“欲证更多，必先假设更多” | “大基数” 干货一批
作者：陈泽晟
哥德尔的可构造宇宙仿佛就是另外一个知识的乐园：跟Borel集类似，可构造集不仅能非常直观地被数学家理解，而且还能被我们的集合论工具深刻详尽地分析。但同时与Borel集不同，我们无法证明存在不可构造的集合。换句话说，如果我们愿意，我们完全可以接受可构造性公理，选择定居在哥德尔构造的乐园里。
作者：杨睿之
作为“不掺杂质的”柏拉图主义者，哥德尔本人在之后的学术生涯中仍然坚持通过寻找新的公理来解决当前的基本原理（如ZFC）所无法解决的问题。连续统假设问题是其中的代表。哥德尔本人证明了连续统假设不能被ZFC证否，他甚至预测到科恩（Paul Cohen）关于ZFC无法证明连续统假设的结果。哥德尔曾希望大基数公理可以帮助解决连续统假设。但科恩发明的力迫法否定了单纯用大基数公理解决连续统假设问题的可能性。力迫法的广泛应用让逻辑学者们越来越怀疑数学是否存在唯一的基础。时代进一步滑向不可知论，各种形式的形式主义、多宇宙论此起彼伏。
武丁可能是哥德尔纲领在今天最忠实而有力的执行者。他基于力迫绝对性的Ω-逻辑以及新近的终极L理论一次又一次地试图迫近连续统假设的最终答案。无论其结果如何，这些工作都拓展人类单纯依靠理性能够认识的世界。
客观地说，武丁所处的时代相比哥德尔更纷繁复杂，令人迷茫。但武丁的工作如同迷雾中的火把，令人向往，给人鼓舞，让人相信：以数学基础为起点，理性主义的中兴是可以期待的。
作者简介：冯琦
真正对“计算”这个观念给出圆满解释的是图灵。
图灵1936年发表在《伦敦数学会会刊》上的文章定义了图灵机这一数学模型以及以此为基础的图灵机计算的数学概念。经过图灵的工作，观念的计算变成了概念的计算：所有可计算的都是那些图灵机可计算的。图灵所设计的通用图灵机则是可以以手机为代表的各种计算机内置操作系统和编译系统的最高典范。
如果说布尔的逻辑代数中运算还可以建立在潜无穷的观念之上，那么图灵的通用图灵机则不得不建立在实无穷的概念之上，这是图灵建立通用图灵机和定义图灵机计算概念的内核基础。毫无疑问，图灵是在接受了数学意义上的实在的无穷之后才建立起自己对于计算观念进行系统的数学解释的计算理论的。那么在图灵之前，关于无穷到底发生过什么呢?
在古希腊先贤那里，观念中的无穷只是被简单地分为实无穷和潜无穷两类，至于什么为实无穷，什么是潜无穷，并没有给予过多的关注或者思考。我们的祖先也曾留下“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的断言，但却与幂级数
作者杨睿之
哥德尔在1938年证明了连续统假设相对于ZFC公理系统的一致性，也即从ZFC无法证明连续统假设是不成立的（假设ZFC本身是一致的）。哥德尔猜想连续统假设可能是独立于ZFC的：“康托尔的假设先天的有三种可能：或者它可以被证明，或者被否证，或者是独立的。第三种情形最有可能，……寻找其独立性的证明。”哥德尔的猜想在1963年被科恩（PaulCohen）证明。连续统假设的独立性相比不完全性定理对数学基础问题的影响可能更大。连续统假设是一个自然且明确的数学问题，它是希尔伯特第1问题。数学家可以宣称见证哥德尔不完全性定理的那些命题都是人造的，缺乏自然的数学意义。然而，连续统假设独立性的发现意味着数学家必须直面不完全性问题。除非他们退回构造主义数学划下的牢笼中，宣称关于实无穷的理论是虚构的。抑或退回形式主义的避难所（如科恩本人以及许多意识到这个问题的数学家）。而根据之前的分析，并不存在彻底的形式主义，所谓的形式主义总是某种意义上的构造主义。
正是在这里，哥德尔宣称要为集合论（也即数学）寻找新的公理以判定诸如连续统假设这样的独立命题：“不仅今天人们所知的集合论公理系统是不完全的，而且能够以确定的方式补充新的公理，这些新公理不过是我们一直在用的公理的自然延续。”。这就是所谓的“哥德尔纲领”。关于哥德尔纲领历史及有关研究现状的更详细的介绍可以参见郝兆宽的《哥德尔纲领》。在下一节中，我们将分析武丁计划对哥德尔纲领的实践及其遇到的困难。
作者：王飒
作者：寇亮
作者：张芷青
作者：刘明君
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