chatgpt的答案有误？

盒中有3球，1黑2白，依次取2球第1球取出颜色未知，余下二球中取第2球是白球，问盒中第3球是黑球的概率？

据说下面是chatgpt的解答：

在这种情况下，我们可以使用条件概率来计算盒中第三球是黑球的概率。

事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。

首先，计算事件A和事件B同时发生的概率，即P(A ∩ B)。由于第一球颜色未知，所以取出白球的概率为：
P(白球) = P(白球|黑球) * P(黑球) + P(白球|白球) * P(白球) = (2/3) * (1/3) + (2/2) * (2/3) = 4/6 = 2/3。

然后，计算事件A和事件B同时发生的概率，即P(A ∩ B)。在第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的情况下，
即事件A和事件B同时发生的概率为：P(A ∩ B) = P(黑球) * P(白球|黑球) = (1/3) * (2/3) = 2/9。

最后，根据条件概率，我们有P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)。其中P(A ∩ B|C)表示在第三球是黑球的条件下，
第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率，因为每次取球都是独立的，所以P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3，
P(B)我们在前面已经计算出来了。

将这些值代入公式中，我们得到：

P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3。
B因此，盒中第三球是黑球的概率为1/3。

按我的理解，chatgpt的解答是有问题的。我以为1/2才是正确的答案。下面试图用不同的方法给出答案。

不妨假设三球分别放在3个不透明的口袋中，口袋依次标号1，2，3。

方法1：打开标号为2的口袋，发现是白球。这时1号和3号口袋完全是对称的，各自含黑球的概率是相等的，都是1/2。

方法2：就用chatgpt的方法。事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。也就是说
事件A表示口袋1中是黑球，事件B表示口袋2中的球是白球，事件C表示口袋3中是黑球。注意P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A)，因为第一个是黑球，
第二个必然是白球，即P(B|A)=1，所以根据条件概率公式，

P(A|B)=P(A∩B|B)=P(A∩B)/P(B)。P(B)=2/3, P(A∩B)=1/3，故P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。
类似有P(C|B)=1/2。
 
不知道chatgpt中的P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3从何而来。A ∩ B表示第一个是黑球，第二个是白球，那么第三个必然是白球，即
P(C|A ∩ B) =0，怎么会是1/3？