥洛夫在《40年(1917-1957)来的苏联数学：概率论、数理统计》（中译本 第5页）中指出：“齐次及具有齐次增量的随机场的外推问题的研究由江泽培开始。” ）

钱：这里还有个故事：第一届伯努利世界大会，我去参加了，我们一些被俄罗斯科学院邀请发言的代表就住在同一个旅馆里头。开会的时候就有Rozanov，他写了一本Random Fields的书。(采访者注：Yu A. Rozanov,  Markov Random Fields, Springer-Verlag, 1982.) Rozanov写书的时候已经是莫斯科大学的教授。江先生在那儿做进修教师的时候，Rozanov是柯尔莫哥洛夫的研究生。

龚：当时他们的工作大致是这样：江先生做的是半平面的情形，可以推广到任意高维的半超平面。在江先生工作的基础上，Rozanov做了在半平面外又加上半条线的情形。

李：您说的伯努利会议是哪一年呢？

钱：1986年，组织和参加会议的还有Yaglom，Yaglom比Rozanov名气更大。

龚：有两个Yaglom，兄弟两个。(采访者注：这里所指的应该是A. M. Yaglom, 著有论文A. M. Yaglom, Homogenuous and isotropic turbulence in a viscous compressible fluid, Izv. Akad. Nauk SSSR, 12, 1948, 501-522. (In Russian),  A. M. Yaglom, Some Classes of Random Fields in n-Dimensional Space, Related to Stationary Random Processes, Theory of Probability & Its ApplicationsVol. 2, Iss. 3 (1957), 273-377.）

钱：Yaglom实际上是做随机过程、随机场预测或者是其他一部分统计理论的世界先驱，很有名的。Yaglom是柯尔莫哥洛夫第一代的学生，他也写了很多书。当时他也在场。当时柯尔莫哥洛夫把文章题目给了江先生以后，实际和江先生讨论相关问题的，就是Yaglom。

龚：Yaglom实际上具体指导江先生。

钱：他在莫斯科大学实际上是江先生的准导师。当时在会议上，我看见了Yaglom，因为他等于是我的师祖对吧，所以我就上去跟他打了个招呼，我说我是北京大学的钱敏平，江泽培先生是我的导师，然后他就说江先生很优秀。接着Rozanov就插话了，他问我是不是许先生的学生，我说许先生应该算我的师祖，因为江先生送给许先生文章上写的是“宝騄吾师指正”，所以我说我不能算许先生的直接学生，许先生应该算是我的师祖。许宝騄当然是所有在座的人都知道，于是他们就讲起说我的academy father，那就是江先生，也是 very talent。这是Rozanov给我们说的。

钱：我进北大以后从1959年下半年开始就进入专门化教育了，然后就开始学三门基础课。

李：三门基础课是哪些课？

钱：一门随机过程，江泽培先生授课；一门分析概率论，胡迪鹤授课；一门数理统计，张尧庭授课。

李：用的书是谁的？

龚：分析概率论用的是许先生的一个讲义。

钱：我们上学的时候，用的是许先生的讲义，但那时候跟我们讲课的是胡迪鹤老师，因为许先生当时肺结核是开放性的。

李：所以就不能够去上课了。

钱：嗯，我们上讨论班呢也是到许先生家里去。从我们开始，概率统计就分了三个方向，一个是统计，那就许先生指导；一个是随机过程，江泽培先生指导；一个是博弈论，那是赵仲哲先生指导，因为他很早就去世了，所以你大概不会知道。本来安排我去学统计，因为我自学过一点泛函分析，我就去找江先生，我说我不太喜欢统计，更有兴趣学随机过程，然后江先生好像也还乐意，就把我收下来了。

李：大概是在1959年？

钱：差不多1961年，我们就开始上讨论班。龚老师那时候已经是北大的教员了，江先生认为他泛函分析懂得比较多，就叫他给我们补一补我们缺的泛函分析知识。当时他就给我们讲了八次，四个礼拜吧。讲他自己写的综述性的稿子，就讲Hilbert空间酉算子半群的谱理论，那时候这些东西都没有适合初学者看的书呢。

