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问一个关于convex set的数学问题 (转载)

问一个关于convex set的数学问题 (转载)# Programming - 葵花宝典

w*h2008-04-04 07:04

1 楼

【以下文字转载自 Mathematics 讨论区】
发信人: wmbyhh (wmbyhh), 信区: Mathematics
标题: 问一个关于convex set的数学问题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr 3 16:06:18 2008)
假如Y是个离散随机变量,其概率分布为P(Y=a_{i})=x_{i}, i=1, 2...n,
已知a_{1}现在我需要证明x=k*x_{i}+(1-k)*x_{j}也在这个X里，才能知道X是否是convex set.
但是，E(Y^2)=\sum [(a_{i})^2*x_{i}]<=c,x是一个概率，对应一个数a_{x},如何证明x也满足这个条
件呢？

t*t2008-04-04 07:04

2 楼

你理解有误吧?
我的理解是这样
x_i = k*x1_i+(1-k)x2_i
if x1\in X, x2\in X, then x\in X
就是说, X是the set of all possible *set* of x_i 's that satisfy ....

the condition E(Y^2)<=c,现在该如何证明X是个convex set?
明x也满足这个条

【在 w****h 的大作中提到】

: 【以下文字转载自 Mathematics 讨论区】
: 发信人: wmbyhh (wmbyhh), 信区: Mathematics
: 标题: 问一个关于convex set的数学问题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr 3 16:06:18 2008)
: 假如Y是个离散随机变量,其概率分布为P(Y=a_{i})=x_{i}, i=1, 2...n,
: 已知a_{1}: 现在我需要证明x=k*x_{i}+(1-k)*x_{j}也在这个X里，才能知道X是否是convex set.
: 但是，E(Y^2)=\sum [(a_{i})^2*x_{i}]<=c,x是一个概率，对应一个数a_{x},如何证明x也满足这个条
: 件呢？

X*r2008-04-04 07:04

3 楼

You mean X is the set of all possible *sequences* of x_i 's that satisfy ...
? hehe

【在 t****t 的大作中提到】

: 你理解有误吧?
: 我的理解是这样
: x_i = k*x1_i+(1-k)x2_i
: if x1\in X, x2\in X, then x\in X
: 就是说, X是the set of all possible *set* of x_i 's that satisfy ....
:
: the condition E(Y^2)<=c,现在该如何证明X是个convex set?
: 明x也满足这个条

t*t2008-04-04 07:04

4 楼

嗯,是这个意思
如果X的元素是单个的x,就不make sense了, 单个的x怎么满足那条件啊.

..

【在 X****r 的大作中提到】

: You mean X is the set of all possible *sequences* of x_i 's that satisfy ...
: ? hehe

w*h2008-04-04 07:04

5 楼

好吧，我确实觉得单个x无法满足。
但是，按你说的，现在如何证明X是convex set呢？
如何证明k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i}也满足E(Y^2)<=c

【在 t****t 的大作中提到】

: 嗯,是这个意思
: 如果X的元素是单个的x,就不make sense了, 单个的x怎么满足那条件啊.
:
: ..

t*t2008-04-04 07:04

6 楼

代进去化简一下...你是学数学的吗...!

【在 w****h 的大作中提到】

: 好吧，我确实觉得单个x无法满足。
: 但是，按你说的，现在如何证明X是convex set呢？
: 如何证明k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i}也满足E(Y^2)<=c

k*f2008-04-04 07:04

7 楼

x_i > 0
\sum a_i^2 x_i <= c
这些约束对x_i来说，都是线性的
线性的半平面是凸集，他们的交集，自然是凸集的。

the condition E(Y^2)<=c,现在该如何证明X是个convex set?
明x也满足这个条

【在 w****h 的大作中提到】

t*t2008-04-04 07:04

8 楼

还是你的回答比较专业

【在 k****f 的大作中提到】

: x_i > 0
: \sum a_i^2 x_i <= c
: 这些约束对x_i来说，都是线性的
: 线性的半平面是凸集，他们的交集，自然是凸集的。
:
: the condition E(Y^2)<=c,现在该如何证明X是个convex set?
: 明x也满足这个条

k*f2008-04-04 07:04

9 楼

lz一直想从定义上证明，那是太麻烦了。
绕出来就很容易的

【在 t****t 的大作中提到】

: 还是你的回答比较专业

t*t2008-04-04 07:04

10 楼

其实这题从定义上证也很容易啊.

