隔了一年,再谈Goedel是不是佐证了“道可道,非恒道。”
首先“道可道,非恒道”这句话自相矛盾:如果恒道不可道,那么这句话本身怎么成立呢?
再来看Goedel. 他最有名的是Goedel第一和第二不完备定理,其实他还有个定理叫Goedel完备定理。那么完备是什么意思呢?公理系统都有(有限)公理,我们应用一定的推理准则,可以推出系统里所有真的定理。在完备定理里,Goedel证明了一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。也就是一阶逻辑系统是完备的。于是他直接“反证”了“道可道,非恒道”这句话是错误的。在一阶公理系统里,“恒道”是都可以证出来的。
我们再来看第一不完备定理:任何自洽的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题,因此通过推理演绎不能得到所有真命题(即体系是不完备的)。所以不完备的意思是,有一个真的公式不能在这个公理系统被推出(不是说这个公式不正确,而是我们无法证明其真或假)。但这和所有恒道都证不出来,甚至都说不出来相去甚远。
如果我们非要对Goedel和“道可道”扯上些关系,那么在证明不完备定理时,Goedel先回避了道可道犯得句法错误:不要轻易自指,容易引发矛盾。
例如,道可道是L1系统的句子,且作了对L1整个系统的判断,如果我们在L1这一层来问关于此句的真假,容易引发系统矛盾。为避免矛盾,我们可以在L1系统的原(Meta)系统,L0系统来作考察,但问题是,我们怎么建立L0和L1系统之间的关联呢?
Goedel天才的用数字编码在两个系统中建立了mapping。也就是著名的goedel数,利用Godel数,我们可以来谈论L1系统的命题。进一步的,Godel数甚至可以讨论L0系统的命题。详情参看Ernest Nagel and James Newman in their 1958 book, Gödel’s Proof。
Godel还有第二不完备定理,任何逻辑自洽的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,它就不能用于证明其本身的自洽性。就跟“道可道”一样,它要证明自己成立,就引发了矛盾。所以用Goedel的逻辑,正可以证明“道可道,非恒道”的不成立。