李：80年代和90年代，我们是读Rudin的泛函分析。

钱：那是后来的教科书，Riesz和Nagy那本书不是教科书。

李：那个时候泛函分析可能还没有非常成熟的教科书。

钱：对，当时关肇直在北大开泛函分析是属于世界前沿的。

李：对，他是跟 Fréchet学的泛函分析。

钱：他是做Fréchet 空间。他是从法国回来的，当时科学院的那些大佬们，包括吴新谋，关肇直，田方增，华罗庚，陆启铿等等那些你知道的大佬们都在北大上课，他们上课的主要目的是要找接班人，事实上都从北大“抓到”了。

李：华先生就“抓到”了钟家庆，是吧？

钱：对，陈志华、钟家庆、张广厚、 杨乐、吕以辇都是那时去数学所的。当然他们并不全部都是跟华先生学。

钱：反正当时就是这个情况，所以我们这个年级是同时从北大的和科学院的两边都受益了，而且当时江先生（江泽培）既是数学所的概率室主任，又是北大概率统计教研室的副主任，之所以是副主任，是因为许先生是主任。那么我就跟着江先生做随机过程，其实那个时候江先生主要是做平稳随机过程。

李：龚老师也是在1960年前后跟江先生来做随机过程？

钱：当时我们年级很占便宜，我们这个年级有很多有名的人，杨乐、张广厚什么的都是我们同年级的。我们概率统计专门化的学生上三门基础课，一个是我刚才说的一个分析概率论，一个是平稳随机过程，还有一个是数理统计。

龚：那时候马氏过程还没出来。

钱：嗯，那时候马氏过程还不太系统，还是在专著的水平上。当时江先生给我们讲全国第一次随机过程的课，但是那个课实际上讲的是平稳随机过程。

李：现在好像对平稳随机过程不太重视了。

钱：能研究的问题已经解决了，所以它后来变成 prediction之类的问题了。平稳性也不要了，但它的方法和思想就变成信息论了。江先生当时同时也是科学院的信息论室主任，我们很幸运，既受到了英美派老教授的指导，同时从苏联回来的这一批人又把苏联学派的东西传授给我们，特别对概率论来讲更是如此。

李：从随机过程的角度来说，苏联是在那个时代最好的地方之一。

钱：其实柯尔莫哥洛夫的概率空间，对于普通的初等概率论，你懂不懂都没关系，它真正的意义其实是在马氏过程，如果再宽一点，就是一般的随机过程。有了它以后才有随机过程的理论基础。

钱：我们那个时候三门基础课学完了以后，最后一年做毕业论文，江先生就把柯尔莫哥洛夫给他的关于随机序列的东西，包括他自己在Doklady Akademii Nauk SSSR上发表的一个两页多的摘要交给我了。

李：一代传一代。

钱：江先生把任务交给我之后，我认真学了一遍，当然也有柯尔莫哥洛夫的论文，然后就是江先生的文章。

李：这是您本科毕业论文时期要做的一件事情？

钱：当时我其实相当于现在硕士生嘛，一共就一年，能做到多少东西？所以江先生的最低要求就是要我把他的证明补出来。他的那篇文章三页，就几条定理、概念、定义，然后他说你先去把整个文章补全了，后来我把他的文章补了有二、三十页了，我那毕业论文的稿子我还保留着的。

李：您的稿子还在，方便的话能否给我看看或者您到时候发个照片好吗？

钱：我写了一篇纪念江先生的文章，我可以把那个发给你。

李：好， 谢谢您。

钱：毕业论文上还有一个江先生的评论。我那个时候没有打字机，也更加没有什么复印机，所以每改一次，我就得重写一遍。那份论文在我交给江先生之前，我起码改了五遍，直到我自己认为没问题了，就用蝇头小楷写了这么一本，交给江先生。江先生很厉害的，你有一点小错都会被他挑出来。有一次全国概率统计推荐出国的全国性考试有一个考题有漏洞，那么多人看了都觉得没问题，到江先生手里就纠出错误来了。他是非常严谨非常仔细的人，因为我知道他很严谨，所以我也很怕他。我这个人是很sloppy的，但是为了交给江先生，我也就比较仔细地对待，江先生就在毕业论文上面用红笔改，结果在毕业论文上面批了好多红的，比如说这个地方没有说透啊，哪里说的不恰当，他就索性就着纸改，上头还有红的。我拿回来一看，好多红的啊！哈哈！然后我再重新根据江先生的意见写一版，那都是手写的，这就是我的大学教育。所以，应该说我们很幸运，有接受正规的专门化训练。其实我们本科相当于现在的硕士生了。

