究竟是什么聚集了旋转的茶叶？ | 商逸澹

2022-10-03 10:10

导言：

没有摩擦力，“茶叶”就不会聚集！

在泡茶的时候，细心的朋友可能注意过一个神奇的现象：搅拌茶水一段时间后，旋转的茶叶既不是四处乱飘，也不是被离心力甩向四周，而是逐渐聚集于杯底的中央区域，看起来非常反常识。读者有兴趣的话，可以拿一个杯子，用少量茶叶渣子做个简单的实验，如视频1所示。

视频1：杯子中的旋转茶叶。

为什么出现这种现象呢？众说纷纭：

【1】有人推测，随着水流旋转失速，茶水周边由“水桶效应”的离心力隆起的水位逐渐降低，把茶叶推向了杯底中央；

【2】同时也有人推测，是因为中央附近区域的水流线速度低，茶叶更容易下沉接触杯底，从而在摩擦力的作用下有效减速，提前沉积。而外围区域的水流线速度较高，茶叶容易上下翻滚，更不容易沉积。所以在某一个时刻看来，就像是茶叶聚集到杯底中央了。

相关的讨论可以参考风云之声之前发过的短文(为什么转杯子可以聚集茶叶？答案见马赫的水桶 | 袁岚峰)。

我想了想，这两种说法都有一定的道理。但究竟哪个对，以哪个为主，不妨做几个简单的实验验证一下。要验证猜想【1】，思路非常简单，只需要稳住水流的转速，不要让周边隆起的水位降低，然后观察其对“茶叶聚集程度”的影响即可。至于猜想【2】，描述的物理过程比较繁琐，验证起来不是那么得心应手。但是我们可以退而求其次，先检验“摩擦力的有无”是否对“茶叶聚集程度”产生影响。而要消除摩擦力的影响，有一个非常简单的思路：只需要让杯子带动水一起转，稳定后保证两者无相对运动即可。

我看了看柜子里的工具箱，搜索了一番厨房，再翻了翻孩子的玩具堆，就把相关工具找齐了：

遥控赛车的轮子稍加改造可以做动力源，横过来用架子悬挂并绑好固定后，可以输出稳定的转速。这个赛车凑巧还提供稳定的快慢两档，更方便我控制变量；
盛放调料罐子的转台可以提供一个平台让杯子稳定地旋转；
一个盛水的透明玻璃杯，可以提供更佳的侧向观察视角；
食用色素可以将水染色，呈现更清晰更具观赏性的实验效果。

图1：用作动力源的遥控赛车和架子。

然而，满杯飞舞的茶叶，让实验结果看起来十分混乱。我转念一想，茶叶之所以能沉底，本质上是因为其密度比水略大。所以我只需要寻找两种互不相溶，密度略有差异的物质，就可以模拟“茶杯-茶叶旋转问题”了。为了让实验结果更有说服力，我反向思考：可以向杯中加入密度比水略小的有机液体（如矿物松节油，密度大约0.9 g/cm3），从而让密度稍大的水来代表“茶叶”而“沉底”。这样一来，在改造后的“茶杯-茶叶旋转系统”中，“茶叶”就不会乱飘了。另外，水还可以进一步用食用色素染色，使呈现的结果更具观赏性，如图2所示。

图2. 改造后的“茶杯-茶叶旋转系统”

视频2展示了用来检验猜想【1】的实验结果。此实验分启动旋转、稳定低速旋转、启动高速旋转和稳定高速旋转四个阶段。从视频中可以明显地观察到，蓝色的“茶叶”在启动旋转的阶段就开始向中央聚集，以至于隆起一个小山包。到达稳定低速旋转后，小山包略有升高，且稳定存在。当旋转的水流进一步提速后，山包急速升高，甚至和动力源（车轮子）连为一体。这些现象有力地证伪了猜想【1】，也就是说，“茶叶聚集”跟“周边隆起水位的降低”并没有任何相关性。

视频2. 杯子不动，液体转动。本实验用来检验猜想【1】。

视频3展示了用来检验猜想【2】的实验结果。在这个实验设置中，动力源被安装在底座转盘边上，转盘再带动杯子和杯内的液体旋转。由于杯壁和液体之间的摩擦力比较小，液体需要更长的时间才能达到稳定的转速。从视频中可以观察到，在低速旋转时，蓝色的“茶叶”变化并不明显。而当杯子从低速旋转过渡到高速旋转时，我们惊讶地发现，蓝色的“茶叶”不仅没有向中央聚集，甚至呈现出了“水桶效应”，外周的水位逐渐上升！这个实验有力地证明了，“茶叶”向中央聚集的现象，跟水与杯子的摩擦作用密切相关。也就是说，没有摩擦力，“茶叶”就不会聚集！

视频3. 杯子转动，带动液体转动。本实验用来检验猜想【2】。

后来我无意中查到，这个“旋转茶叶向杯底中央聚集”的问题，早在三百年前就有人提出了。西方甚至还搞了个专有名词来描述它，叫做 Tea Leaf Paradox，即“茶叶佯谬”。而这个现象的准确物理解释，居然是爱因斯坦在1926年研究河岸侵蚀问题时首次给出的。该文章发表在德语杂志《自然科学（Naturwissenschaften）》上，图3截取了论文的关键部分。虽然我看不懂德文，但是根据其他学者对论文的解读，他在论文中阐述了：河水在沿着弯曲河岸转弯时，引起的螺旋流（Helical Flow），是如何加速侵蚀河岸土壤的。螺旋流可以被分解成两个部分，一个是绕杯子中轴线旋转的主流，另一部分是绕着主流旋转的二次流。而正是这个螺旋流，再次出现在了我们的小茶杯中，将茶叶推到了杯底的中央。

