纤维丛看似很深奥，其实，与日常生活密切相关。

• 底空间(或底流形)是纤维丛的基底(即物理学中所
• 说的时空)，就是李一桐和白鹿的形体相似。
• 全空间是由众多纤维组成的空间，其实就是两人
• 的精神。形体相似，但是精神不同。
• 能气场就是一维纤维丛上的截面，流形上的光滑
• 函数、切向量场、余切向量场、张量场等都可以
• 看作是某个特定纤维丛的截面。纤维丛之间存在
• 各种映射关系，这些关系就是物理规律。
• 这些截面的不同，就是气场的不同，具体表现
• 上，就是两人的笑的表现形式不同。白鹿的笑更
• 开放，更强烈，其实，就是气感应强度更大。

遗传基因决定了形体，而纤维丛决定了精神。

有时候，纤维丛更重要。

中医总结：精气神，精=底空间(或底流形)，

气神=众多纤维组成的空间。

明明长相很相似，一个成顶流，一个却死活红不了，连于正都发愁

01纤维丛的起源

　　美国数学家惠特尼在1937年提出了纤维丛的概念，他将流形及其上的切向量组构成的空间称为“纤维丛”。之后，陈省身、斯廷罗德、塞尔等数学家进一步发展了纤维丛理论，引入了示性类、联络等概念。从数学的视角来看，纤维丛理论是一门研究拓扑空间之间的映射关系的数学分支，整合了微分几何、拓扑学、流形和群论(尤其是李群)等理论。

　　纤维丛理论的前身是微分几何。微分几何是一门研究曲面和曲线性质的学科，其发展受到很多自然现象的启发，如光的折射、地球的形状、行星的运动等。微分几何的一个重要概念是流形，流形是一种由局部平坦空间“拼接”起来的曲面。例如，地球表面就是一个流形，在局部看起来像一个平面，但实际上是一个球体。流形本身并不包含任何物理信息，仅是一个抽象的数学对象。为了让流形能够描述物理现象，需要给它附加一些额外的结构，如度规、联络、张量等。这些结构定义了流形上的距离、角度、曲率、速度、加速度等物理量。这样，流形就变成了一个具有物理意义的空间。纤维丛理论就是在这个基础上发展而来的。它不仅考虑了流形本身，还考虑了流形上那些附加的对象，如向量场、张量场、微分形式等。由此可知，纤维丛理论的产生与非欧几何具有密切的关系，可以用来构造非欧几何空间上的结构。非欧几何空间反过来也可以刻画纤维丛的性质，如陈类、指标定理和对称性等。在现代物理学中，广义相对论、量子场论和弦论等重要理论都是纤维丛理论与非欧几何结合的产物。

　02纤维丛理论基础

　　纤维丛理论的一个核心思想是将物理量看作是一个流形(纤维)在另一个流形(底空间)上连续分布而形成的结构(全空间)。如图1(a)所示，底空间(或底流形)是纤维丛的基底(即物理学中所说的时空)，而全空间是由众多纤维组成的空间。这样，就可以用两个流形之间的映射 (投影π和逆投影π^（-1）)来描述物理现象。时空上各个点的纤维本质上是相同的(同构空间)，纤维丛的联络定义了纤维在全空间中的相互连接。形象地说，纤维丛就是在每一点x长出来的一族“数”(这里说的“数”，可以是标量函数、矢量函数或群等)。将每一点对应的“数”连接起来就在整个纤维丛空间中确定了一个“截面”。纤维丛的截面是从底空间到全空间的连续映射，在微分几何和物理学中有着重要的意义。例如，电磁场就是一维纤维丛上的截面，流形上的光滑函数、切向量场、余切向量场、张量场等都可以看作是某个特定纤维丛的截面。纤维丛之间存在各种映射关系，这些关系就是物理规律。结构群决定了纤维丛是如何“粘连”起来的。例如：当结构群为U(1)群时，纤维丛描述的是电磁相互作用(图1(b))，对应的是麦克斯韦方程；当结构群为SU(2)群时，纤维丛描述的就是弱相互作用(图1(c))，对应的是杨-米尔斯方程[2]。