李：那个时候专门化就相当于是硕士生，有专家的指导，而且是在最新的研究方向上的探索。

钱：龚老师跟我那个时候都在江先生讨论班上，江先生让他跟我们讲泛函分析，那个时候我们还没在一起。后来呢，他想来找我，需要一个理由，我当时做了毕业论文，江先生就告诉他，我在江先生论文的基础上走了一步，我做了一个Markov条件，即一个平稳随机场是一步Markov的充分必要条件。这是我自己想的题目，我把它证出来了，我往前走了这一步。江先生把我这个结果告诉他了，于是他就有个理由来找我说，江先生说你有一个研究成果，我想来看看。以此为借口，所以某种意义上说江先生也是帮我们推了一推对吧。

李：千里姻缘一线牵，近在咫尺也需要有人牵牵手。

钱：嗯，给他的一个理由嘛。教育方面我想我已经讲的太多了。我写了一篇江先生的回忆录。提到一些江先生对我们的教导，可以参考吧。

李：我们再进入第二个问题。请回忆一下中国概率统计学会成立的背景，特别是第一届和第二届概率统计学会的理事和常务理事人员的构成，是否有当年的纸质材料留存？

钱：从第一届和第二届概率统计学会开始我就参加了。第一届概率统计是在改革开放前，大概是1976年粉碎“四人帮”后不久在广州开的。

龚：77年我还没有回到概率界。

钱：那个时候他还在东方红炼油厂。他1975年得了一场脑炎，然后差不多耽误了一年，脑炎恢复了以后，他就被分到北大的应用数学教研室。

龚：是，那时候的应用数学教研室主任是肖树铁。

钱：我们回到第一届、第二届概率统计大会。我记得第一届是文化革命以后，到底哪个算第一届哪个算第二届我讲不清了，反正我开始参加的第一次，那一次就是全国性的，大家都去的。那次全国概率统计大会是在广州。那时候选的理事长是江先生，然后副理事长是梁之舜，还有统计的是魏宗舒，还有的我说不全了，这个你可以问北师大的李增沪，他们好像整理了一个数学会概率统计分会的整个历史。

李：好的。

钱：概率发展中的重要事件，一个就是是北大牵头办的全国性的一个研讨班，这个是很关键的。

李：1956年是最重要的，而且正好是数学三个新方向规划以后举办的研讨班。

钱：嗯，应该说这个新方向发展的具体措施就是在全国办了概率统计的讨论班，而且事实上后来全国至少有百分之七八十的概率统计方面的人都参加了。比如说梁之舜，他是先留法后来留苏的，然后他参加讨论班也带了一批人来，这批人回去就建立了中山大学的概率统计，所以中山大学的概率统计专业在全国算是很强的。复旦大学是郑绍廉，还有像云南大学以前的校长也是搞概率统计的叫王学仁，也都是这个北大研讨班出来的，当然还有北大、中山大学、南开。

李：华东师大呢？华东师大统计就是魏宗舒？

钱：华东师大是不是我不敢确定，因为华东师大的group是魏宗舒建立起来的。

钱：1956年有两件事情，还有一件事情是莫斯科大学派了邓肯 (E. Dynkin) 到中国来讲学，就在北大。

李：那他到北大来讲学访问了多久呢？

钱：讲了几个月吧，我记得很清楚，那时候我一年级，我看着Dynkin在里面讲课，我就在那探头探脑。

李：他可能也在科学院做过报告。

钱：当然，那时候科学院的概率论跟北大的概率是不分家的。

李：嗯，合在一起的，因为你说江先生既是北大的教研室副主任，又是科学院的室主任，当然就不分家了。

钱: 不光是江先生，许先生是概率统计方向唯一的学部委员（现称院士），当时学部委员是很少的。

李：Dynkin的主要邀请人应该就是许先生。

龚：那时候学术在政治面前地位是非常低的，只有56年的时候才好一点。

李：56年相当于科学的小春天了。

钱：嗯，这两个东西都是在“随机运动”，有的时候学术日子就好过一点，有的时候学术日子就难过一点。但是当时在发展概率统计，莫斯科大学就派了Dynkin到北大来，主要来讲马氏过程。

