《海边拾贝·西格尔的故事之二》

《海边拾贝·西格尔的故事之二》

2019年6月22日 （图片来自网络）

【摘译自马库斯·杜·索托伊的《素数的乐音：探索最伟大数学之谜》】...但是哈代不满足于直觉。他和李特尔伍德发掘了一种精确计算零点的方法。...这个算法利用黎曼发现的（泽塔函数）相对于1/2数轴的左右对称性。他们的方法结合欧拉推导出的高效能方法，对无穷级数的求和值进行渐近估算。到1920年代末，他们成功地找到138个零点。像黎曼预言得一样，它们全都在1/2的数轴上。但是哈代和李特尔伍德公式也走到头了。它不可能精确计算出更远些的零点。

看来这些计算再也无法往前推进。哈代的数学分析证明有无穷多的零点在这临界线上。感觉上，如果有偏离临界线的零点，它们只能在很远的地方。李特尔伍德曾经演示过，素数这种奇怪的东西会隐藏天机一直到极其深远的地方。结果，数学家不再去寻找零点的位置，而只是专心研究（泽塔函数的）理论特性，来试图揭开黎曼思想的秘密。

这一切却因为一个意想不到的发现而改变了。西格尔那时在法兰克福，正为黎曼猜想的研究犯愁。他收到数学史学家埃里克·贝塞尔-哈根寄来的一封信。贝塞尔-哈根正在整理黎曼未发表的笔记。（黎曼去世后，）性急的管家烧掉了他很多文稿。黎曼的妻子爱丽丝好歹抢救了一些。她将大部分黎曼的科学文稿交给黎曼的好友兼同事戴德金。几年后爱丽丝后悔了。黎曼的文稿里会有些个人生活的隐私。...她要戴德金退回文稿，哪怕里面只是有一丁点购物单和朋友的名字。

戴德金把最后剩余的文稿存在哥廷根的图书馆里。贝塞尔-哈根想从这些档案中的文稿里弄出个究竟，但是没有头绪。像很多数学家的随笔一样，这些文稿是一堆不完整公式和设想的乱麻。贝塞尔-哈根想到西格尔会不会更懂得给这些符号解码。

西格尔写信给哥廷根的图书馆管理员，要求参考一下黎曼的“遗产”。管理员就将这些文件寄到法兰克福当地的图书馆。西格尔挺愿意试试，因为他能从他自己研究的困境中转换思绪出来。包裹按时到了。他赶忙去取。包裹打开，散开的文稿里满是繁琐的数字计算。这些文件揭示一个长达七十年的假象。黎曼不是一个仅仅凭借直觉和概念，不寻求证据支持的数学家。面对这些庞杂的计算，西格尔调侃道，“这就是黎曼最普适的道理。”

之前有些资历较浅的数学家翻阅这些文稿章页，想从中为黎曼猜想找些线索。但没人弄懂那堆残碎的方程式。最让人困惑的是为黎曼怎么会在业余时间做这些大量的纯算术。这是为什么呢？只有西格尔这种等级的数学家才懂得黎曼干了些什么。

看着这些文稿，西格尔明白黎曼遵循他的导师高斯的格言。高斯总是強调，一个建筑师在盖好一栋楼之后要把脚手架拆掉。西格尔手上拿着的脆薄的纸页上满满都是计算。黎曼一生贫穷，还要养他的几个妹妹。他只能买低廉的纸张，还要将纸张上的空间利用到极致。黎曼是个计算高手。他的概念化的观点正是建立在通过这些计算，找到实证的基础上。有些计算没有新意，比如将2的平方根算到小数点后三十八位。西格尔好奇那些他从来没有见过的东西。清理这些乱糟糟的纸页后，西格尔明白了。黎曼那是在算零点。

西格尔发现黎曼用一个特殊的公式来算泽塔函数零点的位置。公式的头一部分基于哈化和李特尔伍德发现的同一个技巧。黎曼早了六十年知道了这方法。公式的另一部分完全是新的。黎曼找到一个更巧妙的无穷级数求和的办法...

去世六十五年后，黎曼这位杰出的数学家还是甩了别人好几条街。哈代和李特尔伍德错误地相信黎曼论文只是一个启发性的见解。其实那是基于实际的计算。只是黎曼不想把他的计算告诉别人。几年内，哈代的学生用西格尔发现的黎曼秘密公式证实前1041个零点都在临界线上。而这个公式要到计算机时代真正体现它的威力。

很奇怪数学家们等了这么长时间才意识到黎曼笔记里有如比有价值的东西。他的那篇十页纸的论文和他写给其他数学家的信里已经暗示他有些实货。在论文里他提到一个新公式，但是又说“这公式还没有简化到可以公开发表的程度。”哥廷根的数学家们研究他的论文有七十年了，却没有人知道几个街道外（的图书馆里）就有一个计算零点的神奇公式。克莱因，希尔伯特和兰道都喜欢随意评判黎曼，但谁都没有去看一眼他留下来的未发表的“遗产”。

凭心而论，只要看一眼黎曼的文稿就能知道这项（整理黎曼工作的）任务的艰难。西格尔写道，“黎曼的关于泽塔函数的笔记里没有一点是写好了，可以发表的。有时候，同一页的公式完全对不上号。而经常是方程式只有半拉子写在纸上。”这就像仔细研究一部末完成的交响乐的初稿。最后的完工全靠西格尔的数学功力，从黎曼繁乱的笔记里提炼出这个公式。它现在被命名为黎曼-西格尔公式，实至名归。

因为西格尔的执着努力，我们看到黎曼的另一面。黎曼确实倡导抽象思维和普适概念的重要性。但他也知道不能忽视计算和数值检验。黎曼从未忘记他的数学发仞于十八世纪的历史传统。