【在 k****f 的大作中提到】

: lz一直想从定义上证明，那是太麻烦了。
: 绕出来就很容易的

w*h2008-04-04 07:04

11 楼

首先k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i}这个pmf对应的是什么a? a_i吗?
那么，假如E(Y^2)=\sum[ (a_i)^2 * x_i]<=c,则证明
E(Y^2)'=\sum[ (a_j)^2 * x_j]+(a_i)^2 * (k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i})<=c，还是觉得
无从下手。

【在 t****t 的大作中提到】

: 代进去化简一下...你是学数学的吗...!

w*h2008-04-04 07:04

12 楼

多谢。但是如何证明线性的平面是凸集呢？

【在 k****f 的大作中提到】

k*f2008-04-04 07:04

13 楼

@@
任意两点，他们的连线都在里面。自然是凸集

【在 w****h 的大作中提到】

: 多谢。但是如何证明线性的平面是凸集呢？

t*t2008-04-04 07:04

14 楼

我服了你了. a是固定的.
x1[1:N], x2[1:N], x[1:N],都对应a[1:N]

【在 w****h 的大作中提到】

: 首先k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i}这个pmf对应的是什么a? a_i吗?
: 那么，假如E(Y^2)=\sum[ (a_i)^2 * x_i]<=c,则证明
: E(Y^2)'=\sum[ (a_j)^2 * x_j]+(a_i)^2 * (k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i})<=c，还是觉得
: 无从下手。

w*h2008-04-04 07:04

15 楼

你看看我的证明对不对：
To any x1_{i}, x2_{i} in set X, we check if k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i} also in X.
We have: \sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*x1_{i}<=c (1
),
and \sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*x2_{i}<=c (2
),
so (1)*k+(2)*(1-k)=
\sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*(k*x1_{i}+(1-k)*x2_
{i})<=c
that means k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i} also in X.
Correct? thrust

【在 t****t 的大作中提到】

: 我服了你了. a是固定的.
: x1[1:N], x2[1:N], x[1:N],都对应a[1:N]

p*o2008-04-04 07:04

16 楼

No. X is a subset of R^n. You should prove for vectors x1, x2,
and k*x1+(1-k)*x2 instead of the scalers x1_i,x2_i, and k*x1_i+(1-k)*x2_i.

X.
(1
(2
x2_

【在 w****h 的大作中提到】

: 你看看我的证明对不对：
: To any x1_{i}, x2_{i} in set X, we check if k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i} also in X.
: We have: \sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*x1_{i}<=c (1
: ),
: and \sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*x2_{i}<=c (2
: ),
: so (1)*k+(2)*(1-k)=
: \sum[a_{1..i-1,i+1..n}^2 * x_{1..i-1,i+1..n}]+a_{i}^2*(k*x1_{i}+(1-k)*x2_
: {i})<=c
: that means k*x1_{i}+(1-k)*x2_{i} also in X.

w*h2008-04-04 07:04

17 楼

我开始也是这样理解的；但是thrust说是scaler；否则的话，怎么证明呢

【在 p***o 的大作中提到】

: No. X is a subset of R^n. You should prove for vectors x1, x2,
: and k*x1+(1-k)*x2 instead of the scalers x1_i,x2_i, and k*x1_i+(1-k)*x2_i.
:
: X.
: (1
: (2
: x2_

t*t2008-04-04 07:04

18 楼

哇，不能这么歪曲我的话吧！我可没这么说过！

【在 w****h 的大作中提到】

: 我开始也是这样理解的；但是thrust说是scaler；否则的话，怎么证明呢

w*h2008-04-04 07:04

19 楼

你不是说x_i = k*x1_i+(1-k)x2_i
if x1\in X, x2\in X, then x\in X？
那么按照我前面的证明过程，假定x1_{i},x2_{i}都在X里，则x_{i}=k*x1_{i}+(1-k)*
x2_{i} also in X。
难道不是这样证明的？我真糊涂了。
按照kukutf 所说，任意两点，他们的连线都在里面。自然是凸集。光这句话拿出来，
怕老板不接受。

【在 t****t 的大作中提到】

: 哇，不能这么歪曲我的话吧！我可没这么说过！

t*t2008-04-04 07:04

20 楼

这句话是我说的没错
我有什么时候说过x1_{i}\in X?
我说的x1\in X是指x1[1:N]这个向量是集合X的元素的意思，从没说过x1_i \in X
这么简单的题你折腾两天还没搞定，我不是学数学的都看不下去了……

【在 w****h 的大作中提到】

: 你不是说x_i = k*x1_i+(1-k)x2_i
: if x1\in X, x2\in X, then x\in X？
: 那么按照我前面的证明过程，假定x1_{i},x2_{i}都在X里，则x_{i}=k*x1_{i}+(1-k)*
: x2_{i} also in X。
: 难道不是这样证明的？我真糊涂了。
: 按照kukutf 所说，任意两点，他们的连线都在里面。自然是凸集。光这句话拿出来，
: 怕老板不接受。

k*f2008-04-04 07:04

21 楼

cft，不知道lz是学什么的
文科女青年么？

【在 t****t 的大作中提到】

:
: 这句话是我说的没错
: 我有什么时候说过x1_{i}\in X?
: 我说的x1\in X是指x1[1:N]这个向量是集合X的元素的意思，从没说过x1_i \in X
: 这么简单的题你折腾两天还没搞定，我不是学数学的都看不下去了……