钱：还有一个事情就是，在文化大革命之后，各个学校就开始在恢复工作，我觉得这应该说一下。文化大革命前夕，有一个“马氏过程讨论班”。

龚：可能不是“马氏过程讨论班”，是“随机过程一般理论”，在严加安他们回来以后。

钱：反正有一个学 potential theory的，他们办了个讨论班，在此期间南开的王梓坤回来了，在南开他也办了吸引外校人参加的一个讨论班，侯振挺就是从王梓坤讨论班出来的。其实后来做马氏链什么的很多人都是从他的讨论班出来的。还有重大的事情，我觉得第一届的概率统计学会这个也很重要，就等于建立了章程。这一届的重要性就等于成立大会，以后行事基本上是照这个章程的，而且行了几十年。

李：请两位老师回顾一下中国概率统计发展中的重要事件。

钱：重要事件讲的差不多了。我还想补充一下。那时候文化大革命全国都是分成两派，一个是革命派的，就是比较激进的；一个是跟领导比较一致的一派，就像北大就有一个新北大公社，还有北大井冈山，就是有两派，两派打得非常激烈，清华也有。在文化大革命过去以后，大概到1975、1976年开始，学校就开始逐渐招生，一开始还不是全国的公开招生，是推荐工农兵，但至少学校不再乱糟糟了，开始规规矩矩每天上课了，每个系都上课，不管水平怎么样。后来全国招生当然是里程碑了。学生的水平不仅恢复到文化大革命前，我觉得比文化大革命前其实还要高，因为挑选的对象更多了。

李：好像说是77届那一批招生，其中有很多老三届的，他们中的一部分很拔尖。

钱：他们积累了十年，十年里想念书的那些精英都集中在这个77届和78届，1977年还没有全国普遍招生，那时候还有很多条件，1978年开始就不谈阶级出身什么的了，谁都可以报名参加了。1977年的时候还有很多公社推荐、公社批准的，出身不好的还没法上。

龚：我们毕业的时候，要读研究生的话，那也要批准的。

钱：整个文化大革命期间，我们哪派也没参加。因为我们不愿意多管这些事情。到了文化大革命后期，工宣队进校以后要派一批人去工厂，我非常幸运，工宣队进校前夕我生了个孩子，我们的工宣队队长就对我说：你刚生孩子不久，你还是留在北京学校里劳动吧，所以我就在学校里劳动。然后那个时候要派一部分留在北京的人，到各个工厂、研究单位里去进行联系实际的活动，也就是数学为工业服务的活动。

李：相对于华罗庚搞的小分队。

钱：对，就是小分队。当时我参加的小分队里的学概率的只有两个人，一个谢衷洁，一个是我。北大在地质仪器厂小分队里懂概率统计的，特别懂滤波的就我们两个人。华罗庚的小分队主要是做优选法，我们做数学的应用，就是在地质仪器厂做去噪声相关的信号处理工作，我正好懂得一点信号处理的基本原理的，我们整个小分队里就我们两个人懂这个，他们剩下的都是计算数学或基础数学的，编程序的。

李:   原来江先生给你的题目里面就有滤波的。

钱：对，就有滤波。所以后来小分队觉得我在那干活也老老实实的，就让我去油田。我干了八年找油相关的地震信号数字处理。我们给他们办了两期短训班，培训了一批人，这些人后来都是油田里做数字处理的骨干了。所以我就在整个文化大革命期间，有机会很早（大概是72年、73年）开始使用计算机处理数据了。那时候全国快速处理百万次以上的计算机没几台，150是国产的，但他们还从美国进口了“双机180万次”计算机。

李:   北大已经有这个了？

钱：北大没有，是石油部，石油部有钱，而且石油部找油的任务也很紧迫。他们其中有相当一部分工作人员是我们帮他们培训的，所以说我有比较早的机会做数字处理， 全部地或者部分地做了八年。也因此对于怎么在计算机上利用复杂系统做分析，我就有了那么一点了解，而且我对应用也挺有兴趣的。

李：您后来不是做生物统计，生物概率吗？

钱：我很长时间就一直做模式识别什么的。其实人工智能的这几把刷子都是一样的，所以现在我不是有一只脚踩在应用上了嘛。

李：这是源自于那八年的积累。

李：您对Deep learning， AI，ChatGPT怎么看？

钱：我一开始做一点复杂系统分析，因为我认为复杂系统分析里最重要的东西其实是有随机影响下的复杂系统。而且时至今日，你比如说 Chatgpt，Alphago之类的，这些东西的本质是什么呢？或者我这样说：深度学习的要点是什么? 它解决两个问题，一个是系统的复杂性，以前大部分的系统其实都是准线性，或者线性。但是事实上，客观世界里非线性其实是非常重要的，没有非线性就没有混沌，也就没有各种各样的吸引子之类的，没有吸引子之间转化来转化去的过程， 对吧？所以非线性是很重要的一条。第二条，就是随机性。最近成功的deep learning，他们所谓的深度学习或者叫做AI，成功在哪？就是 deep learning同时能够考虑这两个因素，一个是非线性，一个是随机性，怎么同时考虑这两个因素呢？非线性你怎么克服的？很简单，任何复杂的非线性函数，只要它有一定的光滑性或者连续性，就可以看分片线性，一阶分片光滑函数。所以几乎所有的分片光滑函数都可以。

