生成扩散模型漫谈:W距离 ≤ 得分匹配
©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林
单位 | 追一科技
研究方向 | NLP、神经网络
Wasserstein 距离(下面简称“W距离”),是基于最优传输思想来度量两个概率分布差异程度的距离函数,笔者之前在《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》等文章中也做过介绍。
从形式上来看,扩散模型和 GAN 差异很明显,所以其研究一直都相对独立。不过,去年底的一篇论文《Score-based Generative Modeling Secretly Minimizes the Wasserstein Distance》[3] 打破了这个隔阂:它证明了扩散模型的得分匹配损失可以写成 W 距离的上界形式。这意味着在某种程度上,最小化扩散模型的损失函数,实则跟 WGAN 一样,都是在最小化两个分布的 W 距离。
尽管原论文给出了不等式(1)的证明过程,但涉及到较多的最优传输相关知识,如连续性方程、梯度流等,特别是它不加证明引用的一个定理,还是放在一本梯度流专著的第 8 章或另一本最优传输专著的第 5 章,这对笔者来说阅读难度实在太大。
经过一段时间的尝试,笔者终于在上周笔者完成了自己关于不等式(1)的(一部分)证明,其中只需要用到 W 距离的定义、微分方程基础以及柯西不等式,相比原论文的证明理解难度应该是明显降低了。经过几天的修改完善,给出如下的证明过程。
▲ 近似最优传输方案示意图
实际上,简化版的不等式(18)已经和更一般的(1)没有本质区别了,它的推导过程已经包含了导出完整结果的一般思路,下面我们来完成剩余的推导过程。
如果这一项小于等于 0,那么放缩过程(13)依然成立,后面的所有结果同样也成立,最终结论的形式跟式(20)一致。
本文介绍了一个新的理论结果,显示扩散模型的得分匹配损失可以写成 W 距离的上界形式,并给出了自己的部分证明。这个结果意味着,在某种程度上扩散模型和 WGAN 都有着相同的优化目标,扩散模型也在偷偷优化 W 距离!
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