皮皮虾:【马立平谈数学】

 

这是一道新加坡数学课程五年级的题目，如果你不用解方程的方法来做，只用算术的方法，看看你能不能解出来？

 

傻眼了吧？是不是做不出来？别泄气，据马立平说，斯坦福的数学教育教授也做不出来。上周末，马立平在图书馆做了一个《变中思不变－美国小学数学教育改革百年考》的讲座，这道题是她在讲座上分享的。

 

而中国大陆的五年级的孩子们几乎个个都能做出来。你也许不相信，当年你在小学的时候也能做出来，只不过自从你学了方程以后就退化了，不会再用这种算术的方法做这么复杂的题目了。

 

我知道你很想知道算术怎么做这道题。好吧，现在给出你答案，你好好琢磨一下每步的思路。

 

 

可是这道题所有的美国小学五年级的孩子能做出来的，凤毛麟角。不信你回家让你家的孩子做做，就算他是初中生或者高中生也未必能用算术做出来。

 

有人认为，既然有方便简洁的代数方法解方程来做，有必要要求小学生学这么复杂的算术方法吗？

 

质疑有效，当时有家长就提出了这个问题，马校长也给出了回答，但也许时间有限，她没有展开讲，只是说基本上这是一种思维的训练。现在本虾来试着回答一下这个问题。

 

 

第一，同意马校长所说。虽然有更快捷的方式，但是整个数学的训练就是一套思维的训练。不能因为有高级的方法就跳过了初级的方法，因为它是一种增强概念的理解方式。我们觉得我们代数学得好、方程解得快，那是因为我们在学算术的时候，已经通过这种复杂的算术运算增强了对概念的理解，所以打好了基础，在代数学习的时候可以非常游刃有余。好比你吃第四个馒头就饱了，不能由此判定前三个馒头不用吃。美国学生的代数学不好，就是因为他们的算术没学好。

 

第二，数学的学习不仅仅是简单的能把一道题做出来而已，而是一种能够让学生从中体会用不同途经(approach)、不同思路、不同方式解决问题的数学之美。

 

 

记得本虾初中上学时非常享受平面几何的学习。有时一道题下来被老师叫起来，当堂口述证明过程，内心有一种朗诵诗歌的快感。当然有的时候，遇到极难的几何题目，也花费很长时间去解(老师对这种题从来不会当场叫人起来做的)。后来学了解析几何，发现这真是一条捷径。只要通过列出几道解析方程，就可以求得或证明结果。可是，难道我们不需要学平面几何吗？我敢说这种超级缜密的逻辑思维的训练，即使是文科学生都是需要的。如果想做一位好的律师，平面几何就一定要学得好。

 

做数学题当然可以思考有没有巧妙的解法，但学习本身没有捷径可走。台上一分钟，台下十年功。马校长分享的钱文忠的话很有道理：凭什么教育要是快乐的？我实在想不通。教育怎么会一定是快乐的？教育一定有痛苦的成分，这是不言而喻的。

 

 

想起本虾所遇到的最难的一道几何题需要加八条辅助线，那是高我一年的升高中考题。居然我同学的哥哥在考场上做了出来，得了满分(几年后去了清华)。大学毕业后本虾与同事讲起这件事，几年后这人忘了从我这里听来的，吹起自己当年数学多么了得，居然说他自己把一道数学题加了八条辅助线做了出来，＂震惊全校＂。相似的事情不同的人不同的场合本虾遇到过好几次了，并不是他一人有类似作为。不过至少说明中国的社会风气是以才能为荣的，不象现在的美国充满了反智的文化。

 

还有一道物理神题，居然可以有九种不同的解法，记得有用动量冲量的办法，有用能量守恒的办法，等等。一般来说，物理题很少可以用多种方法来解的。好可惜本虾没把这两题保留下来，要不然给自己孩子看看一定会让他们开眼的。

 

下面这道题是著名数学家丢番图(Diophantus)墓碑上的文字，也是马校长在讲座中分享的。这道题也是本虾非常喜欢的一道题，中学时代本虾办黑板报的时候曾经用过这道题。岁月的流逝，经过了这么多年，又出现在本虾的眼前。经典就是经典啊！

 

 

上图解法是算术解，题中只有一个四年和五年是具体数量，所以要考虑这九年占的分率，相除即可得出单位“1”即丢番图活的岁数。

 

 

 

读者可能注意到了，马立平被本虾称呼为马校长。或许你想不到，她这个校长不是数学校长，而是中文学校校长。她创立的斯坦福中文学校已经二十多年了。本虾儿子女儿曾在该校学习中文多年，以前和马校长曾多次见面，不过那时只是家长和校长之间的简单互动。

 

自从本虾公众号刊发了《美国数学战争百年演义》的系列文章，点击量转发量很大。该文章引起了马校长的关注，使本虾有幸得以真正认识了这位久仰的教育家。