李：分片光滑化。

钱：对，神经网络所代表的就是这样的函数。其实很简单，我们把它分成一块一块，每一块上的代表其实就是个线性组合加上下限切割，但是有了这个就分成一块一块了，每一块都是局部线性的。这是神经网络，我在二十多年以前研究过三年神经网络。神经网络刚出来的时候，我是正儿八经的研究过。冯建锋他做的毕业论文，是跟我做的神经网络相关内容。

李：两位老师在北大的《数学进展》上有一篇文章，题目好像是概率模型的统计力学方法，是这个题目是吧？我还记下来了。

钱：冯建峰是我的第一个博士生，当时我觉得神经网络就是一个描述非线性现象的一个重磅武器。

李：这是有前瞻性的。

钱：我当时就带着冯建锋做这个事情。他的毕业论文其实是神经网络中的数学研究。神经网络形容的系统其实就是分片线性函数，他可以把一个网络分成好多层。Deep learning就是层数很多，不只三层四层，是很多层。但是柯尔莫哥洛夫有条定理，就是任何的复杂的函数，只要三层就够了。

李：这个结果挺有意思。

钱：这个是上世纪搞神经网络的人动不动就搬出来的定理。那么后来在神经网络的基础上，我就思考要怎么把随机性给掺进去，但是我一直没有找到一个很好的切入口，把随机性跟神经网络自然地连在一起。这在我心里一直是个问题。

钱：现在还有一些什么问题呢？你任何一个处理都是个transformation，所以你需要做的是什么呢？在你的问题里，什么是变量，你一定要搞清楚。对不同的问题，你可以选不同的不变量，对不变量要求是好算，对不对？

李：对。

钱：比如像万林现在做的分类，那他的不变量其实是拓扑的Wasserstein距离下的最佳分类的不变性，就是说cluster不变就行了。那为什么要选Wasserstein 距离呢？就是你两个不同的 cluster，以前大家都选重心，但是块状的重心不代表全部，并且这两个东西要分成两类，很重要的是边界，不在那个“大部分”。重心可能代表大部分的data，但是还有少部分的data作为边界、作为这两类的区分，其实是更为重要的。所以我们的 transformation就要保持这两个类是分开的，拓扑不变。你用Wasserstein距离就能够保持类别不变。

李：刚才说到 deep learning，那里面也是把Wasserstein 1-度量作为损失函数加进去。

钱：Wasserstein距离实际上能保持 cluster，就是原来是分开的cluster仍然是分开的，这对数据处理是要命的，因为区别不同的类别是要害问题，你不能把不同的类别混起来，所以这里头还有一些不变量。还有非线性，这里头就有很多数学的东西，意味着在你这个问题里头哪些东西是不许你混的，不许搞错的，你心里要非常明白的，这些东西是我们的不变量。所以在数学意义下，我不是说求一个最优的transformation嘛，那就比最优化要复杂多了对吧？于是各种各样的数学就出来了。这是我自己学deep learning的体会。

李：我记得我跟钱老师有两次学术上的讨论。第一次是我还在法国工作的时候，2004年我在北师大陈木法老师组织的会议上作过一个报告。第二次是你们北大数学系建系100周年，在香山有一次会议，我当时作了一个报告，讲随机矩阵。当时钱老师您谈到了玻尔兹曼问题，实际上这里面有一个混沌假设，这个东西不是能量守恒、动量守恒、质量守恒这三条规律，而是一个统计物理性质。

钱：我认为对自然科学的认识，现在物理界也是这种看法，就是玻尔兹曼的思想，包括后来薛定谔继承了这个思想，其实这是非常重要的。近年来，我带贾晨，基本上没有牵涉到数据，因为他不喜欢做数据，他会但他不喜欢做，但是他联系物理生物化学这些model的能力、理解的能力非常强，所以他最近就把热力学第一定律、第二定律，就是所有的热力学的基本定律，扩大到随机的情况下是一个什么表现？这当然要用entropy。entropy实质是什么？就是分布密度的对数的数学期望，有形形色色的entropy，我觉得可以把这个叫做轨道 entropy。

