找除数与翻硬币

首先我们来做个小游戏，这个绝对是原创，通过这个游戏，希望你能对我们将要讨论的这个数学小知识有个直观的认识与深刻的理解。

先做一个比较简单的实验，这个你可以亲手试一试，因为简单，也就是一两分钟的时间就可以搞定。

拿出十个硬币来，一样不一样没有关系，甚至可以找其它类似的东西来代替。把这10个硬币反面朝上摆在桌子上，把硬币从左到右从1到10给标上号码（想象就可以，不需要真正写上）。然后按下面这个规则来翻硬币：

第一次：把所有的硬币都翻过来 （也就是把所有标号能被1整除的硬币翻过来）
第二次：把标号为2，4，6，8，10的硬币翻动一下 （也就是把所有标号能被2整除的硬币翻过来）
第三次：把标号为3，6，9的硬币翻动一下 （也就是把所有标号能被3整除的硬币翻过来）
。。。
第十次：把标号为10的硬币翻动一下 （也就是把所有标号能被10整除的硬币翻过来）

问题是：经过以上的程序后，那些硬币变成面朝上了。

如果通过实验你已经找到答案了，请想想结果有什么规律。然后再往下读。

如果把硬币的数目变成100呢？通过试的方法可能就要费很多时间了，因此需要分析才行（这就是分析的优点所在）：

桌子上有100个硬币，每个硬币从1到100给标上号。开始都是反面朝上的。
第1次将每一个硬币都翻动一下，
第2次只翻动标号为2，4，6，。。。，100的硬币，
第3次只翻动标号为3，6，9，12，。。。99的硬币，
第4次只翻动标号为4，8，12，16，。。。96的硬币，
以此类推。翻动完第一百次以后，哪些硬币是正面朝上的？

其实，稍加分析就可以知道，按照上面的规则，每个硬币被翻动的次数恰好是它的标号的除数的个数，比如说，第50个硬币，被翻动了多少次呢？共被翻动了6次，因为50有6个除数：

50全部的除数：1，2，5，10，25，50

也就是说，标号为50的硬币在翻动的过程中，在第1次，第2次，第5次，第10次，第25次，第50次各被翻动了一次。因为一共被翻动了6次，而6是个偶数，所以最后硬币50的面还是朝下的。

那么，给定任意一个自然数，怎样算出它有多少个除数呢？（除数又叫因子，divisors, or factors)。有个很简便的方法来算。首先，把这个数表达成素数幂的乘积的形式，可以用观察与实验的方法很容易找出来。比如168，很容易发现它可以表达为:  

168=2^3*3*7  (也就是 168=2*2*2*3*7）

把每个素数上的幂指数拿来加1，然后相乘，就是这个数的乘数的个数。如果用N表示的话，则

N=（3+1）*（1+1）*（1+1）=16.

于是，168 有16个除数。它们分别是：

168的除数：1, 2，3, 4，6，7，8，12，14，21，24，28，42，56，84，168。

借用小沈阳的一句台词，“这是为什么呢？”

如果我们做进一步观察的话，以上的除数是成双成对的，比如说，2和84，它们的乘积是168，3与56也的乘积是168等。因为如果168能被某数乘除的话，它的商肯定也是整数，也肯定是个除数。这样我们看到，如果这些除数都互不相等的话，那么这个数肯定不是平方数，因此所以非平方数的除数是偶数。如果某数恰好是个平方数，比如25，那么它的除数中，肯定有一对是相等的，也就是5和5，相当于一个除数。注意，任何一个数，都最多只可能有一对这样相等的除数。因此平方数的除数个数肯定是奇数。

这就是我们所要用到的一个数学小知识，用它可以轻松地解决我们在本文前面所提出的问题：


1. 一个数是    平方数，它的除数的个数是奇数。
2. 一个数是非平方数，它的除数的个数是偶数。

答案：标号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的硬币最后面朝上。