图3. 爱因斯坦1926年发表的德语论文，阐述了河岸侵蚀和茶叶聚集背后相同的物理原理。

至于这个螺旋流中的二次流分量是如何产生的，其背后的物理原理也不难理解。如图4所示，当杯中水稳定旋转时，杯子中轴线附近的水流角速度可以认为大致相同，于是水流的线速度会随着离开中轴线的距离r增大而线性增大。可是在侧面杯壁处，由于水有黏性，壁面处水的线速度又必然等于0。所以随着距离增加，从中轴线到杯侧壁，水流的线速度总体呈现出先增大再减小的趋势。进一步地，在靠近杯底的区域，由于额外叠加了杯底摩擦力，下层水流线速度总是小于上层的线速度，导致上层的离心力总是大于下层的离心力，从而打破静止状态时上下层的力学平衡。而我们知道，在流体内部，任何一点的压强满足各向同性，离心力会向四面八方传导。比如向上传导时，会推高水面，形成“水桶效应”的外周隆起现象。而上下层的离心力之差，也会传导成垂直方向的压力梯度，从而引导侧壁面附近的水流向下运动，以至于产生一个旋转对称的稳定二次流，它在侧壁面附近向下，中轴线附近向上。如果再叠加主流的旋转运动，就会变成爱因斯坦所说的螺旋流。杯底“茶叶”的那一点微弱的离心力往往不能抵抗水二次流的强劲冲击，被压倒性地推向了中轴线附近。又由于“茶叶”的密度比水大，倾向于下沉，所以不容易被二次流的上升段带走，而是在中央区域上下振动，看起来就像“茶叶”聚集到了杯底中央。

图4. 杯中旋转水流的二次流的形成原理。

而如果水和杯子一起转，没有相对运动，消除了杯壁和水之间的摩擦力，那么杯中水流的线速度仅与半径成正比，与高度无关了。相同半径处的水，上下层离心力是一致的，不存在垂直方向的压力梯度，也就不会出现二次流了。这时杯底“茶叶”被离心力主导，即使效果很微弱，依然会向外周聚集，出现“水桶效应”，如视频3中的稳定高速旋转阶段所示。

有人会问，那中轴线r ≈ 0附近，同样满足上层离心力大于下层离心力，为什么水流不是向下，而是向上呢？这是个很好的问题，说明读者理解了上面的物理原理，并有了更深度的思考。我的解释是这样的：在中轴线附近，由于r很小，导致产生的离心力ω²r也很小，其带来离心力梯度就更小了。在正常情况下，流体满足连续性和不可压缩性，中轴线附近的水流是往上走还是往下走，不仅取决于自身受力的倾向，同时也受制于壁面附近r >> 0处下沉急流翻转过来将其往上顶的力量。显然地，中轴线附近的水流下沉力量无法与壁面附近水流对它的上推力量抗衡，最后呈现出的效果就是图4的二次流方向。

更有趣的是，类似的物理原理还可以用来解释大规模的大气现象，比如为什么低压系统（中心气压低于四周气压的空气涡旋，也叫气旋）总是伴随着暴风雨，相反地，为什么高压系统（中心气压高于四周气压的空气涡旋，也叫反气旋）总是伴随着平静的天气。如图5所示，左边展示了低压系统（如台风）的气流情况，而右边展示了高压系统（如极地高压）的气流情况。在这类横跨上千公里尺度的缓慢旋转的大气系统中，气流旋转的离心力已经可以忽略不计，取而代之的是法向气压梯度力，与地球自转带来的科里奥利力之间的平衡。

对于低压系统，在靠近地面区域，风速在与地面摩擦的过程中迅速降低，导致其科里奥利力也跟着降低。降低后的科里奥利力不再能够抗衡向内的气压梯度力，产生了类似的“茶叶效应”，在地表呈现出了向内聚集的气流。气流聚集后只能往上升，绝热膨胀降温后形成大片的云，伴随着狂风大作，雷雨交加的天气。相反地，对于高压系统，地面附近气流的科里奥利力无法抵抗向外的气压梯度力，其“茶叶效应”在地面附近产生向外扩散的气流，所以高压系统中心的空气只能下沉补充，导致晴空万里，风平浪静。

图5. 低压系统（左边）与高压系统（右边）的典型气流方向。来源：Physk, Uni – Munchen.

综上所述，“茶叶向杯底中央聚集”的动力，既不是来自猜想【1】，也不是来自猜想【2】，而是在杯底摩擦力的作用下，被旋转流体自然形成的二次流推向中央的。这样的现象，在自然界中也不胜枚举。物理规律有趣的地方就在于，它可以把看似不相关的、尺度差别极大的自然现象串联起来，在同一个框架下分析，让我们窥探大千世界各种现象背后的本质。

■ 扩展阅读：

为什么转杯子可以聚集茶叶？答案见马赫的水桶 | 袁岚峰

■ 背景简介：本文作者商逸澹，上海工程技术大学航空运输学院副教授，研究方向是利用计算流体力学模拟吸入颗粒物在呼吸道的沉积及其对健康的影响。笔者授权风云之声首发。

■ 责任编辑：KK.

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来源: qq

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