钱：事实上生物系统是既有非线性又有噪声的、也就是随机性的一个复杂系统，所以要解决生物系统的问题，跟这个deep learning是有一定关系的。deep learning可以说是一个简化的计算模型。离开了随机性的真实世界是不存在的。

李：是。

钱：所以你要去处理真实世界，一定要考虑随机性问题，其实随机性也有决定性规律，你计算各种 expectation，你知道了一个distribution以后，对它的各种各样的平均都是确定性的。而且大概率的最可几事件也是很重要的，为什么？比如你现在考虑两个不同的癌症，它会转化，比如说现在有腺癌有鳞癌，鳞癌很严重，基本上现在没有办法治，但是腺癌大部分是治愈后比较好的，腺癌与鳞癌其实会互相转化的，这个转化过程就是随机的。

李：它的机制还不太清楚，是吧？

钱：现在就是我们就想去了解它的机制。有个最简单的的办法，就是假定把随机性降到最低。因为根据玻尔兹曼原理，不是有个温度参数吗？温度参数就是随机性大小的描述，你把随机性降到最低，这时候就有一个近乎决定性的东西，什么意思呢？就是以几乎靠近1的概率。你作为轨道有最可几轨道，然后你一般可以看成是最可几轨道或者几条最可几轨道diffuse出来的分布了。所以你能真正看得见的大多数都是在最可几轨道旁边的东西。

李：就相当于说大数定律、高斯分布、熵的意义下最大的或者最小的类似的东西。

钱：large deviation(大偏差)就是考虑最可几轨道在哪儿？然后离最可几轨道有多大的偏差对吧？这些东西里头都有很多数学，而且是很深刻的，not everyone that walks on the street can understand it。其实现在重视经济发展的人，尤其是大数据这些一来，整个科学界没有不重视数学的。

李：尤其是前年开始，中美之间摩擦不断，科学技术的竞争，在这样的背景下，现在我们国家很重视数学研究。

李：我再想问您一个问题，您对我们概率统计界未来发展，特别是对年轻人有什么样的寄望？

钱：我觉得他们当中还是有很多人在孜孜不倦地努力，可惜是现在的所有的这些规则，比如包括提职称，得奖，这些事情对于不会吹牛的人都很不利。青年还是充满希望的，但是问题说到底能不能出头，就像我们这一帮人出头的人很少，我们这个年纪运气比较好，所以还有几个名人，但是整体来讲出名的人并不是很多，就这些老老实实在干的人有很多会被埋没，这个也难说，任何时代都有的，对吧？所以不被埋没是幸运的，被埋没是normal。

李：的确需要一个宽松的环境。

钱：我对我的学生一般都是这样：我如果觉得他是有希望的，我就希望尽量帮助他到衣食无忧。

李：您受您哥哥钱敏先生的影响能不能说一下？

钱：我哥哥对我影响很大，因为我一上大学以后，礼拜六礼拜天，我就到我哥哥那去，我哥哥就会跟我讲一些物理的概念，讲一些数学的基本概念，有时候还考我，我有一个对我哥哥的回忆，和江先生的回忆，我把这两个回忆发给你。

李：我还想问您一个问题。除了数学，您和龚老师，你们人生之中还有哪些喜欢的东西？

龚：我喜欢古典音乐。

钱：我们刚一认识，大家都对音乐有兴趣。

李：北京那个时候还没有北京音乐厅，但是总会有一些演出的地方，你们也经常去吗？

钱：我们那个时候还没这个条件，那个时候说实在话，我上大学的时候是属于一天到晚念书的人，我一天要在图书馆12个小时以上，我并不是一个很talent的人，他比我talent。

李：您谦虚了！

钱：但是我韧性比较强。我想把这个东西弄懂，我今天弄不懂，我记在心里，也许过五年十年，我一想起来我又回去做了。

李：时间不早了！再次感谢龚老师和钱老师！祝两位老师身体健康、万事如意！

2019年9月9日，许宝騄铜像揭幕仪式 (左起：陈大岳教授，钱敏平教授，孙山泽教授，龚光鲁教授，张绪定教授，郑忠国教授)，摄影：杨瑛

审核：杨瑛，朱湘禅

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